Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

48583/4

ДЕМЧЕНКО Максим Николаевич

ДИНАМИЧЕСКАЯ ТРЕХМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ МАКСВЕЛЛА

специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 ОКТ 2011

Санкт-Петербург 2011

4858374

Работа выполнена в лаборатории математических проблем геофизики Учреждения Российской академии наук Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

БЕЛИШЕВ Михаил Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ Александр Сергеевич,

доктор физико-математических наук, доцент ПЕСТОВ Леонид Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится "/^ " ИО^^Л- 2011 года в / & часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " О} " О^г 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

А.Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тема диссертации - трехмерная обратная задача электродинамики в оптимальной по времени постановке. Задача представляет интерес с теоретической точки зрения, а также имеет ряд важных приложений в геоэлектрике, зондировании атмосферы (см. [1]).

Цель работы. В работе рассматривается система Максвелла на компактном ориентированном гладком римановом 3-многообразии & со связным краем (символом П обозначается внутренняя часть многообразия). Пусть е,ц- гладкие положительные в П функции, представляющие диэлектрическую и магнитную проницаемости среды. Начально-краевая задача

е4 = £-1го1 Н, Ъ,1 = е, (х, ¡)бПх (О, Г),

е и=о = Ь |г=0 = О,

ев !аах[о,т) = / (1)

(Т > 0, (-)е - касательная составляющая вектора на сЮ) описывает электрическое и магнитное поля (соответственно, е(х, и к(х, £)) в П, индуцированные граничным управлением /, которое представляет собой касательное поле на Г, зависящее от времени £ 6 (О,Т). При достаточно гладком / задача имеет единственное классическое решение

{¿Л'}-

Целью работы является решение обратной задачи для системы Максвелла в двух постановках. В первой постановке предполагается, что

и требуется восстановить риманово многообразие О с точностью до изометрии. Данными обратной задачи служит оператор реакции

ЯТ : / -и х И1 |бПх[о,г! (V - единичная внутренняя нормаль к границе), описывающий отклик системы на различные управления. Поскольку электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью, речь идет о восстановлении некоторого подмножества О, зависящего от времени граничных измерений (величина Т

в задаче (1)). Простые кинематические соображения приводят к тому, что оператор реакции П2Т определяется приграничным слоем толщины Т. В силу этого естественная (оптимальная по времени) постановка обратной задачи состоит в восстановлении этого слоя по Н2Т.

Во второй постановке обратной задачи Q будет заданной областью в R3, а е, ¡1 - неизвестными функциями. Как и в первом случае, по граничным измерениям можно восстановить коэффициенты в приграничном слое оптической толщины Т, при этом оптическая метрика определяется скоростью распространения электромагнитных волн:

с = {ецГ112. (2)

Методика исследований. Для решения обратной задачи электродинамики в работе используется ВС-метод (Boundary Control Method; М.И. Белишев, 1986 г.), основанный на связи обратных задач с теорией граничного управления. Используются результаты геометрии, асимптотических методов в теории распространения волн, теории управления.

В применении ВС-метода первым шагом является построение модели исследуемой динамической системы по данным обратной задачи. Эта модель включает в себя гильбертово пространство, заменяющее пространство состояний системы, и действующий в этом пространстве оператор, который в нашем случае является унитарно эквивалентным оператору Максвелла.

В случае обратной задачи в области используется следующая схема:

1. По данным обратной задачи строится модель динамической системы Максвелла.

2. Строятся изображения волн, описывающие внутренние состояния системы.

3. По изображениям волн определяется скорость, а затем раздельно коэффициенты е, (г.

В обратной задаче на многообразии с помощью модели строится метрическое пространство, изометричное (недоступному в обратной задаче) исходному риманову многообразию. Точками этого пространства служат пары (7,т), где т <Е R+, 7 - точка края многообразия. Построенное пространство снабжается структурой гладкого многообразия с помощью функции расстояния: локальными координатами точки служат расстояния до трех фиксированных точек.

Научная новизна. Представленные в работе результаты получены в 2008-2011 годах; все они являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейшем для численного решения динамической обратной задачи для системы Максвелла.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции (руководитель В.М. Бабич) в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В.Л. Стеклова, на городском семинаре по математической физике (руководитель H.H. Уральцева), а также на конференциях: Дни дифракции (ПОМИ РАН, 2009), Международная конференция по спектральной теории (ММИ им. Эйлера, 2010), Дифференциальные уравнения и смежные вопросы (МГУ, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [6]-[8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы, приложения и списка литературы. Объем диссертации - 82 страницы. Список литературы содержит 26 наименований.

Основное содержание диссертации

Введение содержит формулировку главного результата, обзор литературы по теме диссертации, а также общее описание ВС-метода, используемого в работе для решения обратной задачи.

Глава 1. Геометрия и функциональные пространства. В главе 1 даны вводные сведения. Символом О, обозначается компактное ориентированном гладкое риманово 3-многообразие с краем, Q - внутренняя часть многообразия. Край Г := дП предполагается связным. В разделе 1.1 определены векторные (поточечные и дифференциальные) операции на многообразии. В разделе 1.2 введен оптический метрический тензор h, связанный с исходным метрическим тензором g на римановом многообразии следующим образом

fhnn ~ ~п 9тп? ^ * ~ ^ Q

Расстояние между двумя точками в этой метрике - это время, за которое электромагнитная волна от источника в одной точке дойдет до другой. _

Также определен эйконал в О

т(х) :== distc(х, Г).

