Обратные задачи для гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0034876Э8

На правах рукописи

ВАЛИТОВ ИЛЬДАР РУСЛАНОВИЧ

Обратные задачи для гиперболических уравнений

01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико математических наук

Белгород - 2009

1 О ДЕК 2003

003487698

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стсрлитамак-ской государственной педагогической академии им. Зайнаб Вишневой и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала академии наук Республики Башкортостан

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет.

Институт математики

Защита состоится « 22 » декабря 2009 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете, расположенном по адресу: 308007. г. Белгород, ул. Студенческая, 14. корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

профессор Федоров В.Е.

кандидат физико-математических наук,

доцент Ситник С.М.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Прядиев В.

Актуальность темы. Под обратной задачей для уравнений с мастными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Именно нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений и будут изучаться в настоящей работе. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова. Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова. С.И. Кабанихина, А.И. При-лепко. А.Х. Амирова, Е.Г. Саватсева, Е.С. Глушковой, Д.И. Глушковой, Т.Ж. Елдссбасва. A. Lorcnzi, A.M. Денисова. М. Grasseli. М. Клибанова, М. Ямамото. Следует отмстить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных нежели в настоящей работе методов и при этом разрешимость устанавливалась в других пространствах.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости, единственности и устойчивости нелинейных обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка в ограниченной цилиндрической области в случае неизвестных коэффициентов, зависящих от времени.

Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового нелинейного "нагру-женного"уравнсния. Доказывается существование регулярного решения прямой краевой задачи и возможность построения с его помощью решения исходной обратной задачи. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методе регуляризации и методе

з

неподвижной точки.

Основные результаты. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнбния коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

2. Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения п неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

3. Исследована разрешимость начально-краевых задач для нелинейных "нагруженных" гиперболических и псевдогинерболических уравнений.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для других классов гиперболических уравнений.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:

на конференции "Студенческая наука в действии", г. Стсрлитамак, СГПИ, 2003 г.;

на семинаре по теории дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.н.. профессора К.Б.Сабитова, (г. Стсрлитамак, СГПА, Стерлитамакский филиал АН РБ, 2003 2009гг.);

на конференции "Современные проблемы физики и математики", г. Стерлитамак, 2004г.;

на семинаре "Неклассическис уравнения математической физи-ки"под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И.Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им С.Л.Соболева СО РАН, 2005 2007гг.):

на конференции "Информационные технологии и обратные задами рационального природопользования", (г. Ханты-Мансийск. 2005г.);

на конференции "Региональная школа молодых ученых";

г.Стсрлитамак, 200G г.;

на International Conference "Tikhonov and contemporary mathematics". г.Москва, 2006г.

на XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", г. Новосибирск, 2006г.;

на семинаре "Дифференциальные уравнения"под руководством

д.ф.-м.н., профессора Калиева И.А. (г. Стерлитамак, СГПА им. Зайнаб Вишневой, 2007-2009гг.);

- на конференции "Российско-китайский симпозиум "Комплексный анализ и его приложения", Белгород, БелГУ, 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] ¡5].Список работ приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие непосредственно автору. Работа [2] опубликована в журнале, входящем в список публикаций рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав содержащих 7 параграфов, дополнения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 93 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц.

Содержание работы. Основное содержание работы изложено в главах 1 3. В первой главе исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения гиперболического типа в случае интегрального переопределения.

Пусть D есть интервал (0,1) оси Ox, Q есть прямоугольник {{x,t): xeD, t е (0,Т), 0<Г<+оо}.

В параграфе 1.1 изучаются обратные задачи нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента q(t) при производной первого порядка.

Положим V{) = {<T,i) : v(x,t) е L^T'AV^D) П w\(D)), vt(xJ) е 1^(0, Г; И/vu(x,t) € Lx(0, Т: L2(D))}.

Пусть /(а:,£), ип(х), иг(х), А'(х^) - суть заданные при я € Д £ € [0;Т], функции.

Введем некоторые обозначения:

1

/•(0 = I К'{хМх,1)(1х,

м, =

1 т 1

?(х)с*х + J + 11 /2 сЬгЛ

(I о

1 Т 1

ехр(Т),

М, = МХТ + + I и\(х)дх + IУ /2(£г(Й,

М3

о о

2 / /," <1х <й 4- 4г>гш тах / Г(хЛ)а!х+

ехр(Т),

М4 = 2М3Т +

+ |2 ! и?{х)(Ь+ 211$(х)<1х-41 /(х,0)иЦ(х) ¿х\

1 о

1

1J с1х ¿1 + Аига1 т&х^ J /2(.т, ¿) {¿т+

<? о

1 1 +¡21 и'*(х) йх + 2 J и'ц2(х) (1х - 4 J /(х,0)и^(х)ёх\

ООО

1 1

Л/о = тах / /\'2(х, £) <£г, А^ = тах I 1\}{х,€)с1х,

[О,Г] У [0,Г] У

Лг2 = тах / АГгДх, ¿г, Л/3 = Л ,2 тах а(1, £) .

