Нестандартные приложения алгебры соответствий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Пв оа

а са ;.....

На правах рукописи

МОЛЧАНОВ Владимир Александрович

НЕСТАНДАРТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АЛГЕБРЫ СООТВЕТСТВИЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 1994

РОССИЙСКАЯ АКАДЕНИЯ 11АУ1С СИБИРСКОЕ ОТЦЕЛЕНИЕ ' ИНСТИТУТ ИАТЕ'АТШШ

На правам руколлсп

КОЛ'ШЮВ Владимир Александрович

НЕСТАНДАРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АЛГЕБРЫ СООТВЕТСТВИЯ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации па соискание ученой степени доктора физико-к¿тематических наук

Новосибирск - 1994

XJaöora шаюлизна на кафедре математического анализа Саратовского ордена ГХочота 1'осударствешгого педагогического ипотнтута км. К.А.Фодшха

Официальные ошгопакты:

доктор физико-математичоских паук профессор Капов в а В.Г. доктор физико-математических наук, профессор Михалев A.B. доктор физъко-математических паук, профессор Палвтин Е.А.

Ведущая организация: Уральский государственный университет, г-Екатеринбург

Защита состоится 1994 г. в 1530

час. на заседании специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ипститута математики СО РАН Автореферат разослан

Сё^Л М 1994 г.

Учокнй секретарь • )

специализированного совета ''

кацдпдат физшсо математических наук ь' У С.Т.Федоряев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория соответствий ("бинарных отношений) возникла в одно время с математической логикой: ее основные понятия были изложены Э.Юредером в "Алгебре логики" [481 и А.Уайтхедом, Б.Расселом в "Principa liathematica" [521 па основе исследований О.Да Моргана, Ч.Пироа и Г.Фреге. Позже Ж.Риге в заметке [461 разработал элемопты алгебры соответствий с целью упрощения изложения ряда математический дисциплин и широкого приложения теория соответствий в алгебре, геометрии, топологии и т.д. В наиболее систематизированном виде алгебраический аппарат теории соответствий описан В.Вагнером в работе (¿1.

Теория соответствий имеет широкие и разнообразные приложения в алгебре и математической логике. Общепризнано [111, что реализация абстрактных математических структур алгебрами соответствий является убедительным способом оправдания объектов изучения в такой аксиоматической науке, как алгебра.

Нччиняя с исследований Э.Галуэ , одним из главных направлений приложения теории соответствий в алгебре является обобщенная теория Галуа, посвященная изучению математических объектов путем исследования некоторых производных алгебр зсответствий, специальным образом связанных с исходными объектами. Здесь уже сложился традиционный круг вопросов: фшщипиалыгое значение рмзет задача о том, насколько хорошо фоизводнэя алгебра соответствий определяет исходный объект; >атем исследуется, какими свойствами характеризуется ¡роизво.цная алгебра соответствий; наконец, с помощью .¡¿лученных результатов изучаются взаимосвязи свойств сходного объекта и его производной алгебры соответствий, акие вопросы для групп автоморфизмог алгебраических систем, олугрупп эндоморфизмов графов, колец линейных преобразований екторных пространств и других алгебр преобразований весьма спешно решались Б.И.ГТлоткэтшм (151, Л.Глускшшм (41,(51 и р. Гораздо более сложной проблемой исследования производных игебр соответствий является вопрос о их конкретной зрчктеристигсо (37J, т.о. вопрос об описаниии таких условий.

при которых алгебра соответствий равна произв' >юй алгебре научаемого объекта. Примером такой задачи является известная проблема Д.Кенига 1381 о группе автоморфизмов графа. В эток направлении отдельные продвижения были сделаны М.Краснероы [391, В.Йоцсоном [371 и Е.С.Ляшшым [121 для полугрупп эвдоморфизмов ролятииов, групп автоморфизмов \ ниверсалышх алгебр и полугрупп частичных эндоморфизмов релятивов. Рстественно ожидать, что успешное решение такой • проблемы в конкретной ситуации даст эффективный инструмент для систематического изучения всех перечисленных выше вопросов обобщенной теории Галуа. Именно такого рода исследования проводятся в первой части диссертации для полугрупп частичных эндоморфизмов графов.

Не меиее важной задачей обобщенной теории Галуа является изучение алгмбр отображений одного математического объекга в другой, поскольку такие алгебры взаимосвязаны с парой исходных, объектов. В лтой ситуации у же непригодна самая распространенная операция алгебры соответствий - композиция -и приходите!! использовать меиее известные действия над отображениями. Г этом направлении автором проведэн ряд исследований алгебр отображений с операцией рестриктивного умножения [21. Полученнье результаты приведены в обзоре [591. Отметим, что один из этих результатов 1621 дает решение проблемы Л.М.Г'лускина, Л.А.Скорнякова из сборника [ 191 об определяемое™ проективных плоскостей полугруппами их эндоморфизмов.

Новые возможности для приложений алгибрн соответствий появились в связи с открытием А.Робинсоном нестандартного анализа. В настоящее время под нестандартным анализом понимается техника изучения математических структур с помощью их расширений, которые получаются добавлением к структурам новых идеальных объектов , пе ьзменяющих элементарных свойств рассматриваемых структур. Идея такого подхода весьма определенно обрисовалась около 300 лот назад при создании Лейбницем ма' ематического анализа в форме исчисления бесконечно малых. Но только в 60-х годах натзго столетия эта выдающаяся идея ■ юоь обрела силу и получила признание после логического обоснования ее методами теории моделей в работах А.Робинсона [471, У. А. Яг.,Люксембурга 1-12}, М.Махоьера и

Дж.Хиршфельда [43]. Ирине-чательно, что разработанная А.Робинсоном и его последователями техника построения нестандартных моделей позволила не только обосновать исчисление■бесконечно малых, но и получить новые результаты в самых разнообразных научных дисц"плинах: наряду с многочисленными внематпческими областями (экономика, физика и т.д.) приложения нестандартного анализа C1J.C23] охватывают обширные математические разделы от дифференциглыюго и интегрального исчислений до топологии [351,136],[447 , теории дифференциальных уравнений (81,[9J, теории моры [30,41,] и т.д.

Особый интерес представляет использование методов нестандартного анализа в тех разделах математики (например, в топологической алгебре ч функциональном анализе [281,[291), где в принципиальных вопросах рассматриваемые сходимости не являются топологиями и для их исследования в стандартной математике необходимо использовать язык фильтров или направленностей. Начало таким приложениям нестандартного анализа к топологии было положено в работах К.Пуритца [44] и Р.Германа [36]. Существенные технические трудности встречаются и при изучении теоретико-модельных проблем топологической алгебры, начатом А.И.Мальцевым в работах [13],[14] и продолженном У.Тейлором [51], И.В.Протасовым [18] и другими. Теоретико-модельные методы топологической алгебры нашли широкое применение в теории псевдомпогообразий конечных алгебраических систем, начало которой было положено С.Г>Я.ленбвргом и М.Шутценберже в работах [31]-[33] и которая з.'тем плодотворно развивалась в исследованиях Дж.Рейтермана [45], С.Аша [24], Б.Банашевского [25], Дж.Альмейды (22] и многих других специалистов в теории полугрупп, рациональных языков и автоматов. В наг-оящей диссертации • проводятся исследования важных вопросов теории сходимости, топологической алгебрь и теории псевдомногообразий методами нестандартного анализа и алгебры соответствий.