Имеет место включение т £ Lip(íl), так как т является функцией расстояния до множества. Эйконал удовлетворяет известному уравнению

|Vr| = (3)

с

Почти всюду в Í2 определено векторное поле

V := cVr, (4)

удовлетворяющее равенству \v\ = 1 п.в. в П в силу (3). Введем семейство подмножеств Í2

П* := {xeCl | ф) < s}

и эквидистант границы

Г5 := {х € ft | т(х) = s},

где s > 0. Положим

Т* := тахт. а

Ясно, что при s >Т„ множество fís пусто.

Сформулируем предположение, при котором доказывается разрешимость обратной задачи в евклидовой области П.

Условие 1. Ограниченная область ПсЕ3 имеет гладкую границу, состоящую из одной компоненты связности. Положительное число Т удовлетворяет неравенству Т <Т„. При п.в. s е (0,Т) выполнено Эй3 € Lip. Кроме того, это условие выполнено для s = Т.

Введем полугеодезические координаты вОс базой на границе. Пусть - геодезическая (относительно оптической метрики), выпущенная из 7 £ Г ортогонально границе, а /7[0,т] - ее сегмент оптической длины т > 0 (не превосходящей длины L,), один из концов которого совпадает с 7- Другой конец í7[0, т] мы обозначим 2(7, г). Здесь величина г

совпадает со значением эйконала в точке х(у, г). Если на Г определены локальные координаты (71,72), то набор (71(7), 72(7), т) называется полугеодезическими координатами точки х.

Однако, не для каждой точки пара (7, г) определена однозначно (неоднозначным может быть выбор 7). Чтобы описать такие точки определим множество раздела ш многообразия Î2 относительно Г следующим образом. Для каждого 7 € Г определена критическая величина г* (7), такая что для любого т < т,(7) точка 7 является единственной ближайшей к х(-у,т) точкой границы, а при г > это не выполняется (функция г* непрерывна на Г). Положим по определению

ùj:=|Jz(7,T*(7))ca

7ЁГ

Множество cj замкнуто и имеет нулевую меру, а отображение

х н-» (7(х).т{х))

является гладким диффеоморфизмом, переводящим в множество

9 := {(7, т) 17 6 Г, 0 < г < т*(7)} С Г х Ж+, (5)

которое называется выкройкой многообразия il

Отметим, что эйконал т и поле и являются гладкими вне и>. Поверхность Г5 \ uj также является гладкой, будучи поверхностью уровня функции т. При этом i/(x), х £ Q \ ш, есть единичная нормаль к (в метрике g) в точке х, внешняя по отношению к ÇlT(x\

В разделе 1.3 введены пространства векторных полей, необходимые для описания электромагнитного поля и изображений. В работе (за исключением раздела 6.1) рассматриваются вещественные пространства. Определим семейство подпространств соленоидальных полей J® С для s £ (О, Г] следующим образом:

J?, ■= closÎ2 j!{y S С°°(П) | div {w) = 0, supp уСП5 U Г}. Вводится еще одно семейство подпространств L2tV(ilr):

Щ it4{rflr<&z\z е с°°(?I), supp z с гг'иг}. . (б)

Пространство Щ, вообще говоря, уже пространства J®, что связано с возможными топологическими особенностями Cls.

. Ортогональные проекторы на З^Щ и е Щ, действующие в обозначаются соответственно Р®, Е^ и В*. Проекторы Р^ и Е* образуют спектральные семейства, сильно непрерывные слева.

Глава 2. Модель динамической системы Максвелла. В главе 2 обсуждаются свойства системы Максвелла, необходимые нам для решения обратной задачи. В разделе 2.1 сформулированы две теоремы, составляющие главный результат работы.

Теорема 1. Пусть $1 - связное компактное ориентированное гладкое риманово 3-многообразие со связным краем, е = ц = 1. Для любого Т 6 (О, Т„) оператор Д27 определяет подобласть ЙгсПс точностью до изометрии.

Теорема 2. Пусть область Я С И3, скорость с и величина Т > О удовлетворяют Условию 1. Тогда данные

{^,с|г,~|г} (7)

однозначно определяют функции е и /х в ПТ.

Дано описание системы Максвелла с точки зрения теории управления. Через £.2 (Г) обозначим пространство квадратично суммируемых касательных полей на Г. Введем пространство управлений

^т:=12([0,Г];£2(Г))

и класс 7^ гладких управлений, равных нулю вблизи Гх{{ = 0}. Также определяется класс управлений

^:=£2([0,:Г1;Я1(Г)))

где Я1 (Г) с £г(Г) - векторное пространство Соболева, и оператор управления, связанный с системой (1),

ЩТ : / ^ е(-,Т),

действующий из пространства управлений 7^ в пространство К^. Этот оператор корректно определен в классе 7% и допускает замыкание. Аналогично определяется магнитный оператор управления

Для запаздывающих управлений

Ф := {/ € ^|8ирр/С Г х (Т - з,Т\}. сформулировано свойство приближенной управляемости

= (8) С помощью связывающей формы на управлениях

и равенства

2 ^ '

(£? - оператор нечетного продолжения по времени управлений с интервала [О, Т] на интервал [0,2Т]) показано, что оператор

определяется оператором Я2Т.

