Уравнения Вольтерра и обратные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О НЕКОРРЕКТНЫХ

ЗАДАЧАХ И ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРАХ

1. Классическая корректность и корректность по Тихонову

2. Абстрактные вольтерровы операторы и их свойства

4. Оценки ¿г(А) и критерии - непрерывности

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВОЛЬТЕРРА

1. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств

2. Операторное уравнение Вольтерра первого рода с недифференцируемым ядром

3. Примеры шкал банаховых пространств

4. Примеры операторных уравнений Вольтерра

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА

В ШКАЛАХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

1. Формулировка основных теорем

2. Определения и вспомогательные предложения

3. Доказательства основных теорем

4. Обратная кинематическая задача сейсмики

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ ШТЕГРО-ЛИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Основные оценки

2. Единственность и устойчивость решений интегро-дифференциальных уравнений и неравенств

3. Задача определения правой части эволюционного уравнения

4. Вырождающиеся интегро-дифференциальные неравенства

5. Операторные уравнения Вольтерра с коммутирующими ядрами

ГЛАВА 5. МНОГОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Обратные задачи, коммутаторы и априорные оценки

2. Линейные обратные задачи

3. Задачи определения коэффициентов

ГЛАВА 6. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ДИСКРЕТНОЙ ПОСТАНОВКЕ и устойчивость разностных схем

1. Постановка задачи и необходимые условия устойчивости

2. Основные оценки

3. Достаточные условия устойчивости

4. Примеры

ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРО-ДИЖРЕШЩЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

1. Постановка задачи

2. Необходимые условия устойчивости

3. Достаточные условия единственности и устойчивости

ГЛАВА 8. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

И РАССЕЯНИЯ ВОЛН

1. Обратная кинематическая задача рассеяния

2. Задача определения правой части уравнений Ламе

3. Постановка обратных задач рассеяния на препятствиях

4. Определения и вспомогательные факты

5. Единственность обратной задачи рассеяния в приближении Кирхгофа

Практически в любой науке процесс познания начинается с фиксации соответствующих явлений и с изучения причинно-следственных связей между ними. При этом обычно исследователю бывают доступны лишь некоторые косвенные проявления (следствия) скрытых от непосредственного наблюдения закономерностей (причин). Другими словами это задачи обратные в причинно-следственно отношении.

Первый этап решения обратной задачи заключается обычно в формулировке законов, связывающих причины со следствиями. Поскольку основные законы природы выражаются, как правило, на языке дифференциальных уравнений,мы в результате приходим к обратным задачам для дифференциальных уравнений. При этом упомянутые выше "причины" конкретизируются в виде неизвестных коэффициентов, правой части, начальных условий, неизвестной области определения дифференциального уравнения. В качестве же "следствий" выступают функционалы от решения дифференциального уравнения. Обычно это следы решения на некоторых 'многообразиях или какие-то его усредненные характеристики. Математически тот факт, что причина всегда предшествует следствию,находит свое отражение в том, что многие обратные задачи сводятся к решению операторных уравнений, являющихся в том или ином смысле уравнениями типа Вольтерра.

Другой характерной особенностью обратных задач математической физики является их некорректность в наиболее естественных с точки зрения приложений функциональных пространствах. Практическая значимость этих задач настолько велика, что за последние 25 лет возникла по сути дела новая область математики - теория некорректных задач, основы которой были заложены в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова.

Отметим некоторые обратные задачи, исследование которых связано с уравнениями типа Вольтерра.

Первые результаты по обратным задачам для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка были получены В.А.Амбарцумяном, Г.Боргом, А.Н.Тихоновым, Л.А.Чудовым, Н.Ле-винсоном. В известном смысле законченная теория этих задач была создана в работах В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана, М.Г.Крейна. Результаты всех этих работ давно стали классическими и вошли в соответствующие монографии (см. [97 , 100 , 103 ] и указанную там литературу). Многомерные аналоги этих задач как в точной ,так и в разностной постановках впервые рассмотрел Ю.М.Березанский [19 , 20]. Наиболее мощными методами исследования одномерных обратных задач оказались метод операторов преобразования и метод факторизации. В обоих методах главная роль принадлежит волътерровым операторам. В дальнейшем метод факторизации получил существенное развитие в работах Л.Д.Фаддеева [147] , Л.Л.Нижника [112] в результате чего он был распространен на некоторые 'многомерные обратные задачи.

