Сильно симметричные многогранники тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ
|
Субботин, Владимир Иванович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новочеркасск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
Субботин Владимир Иванович
СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Специальность: 01.01.04 - геометрия и топология
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург 2004 г.
Работа выполнена на кафедре высшей математики Южно-Российского государственного технического университета (г. Новочеркасск).
Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент
Ковалёв Михаил Дмитриевич
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
Долбилин Николай Петрович
кандидат физико-математических наук, доцент Макеев Владимир Владимирович
Ведущая организация Ивановский государственный университет
Защита состоится « 23 »июня_2004 г. в 16 часов
на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д.28, математико-механический факультет.
Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН)
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/ 9. Автореферат разослан « »_2004 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.232.29, доктор физико-математических наук,
профессор Нежинский В.М.
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Работа относится к тому разделу теории многогранников, в котором изучаются обобщения правильных (платоновых) многогранников. Этот раздел к настоящему времени сформировался в самостоятельный раздел теории многогранников.
Обобщения правильных многогранников долгое время ограничивались тринадцатью равноугольно полуправильными (архимедовыми) многогранниками. Если для любых двух вершин выпуклого многогранника существует его самосовмещение, совмещающее эти вершины между собой и грани многогранника- правильные (не обязательно равные) многоугольники, то многогранник называется полуправильным изогоном. Полуправильные изогоны исчерпываются двумя бесконечными сериями изогональных призм и антипризм и известными с древности тринадцатью телами Архимеда. Метрически двойственные к полуправильным изогонам называются полуправильными изоэдра-ми. Они были рассмотрены И.Ф.Х.Гесселем в 1830 году. У полуправильных изоэдров любые две грани могут быть совмещены самосовмещением мно-гранника, а все многограннные углы - правильные. Среди изоэдров метрически двойственными к призмам и антипризмам являются бипирамиды и дель-тоэдры. Если требовать лишь комбинаторной эквивалентности звёзд всех вершин, то получим 14 комбинаторно различных многогранников. Их называют топологически равноугольно полуправильными. Каждый тип равноугольно полуправильных многогранников единственным с точностью до подобия образом может быть реализован в виде выпуклого многогранника с равными многогранными углами и правильными, но не обязательно равными гранями. Топологически равногранио полуправильными называются многогранники, комбинаторно двойственные к топологически равноугольно полуправильным.
Звёздчатые правильные многогранники можно рассматривать как расширение понятия правильных многогранников, И.Кеплер, впервые восстановивший работу Архимеда по полуправильным телам, нашёл два звездчатых правильных многогранника. Затем Л.Пуансо открыл четыре звёздчатых правильных многогранника, два из которых были уже найдены Кеплером. Впоследствии О. Коши доказал, что список правильных звездчаты^ддоэдогрзнни-коз исчерпывается четырьмя
СПетер; 09
ЯЬУ/1
и
Другое обобщение правильных многогранников состоит в распространении этого понятия на случай многомерных и неевклидовых пространств. Все правильные выпуклые многогранники в евклидовых пространствах перечислены в работе Стингхема1 .Случай невыпуклых правильных многогранников произвольного рода рассмотрен в работах В.А Ефремовича 2 и других. Некоторые обобщения на случай неевклидовых пространств рассмотрены, например, в работе А.Д. Милки3.
Выпуклый многогранник в Е3 называют правилъногранным, если все его грани - правильные многоугольники. Такой многогранник называется простым, если его нельзя рассечь проходящей только через рёбра плоскостью на многогранники, все грани которых также правильные. В работе В.А. Залгал-
4
лера доказано, что кроме правильногранных призм и антипризм, существует ровно 28 таких простых многогранников. Из этих призм и антипризм и простых многогранников составляются все 92 правильногранных многогранника, которые ранее эмпирически были найдены Н. Джонсоном5. В работе В.А. Зал-галлера доказано также, что если допустить условные рёбра (т.е. рёбра, для которых смежные грани лежат в одной плоскости), то число простых пра-вильногранных многогранников остаётся конечным. При этом вершинами считаются только истинные вершины многогранника. Развитию результатов В.А. Залгаллера, связанных с возникновением условных рёбер, посвящены работы Б.А.Иванова, Ю.А.Пряхина. Другая задача, возникающая из работы4, -перечислить выпуклые многогранники с равноугольными вершинами, т.е. такие многогранники, у каждой вершины которых все плоские углы равны между собой. Эта задача решена А. М. Гуриным и является двойственной задаче, решённой В.А. Залгаллером. В работах A.M. Турина найден полный перечень с точностью до комбинаторной эквивалентности выпуклых многогранников с
1 Стингхем В.И. Правильные фигуры в n-мерном пространстве. -Успехи математических наук, вып. X, 1944.
2 Ефремович В.А. Правильные многогранники. -Успехи математических наук, т2, вып. 5, 1947.
3 Милка А.Д. Почти правильные многогранники//Тр. Ин-та мат. СО АН СССР, 1987,9, с. 136-141.
4 Залгаллер В.А. Выпуклые многогранники с правильными гранями.- Записки научных семинаров Ленинградского отделения матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР,т.2.-М.:Наука. 1967. 217 С.
5 Johnson N.W. Convex polyhedra with regular faces. Canad.J.Math.,v.l8 1, p. 169-200,(1966).
равноугольными вершинами; в перечне 104 замкнутых многогранника, 26 бесконечных многогранников и три бесконечные серии - конусов и многогранников, двойственных призмам и антипризмам.
Связный многогранник называется однородным, если все его грани являются правильными многоугольниками, а любые две вершины могут быть переведены друг в друга преобразованием симметрии, переводящим многогранник в себя. Гранями могут быть выпуклые и звёздчатые правильные многоугольники. Однородный многогранник без кратных вершин и рёбер называется элементарным. В работах Г.С.М.Коксетера, С.П.Сопова и других авторов решены задачи перечисления таких многогранников. В частности, в работах С.П.Сопова доказано, что существует только 75 элементарных однородных многогранников, отличных от призм и антипризм.
Известно, что совпадение групп симметрии многогранников не означает, вообще говоря, одинаковости строения этих многогранников. Другими словами, группа симметрии не определяет однозначно даже комбинаторную структуру многогранника. Однако, действующая на элементах многогранника группа симметрии накладывает на его строение определённые ограничения.