Цель работы. Найти ' конкретпуго характеристику полугруппы частичных эндоморфизмов графа и посредством ее изучить взаимосвязь свойств таких полугрупп и соответствующих графов. С помощью принципов нестандартного анализа разработать унифицированный подход к основным топологическим

понятиям с целью последовательного построения общей теории нестандартной топологии и дальнейшего изучения методами нестандартного анализа и алгебры соответствий таких принципиально важных вопросов топологической алгебры, как представление абстрактных топологических алгебраических систем конкретными топологическими алгебрами отношений, решение задачи о существовании универсального функтора представлений категорий в категориях топологических алгебраических систем, описание структурной характеристи л многообразий таких систем, алгебраическое построение пополнений и нестандартных оболочек для равномерных алгебраических систем, нестандартная характеристика псевдомногсобразий конечных алгебраических систем и применение ее в . теории полугрупп, рациональных языков и автоматов.

Общая методика исследования. Ключевую роль в нестандартных приложениях алгебры соответствий к теории графов играет решение задачи о конкретной характеристике полугруппы частичных эндоморфизмов графа, которое позволяет всесторонне исследовать проблематику •обобщенной теории Галуа для. таких алгебр соответствий. Важными инструментами решения поставленных задач общей теории сходимости и топологической алгебры являются разработанные автором техника повторных нестандартных расширений и методы нестандартной алгебры соответствий. Эта методика позволяет в М£. тематических построениях и доказательствах использовать одновременно два нестандартных расширения и эффективно применять аппарат алгебры соответствий. Нестандартный подход к теории псевдомногообразий конечных алгебраических систем позволяет сводить проблематику этой теории к вопросам теории нестандартных многообразий и эффективно проводить исследования в этом направлении логико-алгебраит,ескими методами нестандартного анализа.

Научная новизна. Принципиально новым является разработанный автором оригинальный подход к исследованию традиционной проблематика обобщенной теории Галуа на основе решения задачи о конкретной характеристике производной алгебры соответствий. Нсвым является и

Ь

¡зработанный автором нестандартный подход к топологии на нове техники . повторных нестандартных "расширений, ■зволяющий широко и эффективно использовать в ■дологической алгебре метода нестандартного анализа и ории соответствий. Принципиально новым является зработанный автором нестандартный подход к теории евдомногообразий конечных алгебраических систем, вволяющий эффективно решать задачи этой теории методами стандартного анализа. Новыми являются все основные зультаты диссертации и значительная часть аппарата следования.

Основные результаты диссертации:

1. Получена конкретная характеристика полугруппы стичных эндоморфизмов графа и ряд важных результатов о аимосвязи абстрактных и элементарных свойств графов и их лугрупп частичных эндоморфизмов.

2. Получена нестандартная классификация пространств одимости и их отображений.

3- Описаны нестандартные сходимости в пространствах обращений и получены услови.1 топологичности, регулярности и мпактности таких сходимостей.

4. Решена принципиальная задача о представлении эобразованиями тяг. их. топологических алгебр, как гтологические кольцоиды и др.

5- Получены условия существования универсального актора представлений категорий в категориях топологических гебраических систем.

б. Для топологических алгебраических систем

зработавы элементы теории моделей нестандартной логики УИП найдена структурная характеристика многообразий таких зтем.

7• Получены условия существования пополнений зномарных алгебраических систем и описаны их нестандартные элочки.

Ь. Решена принципиальная задача о характеризации евдомногообразий конечных алгебраических систем :тандартяыми тождествами, проанализирована взаимосвязь эго подхода с классической теорией псевдомногообразий и ;ледопйны решетки поепдомногообрпзий конечных алгебр.

Практическая и теорети ческа ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты решают ряд принципиальных вопросов взаимосвязи графов и их полугрупп частичных эндоморфизмов, также дают весьма эффективный инструмент для дальнвйшег разностороннего исследования этой проилзматики

Разработанные методы нестандартной топологии не тальк позволяют успешно исследовать ва-дше вопросы теори сходимости и топологической алгебры, но и открывают широки перспективы для их применения в самих разнообразны математических дисциплинах. Нестандартные конструкци компактификаций, пополнений, нестандартные оболочек нестандартные сходимости отображений могут эффективн использоваться в тсдологичэской алгебре, функционально анализе, теории дифференциальных уравнений и других раздела мате; ютики. Нестандартный подход к теории псевдомногообрази конечных алгебраь эокшг систем позволяет сводит проблематику этой теории к вопросам теории нестандартны многообразий и эффективно проводить исследования ь это направлении лсшко-алгебраическими методами нестпндартног анализа. Полученные результаты показывают рад существенны преимуществ нестандартного подхода к изучению алгебраически систем со структурами сходимости. Во-первых, такой подхо, позволяет естественно и просто переносить осповополагающи понятия теории алгебраических систем ня топологически алгебраические систем. Во-вторых, категорный характе нестандартных определений сходимостей и гх важнейших свойст: дает возможность легко доказывать теоремы на языке теори категории с помотью техники алгебры соответствий. I в-третьих, унифицированность нестандартного подхода схо.нимостям позволяет обобщать важные результа1 топологической алгебры Еа алгебраические системы произвольными структурами сходимости. Полученные результат] в частности, показывают, что в некоторых -георотико-модельш исследованиях топологических алгебраических пист* принципиальную роль играет свойство регул чрности сходимосте] а не их топол' 'ичность. Ото еще раз подтверждает (вперв) отмеченный 1С.|Сярат(?одори в работе [271 и особо выделенный

Н

грудах конференции [281) вывод о . .том, что , во многих лэте чатическкх исследованиях псевдотопологии оказываются 5олее уместными, чем топологии.

Результаты диссертации могут быть использованы и уже зтчасти используются при чтении спецкурсов и подготовке учебных пособий и монографий. Примером таких приложений теляются учебные пособия автора [711,[771.

