Обратные задачи для системы уравнений Максвелла в стационарном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

§ IЛ.Одномерная обратная задача по определению неизвестного коэффициента.

§ 1.2.Определение коэффициентов эллиптического уравнения.

§ 1.3.Многомерная обратная задача в линейном приближении.

ГЛАВА II. ОДНОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА.

§ 2.1.Обратные задачи в изотропной среде.

§ 2.2.Обратные задачи при специальной анизотропии.

§ 2.3.Линеаризованная обратная задача в гиротропной среде. III

ГЛАВА III. ТРЕХМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.

§ 3.1.Общая схема линеаризации.

Задачи определения уравнений математической физики по информации о решениях этих уравнений принято называть обратными задачами. Если искомое дифференциальное уравнение является линейным, то обратная задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов этого уравнения. Особенностью обратных задач математической физики является то, что они часто не являются корректно поставленными в смысле классического определения корректности. Тем не менее большая прикладная важность ставит их в ряд актуальных проблем современной математики.

В работах [48, 52] А.Н.Тихонов дал определение корректности, отличное от классического. История развития теории и методов решения некорректных задач с подробной библиографией изложены в монографиях А.Н.Тихонова, В.Я.Арсенина ¡53] , М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П.Шишатского ¡23], В.К.Иванова, В.В.Васина, В.П.Тананы [15] , В.А.Морозова [27] .

Изложению теории обратных задач, а также различных методов их решения посвящены ряд статьей и монографий [1-5, 7 - 9, II - 26, 28, 29, 32 - 50, 54 - 58] . Наиболее полно современное состояние теории обратных задач отражено в работах М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П.Штатского [23] , В.Г.Романова ¡37 - 41] , М.М.Лаврентьева, К.Г.Резницкая, В.Г.Яхно [21] , Ю.Е.Аниконова [2] , А.Л.Бухгейма £б] , И.М. Гельфанда, Б.М.Левитана [ю] , М.И.Иманалиева [1б] , В.А.

Марченко [25] , Л.П.Нижника [28] , Л.Д.Фаддеева [55] , где имеется также обширная библиография по этому вопросу.

Одной из важнейших в прикладном отношении задач геофизики является задача электромагнитной разведки на переменном токе, которая в математическом отношении является задачей определения коэффициентов электропроводности & , диэлектрической б и магнитной уч. проницаемостей среды из системы уравнений Максвелла в стационарном случае (то есть при фиксированной частоте колебаний по времени): где Е - (Ех Н = (Нх» Ну» Нг ) * - напряженности электрического и магнитного полей, ¡ст - плотность внешнего электрического тока. При этом * означает транспонирование вектора, то есть, Е - (ЕхЕу > Е^^)* означает, что £ -вектор-столбец составленный из компонент Ех , > Ег • В работах А.Н.Тихонова и его учеников

49 - 51, 54] исследованы некоторые одномерные постановки обратной задачи для системы уравнений (0.1) в изотропной немагнитной среде а в общем случае обратная задача для стационарной системы уравнений Максвелла в неоднородных средах практически не была изучена.

В монографии В.Г.Романова, С.И.Кабанихина, Т.П.Пухначе-вой [45] изучены ряд постановок обратных задач для нестационарной системы уравнений Максвелла в неоднородных средах. Различным постановкам обратных задач для систем уравнений Максвелла посвящены работы [3, II, 12, 18, 24, 32, 35, 39 -42, 44, 46, 47].

Перейдем к обзору результатов, изложенных в диссертации.