В качестве примера укажем на теорему А.Д.Александрова: если все грани выпуклого многогранника центрально симметричны, то такой многогранник является центрально симметричным. Заметим, что соответствующая теорема для осей симметрии неверна. Простой контрпример даёт треугольная пирамида, основанием которой является равнобедренный, но не равносторонний треугольник, а высота проецируется в центр описанной около треугольника окружности. Очевидно, все грани этого многогранника имеют оси симметрии, но сам многогранник не обладает нетривиальной осью симметрии.
Совокупность вершин многогранника может характеризоваться условиями симметрии в классе дискретных точечных систем.. Как замечено в книге Г. Хадвигера., Г. Дебруннера6, если на евклидовой плоскости задано такое конечное множество точек, что ось симметрии любой пары точек является осью симметрии всего множества, то это множество представляет собой совокупность вершин правильного выпуклого многоугольника. Обобщение этого утверждения на случай трёхмерного евклидова пространства приводит
6 Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.-М.: Нау-ка.1965.
лишь к двум правильным многогранникам. Из работы А. Б. Харазишвили7 следует, что если конечное множество точек в Е3 удовлетворяет условию, что плоскость симметрии любых двух точек одновременно является плоскостью симметрии всего множества, то это множество является либо совокупностью вершин правильного плоского многоугольника, либо правильных тетраэдра или октаэдра.
Цель работы
Целью настоящей диссертации является исследование влияния условий симметрии на геометрию замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве и получение обобщений правильных многогранников на основе условий симметрии элементоз многогранника.
Методы исследования
В работе используются методы и результаты теории выпуклых многогранников.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
На основе введения условий симметрии: а) на пары смежных вершин замкнутого выпуклого многогранника в б) на соседние пары рёбер, получены два класса сильно симметричных многогранников, обобщающих класс правильных. Доказаны классификационные теоремы для этих классов. Введены классы многогранников, сильно симметричных относительно вращения граней и с ограниченным вращением граней. Рассмотрены двойственные классы и доказаны классификационные теоремы для многогранников, сильно симметричных относительно вращения. Получены характеризации некоторых замкнутых выпуклых многогранников на основе свойств их осей симметрии.
7 Харазишвили А.Б. Вполне симметричные конфигурации.-Сообщ. АН Груз.ССР, 85, № 2, 1977, С. 297-300.
Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях многогранников. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в области геометрии и математической кристаллографии.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на Международном семинаре по дискретной математике и ее приложениям на механико-математическом факультете МГУ им. М.В Ломоносова (неоднократно, 1999 - 2003 г.); на семинаре кафедры дискретной математики механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (2003 г.); на 4-й и 5-й Международной конференции по геометрии «в целом» (Черкассы, 2001 г., 2003 г.); на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо (неоднократно, 1998-2002 г.); на конференции памяти Г.Ф.Вороного по аналитической теории чисел и пространственным мозаикам (Киев, 2003 г.); на геометрическом семинаре ПОМИ РАН и на семинаре кафедры геометрии РГПУ им. А.И.Герцена.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы; её общий объём составляет 78 страниц. В диссертации содержится 84 рисунка. Список литературы составляет 62 наименования.
Содержание работы
Во введении отражена история вопросов, рассмотренных в диссертации, и приведён обзор результатов, связанных с темой исследования. Кратко излагается содержание работы и формулируются основные результаты.
Первая глава посвящена сильно симметричным многогранникам 1 -го класса. Именно, вводится локальное определение многогранников этого класса.
Определение 1.1.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Е? назовем сильно симметричным многогранником первого класса, если плоскость симметрии любых двух его соседних вершин является плоскостью симметрии реберных звезд этихвершин.
Это определение эквивалентно следующему: выпуклый многогранник называется сильно симметричным многогранником первого класса, если плоскость симметрии любых двух его соседних вершин является плоскостью симметрии всего многогранника. Основным результатом этой главы является доказательство следующей теоремы перечисления:
Теорема 1.1.1. Первый класс сильно симметричных многогранников помимо пяти правильных содержит одиннадцать полуправильных (архимедовых) многогранников, бесконечную серию прямых призм с правильными основаниями и квадратными боковыми гранями, а также одиннадцать семейств многогранников, содержащих равноугольно полуправильные грани.
О перечисленных одиннадцати семействах многогранников заметим следующее: многогранники принадлежат одному семейству, если они: 1) комбинаторно эквивалентны одному из указанных выше одиннадцати равноугольно полуправильных, 2) получены из одного того же правильного или равноугольно полуправильного многогранника равномерным расширением граней от центра многогранника.
В третьем параграфе рассмотрен класс многогранников, сильно симметричных относительно граней.
Определение 1.3.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 назовём сильно симметричным относительно граней, если биссекторная плоскость каждого двугранного угла многогранника одновременно является плоскостью симметрии звёзд граней, образующих этот угол.
Лемма 13.1 Если биссекторная плоскость каждого двугранного угла выпуклого многогранника является плоскостью симметрии всего многогранника, то такой многогранник является двойственным одному из сильно сим-
метричныхмногогранников 1-ого класса.
Последняя лемма позволяет перечислить все многогранники, сильно симметричные относительно граней.
Во второй главе вводятся и перечисляются сильно симметричные многогранники 2-го класса.
Определение 2.2.1.Если плоскость симметрии любого плоского угла выпуклого многогранника (т.е. биссекторная плоскость этого угла, ортогональная грани, содержащей этот угол) является плоскостью симметрии реберных звезд двух вершин, инцидентных сторонам этого угла, то такой
г-З
замкнутый выпуклый многогранник в Е назовем сильно симметричным многогранником второго класса.
Аналогично предыдущему, последнее определение равносильно следующему: Выпуклый многогранник называется сильно симметричным многогранником второго класса, если плоскость симметрии любого плоского угла является одновременно плоскостью симметрии всего многогранника.
Во втором параграфе второй главы доказана теорема перечисления: Теорема 2.1.1. Существует только четыре, не считая правильных, сильно симметричных многогранника 2-го класса: кубооктаэдр, икосододекаэдр, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр
В третьей главе вводятся многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогранных углов и многогранники с ограниченным вращением многогранных углов. Метрически двойственные этим многогранникам являются сильно симметричные относительно вращения граней и многогранники с ограниченным вращением граней.
