О приближенных методах решения некоторых задач управления и наблюдения для уравнения колебаний струны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

р лги МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (. и 1СП им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

КУРЖАНСКИЙ МИХАИЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 517.977.1:517.956.3

О ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1993

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ВАСИЛЬЕВ Ф. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор РОЗОВ Н. X.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ИШМУХАМЕТОВ А. 3. > '

Ведущая организация — Институт проблем механики РАН. Защита диссертации состоится «/-2_1993 г.

/¿-уо

в / '- часов на заседании специализированного совета

Д. 053. 05. 37 по математике при МГУ по адресу: 119899, Москва ГСП, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан «/¿^ » СгиП^^^_тз г>

Ученый секретарь специализированного с профессор

Е. И. МОИСЕЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. Актуальность темы. Математическая теория оптимального управления в последние десятилетия развивалась очень интенсивно. К настоящему времени глубоко исследованы многие теоретические и прикладные аспекты для широких классов задач оптимального управления различными процессами, описываемыми как системами обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнениями с частными производными. (см., например, книги и статьи JI.C. Понтрягина, H.H. Красовско-го, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.Г. Бутковского, Ф.П. Васильева, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова, В.А. Троицкого, Ф.Л. Черноусько, Ж.Л. Ли-онса, Д.Л. Рассела и многих других авторов).

В теории оптимального управления важную роль играют разделы, изучающие проблему выбора допустимого управления, переводящего динамическую систему из некоторого начального состояния в заданное состояние к заданному моменту времени (задача управления). Эта проблема тесно связана со специальным классом обратных задач оптимального управления - задачами наблюдения, заключающимися в востановлении состояния заданной динамической системы в заданный момент времени по некоторому наблюдаемому сигналу о траектории системы. Оказалось, что каждой задаче управления можно поставить в соответствие т.п. двойственную задачу наблюдения и обратно, причем взаимодвойственные задачи управления и наблюдения либо обе неразрешимы, либо обе одновременно разрешимы, и, зная решение одной из задач, нетрудно получить решение другой задачи; поэтому параллельное изучение взаимодвойственных задач оказалось весьма плодотворным.

Большинство работ, в которых исследуются задачи управления и наблюдения, посвящено вопросам существования решения при различных предположениях о рассматриваемых динамических системах, о классах допустимых управлений и фазовых траекторий. Проблемы управляемости и наблюдаемости для систем с распределенными параметрами изучались в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, А.Б. Куржанского, А.Г. Наконечного, Ю.С. Осипова, В.А. Троицкого, С. Долецкого, Ж.-Л. Лионса, А. Притчарда, Д.Л. Рассела, X. Фатторини, Л.Ф. Хо и многих других авторов. Рассматриваемые вопросы могут быть интерпретированы как обратные задачи математической физики, поэтому здесь весьма

полезными оказываются методы исследования обратных задач, разработанные в трудах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и других авторов.

Кроме того, для приложений актуальным является изучение процессов, в которых присутствуют неопределенные возмущения - помехи - в уравнениях, описывающих динамику системы, в уравнениях наблюдаемых сигналов. Сложилось два основных подхода к их исследованию: стохастическое (вероятностное), и гарантированное оценивание. В первом подходе классические результаты принадлежат Р. Калману. Второй подход предполагает, что помехи не имеют статистического описания, но априорно заданы множества их возможных реализаций. Систематическое развитие теория гарантированного оценивания получила в работах H.H. Красовского, А.Б. Куржанского, Ф.Л. Черноусько и других авторов.