Систематическое изучение многомерных обратных задач для гиперболических уравнений было начато в работах М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова (см. [96 , 123 , 124]). Рассмотренные ими задачи оказались тесно связанными с операторными и многомерными уравнениями типа Вольтерра. В 1970 году на международном математическом конгрессе в Ницце М.М.Лаврентьевым была поставлена задача исследования различных классов таких уравнений. Изложению теории этих уравнений и их приложений к многомерным обратным задачам посвящена основная часть диссертации. Перейдем к описанию ее содержания по главам.

В первой главе, которая носит вспомогательный характер , изложены используемые в дальнейшем понятия теории некорректных задач и теории абстрактных вольтерровых операторов. В этой главе вводится новое понятие б - непрерывности вольтеррова оператора и на основе точной оценки типа его резольвенты (Е -ЛА)~* устанавливаются достаточные условия б - непрерывности. Эта оценка имеет вид

Ъ(А)<2/ШРА + с(Р11<2/А+11 , (I) где / • ¡} ядерная норма, А+ = (А+А*)/2 . &={]?} -собственная максимальная цепочка вольтеррова оператора А . В отличии от известных доказательств оценки (I) (см. [ 63 ] и указанную там литературу) мы не предполагаем оператор Д дисси-пативным. Это обстоятельство существенно для наших приложений. При доказательстве критериев б - непрерывности и оценки (I) существенно используются результаты теории абстрактных вольтерровых операторов, изложенные в книгах И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна [62 , 63 ] и известная связь между плотностью нулей целой функции и ее ростом на бесконечности. В главах 2 и 3 исследуются соответственно линейные и нелинейные операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств и даются их приложения к обратным задачам . Используемый в главе 2 подход основан на сочетании теории абстрактных вольтерровых операторов, изложенной в главе I со шкаловой техникой, развитой при изучении линейной задачи Коши (см.[58 , 59, 117, 168]). Здесь оценка (I) используется для вычисления точной асимптотики модуля непрерывности этих некорректных задач, а свойство б - непрерывности позволяет доказывать теоремы единственности в целом. Исследуемые в этой главе уравнения тлеют вид и = Vu +f и Vu =/ , где оператор V задан, например, формулой ь Vu)(t) = fV(t,?)u(VdV, teloj] , (2) о

V(t, - двухпараметрическое семейство линейных операторов, действующее в банаховом пространстве £ (или шкале банаховых пространств). За счет того, что ядро или его производная V'(-t<T;) может быть неограниченным оператором,задача ис-ъ * следования вопросов корректности этих уравнений значительно сложнее своего конечномерного аналога. В нелинейном случае главы 3 наш подход является модификацией метода Ниренберга-Ни-сиды [115] . Доказанные теоремы обобщают известные теоремы существования решения абстрактной задачи Коши, а при вырождении шкалы в одно банахово пространство переходят в операторные аналоги теоремы А.Н.Тихонова [139] . Отметим, что первый глубокий результат по разрешимости нелинейной абстрактной задачи Коши был получен Л.В.Овсянниковым ¡118] . В качестве приложения доказана теорема существования и единственности решения коэффициентной обратной задачи для параболического уравнения, а также теорема существования двухмерной обратной кинематической задачи сейсмики. Ранее вопросы разрешимости обратной кинематической задачи, поставленной еще в начале века3были изучены только в одномерном (см. [125] и указанную там литературу) или линеаризированном случаях (см. Ю.Е.Аниконов [7,8] ).