Мы будем говорить, что ось симметрии многогранника (или ось симметрии грани) проходит через грань а, если эта ось перпендикулярна а и имеет общую точку с относительной внутренностью В этом случае будем также говорить, что а обладает осью симметрии многогранника (или а обладает осью симметрии). Если ось симметрии перпендикулярна ребру многогранника и инцидентна середине этого ребра, то будем говорить, что ось симметрии многогранника проходит через ребро, или, что ребро обладает осью симметрии многогранника. Говоря об оси симметрии многогранного угла, будем иметь в виду более чем двугранный угол. Все рассматриваемые оси симметрии предполагаются имеющими порядок не меньше двух. Кроме того, говоря об оси симметрии геометрической фигуры, будем предполагать, что эта ось имеет максимальный порядок, если не оговорено противное.
Определение 3.1.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным относительно вращения многогранных углов, если каждый многогранный угол Р обладает осью симметрии Ь и Ь является одновременно осью симметрии фигуры, составленной из рёберных звёзд вершин, лежащих на рёбрах угла Р.
Необходимо отметить, что многогранный угол многогранника может иметь ось симметрии, порядок которой не совпадает с порядком оси симметрии совокупности рёберных звёзд вершин, смежных с вершиной этого многогранного угла. Определение 3.1.1 предполагает, что порядок каждой такой оси симметрии совпадает с порядком оси симметрии совокупности рёберных звёзд вершин, смежных с вершиной А этого угла.
Определение 3.1.3. Выпуклый замкнутый многогранник в Е1 называется сильно симметричным относительно вращения граней, если каждая грань обладает осью симметрии и каждая ось симметрии является одновременно осью симметрии звезды грани.
Необходимо отметить, что грань а многогранника может иметь ось симметрии, перпендикулярную плоскости грани а, порядок которой не совпадает с порядком оси симметрии звезды грани а. Определение 3.1.3 предполагает, что каждая такая ось симметрии £ имеет порядок, совпадающий с порядком
оси симметрии звезды грани
Многогранники, удовлетворяющие хотя бы одному из последних двух определений, назовём многогранниками, сильно симметричными относительно вращения.
Условия симметрии в двух последних определениях, аналогично предыдущему, продолжаются на весь многогранник. Доказательство эквивалентности локального и глобального определений проведено в первом параграфе третьей главы.
Для того, чтобы доказать теоремы перечисления для рассматриваемых многогранников, во втором параграфе вводятся классы многогранников с ограниченным вращением граней и с ограниченным вращением многогранных углов.
Определение 3.2.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным с ограниченным вращением граней, если каждая грань многогранника обладает осью симметрии, причё'м среди граней найдётся такая грань а, что порядок оси симметрии Ьа всего многогранника меньше порядка оси симметрии грани
Определение 3.2.2. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным с ограниченным вращением многогранных углов, если каждый многогранный угол многогранника обладает осью симметрии, причём среди многогранных углов найдётся такой угол А, что порядок оси симметрии всего многогранника меньше порядка оси симметрии многогранного угла А.
Многогранники, удовлетворяющие двум последним определениям, будем называть сильно симметричнымимногогранниками с ограниченным вращением.
Определение 3.2.3. Объединение двух классов - класса сильно симметричные многогранников относительно вращения граней и класса сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением граней - будем называть сильно симметричными многогранниками 3-го класса.
Определение 3.2.4. Объединение двух классов - класса сильно симметричных многогранников относительно вращения многогранных углов и класса сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением многогранных углов — будем называть сильно симметричными многогранниками 4-го класса.
Имеет место следующая альтернатива:
Лемма 3.2.1. Всякий замкнутый выпуклый многогранник, через каждую грань которого проходит ось симметрии, является либо сильно симметричным относительно вращения граней, либо сильно симметричным с ограниченным вращением граней.
Аналогично, для многогранников, через каждую вершину которых проходит ось симметрии, справедлива
Лемма 3.2.2. Всякий замкнутый выпуклый многогранник, через каждую вершину которого проходит ось симметрии является либо сильно симметричным относительно вращения многогранных углов, либо сильно симметричным с ограниченным вращением многогранных углов.
Учитывая эти леммы, получаем следующее утверждение: 3-й класс сильно симметричных многогранников состоит из тех и только тех многогранников, через каждую грань которых проходит ось симметрии многогранника; 4-й класс сильно симметричных многогранников состоит из тех и только тех многогранников, через каждую вершину которых проходит ось симметрии многогранника.
В третьем параграфе третьей главы доказана основная теорема о сильно симметричных многогранниках 3-го класса.
Теорема 3.3.2. Третий класс сильно симметричных многогранников исчерпывается следующимимногогранниками:
Сильно симметричные многогранники 1-го класса; сильно симметричные многогранники 2-го класса; восемь следующихмногогранников (см. рис.):
1) 1-й полуусечбнный ромбододекаэдр,
2) 2-й полууссченный ромбододекаэдр,
3) усеченный ромбододекаэдр,
4) 1-й полуусечённый ромбический триаконтаэдр,
5) 2-й полуусеченный ромбический триаконтаэдр,
6) усечённый ромбический триаконтаэдр,
7) полуусечё'нный куб,
8) дважды усечённый куб.
Из формулировки теоремы 3.3.2 следует, что классмногогранников, сильно симметричных относительно вращения граней содержит многогранники, отличные от правильных и равноугольно полуправильных, и даже не являющиеся комбинаторноэквивалентными правильным илиравноугольно полуправильным
Учитывая то, что 4-й класс сильно симметричных многогранников является метрически двойственным 3-му классу, получаем следующую теорему.
Теорема 3.3.4. 4-й класс сильно симметричных многогранников исчерпывается следующими многогранниками:
1)многогранники 2-го класса;
2)многогранники, сильно симметричные относительно граней;
3) 8многогранников, двойственн ыхмногогранникам 1)-8) из теоремы 3.3.2. Следствием предыдущих результатов, являются следующие утверждения. Теорема 3.3.6. Пусть дан замкнутый выпуклый многогранник, через каждую грань и через каждую вершину которого проходит ось симметрии многогранника. Тогда этот многогранник принадлежит второму классу сильно симметричных многогранников.
Действительно, этот класс содержит многогранники, принадлежащие одновременно 3-му и 4-му классу сильно симметричных многогранников, а это и есть 2-й класс сильно симметричных многогранников.