Что касается численных методов решения задач управления и наблюдения, то к настоящему времени наиболее широкое распространение получил метод моментов (см. работы А.И. Ахиезера, H.H. Красовского, C.B. Емельянова, А.Г. Бутковского, В. Крабса, Ф.П. Васильева, А.З. Иш-мухаметова, М.М. Потапова, и других авторов). Этот метод с одной стороны широко использовался как удобный математический аппарат для доказательства существования решения задач управления и наблюдения; с другой стороны, он оказался эффективным численным методом решения таких задач. Следует, однако, признать, что другие подходы к разработке численных методов для решения задач управления и наблюдения (например, конечно-разностные методы, метод прямых) к настоящему времени развиты недостаточно. Известная техника исследова--ния разностных методов и метода прямых (см. работы A.A. Самарского, П.Н. Вабищевича, А.З. Ишмухаметова, A.A. Злотнжка и других авторов) в основном разработана для задач с однородными граничными условиями, и ее непосредственное применение к исследованию соответствующих сеточных аппроксимаций к задачам управления с неоднородными граничными условиями вызывает определенные трудности.

Цедь работы. Цель настоящей работы - изучить возможность применения метода прямых, конечно-разностных методов для численного решения некоторых взаимодвойственных задач управления и наблюдения для систем, описываемых уравнением колебаний струны, исследовать некоторые варианты конечномерных аппроксимаций метода моментов при-

менительно к этим задачам, рассмотреть возможность точного восстановления начального состояния струны при наличии помех в наблюдаемом сигнале.

Методы иссдедовадид. В работе используются методы функционального анализа, теории разностных схем, методы математической физики, теория наблюдения в условиях неопределенности.

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:

1. Предложен и исследован метод прямых для решения задач граничного и зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны; исследовала сходимость конечных разностей для задач зонного управления и наблюдения.

2. Предложены варианты конечномерной аппроксимации задач граничного и зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны, основанные на обобщенном методе моментов; исследована их сходимость, получены оценки скорости сходимости.

3. Исследована задача апостериорного граничного наблюдения начального состояния струны при наличии помех в наблюдаемом сигнале, рассмотрена возможность точного восстановления начального состояния струны.

Практическая деняость. Полученные в работе результаты могут быть применены при численном решении задач, связанных с процессами управления колебательными системами и наблюдения таких систем, в том числе при наличии помех.

Адробадяя работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ, на научно-исследовательском семинаре института проблем механики РАН, на воронежской математической школе " Понтрягинские чтения - IV" (г. Воронеж, май 1993 г.).

Пубдяхадни. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4], перечисленных в конце автореферата.

Структура н объен работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, тре* глаз и списка литературы, включающего 154 наименования. Объем работы составляет 119 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В §1 главы 1 приводятся подробные постановки задач граничного и зонного управления и наблюдения, вспомогательные формулы; обсуждгь-ются вопросы существования решения задач управления и наблюдения; даются некоторые необходимые сведения из теории операторных уравнений.

Задача граничного управления: найти управление и = u(f) G Zi2[0,T] такое, что решение у = y(t, х) = y(t, х\ и) краевой задачи

у«-у*, = о, (x,t)eQ,' (1)

у|*=о = и(0; у\х=1 = О, 0 < t < Т; у|{=0 = у,|,=о = 0, 0 < х < I, при заданном t = Т удовлетворяло условию

»|г = -/»(*); 1л|т = /о(«). (2)

Введем оператор А следующим образом:

Au = (yt{x,T]u), -у(*,Г;«)); (3)

можно показать, что Л 6 £(Я — F), Я = L2[0,T], F = tf-^O, f] х L?[0, /]. Тогда условие (2) можно записать в виде операторного уравнения:

Аи = / = (/«, Л), (4)

где / = (/о, /,) € F, /о = yi(x) € Я'^О, /], /, = -уо(аг) £ L2[0, i].