В разделе 2.2 описана модель динамической системы Максвелла,

«}, (9)

которая может быть построена по данным обратной задачи. Здесь

:= '■= ?Т,

а 1^1, - модули операторов Шт и И^, которые могут быть получены по Д2Т. Мы считаем, что |1УТ| и действуют из ^ в К^ и в соответственно.

Введен оператор И^, действующий из £/ег в Щ как ¡Г1 кЛ, и антисамосопряженный оператор Максвелла в пространстве ЫЕг ф Ыт

Показано, как с помощью модели (9) построить оператор в пространстве @ унитарно эквивалентный Л4Г:

= ( (?г?Г ) > = (ф^Ф21.

Здесь Фг и Ф^ - унитарные операторы в следующих полярных разложениях:

WT = $T\WT\, < = «

Глава 3. Восстановление риманова многообразия по граничным данным. Глава 3 посвящена решению обратной задачи на рима-новом многообразии. Для этого используется метод, ранее применявшийся для решения обратной задачи для скалярного волнового уравнения. Этот метод использует приближенную управляемость задачи (1) (соотношение (8)) и геометрию областей влияния для управлений, сосредоточенных на разных частях границы и запаздывающих на разное время.

Управления из класса порождают поля, сосредоточенные в fisU Г. При этом множество таких полей достаточно широкое: натянутое на них подпространство в 1/J совпадает с Щ (если речь идет об электрических полях). Это и есть содержание свойства приближенной управляемости. Аналогичный факт верен для полей, порожденных управлениями класса

{/ е Tl-S I supp f с а х (Т - s, Т]},

действующимим на некоторой (открытой) части границы а С Г. Такие шля сосредоточены в

iî"[cr] := {х е ПI distc(x, а) < s},

и, более того, в [5] доказано, что подпространство

closwiWrjfV] (Ю)

содержит все поля из Uj, сосредоточенные в В ситуации обратной задачи мы не можем получить непосредственно множества fis, 03[ст], однако, в рамках модели (9) могут быть получены модельные копии пространств Щ и (10):

closer |WT| Tls = (ФТ)Ч3>

clos- |Wr|J%*[o] = (Ф^ов^И^'М-

Используя пространства Щ и (10), мы можем построить пространство полей, сосредоточенных в сколь угодно малой окрестности заданной

точки (затем мы перейдем к их модельным копиям). Точку х мы параметризуем ее полугеодезическими координатами. Для заданной пары (7, я) е Г х (О, Т) и 5 > 0 вводится пространство

¿4(7:= (и!еиГ6)Р\с\о5^\¥т1-^Ы!%

где ¿1,5(7) ~ ¿-окрестность точки 7 на Г. В [5] доказывается, что поля из Ые(у,з,6) сосредоточены в замыкании множества

а? := П>4(ч)]

7

ГлГ

Искомое многообразие строится из точек выкройки ©г (а точнее, из некоторого пополнения 6Г). Для этого сначала нужно по данным обратной задачи определить форму выкройки, то есть график функции т* на Г (определение (5)). С этой целью устанавливается, что неравенство 5 < т„(7) имеет место, если и только если для всех (сколь угодно малых) 6 множество а*'г непусто или

(п)

Действуя в рамках модели (9), вместо условия (11) следует проверять равносильное ему

в котором пространства 24#(7, в, <5) могут быть получены по формуле Ц#(7,5) = {ивф © П с\озитф^т\^а[<тй(7)]-

Далее пространства ЫЕ(7,5,5) и ^#(7,используются для определения функции расстояния. Пусть (7, й) е 0Г. Рассмотрим следующую задачу на функции £(£), #(£) на интервале [О, Т] со значениями соответственно в Щ:

М (К

щ)-м'\Н)'\ О Е |{=0= Я |(=0= 0, (12)

где К е Ь2([0,Т];^£(7,5,5)). Введем оператор управления для системы (12)

Иг1,-.К^Е{Т) 11

и применим его к "запаздывающей" на время Т — г функции К. Мы получим пространство

8иРР^(.)с[Т-г,Г]},

элементы которого сосредоточены в г-окрестности множества а^1, если г достаточно мало (но не зависит от <5); это следует из конечности скорости распространения волн, описываемых системой (12). С помощью пространств ЦТ(7, в, 6) можно для заданных (7, в), (7', я') е 6Г определить оптическое расстояние между точками х — х(у, в) и г' = 2(7', з'), при условии, что они достаточно близки. Для этого достаточно проверять условие: для всех (малых) 6 выполнено

и£ь',з',б)Г)и;(ъ8,б)^{0}. (13)

Это условие выполняется, если сйз1;с(:г;, х') < г, и не выполняется, если сИв^а^х') > г. Причем (13), как и (11), можно заменить на эквивалентное условие для модельных пространств

где пространство 1,^,6) := (Фг)*ЦГ(7, в, 6) в модели может быть представлено как

М) = с1о8^#{ К | К е Ь2({0,Т]-,Ые#(Ъ з, 5)), 8ирр^(.)с[Т-г,Т]},

а оператор может быть построен как оператор управления для задачи, аналогичной (12), с заменой Мт на

Таким образом, выкройка ©г превращается в метрическое пространство, изометричное Пт \ и). Затем, пополнение по метрике приводит к изометрической копии многообразия С1Т, что заершает доказательство Теоремы 1.