Следующие теоремы получаются из классификационных теорем для многогранников 3-го и 4-го классов.
Теорема 3.3.7. Ромбододекаэдр, ромбический триаконтаэдр и прямоугольный параллелепипед с неквадратными гранями исчерпывают класс всех замкнутых выпуклыхмногогранников, через каждую грань которых проходит ось симметрии 2-го порядка многогранника.
Теорема 3.3.8. Если оси симметрии многогранника проходят через все грани и через все вершины, но не проходят через ребра, то класс таких выпуклых замкнутых многогранников исчерпывается ромбододекаэдром, ромбическим триаконтаэдром и метрически двойственными им.
Список публикаций по теме диссертации
1. Subbotin V.I. Characterizatins of polyhedra partitioning a space. —Voronoi conference on analytic number theory and spatial tessellations.—Kyiv, September 22—28,2003. p.46.
2. Субботин В.И. Сильно симметричные многогранники.- В кн: Геометрия и
топология. 8 (Зап. науч. семин. ПОМИ, т. 299),СПб., 2003, С. 314-325.
3. Субботин В.И. О двух классах симметричных многогранников.- Изв. вузов.
Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.-2003, №3,С.17-19.
4. Субботин В.И. Многогранники, сильно симметричные относительно вра-
щения. Рук. депонированная, в ВИНИТИ 29.01. 2004, .№l68-B2004, 37 с.
Субботин Владимир Иванович
СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Автореферат
Подписано в печать 23.04.2004. Формат 60x84 l/i6. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 592.
Типография ЮРГТУ (НПИ) 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
E-mail: tvpographv@novoch,ru
Р10343
ВВЕДЕНИЕ.
1. СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ.МНОГОГРАННИКИ ПЕРВОГО КЛАССА.
1.1 Эквивалентность локального и глобального определений, перечисление.
1.2 Доказательство теоремы перечисления.
1.3 Многогранники, двойственные многогранникам. 1-го класса.
2. СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ВТОРОГО КЛАССА.
1.1 Определения, теорема перечисления.
2.2. Доказательство теоремы перечисления.
3. МНОГОГРАННИКИ, СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЯ.
3.1 Эквивалентность локального и глобального определений.
3.2 Многогранники с ограниченным вращением.
3.3.Основные теоремы о сильно симметричныхмногогранниках 3-го и 4-го классов.
Работа относится к тому разделу теории многогранников, в котором изучаются обобщения правильных (Платоновых) многогранников. Этот раздел к настоящему времени сформировался в самостоятельный раздел теории многогранников. Особенностью работы является то, что в основу предлагаемых обобщений положены свойства симметрии элементов многогранника.
Группы симметрии многогранников изучались многими математиками и кристаллографами. После того, как Лежандр (1833) впервые ввёл математическое понятие симметрии в геометрию, Р.-Ж. Гаюи применил это понятие в кристаллографии. В дальнейшем изучение возможных видов симметрии многогранников было продолжено И.Ф.Х. Гесселем и О.Браве. Простой и полный вывод всех видов симметрии кристаллографических многогранников дал А.В.Гадолин. Начиная с работ О. Браве, группы самосовмещений многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве полностью перечислены вместе со всеми своими подгруппами. В Е3 существует только пять конечных групп вращений: две бесконечные серии циклических Ср и диэдральных Dp групп; тетраэдральная группа, октаэдральная группа и икосаэдральная группа. Циклическая группа Ср изоморфна группе вращений правильной р-угольной пирамиды . Группа Dp —это группа вращений правильной р-угольной призмы. Этой же группе изоморфна группа вращений дважды покрытого правильного р-угольника.
Известно, что совпадение групп симметрии многогранников не означает, вообще говоря, одинаковости строения этих многогранников. Группа симметрии не определяет однозначно даже комбинаторную структуру многогранника. Однако, действующая на элементах многогранника группа симметрии накладывает на его строение определённые ограничения.
В качестве примера укажем на теорему А.Д.Александрова [5]: если все грани выпуклого многогранника центрально симметричны, то сам многогранник является центрально симметричным. Заметим, что соответствующая теорема для осей симметрии неверна. Действительно, рассмотрим треугольную пирамиду, основанием которой является равнобедренный, но не равносторонний треугольник, а высота проецируется в центр описанной около треугольника окружности. Все грани такой пирамиды имеют оси симметрии, но сама пирамида, очевидно, не обладает нетривиальной осью симметрии.
Совокупность вершин многогранника может характеризоваться условиями симметрии в классе дискретных точечных систем. Как замечено в [17], если на евклидовой плоскости задано такое дискретное ограниченное множество точек, что ось симметрии любой пары точек является осью симметрии всего множества, то это множество представляет собой совокупность вершин правильного выпуклого многоугольника. Обобщение этого утверждения на случай трёхмерного евклидова пространства приводит лишь к двум правильным многогранникам. Из работы [50] следует, что если конечное дискретное множество точек в Е3 удовлетворяет тому условию, что плоскость симметрии любых двух точек одновременно является плоскостью симметрии всего множества, то это множество является либо совокупностью вершин правильного плоского многоугольника, либо правильных тетраэдра или октаэдра. В [50] показано также, что и в случае Е" аналоги этих двух многогранников исчерпывают класс конечных дискретных точечных систем, удовлетворяющих аналогичному условию симметрии.
Обобщением плоских правильных многоугольников являются равноугольно полуправильные и равносторонне полуправильные многоугольники. Выпуклый плоский многоугольник с четным числом сторон называется равноугольно полуправильным, если все его углы равны между собой, а стороны равны через одну [3, ч.1, с.39]. Этот класс многоугольников, как легко видеть, характеризуется тем, что ось симметрии любых двух его соседних вершин является осью симметрии всего многоугольника. Равносторонне полуправильным называется плоский выпуклый многоугольник с четным числом: сторон, все стороны которого равны между собой, а углы равны через один [3, ч.1, с.40]. Равносторонне полуправильный многоугольник характеризуется тем, что биссектриса каждого его внутреннего угла является осью симметрии всего многоугольника. Некоторые свойства многогранников в настоящей работе можно рассматривать как перенос на пространственный случай свойств симметрии полуправильных многоугольников.