Двойственная задача граничного наблюдения. Можно показать, что сопряженным к Л оператором является А* € £(F* —»•Я), определенный следующим образом:

Л*с=Ф1(<,х;с)|1=0, 0<t<T, (5)

где с = (со(лт), ci(®))' 6 i" = X L2[0,1\, Ф = Ф(4,х) = $(t,x;c) -

решение сопряженной краевой задачи

ф« - Ф« = о, (х, t)eQ (6)

Ф|*=0 = ф|,=* = 0, 0 < i < Т; Ф|{=т = со, Ф<|(=т = СЬ о <х<1

Предполагается, что начальные условия с = (со(дг), cj(r)) в (6) априорно не известны, а известна лишь функция

<7(0 = 9{t; с) = Ф,и„ = А*с, 0 < t < Т, (7)

называемая наблюдаемым сигналом. Требуется: зная функцию <;(£), восстановить величину {/, с)р - проекцию неизвестных начальных условий с на заданный вектор /. Функционал и, восстанавливающий величину (/> с}р> ищется в пространстве К* = Н линейных непрерывных функционалов так, чтобы его значения (и, д)д на сигнале д = совпали с искомой величиной {/, с)р, или, иначе говоря, восстанавливающая функция является решением уравнения

{*,9) = У,с)р, (8)

которое должно удовлетворяться при всех с € Р. Сформулированную задачу (6)-(8) будем называть задачей граничного наблюдения, двойственной к задаче управления (1)-(2).

Из (8) с учетом взаимосопряженности операторов А, А* имеем

{и, </)я = {и, Атс)н = <Лы, = {/, с) Ус 6 К (9)

Отсюда следует, что восстанавливающий функционал и задачи (6)-(8) является решением того же операторного уравнения (4), которому удовлетворяет решение задачи граничного управления (1)-(2). Таким образом, исходная задача управления (1)-(2) и двойственная к ней задача граничного наблюдения (6)-(8) обе одновременно либо имеют решение, либо не имеют его, причем для определения решения этих задач надо решать одно и то же операторное уравнение.

Задача зонного управления: определить управление и = х) € 12(С?1) переводящего фазовую траекторию у = = х; и) крае-

вой задачи

Ук = Ухх + С«, (<, х)€<Э,

у|*=о = у\т=1 = 0, 0 <t<T; у|(=0 = 0, у,!(=,, =0, 0 <х<1, в заданное конечное (при t = Т) состояние

2/|«=Т = уо{х), у(|«=т = у1(*).

Оператор б € Д!,2^) —»1?{<Э)) задал так:

Г„-\ «Мб НШ, ¡1<х<12

И (*.*)€ да,

(10) (П)

Введем оператор А следующим образом:

Аи=(у(Т,х-,и), у,{Т,х;и)). (12)

Можно показать, что А € £(#-+ F), Н = ¿2(<?i), F = #¿[0, /] х ¿2[0, J]. Тогда условие (11) может быть записать в виде операторного уравнения (4), где оператор А определен согласно (12), / = {уо(х), i/i(x)) € F.

Двойственная задача зонного наблюдения. Можно показать, что сопряженным к (12) оператором

Ac-G (t,x)GQ\Ql' ^

где с = (со(х), ci(r)) € F; Ф = Ф(^ х) - решение сопряженной краевой задачи

Фи-Фх.=0, («.*)€<?, (14)

Ф|х=о = Ф|х=/ = о, О < t < Т; ф|,=г = co(z), ф,|4=т = cj(r), 0 <х<1.

Предполагается, что начальные условия с(х) = (с0(х), cj(r)) в (14) априорно неизвестны а известна следующая информация о решении - функция

g(t,x) = Gm$t{t,x-c) = A*c, (t,x)eQi, (15)

называемая наблюдаемым сигналом. Требуется, зная функцию g(t, х), (t,x) € Q1, восстановить величину (/, с) р - проекцию неизвестных начальных условий с на заданный вектор / = (/о, /i) € F = Щ [0, /] X 1?\0, /]. Функционал и, восстанавливающий величину (/, с)р, ищется в пространстве Н* = Н = L2(Qi) линейных непрерывных функционалов так, чтобы его значения (и, д)ц на сигнале д = g(t, х) совпали с величиной (/, с)f, то есть, чтобы выполнялось уравнение

(u,5>P=</,C>F, VC€F. (16)

Сформулированную задачу (14)—(16) будем называть задачей зонного наблюдения, двойственной к задаче управления (10)-(11).