Глава 4. Преобразование Мг. В главе 4 описан оператор Мт, необходимый для решения обратной задачи в евклидовой области. В этой главе предполагается, что П - ограниченная область в Ж3 с гладкой связной границей, причем выполнено Условие 1. Буквой г/ обозначен гладкий положительный вес в П.

В разделе 4.1 определен ограниченный самосопряженный оператор К*: £2|Ч(Пт) -> s € (0,Т] через его билинейную форму:

(i}K°z,w)= Г d£(V(Xi - E%)z,v>), z,w £ L2jnT). (14)

JO

Здесь Xi - операция умножения на характеристическую функцию множества ГК. Показано, что можно расширить по непрерывности оператор K^7]~lrot с гладких полей C°°(QT) на все Liirj(QT). Из этого (переходя к сопряженному оператору) извлекается

Следствие 3. Для любого поля z £ Ь2^{С1Т) выполнено rot K^z € ¿2,т)(^Т), причем

(15)

В разделе 4.2 введен оператор Mj в L,2,v(£lT):

М^ := П - ciVrot К*. (16)

Здесь П, А'' - поточечные операторы

Nz v х z, П := -N2.

Последний действует на вектор как ортогональный проектор на плоскость, касательную к Гт(х' в точке х. В силу (15) оператор Л/J ограничен.

Выделим в L2in(nT) подпространство поперечных полей £2,г)(^Т)1 состоящее из полей и, для которых выполнено (г>(х), г/(а;)) = 0 при п.в. х £ПТ. Для оператора М^ установлены включения:

Ran M'f с £2,„(ПГ), Ran С U*,

которые дают повод перейти к сужению оператора Мт на подпространство

М? : Щ -> 4Ч(ПГ).

Это сужение обозначается тем же символом. Далее получен следующий результат.

Теорема 3. Оператор A'/J частично изометрический, причем

Установлено также сплетающее свойство оператора М^,

Теорема 4. Для любого 5 € (О, Г] выполнены (эквивалентные) равенства

Получен следующий результат о ядре оператора М?.

Теорема 5. Пусть - сингулярная составляющая спектрально-

го семейства Е^. Верно следующее включение

Используя этот факт, можно построить пример, когда оператор имеет ядро бесконечной размерности.

В разделе 4.3 получена формула, показывающая согласованность введенного определения М? с определением, данным в работах [2]-[4]. Эта формула необходима для использования оператора М^ в решении обратной задачи.

Теорема 6. Пусть у е Тогда при почти всех 5 е (О, Г]

выполнено равенство

|г'= Щу |г«-° • (17)

В работах [2]-[4] формула (17) была взята за определение оператора поскольку в обратной задаче он возникает именно в таком виде. Однако, корректность этого определения очевидна только в случае, если в ПТ регулярны полугеодезические координаты (это т.н. регулярная зона), тогда как для произвольных Т становится нетривиальным даже тот факт, что поле определенное с помощью (17), квадратично суммируемо. Причиной тому является негладкость эквидистант Г® (а также их нерегулярная зависимость от з), от которых зависит поведение проекторов Щ. Именно поэтому в работах [2], [3] обратная задача решалась в регулярной зоне. Имея цель снять это ограничение, мы используем представление (16), которое позволяет корректно определить Щ как ограниченный линейный оператор для произвольного Т £ (О, Г,], а также установить его частичную изометричность и полноту образа. Заметим, что свойство унитарности М^, доказанное в [3],

[4] для регулярной зоны, не переносится на общий случай, поскольку, как отмечалось выше, М^ может иметь нетривиальное ядро. В разделе 4.4 описывается оператор

Mj/rtot (Mjr : ¿2,е(Пт) £2,Д«Г).

Показана корректность определения этого оператора на гладких финитных в Пт \ ш поперечных полях. Для формулировки главного результата раздела 4.4 введем семейство операторов {Q*}, действующих по следующему правилу. Пусть ф - ограниченная функция в iF, гладкая вне любой окрестности множества w, а для s £ (О, Т] выполнено дП8 € Lip. Тогда существует единственное решение ps б Hl(ils) краевой задачи в fis:

div (r]Vps) = 0, ps | r= 0, -|-|r»=^|r.. (is)

Оператор Q3V сопоставляет функции ф функцию в следующим образом

В работе получено следующее соотношение Mj/rtot (Mj)*u |г.= (П fi-hot v) | г. + [-c-V"1iVV^(c£-1div(£7;)) + nVQ;(c/i-1div(c-1Ari;))] |г,-0 -[c'^NBZe-1!ot (ecNv) + B^rhot v] jr.-o (19)

(равенство выполняется при п.в. 5 е (0, Т] п.в. на Г8). Отсюда видно, что рассмотренный оператор имеет следующую особенность: в отличие от rot он не является локальным, что видно из (19). Свойство локальности нарушается из-за присутствия Qs и В3. Формула (19) обобщает представление, полученное в работе [2] для регулярной зоны, на случай произвольного Т е (О,Т„].