Как известно, замкнутым выпуклым многогранником в Е3 называется фигура, состоящая из конечного числа плоских многоугольников (граней), расположенных так, что:
1) каждая сторона каждой грани есть сторона ещё только одной грани (смежной с первой гранью);
2) для любых двух граней аир существует такая последовательность граней ai,.,an, что грань а смежна с ai , a,i смежна с а2,.,ап смежна с Р;
3) если аир имеют общую вершину А, то указанную последовательность граней можно выбрать так, чтобы они все имели общую вершину А.
4) вся фигура расположена по одну сторону от плоскости каждой грани.
Если грани рассматривать как плоские области, то многогранник есть некоторая поверхность {без края\—согласно 1))
Два многогранника называются изоморфными (комбинаторно эквивалентными), если между их гранями, рёбрами и вершинами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее инцидентность.
Если между двумя многогранниками М и Р установлено такое соответствие, что граням многогранника М соответствуют вершины многогранника Р, рёбрам М —рёбра Р, вершинам М — грани Р, причём, инцидентным элементам многогранника М отвечают инцидентные элементы многогранника Р, то многогранники М и Р называют комбинаторно двойственными друг другу.
Если М—выпуклый многогранник, О—точка внутри него, то можно построить выпуклый многогранник Р, грани которого перпендикулярны к лучам, идущим из О через вершины многогранника М, а вершины лежат на лучах, идущих из О перпендикулярно к граням многогранника М. Находящиеся в таком соответствии многогранники М и Р называются полярными, или метрически двойственными друг другу. Всякому многограннику М, описанному около шара, отвечает в качестве метрически двойственного многогранник Р, вписанный в шар, с вершинами в точках касания шара с гранями многогранника М.
Звездой вершины многогранника называется совокупность граней, инцидентных этой вершине. Реберной звездой вершины многогранника называется фигура, состоящая из ребер, инцидентных этой вершине.
Обобщения правильных многогранников долгое время ограничивались тринадцатью равноугольно полуправильными {архимедовыми) многогранниками. Если для любых двух вершин выпуклого многогранника существует его самосовмещение, совмещающее эти вершины между собой и грани многогранника — правильные (не обязательно равные) многоугольники, то многогранник называется полуправилъным изогоном. Полуправильные изогоны исчерпываются двумя бесконечными сериями изогональных призм и антипризм и известными с древности тринадцатью телами Архимеда. Метрически двойственные к полуправильным изогонам называются полуправильными изоэдрами. Они были рассмотрены И.Ф.Х.Гесселем в 1830 году. У полуправильных изоэдров любые две грани могут быть совмещены самосовмещением многранника, а все много-граннные углы - правильные. Среди изоэдров метрически двойственными к призмам и антипризмам являются бипирамиды и дельтоэдры. Если требовать лишь комбинаторную эквивалентность звёзд всех вершин, то получим 14 комбинаторно различных многогранников ([3], [5], [10]). Их называют топологически равноугольно полуправильными. Каждый тип топологически равноугольно полуправильных многогранников единственным с точностью до подобия образом может быть реализован в виде выпуклого многогранника с равными многогранными углами и правильными, но не обязательно равными гранями. Топологически равногранно полуправильными называются многогранники, комбинаторно двойственные к топологически равноугольно полуправильным.
Звёздчатые правильные многогранники можно рассматривать как расширение понятия правильных многогранников на невыпуклый случай. И.Кеплер, впервые восстановивший работу Архимеда по полуправильным телам, нашёл два звёздчатых правильных многогранника. Затем Л.Пуансо открыл четыре звёздчатых правильных многогранника, два из которых уже были найдены Кеплером. Впоследствии О. Коши [38] доказал, что список правильных звёздчатых многогранников исчерпывается четырьмя многогранниками Пуансо.
Другое обобщение правильных многогранников состоит в распространении этого понятия на случай многомерных и неевклидовых пространств. Все правильные выпуклые многогранники в евклидовых пространствах Еп (п>3) перечислены в работе Стрингхема [56].Случай невыпуклых правильных многогранников произвольного рода рассмотрен в работах В.А. Ефремовича [44] и других (см., например, [57]).Некоторые обобщения на случай неевклидовых пространств рассмотрены в [55] и в [58].
Выпуклый многогранник в Е3 называют правилъногранным, если все его грани — правильные многоугольники. Такой многогранник называется простым, если его нельзя рассечь проходящей только через рёбра плоскостью на многогранники, все грани которых также правильные. В работе В.А. Залгаллера [39] доказано, что кроме правильногранных призм и антипризм, существует ровно 28 таких простых многогранников. Из этих призм и антипризм и 28-ми простых многогранников составляются 92 правильногранных многогранника, отличные от призм и антипризм, которые ранее эмпирически были найдены Н. Джонсоном [40]. В работе В.А. Залгаллера доказано также, что если допустить условные рёбра (т.е. рёбра, для которых смежные грани лежат в одной плоскости), то число простых правильногранных многогранников остаётся конечным. При этом вершинами считаются только истинные вершины многогранника. Развитию результатов В.А. Залгаллера, связанных с возникновением условных рёбер, посвящены работы Б.А.Иванова, Ю.А.Пряхина (см, например, [46], [54]). Другая задача, возникающая из работы [39], - перечислить выпуклые многогранники с равноугольными вершинами, т.е. такие многогранники, у каждой вершины которых все плоские углы равны между собой. Эта задача решена А. М. Гури-ным и является двойственной задаче, решённой В.А. Залгаллером. В работах Гурина [47], [48] найден полный перечень с точностью до комбинаторной эквивалентности выпуклых многогранников с равноугольными вершинами; в перечне 104 замкнутых многогранника, 26 бесконечных многогранников и три бесконечные серии — конусов и многогранников, двойственных призмам и антипризмам.
Во всех этих обобщениях правильных многогранников, помимо некоторых перечисленных бесконечных серий, получается конечное число обобщённых многогранников. Это же справедливо и для следующего обобщения.
Связный многогранник называется однородным, если все его грани являются правильными многоугольниками, а любые две вершины могут быть переведены друг в друга преобразованием симметрии, переводящим многогранник в себя. Гранями могут быть выпуклые и звёздчатые правильные многогранники. Однородный многогранник без кратных вершин и рёбер называется элементарным. В работах Г.С.М.Коксетера, С.П.Сопова и других ([51],[53]) решены задачи перечисления таких многогранников. В частности, в работе [53] доказано, что существует только 75 элементарных однородных многогранников, отличных от призм и антипризм.
