Оптимальное управление отдельными классами гиперболических систем первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Поплевко Василиса Павловна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫМИ КЛАССАМИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2010

4854253

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Аргучинцев Александр Валерьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Булдаев Александр Сергеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Самсонюк Ольга Николаевна

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 17 декабря 2010 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.074.01 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 20, Институт математики, экономики и информатики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета (г. Иркутск, бульвар Гагарина, 24).

Автореферат разослан 16 ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного / /Л^^

совета, канд. физ.-мат. наук, доцент Антонин В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными в значительной степени развивалась как обобщение теории оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Отсюда, в частности, возникает традиционное распределенное управление, входящее в правые части систем; отсюда же вытекают и попытки распространения на задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами традиционных методов исследования, идущих от систем с сосредоточенными параметрами. Вторым основным направлением изучения задач оптимального управления уравнениями с частными производными является применение к данным объектам общих методов анализа оптимизационных задач (функционально-операторные модели и методы оптимизации, принцип Лагранжа, методы решения абстрактных задач оптимального управления и т.п.). В этой связи отметим работы А.Г.Бутковского, О.В.Васильева, Ф.П.Васильева, В.А.Дыхты, А.И.Егорова, К.А.Лурье, М.М.Новоженова, Д.А.Овсянникова, Т.К.Сиразетдинова, В.А.Срочко, В.И.Сумина, М.И.Сумина, А.В.Фурсикова, В.А. Якубовича, N.U.Ahmed, H.O.Fattorini, J.-L.Lions, X.Li, K.L.Teo, S.Tzafestas, J.Yong и др.

He отрицая практическую важность и значимость указанных подходов, укажем вместе с тем на техническую сложность реализации распределенных управлений (в каждой точке пространства и в каждый момент времени) и актуальность исследования специальных типов задач - при сосредоточенном управлении, входящем в правые части и начально-краевые условия дифференциальных уравнений.

В последнее время значительно повысился интерес к изучению составных задач управления, в которых технологический, природный или экономический процесс описывается дифференциальными уравнениями разного типа в отдельных областях изменения независимых переменных, либо правые части или начально-краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на границе области.

Кроме того, во многих реальных проблемах искомые управления являются гладкими функциями. Это требование вытекает из физической сути исследуемых задач. Вместе с тем, существующие методы оптимального управления, основанные на использовании принципа максимума Л.С.Понтрягина, его следствий и модификаций, ориентированы на классы разрывных управлений.

Таким образом, актуальными являются: проблема разработки математического аппарата исследования задач поиска оптимальных сосредоточенных управлений, входящих в правые части и начально-краевые условия дифференциальных уравнений с частными производными, и проблема построения специальных методов оптимизации для случая гладких управляющих воздействий.

Объектом исследования в диссертационной работе являются задачи оптимального управления системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Этот выбор вызван, с одной стороны, многочисленными приложениями подобных задач к техническим, социально-экономическим и экологическим процессам, а с другой - наличием удобного математического аппарата (характеристики, интегральные представления решений и т.п.) для этого класса уравнений. В рамках данных систем описываются явления возбуждения и

распространения волн, кристаллооптика и электромагнитные колебания, динамика популяций, процессы тепло- и массопе-реноса в химических реакторах и др.

Цели и задачи диссертационной работы - исследование задач оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимизационных задач с управляемыми дифференциальными связями на границе достаточно общего вида; получение неклассических условий оптимальности граничных управлений в классе ограниченных и измеримых, а также гладких управляющих воздействий; построение итерационных методов улучшения допустимых управлений; оценка эффективности методов путем проведения численных экспериментов для прикладных химико-технологических задач.

Методы исследования основаны на использовании неклассических формул приращения целевых функционалов; нестандартных вариаций, обеспечивающих гладкость допустимых управлений. В работе использован аппарат математического анализа, теории оптимизации и управления, вычислительных методов. Численные расчеты на персональных компьютерах проводились с использованием системы МАТЬАВ 7.0.

Научная новизна.

1) Впервые исследованы задачи оптимального управления гиперболическими системами с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с точки зрения получения неклассических условий оптимальности вариационного типа в классе ограниченных и измеримых управляющих воздействий.