[о л У [о,т1 о

1 [ х \ 3

Л/4 = У |а,;(1,0| И К2(У^) ¿у | ¿г, о \о /

До = 2(Л1\М1^ + (Л/2А/2){ + (Ло М3)*, = + ДМ/?,

y>(t,u) =a(U) J Kt{xj)u(xj.)dx+J aJ:{x,t) I J h'{y,t)ut(y,t) dy\ dx.

II о \o J

Обратная задача 1.1: найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением

ип ~ uXJ: + q(t)a(x, t)ut = f(x, t), (1)

при выполнении для функции и(х, t) условий

«(0,0 = u(l,t) =0, 0 <t<T, (2)

и(х, 0) = uQ{х), ut(x, 0) = щ(х), х € D, (3)

1

У Л'(х, t) dx = Ai(i), 0 < t < Г. (4)

о

Теорема 1.1.1. Пусть выполняются условия:

а(х, t) £ ('"(О). Л'(х, t) g C2(Q), ,i{t) £ С2([0, Г]); ^(0 - n"{t) < —1Щ < 0, a(l, i) > 0, a(l,i)/j'(i) < -тщ < 0, t £ [0,Т];

a(x,t)>Q, а п (.г..'} < 0 (X,t)6Q; < m0, Ri < m^, i i i

J K{x,0)u0(x)dx = /г(0), J K(x, 0)щ(х) dx+J Kt(x,0)u0{x) dx = /¿'(0).

о t) 0

ТЬгЛг d/гл любой функции f(x,t) такой, что j(x,t) £ L,2{Q), ft{x,t) £ Li(Q), и для любых функций щ(х) и и\(х) таких, что иц(х) £

о о

И/^/}) П И'¿(f), щ(х) £ И-'-К-^) обратная задача 1.1 имеет решение {u{x,t),q(t)} такое, что u(x,t) £ Vy, q(t) £ ¿-»([О,Т]).

Помимо теоремы существования, доказываются теоремы единственности и устойчивости решений обратной задачи 1.1. Пусть W\ = {{ц(1, i),g(0} •• u(x,t) £ К), q(0 е MM), \a(l,t)n'(t) - ф(1,и)\ > ко > 0, q{t) >0nput.£ [0,Т]}.

Теорема 1.1.2. Пусть а(х, 0 = 1 пРи 0 G функций f(x, t),

K(x,t) и ¡i{t) выполняются включения теоремы 1.1.1 Тогда в множестве И7! обратная задача 1.1 не может иметь более одного решения.

Теорема 1.1.3. Пусть a(x,t) = 1 при (x,t) £ Q, для функций f(x,t), K(x,t), ni(t), ¡12(0 выполняются включения теоремы 1.1.1 Далее, пусть

{u(x, t), gi(i)} и {v(x,t),q>(t)} есть два решения обратной задачи 1.1 соответствующие условиям (4) с функциями Mi (О и /'2(0 соответственно и принадлежащие множеству W\. Тогда имеет место оценка

j|u(x,t) - v(x,t)\\Lxi().T:LAD)) + iMz,f) -- Ui(x,0iiloc((),r:t2(D)) +

постоянная R в которой определяется лишь функциями f(x,t), Uo(x), щ(х), K(x,t) и числом T.

В параграфе 1.2 рассматривается обратная задача с неизвестным коэффициентом q(t) при решении.

Обратная задача 1.2: найти функции и(хЛ) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением

Utt ~ "j. + q(t)a(x,t)u = f(xj)

при выполнении для функции u{x,t) условий (2) (4)-

Пусть fii и /¿о есть заданные числа, 0 < /¿о < Mi- Положим 1 1 Т 1

М[ = J vtf(x) dx + J u{(x-) dx + J J f2 dx dr, Л/4 = M[ + A/3,

о 0 00

' Nfj + 2N? + N]

TV5 = —1----- • max Ia(x, t) ,

Mi - М» Q

Na =--—vrai max\F(t) - u"(t.)I - max Ia(x, f)|,

Mi-Mo [0Ti Q

1 i i

Mi - Mo Q

Ag —---uraimaxlF(i) — fi"{t)\ ■ rnax|ar(x,f)|.

Mi - MO Q

a = 1(3 + 6Лб + AN,) -f 6 N, + 4Лг7, 0 = + ^(3 + 6 N6 + 4 A'«),

j О

_4(Aj+2Af+ a^' 3 (2-aVHT)2 '

Теорема 1.1.4. Пусть для функций a(x,t), K(x,t) и /t(t) выполняются включения теоремы 1.1.1. Кроме того, пусть выполняются условия

ау/рГ < 2, а(1, t)fi(t) > Mi > 0 при t G [0,Г]; ^^ < Мсь

2 — a\jpl

1 1

J К(х, O)uo(x) dx = /ДО), J K(x,Q)ui(x)dx.+J Kt{x,Q)u0(x) dx = /¿'(0).