В связи со сказанным является актуальной задача: исследовать влияние условий симметрии, которым подчинены некоторые элементы многогранника, на геометрию многогранника. В настоящей работе получены новые классы выпуклых многогранников в Е3, содержащие, в частности, правильные многогранники и некоторые перечисленные бесконечные серии. При этом получены многогранники, не являющиеся даже комбинаторно эквивалентными полуправильным изогонам и изоэдрам.
Определение 1.1.1. Выпуклый многогранник в Е3 назовем сильно симметричным многогранником первого класса, если плоскость симметрии любых двух его соседних вершин является одновременно плоскостью симметрии реберных звезд этих вершин.
Определение 2.1.1. Если плоскость симметрии любого плоского угла выпуклого многогранника (т.е. биссекторная плоскость этого угла, ортогональная грани, содержащей этот угол) является одновременно плоскостью симметрии реберных звезд двух вершин, инцидентных сторонам этого угла, то такой многогранник назовем сильно симметричным многогранником второго класса.
Первые две главы работы посвящены изучению этих двух классов многогранников и многогранников, двойственных сильно симметричным многогранникам 1-го и 2-го классов. Дано полное комбинаторное и метрическое перечисление многогранников этих классов. Именно, доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.1.1. Первый класс сильно симметричных многогранников помимо пяти правильных содержит одиннадцать полуправильных (архимедовых) многогранников, бесконечную серию прямых призм с правильными основаниями и квадратными боковыми гранями, а также одиннадцать семейств многогранников, среди граней которых имеются равноугольно полуправильные. Теорема 2.1.1. Существует только четыре, не считая правильных, сильно симметричных, многогранника 2-го класса: кубооктаэдр, икосододека-эдр, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр.
Мы будем в дальнейшем говорить, что ось симметрии многогранника (или ось симметрии грани) проходит через грань а, если эта ось перпендикулярна а и имеет общую точку с относительной внутренностью rint а. В этом случае будем также говорить, что а обладает осью симметрии многогранника или а обладает осью симметрии). Если ось симметрии перпендикулярна ребру многогранника и инцидентна середине этого ребра, то будем говорить, что ось симметрии многогранника проходит через ребро, или, что ребро обладает осью симметрии многогранника. Говоря об оси симметрии многогранного угла, будем иметь в виду более чем двугранный угол.
В главе 3 работы введены классы многогранников, сильно симметричных относительно вращения, и сильно симметричные многогранники 3-го и 4-го классов.
Всюду в дальнейшем порядок оси симметрии означает её максимальный порядок, если не оговорено противное. Мы считаем оси симметрии имеющими порядок не меньший двух.
Определение 3.1.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным относительно вращения граней, если каждая грань а обладает осью симметрии La и каждая ось симметрии La является одновременно осью симметрии звезды грани а .
Необходимо отметить, что грань а многогранника может иметь ось симметрии, перпендикулярную плоскости этого многоугольника, порядок которой не совпадает с порядком оси симметрии звезды грани а. Определение 3.1.1 предполагает, что каждая такая ось симметрии La имеет порядок, совпадающий с порядком оси симметрии звезды грани а.
Определение 3.1.3. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным относительно вращения многогранных углов, если каждый многогранный угол Р обладает осью симметрии L и L является одновременно осью симметрии фигуры, составленной из рёберных звёзд вершин, лежащих на рёбрах угла Р.
Необходимо отметить, что многогранный угол многогранника может иметь ось симметрии, порядок которой может не совпадать с порядком оси симметрии совокупности рёберных звёзд вершин, смежных с вершиной этого многогранного угла. Определение 3.1.3 предполагает, что порядок каждой такой оси симметрии ЬА совпадает с порядком оси симметрии совокупности рёберных звёзд вершин, смежных с вершиной А этого угла.
Приведённые выше определения сильно симметричных многогранников 1-го и 2-го классов имеют локальный характер. В главе 1 доказано, что условия симметрии в этих определениях могут быть продолжены на весь многогранник: Лемма 1.1.2 .Для того, чтобы выпуклый многогранник был сильно симметричным многогранником первого класса необходимо и достаточно, чтобы плоскость симметрии любых двух его соседних вершин являлась плоскостью симметрии всего многогранника.
Аналогично, в главе 3 доказана эквивалентность определения 3.1.1 следующему определению:
Определение 3.1.2. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным относительно вращения граней, если каждая грань а обладает осью симметрии La и каждая ось симметрии Ьа является одновременно осью симметрии всего многогранника.
Для более подробной классификации многогранников 3-го класса в главе 3 вводятся следующие классы многогранников.
Определение 3.2.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным многогранником с ограниченным вращением граней, если каждая грань многогранника обладает осью симметрии, причём среди граней найдётся такая грань а, что порядок оси симметрии Ьа всего многогранника меньше порядка оси симметрии грани а.
Определение 3.2.2. Выпуклый замкнутый многогранник в Е3 называется сильно симметричным многогранником с ограниченным вращением многогранных углов, если каждый многогранный угол многогранника обладает осью симметрии, причём среди многогранных углов найдётся такой угол А, что порядок оси симметрии La всего многогранника меньше порядка оси симметрии многогранного угла А.
Многогранники, удовлетворяющие двум последним определениям, будем называть сильно симметричными многогранниками с ограниченным вращением.
В главе 3 основной является теорема 3.3.1, в которой перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней и все многогранники с ограниченным вращением граней. В класс многогранников, сильно симметричных относительно вращения граней, входят все сильно симметричные многогранники 2-го класса, 8 следующих многогранников:
1-й полуусечённый ромбододекаэдр (рис.51)
2-й полуусечённый ромбододекаэдр (рис.52) усечённый ромбододекаэдр (рис.53)
1-й полуусечённый ромбический триаконтаэдр (рис.54)
2-й полуусечённый ромбический триаконтаэдр (рис.55) усечённый ромбический триаконтаэдр (рис.56) полуусечённый куб (рис.57) дважды усечённый куб (рис.58), а также многогранники 1-го класса, за исключением следующих, являющихся сильно симметричными с ограниченным вращением граней:
1) усеченный тетраэдр;
2) усеченный октаэдр;
3) усеченный икосаэдр;
4) усеченный куб;
5) усеченный додекаэдр;
6) усеченный икосододекаэдр;
7) ромбокубооктаэдр;
8) ромбоикосододекаэдр,
9) расширенный усечённый тетраэдр ( рис.21),
10) расширенные усечённые кубы (рис.27, 28, 29 ),
11) расширенные усечённые икосаэдры (рис.31, 32, 34)
12) прямые изогональные призмы, среди боковых граней которых имеются квадраты.