В четвертой главе линейные операторные уравнения Вольтер-ра и, с неограниченным операторным ядром V (€f£) и связанные с ним интегро-дифференциальные неравенства изучаются методом весовых априорных оценок карлемановского типа. Основной результат здесь заключается в доказательстве теорем единственности и устойчивости. В качестве приложения получены теоремы единственности и устойчивости обратной задачи определения правой части эволюционного уравнения по заданным следам решения. В последнем параграфе этой главы методом, основанным на спектральной теореме фон Непитана,исследуется единственность и устойчивость операторных уравнений Вольтерра первого рода в предположении, что ядро или главная часть его образует нормальное коммутирующее семейство операторов. Эта задача была поставлена М.М.Лаврентьевым в [92] . Здесь же отметим, что редукция обратных коэффициентных задач к задаче Коши для интегро-диффе-ренциального уравнения на примере параболических уравнений впервые была осуществлена в работе Н.Я.Безнощенко, А.Й.Прилеп-ко ¡15] . При этом оставался открытым вопрос единственности решения подобных интегро-дифференциальных уравнений, который в абстрактной ситуации решается в главе 4. В главе 5 метод кар-лемановских оценок применяется для доказательства теорем единственности определения правой части или коэффициентов дифференциальных уравнений в частных производных произвольного порядка и типа. Отметим, что ранее теоремы единственности многомерных коэффициентных обратных задач были доказаны либо в малом, либо в специальных классах функций типа функций аналитических по части переменных. В частном случае уравнений второго порядка близкие результаты были получены одновременно и независимо от автора М.В.Клибановым [80] •

Дяя численного построения решения некорректных обратных задач типа рассмотренных в главе 5 можно воспользоваться конечно-разностным методом. Естественно при этом потребовать, чтобы для соответствующих разностных схем тоже были выполнены априорные оценки карлемановского типа. Разностные схемы с этим свойством мы называем устойчивыми по Карлеману. В главе 6 получены необходимые и достаточные условия такой устойчивости разностных схем для некорректной эволюционной задачи Коши. Разностные схемы для некорректных задач методом преобразования Фурье впервые изучались в работе Л.А.Чудова [l5l] • Предлагаемый в главе 6 подход позволяет исследовать устойчивость разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами. Эта задача была поставлена Л.А.Чудовым в ¡J52']. С другой стороны, из полученных в главе 6 оценок можно легко вывести условную устойчивость разностных аналогов обратных задач, рассмотренных в главах 4,5. Вопросы сходимости, устойчивости и регуляризации разностных схем для некорректных эволюционных уравнений с постоянным операторным коэффициентом другими методами изучались ранее в работах С.Г.Крейна, О.И.Прозоровской [89] , А.Б.Бакушин-ского[х2,1з] и других авторов.

В главах 7 и 8 исследуются многомерные интегральные уравнения типа

Ри = Ja0xa:,y)S(p(Jcty))u(y)cty +

3) J а, (х,у) &(р(эс,у))и(у)с1у = /сх).

Здесь б (р) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности Г (¿С) - Р(х, у) = О , 0 - функция Хевисайда; CL0 , ctt - гладкие весовые функции; U. - искомая функция переменной f (X) , X е С?t , тж заданная функция. В частности при а= о мы приходим к задаче интегральной геометрии. Получены необходимые и достаточные условия, при которых это уравнение имеет левый регуляризатор или обладает той или иной степенью устойчивости. Для аналитических О-о ,р либо в "малом" доказана единственность решения уравнения (3) в классе непрерывных финитных функций. Ранее были известны теоремы единственности только для поверхностей р и весов а о , а±, инвариантных относительно некоторой группы движений (см. В.Г.Романов [124]), либо в классе кусочно-аналитических решений (см. Ю.Е.Аниконов [7]). В качестве приложений рассмотрены следующие обратные задачи.

1. Задача определения правой части системы уравнений Ламе или волнового уравнения по следу решения на границе. Получены явные формулы решения, доказана теорема существования. В случае волнового уравнения эта задача исследовалась по сути дела еще Адамаром I . Тот факт, что эта задача корректна в случае задания следа на всей плоскости, доказана независимо Р.М.Гари-повым, В.Б.Кардаковым и автором (см. [28 , 54]).

2. Обратная задача рассеяния на выпуклом препятствии в приближении Кирхгофа на конечной серии частот. Доказана ее единственность и устойчивость. Для бесконечной серии частот единственность этой задачи была ранее установлена Ю.Е.Аниконовым и А.Г. Марчуком [ю], а для одной, но малой частоты В.Н.Степановым [134] .