(i а о

Тогда для любой функции f(x,t) такой, что f(x,t) G L-iiQ), fi(x,t) G L-i{Q), и для любых функций щ(х) и щ(х) таких, что иц(х) G

'9 ° 1 °

И'-¿(D) Pi И'¡(D), иi(x) G \\'\{D), обратная задача 1.2 имеет решение. {u(x,t),q(t)} такое, что u(x,t) £ Ц>, q(t) G Z,oo([0,T']).

Положим И'2 = {{u(xA),q(t)} : u(x,t) G VQ, q(t) G LX([Q,T}), a(l,t)v(t) - ii>i(t,u) > ktl >0, t G [0,T]}, где

Vi (t,u)= J ax(x,t) I J K(y,t)u(y,t)dy \ dx.

0 \o !

Теорема 1.1.5.Пусть для функций a(x,t), f(x,t), K(x,t) и n(t) выполняются включения теоремы 1.1.1 Тогда в множестве Wj обратная задача 1.2 не может иметь более одного решения.

В параграфе 1.3 рассмотрены обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации и данными Неймана, или же с неизвестным коэффициентом при решении при задании интегрального переопределения и данных Неймана.

Пусть есть пространство: V3 = {и(.т, £) : v{x, i) G Loo(0, Г; W'22(D)), vt{x,t) G Lx{0,T:\VUD)), vu{x,t) e Loo(0,7'; L2(£>))}. Положим:

v /Vv лг N%+2N* + y/2TNj

N9 = max / Ar.(x, t)dx. Лгю = —---- max a(x, f) ,

[».ri J ' M i - Mo Q

0

y/2 I } V

Nn =-ЭДН--/ ul(x)dx max |a(x, £)|,

Mi - Mo \J J Q

1 1 г 1 B„= [ uj(x)dx -r jt$(x)dx + J J f(x,t)dxdt + 4N[1T,

(i о 0

By = [12jVg + AN^T2 + 3], Вг = 4jV2, Cn = B0 + у,

г

Ci = у + B2T, M0 = Aii = 2TJl/„ + 2 J ul{x)dx

0

1 Г

U = </-2(f, w) = J aj:{x, t) j K(y, i)«(y,

= a(l,f) / K,(x,t)v{x,t)dx + / aj;(a\ f)

K{y,t)vt(y,t)dy

dx.

Здесь до и есть заданные числа такие, что 0 < /М) < Мь

Обратная задача 1.3: Найти функции и(х^) и q(t) связанные в прямоугольнике (3 уравнением.

ии - ихх + Ч^)а(х, = /(*, (), при выполнении для функции м(х,£) условий:

и:,{0, г) = ил;(1,0=0, 0 < ( < Т, и(х,0)=щ(х), щ\х,0) = щ(х), х € О,

(5)

(6)

(7)

(8)

i

J К(х, t)u{x, f)<£r = //(f), 0 <t<T.

о

Теорема 1.1.6. Пусть выполняются условия

а{х, t) £ С1^), ЛГ(х, f) е C2(Q), a(l, f)M0 > № > О,

ЛГ4Л/1 < Mo, и0(х) е И^(О), Ul(ar) е W22(D),

1

и[)(0) = и'0{ 1) = 0, и;(0) = и!(" 1) =0, j К(х, 0)u0(x)dx = //.(0),

М0еС2([0,Т]), Дх,ц е ш), Ям) е Ш), СоСгТ < 1.

Тогда обратная задача 1.3 имеет решение {м(а-, такое, что

и(х,1) е е Ьхф,Т\). Положим и/3 = {{«(х, *),?(*)} : "(г, 0 € Ц, д(*) € Ы[0,Г]),

а(1, £)м(г) - > А.-« >0 ь е [О, Г]}.

Теорема 1.1.7. Пусть для функций a(x,t), f(x,t), K{x,t),-fi(t) выполнены включения теоремы 1.1.6. Тогда в множестве \¥з обратная задача 1.3 не может иметь более одного решения.

Пусть Vi ссть пространство:^ = {v(x,t) : v(x,t) € Lx(0,T:W-r(D)), vt(xj) e Lx(0,T-,W2(D)),va(x,t) e L2(Q),vJ:xt(x,t) € L2(Q)}.

Обратная задача 1.4 Найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнениель

Utt - ихх + q(t)a(x, t)ut = f(x, t)

при выполнении для функции u(x,t) условий (6)-(8).

Теорема 1.1.8. Пусть выполняются условия

a(x,t) e C\Q), K(xj) e C2(Q), ¡x{t) e C'2([0,T]),

F{t) - fi"(t) < -то < 0, o(l,î)m'(0 < ~mi < 0.

un{x) e IV|(D), € W}{D), <з(0) = ^(1) = 0, u'^O) = u[( 1) = 0, î

У K(x..O)u0(x)dx = ц(0), f{x,t) € L2(Q), ft(x,t) € L2{Q).

о

Кроме того, пусть выполняются условия малости, аналогичные условиям малости теорем,ы 1.1.1. Тогда обратная задача 1.4 имеет решение {u(x,t),ç(t)}, такое, что u(x,t) € V4, q(t) 6 ¿^.([СКТ]).

Положим U'4 = {{u(z,i), <?(£)} : u(x,t) € VAl q(t) € L^({0,T}), - tl>z(t,u) > ko > 0, t e [0,T]}.