А проб ация. Результаты диссертации были гродставлены на УГ ("Тбилиси, 1982), YII ("Новосибирск, 1904), 'III ("Москва, 1986) и X ("Алма-Ата, 1990) Всесоюзных конференциях по математической логике, на XYI ("Ленинград, 1981;, XYII ("Минск, 1983; и XYIII ("Кишинев, 1905) Всесоюзных ¡лгебраических конференциях, на Международных конференциях ю алгебре памяти А.И.Мальцева ("Новосибирск, 198°; и памяти и И. Ширшова ("Барнаул, 1991), на Бакинской Международной 'опологической конференции ("Баку, 1987), на международной (ссекской конференции по полугруппам преобразований ("Англия,

993), на международной Йоркской конференции по полугруппам, [зыкам и автоматам ("Англия, 1993), на 16-ой международной ¡егедской алгебраической конференции ("Венгрия, 1993), на юждународной конференции по дискретной математике памяти [.Калужяияа ( Германия, 1994), на международной конференции :о теории полугрупп и ее чриложениям памяти А.Клиффорда США, 1994), на XIY ("Новгород, 1989J и XYI ("Нижний Новгород, 991) Всесоюзных школа.' по теории операторов в ункциональаых пространствах, на III Всесоюзном симпозиума о теории полугруп ("Свердловск, 1988), на Республиканской коле АН IJCCP по топологической алгебре ("Тирасполь, 1988;, а Всесоюзных семинарах по нестандартному анализу ("Нижний овгород, 1989 и Саратов, 198' 1991), на математически?" тениях памяти М.Я.Суслина ("Саратов, 1989 и •'991}. По езультатвм работы автор выступал с докладами на заседаниях аучных семинаров в Москве ("семинар МГУ по математической огике в 1989 а семинар МГУ по алгебре в 1992), в овосибирскв С семинар "Алгебра и логика" НГУ и ИМ СО РАН в

994), в Санкт-Петербурге ("расширенный ' цикл заседаний аучно-методологического семинара ЛОМИ в 1990 и Герценовскив гения ЛГЙУ в 19Р4, 1986, 1990), в Екатеринбурге ("расширенный

цикл заседаний городского алгебраического семинара в 1986), Саратове (городской алгебраический семинар в 1980-1094J Результаты диссертации изложены в работах автора (531-С87].

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 306 страницах и состоит из введения, четырех глав и заключения. Библиография состоит из 137 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе изучаются полугруппы частичных эндоморфизмов графов. Здесь в результате решения задачи с конкретной характеристике таких полугрупп получен метод, который позволяет исследовать самые разнообразные вопросы о взаимосвязи свойств графов й их полугрупп частичных эндоморфизмов.

В разделе 1.1 приводятся необходимые определения и доказывается ряд вспомогательных результатов. Пусть Б -полугруппа частичных преобразований множества К , |Х| >1. Канонические отношения полугруппы Е определяются по формулам:

г - U С р : !/> е Е ) ; • ß - U I %>г: е Ё } ; г -1

Л " ( х е X : -X с ß ( х , х ) ); В - i \ А ;

Р - 1в и С ( х. у ) е хг \ 1% : х(х) х х(у) с р( х . у) 1 :

-1-1 -1 R - Хд и С (х.у) е X2 \ : ( х(т) х г(у)) \ с ß(x,y)>;

Q' - Хг \ с Р и R ) ; Q - г ß(Q') v R) и ( ß(Q') \ Р) .

Символом Еэ обозначается подполугруппа Е ,

состоящая из всех таких $ е Е , для которых I йот р I <3.

В разделе 1.2 доказывается основной результат первой главы.

ТЕОРЕМА. Пусть Е - полугруппа частичных преобразований множества X , I К I > 1 . Тогда Е в том и только том случае будет полугруппой частичных эндоморфизмов некоторого графа G с множеством вершин X , если Е является левым идеализат'ором своей подполугруппы Еэ в симметрической полугруппе всех частичных преобразований множества X и канонические отношения Е удовлетворяют условиям:

йеВллеХ * е Е ;

^г^ (ии)еЕл(ии]еЕ (х'у) е Р иош (и'Ю е Н :

для , е т , ( Ъ - 1 .г ) и

Гзг(.у,; е <? , г ( = '.2.3 ; .

В теореме 1.2.2 показано, как граф С восстанавливается по своей полугруппе частичных эндоморфизмов Е(0 .

В разделе 1.3 конкретная характеристике полугруппы частичных эндоморфизмов графа используется при изучении взаимосвязи абстрактных и элементарных свойств таких полугрупп с аналогичными свойствами соответствующих графов. Важным инструментом этих исследований является относительно элементарная интерпретация Г7] класса графов в классе полугрупп, которая эффективно определяется в п. 1.3.3 с помощью канотшчэских отношений полугрупп частичных эндоморфизмов графов.

Графы С и С называются Е-эквивалентными, если Е( в ) " ВС С ) . В теореме 1.3.1 описывается строение классов В-эквивялентных графов.

ТЕОРЕМА 1.3-4. Пусть О и (Г - графы и Е = Е (в) , В' = В (О') . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если полугруппы В, Е' элементарно эквивалентны, то граф О элементарно эквивалентен графу , который Е-эквивалентен С;

г; полугруппы В, В' изоморфны в том и только том случае, если щаф <7 изоморфен графу , который Е-эквивалентен С'.

• В предложении 1.3.7 исследуется вопрос об

относительной • аксиоматизируемости классов полугрупп' частичных эндоморфизмов графов. А-пгабраичоское описание полугруппы частичных эндоморфизмов графя на япыке плотных вложений (61 приводится в предложении 1.3.9.

В' теореме 1-3-11 исследуется взаимосвязь известных

проблем разрешимости [71 элементарных те01 ■ классов графов и ьлементарнш теорий классов полугрупп.

В разделе 1.3 отмечается, что полученные результаты можно использовать при изучении полугрупп эндоморфизмов графов: в работе [661 приводится критерий оцределяемости рефлексивного графа его полугруппой эндоморфизмов, кз которого следуют результаты Л.Ц.Глускина (51, Ю.М.Важенина [33, Б.В.Попова [173 и Л.М.Поповой [163 .

В разделе 1.4 кратко обсуждаются возможное^ обобщения исследований полугрупп частичных эндоморфизмов графов на полугруппы . частичных гомоморфизмов графов и гиперграфов. Операцией таких полугрупп . явлг.ется рестриктивное умножение (21, которое для отображений <р , V определяется по формуле <> ► ю = ¥> • „ . В качестве

а о

примера полученных в этом направлении результатов приводится теорема о рестриктивных полугруппах частичных гомоморфизмов проективных плоскостей, из которой следует решение задачи Л.М.Глускина, Л.Д.Скорнякова [193 об определяемости

проективных плоскостей полугруппами их эндоморфизмов.

Глава 2 посвящена разработке унифицированного подхода к изучению топологических понятий методами нестандартного анелиза. В разделах 2.1-2.2 описываются главные инструменты таких исследований - техника повторных нестандартных расширений и методы нестандартной алгебры соответствий.

