Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ГЛУШКОВА Дарья Игоревна

Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2003

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель: доктор

физико-математических наук, член-корр. РАН, профессор Владимир Гаврилович Романов

Официальные оппоненты:

доктор

физико-математических наук, профессор

Александр Иванович Кожанов

Ведущая организация:

кандидат

физико-математических наук Александр Грайрович Меграбов

Институт гидродинамики

им. М. А. Лаврентьева СО РАН,

Новосибирск

Защита состоится « $

-Л 2003 г. в

¿Г

часов на заседании диссертаЬ|ионного'совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ. Автореферат разослан « £ » ^Л, 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: д.ф.-м.н., доцент

Н. И. Макаренко

А

182*7

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как, сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Обратные задачи, связанные с уравнениями гиперболического типа, изучались многими авторами, в частности Ю. Е. Аниконовым [5], [20], [21], М. И. Белишевым [6], [7], А. С. Благовещенским [8], А. Л. Бухгеймом [10], С. И. Кабанихи-ным [12], М. В. Клибановым [11], М. М. Лаврентьевым [13], [14], В. Г. Романовым [17].

Доказательство теорем единственности и устойчивости в задаче восстановления коэффициента внутри некоторой ограниченной области О даже для оператора

д^

в трехмерном пространстве, вызывает определенные трудности. Первая теорема единственности была получена Ю. М. Березанским [9] в сильно переопределенной постановке. В дальнейшем обратные задачи для оператора Ьч были постоянным объектом исследований. В ряде случаев предполагалось, что точечные источники возмущений, расположенные вне О, пробегают некоторое мн0жес^0||и<!Ю9(|^п^и«нт д(х)

1 БИБЛИОТЕКА

з ! ¿ГЗ^зо I

1 I

известен вне Б [19], [17]. В других работах ([10], [11]) считались известными и отличными от нуля начальные данные для уравнения Ьди = 0, носитель которых совпадает с замыканием И. .

В. Г. Романовым в работе [16] был предложен новый метод получения теорем единственности и устойчивости решения обратной задачи для оператора Ьд при фиксированном точечном источнике, который использовал минимальную по размерности информацию о решении прямой задачи. В последствии этот метод был применен к другим многомерным > задачам для гиперболических операторов В.Г Романовым, { М. Уатато1ю, Д. И. Глушковой.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов устойчивости решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в постановках с минимальной по размерности информацией о решении прямой задачи.

Методика исследования. В диссертации использовались методы теории некорректно поставленных задач, дифференциальных уравнений и функционального анализа, а так же метод получения оценок устойчивости для гиперболических уравнений, разработанный В. Г. Романовым.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях обратных задач для гиперболических уравне- 1 ний. '

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

Международной конференции по математическим мето-

дам в геофизике «MAG-2003»

(International conference on mathematical geophysics, Новосибирск, 8-12 октября 2003 г.);

Семинаре «Математические модели механики сплошной среды» под руководством академика В. Н. Монахова и член-корр. РАН П. И. Плотникова в Институте гидродинамики СО РАН;

Семинаре «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» под руководством д.ф.-м.н. М. В. Фокина и проф. В. С. Белоносова в Институте математики СО РАН;

Семинаре лаборатории волновых процессов под руководством член-корр. РАН В. Г. Романова в Институте математики СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [4], список которых приведен в конце автореферата. В работах, совместных с научным руководителем, результаты принадлежат авторам в равной мере.

Объем и структура работы. Диссертация общим объемом 51 стр., состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 27 наименований.

Содержание работы

В первой главе диссертации рассмотрена проблема нахождения коэффициента а = а(х) при первой производной по времени в задаче Коши для уравнения гиперболического типа:

utt - Au + a(x)ut = S(x2,t), M|i<0 = 0, (i,i)e®3. (1)

В уравнении (1) S(x2, t) - дельта-функция Дирака, сосредоточенная на оси х\, а носитель функции а(х) содержится в полуплоскости R2 = {х G К2|ж2 >0}.