2) Впервые исследованы в классе гладких допустимых управлений задачи оптимального управления гиперболическими системами с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболических систем с граничными условиями общего вида. На основе применения нестандартных вариаций, сохраняющих гладкость допустимых управлений, установлены необходимые условия оптимальности.

3) Разработаны итерационные методы решения задач оптимального управления гиперболическими системами для указанных проблем, доказаны теоремы о сходимости, проведены расчеты для ряда иллюстративных примеров, осуществлена численная реализация метода для прикладной задачи оптимизации процессом ректификации в колонне.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

- необходимые и достаточные условия вариационного типа в задаче оптимального управления полулинейной гиперболической системой первого порядка с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в классе ограниченных и измеримых управлений (теорема 5.1, пункт 1.5, глава 1);

- необходимые условия оптимальности гладких управлений для указанного выше типа задач оптимального управления (теорема 2.2, пункт 2.2; теорема 3.1, пункт 2.3, глава 2); конструктивные варианты методов улучшения допустимых управлений (пункт 2.4, глава 2);

- необходимые условия оптимальности гладких граничных управлений для задач оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболических систем с достаточно об-

щей формой дифференциальных связей на границе (теорема 7.1, пункт 2.7, глава 2) и методы улучшения (пункт 2.8, глава 2);

- численная реализация методов улучшения гладких граничных управлений для решения прикладной задачи исследования процесса ректификации в насадочной колонне (пункт 3.3, глава 3).

Личный вклад автора. Основные результаты, включенные в диссертационную работу, получены соискателем лично. В совместных работах с научным руководителем Аргучинцеву A.B. принадлежит идея применения к рассмотренным в диссертации задачам общей методики гладкого варьирования.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации теоретические результаты представляют интерес в теории управления сложными динамическими системами. Предлагаемые методы и подходы открывают новые возможности для эффективного решения прикладных задач оптимального управления системами дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа, в частности, для задач техники (управление пучками заряженных частиц, лазерная физика, химическая технология), экономики (управление основными производственными фондами с учетом их возрастной структуры), экологии (динамика популяций, распространение эпидемий и наркотиков, процессы возбуждения и распространения гравитационных волн). Вычислительные методы апробированы в рамках разработанных программ для системы MATLAB 7.0.

Некоторые разделы диссертации используются в учебном процессе кафедры методов оптимизации (дисциплины специализации, курсовые и дипломные работы).

Апробация работы. Основные результаты, включенные

в диссертационную работу, докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- ХЫП Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.);

- ежегодная научная студенческая конференция Иркутского государственного университета (Иркутск, 2005 г.);

- IV Всероссийская конференция «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005 г.);

- III Межвузовская конференция «Математика и проблемы ее преподавания в вузе» (Иркутск, 2007 г.);

- Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 2008 г.);

- Международная конференция «Оптимальное управление: теория, методы и приложения», посвященная 70-летию со дня рождения профессора О.В. Васильева (Иркутск, 2009 г.);

- семинары кафедр методов оптимизации, вычислительной математики и механики Иркутского государственного университета (2006-2010 гг.).

Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Иркутском государственном университете в рамках следующих НИР, в которых соискатель является официальным исполнителем:

- грант Российского фонда фундаментальных исследований, проект 08-01-00709 «Качественные и конструктивные методы исследования неклассических задач вариационного исчисления и оптимального управления проект», 2008-2010 гг.;

- грант международного конкурса РФФИ-Белорусского фонда фундаментальных исследований, проект 06-01-81016 «Конструктивные методы решения задач оптимального управ-

ления системами гиперболического типа», 2006-2007 гг.;

- Федеральная целевая программа «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники», НИР «Информационно-математическое обеспечение решения прикладных задач оптимального управления», государственный контракт от 26.10.2005 № 02.442.11.7043, 2005 г.;

- Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., НИР «Операторно-дифференциальные системы: начально-краевые задачи, методы оптимального управления и их приложения», государственный контракт от 20.05.2010 № П 696, 2010-2012 гг.;

- Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., НИР «Оптимальное управление начально-краевыми условиями сложных динамических систем и приложения», государственный контракт от 02.06.2010 № И 1115, 2010-2012 гг.;

- грант поддержки научно-исследовательской работы аспирантов и молодых сотрудников Иркутского государственного университета, тема 111-02-000/8-02 «Исследование составных задач оптимального управления, возникающих при моделировании химико-технологических процессов», 2008 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, в которых отражено ее основное содержание. В число указанных работ входят 3 статьи [1]-[3] в журналах из «Перечня ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук». В работах [1]-[5], [9] научному руководителю Аргучинцеву А.В принадлежит идея применения общей методики, основанной на исполь-

зовании специальных вариаций гладких допустимых управлений.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 170 наименований. Общий объем диссертации составляет 131 страницу, включая 9 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование выбранного направления исследований, обзор работ, посвященных рассматриваемым в диссертации проблемам; сформулированы цель работы, основные положения, выносимые на защиту, и кратко изложено содержание глав.

В первой главе рассматривается задача оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Ох дх

— + A(s,t)— = f(x,y,s,t), (1)

(s, £) Е П, II — S х Т, S = [so, si],T = [fo,ti].

Здесь x = x(s,t) - n-мерная вектор-функция, A(s,t) - матрица размерности п х п, у = y(t) - m - мерная вектор-функция. Предполагаем, что система (1) записана в инвариантном виде, то есть матрица A(s,t) - диагональная. Дополнительно введем предположение, что диагональные элементы a¿(s,í), г = 1,2,..., п, матрицы коэффициентов знакопостоянны в П:

a¿(s,í)>0, i = 1,2, ...,mi; a?:(s, t) = 0, i = mi + 1, mi + 2,..., m2;

аг(-М) <0, г = т2 + 1,т2 + 2,... ,п.

Составим две диагональные подматрицы: I) размерности

т\ х 777,1 и £) размерности (п — т2) х (п — тг) из положительных и отрицательных диагональных элементов матрицы А соответственно. Из вектора состояния х выделим два под-вектора:

х

+

(х'х, Х2> . . . , X — (xm2+lj ®Ш2+2> • • • i 3-ri)-

Начально-краевые условия для системы (1) поставим в виде x(s, t0) = х°(s), s € S, x+{s0,t)=7](t), x-(sut) = fi(t),teT, (2)

V(t0) = /x(to) =

Будем предполагать, что входящая в правую часть (1) вектор-функция у является решением управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = g(y,u,t), íeT; y(t0) = y°. (3)

В качестве множества допустимых управлений выберем совокупность ограниченных и измеримых на отрезке Т г - мерных вектор-функций u(t), удовлетворяющих почти всюду ограничениям типа включения

u(t) е U, teT, (4)

где U - компакт из пространства Ег.

Целью задачи оптимального управления является минимизация функционала

J(и) — J (p(x(s,ti),s) ds + JJ F(x,s,t) ds dt, (5)

определенного на решениях задачи (1)-(3) при допустимых управлениях (4).

Решение задачи (1)-(3) понимается в интегральном смысле. Обобщенное решение существует и единственно в классе непрерывных в П функций, причем каждая его компонента Xi непрерывно дифференцируема вдоль любой характеристики г-го семейства характеристик.

Для исследуемого класса задач показана справедливость поточечного принципа максимума.

Значительно более нестандартным результатам посвящена вторая часть главы. Рассмотрен вариант линейной гиперболической системы, линейного целевого функционала и линейной управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с зависящими от управления коэффициентами при фазовых переменных:

f(x, у, s, t) = Ф(s, t)x + f{s, t) + C{t)y,

ip{x(s,ti),s) = {a(s),x(s,ti)),

F(x,s,t) = (b0(s,t),x(s,t)),

g(y(t), u(t), t) = B(u(t),t)y{t) + d(u(t), t).

Конечномерный принцип максимума не будет являться достаточным условием оптимальности даже в случае линейного целевого функционала.

