Аналитические исследования обратных задач сейсмики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

Введение

Глава I. Обратная кинематическая задача сейсмики и первые интегралы уравнений луча.

§ I. Постановка обратной кинематической задачи сейсмики и задачи интегральной геометрии

§ 2. Тождества и неравенства в обратной кинематической задаче.

§ 3. Постановка задачи определения первого интеграла.

§ 4. Теорема единственности в задаче определения симметрической т - формы.

§ 5. Об определении первого интеграла.

§ 6. Линеаризованная обратная кинематическая задача для анизотропной среды.

Глава 2. Линейный и квадратичный первые интегралы.

§ 7. Геометрический смысл линейного интеграла^

§ 8. Среды, допускающие линейный первый интеграл.

§ 9. Квадратичный первый интеграл.

§ 10.Обратная кинематическая задача для среды с коэффициентом преломления f(f,9)+fz(r)/r.

§ II. Обратная кинематическая задача на плоскости.

§ 12. Некоторые замечания.

Глава 3. Некоторые многомерные обратные динамические задачи сейсмики.

§ 13. Задача определения коэффициентов уравнений теории упургости изотропной среды.

§ 14. Обратная задача теории очага землетрясения.

§ 15. Задача определения однородного источника.

§ 16. Одна задача определения правой части уравнения Гельмгольца.

Глава 4.-Результаты тестовых расчетов по определению линейного первого интеграла.

§ 17. Алгоритм определения линейного первого интеграла.Л

§ 18. Формулы в одной прямой кинематической задаче.по

§ 19. Результаты расчетов.

Наиболее важной целью сейсмических исследований является определение внутреннего строения Земли, то есть ее физических характеристик-плотности, упругих параметров Ламе, скоростей распространения сейсмических волн, а также источников сейсмических возмущений, входящих в виде коэффициентов и правой части в систему уравнений теории упругости. В связи с этим основные задачи сейсмики относятся к обратным задачам для дифференциальных уравнений, в которых ищутся коэффициенты в уравнениях, начальные данные или правая часть по некоторой информации о решениях этих уравнений.

Первая постановка обратной задачи для дифференциального уравнения обязана геофизике и заключалась в определении скорости распространения сейсмических волн Xf-HА по времени движения. В одномерном варианте, когда А- ^ (^з), при дополнительном предположении о монотонности функции решение этой задачи было получено в начале

XX века немецкими геофизиками Г.Герглотцем и Е.Вихертом. В дальнейшем теория одномерной кинематической задачи как для рефра-гированных,так и для отраженных волн получила значительное развитие в работах М.Л.Гервера, В.М.Маркушевича [24,25] ,В.С.Гейко [22] ,С.В.Гольдина [26,27] , Г.М.Молчана [45]. В частности был выяснен характер неоднозначности решения одномерных задач.

Первые исследования обратной кинематической задачи для горизонтально-неоднородных сред в линеаризованной постановке бели выполнены М.М.Лаврентьевым и В.Г.Романовым [38,55] . На основе этих работ был создан численный алгоритм решения трехмерной обратной кинематической задачи [з].

В.М.Маркушевич и Е.Л.Резников рассмотрели случай, когда скорость распространения волн в трехмерном пространстве не зависит от одной из переменных, а система наблюдений выбрана специальным образом [43] .

Нелинейная многомерная обратная кинематическая задача рассматривалась в работах Ю.Е. Аниконова [8,9], Р.Г. Мухометова и В.Г.Романова [46,4?] , Г.Я.Бейлышна [1б], И.Н.Бернштейна и МЛ. Гервера [17] , в которых были получены результаты по единствен -ности, устойчивости и существованию решений обратных кинемати -ческих задач и тесно с ними связанных задач интегральной геометрии.