На основании двойственности можно считать перечисленными многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогранных углов и с ограниченным вращением многогранных углов:
Теорема 3.3.4, Класс многогранников, сильно симметричных относительно вращения многогранных углов исчерпывается следующими многогранниками:
1) многогранники 2-го класса;
2) класс многогранников, двойственных 1-му классу, за исключением многогранников, двойственных классу с ограниченным вращением граней;
3) 8 многогранников, двойственных многогранникам из теоремы 3.3.1, изображённым на рис. 51-58.
Класс многогранников с ограниченным вращением многогранных углов исчерпывается многогранниками, двойственными многогранникам с ограниченным вращением граней.
Объединение двух классов - класса сильно симметричные многогранников относительно вращения граней и класса сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением граней (названное 3-им классом сильно симметричных многогранников) — состоит из тех и только тех многогранников, через каждую грань которых проходит ось симметрии многогранниками класс— это класс многогранников, через каждую вершину которых проходит ось симметрии. Таким образом, теоремы 3.3.1 и 3.3.4 устанавливают полный список многогранников 3-го и 4-го классов.
Из этих теорем выводятся следующие результаты, которые относятся к закономерностям расположения осей симметрии выпуклых многогранников.
Теорема 3.3.6. Пусть дан многогранник, через каждую грань и через каждую вершину которого проходит ось симметрии многогранника. Тогда этот многогранник принадлежит второму классу сильно симметричных многогранников.
Теорема 3.3.7. Ромбододекаэдр, ромбический триаконтаэдр и прямоугольный параллелепипед с неквадратными гранями исчерпывают класс всех замкнутых выпуклых многогранников, через каждую грань которых проходит ось симметрии 2-го порядка многогранника.
Теорема 3.3.8. Если оси симметрии многогранника, проходят через все грани и через все вершины, но не проходят через ребра, то класс таких выпуклых замкнутых многогранников исчерпывается ромбододекаэдром, ромбическим триаконтаэдром и двойственными им.
Замечание. Для дальнейшего важное значение будут иметь некоторые (только одиннадцать) из равноугольно полуправильных многогранников, с точки зрения их симметрии. Поэтому приведём их рисунки, объединив эти многогранники по группам симметрии. ГРУППА I.
В этой группе только один равноугольно полуправильный многогранник—усечённый тетраэдр, принадлежащий тетраэдральной группе.
Рисунок 1
ГРУППА II
Рисунок 2
В этой труппе, октаэдральной группе симметрии, пять равноугольно полуправильных многогранников: усечённый куб ( рисунок 2),
Рисунок 3 Рисунок 4 усечённый октаэдр (рисунокЗ), ромбокубооктаэдр ( рисунок4), кубооктаэдр ( рисунок 5 ), усечённый кубооктаэдр ( рисунок 6 ).
Рисунок 5
Рисунок 6
ГРУППА III
В этой группе пять многогранников. Все они обладают икосаэдральной симметрией. Это: усечённый икосаэдр (рисунок 7 ), ромбоикосододекаэдр (ри-сунок8), усечённый икосододекаэдр (рисунок 9 ),усечённый додекаэдр ( рису
Рисунки скошенного ромбокубооктаэдра, плосконосого куба и плосконосого додэкаэдра приведены в 1-й главе.
Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и научных семинарах:
• Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11.09.1998;
• Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11.09.2000;
• 4-я Международная конференция по геометрии и топологии, 1014.09.2001, Черкассы;
• Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11.09.2002;
• Материалы международной конференции по дискретной геометрии и её приложениям, посвященная 70-летиюС.С.Рышкова. Москва,2001.-С.88-89.
• Труды участников международной школы- семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова.-- Абрау-Дюрсо,5-11 сент.2002г. -Ростов-на-Дону,2002.-С.77-78.
• 5-я Международная конференция по геометрии и топологии, 1014.09.2003, Черкассы;
• Международная конференция памяти Г.Вороного по аналитической теории чисел и пространственным мозаикам.—Киев, Институт математики НАН Украины, 2003.—€.46.
• 8-й Международный семинар «дискретная математика и её приложения», Москва, 2-6.02.2004.
• семинар кафедры дискретной математики Московского государственного университета (2002г.), руководитель профессор С.С.Рышков.
• геометрический семинар ПОМИ РАН (2004), руководитель профессор Ю.Д.Бураго.
• семинар кафедры геометрии Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена, руководитель профессор В.М.Нежинский.
• семинар кафедры геометрии Ростовского государственного университета (2003г.), руководитель профессор С.Б.Климентов.
Автор приносит глубокую благодарность всем участникам перечисленных семинаров за ценные советы и полезное обсуждение работы.
1.Емеличев В.А. ,Ковалёв М. М , Кравцов М .А. Многогранники. Гра-фы.Оптимизация.-М.:Наука. 1981. 342С
2. Лейхтвейс К. Выпуклые множества.- М.: Наука. 1985. 336С.
3. Математическая энциклопедия. Том 4. Статья «Многогранники», с708-711,- М:. 1977.
4. Coxeter H.S.M. Regular Polytopes. -N.Y., Dover Publ., 1973.
5. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. Гостехтеориздат,-М.: 1956.
6. Hessel J.F.C. Kristallometrie oder Kristallonomie und Kristallographie.-Leipzig, 1897, 192 s.
7. Bruckner M. Vielecke und Vielflache.-Leipzig, 1900, 227 s. und XII Taf.
8. Шубников A.B., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве.М.:Наука,1972.
9. Минковский Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках. -Успехи мат. наук, 1936, вып.2, с.55-71.
10. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом».-М.,: Наука. 1973. 440 С.15.3аморзаев A.M., Палистрант АФ. Теория дискретных групп симметрии. Кишинёв. Изд-во КГУ. 1977.
11. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.-М.:Мир.1989. 336 С.
12. Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.-М.: Наука.1965.
13. Веннинджер М. Модели много1ранников.-М.:Наука.1974. 236 С.