Для простоты рассуждений основные множества всех рассматриваемых пространств сходимости считаются подмножествами множества атомов Б стандартного

теоретико-множественного универсума I/ = УСЯ; , для которого определяются повторнье нестандартные расширения: .универсум и вкладывается в нестандартный универсум *Ц с помощью отображения » (ио описанному в [11 принципу; и аналогично стандартный теоретико-множественный универсум = У(*5) с множеством атомов "в вкладывается в

нестандартный универсум *13 с помощью отображения • В результате каждый фильтр ? над множеством А с э

получает три нестандартные интерпретации в виде монад С693 : - П : X е $ } - монада в расширении ,

- модада в расширении *А и - Г**Х : X е У } - - монада в расширении **А .

Соответствующие монады ультрафильтров разбивают расширения . *А и на классы эквивалентностей _ед и е* «

Подмножество X расипгоешы *А называется монадой, если X. ~ для некоторого фильтра У над множеством А , и насыщенным, если е^СЯ,) = X .

В разделе 2-3 описываются теоретико-множественные формулы, которые по аналогии с известными принципами нестандартного анализа (принцип стандартности множества и принцип внутренности множества [11 ) определяют насыщенные подмножества нестандартных расширений.

Свойства универсумов О и описываются с

помощью формальных языков теории множеств £ и Формула а = а ( х ) языка Ж^ с одной свободной

переменной х называется насыщенной по х , если для

любого г е и множество 2 = { а е *2 : а ( а ) У

* а .

насыщенно в расширении 2

ЛЕММА 2.3.2. Пусть формула р = р (х.хл.....х ) языка

' 1 и

£ с свободными переменными х, х ,,.., х не имеет

1 1 п

предметных символов. Бели для монад ¡^ произвольных фильтров е V ( I - .. . ,п ) формула

V - V ( х , II ,.,.,№ ) равносильна формуле

1 п . . - '

( 0. А е 5 )...(() А 6 5 ; (I Г I , *А.....*А )

1.1 1 II I 1 п

II 1 п п п

для некоторых значений Я1 е ( V, 3 } (" й ~ 1.....п. ) ,

к

то формула у = V (х) насыщенна по переменной х .

Этот результат дает эффективный метод построения насыщенных подмножеств нестандартных расширений самых разнообразных множеств из универсума " 1Г , что играет принципиальную . роль при определении и исследовании нестандартных сходймостей в пространствах подмножеств, пространствах отображений и т.д.

В разделе 2.4 на основе принципов нестандартного анализа излагается унифицированный подход к сходимости а приводятся нестандартные характеристики важных топологических понятий.

В общем случае структура сходимости на множестве А .

рассматривается в С34} как удовлетворяющее специальным условиям соответствие т между элементами множества А и фильтрами над А . При нестандартном подходе сходимость х определяется соответствием вида а с А х * А со значениями

а С а ) = U ( |if : ( а ) е х ) ( а е. А ) . Аналогично сходимость т может быть определена соответствием вида с А х - Основными результатами

этого раздела являются следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2.4.7. Предтопология а на множестве А ' в

том и только том случав будет топологией, если • • ♦

а • а: с с • а А

ТЕОРЕМА 2.4.13. Сходимость а на множестве А регулярна в том и только том случае, если

* о • е* • . в = а°.

В последующих разделах работы нестандартный подход к топологии используется при исследовании топологических алгебраических .систем и, в частности, при кзученин топологических алгебр отношений. Алгебра отношений ( в терминологии А.Тарского [50} ) представляет собой множество отношений Ф между влементами некоторой алгебраической системы Я , на котором рассматриваются определимые средствами УИП операции и отношения. Элементы Ф также'

описываются средствами УИЦ. Как известно (111, алгебры отношений играют принципиальную роль в алгебраических исследованиях. Методы нестандартной опологии позволяют следующим образом распространить этот цодход на топологические алгебры;-

(1) описать средствами нестандартного Формального язык свойства отображений топологических алгебраических систем ;

(2) определелить средствами нестандартного формальног " языка ' сходимости на множествах соответствий и получит

конкретные топологические алгебры отношений;

(3) представить известные топологические алгебры в форме абстракций соответствующих конкретных топологических алгебр отношений.

В разделах 2.5-2.9 на основе нестандартного подхода к топологии изучаются сходимости в пространствах отображений. В разделе 2.5 доказывается, что многие важные свойстве отображени.1 топологических пространств выражаются простым! теоретико-множественными формулами.

В разделе 2.6 на основе полученной классификацш отображений канонически определяются и изучаютс!

нестандартные сходимости в пространствах отображений.

В частности, свойство непрерывности отображения р пространства сходимости {Х,р) в пространство сходимости (Y,a) выражается формулой *<р • р с о » ip и

непрерывная сходимость у на множестве 5 всех

с с

непрерывных отображений X в У определяется по

формуле:.

( f , ft ) £ г '*■* Л • t> с а ' 9 (peEF^.fte ). Показано, что непрерывная сходимость является самой слабой сходимостью на множестве , при которой непрерывно

отображение вычисления [201 и что относительно таков сходимости непрерывна операция композиции.

В разделе 2.6 получен также нестандартный критерий такого важного топологического понятия, как равностепенная непрерывность подмножеств пространств отображений Г207. j

ТЕОРЕМА 2.6.6. Подмножество Р множества отображензй пространства сходимости (Х,р) в равномерное пространство ГУ.6 > в том и только том случае равностепенно непрерывно,

* ж , .

если для любого ре Р выполняется <р « Р с • i

В разделах 2.7,2,8 приводятся условия, при которых нестандартно определенные сходимости отображений являются топологиями, хаусдорфовыми или регулярными сходимостями.

В разделе 2.9 приводг.™ся условия околостандартяости алиментов в пространствах отображений и по аналогии с известной теоремой Арцела-Асколи [201 описываются компактные подмножества таких пространств.

. В общем виде нестандартный подход к сходимости! в пространствах отображений изложен в работе автора [771,

В главе 3 средствами нестандартного анализе « нестандартной алгебры соответствий исследуется ряд важвда? вопросов топологической алгебры В разделе 3.1 описывается широкий класс топологических алгебр отношений и рещаетоя задача о представлении такими алгебрами тодаяот*чеекк5 полугрупп, псевдотопологических кольцоидов и др,

В работе рассматриваются алгебраические системы

®

произвольной сигнатуры Q = Г f О + 0 ) ,

Р,П

п * О

где Q л Q ( п - 0,1,2,...) - множества

F,n Р , п

символов rz-местных операций и п-местяых предикатов,

соответственно. Предполагается, что на сигнатуре Я

фиксировала некоторая сходимость 5 . ПсевдотопологлческоЯ aj • браической й-системой с непрорывной сигнатурой (ПАС называется алгебраическая О-система Я - (A.Q.a) , в основном множестве которой задана сходимость а

согласованная с алгебраической структурой Я-систеыы И сходимостью б на сигнатуре й по формулам:

6(f)( of oj ..... яГ а J ; с а( f(а......а ) ) .