Другое направление в теории обратных задач сейсыикы составляют обратные динамические задачи, связанные с определением ха -рактеристик среды и источников возмущений по полное полю колебаний точек среды на поверхности наблюдений. Существенный вклад в постановку обратных задач сейсмики и их исследование внес А.С. Алексеевfl-4]. Впервые обратная динамическая задача для системы уравнений теории упругости (обратная задача Лэмба) была рассмотрена А. С. Алексеевым [i] в предположении, что плотность среды и упругие параметры Ламе зависят только от одной переменной. В дальнейшем важные результаты по обратным динамическим задачам были получены в работах В.Г. Романова [57,58], А.Л.Бухгежта [18,19] ,А.Г.ыегра-бова [4] ,А.С.Запреева[зз], Б.В.Кострова [Зб] , ,В.М.Маркушевича и Е.Л. Резникова [41] , С. И. Кабанихи на [34], Ю.Е. Аниконова и Г.Н.Ерохина [12] , В.Г. Яхно [64] и др.

Несмотря на большое количество исследований,интерес к обратным задачам'сейсмики продолжает стимулироваться тем, что конструктивные методы решения и наиболее эффективные алгоритмы получены в основном либо для линеаризованных постановок, либо для одномерных задач. Одномерная ке модель часто оказывается недостаточной аппроксимацией реальной среды. Накопленные геофизические данные свидетельствуют о том, что физические параметры Земли по существу являются функциями трех переменных.

В диссертации рассматриваются некоторые постановки обратных задач сейсмики. Основное внимание уделяется способам исследования, которые, как правило, конструктивны и приводят либо к формулам обращения, либо позволяют свести обратную задачу к некоторой классической задаче.

Работа состоит из четырех глав. Первые две главы посвящены обратной кинематической задаче сейсмики рефрагированных волн и продолжают исследования Ю.Е.Аниконова, связанные с определением структуры поверхностей уровня скоростной функции по групповым свойствам годографов. В третьей главе рассмотрены некоторые постановки обратных динамических задач, связанные с определением плотности и упругих параметров Ламе изотропной среды и источников сейсмических возмущений. В четвертой главе приводятся тестовые расчеты, иллюстрирующие результаты первых двух глав. Приведем краткое содержание и основные результаты работы.

Как известно [9] , уравнения лучей в изотропной среде при специальной параметризации имеют вид х = А(x)jrodA , 1х1 = Л(5(), где MS) - коэффициент преломления и обратная кинематическая задача заключается в определении функции А(*)по времени распространения возмущения

Ш) вдоль луча , соединяющего источники и приемники, расположенные в точках ^ ,, пробегающих множество точек поверхности наблюдений.Оказывается [lO,Il] , что наряду с этой задачей можно ставить и задачу определения не самой скоростной функции Vs •// А , а задачу определения структуры ее поверхностей уровня, что позволяет получать как важную с геологической точки зрения информацию о структуре изучаемой среды, так и сузить множество возможных решений обратной кинематической задачи. При этом принципиальным является вопрос о том, существует ли взаимно-однозначное соответствие между структурами поверхностей уровня скоростной функции и групповыми свойствами годографов. В первой главе на основании исследования задачи интегральной геометрии определения симметрической формы для широкого класса сред доказывается существование такой связи, которая осуществляется через первые интегралы уравнений луча, представляющих собой полиномы относительно вектора скорости луча. X п m L I Si

Здесь же- как частный случай доказанной теоремы об определении симметрической формы по ее интегралам вдоль геодезических римановой метрики: получен результат по единственности решения обратной кинематической задачи в случае анизотропной среды в аналитическом случае.

Во второй главе описываются среды, уравнения лучей^в которых допускают линейный и квадратичный относительно вектора скорости луча первые интегралы п п г и приводятся частные решения обратной кинематической задачи для таких сред. Существование первых интегралов при этом позволяет провести конструктивное исследование, то есть получить алгоритм решения обратной задачи.

В третьей главе рассмотрены некоторые обратные динамические задачи. В § 13 исследуется следующая задача. Пусть

Z W= i4

-- уравнения движения изотропной среды, где тензор напряжений связан с вектором смещений законом Гука

С;; * Щ) + Ш) <*»№ Щ и на плоскости Х3=0 задан вектор смещений U ( Xf, о ), напряжения б£з (, хг, о , t ) и функции А ( у,, уг, О ), // ( xf, О ), а также при t= 0 начальные смещения U(X, 0).

По этой информации требуется определить вектор смещений U ( X , t ), плотность р (X) и упругие параметры Ламе Д ( X ), //(X). Доказана единственность ж существование решения этой обратной задачи в классе аналитических функций. Исследование основано на редукции исходной задачи к нелинейной системе уравнений типа Коши-Ковалевской с данными на плоскости к3 =0.