В настоящей диссертации изучается ряд постановок обратных задач для стационарной системы уравнений Максвелла (0.1). Среда считается неоднородной и анизотропной. На самом деле, на анизотропию и неоднородность среды при изучении обратных задач накладываются довольно серьезные ограничения, которые мы отметим ниже. Б качестве основной модели принята широко распространенная в геофизике модель среды, составленной из двух полупространств (с границей Ъ- 0 ), причем <о , С , гладко меняются в каждом из полупространств, но могут иметь конечный скачок при переходе из одного полупространства в другое. Общая постановка изучаемых обратных задач заключается в следующем: параметры среды считаются известными в полупространстве 2 < О и неизвестными в полупространстве 2 О их требуется найти по наблюдениям за компонентами электромагнитного поля на границе раздела двух сред. Для упрощения исследования всюду принято, что параметры среды в полупространстве ¿^0 положительно определенные, заданные постоянные матрицы, а плотность внешнего тока имеет вид ст = Щх-Ъо, -ч-у0> г), где ,у-уо, - дельта-функция Дирака сосредоточенная в точке (хо,Цо,0); (¡¡>¡1* 1з )* ~ числовой вектор. Диссертация состоит из введения и трёх глав. Основной моделью среды при изучении обратных задач для стационарной системы уравнений Максвелла (0.1) является модель слоистой среды, то есть случай, когда С , £ , ^л зависят только от переменной £ при специальной анизотропии

1. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики. - В сб.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М., 1967, с. 9-84.

2. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978, - 118 с.

3. Белинский С.П. Об одной постановке обратной задачи для системы уравнений Максвелла. В кн.: Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 44-55.

4. Благовещенский A.C., Кабанихин С.И. Об обратной задаче теории распространения волн в полубесконечном нерегул^ном волноводе: Препринт № 224. Новосибирск, 1980. - 14 с.В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

5. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. - 207 с.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 528 с.

7. Волков В.М. Обратные задачи для квазилинейных уравнений параболического типа: Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук (01.01.02)./ Науч. рук. В.Г.Романов./- Новосибирск: НГУ, 1982. 118 с.

8. Волкова Е.А. Обратные задачи для системы уравнений теории упругости анизотропных сред: Автореф.дис. на соиск. учен.степени канд. физ.-мат. наук (01.01.02). Новосибирск: Щ СО АН СССР, 1983. - 10 с.

9. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, сер. матем., 1951, № 15, с. 309-360.

10. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, - 416 с.

11. Гусаров А.Л. К вопросу о единственности решения обратной задачи магнитотеллурического зондирования для двумерных сред. В сб.: Математические модели задач геофизики. М., 1981, с. 31-60.

12. Дмитриев В.И., Ильинский A.C., Сосников А.Г. Развитие математических методов исследования прямых и обратных задач электродинамики. Успехи мат. наук, 1976, т. 31, № 6, с. 123 - 141.

13. Запреев A.C. Теорема единственности решения одной плоской обратной задачи для уравнения Гельмгольца. В кн.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976, с. 46-63.

14. Запреев A.C., Цецохо В.А. Обратная задача для уравнений Гельмгольца: Препринт № 22. Новосибирск, 1976. - 18 с. - В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

15. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука,1978.-206с.

16. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения. Фрунзе: Илим, 1977, - 347 с.

17. Искендеров А.Д. Обратная задача об определении коэффициентов квазилинейного эллиптического уравнения. Изв. АНАз. ССР, сер. физ.-техн. и мат. наук, 1978, № 2, с.80-85.

18. Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Об определении тензора проводимости в анизотропной трехмерно-неоднородной среде. В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 218 222.

19. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1962. - 92 с.

20. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. - 71 с.

21. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. - 88 с.

22. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. - 68 с.

23. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

24. Левченко Е.П., Хруслов Е.Я. Одномерные обратные задачи магнитотеллурического зондирования: Препринт № 10-84. -Харьков, 1984. 43 с. - В надзаг.: АН Укр.ССР.

25. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.-Киев: Наукова думка, 1978. 332 с.

26. Меграбов А.Г. Обратные задачи для эллиптического уравнения в полосе, связанные с задачей рассеяния плоских волн на неоднородных средах. В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, вып. 4, с. 103 - 115.

27. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: МГУ, 1974. - 360 с.

28. Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния. -Киев: Наукова Думка, 1973. 182 с.

29. Нижник Л.П. Многомерные обратные задачи рассеяния. В сб.:"Некорректные задачи математической физики и анализа. Семинар, Новосибирск, 19-24 июля, 1982". Новосибирск: Наука, 1984, с. 101 - 106.

30. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1973. - 608 с.

31. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. - 272 с.

32. Прийменко В.И. 0 единственности определения тензора проводимости в одномерно-неоднородной среде. В кн.: Вопросы корректности обратных задач математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 120 - 130.

33. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса). Мат. заметки, 1973, т. 14, № 5, с. 777 - 789.

34. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. ОБратные задачи для эволюционных полулинейных уравнений. Докл. АН СССР, 1984, т. 277, № 4, с. 799 - 802.

35. Пухначева Т.П. Обратная задача для уравнений Максвелла в среде с анизотропной проводимостью. Диф. уравнения, 1982, т. 18, № 10, с. 1780 - 1787.

36. Резницкая К. Г. Связь между решениями задачи Коши для уравнений различных типов и обратные задачи. В кн.: Матемаматические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, вып. 5, ч. I, с. 55 - 62.

37. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. - 163 с.

38. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973,-252 с.

39. Романов В. Г. Обратные задачи распространения сейсмическихи электромагнитных волн. В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. III - 118.

40. Романов В.Г. О единственности определения диэлектрической и магнитной проницаемостей в анизотропной одномерно-неоднородной среде. Диф. уравнения, 1984, т. 20, № 2, с. 325 - 332.

41. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. - 264 с.

42. Романов В.Г., Бидайбеков Е.Ы. К задаче магнитотеллурическо-го зондирования для наклонно падающих плоских волн: Препринт № 427. Новосибирск, 1983. - 33 с. - В надзаг.:ВЦ СО АН СССР.

43. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Бобоев К. Обратная задача для ^Ру, приближения кинетического уравнения переноса. - Докл. АН СССР, т. 276, № 2, 1984, с. 296 - 299.

44. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. К теории обратных задач электродинамики. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 5, с. 1070 - 1073.

45. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. Новосибирск: Щ СО АН СССР, 1984. - 202 с.

46. Романов В.Г., Яхно В.Г. Задача определения тензора диэлектрической проницаемости в системе Максвелла. В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. - Новосибирск: Наука, 1984, с. 123 - 128.

47. Романов В.Г., Савин М.Г., Белинский С.П. К электродинамике неоднородных анизотропных сред. Изв. АН СССР, сер. фиэ. земли, 1981, № 2.

48. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195 - 198.

49. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки. Докл. АН СССР, 1949, т. 69, № 6, с. 797 - 800.

50. Тихонов А.Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры. Докл. АН СССР, 1950, т.73, № 2, с. 295 - 297.

51. Тихонов А.Н. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1965, т. 5, № 3, с. 545 - 548.

52. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методов регул*физации. Докл. АН СССР, 1963, т. 151, № 3, с.501 504.

53. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 223 с.

54. Тихонов А.Н., Шахсуваров Д.Н. Методы расчета электромагнитных полей, возбуждаемых переменным током в слоистых средах. Изв. АН СССР, сер. геофизика, 1956, № 3, с. 245251.

55. Фадцеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. В кн.: Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ,с. 93 180. (Итоги науки и техники; т. 3).

56. Чередниченко В.Г. 0 разрешимости внутренней обратной задачи логарифмического потенциала. Диф. уравнения, 1974, т. 10, № I, с. 153 - 158.

57. Чередниченко В. Г. Построение регул визирующего оператора для продолжения гравитационного поля: Труды Всесоюз. школы-семинара, Ноорус, 1982г. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 266 - 267.

58. Яхно В.Г. Линеаризованная многомерная обратная задача Лэмба. Докл. АН СССР, 1984, т. 276, № 2, с. 314 - 318.

59. Мамаюсупов О.Ш. Об одной обратной задаче для эллиптического уравнения. В кн.: Исследования по интегро-дифферен-циальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1980, с. 335 - 341.

60. Мамаюсупов О.Ш. Обратная задача для системы уравнений Максвелла при фиксированной частоте. В кн.: Методы решения обратных задач. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 85 - 94.

61. Мамаюсупов О.Ш. Обратная задача для системы уравнений Максвелла при фиксированных частотах. В.кн.: Исследования по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1984, вып. № 17, с. 281 - 284.