Вместе с тем, для исследуемого класса задач оказалось весьма эффективным использование неклассической формулы приращения целевого функционала

A J (и) = - J < p(t, и), A~B(u(t),t)y + Ad(u, t) > dt. (6)

T

Здесь функции t) и p(t) являются решениями сопряженной задачи:

(dO + ^ = + (s,t)e П;

= -a(s), se S; ф-(з0 ,t) = О, i/t+(sut) = 0, t е T;

р = —Br(u, t)p(t) - j t) ds, p{ti) = 0.

s

Отметим принципиальное отличие полученной формулы приращения от классической: формула (6) является точной (без остаточных членов). Однако при этом система (3) интегрируется на возмущенном управлении. Формула (6) позволяет доказать вариационное необходимое и достаточное условие оптимальности.

Теорема 5.1 (вариационный принцип максимума).

Для оптимальности управления u*(t) в исходной задаче необходимо и достаточно, чтобы управление v* — u*(t) было оптимальным в задаче (7):

ВД = - / < p(t,u),(B(v(t),t) - B(u(t),t))y(t,v)+

T

+d(v(t), t) - d(u(t), t)> dt-ï min, (7)

y = B{v{t),t)y + d{v(t),t), teT, y(t0) = y°, v(t) e U.

Вторая формула приращения является симметричной и может быть получена из (6) формальной заменой и на и и й на и.

Она также позволяет сформулировать вариационное условие оптимальности.

На основе условия оптимальности предложена редукция исходной задачи оптимального управления к более простой задаче оптимизации в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом гиперболическую систему необходимо проинтегрировать всего лишь два раза - в начале процесса (после выбора начального допустимого управления) и в самом его конце. В заключение главы приводятся примеры, иллюстрирующие использование полученных формул приращения.

Во второй главе рассматривается задача (1)-(5) в классе гладких управлений. Управления удовлетворяют поточечным и/или интегральным ограничениям.

В случае поточечных ограничений на управляющие функции проварьированное управление строится по правилу

= + е^)), £ е г,

£ Е [0,1] - параметр, характеризующий малость вариации, 5(£) - непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям

£,, < £ + <$(£) < £ь £ £ Т.

Теорема 2.2 Пусть процесс {и,у,х} является оптимальным в рассматриваемой задаче. Тогда выполняется условие

(Л«(р(г),?/(£), «(£),£),«(£)) = о, £ € Т. (8)

В пункте 2.3. рассматривается исходная задача в классе гладких управлений, удовлетворяющих интегральным ограничениям:

/фД«(£))(/£ = ^, ¿ = 1,2, ...Л,

г

с дополнительным условием Ф^(Хи) = АаФ_,-(и), а > 1. Проварьированное управление в этом случае будем строить по правилу

щЖ) = \{1)и{1 + еОД), Х{1) = (1 + •

Здесь £ €Е [0,1] - параметр, характеризующий малость вариации, 5(1) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям

^o<t + S(t) <¿1, ¿еТ,

8(го) = б(и) = 0, |5(*)|<1, teт.

Теорема 3.1 Пусть процесс {и,х,у} является оптимальным в рассматриваемой задаче. Тогда всюду на отрезке Т выполняется условие

(К(р(1),у(г),и(1), г), «(£)) - -(Ли(р(<), у{г), Цг), г), и)г = о, (9)

■ а

ьеТ.

Условия оптимальности (8),(9) представляют собой специфические условия для гладких управлений. Их доказательство методом, основанным на исследовании формулы приращения целевого функционала, носит конструктивный характер, т.е. позволяет построить численный метод решения соответствующих задач оптимального управления и обосновать его сходимость.

В случае поточечных ограничений на управления, введем скалярную функцию

Пусть задано начальное приближение из класса допустимых функций и0(t). Опишем к-ю итерацию метода, т.е. переход от uk(t) к uk+1(t), к = 0,1,2,____Для управления uk(t) вычисляются yk(t) и решения сопряженной задачи pk(t), tpk(s,t), строится uj(pk(t,),yk(t),uk(t), ük(t),t). Если uk(t) = 0, t е Т, то управление ик удовлетворяет необходимому условию оптимальности, и алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае строим однопараметрическое семейство управлений uk(t) = uk(t + £Ök(t)) и решаем задачу одномерной минимизации

ек : J(uk) —> min, £ 6 [0,1]. Следующее приближение находится по формуле

ик+х = ukk,k = 0,1,2,...