Глава 5. Обратная задача в области. В главе 5, как и в главе 4, предполагается, что ft - ограниченная область в Ж3 с гладкой связной границей.

В разделе 5.1 вводятся изображения волн. Изображениями служат элементы подпространства £2(9Т) С J7, состоящего из полей, сосредоточенных на выкройке:

• £(er) := {/ 6 FT1 supp fcW}.

Определена операция 7rs как преобразование касательных полей на Г5 \ и> в касательные поля на Г, действующее поточечно: (7rsu)(j) есть результат параллельного переноса в оптической метрике вектора и{х(7, 5)) из точки x(j, s) в точку 7 вдоль соединяющей их геодезической. Также определена операция 7г, действующая на поперечные векторные поля в по правилу:

М(7,5):=(7Г5МГ«))(7), (7,*)евг.

Для и е ¿2(ПГ) образ тти принадлежит £2(6Т).

Введен оператор изображения /J, действующий из Щ в £2(0Г):

Рп := тг^М^,

где - некоторая гладкая положительная функция вП\ш.

Из Теоремы 3 вытекает, что ij - частично изометрический оператор, причем

Ran^ = £2(6T).

Далее в этом же разделе описано, как можно в условиях обратной задачи получить модельные операторы изображения

Ij# := If : Il# := IT^Tm : Z&

В разделе 5.2 рассматривается следующий оператор в £г(вг)

Показано, что корректно определен на гладких финитных полях на выкройке. Установлено равенство

позволяющее получить щ по данным обратной задачи. Далее выясняется структура этого оператора. В Лемме 12 для п.в. s £ (0. Т) устан-волено равенство

в котором - семейство псевдодифферснциальных операторов на касательных полях на Г (а точнее, на подмножествах границы {т* > s}). Лемма 13 устанавливает связь между главным символом

a J =1,2, feel2 16

оператора и компонентами оптического метрического тензора h:

det a{s; 7\ 72, к) = - b&tf, 72, e) ^ • (1 + o(l», к oo.

ct,/3

Значений /iQ/3 достаточно для того, чтобы определить пересаженный на выкройку тензор h, поскольку для произвольных локальных координат (71,72) на Г запись тензора h в соответствующих полугеодезических координатах (71,72,т) имеет вид

hmn= , а)(0 = 1,2. (20)

После восстановления Л устанавливается соответствие между точками выкройки и точками области Or \ ш и определяется скорость с в Пг.

В разделе 5.3 исследуется поведение ортогональных проекторов на подпространство е-соленоидальных полей, локализованных в шаре оптического радиуса г с центром в фиксированной точке х £ П, при г —> 0. Если обозначить такой проектор через Ег(х), то для у € справедливо

(Ее(СГ[хо]) у, у)иЛп> = ^ Фо) И 2/Ы12 (с(ю) г)5 + 0(г6) (21)

при г —> 0.

В разделе 5.4 решается задача раздельного восстановления е, /х. Сначала определяется касательная часть градиента IlVlne в \w, которая извлекается из главного символа псевдодифференциального оператора, являющегося модификацией ■ Далее с использованием формулы (21) определяется нормальная составляющая (Vine, v), чего до-

статочно для определения е, а затем и ц = ^

Список литературы

[1] Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. Наука, М. 1991.

[2] М.И. Белишев, В.М. Исаков, Л.Н. Пестов, В.А. Шарафутдинов, К реконструкции метрики по внешним электромагнитным измерениям, Докл. РАН, 2000, 372(3), 298-300.

[3] М.И. Белишев, А.К. Гласман, Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зоне (ВС-метод), Алгебра и анализ, 2000, 12(2), 279-316.

[4] М.И. Белишев, Об унитарном преобразовании в пространстве L2{Q;R3), связанном с разложением Вейля, Зап. научн. семин ПО-МИ, 2001, 275, 25-40.

[5] M.I.Belishev, Recent progress in the boundary control method, Inverse Problems, 2007, 23(5), R1-R67.

[6] M.H. Демченко, О частично изометрическом преобразовании соле-ноидалъных векторных полей, Зап. научн. семин. ПОМИ, 2009 370 22-43. ' '

[7] M.I. Belishev, M.N. Demchenko, Time-optimal reconstruction of Riemannian manifold via boundary electromagnetic measurements, J. Inv. Ill-Posed Problems, 2011, 19, 167-188.

[8] M.H. Демченко, Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла, Алгебра и анализ, 2011, 23(6), 31-78.

Подписано в печать 03.10.11. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100. Заказ № 245.

Типография Издательства СПбГУ. 190066, Санкт-Петербург, Средний пр., 41

Введение

Обратные задачи электродинамики.

Главный результат.

Краткое содержание по

главам

1 Геометрия и функциональные пространства

1.1 Векторные операции.

1.2 Эйконал, полугеодезические координаты, выкройка

1.3 Функциональные пространства

2 Модель динамической системы Максвелла

2.1 Динамическая система Максвелла.

2.2 Модель динамической системы Максвелла.

3 Восстановление риманова многообразия по граничным данным

3.1 Управление с части границы.

3.2 Задача с объемными источниками.

3.3 Восстановление риманова многообразия.