3. Обратная кинематическая задача рассеяния на одномерной неоднородности искомой среды.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26 - 4б]. Большая их часть получена автором самостоятельно. Из совместных публикаций по теме диссертации вклад автора в совместной работе с В.Б.Кардаковым \4б] состоял в методе решения обратной задачи для волнового уравнения и теореме существования для нее, в то время как идея перенести этот метод на систему Ламе и котрпримеры неединственности принадлежат соавтору; в совместной работе с Н.П.Зенковой [44] автору принадлежат -теоретические разработки, а численная реализация алгоритмов принадлежит соавтору; в совместной работе с М.М.Лаврентьевым [94] автору принадлежит идея использования аналитического продолжения для сведения существенно некорректной задачи интегральной геометрии к слабо некорректной, в то время как соавтору принадлежит идея построения регуляризатора. Исследованные в диссертации обратные задачи составляют лишь небольшую часть всего многообразия обратных задач, изученных в настоящее время. По поводу других обратных и некорректных задач, а также связанных с ними классов операторов, уравнений и приложений см.[1 - 16, 18-25, 51-63, 65-106, 108-128, 130-147, 149-168] и указанную там литературу. Автор не ставил цель составить сколько-нибудь полную библиографию по всем затронутым в диссеро тации вопросам. В настоящее время она имеет порядок 10 . Приведены в основном только ссылки на использованную литературу, а также на монографию и статьи, в которых можно найти ссылки на более ранние работы.

Отметим, что теоретические разработки диссертации послужили идейной основой написанного под руководством и при участии автора комплекса программ по обратным задачам рассеяния. Акты о внедрении и отзывы прилагаются к диссертации отдельно. (См. приложение с. 311-315).

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. -352с.

2. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. 1,2. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1962, JS II, с. I5I4-I53I.

3. Алексеев A.C., Лаврентьев М.М., Мухометов Р.Г., РомановВ.Г. Численный метод решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1969, вып. I, с. 179-201.

4. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216с.

5. Амиров А.Х. Об одном классе многомерных обратных задач. -Докл. АН СССР, 1983, т. 272, Ш 2, с. 265-267.

6. Андрощук A.A. Операторы преобразования и теорема единственности в обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1971, т. 198, Jfi I, с. 9-12.

7. Аниконов Ю.Е. О разрешимости задачи интегральной геометрии. Мат. сб., 1976, т. 101, 1Ь 2, с. 271-279.

8. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 120с.

9. Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Обратная задача для уравнения Власова. Докл. АН СССР, 1982, т. 265, №5, с. 10371039.

10. Аниконов Ю.Е., Марчук А.Г. К обратной задаче дифракции.Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1975, вып. 6, ч. 2, с. 54-62.

11. Арсении В.Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток. Труды МИ АН СССР, 1973, т. 133, с. 33-51.

12. Бакушинский А.Б. Разностные схемы для решения некорректных абстрактных задач Коши. Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, В 10, с. I876-1885.

13. Бакушинский А.Б. О решении разностными методами некорректной задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения второго порядка. Дифференц. уравнения, 1972, т. 8,5, с. 881-890.

14. Безнощенко Н.Я. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 37-38.

15. Безнощенко Н.Я., Прилепко А.И. Обратные задачи для уравнений параболического типа. В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977, с. 51-63.

16. Бейлькин Г.Я. Единственность и устойчивость решения обратной кинематической задачи сейсмики. Зап. науч. семинаров ЛОМИ/ Ленингр. отд-ние мат. ин-та им. В.А.Стеклова, 1979, т. 84, с. 3-6.

17. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. - 344с. - (Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина: т. I).

18. Белоносова A.B., Алексеев A.C. Об одной постановке обратной кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды. В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967, с. 137-154.

19. Березанский Ю.М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера. Тр. Моск. мат. о-ва, 1958, т. 7, с. 3-51.

20. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965. 798с.

21. Бернштейн И.Ы., Гервер М.Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики. Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 2, с. 302-305.

22. Благовещенский A.C. Обратная задача для волнового уравнения с неизвестным источником. В кн.: Проблемы математической физики, Л., изд-во ЛГУ, 1970, вып. 4, с. 27-39.