Сформулировано утверждение о сходимости метода. Предложены конструктивные варианты выбора функции S(t).

Для интегральных ограничений на управляющие воздействия алгоритм остается тем же с точностью до определения функции ш. В этом случае

yk(t), At), ük(t), t) = (hu(pk(t), yk(t), uk(t), t), ük(t))~

--{K(pk{t),Vk{t),XLk{t),t),u)t. а

В пункте 2.5 приведен пример, иллюстрирующий одну итерацию метода.

В пункте 2.6 рассматривается задача оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболических систем с достаточно общей формой смешанных условий в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Сложность и особенность краевых условий заключается в том, что для нахождения решения на границе необходимо знать решение в самой

области. Для этой задачи получены результаты, аналогичные доказанным в пунктах 2.1-2.4.

В третьей главе в качестве модельной задачи рассмотрен процесс разделения смесей в ректификационных колоннах, описываемый гиперболической системой первого порядка. Управлениями являются функции отбора готового продукта внизу (испаритель) и вверху (конденсатор) колонны. С математической точки зрения, особенностью поставленной задачи является то, что управления: 1) входят в правые части дифференциальных связей на границах колонны - в испарителе и конденсаторе; 2) принадлежат классу гладких функций, удовлетворяющих дополнительным ограничениям, которые задают балансы потоков сырья и готовой продукции в колонне. Целью оптимального управления является достижение заданных параметров в конечный момент времени.

Для исследования задачи применялся численный метод, предложенный в главе 2. Была проведена серия расчетов по разделению смесей различного типа в колоннах. В качестве примера приведен процесс ректификации в колонне К-34, предназначенной, в частности, для сернокислотного алкили-рования изобутана бутиленами. Разделяемая многокомпонентная смесь сведена к бинарной. Для численного интегрирования прямой и сопряженной задач предложена специальная характеристическая неявная разностная схема. Численные расчеты проводились с использованием системы МАТЬАВ 7.0. Результаты численных экспериментов при различных входных данных, начальных приближениях и видах ограничений проиллюстрированы серией рисунков. Показана эффективность предложенных алгоритмов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК

1. Поплевко В.П. Оптимальное управление начальными условиями канонической гиперболической системы первого порядка на основе нестандартных формул приращения / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Известия вузов. Математика. - 2008. - №1. - С. 3-10.

2. Поплевко В.П. Вариационное условие оптимальности в задаче управления начально-краевыми условиями полулинейных гиперболических систем / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Автоматика и телемеханика. - 2008.

- №4. - С. 17-28.

3. Поплевко В.П. Оптимизация одного класса гиперболических систем с гладкими управлениями / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Известия вузов. Математика.

- 2009. - №7. - С. 71-76.

Прочие публикации

4. Поплевко В.П. Задачи оптимального управления, возникающие при моделировании процессов химической ректификации / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2009, №1. - С. 52-62.

5. Поплевко В.П. Неклассические условия оптимальности в задаче управления гибридными системами дифференциальных уравнений / А.В.Аргучинцев, В.П. Поплевко //

Межд. конф. «Дифференциальные уравнения и топология», посвящ. 100-летию со дня рожд. Л.С.Понтрягина. - М.: МГУ, 2008. - С. 314-315.

6. Поплевко В.П. Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления «составными» системами / В.П. Поплевко // Вестник Иркутского университета. -Иркутск: Изд-во Иркут. гос.ун-та, 2008. - С. 32-34.

7. Поплевко В.П. Оптимальное управление начальными условиями канонической гиперболической системы / В.П. Поплевко // Вестник Иркутского университета. -Иркутск: Изд-во Иркут. гос.ун-та, 2005. - С. 113-115.

8. Поплевко В.П. Оптимальное управление начальными условиями одного класса гиперболических систем первого порядка / В.П. Поплевко // Материалы III межвуз. конф. «Математика и проблемы ее преподавания в вузе». - Иркутск: Иркут. гос.пед. ун-т, 2007. - С. 183-187.