4 Преобразование Мт

4.1 Оператор Кт.

4.2 Оператор Мт.

4.3 Послойное представление Мт.

4.4 Оператор Максвелла на поперечных полях.

5 Обратная задача в области

5.1 Изображения волн.

5.2 Восстановление скорости.

5.3 Проекторы на Ые{^1т[х\) при г —» 0.

5.4 Восстановление е, ц.

Обратные задачи электродинамики

Распространение электромагнитных волн в среде описывается системой Максвелла rot п = е—- + ае + 7, rot е = —и-—. (1) dt dt w

Здесь e(x,t), h(x,t), j(x,t) - векторные поля в 1R3 (соответственно электрическое, магнитное поле и плотность тока), х £ К3, t £ Ж., г(х) и fj,(x) — диэлектрическая и магнитная проницаемости, <т(х) - проводимость среды. Рассмотрим задачу, связанную с системой (1), в пространственной области Г2 С К3, t > 0. Предположим, что j = 0, известны значения ей h в начальный момент времени t = 0, а также заданы значения касательной составляющей е на dQ при всех временах t > 0. При определенных требованиях на эти данные, а также на область ft и коэффициенты е, ц, а, такая задача имеет ровно одно решение [23].

Задача остается корректной, если мы задаем на <9Г2 касательную составляющую магнитного поля; однако, если мы зафиксируем касательные составляющие ей h одновременно, задача станет переопределенной, поскольку между значениями е и h на границе есть зависимость, которая определяется характеристиками среды в области. Именно эта зависимость служит данными обратной задачи: требуется определить коэффициенты е, ¡1, а, когда для достаточно широкого набора решений прямой задачи известны значения касательных составляющих на <90 электрического и магнитного полей. Такого рода обратные задачи называются динамическими.

Во многих работах по обратной задаче электродинамики предполагается гармоническая зависимость поля от времени. В этом случае можно перейти от системы (1) к стационарной системе Максвелла: rot Н = —icu (е + г-) Е, rot Е = шцН. (2)

Здесь Е и Н определены в некоторой области С К3 и не зависят от времени. Частота ш > 0 выбирается так, чтобы система (2) имела единственное решение {Е, Н} с любой заданной касательной составляющей поля Е на 30. Данными обратной задачи является отображение где v - внешняя нормаль к границе, х - векторное произведение в!3. В работе [9] рассматривалась линеаризация этой задачи в предположении, что искомые коэффициенты слабо отличаются от известных функций. Получены соответствующие оценки ошибок. В работе [10] показано, что отображение Л определяет е, н и а единственным образом при следующих предположениях

• Q С М3 — ограниченная область с границей класса С1'1 и связным дополнением К3 \ О;

• £,//,<7 6 С3(М3);

• существуют константы ет, цт > 0, и £м, Им, такие что ет < е{х) < sM, fj-m < н(х) ^ Им, о < сг(:г) < ам при х е Г2;

• при ^el3\Q выполнено е{х) = е0, ц(х) = цо, сг = О, где е'о, /'о известные положительные константы.

Среди различных вариантов постановки обратной задачи можно выделить постановки, обладающие свойством локальности, или оптимальные по времени. Предположим, что электромагнитное поле, измеряемое на границе, индуцировано источниками, расположенными вне исследуемой области Q. Поскольку скорость распространения электромагнитных волн конечна, волны от внешних источников за промежуток времени [О, Т] покрывают, вообще говоря, только часть области Q, а именно, приграничный слой оптической толщины Т, который мы обозначим QT. Простые кинематические соображения приводят к тому, что граничные значения поля в промежутке времени [0, 2Т] не зависят от характеристик среды в fi \ . Отсюда и вытекает оптимальная по времени постановка обратной задачи: по значениям поля на границе в промежутке времени [О, 2Т\ определить свойства среды в Q7 .

Типичная обратная задача геоэлектрики рассматривается в работах [14], [17]. Пространство Е3 разбивается на полупространства:

Е3 := {х е Е3|ж3 < 0}, К® := {х Е Е3 | х3 > 0}, и предполагается, что в коэффициенты е, /х, а имеют разрыв на плоскости {хз = 0} (так моделируется граница воздух-земля). Рассматриваются поля е и Л, удовлетворяющие системе (1) в М'1 и Е5], начальным условиям е = /г = 0, г < 0, и условиям на границе раздела

Ь-э 1хз=о+ -Ь,3 \хз=о- = з = 1,2, ез I хз=о+ — ^ 113=о— =0, 7 = 1,2 д3 — заданные функции). В качестве данных граничных измерений рассматриваются значения касательной составляющей электрического поля на границе р3(хг,х2,г) := е3 1^3=0-1-, 7 = 1,2, отвечающего различным д3. В обратной задаче предполагается, что известны коэффициенты е, /х, а в Е1, а в Е+ коэффициенты ц. а постоянны. Требуется найти в в Е+.

В работе [14] в предположении, что е, /х, а - аналитические функции по переменным х\, х2 и обладают конечной гладкостью по переменной х3, в локальной постановке доказана единственность решения этой (переопределенной) обратной задачи и устойчивость решения.