Теорема 1.1.9. Пусть для функций а(х, t), f(x, t), K(x, t) и выполняются включения теоремы 1.1.8. Тогда в множестве IV4 обратная задача 1.4 не .иожет иметь более одного решения.

Во второй главе данной работы рассматриваются обратные задачи с внутренним переопределением. В параграфе 2.1 рассматривается волновое уравнение с неизвестным коэффициентом диссипации.

Пусть /î(|(.T,i), hx(x,t). ..., hm(x,t), f(x,t), u0(x). щ(х), Mi (t), • ■ •-, fi„i(t) есть функции, заданные при х € [0,1], t G [0,Г], х\,...,хт — точки такие, что 0 < х\ < х2 < ... < хт < 1.

и

Обратная задача 2.1:Найти функции u(x,t), qi{t),..., </„.(£), связанные в прямоугольнике Q уравнением

иа - ихх + [hü(x, t) + hx(x, t)qx(t) + ... + h,„{x, t)qm{t)}ut = f(x, i), (9) при выполнении для функции и(х, t) условий:

и (О, t) = u(l,t) = 0, 0 <t<T, (10)

и(х,0) = щ(х), ut(x,0) = ui(x), х е D, (11)

u(xkJ) = ßk{t), fc=l,...,rn, 0<t<T. (12)

Положим Wz = {w(x,t) : w(x,t) e Vq, >r,{x, t) 6 Vo, wJX(x,t) 6 Kj}.

Пусть vk(t), k = l,...,m, ссть заданные при t. € [0,7^] функции. Рассмотрим следующую линейную систему относительно неизвестных функций pk(t)\

ГП.

hi{xk, t)ij!k(t)pi(t) = /(ifc, t)-hn{xk, t)/.ik{t)-fik{t)+uk(t), k = 1,..., 77г.

;=i

Предполагая, что определитель do(i) этой системы всюду на отрезке [0,Т] не обращается в нуль, найдем функции pk(t):

т

Pk{t) = Aük{t) + £ Aik(t)v,(t), ¿=i

k = 1.... ,то, функции Ам;(£); Aik(t) здесь вполне конкретно вычисляются через функции J{i\t), hk(x,t) и ßk(x ,t). k= 1 , ...,m. Положим

m

a0(x, t) = h(,(x, + A0i(t)hi{x, £), ¿=i

m

= E Aki{t)ht{x,t), bn(x,t) = а0,;(з-,£), c(1(:r,£) = а0.„;(х, £), i=i

i) = akx(x, t), ck(x, i) = «i ,.,.(.?•, t),k = 1, .... m. ak = [¡а^Сд:,ßk = ||6fc(x,i)

7И = ^llt»«?), 7и = ||сь;х(з", t)\\L^Q), k = 0,1, ..., m, l i

bo = J dxdt + J u02(x) dx + J щ2{х) dx.

Q о о

Теорема 2.1.1. Яг/атгъ /(а:, г) е ¿2(0), е L2(Q), /.,,(.r./) е

¿2(0), е L2(Q), uq(x) е W?(£>), Ui(z) € W'23(D), /(xfr,t) е

/-,(<). 7;), ,,,;(0 е И^([0,Г]), k = l,...,m, hk(x,t) € MQ), Mx.O e I. J.Q)- 6 hb:x,{xj.) e LX{Q), hh,.Xj:(x,t) e LX(Q),

\d(i(t)I > do > 0 при t 6 [0,T]; a0(x,£) > a,, > 0 при (x,t) G Q;

/(0,0 = /(1,0 = 0 при «е[0,Г1;

Ц(}(0) = ,,„(1) = щ( 0) = и1(1) = «£(0) = <(1) = <(0) = и'/(1) — 0;

= щ(т/с) = ¿4(0), к — 1,... ,т.

Тогда обратная задача 2.1 имеет решение {и(х, (), ?1(0> • ■ • > <?т(0} та~ кое, что и(х, I) € И-'5, <7д-(£) € ¿оо(['0, Г]), к = 1,..., т.

В параграфе 2.2 рассматривается аналогичная задача для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом при решении.

Обратная задача 2.2. Найти функции и(.г, £¡(0; • • ■ > 9т(0» сеЛ~ занные в прямоугольнике уравнением

ии - и,-, + [Мх,0 + /ц(х,0д1(0 + • • ■ + /г,„(а-,09ти(0]" = /(аг, £),

при выполнении для функции и{х, 0 условий (10) (12).

Для обратной задачи 2.2 доказывается теорема существования, аналогичная теореме 2.1.1, но при ограничении Т < Т* с числом Т*, определяемым через данные задачи.

В третьей главе данной работы рассматриваются обратные задачи с граничным переопределением. В параграфе 3.1 рассматривается волновое уравнение с неизвестным коэффициентом диссипации.