9. Поплевко В.П. Оптимальное управление начальными условиями канонических гиперболических систем / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Труды IV всерос. конф. «Математика, информатика, управление».- Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2005. - С. 6-8.

10. Поплевко В.П. Оптимальное управление линейной по состоянию канонической гиперболической системой / В.П. Поплевко // Материалы XLIII межд. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс». - Новосибирск: Новосиб. гос.ун-т, 2005. - С. 191-192.

Подписано в печать 12.11.2010 г. Формат 60x90/16. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 65.

Издательство Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 36; тел. (3952) 24-14-36

Введение

Глава 1. Оптимизация гиперболической системы с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1. Постановка задачи

1.2. Формула приращения функционала

1.3. Принцип максимума.

1.4. Краткий обзор численных методов

1.5. Условия оптимальности вариационного типа

1.6. Иллюстративные примеры

Глава 2. Оптимизация гиперболических систем в классе гладких управлений

2.1. Задача с поточечными ограничениями на управление

2.2. Вариация допустимого управления и необходимое условие оптимальности

2.3. Задача с интегральными ограничениями на управление и необходимое условие оптимальности

2.4. Численный метод

2.5. Иллюстративный пример

2.6. Постановка задачи с управляемыми дифференциальными связями на. границе

2.7. Формула приращения функционала и необходимое условие оптимальности

2.8. Численный метод

Глава 3.

Задачи оптимального управления, возникающие при моделировании химико-технологических процессов

3.1. Постановка задачи оптимального управления процессом ректификации в колонне

3.2. Разностные схемы

3.3. Численный эксперимент

В начале своего развития теория оптимального управления имела дело с наиболее простыми процессами, модели которых математически можно было описать системами дифференциальных уравнений (системы с сосредоточенными параметрами). Однако для корректного описания многих технологических процессов необходимо использовать дифференциальные уравнения в частных производных (системы с распределенными параметрами).

Разработка теории оптимального управления для объектов с распределенными параметрами является значительно более сложной проблемой, чем аналогичная проблема для -объектов с сосредоточенными параметрами. Причины этого заключаются в следующем: состояние объекта с распределенными параметрами описывается функциями нескольких независимых переменных; динамика таких систем описывается уравнениями различного типа (дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений с частными производными, интегральными уравнениями, интегро-дифференциальпыми уравнениями, смешанными дифференциальными уравнениями в частных и полных производных и т.п.); управляющие воздействия могут носить разнообразный характер (могут быть сосредоточенными или распределенными), причем их области определения могут носить непростой характер (сосредоточенные как на границе области задания, так и внутри области задания объекта); на управляющие воздействия и функции состояния объекта могут накладываться дополнительно (помимо основных уравнений) ограничивающие условия типа равенств или неравенств более разнообразного характера по сравнению с ограничивающими условиями для систем с сосредоточенными параметрами.

В силу этого наибольшее число ученых, занимающихся исследованием моделей управления распределенными системами, акцентируют внимание на изучение конкретных классов задач оптимального управления и на поиск общих приемов и методов анализа таких задач (см. монографии и обзоры А.В. Аргучинцева., А.Г.Бутковского. О.В.Васильева. Ф.П.Васильева, В.А.Дыхты. А.И.Егорова. К.А.Лурье, А.И.Москаленко, М.М.Новоженова, Д.А.Овсянникова, Т.К.Сиразетдинова, В.А.Срочко. В.И.Сумина, М.И.Сумина, В.А. Терлецкого, А.В.Фурсикова. N.U.Ahmed. H.O.Fattorini, J.-L.Lions, X.Li, K.L.Teo. S.Tzafestas, J.Yong и др. [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 22, 23, 27, 30, 46, 49, 52, 54, 55, 71, 72, 76, 80, 82, 86, 87, 88, 89, 90, 95, 96, 99, 100, 101, 102, 108, 117, 125, 126, 127, 130, 132, 133, 140, 141, 145, 152, 156, 157, 159, 162, 164, 165, 167]).