Пусть GT = {(x,t) G М3|ж G D, \x2\ < t < T + \x2\} -цилиндрическая область с боковой границей St = {(ж, t) G R3|a; G 3D, |rr2| < t < T + |ж2|}, нижним основанием E0 и верхним основанием Ет, где область D с границей 8D класса С1 содержится во внутренности шара B(x°,R) = {х G Е2||ж — х°\ < Д}, то есть расстояние d = R — sup \х — > 0.

x£D

Параметры R > 0, Т > 0, х°, d > 0 будем считать фиксированными, причем х° G и х® > R.

Требуется найти функцию сг(х) для х G D но следующей информации: на St известны следы решения задачи (1) вместе с первыми производными по Xi и t:

Dku\sT = fk(x,t), к = {кик2,к3), |fc|<l. (2)

Пусть Е(сг*) — множество функций сг(х), удовлетворяющих при некотором положительном а* < 1 следующим двум условиям:

1) supper с Щ,

2) сг(х) G Н8(Е2), ||<7||св < а*.

Основным результатом данной главы является

Теорема 1.1. Пусть параметры R, Т, х°, d фиксированы и таковы, что х® > R, AR/T G (0,1). Тогда существуют постоянные a** = a**(R,T,x°) > 0 и С = C(R,T,x°,d) > 0 такие, что для любых (Ji,(72 G Е(<7**) и отвечающих им данных обратной задачи (1), (2) /* соответственно, имеет место неравенство

f (аг - а2)2 dx < С £ f (/* - /|)2 dl dt, d 1*1

в котором dl - элемент длины дуги границы 3D.

Для доказательства условной устойчивости использовалась модификация метода, предложенного В. Г. Романовым

для восстановления коэффициента перед младшим членом гиперболического уравнения [16], [23]. Результаты этой главы опубликованы в работе [2].

Во второй главе диссертации рассмотрена задача об I определении двух коэффициентов а(х), д(х) гиперболическо-

I го уравнения:

I

^ ии-Аи + сгщ + ди = 25^)д(х-1у), (х^)еЕ.3, (3)

^ с начальным условием гф<0 = 0.

' Источник, инициирующий колебания, имеет вид импульс-

ной функции • и), локализованной на прямой ^ = 0,

х - и — 0. Здесь V — единичный вектор, играющий роль параметра задачи.

Предполагается, что коэффициенты а(х) и д(х) являются гладкими функциями во всей плоскости К2, а именно, а{х) е №(К2), ц{х) е Н*~2(К2), где 5 = 14, и малы в соответствующих нормах. Кроме того, их носители содержатся внутри круга И := {х £ Е2| \х — < г}.

Пусть С (и) — цилиндрическая область: С [и) = {(х,£) £ К3| х Е И, х-р<1<Т + х-р}. Здесь Т — некоторое положительное число. Боковую часть границы этой области обозначим через в {и), нижнее и верхнее основания через Е0(г^) и Ит{у)-

В качестве дополнительной информации задается след решения задачи (3) и его нормальной производной на := .5'/; для двух различных значений параметра и = к = 1,2, т. е.,

и(х, I, „№>) = *), ~и(х, !/(*)) = дМ(х, *),

{х,г)еБк,к = 1,2, (4)

Пусть Л(<7о) — множество функций (<т, д), удовлетворяющих при некотором положительном до следующим трем условиям:

1) зирр(<7, д) С Д

2) (д£>, зирр(<т, д)) = d > О,

3) ||а||№ < Мн»-* < 9о, 5 = 14.

Основными результатами данной главы являются следующие теоремы устойчивости и единственности решения обратной задачи.

Теорема 2.1. Пусть (с^-, ф), .7 = 1,2, - функции принадлежащие Л (б/о) и соответствуют решению задачи (3) -(4) при о = </ = и;/ = г/^, к,] — 1,2. Пусть, кроме того, выполнено условие 4г/Т < 1. Тогда найдутся положительные числа д* и С, зависящие только от Т, г, й и |г/(1) — такие, что для < Ч* имеет место неравенство

2

1И-а2||Н1(с) +1|91-<й||ь»(В) < С £ (И/}4-/^Ннз^ЕоИ*)))

Ь=1

в котором дЕо{"{к)) ■■= {(ж,*) е € дБ,г = х • иЩ.