Обратная задача 3.1: Найти функции и(х,Ь), q(t) связанные в прямоугольнике <3 уравнением

u(0,0 = 0, u(l,0=v?i(0, «,.(1,0=0, 0 < i < Т. (14)

А- = 0,1,..., т. Кроме того, пусть выполняются условия:

ао 2

ии - + a(0"t = f{x,t),

при выполнении для функции и(х, t) следующих условий и(х, 0) = щ(х), и((х, 0) = «¡(х), х £ D;

(13)

Введем обозначения:

гщ = max |g(i)|, М = —, 10.Т] 7По

i 1 I 1

j J fl/Ixdi + J u'^{x)dx + J uf (i)di, Кг = /<ie7

г 1

К,

0 0 0 0

Положим Vj = {w(i, i) : v(x,t) £ v:r{x,t) £ V0, v,y.r(x,t) e Vo}.

Теорема 3.1.1. Пусть выполняются условия:

hu > 0, А', <—, |y>i(i)| > А») > 0 при i € [0,Т]. то

ТЬгЛг Лгл любой функции /(х, О такой, что f(x,t) £ Li{Q), f%{x, t) € ¿2(<3), /:v(.T, 0 € ¿2(0), /r(l,0 = 0, /(0,0 = /,(1,0 = о при t £ [0,71 и для любых функций щ(х), ui(x) таких, что щ(х) £ (D), U\(x) € W^iD) обратная задача 3.1 имеет решение {u(x,t),q(t)} такое, что и(х, 0 € Vo, q(t) £ Lx((0,T]).

В параграфе 3.2 рассматривается аналогичная задача для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом при решении.

Обратная задача 3.2: Найти функции и(х, t), q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением

«и. ~ uxr + q{t)u = f{x, t),

при выполнении для функции u(x,t) условий (13) - (Ц)-

Для этой задачи доказывается теорема существования, аналогичная теореме 3.1.1. но при ограничении Т < Т* с числом Т*. определяемым через данные задачи.

В дополнении описываются некоторые возможные обобщения полученных результатов. В частности, рассматриваются обратные задачи с двумя неизвестными коэффициентами qi(t), qn(t) в уравнении:

utt ~ uzx + qi(t)ut + q2(t)u = f(x,t) с внутренними и интегральными условиями переопределения.

В заключительной части подводятся итоги исследований приведенных выше обратных задач для гиперболических уравнения с различными условиями переопределения; формулируются выводы о разрешимости обратных задач, указываются некоторые возможные обобщения результатов, полученных в работе.

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Кожанову Александру Ивановичу за постановку задачи, а также поддержку и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Аниконов, Ю. Е. Обратные задачи для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аниконов, Н. Л. Абашеева, Н. Б. Аюпова, А. И. Кожанов, М. В. Нещадим, И. Р. Валитов // Сибирские электронные математические известия. 2008. Т. 5. С. 549 - 580.

2. Валитов, И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. - 2006. Т. 6, вып. 1. С. 3 - 18.

3. Валитов, И. Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений / И. Р. Валитов // Труды Стерлитамакско-го филиала Академии наук Республики Башкортостан. Сер. Физико-математические и технические науки. Выи. 3 / отв. ред. К. Б. Сабитов. - Уфа : Гилем, 2006. ■ С. 64 - 73.

4. Валитов. И. Р. О разрешимости некоторых гиперболических обратных задач с двумя неизвестными коэффициентами / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Мат. заметки ЯГУ. -- 2007. - № 14. - С. 3 - 16.

5. Valitov, I. R. Inverse problems for hyperbolic equations: a case of unknown factors, time-dependent / I. R Valitov // Abstracts of International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». - Moscow, 2006. P. 208.

Валитов Ильдар Русланович

Обратные задачи для гиперболических уравнений

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 13.11.2009 Формат 60 х 8*1}/1«. Гарнитура «Times». Печать оперативная. Усл. псч. л, 1.0 Тираж 100 экз. Заказ А"« 404.

Отпечатано в полиграфическом участке Стсрлитамакской государственной педагогической академии им Зайнаб Биипювой: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Введение

Глава 1. Обратные задачи для гиперболического уравнения с интегральным переопределением

§1.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации и данными Дирихле

§1.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении и данными Дирихле.

§1.3. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом и данными Неймана

Глава 2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с внутренним переопределением

§2.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации

§2.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении.

Глава 3. Обратные задачи для гиперболического уравнения с граничным переопределением

§3.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации

§3.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении.

Дополнение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Именно нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений и будут изучаться в настоящей работе. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, С.И. Кабанихи-на, А.И. Прилепко, А.Х. Амирова, Е.Г. Саватеева, Е.С. Глушковой, Д.И. Глуш-ковой, Т.Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, A.M. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Ямамото - см. монографии [11], [21], [24], [44] - [49], [55] - [59], [64], [71] -[73], [76], [77], [79], [81] и имеющуюся в них библиографию, а также статьи [1] " [3], [5] - [9], [14] - [16], [25], [26], [50], [65], [67], [69], [70], [82], [83], [88]. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных нежели в настоящей работе методов и при этом разрешимость устанавливалась в других пространствах.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости, единственности и устойчивости нелинейных обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка в ограниченной цилиндрической области в случае неизвестных коэффициентов, зависящих от времени.

Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового нелинейного «нагруженного» уравнения. Доказывается существование регулярного решения прямой краевой задачи и возможность построения с его помощью решения исходной обратной задачи. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методе регуляризации и методе неподвижной точки.

Основные результаты. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнения коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

2. Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

3. Исследована разрешимость начально-краевых задач для нелинейных «нагруженных» гиперболических и псевдогиперболических уравнений.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений. Значение работы также может быть определено прикладной значимостью исследованных обратных задач касательно различных вопросов современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на конференции «Студенческая наука в действии», г. Стерлитамак, СГПИ, 2003 г.; на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора К.Б.Сабитова, д.ф.-м.н., профессора Калиева И.А. (г. Стерлитамак, Стерлитмакский филиал АН РБ, Стерлитамакская государственная педагогическая академия, 2003-2009гг.); на конференции «Современные проблемы физики и математики», г. Стерлитамак, 2004г.; на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И.Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им С.Л.Соболева СО РАН, 2005-2007гг.); на конференции «Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования», (г. Ханты-Мансийск, 2005г.); на конференции «Региональная школа молодых ученых», г.Стерлитамак,

2006 г.; на International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». г.Москва, 2006г. на XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006г. на Российско-китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Белгород, БелГУ, 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [89]-[93]. Из совместных работ в Диссертацию включены результаты принадлежащие непосредственно автору.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав содержащих 7 параграфов, дополнения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 93 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

- Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнения коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

- Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

- Исследована разрешимость новых обратных задач нахождения решения и неизвестного коэффициента для псевдогиперболического уравнения.

Методы исследования основаны на использовании техники априорных оценок и техники, связанной с методом продолжения по параметру.

Методы исследования обратных задач основаны на переходе к специальным «нагруженным» уравнениям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи.

Полученные результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других нелокальных и обратных задач.

1. Амиров, А. X. К вопросу о разрешимости обратных задач / А. X. Амиров // Сиб. мат. журн. 1987. - Т. 28, № 6. - С. 3-11.

2. Амиров, P. X. Многомерная обратная задача для гиперболического уравнения и связанная с ней спектральная задача / P. X. Амиров // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 319, № 2. - С. 265-266.

3. Аниконов, Ю. Е. Вопросы управления и обратные задачи / Ю. Е. Анико-нов, Б. А. Бубнов // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 304, № 2. - С. 309-312.

4. Аниконов, Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений / Ю. Е. Аниконов ; АН СССР, ВЦ. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1978. - 118 с.

5. Аниконов, Ю. Е. Представления решений уравнений с переменными коэффициентами и обратные задачи / Ю. Е. Аниконов // Докл АН СССР. 1991. - Т. 318, № 5. - С. 1145-1148.

6. Аниконов, Ю. Е. Соотношения в некоторых обратных задачах для нелинейных уравнений / Ю. Е. Аниконов // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 315, № 4. - С. 850-853.

7. Аниконов, Ю. Е. Формулы в обратных задачах для дифференциальных уравнений и неравенств / Ю. Е. Аниконов // Докл. РАН. 1994. - Т. 337, № 1. - С. 23-24.

8. Аниконов, Ю. Е. Формулы в обратных задачах для уравнений 2-го порядка / Ю. Б. Аниконов // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 320, № 4. - С. 848-850.

9. Аниконов, Ю. Е. Формулы для решений некоторых обратных задач для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аниконов // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 319, № 5. - С. 1117-1119.

10. Белов, Ю. А. Метод слабой аппроксимации / Ю. А. Белов, С. А. Кантор ; Красноярск, гос. ун-т. Красноярск, 1999. - 236 с.

11. Бубнов, Б. А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений : дис. . д-ра. физ.-мат. наук / Б. Бубнов. Новосибирск, 1988. - 287 с.

12. Бубнов, Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для гиперболических уравнений : препринт № 713 / Б. А. Бубнов ; ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1987.

13. Бухгейм, А. Л. Введение в теорию обратных задач / А. Л. Бухгейм ; отв. ред. М. М. Лаврентьев ; АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - 183 с.

14. Глушкова, Д. И. Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / Д. И. Глушкова. Новосибирск, 2003. - 51 с.

15. Глушкова, Е. С. Об единственности некоторых обратных задач для телеграфного уравнения / Е. С. Глушкова // Мат. проблемы геофизики. -1975. Вып. 6, ч. 2. - С. 130-144.

16. Глушкова, Е. С. Теорема существования решения одной обратной задачи / Е. С. Глушкова // Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск, 1982. - С. 69-74.

17. Грассели, М. Обратная задача для интегродифференциального уравнения / М. Грассели, С. И. Кабанихин, А. Лоренци // Сиб. мат. журн. -1992. Т. 33, № 3. - С. 58-68.

18. Дженалиев, М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / М. Т. Дженалиев ; АН Респ. Казахстан. Ин-т теорет. и прикл. математики ; отв. ред. Д. У. Умбетжапов. Ал-маты, 1995. - 269 с.