Одним из подходов к решению многомерных обратных задач является метод граничного управления (ВС-метод). (Под многомерными задачами мы понимаем задачи, в которых не предполагается никакой симметрии, позволяющей снизить размерность, и никакой априорной информации о неизвестных коэффициентах). ВС-метод, впервые анонсированный в заметке [4], успешно применялся к обратным задачам акустики, электродинамики, теории упругости (одномерный вариант), импеданс-ной томографии [6]. Имея в своей основе связь обратных задач с задачами граничного управления, ВС-метод использует результаты из разных областей математики: геометрии, асимптотических методов (распространения сингулярностей), теории управления и функционального анализа. В последнее время в рамках этого подхода разрабатывается связь обратных задач с теорией С*-алгебр и некоммутативной геометрией. Общей чертой различных вариантов применения ВС-метода к динамическим и спектральным обратным задачам является построение по обратным данным модели рассматриваемой динамической системы, состоящей из гильбертовых пространств и операторов.

Применению ВС-метода к обратной задаче электродинамики посвящены работы [1], [2], [7], [8]. В работе [2] решена задача оптимального по времени восстановления скорости с = м-1/2 (3) в регулярной зоне — области регулярности полугеодезических координат с базой на границе. Вопрос о раздельном восстановлении £ и ц не рассматривался. В работе [1] система Максвелла перенесена на трехмерное риманово многообразие с краем (е = ц = 1) и решена задача восстановления приграничного слоя как риманова многообразия по граничным измерениям. Как ив [2], этот результат получен в регулярной зоне.

В отличие от [1], [2] в работах [7], [8] рассматривается неоптимальная по времени постановка обратной задачи: в качестве данных требуются граничные измерения на промежутке времени [0,2Т1], где 2Т, - оптический диаметр исследуемой среды. В [8] рассматривается обратная задача на трехмерном римановом многообразии с тензорными е, ц, со следующим ограничением: волновой импеданс должен быть скалярным. В этих предположениях восстанавливается многообразие с римановой структурой и волновым импедансом.

Главный результат

Мы рассматриваем обратную задачу для системы Максвелла на связном компактном ориентированном гладком римановом 3-многообразии с краем. Это многообразие мы будем обозначать а его внутреннюю часть -П. Предполагается, что край дП имеет одну компоненту связности, проводимость среды а равна нулю, а диэлектрическая и магнитная проницаемости — гладкие положительные в Г2 скалярные функции. В качестве прямой задачи мы рассматриваем следующую начально-краевую задачу в пространственно-временном цилиндре Г2 х [О, Т], Т > 0: е( = е1гсЛ к, = —//1го1 е, (х, ¿) е П х (0, Т), е |{=о= Л Ь=о = 0, е<? |апх[о,т] = /• (4)

Здесь е, И - векторные поля в Г2, зависящие от времени t € [0,Т], / — касательное поле на дП (также зависящее от времени), которое мы будем называть управлением, (•)& — касательная составляющая вектора на границе. При определенных требованиях на / существует единственное решение {е, К}. Данными обратной задачи служит оператор реакции / -¡/ х /г |зпх[о,т] и - единичная внутренняя нормаль к границе), описывающий отклик системы на различные управления.

Рассматриваются два варианта обратной задачи. В первом предполагается, что е = 11 — 1, и требуется восстановить по оператору реакции В?Т приграничный слой Пт. Во втором варианте П будет заданной областью в М3, а е, /г — неизвестными функциями. По граничным измерениям на промежутке времени [0, 2Т] восстанавливаются коэффициенты в приграничном слое оптической толщины Т.

Действуя в рамках ВС-метода, мы перенесем результат [1], где рассматривалась задача в регулярной зоне риманова многообразия, на случай, когда может быть шире регулярной зоны (то есть Т произвольно). Для этого мы воспользуемся схемой, с помощью которой в работе [6] была решена обратная задача для волнового уравнения. В случае евклидовой области мы также обобщим результат [2] на случай произвольного Т и усилим его единственностью восстановления г и /г. Однако, помимо требований гладкости, мы накладываем на область Пт и функцию с ограничение геометрического характера (см. Условие 1). Перед тем, как доказать единственность ей//, мы докажем единственность с, в общих чертах следуя схеме работ [1], [2]. Основная трудность здесь заключается в адаптации использованных ранее конструкций к случаю произвольного Т (особенно это касается преобразования Мт, которому посвящена глава 4).

Краткое содержание по главам

В главе 1 даны вводные сведения. В разделе 1.1 определены некоторые векторные операции на многообразии. В разделе 1.2 определена оптическая метрика и функция эйконала, полугеодезические координаты на многообразии с базой на границе и выкройка. В разделе 1.3 введены пространства векторных полей, необходимые для описания электромагнитного поля и изображений.

В главе 2 обсуждаются свойства системы Максвелла, необходимые нам для решения обратной задачи. В разделе 2.1 дано описание системы Максвелла с точки зрения теории управления, сформулирован главный результат (Теоремы 1, 2), введена связывающая форма, сформулировано свойство приближенной управляемости; также описана система Максвелла с магнитным управлением. В разделе 2.2 описана модель динамической системы Максвелла, которая может быть построена по данным обратной задачи.