1 П 2 1)

а(а,) X ... х а(а ) п ( и Ь(Р) ) * 0 (а......а UP ,

1 П I Л

где а .....а е А , " f - символ n-местной операции i

1 п

Р - символ n-мостного предиката.

ЛЕММА 3.1.4. Пусть (Х.р) - пространство сходимости, Я - (A.Q.a) - ПАС и Ч&Л) - ( о) - множеств«

всех непрерывных отображений Л в Я с поточечн«

определенными операциями и предикатами сигнатуры i! i

непрерывной сходимостью 1^ . Тогда система ССХ.Я

является ПАС.

Топологический изоморфизм абстрактной ПАС 3

подходящую ПАС непрерывных преобразований называет! представлением системы В непрерывными преобразованиями, тооремах 3.1.8 и 3-1.13 доказано, что псевдотоцологическ полугруппы и псевдотопологические кольцоиды н.с. представи непрерывными преобразованиями.

В разделе 3-2 исследуется вопрос о существован универсального функтора для представлений категорий категориях ПАС.

Частичный гомоморфизм V ПАС Я .в ПАС В называет сильным, если для любого n-местного предиката Р сигнату О образ (>n(PgJ совпадает с ограничением предиката на образе р( А ) . Важным инструментом исследований главе 3 является следующая

ТЕОРЕМА 3.2.6. Если 'р - непрерывный сильный гомоморфк

ПАС Я - (А,Я,а) в ПАС В - (В,0,ß) , то произведе! ~ -1 ,

р - ß > р есть продолжение отображения р

непрерывного сильного частичного гомоморфизма алгебраичеы Й-СлСТемы *Я с S-топологией [47} в ПАС В

фактор подсистемы dorn р с *Я 'по ядру ker

топологически изоморфен замкнутой подсистеме ПАС В .

Пусть St - категория множеств с отображениями, 91 -произвольная подчиненная St категория, ■ Я - регулярная категория ПАС с непрерывными гомоморфизмами. Считаем, что Я содержит одноэлементную ПАС и замкнута относительно формирования топологических изоморфизмов, прямых произведений и замкнутых подсистем. Пусть G - такое представление В

в Я , что для i е Ob II и ЯеОЬК множество

в(Х, JI) постоит из некоторых допустимых отображений X в Я , 6 , резидуально и для любого р е G(X,%) и

топологически порожденной множеством <е(Х.) подсистемы В с Я отображение g = Гв ° р принадлежит G ( К , В ) .

ТЕОРЕМА 3.2.7. Представление G обладает

универсальным функтором.

Эта теорема обобщает известный результат о существовании универсального функтора для представлений категорий в категориях алгебр СЮ]. С помощью ее в разделе 3-3 исследуется вопрос о компактификациях пространств сходимости и ПАС.

ТЕОРЕМА 3-3.3. Хаусдорфово пространство сходимости (Х.р) , в том и только том случае имеет максимальную «эмпактификацию (в классе пространств сходимости; , если множество расходящихся в нем ультрафильтров конечно.

В теореме 3-3.6 приводится нестандартная конструкция сомпактификаций произвольного топологического пространства.

ТЕОРЕМА 3.3.8. Для любой ПАС Я регулярные

сомнактификации системы 3 являются фактор-системами

алгебраической Q-системы с S-топологией.

В разделе 3-4 с целью изучения теоретико-модельных ¡войств классов регулярных хаусдорфовых ПАС вводится Спо гаалогии с языком УИП) формальный язык Zx , термами которого 1ВЛяются элементы нестандартного расширения алгебры

1-слов С101 W = ИГ ( X J над алфавитом X . Из таких ■ермов обычным образом по индукции строятся формулы языка : - Термы и формулы, содержащие только стандартные симвапы, [взываются стандартными. Тождества без сигнатурных символов [взываются топологическими. Формулы языка йнтерпрети-

■уются в ПАС И с помощью отображения в : X -» И , юторое с помощью принципа переноса С1 ] продолжается до омоморфизма *в : *Г/ -« *Н . в результата отображение

О = а ° 0 интерпретирует термы языка 2£в системе Я .

В леммах 3-4-6-3-4.9 исследуется устойчивость тождеств относительно перехода к непрерывным гомоморфным образам, замкнутым подсистемам и прямым произведениям.

С целью описенния свойств ПАС рассматриваются формулы языков 5Сх для всевозможных кардиналов X . Нестандартная теория ПАС Я определяется как класс всех истинных на системе И нестандартных предложений. Для произвольного класса нестандартных формул Т через Mod (X) обозначается класс всех ПАС, на которых истинны все формулы из I . Класс моделей для класса нестандартных ("стандартных или топологических; тождеств называется нестандартным (соответственно, стандартным или топологическим;

многообразием.

В разделе 3.5 приводится струкутрная характеристика многообразий, обобщающая известную теорему Биркгофа [261.

ТЕОРЕМА. Для мультипликативно замкнутого классе ПАС R справедливы следующие утверждения:

а; класс Я в том и только том случае является нестандартным многообразием, если, он замкнут относительно ф армирования замкнутых подсистем и непрерывных гомоморфных образов;

б; класс Я в том и только том случае является стандартным многообразием, если он замкнут относительно формирования подсистем и гомоморфных образов;

в; класс Я в том и только том случае является топологическим многообразием, если он замкнут относительно формирования замкнутых подсистем и непрерывных оьразов.

В заг лючительных разделах главы 3 методами нестандартного анализа исследуются равномерные

алгебраические системы с непрерывной сигнатурой СРАС) . Как известно [23], равномерность на множестве А нестандартно определяется мояадой-эквивалентностью 5 на расширении * А.

Пусть 11 » f -Л , 9 , Е ) - произвольная РАС .

Эквивалентность £ называется устойчивой на подмножестве * ?

Z с А, если ее ограничение = £ n Z~ удовлетворяет

условиям U 8(Р) ; с *р ; и

S(f) ( Е ( х ) ..... ЕС х ) ) с $ ( *f(xt.....х } ) ,

¿1 ¿n Z. т г» -

гдо х.....х е Z , f - символ л-местной операции и

I л

Р - символ . «-местного предиката сигнатуры Q .

ТЕОРЕМА 3.6.9. . РАС Я имеет пополнение, если ее равномерность £ устойчива на объединении всех монад фильтров Коши Z равномерного пространства ( А , 5 )

В разделе 3-7 описывается конструкция нестандартной оболочки РАС, которая играет важную роль в многочисленных приложениях нестандартного апализа.