Из (16),'с учетом взаимосопряженности операторов А, Л*, рассуждая так же, как в (9), замечаем, что восстанавливающий функционал и задачи (14)—(16) является решением операторного уравнения (4) с оператором А из (12). Таким образом, решения задачи зонного управления (10)—(12)

и наблюдения (14)—(16) удовлетворяют одному и тому же операторному уравнению.

Итак, поставленные задачи граничного и зонного управления и наблюдения могут быть записаны в виде операторного уравнения (4) с оператором А из (3) или (12) соответственно. Поэтому для рассмотренных систем можно ввести следующее определение:

Определение Если уравнение Аи = / имеет решение при конкретном заданном элементе / € ^ то система называется /-управляемой (/-наблюдаемой по заданному сигналу).

Если уравнение Аи = / разрешимо при любых элементах / 6 то система называется вполне управляемой (вполне наблюдаемой по заданному сигналу).

В работах Ж. Л. Лнонса и других авторов показано, что при достаточно больших Т системы (1), (10) вполне управляемы, а системы (6), (7) и (14), (15) вполне наблюдаемы.

В §2 главы 1 предлагается аппроксимация задач с граничным управлением и наблюдением с помощью метода прямых, причем дискретизация осуществляется по пространственной переменной, по времени система оставляется непрерывной. На отрезке [0,/] введем равномерную сетку = кк, А: = 0,..., ЛГ + 1} с шагом А = //(ЛГ + 1) и рассмотрим следующие аппроксимации краевой задачи (1):

У к № = /Г2Ы,(0 - 2 у*(») + »_!(*)),

0<4<Т, к=\,...,Ы\ (17)

Уо(г) + с{У1{1) - у0(0) = УМ+1(0 = 0, 0 <t<т■

ук{0) = 0, ук (0) == о, аг. = 1, -.., ,

и краевой задачи (6):

ф4 (0 = Л"2($*+1(0 - 2Ф*(0 + $*-!(*)),

0<*<т, * = 1,...,ЛГ; (18)

Фо(0 + сг(ф,0) - ф0(0) = Фдг+жСО = 0, 0 < f < Т;

Ф4(Т) = со к = к'1 ¡х^)<Ц,

Фк (т) = си = Л"1 / к = 1,..., лг, -

где = (я* - Л/2, XI + Л/2), а а < 0 - параметр,

0<-а<(2/ + ЛГ1(/-Л/2)<(1/2). (19)

Определим кусочно-постоянные продолжения сеточных функ-

ций {¥>*}£=!:

и введем операторы Аь € £(Н —► А^и = (У/,, —ул), где уь = Ра, УА = РА{У* (Т)}^=1. Сопряженные к А/, операторы А'ь 6 С(Р* —♦ й") начальным условиям с = (со, с\) ставят в соответствие функции = Л"1 ($!(*) - Фв(0)€ Я = 12[0,21.

В качестве приближения для решения уравнения Аи = / берем решение и = ид задачи минимизации

И*»-И* « € ЯМ!), (21)

где Я(А1) - область значений оператора Лд. Показывается, что Я(А£) -конечномерное подпространство пространства Н и нижняя грань в (21) достигается в единственной точке и = щ € Д(Л^). Кроме того, в постановку задачи (21) можно включить дополнительное ограничение

I Ня<й; (22)

указаны правила выбора Я.

Доказывается теорема о сильной поточечной сходимости семейств операторов {Лд}, к А л А* соответственно при Л —» 0. А именно, верна

ТЕОРЕМА 3. Семейства операторов {.Аа} и {>15} при И —► 0 сходятся сильно поточечно к А а А' соответственно, то есть — -* 0, ||.А£с — .А*с||я 0 для любых фиксированных и 6 Н, с £ Р*.