Глава 3 посвящена решению обратной задачи на римановом многообразии. В разделе 3.1 сформулировано свойство приближенной управляемости для управлений, действующих на фиксированной части границы. В разделе 3.2 описан способ получения модельных копий подпространств электрических полей, сосредоточенных в шаре с центром в произвольной точке х е В разделе 3.3 описана процедура построения изометрической копии многообразия по данным обратной задачи.

В главе 4 описан оператор Мт, необходимый для решения обратной задачи в евклидовой области. В разделе 4.1 введен вспомогательный оператор Кт. Определение Мт дано в разделе 4.2. Там же доказана его частичная изометричность и сплетающие свойства. В разделе 4.3 выводится формула послойного действия Мт. В разделе 4.4 получена формула для композиции (М^Г)*, необходимая для последующего восстановления с, /1.

В главе 5 доказывается единственность восстановления е, /г в евклидовой области по данным (2.2). В разделе 5.1 вводится понятие изображений волн, приводится амплитудная формула (Лемма 11) и описывается как с ее помощью строятся изображения по обратным данным. В разделе 5.2 строится псевдодифференциальный оператор 7^', из главного символа которого извлекается оптическая метрика, а затем и скорость. В разделе 5.3 описывается поведение ортогональных проекторов на подпространства электрических полей, сосредоточенных в шаре с центром в произвольной точке х 6 Г2Т, при стремлении радиуса шара к нулю; этот результат используется в разделе 5.4 для завершения доказательства Теоремы 2.

В Приложение вынесены доказательства некоторых утверждений.

1. М.И. Белишев, В.М. Исаков, J1.H. Пестов, В. А. Шарафутдинов, К реконструкции метрики по внешним электромагнитным измерениям, Докл. РАН, 2000, 372(3), 298-300.

2. М.И. Белишев, А.К. Гласман, Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зоне (ВС-метод), Алгебра и анализ, 2000, 12(2), 279-316.

3. М.И. Белишев, Об унитарном преобразовании в пространстве ¿2(П;М3), связанном с разложением Вейля, Зап. научн. семин. ПО-МИ, 2001, 275, 25-40.

4. М.И. Белишев, Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения, Докл. АН СССР, 1987, 297, 524-527.

5. М.И. Белишев, А.С. Благовещенский, Динамические обратные задачи теории волн, Изд-во СПбГУ, СПб, 1999.

6. M.I.Belishev, Recent progress in the boundary control method, Inverse Problems 2007, 23(5), R1-R67.

7. М.И. Белишев, В.М. Исаков, К единственности восстановления параметров системы Максвелла по динамическим граничным данным, Зап. научн. семин. ПОМИ, 2002, 285, 15-32.

8. Y. Kurylev, М. Lassas, Е. Somersalo, Maxwell's equations with a polarization independent wave velocity: Direct and inverse problems, Journal de Mathematique Pures et Appliquees, 2006, 86(3), 237-270.

9. E. Somersalo, D. Isaacson, M. Cheney, A linearized inverse boundary value problem for Maxwell's equations, J. Comput. Appl. Math. 1992, 42, 123-136.

10. Ola P., Paivarinta L., Somersalo E., An inverse boundary value problem in electrodynamics, Duke Math. J. 1993, 70, 617-653.

11. М.Н. Демченко, О частично изометрическом преобразовании соле-ноидалъных векторных полей, Зап. научн. семин. ПОМИ, 2009, 370, 22-43.

12. M.I. Belishev, M.N. Demchenko, Time-optimal reconstruction of Riemannian manifold via boundary electromagnetic measurements, J. Inv. Ill-Posed Problems, 2011, 19, 167-188.

13. М.Н. Демченко, Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла, Алгебра и анализ, 2011, 23(6), 31-78.

14. В.Г. Романов, Т.П. Пухначева, Теорема устойчивости решения задачи определения коэффициентов системы уравнений Максвелла, Условно корректные задачи, Сб. научных трудов под редакцией М.М.Лаврентьева, Новосибирск, 1988.

15. Lasiecka I., Triggiani R., Recent advances in regularity of second-order hyperbolic mixed problems, and applications, in Dynamics Reported: Expositions Dynamical Systems (N.S.), 1994, 3, 104-158.

16. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк, L-i-теория оператора Максвелла в произвольных областях, Успехи мат. наук, 1987, 42(6), 61-76.

17. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. Наука, М. 1991.

18. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. Научный мир, М. 2005.

19. Ю.Д. Бураго, В.А. Залгаллер. Введение в риманову геометрию, Наука, СПб, 1994.

20. Ю.Д. Бураго, В.А. Залгаллер. Геометрические неравенства, Л., Наука, 1980.

21. Adams R.A., Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.

22. Sohr H., The Navier-Stokes Equations: an Elementary Functional Analytic Approach, Birkhauser, Berlin, 2001.

23. Leis R., Initial Boundary Value Problems in Mathematical Physics, B. G. Teubner Gmbh, Stuttgart, 1986.

24. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М.: Мир, 1972.

25. M. Eller, V. Isakov, G. Nakamura and D. Tataru, Uniqueness and stability in the Cauchy problem for Maxwell and elasticity systems, Studies in Mathematics and its Applications 31, Ed. D. Cioranescu, J.-L. Lions., Amsterdam: North-Holland, 2002.

26. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1: Теория распределений и анализ Фурье, М.:Мир, 1986.