Задача оптимального управления гиперболической системой типа Гурса-Дарбу была исследована с точки зрения получения условия оптимальности типа принципа максимума А.И.Егоровым в [51], который позже [53] применил полученные результаты к решению некоторых задач теории инвариантности. Т.К. Сиразетдиновым в монографии [117] исследованы задачи оптимального управления для полулинейных и квазилинейных одномерных гиперболических систем. В этой работе получено необходимое условие оптимальности типа принципа максимума при условии существования и единственности непрерывного решения систем для любого допустимого управляющего воздействия. Однако для этого приходится предполагать, что управление не терпит разрывов вдоль характеристик системы.

В работах [27. 28, 134] получены необходимые условия оптимальности первого порядка типа поточечного принципа максимума JI.C. Понтряги-на для распределенных управлений, построен метод поиска управлений, удовлетворяющих необходимому условию оптимальности. Срочко В.А. [27; 118. 119. 120] были рассмотрены задачи в специальных классах гиперболических уравнений (каноническая система первого порядка и система Гурса-Дарбу) с двумя семействами ортогональных характеристик и распределенными управлениями с точки зрения получения неклассического условия оптимальности. В данных работах было доказано, что оптимальное для исходной задачи распределенное управление доставляет максимум функционалам в двух задачах оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных на характеристиках того или иного семейства. Полученное необходимое условие оптимальности (вариационный принцип максимума оказалось более сильным, чем классический принцип максимума. Для той же задачи, что и в [118]. аналогичный результат был получен в [103] путем расшифровки условия оптимальности для модели оптимального управления дифференциальной системой в банаховом пространстве. Однако авторы этой работы использовали его как вспомогательное на пути к доказательству классического принципа максимума. Отметим также, что на зависимость необходимых условий оптимальности в гиперболических системах от вида вариации управления указывается в [82]. В работе [27| для полулинейных гиперболических систем с распределенными управлениями был доказан вариационный принцип максимума. С помощью более общей техники, применимой и для многомерных гиперболических систем в [135] получен этот же результат. Авторы [13.14. 15] на основе модификации метода [47] установили справедливость вариационного принципа максимума для задач управления гиперболическими системами с дополнительными функциональными ограничениями, а также нефиксированной границей рассматриваемой области. Отметим несколько работ по усилению принципа максимума [40. 41. 42].

Небольшое число работ посвящено проблемам граничных управлений в рассматриваемых системах. Отметим, что для задач с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде конечномерных связей, несправедлив аналог классического принципа максимума Л.С.Поптрягина [169]. Для гиперболических систем первого порядка в [149. 151] установлена справедливость дифференциального линеаризованного принципа максимума как необходимого условия оптимальности граничных управлений. Ряд работ посвящен исследованию задач управления граничными условиями в классических гиперболических уравнениях второго порядка, описывающих колебательные процессы [137, 138]. В [61, 62, 63, 64. 75, 92, 114] получены аналитические представления для граничных управлений, обеспечивающих перевод системы, описываемой простейшим волновым уравнением, в заданное состояние. Для гиперболических уравнений второго порядка с управляемыми краевыми условиями первого, второго и третьего рода и общих гиперболических уравнениях законов сохранения в статьях [32, 113] предложен метод решения задач управляемости. В работе [75] строятся обобщенные решения волнового уравнения для четырех смешанных задач. A.B. Аргучинцевым [10] проведено исследование нескольких типов допустимых вариаций управления, приводящих к различным необходимым условиям оптимальности в классах ограниченных и измеримых управлений.

В [98] рассматривается задача граничного управления колебаниями струны, описываемыми волновым уравнением. Здесь устанавливается критерий оптимальности, основанный на минимизации интеграла от линейной комбинации самого управления и его первообразной.

Одним из важнейших направлений исследования задач оптимального управления является построение численных методов решения задач оптимального управления.

Аппарат принципа максимума для распределенных систем является наиболее мощным средством на пути к решению задач оптимизации. Поэтому, в первую очередь, выделим методы, основанные на принципе максимума Понтрягина. Метод последовательных приближений И.А.Крылова, Ф.Л.Черноусько [73. 74] является первоисточником соответствующего класса методов в задачах оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод заложил снову для процедур игольчатого варьирования. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к эффективным процедурам варьирования управления, которые позволили обеспечить свойство монотонности метода по функционалу и обосновать сходимость последовательных приближений по невязке принципа максимума (работы Р.Габасова. Ф.М.Кирилловой [33. 34]. Н.Е.Кирина [70]. А.А.Любушина. Ф.Л.Черноусько [83, 84, 85, 140], О.В.Васильева, В.А.Срочко, В.А.Терлецкого, А.И.Тятюшкина [24, 25, 27, 29, 142, 143, 144], В.В.Дикусар, А.А.Милютин [46], Б.Маупе, Е.Ро1ак [161], К.Тео, Ь.Уео [166]).