В § 14 третьей главы изучается одна обратная задача сейсмо-логии-определение тектонической картины в районе очага землетрясения по сейсмологическим наблюдениям на поверхности Земли. Математическая постановка задачи заключается в следующем. Пусть D -область, заполненная однородной изотропной упругой средой и

У + f^Mj ^XG-D, JS {,2,3 i-i

- система Ламе после преобразования Фурье по времени. На границе области D выполнено условие свободной границы 3 о, г g где П - вектор нормали к »J , а вектор функция имеет вид

I = *ff «fog+WcTog хч

Oj<* os(xit*t>со) , где <? - функция Дирака. А

Такой вид вектор-функции соответствует модели Б.В.

Кострова [36] очага землетрясения и физически означает, что сейсмические возмущения вызваны разрывом сплошности среды, а вектор-функция СИ(У^) имеет смысл скачка вектора смещений вдоль плоскости разрыва Обратная задача заключается в определении вектор-функции О) по Фурье-образу вектора смещений, заданному на границе jT . В случае, когда информация задается на всей поверхности S* с помощью редукции этой краевой задачи к задаче во всем пространстве, основанной на применении формулы

Сомильяны и использования преобразования Фурье получена формула обращения для решения обратной задачи.

В § 15 третьей главы рассматривается задача определения правой части волнового уравнения и системы Ламе, представляющей собой однородную функцию f(X,t) (вектор-функцию ) по переменным f по следу решения соответствующей обобщенной задачи Коши, заданному на поверхности наблюдений. Физически- однородная вектор-функция -f(X>t) может моделировать источник типа землетрясения. Оказывается, что в этом случае волновое поле U(X,i) (вектор смещений U(X$i)) также являются однородныш и решение обратной задачи строится путем продолжения волнового поля (вектора смещений) с множества задания в область источника по однородности.

В § 16 изучается задача определения правой части уравнения Гельмгольца ди +kzU(x>K)^f(x)K) ,. по информации, заданной на границе S области D : ди(хук)/дп , * £ S, где Э /Эп - производная по нормали к S , если относительно правой части известно, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка 3

Под функцией ffX}K) понимается некоторый объемный источник (или вторичный источник, связанный с неоднородностью среды) специального вида. При этом условие Mj~ = 0 есть условие на его поверхности уровня по пространственным переменным. Решение' этой задачи основано на ее редукции к интегральному уравнению второго рода.

В четвертой главе приводятся результаты тестовых расчетов по определению структуры поверхностей уровня скоростной функции, иллюстрирующие результаты, полученные в первых двух главах диссертации. Здесь же получены формулы для решения прямой кинематической задачи для среды с коэффициентом преломления

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Ю.Е.Аниконову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. АЛЕКСЕЕВ А.С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн.- Изв.АН СССР. Сер.геофиз., 1962, № 1.,с Л514-1531.

2. АЛЕКСЕЕВ А.С. Обратные динамические задачи сейсмики,- В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.:Наука, 1967, с.9-84.

3. АЛЕКСЕЕВ А.С., ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., МУХОМЕТОВ Р.Г., РОМАНОВ В.Г. Численный метод решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики.- В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969, вылЛ, с.179-201.

4. АЛЕКСЕЕВ А.С., МЕГРАБОВ А.Г. Прямая и обратная, задачи рассеяния плоских волн на неоднородных слоях.- В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, вып. 4, с.8-29.

5. АНИКОНОВ Ю.Е. О геометрических методах исследования обратных задач.- В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1971, вып. 2, с.7-53.

6. АНИКОНОВ Ю.Е. Несколько частных решений обратной кинематической задачи. В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, вып.4, с.30-59.

7. АНИКОНОВ Ю.Е. Определение метрики поверхности Лиувилля.NСиб.мат.журн., 1973, т.14, №6, с.1338-1340.

8. АНИКОНОВ Ю.Е. Теорема единственности для многомерной обратной кинематической задачи сейсмики.- В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975, вып.5, ч.2, с.18-29.

9. АНИКОНОВ Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978, П8с.