В главе 4 методы нестандартной топологической алгебры используются при исследовании открытого Эйленбергом • [321 соответствия между псевдоьшогообразиями конечных алгебр и потоками языков. В соответствии с терминологией [401 класс конечных алгебраических й-систем называется

ясевдомногообразием, если он замкнут относительно формирования подсистем, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. Псевдомногообразия конечных алгебр

исследовались в работах [241, [251, [311-1331, [451 с помощью фильтров конгрузнций, потоков языков, направ.пенностей тождеств и т.п. Взаимосвязь между этими подходами к теории асевдомногообразий проанализировал Д.Альмейда в статье [22].

С целью построения нестандартной теории классов конечных (дискретных) алгебраических О-систем рассматривается мгасаниый выше нестандартный формальный язык Zx пад счетным алфавитом X - (х^.х^,...) . Будем говорить, что класс сонечных алгебраических Q-систем R аксиоматизируем

слагсом нестандартных тождеств £ языка Z^ , если Я

зостоит из тох, и только тех, конечных алгебраических Ьсистем, в которых истинны все тождества из £ . Основной результат раздела 4-1 дает нестандартную характеристику юевдомногообразий, аналогичную известной теорема Бйркгофё '261 о многообразиях.

ТЕОРЕМА 4 • 1 * Путь сигнатура 0 содержит. конечное шсло предикатных символов. Тогда класс конечных О-систем Я ) том и только том случае является псевдомногоо(Гразием« если ш аксиоматизируем некоторым классом нестандартных тождеств.

В разделе 4.2 исследуется взаимосвязь между ^стандартным подходом к псевдомногообразиям и классической •еоряей псевдонаогообраэий, базирующейся на понятии неявной

операции [451.

ЛЕЖА 4.2.5- Пусть Я есть псевдомногообразио конечны; ал1 раических П-систем а я - пеявная п-арная операция Н1 классе Я . " Тогда существует такой нестандартный тер! X - t('з:.....х ) языка % с символоми зг.....х е X

1 л X 1 л

что условие .....п„) " .....а„) выполняете)

для всех 21 е Я и а , ...,а е А .

Таким образом, все неявные операции определяйте: нестандартными термами и, значит, проблемы теорш псевдомногообразий сводятся к задачам теории нестандартны: многообразий. Несколько примеров таких приложена нестандартного анализа приводится в леммах 4.2.8, 4.2.9.

В разделе 4.3 изучаются нестандартные конгруэнции н расширении Я произвольной О-алгебры 51 - • (А,

Нестандартной конгруэнцией на алгебре *51 называете;

отношение эквивалентности е . гиперконечного индекса н множестве *А , которое устойчиво относительно внутренни трансляций алгебры и обладает следующим свойство

нормальности; для любых х.у £ * А , удовлетворяющих услови: х $ у (с) , найдется такое подошожестго 1с А , чт х е *А . у й *А и с *Х . Символом ЫСоп *

обозначается упорядоченное включением множество все нестандартных конгруэнций на алгебре *И . Для £ с

символом о обозначается синтаксическая конгруэнци

С401 алгебры И и для е 6 ЫСоп "5! символом 8

обозначается множество всех таких £ с А , что с(%Ъ) с X

ТЕОРЕМА 4.3-5. Для произвольной О-алгебры а • 2

отношения € с А следующие условия эквивалентны:

1) е является нестандартной конгруэнцией ;

2) е является монадой направленного семейств конгруэнций конечного индекса на й-алгебре а ;

3) е является монадой семейства конгруэнци конечного индекса на О-алгебре 51 ;

4) е имеет гиперконечный индекс и выполняете

равенство с - {) { *а : I е 1£ } .

В теореме 4,3-7 показано, что для е

система 5! — (А.О.с) является нестандартной интерпретацие предпроконечдой равномерной О-елгебру [211. В разделе 4.

исследуется также соответствие между нестандартными

g

конгруэнциями алгебры Я и инициальными равномерностями ня множество А для семейств гомоморфизмов алгебры 51 в конечные О-алгебры.

В разделе 4.4 приводится нестандартное описание решетки Рэ f 0 ] всех псевдомногообразий конечных Q-алгебр. Пусть

IV - есть алгебра О-слов над счетным алфавитом X

Конгруэнция с алгебры называется инвариантной,

если с е NCon и для любых i(> е End W и x.xj е *А

* ш

выполняется х m у <е) •» щ'х) я 4>(у) (с) . Символом ICon *» обозначается упорядоченное включением множество всех инвариантных конгруэнций алгебры

ТЕОРЕМА 4.4.2. Упорядоченные множества Рз[0] и

ICon *W являются двойственно изоморфными полными решетками.

В разделе 4-4 устанавливается также взаимосвязь решетки Ра [Я] с решеткой равномерноотей на алгебра IV и решеткой (пред)проконечных гомоморфных образов алгебры ( W J . В

заключение раздела 4.4 исследуется решетка Рв(я1 всех

подпеевдомяогообразий некоторого псевдомногообразия конечных Й-алгебр й .

ТЕОРЕМА 4.4-5. Если алгебры псевдомногообразия К

имеют перестановочные конгруэнции, то решетка Ра[В]

двойственно изоморфна некоторой подрешетке решетки эквивалентиостой Eq №

В разделе 4-5 разрп'атиоается техника построения

*

инвариантных нестандартных конгруэнций на расширении W а помощью потоков нестандартных конгруэнций и потоков рациональных языков f401 .

Пусть Я е N , X - (х.....х ) и \Ч " W (К ) -

п 1 n n O n

алгебра Q-слов над конечным алфавитом К

* "

Последовательность е е NCon IV f n f Я ) называется

n f»

потоком конгруэнций, если для любого гомоморфизма

V : W ч W и любых элементов х, и е *)У выполняется

" " * » "

х Я у (£ ) ■» tp(x) В о(Ч) (с ) . В теоремах 4-5-4, 4-5-5

n и

устанавливается взаимно однозначное соответствие между анвариантными конгрувнцинми алгебры *W , потоками

вднгруэяций и потоками языков. Эти результаты и теорема 4-4-2 обосновывают, в частности, известное соответствие Эйлепберга г321 между нсевдомногообрп'лиями и потоками рациональных языков.

В заключение раздела 4.5 рассматриваются приложения разработанных нестандартны .г методов к теории конечных полугрупп. Далее й есть полугрупловая сигнатура.

ТЕОРЕМА. Последовательность е => I и ( *1У \ 17 ,)2

п V п п

( п е Н ) является потоком конгруэпций, который определяет, с одной стороны, нсевдомяогообразие конечных нильпотентных полугрупп и, с другсЧ стороны, поток языков, состоящий из

конечных подмножеств Ь с Ж и их дополнений £ - № \ £ .

п п

Для п е N символом 5 обозначается конгруэнция

* " *

полугруппы 17 , состоящая из пар слов множества 17 ,

п п

имеющих одинаковые конечные подслова.