Теорема 2.2. При выполнении условий теоремы 2.1 существует число д* > 0 такое, что всех до < д*, если отвечающие функциям (01,(71) € Л(до), (сг2,д2) £ Мчо) данные обратной задачи частично совпадают, а именно,

Л^СМ) = Ак)(хЛ (Х,г) евк,к = 1,2,

или

Ак)М = йк\х,г), (*,*) € дЪо(»{к));

д?\х,г)=д£)(х,г), (М)е&; к = 1,2,

то (71 (х) - а2{х), 91 (ж) = <72Отданная постановка является «объединением» постановок задачи об определении коэффициента при первой производной по времени и задачи восстановления коэффициента при младшем члене. Применение метода, использованного в главе 1 и работах [15], [16], [22], [23] для случая, когда подлежат определению несколько коэффициентов линейного гиперболического уравнения, стоящих перед производными разных порядков, вызывает определенные трудности и требует модификации техники, использовавшейся ранее. Результаты этой главы опубликованы в работах [3], [4].

В третьей главе диссертации рассмотрена задача об определении коэффициента проводимости среды для системы уравнений Максвелла в предположении, что диэлектрическая и магнитная проницаемости среды постоянны.

Пусть совокупность векторов Н и Е является решением задачи Коши для системы уравнений Максвелла с нулевыми начальными данными:

ЪхН = е№ + аЕ)+з, V х Е = -цНи

(Д,я),<о = о, Ом) ем4. (5)

Здесь]{х,£) = ¿°5(х1)8(£) - функция, характеризующая плотность внешнего тока (источник плоских волн), 5 - дельта-функция Дирака.

Предположим, что носитель функции а — сг(х) находится внутри шара В = В(х°, К), где х°, В, - фиксированы, который содержится в области {х € М3|ж1 > 0}. Определим область (2 = {(ж,¿) € К4| х е В,хх < £ < Т+хх]. Здесь Т — некоторое положительное число. Боковую часть границы этой области обозначим через 5, нижнее и верхнее основания через £0 и

соответственно. Дополнительно введем в рассмотрение множество S' = {(ж, i) G R4| х е dB, -оо < t < Т 4- xi}.

Пусть вектор (Н,Е) является решением задачи (5). Рассмотрим обратную задачу об определении коэффициента а(х) по заданной на S' информации (функции Н и ее нормальной производной):

H(x,t) = F(x,t), — =G(x,t), (x,t)eS'. (6)

Пусть Л (er*) — множество неотрицательных функций а(х), удовлетворяющих при некоторых положительных а* и d следующим трем условиям:

1) suppcr(a;) С В,

2) dist(öJ3, supper) = d > О,

3) ||<г(ж)||н»(кз) < er*, где a = И.

Из доказательства результатов данной главы следует, что функция F(x,t) представима в виде

F(x,t) = aH{x)S{t - l^l) + F{x,t)e{t - \хг\),

где 9(t) - функция Хевисайда, F(x, t) — регулярная функция (класса С1). Таким образом, задание информации (6) определяет функцию ац{х) на dB и регулярные части функций F(x, t) и G(x, t) на S.

Основные результаты настоящей главы представлены в следующих теоремах.

Теорема 3.1. Пусть функции G^} соответствуют решению задачи (5)-(6) при a — оj{x), j — 1,2. Пусть, кроме того, выполнено условие AR/T < 1. Тогда найдутся положительные числа а* и С, зависящие только от Т, R, х° и d такие, что для любых (jj € Л (а*) имеет место неравенство

1kl - ^Ннчя) < c(||G« - Gaulis) + -

+ii«S'

^Нн^ЗВ))-

Из теоремы 3.1 достаточно просто вытекает следующая теорема единственности.

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и данные обратной задачи совпадают, а именно,

х, t) = F^2\x, t), G^l\x,t) = G^\x,t), (x,t) £ S'.