10. АНИК0Н0В Ю.Е. Формулы и неравенства в одной обратной кинематической задаче.-Докл. АН СССР, 1979, т.245, № 3, с.521-523.

11. АНИКОНОВ Ю.Е. Обратная кинематическая задача сейсмики и некоторые вопросы звездной динамики.-Докл. АН СССР, 1980,т.252, № I," с.14-17.

12. АНИКОНОВ Ю.Е., ЕРОХИН Г.И. Формулы обращения в обратных задачах для волнового уравнения.- В кн.: Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССРД981, с. 28-43.

13. АНИКОНОВ Ю.Е., РОМАНОВ В.Г. Об однозначности определения форш первого порядка её интегралами по геодезическим.- В кн.: Некоторые математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979, с.22-27.

14. АРНОЛЬД В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1975, 239с.

15. АРНОЛЬД В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М. : Наука, 1978, 304с.

16. БЕЙЛЬКИН Г.Я. Единственность и устойчивость решения обратной кинематической задачи сейсмики.-В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. II.Л.: Наука, 1979, с.3-6. (Зап.науч.семинаров ЛОМ, т.84).

17. БЕРНШТЕЙН И.Н., ГЕРВЕР М.Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики.-Докл. АН СССР, 1978, т.243, № 2, с.302-305.

18. БУХГЕЙМ А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983, 205с.

19. БУХГЕЙМ А.Л., КАРДАКОВ В.Б. Решение обратной задачи для уравнения упругих волн методом сферических средних.-Сиб.мат. журн., 1978, т.19, Уе. 4, с.749-757.

20. ВЛАДИМИРОВ B.C. Обобщенные функции б математической физике. М.: Наука, 1976, 280с.

21. ГАНТМАХЕР Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1954, 491с.

22. ГЕЙКО B.C. Свойства и обращение годографа отраженной волны. -Докл. АН СССР, 1974, т.218, В I, с.88-91.

23. ГЕРВЕР М.Л., МАРКУШЕВИЧ В.М. Определение по годографу скорости распространения сейсмической волны.-В кн.: Методы и программы для анализа сейсмических наблюдений. (Вычислительная сейсмология, вып.З). М.: Наука, 1967, с.3-51.

24. ГОЛЬДИН С.В. Одна обратная кинематическая задача сейсмики отраженных волн.-Докл. АН СССР, 1977, т.233, В I, с.64-67.

25. ГОЛЬДИН С.В., СУВОРОВ В.Д. Аналитическое продолжение годографа отраженных волн.-Докл. АН СССР, 1975, т.222, № 4,с.825-828.

26. ГОЛУБЯТНИКОВ В.П., ПЕСТОВ Л.Н. О группе конформных преобразований R3 в звездной динамике и обратных кинематических задачах сейсмики.-В кн.: Приближенные методы решения и вопросы корректности обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с.35-43.

27. ГОЛУБЯТНИКОВ В.П., ПЕСТОВ Л.Н. О траекториях динамической системы, определенной однопараметрической группой конформных преобразований R3. -Сиб.мат.журн.,1983, т.24, № I, с.63-67.

28. ГОЛУБЯТНИКОВ В.П.', ПЕСТОВ Л.Н. Определение модельного источника сейсмических возмущений.-В кн.: Единственность, устойчивость и методы решения некорректных задач математической физики и анализа. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР., 1984, с.76-82.

29. ГОЛУБЯТНИКОВ В.П., ЕРОХИН Г.Н., ПЕСТОВ Л.Н. К задаче моделирования очага землетрясения: Препр. ВЦ СО АН СССР, № 477, Новосибирск, 1983, 18с.

30. ДУБРОВИН Б.А., НОВИКОВ С.П., ФОМЕНКО А.Т. Современная геометрия. -М. : Наука, 1979, 760с.

31. ЗАПРЕЕВ А.С., ЧЕВЕРДА В.А. О некоторых обратных задачах для волнового уравнения.-В кн.Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с.39-54.

32. КАБАНИН® С.И. Проекционный метод решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений.-В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984, с.55-59.

33. КОРН Г., КОРН Т. Справочник по математике. М.:Наука, 1977, 831с.