Установлена сходимость решений задачи минимизации (21) и (21), (22) к решению соответствующей задачи граничного управления и наблюдения:

ТЕОРЕМА 4. Пусть Т > 21 и щ - решение задачи (21) или (21), (22). Тогда \\Акин - /\\р -* 0 при И 0.

ТЕОРЕМА 5. Пусть Т > 21 и щ - решение задачи (21), (22). Тогда для каждого фиксированного наблюдения д — А*с, с € Р*, имеет место сходимость (иь,д) (/,с) при Л —* 0.

В §3 главы 1 рассматривается аппроксимация задач с зонным упргь-влениеы и наблюдением с помощью метода прямых.

На отрезке [0,1\ введем равномерную сетку {г* = kh, к — 0N +}} с шагом h = ¡/(N + 1) и рассмотрим следующие аппроксимации краевой задачи (10):

yk(t) = h-2(yl+i(t)-2yk(t) + yl-1{t)) + ul{t), (23)

0 < t<T, k = l,...,N-, yo(t) = Q, -yw+iiO-O, 0 <t<T; yt(0) = 0, yk (0) = 0, k = l,:..,N ,

и краевой задача (14):

Ф*(') =-J5-- .

0<t<T, k = l,...,N-, (24)

Фо(0 = 0, *mi(t) = 0, о < Î<T; Ф»(Г) = со1, Ф4(Г)=си, k = l,...,N\

где

u»(i) = l/h£M(Gu)(t,m, к = 1,... ,N, cot = co(xi), en = (l/h) J^ Cx{x)dx, k = l,...,N . Определим:

n(t,x; u) = rJ(yi+1(i) - W(t))(* - xt) + y*(f), (25)

• x G [xi.ri-n], k = 0,...,N,

- это непрерывное кусочно-линейное доопределение функции {yt(f, и), fc = + 1} по переменной х;

ул,(<,х;и)=/j_I(yi+]-yt), х 6 [x4,rt+1], * = 0,...,ЛГ. (26)

Кроме того, пусть

yjw(t, х; «) ^ У* (0, на [хь, х*+1], к = 0,... ,N] (27)

г; с) ф4 (f), на [xt, xi+1], k=0,...,N. (28)

Введем разностные аналоги операторов А, А":

Аки Ш (УЬ(Т, х; и), уы(Т, х; и)) 6 Р; (29)

_¡ФЬt(t,x■,c)щ,^íll<x<lъO<t<T \

- \ 0 при 0 < г < /1, Ь <х < I, 0 <t <Т | ,=

В качестве приближения для решения уравнения Аи — / берется решение и = ид задачи минимизации

ИЛки-лк-и*. и€Я(л;). (31)

Задача (31) имеет единственное решение. В постановку задачи (31) можно включить дополнительное ограничение вида (22).

Доказывается теорема о сильной поточечной сходимости семейств операторов {Л/,}, {Ад} к А ж А" соответственно при к —► 0, аналогичная теореме 3. Установлена сходимость решений задачи минимизации (31) и (31), (22) к решению соответствующей задачи зонного управления и наблюдения (аналоги теорем 4,5).

В §4 главы 1 рассматривается аппроксимация задач с зонным у проявлением и наблюдением с помощью метода конечных разностей.

В этом случае дискретизация осуществлена как по пространственной переменной, так и по времени. Аппроксимирующая схема выбирается стандартным способом. Введем узлы (ц, *,•)» х* = кк, к = 0,..., Лг + 1; (ЛГ+1)Л = /; Ь, =/т, } = 0,...,М-(■ 1; Т = (Л/+1)т. Схема

У*,Я-1 - + ук+1^ - + ук-. ,„„,.