(7)

Тогда найдется такое a* > 0, что для любых ff[, а2 € Л(ст*). при условии (7) справедливо равенство о\ (ж) = а2(х).

Для доказательства теоремы 3.1 использовалась модификация метода, предложенного В. Г. Романовым в работе [18]. Результат этой главы докладывался на международной конференции по математическим методам в геофизике «MAG-2003» (International conference on mathematical geophysics, Новосибирск, 8-12 октября 2003 г.) и опубликован препринтом [1].

Список работ по теме диссертации

1. Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла. Новосибирск. 2003. 16 С. (Препринт / Новосиб. гос. ун-т; № 19).

2. Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения обратной задачи об определении коэффициента поглощения // Дифференц. уравнения 2001. Т. 37, № 9. С. 1203 -1211.

3. Глушкова Д. И., Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения. // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 311 - 321.

4. Романов В. Г., Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения. // Докл. РАН. 2003. Т. 391, № 3. С. 314 - 319.

Список цитированной литературы

5. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. // Новосибирск: Наука, 1978. 118 С.

6. Белишев М. И. Волновые базисы в многомерных обратных задачах. // Матем. сборник. 1989. Т. 180. №5. С. 584 - 602.

7. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения. // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297. №3. С. 524 - 527.

8. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. //

Изд-во Санкт-Петербургского Университета. 1999. 266 С.

9. Березанский Ю. М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шре-дингера // Труды Моск. матем. общ.. 1958. Т. 7, С. 3 - 51.

10. Бухгейм А. Л. Уравнения Волътерра и обратные задачи. // Новосибирск: Наука, 1983. 208 С.

11. Бухгейм А. Л., Клибанов М. В. Единственность в делом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, №2. С. 269 - 272.

12. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. // Новосибирск: Наука, 1988.

13. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных задачах для гиперболических уравнений. // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171, № 6. С. 1279 - 1281.

14. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. // М.: Наука, 1980. 286 С.

15. Романов В. Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука. // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, №4. С. 125 - 134.

16. Романов В. Г. Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения. // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2.

17. Романов В. Г. Обратные .задачи математической физики. // М.: Наука, 1984. 264 С.

18. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла. // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Издательство Института математики, 2002. С. 169 - 205.

19. Романов В. Г. Теоремы единственности в обратных задачах для некоторых уравнений второго порядка. // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, №2. С. 254 - 257.

20. Anikonov Ju. Е. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations. // Utrecht: VSP. 1995.

21. Anikonov Ju. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed problems. // Utrecht: VSP. 1997.

22. Romanov V. G. Investigation Methods for Inverse Problems. // Utrecht: VSP. 2002. 280 P.

23. Romanov V. G. and Yamamoto M. Multidimensional inverse hyperbolic problem with impulse input and single boundary measurement. //' J. Inv. Ill-Posea Problems. 1999. V. 7. No. 6. P. 573 - 588.

I

]

I

Глушкова Дарья Игоревна

Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа

I

I

Автореферат

Подписано в печать 29.10.2003 г. Формат 60x84 1/16. Офсетная печать. ^ Л. 1. Тираж 80 экз.

Заказ Л"® 532

Лицензия ЛР №021285 от 6 мая 1998 г. Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

-А -

Р18237

Введение

Глава 1. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче об определении коэффициента поглощения

Постановка задачи и основной результат.

Дифференциальные свойства решения прямой задачи.

Устойчивость по данным задачи и а, Ь, с-метод.

Доказательство теоремы 1.

Глава 2. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения

Постановка задачи и основной результат.

Доказательство теоремы 2.

Доказательство теоремы 2.

Глава 3. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла

Постановка задачи и основной результат.

Дифференциальные свойства прямой задачи.

Доказательство теоремы 3.

Энергетические оценки для функций Н и Е.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов устойчивости решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в постановках с минимальной по размерности информацией о решении прямой задачи.