ТЕОРЕМА. Последовательность (6п) является потоком конгруэнцпй, который определяет, с одпой стороны, псевдомногообразие конечных З-тривиальных полугрупп J [40] и, с другой стороны, поток кусочно тестируемых языков [40]..

Из этого результата следует, в частности, известная теорема Саймона [491 о взаимосвязи между конечными ^-тривиальными полугруппами и кусочно тестируемыми языками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990.

2. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных отображений// Теория полугрупп и ее приложения. Вып. 1. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1965. С. 3-178.

Э- Важенин Ю.М. Об элементарной определяемости и элементарной характеризуемое™ классов рефлексивных графов// Изв. вузов. Математика. 1972. N 7. С. 3-114. Глускин Л.Н. Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23-С. 841-870.

5. Глускин Л.М. Полугруппы изотоняых преобразований// Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, N 5. С. 157-162.

6. Глускин Л.М. О плотных вложениях// Мат. сборник. 1963- Т. 61, N 2. С. 175-206.

7. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные

модели. М.:Наука,1980.

8. Звонкин А.К., Шубин М.А. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, N 2. С. 77-127.

9. Картье П. Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений и нестандартный анализ // Успехи мат. наук. 1984- Т. 39, N 2. С. 57-76.

10. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

11. Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 уч. года. М.: Наука, 197412. Ляшш Е.С. Полугруппы эндоморфизмов // Научный

симпозиум по сбщей алгебре: Тез. докл. Тарту: Изд-no Тарт. гос. ун-та, 1966. С.75-89-

13. Мальцев А.И. К общей теории алгебраических систем// Мат. сборник. 1954. Т. 35. С. 3-20.

14« Мальцев A.M. Свободные топологические алгебры// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21. С. 171-198.

15- Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М«: Наука, 1966.

16. Попова Л.М. Полугруппы частичных эндоморфизмов множеств с отношениями // Сиб. мат. журнал. 1962. Т. 4, N 2. С. 309-317.

17- Попов Б.В. Полугруппы эндоморфизмов рефлексивных графов // Ученые записки ЛГПИ. Т. 302. Ленинград: Изд-во Ленин, гос. под. ин-та, 1967. С. 116-12318. Протасов И.В. Многообразия топологических алгебр// Сиб. мат. журп. 1984. Т. 25, N 5. С. 125L134-

19. Свердловская тетрадь: Сб. нерешенных задач по теория полугрупп. Срердловск: Изд-во Урал. гос. ун-та, 1979.

20. Энгелышнг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

21. Almeida J. Residually finite cingruences and quasi-regular subsets in uniform algebras// Portugaliae Matliematica. 1989. V. 46, N 3- P. 313-328.

22. Almeida J. On pseudovarieties, varieties of languages, filters of congruences, pseudoidentities and related topics// Algebra Universalis. 1990. V. 27. P. 333-350.

23. Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability Theory. Proc. nf International Simpoaium on

Non-Standard Analysis / Ed. W.A.J.Luxemburg. New York: Holt-Rinehart and Winston, 1969.

24- AUi O.J. Pseudovarieties, generalized varieties. and airiiij.ary described classes// J. Algebra. 1085. V. 92. P. 104-115.

25- Banaschewski B. The Birkhoff Theorem ior varieties of finite algebras// Algebra Universalis. 1983. V. 17. P. 360-368.

26. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras// Proc. Cambridge Phil. Soc. 1935. V. 31. P. 433-454.

27- Caratheodory C,. Stetige Konvergenz und normalt Familien von Funktionen// Math. Ann. 1929- Bd 101. S. 515-53328. Convergence structures in topology and analysis// Math. Forschungsints. Oberwolfach. 1987. V. 54. P. 1-26.

29. Cook C.H., Fischer H.R. On Equicontinuity am Continuous Convergence// Math. Ann. 1967. Bd 173, N 4.' S. 290-306.

30. Cutland N.J. "Nonstandard measure theory and its application!)// Bull. London. Hath. Soc. 1983. V.. 15- P 525-58931. Eilenberg S. Automata, Languages and Machines, Vol

A. Academic Press. New York, 1974.

32. Eilenberg S. Automata, Languages and Machines, Vol

B. Academic Press. Hew York, 1976.

33- Eilenberg S., Schiitzenberger K.P. On pseudovarietiei of monoids// Advances in Math. 1976. V. 19. N 3. P. 413-448.

34. Fischer H.R. Limesraume// Math. Ann. 1959. Bd 137 S. 269-303.

35. Goodyear P. Double enlargement of topologica spaces// Z. math. Log. und Gründl. Math. 1984. Bd 30, N 5. S 389-392.

36. Herremann R.A. A nonstandard , approach t pseudotopologic compactifications// Z. Math. Lo'ic Grundlag Vath. 1980. V. 26. N 4. P. 361-384.

37. Jonsson B. Topics in Universal Algebra. Varulerbil University, 1969-1970.

38. Konig D. Theorie der endlichen und unendliche Graphen.- Leipzig: Acad. Verlag M.B.H., 1936.

39- Krasnor M. Endotheorie de Galois abstraita// Semin. Dubriel, Dubriel-Jacotin, Lesieur et Piaot. Fac. sol. Paris. 1968-1969(1970). V. 22, N 1. S. 6/01-6/19.

40■ Lallement G. Semigroups and combinatorial applications. Wiley-Interrcience Publication. John Wiley & Sotis. Hew York, Chichester, Brisbane. Toronto, 1979. '

. 41. Loeb P.A. Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory// Trans. Amer. Hath. Soc. 1975. V. 211. P. 113-122.

42. Luxemburg W.A.J. Non-Standard Analysis: Lectures on Robinson's Theory of Infinitesimals and Infinitely' Large Numbers & Pasadena, 1962.

43. Machover M., Hirschfeld J. Lectures on Non-Standard Analysis. Berlin: Springer, 19b6 (LMM, N 94).

44. Puritz C. Quaaimonad spaces; a nonstandard approach to convergence// Proc. London Hath. Soc. 1976. V. 32. P. 230-250.

45. Reiterraan J. The Birkhoff Theorem for -finite algebras// Algebra Universalis. 1982. V. 14. P. 1-10.

46. Riguet J. Relations binaires, fermetures, correspondences de Galois// Bull. §oc. Math. Prance. 1948. V. 76. S.114-155.

47. Robinson A. Won-Standard Analiais. North-Holland, Amsterdam, 1966.

48. Schroder E. Vorl<i3iuigen über die Algebra der Logik III Algebra und Logik der Relative. I. Leipzig, Teubner, 1985.

49. Simon I. Piecewise testable events// in: Automata Theory and Formal Languages, 2nd G. I. Conference, Lecture Notes in Computer Science 33, Springer-Verlag. 1975 P. 214-322.