- -^-=-^-+ (32)

Л = 1,...,ЛГ> > =

. уо^=ун+и = 0, ] — 0,...,М+ 1; ц,о = Ш ~ УМ = О, ¿ = 1,...,ЛГ; аппроксимирует систему (10), а схема

Ф*Л-1 - + _ Фк+ц - 2Ф^J + Ф*-ц- , >

= ^ - - М)

Ь = 1...../уГ, У=

. $<>¿ = 0, Фи+и =0, з = о:...,м+1-, ФиМ+г = ^-«МГ = ^ Л = 1.....лг;

аппроксимирует систему (14). Здесь

uij = ~jIx^ft^{Gu)(t,x)dtdx, (34)

Со,* = co(xi), fc = 0,....,iV+l; Ci,i = i Г'+' Ci(x)dx, k = l,...,N\

h J*i

Используя сеточные восполнения решений задач (32), (33), вводятся разностные аналоги Лд,г> подобные (29), (30), операторов А, А'; проверена их взаимосопряженность. Аппроксимирующая задача управления-наблюдения, аналогичная задаче минимизации (31), является конечномерной. Учитывая сильную поточечную сходимость семейств разностных операторов при неограниченном уменьшении шагов сетки, доказанную в этом параграфе, в качестве приближенного решения выбирается решение указанной аппроксимирующей задачи. Доказана сходимость решений задачи минимизации к решению соответствующей задачи зонного управления и наблюдения.

В главе 2 для решений поставленных выше задач управления и наблюдения предлагаются конечномерные аппроксимации методов, которые, в соответствии с принятой в литературе терминологией будем называть обобщенным методом моментов.

В §1 главы 2 рассмотрен метод решения задач граничного и зонного управления и наблюдения, основанный па использовании полученных методом Фурье разделения переменных представлений решений в виде рядов (эти ряды приведены в §1 главы 1). Поэтому рассматриваемый метод кратко назван методом Фурье.

Для построения аппроксимирующих конечных сумм используется методика работы Ж.-Л. Лионса ( Lions J.-L. Exact controllabiHty, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. Vol.30, N 2. P.l-68. ). В этой статье был предложен метод, в основе которого лежит представление нормального решения и, уравнения Аи = / в форме и, = А'с. Предлагаемый метод аппроксимации в этом параграфе можно истолковать как конечномерный аналог метода указанной статьи в сочетании с представлением в виде ряда Фурье решений краевых задач. С помощью этого метода приближенное решение задача граничного и зонного управления и наблюдения представляется в виде конечных сумм Фурье, коэффициенты которых определяются из специальной системы

линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены случаи, когда эта система имеет диагональный вид. Доказана сильная сходимость метода, приведены оценки скорости сходимости:

ТЕОРЕМА 12. Пусть выполнено условие

(At?, = llA'tflfc > ц\\Щ, 4 Е F, At > О,

где Л = АА*; пусть - конечномерное подпространство F*, cff -решение задачи ЦЛсдг — f\\2F —► inf, сдг £ F^, с - решение уравнения Лс = /. Тогда limw-H»||cw — с|| = 0, причем верна оценка ||сдг — c|'jf. < (1/д) • ||/ - /n||f, N = 1,2,... , где fa = Vnp^f) - проекция элемента / на подпространство AFу = Fh- /n — Лея = Е^с^дЛе*. Кроме того, Нтдг-к» — «*|| = 0, где иц- = А'сц, и, = А'с, серна оценка

N = 1,2,...

В §2 главы 2 приведен еще один способ конечномерной аппроксимации рассматриваемых задач, основанный на одном из вариантов обобщенного метода моментов для решения задачи минимизации квадратичного функционала на шаре (см. Васильев Ф.П., Ищмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления // М., Изд-во МГУ, 1989.):

J(u) = ||Au - I\\2f - inf, u e Ur = {u € Я : |М|я < R}. (35)