Актуальность темы. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в мастных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как: сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Обратные задачи, связанные с уравнениями гиперболического типа, изучались многими авторами, в частности Ю. Е. Аниконовым [1], [24], [25], М. И. Белишевым [2], [3] А. С. Благовещенским [4], A. JI. Бухгеймом [6], С. И. Кабанихиным [11], М. В. Клибановым [7], М. М. Лаврентьевым [12], [13], В. Г. Романовым [18].

Доказательство теорем единственности и устойчивости в задаче восстановления коэффициента внутри некоторой ограниченной области D даже для оператора д2 в трехмерном пространстве, вызывает определенные трудности. Первая теорема единственности была получена Ю. М. Березанским [5] в сильно переопределенной постановке. В дальнейшем обратные задачи для оператора Lq были постоянным объектом исследований. В ряде случаев предполагалось, что точечные источники возмущений, расположенные вне D, пробегают некоторое множество и коэффициент q[x) известен вне D [18], [20]. В других работах ([6], [7]) считались известными и отличными от нуля начальные данные для уравнения Lqu = 0, носитель которых совпадает с замыканием D.

В. Г. Романовым в работе [17] был предложен новый метод получения теорем единственности и устойчивости решения обратной задачи для оператора Lq при фиксированном точечном источнике. Этот метод использовал минимальную по размерности информацию о решении прямой задачи, то есть в качестве данных обратной задачи задаются функции, зависящие от такого же количества переменных, что и решение прямой задачи. В последствии данный метод был применен к другим многомерным задачам для гиперболических операторов В.Г Романовым, М. Yamamoto, Д. И. Глушковой.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. // Новосибирск: Наука, 1978. 118 С.

2. Белишев М. И. Волновые базисы в многомерных обратных задачах. // Матем. сборник. 1989. Т. 180. К0-5. С. 584 602.

3. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения. // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297. №3. С. 524 527.

4. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. // Изд-во Санкт-Петербургского Университета. 1999. 266 С.

5. Березанский Ю. М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Труды Моск. матем. общ. 1958. Т. 7, С. 3 51.

6. Бухгейм A. JT. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. // Новосибирск: Наука, 1983. 208 С.

7. Бухгейм A. JL, Клибанов М. В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, т. С. 269 272.

8. Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла. Новосибирск. 2003. 16 С. (Препринт / Новосиб. гос. ун-т; № 19).

9. Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения обратной задачи об определении коэффициента поглощения // Дифференц. уравнения 2001. Т. 37, № 9. С. 1203 1211.

10. Глушкова Д. И., Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения. // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 311 321.

11. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. // Новосибирск: Наука, 1988.

12. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных задачах для гиперболических уравнений. // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171, № 6. С. 1279 1281.

13. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. // М.: Наука, 1980. 286 С.

14. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 С.

15. Михлин С. Г.Линейные уравнения в частных производных. М., 1977.

16. Романов В. Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука. // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, №4. С. 125 134.

17. Романов В.Г. Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения. // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2.

18. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. // М.: Наука, 1984. 264 С.

19. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла. // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Издательство Института математики, 2002. С. 169 205.

20. Романов В. Г. Теоремы единственности в обратных задачах для некоторых уравнений второго порядка. // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, т. С. 254 257.

21. Романов В. Г., Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения. // Докл. РАН. 2003. Т. 391, № 3. С. 314 319.

22. Романов В. Г., Яхно В. Г. Обобщенные функции в математической физике: Методические указания. Ч. 2. Новосибирск, 1986.

23. Смирнов В. И. Курс высшей математики Т. 4, Ч. 2 // М.: Наука, 1974. 334 С.

24. Anikonov Ju. Е. Multidimensional Inverse and Ill-Posed problems for Differential Equations. // Utrecht: VSP. 1995.

25. Anikonov Ju. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. // Utrecht: VSP. 1997.

26. Romanov V. G. Investigation Methods for Inverse Problems. // Utrecht: VSR 2002. 280 R

27. Romanov V. G. and Yamamoto M. Multidimensional inverse hyperbolic problem with impulse input and single boundary measurement. J J J. Inv. Ill-Posed Problems. 1999. V. 7. No. 6. R 573 588.