14. Аминов Л.К. Теория симметрии. -М.: Институт компьютерных иссле-дований.2002. 192 С.
15. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. -М.: Наука. 1966. 648 С.21 .Гильберт Д., Кон-Фоссен,С. Наглядная геометрия.-М.: Наука. 1981. 344 С.
16. Долбилин Н.П. Правильные системы.-М.: Знание. 1978. 64 С.
17. Делоне Б.Н., Долбилин Н.П., Штогрин М.И., Галиулин Р.В.Локальный критерий правильности системы точек. Докл. АН СССР, сер. Математика, 1976, т. 227, №1.
18. Субботин В.И. Вполне симметричные многогранники// Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тез. докл.,-Абрау-Дюрсо, 5-11 сент. 1998г.-Ростов-на-Дону, .-С73-74.
19. Субботин В.И. Некоторые замечания о симметрии выпуклых многогранников.// Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвя-щённая 90-летию Н.В.Ефимова. Тез. докл.,-Абрау-Дюрсо, 5-11 сент. 2000г.-Ростов-на-Дону.-С.67-68.
20. Субботин В.И. О вполне симметричных многогранниках.// Материалы международной конференции по дискретной геометрии и её приложениям.-Москва,2001.- С.88-89.
21. Субботин В.И. Многогранники, вполне симметричные относительно вращения.//4-я Международная конференция по геометрии и топологии.- Черкассы,-2001 .-С.98-99.
22. Субботин В.И. Перечисление многогранников, сильно симметричных относительно вращения. //Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.-Абрау-Дюрсо,5-11 сент. 2002 г.Ростов-на-Дону,2002.-С.77-78.
23. Субботин В.И. О свойствах осей симметрии выпуклых многогранни-ков.//5-я Международная конференция по геометрии и топологии.-Черкассы,-2003.- С.136.
24. Субботин В.И. О двух классах симметричных многогранников.- Известия вузов. Сев.-Кавк. Регион. Естеств. Науки.-2003.-№3,С.17-19.31 .Субботин В.И. Сильно симметричные многогранники,- Труды научных семинаров ЛОМИ, т.299. С.-Петербург, 2003. С. 314-325.
25. Субботин В.И. Многогранники, сильно симметричные относительно вращения. Рук. деп. в ВИНИТИ, 29.01. 2004.№168.
26. Subbotin V.I. Characterizatins of polyhedra partitioning a space. -Voronoi conference on analytic number theory and spatial tessellations.—Kyiv, September 22—28, 2003. p.46.
27. Галиулин P.B. Кристаллографическая геометрия.-М.:Наука.1984. 136C.
28. Берже M. Геометрия.-М.:Мир.т.1 и 2.1984.
29. Grunbaum В. Convex Polytopes. Lnd.--N.-Y.—Sidney. Interscience Publ.,1967.
30. Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч.2.-М.:Учпедгиз.1958.
31. Johnson N.W. Convex polyhedra with regular faces. Canad.J.Math., v. 18 ,№ 1 ,p. 169-200,(1966).
32. Богомолов С.А. Изогоны и изоэдры. -Учён. Зап. Ленинградск. Пед. Инта, 28,-Л.: 1939.
33. Ашкинузе В.Г. О числе полуправильных многогранников. -Математическое просвещение. Вып. 1,М.:1957.С.107-118.
34. Дорфман А.Г. Ромбокубооктаэдры и взаимные им многогранники. Математическое просвещение. Вып.6. М.:1961.
35. Ефремович В.А. Правильные многогранники. -Успехи математических наук, т 2, вып. 5, 1947.
36. Ефремович В.А., Ильяшенко Ю.С. Правильные многогранники в Еп .Вестник МГУ, сер. Математика, 5.- М. 1962.
37. Пряхин Ю.А. О выпуклых многогранниках с правильными гранями. -Украинский геометрический сборник, 14, 1973, с. 83-88.
38. Гурин А.М.О выпуклых многогранниках с равноугольными вершинами. Украинский геометрический сборник,23, 1980, с.34-40.
39. Гурин А.М Реализация сетей выпуклых многогранников с равноугольными вершинами.- Украинский геометрический сборник,30, 1987, с.22-36.
40. Фёдоров Е.С. Начала учения о фигурах.- С-Петербург, 1885.
41. Харазишвили А.Б. Вполне симметричные конфигурации.-Сообщ. АН Груз.ССР, 85, № 2, С. 297-300. 1977.
42. Coxeter H.S.M. и др. Uniform polyhedra.-Philos. trans, roy. Soc., London, 246, №916 , ser. A, 401-450.1954.
43. Сопов С.П. О количестве однородных многогранников с неотрицательной эйлеровой характеристикой.- Украинский геометрический сборник, 3 ,1966, с. 123-129.
44. Сопов С.П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников.- Украинский геометрический сборник,8, 1970, с.139-156
45. Иванов Б.А. Многогранники с гранями, сложенными из правильных многоугольников.- Украинский геометрический сборник, 10, 1971, с. 20-34.
46. Милка А.Д. Почти правильные многогранники. -Тр. Ин-та мат. СО АН СССР, 1987,9, с. 136-141.
47. Стрингхем В.И. Правильные фигуры в n-мерном пространстве. -Успехи математических наук, вып. X, 1944, с.22-33.
48. Грек А.С. Правильные многогранники на замкнутой поверхности с эйлеровой характеристикой %= -3 .-Известия высших учебных заведений, сер. Математика, 1966, 6 ,с. 50-53.
49. Русанов A.M., Заморзаев A.M. Правильные многогранники , описанные около сферы и орисферы в пространстве Лобачевского. -Учён . зап. Киши-нёвск. Ун-та, 30, -Кишинёв, 1962.
50. Мордухай-Болтовской Д.Д. О полуправильных телах. -Уч. Зап.НИИ матем. и физ. Ун-та Ростова-на-Дону, 4, 1940.
51. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел.-М.:Наука. 1971.
52. Boole Stott, A. Geometrical deduction of semiregular from regular poly-topes and space fillings. (Dutch) Ams. Ak. Versl. 19, 3-8.(Wer der Acad. Amsterdam (1), 11.1.(1910)).
53. Фейеш Тот, Л. Расположения на плоскости, на сфере и в пространст-ве.-М.: Физматгиз, 1958. 364 С.