23. Бояринцев Ю.Е., Васильев В.Г. Об устойчивости метода квазиобращения при решении некорректных эволюционных уравнений. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1969, т.9, В 4, с. 951-952.

24. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.- 344с.

25. Бродский М.С. О треугольном представлении вполне непрерывных операторов с одной точкой спектра. Успехи мат. наук, 1961, т. 16, J5 I, с. I35-I4I.

26. Бродский М.С., Кисилевский Г.Э. Критерий одноклеточности вольтерровых операторов с ядерными мнимыми компонентами.- Изв. АН СССР. Сер. мат., 1966, т. 30, № 6, с. I2I3-I228.

27. Бухтейм А.Л. Об одном классе операторных уравнений Воль-терра первого рода. %нкцион. анализ и его прил., 1972,т. 6, вып. I, с. 1-9.

28. Бухгейм А.Л. Об одной задаче интегральной геометрии. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1973, вып. 4, с. 69-73.

29. Бухгейм А.Л. Об аналитичности решения специальных интегральных уравнений 1-го рода. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1975, вып. 6, с. 2, с. 110-119.

30. Бухгейм А.Л. Неоходимые условия устойчивости одного класса интегродифференциальных уравнений. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1975, с. 78-85.

31. Бухгейм А.Л. Об одном классе интегральных уравнений первого рода. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, № I, с. 15-16.

32. Бухгейм А.Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, № 2, с. 272-275.

33. Бухгейм А.Л. Один класс операторных уравнений Вольтерра первого рода. В кн.: Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1978, с. 45-50.

34. Бухгейм А.Л. Обратная задача рассеяния в приближении Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1980, т. 254, В 6, с. 1292-1294.

35. Бухгейм А.Л. Обратная задача рассеяния в приближении Кирхгофа. В кн.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск, изд. ВЦСО АН СССР, 1980, с. 17-27.

36. Бухгейм А.Л. Специальные операторные уравнения в шкалахбанаховых пространств и их приложения: Препринт JS 253. -Новосибирск, 1980. 21с. - Б надзаг: ВЦ СО АН СССР.

37. Бухгейм А.Л. Нелинейные операторные уравнения Волътеррав шкалах банаховых пространств: Препринт $ 280. Новосибирск, 1981. - 21с. - В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

38. Бухгейм А.Л. Карлемановские оценки для оператора Волътерра и единственность обратных задач. В кн.: Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 56-64.

39. Бухгейм А.Л. Задача определения правой части эволюционного уравнения. В кн.: Неклассические задачи уравнений математической физики. Новосибирск, изд. Ин-та математики СО АН СССР, 1982, с. 52-53.

40. Бухгейм А.Л. Устойчивость разностных схем для некорректных задач. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 54-55.

41. Бухгейм А.Л. Об устойчивости разностных схем для некорректных задач. Докл. АН СССР, 1983, т. 270, й I, с. 26-28.

42. Бухгейм А.Л. Об одном алгоритме решения обратной кинематической задачи сейсмики. В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск, Наука, 1983, с. 152155.

43. Бухгейм А.Л. Уравнения Волътерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 208с.

44. Бухгейм А.Л., Зенкова Н.П. О дистанционном определении характеристик слоистых сред. Геология и геофизика, 1981,7, с. 81-88.

45. Бухгейм А.Л., Кардаков В.Б. Решение обратной задачи дляуравнения упругих волн методом сферических средних. Сиб. мат. журн., 1978, т. 19, № 4, с. 749-757.

46. Бухгейм А.Л., Клибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач. Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 2, с. 269-272.

47. Бухгейм А.Л., Конев В.Т. О некоторых обратных задачах рассеяния. В кн.: Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1979, с. 23-42.

48. Бухгейм А.Л., Зеркаль С.М., Пикалов В.В. Об одном алгоритме решения трехмерной обратной кинематической задачи сей-смики. В кн.: Методы решения обратных задач. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 38-47.

49. Бухгейм А.Л., Яхно В.Г. О двух обратных задачах для дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1976, т. 229, № 4, с. 785-786.

50. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 440с.

51. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

52. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

53. Гарипов P.M. Негиперболическая граничная задача для волнового уравнения. Докл. АН СССР, 1974, т. 219, № 4, с. 777-780.

54. Гарипов P.M., Кардаков В.Б. Задача Коши для волнового уравнения с непространственным начальным многообразием. Докл.АН (Ж, 1873, т, 813, ff 5, о, Ш-КВД,

55. Гелъфанд И.М. Интегральная геометрия и ее связь с теорией представлений. Успехи мат. наук, I960, т. 15, вып. 2,с. 155-164.

56. Гелъфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И. Интегральная геометрия в аффинном и проективном пространствах. В кн.: Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники). М., ВИНИТИ, 1980, т. 16, с. 53-226.

57. Гелъфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 440с. (Сер. Обобщенные функции, вып. I).

58. Гелъфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматгиз, 1958. 328с. (сер. Обобщенные функции, вып. 2).

59. Гелъфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. 356с. (Сер. Обобщенные функции, вып. 3).

60. Гласко В.В., Кравцов В.В., Кравцова Г.Н. Об одной обратной задаче гравиметрии. Вест. МГУ, 1970, № 2, с. 86-97.

61. Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. 336с.

62. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 448с.

63. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508с.

64. Градитейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы.интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108с.

65. Данфорд Н., Шварц Дк. Линейные операторы. Ш. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974. 664с.

66. Демидов Г.В. Некоторые приложения обобщенной теоремы Ковалевской. Численные методы механики сплошной среды/Ин-т теоретической и прикл. механики, Новосибирск, 1970, т. I, }Ь 2, с. 10-32.

67. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. 320с.

68. Запреев A.C., Цецохо В.А. Обратная задача для уравнения Гельмголъца: Препринт № 22. Новосибирск, 1976. - 19с. -В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

69. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах Докл. АН СССР, 1962, т. 145, № 2, с. 270-272.

70. Иванов В.К. 0 некорректно поставленных задачах. Мат. сб., 1963, т. 61, & 2, с. 211-223.

71. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206с.

72. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. Новосибирск: Наука, 1974. 204с.

73. Исаков В.М. 0 единственности решения задачи Коши. Докл. АН СССР, 1980, т. 255, I, с. 18-21.

74. Искендеров А.Д. Об обратных краевых задачах с неизвестными коэффициентами для некоторых квазилинейных уравнений. Докл. АН СССР, 1968, т. 178, № 5, с. 999-1003.

75. Искендеров А.Д., Тагиев Р.Г. Обратная задача об определении правых частей эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Вопросы прикладной математики и кибернетики, 1979, с. 51-56.

76. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении кдифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 160с.

77. Кайстренко В.М. О задаче Коши для гиперболического уравнения второго порядка с данными на времениподобной поверхности. Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, № 2, с. 395-398.

78. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Докл. АН СССР, 1951, т. 77, № I, с. II-I4.

79. Клибанов М.В. Об обратных задачах для одного квазилинейного параболического уравнения. Докл. АН СССР, 1979, т.245, !Ь 3, с. 530-532.

80. Клибанов М.В. Единственность в "целом" некоторых многомерных обратных задач. В кн.: Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1981, с. I0I-II4.

81. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач. Докл. АН СССР, 1982, т. 265, J6 6, с. 1306-1309.

82. Коллистратова М.А. Экспериментальное исследование рассеяния звука в турбулентной атмосфере. Докл. АН СССР, 1959, т. 125, Л I, с. 69-72.

83. Костелянец П.О., Решетняк Ю.Г. Определение вполне аддитивной функции ее значениями на полупространствах. Успехи мат. наук, 1954, т. 9, вып. 3, с. 135-140.

84. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512с.

85. Крейн С.Г. О классах корректности для некоторых граничных задач. Докл. АН СССР, 1957, т. 114, 1Ь 6, с. II62-II65.

86. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464с.

87. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104с.

88. Крейн С.Г., Петунин Ю.И. Шкалы банаховых пространств. -Успехи мат. наук, 1966, т. 21, № 2, с. 89-168.

89. Крейн С.Г., Прозоровская О.й. О приближенных методах решения некорректных задач. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1963, т. 3, № I, с. 120-130.

90. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832с.

91. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, изд. СО АН СССР, 1962. 68с.

92. Лаврентьев М.М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода. В кн.: Международный математический конгресс в Ницце, 1970, М., Наука, 1972, с. 130136.

93. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, изд. Новосиб. ун-та, 1973.

94. Лаврентьев М.М.,Бухгейм А.Л. Об одном классе операторных уравнений первого рода. Функцион. анализ и его прил., 1973, т. 7, вып. 4, с. 44-53.

95. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. - 88с.

96. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений. Докл. АН СССР, 1966, т. 171, В 6, с. 1279-1281.

97. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.- 284с.

98. Лаке П., йшипс Р. Теошя рассеяния. М.: Мир, 1971. *312с.

99. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336с.

100. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: Физматгиз, 1962. 324с.

101. Лидский В.Б. О суммируемости рядов %рье по главным векторам несамосопряженных операторов. Тр. Моск. мат. о-ва, 1962, т. II, с. 3-35.

102. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и Ш рода. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1979, т. 19, & 4, с. 970-988.

103. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977. 332с.

104. Маламуд М.М., Цекановский Э.Р. Критерии линейной эквивалентности волътерровых операторов в шкале 1В (о, Т)9 ш ссср> Сер# мат^ 1977^ 41>4, с. 768-793.

105. Мацаев В.И. О волътерровых операторах, получаемых возмущением самосопряженных. Докл. АН СССР, 1961, т. 139,4, с. 810-814.

106. Мацнев Л.Б. Об одном вольтерровом операторе. Дифференциальные уравнения и теория функций/Саратовский гос. ун-т, Саратов, 1977, вып. I, с. 65-69.

107. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.- 570с.

108. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.- В кн.: Итоги науки и техники. Матем. анализ, М.: ВИНИТИ, 1973, с. 129-178.

109. Мухометов Р.Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия. Докл. АН СССР, 1977, т. 232, Jiä I, с. 32-35.

110. Мухометов Р.Г. К задаче восстановления анизотропной римановой метрики в fl мерной области: Препринт № 136. -Новосибирск, 1978. - 32с. - В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

111. Мухометов Р.Г., Романов В.Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в П мерном пространстве. - Докл. АН СССР, 1978, т. 243, ih I, с. 41-44.

112. Иижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев: Наукова думка, 1973. 182с.ИЗ. Нижник Л.П., Тарасов В.Г. Обратная задача рассеяния для односкоростного уравнения переноса. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, $ 6, с. I307-I3I0.

113. Ниренберг Л. Лекции о линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. Успехи мат. наук, 1975, т. 30, вып. 4, с. 147-204.

114. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. 232с.

115. Новиков П.С. О единственности обратной задачи теории потенциала. Докл. АН СССР, 1938, т. 18, с. 165-168.

116. Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств. Докл. АН СССР, 1965, т. 163, }Ь 4, с. 819822.

117. Овсянников Л.В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств. Докл. АН СССР,.1971, т. 200, В 4, с. 789792.

118. Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975. 96с.

119. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. - 238с.

120. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала. Мат. заметки, 1973, вып. 14, JI 5, с. 755-765.

121. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1978. - 400с. - (Гармонический анализ. Самосопряженность: т. 2).

122. Романов В.Г. Обратные задачи и интегральная геометрия. -В кн.: Сборник трудов Всесоюзного симпозиума по обратным задачам. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, с. 53-63.

123. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. 164с.

124. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та, 1973. 252с.

125. Романов В.Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики. Докл. АН СССР, 1978, т. 241, В 2, с. 290-293.

126. Романов В.Г. Обратные задачи для гиперболических уравнений и энергетические неравенства. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, 1Ь 3, с. 541-544.

127. Романов М.Е. Метод характеристик численного решения обратной кинематической задачи сейсмики. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1972, вып. 3,с. 328-346.

128. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656с.

129. Сахнович Л.А. Спектральный анализ вольтерровых операторов и обратные задачи. Докл. АН СССР, 1957, т. 115,В 4, с. 666-669.

130. Свешников Л.Г., Еремин Ю.А., Чивилев A.B. Исследование единственности решения одной обратной задачи теории дифракции. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 12,с. 2205-2209.