50. Tarski A. Contributions to the theory of models. III.// Proc. Koninkl. Nsderl. Acad. Wetensch. Itjj5. A58: 1. P. 56-64.

51. Taylor W. Varieties of topological algebras// <5. \U3tral. Math. Soc. 1977. V. 23A, H2. P. 207-241.

52. Whitehead A.N. and Russell B. Principia Mathamatica [.Cambridge University I'reas, 1910.

Работы автор; по томе диссертации

53.Молчанов В.Л. Полугруппы раскрасок графов// Изв. вузов. Мат. 1982. N 3. С. 26-33.

54. Основы нестандартного анализа: Метод, разработка// Сост. В.А. Молчанов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. лед. ия-та, 1982.

55. Нестандартные модели апализа: Метод, разработка/ Сост. В.А. Молчанов, Т.П. Молчанова. Саратов: Изд-во Сарат. гос. пед. ин-та, 1982.

56. Молчанов В.А. Полные гомоморфизмы полугрупп раскрасок графов// Теория полугрупп и ее приложения. Полиэдрические полугруппы преобразований. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1983- С. 63-7257. Молчанов В.А. Полугруппы раскрасок гиперграфов//

Ассоциативные действия. Ленинград: Изд-во Ленин, гос. пед. йн-та, 1983. С. 82-9358. Молчанов В.А. Расширения рестриктивных полугрупп// Ассоциативные действия. Ленинград: Изд-во Ленин, гос. пед. ин-та, 1983- С. 94-105.

59- Molchanov V.A. Semigroups of mappings on graphs// Semigroup Forum. 1983- V. 27. P.155-199.

60. Молчанов В.A. 0 компактации топологических алгебр// 13-я Всесоню, алгебр, конф.: Тезисы сообщ. Ч. 2. Кишинев, 1985- С. 4361. Молчанов'В.А. Рестриктивные полугруппы гомоморфизмов гиперграфоп// Теория полугрупп и ее приложения. Вып. 5. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1985. С. 50-67.

62. Молчанов В.А. Как проективные плоскости определяются своими полугруппами// Теория полугрупп и ее приложения. Полугруппы и связанные с ними алгебраические системы. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1984. С. 42-50.

63- Введение в исчисление бесконечно малых: Метод, разработка/ Сост. В.А. Молчанов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. пед. ин-та, 1986.

64- Молчанов Г,А. 0 приложениях теории бинарных отношений в топологии// Теория полугрупп и ое приложения. Вып. 8. Саратов: Изд-во Сорат- гос. ун-та, 1987- С. 46-59.

65- Molchanov V.A. Concrete characterization of partial

endora rphlsm semigroups of graphs// Acta Sci. Hath. 1987- V. 51. Г. 349-363.

66. Молчанов В.А. Эвдокл'ассы рефлексивных графов// 3-й Всес.симпоз. по теории полугрупп: Тезисы сообщ. Свердловск, 1988. С. 59.

67. Молчанов В.А. Регулярные пространства сходимости// Теория полугрупп и ее приложения. Вып. 9- Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1988. С. 41-49.

68. Одномерный математический анализ в нестандартном изложении: Метод, разработка/ Сост. В.А. Молчанов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. под. ин-та, 1989.

69. Молчанов В.А. О применении повторных нестандартных расширений в топологии// Сиб. мат. журнал. 1989. Т. 30, N 3. С. 64-71.

70. Молчанов В.А. О классификации отображений пространств сходимости// Нестандартный анализ. 3-й Всес. семинар. Саратов: Изд-во Сарат. гос. пед. пн-та, 1990. С. 30-35.

71. Молчанов В.А. Введение в нестандартный анализ// Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. гос. пед. кн-та,

1990.

72. Молчанов В.А. Нестандартные оболочки топологических алгебр// Ыеждупар. конф. по алгебре: Тезисы докл. по . алгебраической геометрии и применениям алгебры к геометрии, анализу и теоретической физике. Барнаул, 1991. С. 67.

73. Молчанов В.А. Представление топологических полугрупп// 2-ые мат. чтения памяти М.Я.Сусллна: Тезисы докл. С)ратов: Изд-во Сарат. гос. пед. ин-та, 1991. С. 54-55.

74. Молчанов В.А. 0 нестандартном подходе к теории двойственности// 16-я Всес- школа по теории операторов в функц, пр-вах: Тезисы докл- Иижн. Новгород, 1991. С. 156.

75- Ыолчапов В.А. Нестандартные расаирения топологических пространств// Теория полугрупп и ее приложопия. Вып. 10. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1991. С. 53 61.

76. Молчанов В.А. Нестандартные (лногообразия исевдотопологичееких алгебраических систем// Скб.мат. жур.ч.

1991. Т. Н 3- С. .104 -1 12.

77- Молчанов П. Л. Нестандартные) сходимости в

пространствах: отображений/ Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. гос. под. ид-та, 1991.

7Я. .Молчанов В.А. Нестандартные сходимости в npocTpjncTBox отображений// Сиб. Мат. я:урн. 1992. Т. 33, N 6. С. 141-15379- Молчанов В.А. Нестандартные пополнения топологических алгебраических систем// Изв. вуз. Мат. 1993* N 2. С. 69-71.

80. Молчанов В.А. Непрерывные сходимости отображений// Изв. вуз. Мат. 1993. N 3. С. 59-67.

81. Молчанов В.А. О представлениях топологических алгебр преобразованиями// Успехи мат. паук. 1993. Т. 48. N 3 (291). С. 195-196.

82. Molchanov V.A. Topological relation algebras// Summaries oi talks, 16tli Algebraic Conferences in Szeged "Lattices, ordered sots and universal algebra". Szeged.

1993. P. 14.

83- Molchanov V-A. Applications of nonstandard analysis to topological semigroups of transformations// Summaries of talks, Essex conference on transformation semigroups and their applications. Essex. 1993. P. 3-4.

34. Molchanov V.A. Partial endomorphisra semigroups of graphs // Summaries of talks, Algebraic Conference on Algebra and Combinatorics in memory of L.A.Kaluznin. Dresden.

1994. P. 12.

85- Molchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties and it applications to the theory of finite semigroups- // Summaries of talkB, Conference on Semigroup Theory and its Applications in memory of Alfred H.Clifford. New Orleans. 1994. P. 2. '

86. Molchanov V.A. Nonstandard approach to pseudovarieties // Summaries of talks, Conference on Semigroups, Automata and Languages. Porto. 1994. P. 63-65.

87. Molchanov V.A. Nonstandard approach pseudovarieties of finite semigroups // Summaries of ^iaikgr; Colloquium on Semigroups. Szeged. 1994.'P. 25-

Подписано к печати 5-07-94 г. Ф^}даТ*г бумаг;' 60x84 1/16 Бумага писчая. Уч.-иад.л. 1.8 л. Тираж 100. Заказ5-Н