19. Дурдиев, Р. К. К вопросу о корректности одной обратной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения / Р. К. Дурдиев // Сиб. мат. журн. 1992. - Т. 33, № 3. - С. 69-77.

20. Елдесбай, Т. Ж. Одномерные обратные задачи для вырождающихся эволюционных уравнений смешанного типа / Т. Ж. Елдесбай. Алматы : ГЫЛЫМ, 2003. - 209 с.

21. Исаков, В. М. О единственности решения некоторых обратных гиперболических задач / В. М. Исаков // Дифференциальные уравнения. 1974.1. С. 165-167.

22. Кабанихин, С. И. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач / С. И. Кабанихин, К. Т. Искаков. Новосибирск : Изд-во НГУ, 2001. - 315 с.

23. Кабанихин, С. И. Обратные задачи электродинамики / С. И. Кабанихин, В. Г. Романов, Т. П. Пухначева ; под ред. М. М. Лаврентьева ; Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск, 1984. - 201 с.

24. Кабанихин, С. И. О нелинейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений / С. И. Кабанихин // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 309, № 4. - С. 791-795.

25. Кабанихин, С. И. О разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений / С. И. Кабанихин /./ Докл. АН СССР 1984. - Т. 277, № 4. - С. 788-791.

26. Клибанов, М. В. Об одной задаче дифракции / М. В. Клибанов // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № 10. - С. 1777-1783.

27. Кожанов, А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А. И. Кожанов // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.

28. Кожанов, А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А. И. Кожанов // Мат. заметки. 2004. - Т. 76, № 6. - С. 840-853.

29. Кожанов, А. И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа / А. И. Кожанов // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2008. - Т. 8, вып. 3. - С. 8199.

30. Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения / А. И. Кожанов // Докл. АН России. 2006. - Т. 409, № 6. - С. 740-743.

31. Кулиев, М. А. Многомерная обратная краевая задача для линейного гиперболического уравнения в ограниченной области / М. А. Кулиев // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38, № 1. - С. 98-101.

32. Ладыоюеиская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. -М. : Наука, 1967. 736 с.

33. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического тина / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. М. : Наука, 1973. -576 с.

34. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. М. : Высш. шк., 1995. - 301 с.

35. Орловский, Д. Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения/ Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № 9. - С. 1614-1621.

36. Орловский, Д. Г. К задаче определения правой части гиперболической системы дифференциального уравнения / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 8. - С. 1437-1445.

37. Орловский, Д. Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25, № 6. - С. 1000-1009.

38. Орловский, Д. Г. Об обратной задаче для уравнения гиперболического тина в гильбертовом пространстве / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т. 27, № 10. - С. 1771-1778.

39. Орловский, Д. Г. Обратная задача Коши для линейных гиперболических систем / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20, № 1. - С. 98-104.

40. Райхель, Б. 3. Об одной обратной задаче для уравнения гиперболического типа / Б. 3. Райхель // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № 8/2. - С. 1462-1464.

41. Романов, В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов, М. М. Лавреньтев и др. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1969. - 267 с.

42. Романов, В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В. Г. Романов. М. : Наука, 1969. - 195 с.

43. Романов, В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В. Г. Романов ; под ред. М. М. Лаврентьева. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1972. - 163 с.

44. Романов, В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов. Новосибирск : Изд-во НГУ, 1973. - 152 с.

45. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. М. : Наука, 1984. - 264 с.

46. Романов, В. Г. Устойчивость в обратных задачах / В. Г.Романов. М. : Науч. мир, 2005. - 295 с.

47. Саватеев, Е. Г. О редукции одной обратной задачи для уравнения гиперболического типа / Е. Г. Саватеев // Докл. РАН. 1994. - Т. 334, № 5. - С. 562-563.

48. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1988. - 333 с.

49. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. : Мир, 1970. - 720 с.

50. Щеглов, А. Ю. Приближенное решение обратной коэффициентной задачи для квазилинейного уравнения гиперболического типа / А. Ю. Щеглов // Вестн. МГУ. Сер. 15, Вычислительная математика и физика. 2004. -№ 2. - С. 13-19.

51. Якубов, С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С. Я. Якубов. Баку : Элм, 1985. - 220 с.

52. Anikonov, Yu. E. Inverce and Ill-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov, B. A. Bubnov, G. N Erokhin. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997.

53. Anikonov, Yu. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997. - 204 p.

54. Anikonov, Yu. E. Inverse and Ill-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997. - 240 p.

55. Anikonov, Yu. E. Inverse Problems for Kinetic and Other Evolution Equations / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2001. - 270 p.

56. Anikonov, Yu. E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1995. - 134 p.

57. Belov, Yu. Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations / Yu. Ya. Belov. Utrecht, The Netherlands, VSP BV, 2002. - 212 p.

58. Bukhgeim, A. L. Introduction to the theory of Inverse Problems / A. L. Bukhgeim. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2000. - 232 p.

59. Cannon J.R. Dinninger D.E. Determination of an unknown forcing function in a hyperbolic equation from overspecified data. Annali di Mat.pure et applicata v LXXXV, P. 49-62, 1970.