131. Серавин Г.Н. Методы и средства измерения скорости звука в морской воде. В кн.: Акустика океана: Современное состояние. М.: Наука, 1982, с. 196-209.

132. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: изд. СО АН СССР, 1962. 256с.

133. Степанов В.II. Единственность решения обратной задачи рассеяния. В кн.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1980, с. 77-81.

134. Страхов В.Н. 0 методах приближенного решения линейных некорректных задач. Докл. АН СССР, 1971, т. 196, № 4, с. 736-788.

135. Страхов В.Н., Иванов С.Н. Конечно-разностный алгоритм решения задачи Коши для уравнения Лапласа. В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 250-253.

136. Тамме Э.Э. Об устойчивости разностных схем при решении некорректных задач методом квазиобращения. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, т. 12, № 5, с. I3I9-I325.

137. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 158с.

138. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применении к некоторым задачам математической физики. Бюл. МГУ, 1938, сер. А, т. I, J5 8, с. 1-25.

139. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195-198.

140. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т. 151, Jv 3, с. 501-504.

141. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № I, с. 49-52.

142. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 288с.

143. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Рубащов И.Б., Тимонов A.A. О решении проблемы восстановления изображения в Я.М.Р. томографии. Докл. АН СССР, 1982, т. 263, В 4, с. 872876.

144. Урев М.В. О продолжении магнитного поля с оси симметриив пространство. Радиотехника и электроника, 1983, т.28, Ур. 4, с. 772-779.

145. Успенский C.B. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству конических поверхностей. Сиб. мат. журн., 1977, т. 18, }Г> 3, с. 675-684.

146. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. В кн.: Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники). М., ВИНИТИ, 1974, т. 3, с. 93-180.

147. Харди Г.Г. Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. 456с.

148. Хёрмандер^Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. 380с.

149. Чащин О.Н. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода в шкале банаховых пространств. В кн.: Приближенные методы решения и вопросы корректности обратныхзадач. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 132144.

150. Чудов Л.А. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 4, с. 798-801.

151. Чудов Л.А. Разностные схемы и некорректные задачи для уравнений с частными производными. Вычислительные методы и программирование. М., изд. ГЛГУ, 1967, т. 8, с. 3462.

152. Шишатский С.П. Априорные оценки в задаче о продолжении волнового поля с цилиндрической времениподобной поверхности. Докл. АН СССР, 1973, т. 213, № I, с. 49-50.

153. Яхно В.Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения. Докл. АН СССР, 1980, т. 255, }Ъ 4, с. 807-810.

154. Carleman T. Sur un problème d'unicité pour les systèmes d'équations aux derivees partielles a deux variables indépendantes. Arkiv. Mat. Astr. Fys., 1939, 26В, К 17, S. 1-9.

155. Fredholm I. Sur une classe d'équations fonctionnelles. -Acta math., 1903, v. 27, p. 365-390.159* Friedlander F.G. On radiation field of pulse solutions of the wave equation, III. Proc. of the Royal society. Series A, 1967, v. 299, p. 264-278.

156. Helgason S. The Radon transform on Euclidean spaces,compact two-point homogeneous spaces and Grassmann manifolds. Acta Math., 1965, v. 113, p. 153-180.

157. John F. Continuous dependence date for solutions of partial differential equations with a prescribed bound. Communs Pure and Appl. Math., 1960, v. 13, N 4, p. 551-585.

158. Kahane C. Analyticity of mildly singular integral equations.- Communs Pure and Apll. Math., 1965, v. 18, N 4, p. 593626.

159. Kunamo-go H. Psevdodifferential operators and uniqueness of the Cauchy problem. Communs Pure and Appl. Math., 1969, v. 22, N 1, p. 73-120.

160. Majda A. High frequency asymptotics for the scattering matrix and the inverse problem of acoustical scattering. Communs Pure and Appl. Math., 1976, v. 29, p. 261-291.

161. Symposium on non-well posed problems and logarithmic convexity. Berlin a.o.: Springer, 1973«

162. Treves J.E. An abstract nonlinear Cauchy-Kovalevska theorem.- Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 150, p. 77-92.