34. КОСТРОВ Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.:Наука, 1975, 176с.

35. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., РЕЗНИЦКАЯ К.Г., ЯШ) В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982, 88с.

36. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., РОМАНОВ В.Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений. Докл.АН СССР, 1966,т. 171, }е 6, с.I279-I28I.

37. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., РОМАНОВ В.Г., ШИШАТСКИЙ С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.-М.:Наука,1980, 287с.

38. ЛЕОНОВ А.С. К обоснованию выбора параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности и отношений. -ЖВМ и МФ, 1976, т. 18, Js 6.

39. МАРКУШЕВИЧ В.М., РЕЗНИКОВ Е.Л. Исследование строения симметричной твердой среды по стоячим SH волнам на поверхности. - В.кн.: Теоретическая и вычислительная геофизика, № 2, Москва, 1974.

40. МАРКУШЕВИЧ В.М., РЕЗНИКОВ Е.Л. Решение обратной задачи геометрической сейсмики для горизонтально-неоднородных сред.

41. Неединственность решения для среды с коэффициентом преломления П я ( * %(*)) - В кн.: Интерпретация данных сейсмологии и неотектоники. М.:■'Наука, 1975 (Вычислительная сейсмология, вып.8).

42. МИХАЙЛОВ В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1983, 424с.

43. МОЛЧАН Г.М. Об интегральном уравнении геометрической сейсмики для отраженных волн.- В кн.: Распознование и спектральный анализ в сейсмологии (Вычислительная сейсмология, вып.10). М.:Наука, 1977, с.196-213.

44. МУХ0МЕТ0В Р.Г. К задаче восстановления анизотропной римановой метрики в п мерной области: Препр. ВЦ СО АН СССР 136. Новосибирск, 1978, 30с.

45. МУХ0МЕТ0В Р.Г., РОМАНОВ В.Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в п -мерном пространстве.-Докл.АН СССР, 1978, т.243, № I, с.41-44.с48. НОВАЦКИЙ В. Теория упругости. М.:Мир, 1975.

46. ПЕСТОВ Л.Н. Первые интегралы геодезических конформной метрики и обратная кинематическая задача сейсмики. -В кн.:Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с.109-120.

47. ПЕСТОВ Л.Н. Об одной обратной задаче для гиперболического уравнения.- В кн.:Методы исследования некорректных задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983,0.69-74.

48. ПЕСТОВ Л.Н. Задача об источнике для уравнения Гельмгольца. -В кн.:Единственность, устойчивость и методы решения некорректных задач математической физики и анализа. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984, с.123-127.

49. ПЕСТОВ Л.Н. Некоторые обратные задачи для уравнений теории упругости.-В кн.:Методы решения некорректных математических задач и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,1984, с.81-89.

50. ПИЙП В.Б., ОБЛОГИНА Т.И. Восстановление двумерной скоростной функции методом подбора.-Прикл.геофизика, 1973, № 2.

51. ПОСТНИКОВ М.М. Вариационная теория геодезических, М.: Наука, 1965, 248с.

52. РОМАНОВ В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972, 164с.

53. РОМАНОВ В.Г. Интегральная геометрии на геодезических изотропной римановой метрики.-Докл. АН СССР, 1978, т.241, № 2, с.290-293.

54. РОМАНОВ В.Г. Обратная задача Лэмба в линейном приближении.- В кн.:Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983, с.51-78.

55. РОМАНОВ В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984, с.263.

56. ТИХОНОВ А.Н., АРСЕНИН В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:Наука, 1974, 224с.

57. ТИХОНОВ А.Н., ГЛАСКО В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода.-IBM и МФ, 1964, т.4, J-s 3.

58. ШАРАФУТДИНОВ В.А. Задача интегральной геометрии для тензорных полей и уравнение Сен-Венана.-Сиб.мат.журн. ,1983, т.24, № 6, с.176-187.

59. ШУЛИКОВСКИЙ В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М.:Наука, 1963.

60. ЭЙЗЕНХАРТ Л.П. Риманова геометрия.-М.: Изд-во инстр.лит., 1948, 316с.

61. ЯХНО В.Г. Одномерная и линеаризованная многомерная обратные задачи Лэмба. В кн. Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с.242-244.