60. Cannon, J. R. An inverse problem for an unknown sourse term in a wave equation / J. R. Cannon, P. DuChateau // SIAM J. of App. Math. 1983. -V. 43, № 3. - P. 553-564.

61. Denisov, A. M. Elements of Theory of Inverse Problems / A. M. Denisov. -Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1999. 292 p.

62. Denisov, A, M. Determination of a nonlinear coefficient in a hyperbolic equation for the Goursat problem / A. M. Denisov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. -V. 6, № 4. - P. 327-334.

63. Eden, A. On global behavior of solutions to an inverse problem for semilinear hyperbolic equations / A. Eden, V. K. Kalantarov // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004. - Т. 318.

64. Eldesbaev, Т. On an inverse problem for a hyperbolic equation with the characteristic degeneration of type and order / T. Eldesbaev // Differential Equations and their applications, Work Collect. Alma-ata, 1978. - P. 25-30.

65. Friedman, A. Hyperbolic Inverce Problem arising in the Evolution of Combustion Aerosol / A. Friedman, F. Reitich // Archive for rational mechanics and analysis. 1990. - 110, №4. - C. 313-350.

66. Grasselli, M. An Identification Problem for a Semilinear Hyperbolic Equation / M. Grasselli // Boll. Un. Mat. Ital. (7), 2-B. 1988. - P. 293-312.

67. Grasselli, M. Stability Estimates for a Nonlinear Hyperbolic Inverse Problem / M. Grasselli // Internal Report of the Department of Math "F.Enriques", University of Milan, Quaderno N.13. 1988.

68. Kabanikhin, S. I. Identification Problems of Wave Phenomena / S. I. Kabanikhin, A. Lorenzi. Utrecht : VSP, 2000.

69. Klibanov, M. V. Carleman Estimates for Coefficient Inverse Problems and Numerical Applications / M. V. Klibanov, A. A. Timonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2004. - 280 p.

70. Kozhanov, A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov. Utrecht : VSP, 1999.

71. Kurylev, Ya. Hyperbolic inverse boundary-value problem and time-continuation of the non stationary Dirichlet-to-Neumann map./Ya. Kurylev, Matti Lassas // J.Proc.R.Soc.Edinb., Sect. A, Math. 2002. - 132, №4. -P.931-949.

72. Lavrentiev, M. M. Inverse problems of Mathematical Physics / M. M. Lavrentiev. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2003. - 275 p.

73. Lorenzi, A. An Introduction to Identification Problems via Functional Analysis / A. Lorenzi. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2001. - 2401. P

74. Megrabov, A. G. Forward and Inverse Problems for Hyperbolic, Elliptic and Mixed Type Equations / A. G. Megrabov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2003. - 230 p.

75. Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. NY : Marcel Dekker. xii, 2000.- 709 p.

76. Puel, J. P. Generic Well-posedness in a multidimensional hyperbolic inverse problem / J. P. Puel, M. Yamamoto //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1997. -V. 5, № 1. - P. 55-83.

77. Romanov, V. G. Investigation Methods for Inverse Problems /V. G. Romanov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2002. - 280 p.

78. Savateev, E. G. An inverse problem for the Burger's equation and its hyperbolic regularization / E. G. Savateev // J. of Inverse and Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. - V. 1, № 3. - P. 231-244.

79. Savateev, E. G. Well-posedness and reduction of an inverse problem for a hyperbolic equation / E. G. Savateev // J. of Inverse and Ill-Posed Problems.- 1994. V. 2, № 2. - P. 165-180.

80. Scheglov, A. Yu. Iterative method for recovering a nonlinear source in hyperbolic equation with final overdetermination / A. Yu. Scheglov // J. of I.I.P.P. 2002. - V. 10, № 6. - P. 629-641.

81. Scheglov, A. Yu. The inverse problem of determination of a nonlinear course in a hyperbolic equation / A. Yu. Scheglov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. - V. 6, № 6. - P. 625-644.

82. Weston, V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation / V.H. Weston, R.J. Krueger // J.math. Phys. 1972. -V. 13. - P. 1952-1956.

83. Weston, V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation II / V.H. Weston, R.J. Krueger // J.math. Phys. 1972.- V. 14. P. 406-408.

84. Yamamoto, M. Lipschitz stability for a hyperbolic inverse problem by finite local boundary data. (English)Appl. Anal. 85, No. 10, pp.1219-1243 (2006)

85. Аниконов, Ю. E. Обратные задачи для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аникоиов, Н. JI. Абашеева, Н. Б. Аюпова, А. И. Кожанов, М. В. Нещадим,

86. И. Р. Валитов // Сибирские электронные математические известия. -2008. Т. 5. - С. 549-580.

87. Валитов, И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. - С. 3-18.

88. Валитов, И. Р. О разрешимости некоторых гиперболических обратных задач с двумя неизвестными коэффициентами / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Мат. заметки ЯГУ. 2007. - № 14. - С. 3-16.

89. Valitov, I. R. Inverse problems for hyperbolic equations: a case of unknown factors, time-dependent / I. R Valitov // Abstracts of International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». Moscow, 2006. -P. 208.