Рассмотрим пространства Hn = £in{}ij, • • • Ллг}. Ясно, что Hn - подпространство Н, причем Hi С Н-2 С • • • С Нм С • • • С Н. Образуем подпространства Fn = A(Hn), Zn = A*A(Hn) = A*(Fn) пространств _Е. и, Н соответственно. Пусть Тцу- - проекция элемента ц £ F на под-пространтво Ftf. Обозначим Ац = "РцА, Jn = TnI и рассмотрим следующую аппроксимацию задачи Аи — /:

•М^лт) = ||.Ajvu>/ - /лг||р -* inf, ||илг|| < R, un £ Zn, (36)

Нетрудно показать, что Ац £ C{Zn —* Fn), A*n = A"Pn £ £(iV —+ Zn)-На основе предложенного метода аппроксимации дано представление приближенного решения рассматриваемых задач управления и наблюдения в виде конечных линейных комбинаций специально выбираемых элементов; для определения коэффициентов линейных комбинаций выписывается система линейных алгебраических уравнений. Получена апостериорная оценка скорости сходимости метода:

ТЕОРЕМА 14. Пусть оператор А таков, что 1И*с||2я>« VceF.

Пусть (им, An) ~ решение системы

A*n{Anun - fN) + ЛNuN = A"Pn(Aun - Я + >>nun = 0;

Ы1М1 - R) = 0, uN € ZN, ЦилгИ < R, Лдг > 0

npuR> (I/VaDII/II, пусть ur, - нормальное решение задачи (35). Тогда при R < оо имеет место оценка

Над - «в.II < -(ДлгЛ) + - /II + II WuN - ЯН). (37)

t1 у/11

Если R = +оо, «jv - решение уравнения А^А^щ; — /jy) = А"Рц(Аиц — /) = 0, то ||tw - tteo.ll < ^\\Aun -/||.

В главе 3 диссертации рассмотрена задача граничного наблюдения при наличии помех в наблюдаемом сигнале.

В §1 главы 3 приводится постановка задачи. Предполагается, что вместо точного сигнала g(t), определяемого формулой (7), известен неточный сигнал: g(t) = g(t) + £(i), 0 < t < Т. В этой, формуле функция 4(0 отражает неточность измерений; будем называть ее помехой наблюдения. Неизвестные значения f(f) будут считаться априорно ограниченными: £(t) G Е, где Е - заданное множество. Требуется, зная наблюдаемый сигнал g(t), оценить, а по возможности и восстановить начальные условия с. Показывается, что если Е = {£ = £(i) G L2[0,l\: ||f||z,j < 1}, то множество начальных состояний, совместимых с наблюдаемым сигналом (информационное множество), представляет собой эллипсоид, дается оценка его размеров. А именно, верна

ТЕОРЕМА 15 Пусть Т > 21. Тогда информационное множество является невырожденным эллипсоидом и представимо в виде:

М = {с G Г : (Л(с-го), (с-*„)>< а2}, (38)

где Л = АА", za = А~хАд* - центр эллипсоида, а2 = (Az0, zq) — ||р*||2 + 1.

Множество (38) принадлежит шару S = {с G F* : ||с — zo||^ < ^СПШГИя + С2(Т)}> где Сг(Т), Ci[T) - положительные постоянные, причем С\(Т) —* С«, ф оо, a Ci(T) —* 0 при Т —► оо.

В §2 главы 3, с использованием периодического поведения наблюдаемой системы, приводятся достаточные условия точного восстановления начального условия при получении сигнала с помехами.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Куржанский М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы. //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1992. N 3. С. 28-33.

2. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулии A.B. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны. //Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и хиберн.1993. N2.

3. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых и метод конечных разностей в задачах управления и наблюдения для уравнения колебаний струны. /МГУ.-Москва, 1993. -С.22. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 02.03.1993, No 505 - В93

4. Куржанский М.А. О возможности точного восстановления начального состояния струны по граничным наблюдениям с помехами. // " Понтрягинские чтения - IV": Тезисы докладов школы - Воронеж: ВГУ, 1993. с.118.

ППП .Патмт* Зак. 361 - 100