В результате сформировался целый комплекс алгоритмов игольчатого варьирования с единой операцией поиска вспомогательного управления из условия максимума функции Понтрягина. Определенный итог этому направлению исследований подведен в работах В.А. Срочко [120, 121], где обоснован оптимальный (в смысле наискорейшего спуска) способ варьирования управлений в методах, основанных на принципе максимума.

Авторы работ [8. 27] предложили общий подход к построению методов игольчатого варьирования. Структура итерационных процессов практически не зависит от типа управляемых систем. Получение необходимых условий оптимальности вида принципа максимума Понтрягина и обеспечивающих сходимость оценок остаточных членов в формулах приращения целевых функционалов позволяет говорить о допустимости применения.

В последние годы В.А. Срочко. его учениками и последователями [2, 3, 18, 19, 20, 59, 122, 123, 124, 150] предложен новый подход к построению методов улучшения, который основан на нестандартных аппроксимациях целевого функционала и конструктивных процедурах варьирования управлений. В силу того, что реализация методов существенным образом связана с интегрированием разрывных по состоянию систем дифференциальных уравнений, их распространение на задачи оптимизации системами с распределенными параметрами представляет сложную проблему.

Отметим градиентные процедуры оптимального управления, которые используют классический способ слабого варьирования управлений. В задачах оптимального управления уравнениями с частными производными эти методы развивались, например в [131, 147, 151]. Много работ посвящено различным модификациям уже известных градиентных методов. В частности в [158] рассматривается задача оптимального управления системами в частных производных при поточечных ограничениях на управление, состояние и его производных. Используя подход Moreau-Yosida, проведена модификация метода Ньютона для решения задачи.

Методы игольчатого варьирования, на наш взгляд, имеют следующие преимущества:

- необязательность предположения о дифференцируемости параметров задачи по управлению (в отличие от градиентных процедур);

-допустимость достаточно общих (например, невыпуклых) ограничений на управляющие воздействия;

- отсутствие краевой задачи принципа максимума;

- возможность комбинации с градиентными методами.

К недостаткам методов игольчатого варьирования следует отнести скачкообразный характер варьирования, что в процессе итераций может привести к неограниченному накоплению точек (поверхностей) разрыва управления.

Многие технологические объекты описываются уравнениями в частных производных, и в общем случае их пытаются решать методом конечных разностей [50]. Причем происходит подмена системы с распределенными параметрами системой с сосредоточенными параметрами и в связи с этим потеря информации о динамике исходной системы.

Среди "прямых" методов в задачах оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными, не использующих условия оптимальности, можно выделить также применение аппарата асимптотического анализа [66].

Таким образом, можно сделать вывод, что в настоящее время недостаточно развиты эффективные методы численного решения задач оптимального управления в системах с распределенными параметрами.

В последнее время значительно повысился интерес к изучению составных задач управления, в которых технологический, природный или экономический процесс описывается дифференциальными уравнениями разного типа в разных областях изменения независимых переменных, либо начально-краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на границе области [39, 153, 170]. К таким задачам, в частности, относятся изучаемые в данной работе задачи оптимального управления процессом химического разделения смесей в ректификационных колоннах.

Отметим, что в системах обыкновенных дифференциальных уравнений для учета поточечных (амплитудных) ограничений на управления совершенно естественно расширять класс допустимых управляющих функций до измеримых и ограниченных. В уравнениях с частными производными такое расширение класса допустимых управлений вызывает дополнительные трудности, связанные с технической сложностью реализации измеримых управляющих функций многих переменных и необходимостью перехода к обобщенным решениям дифференциальных уравнений. В нашей работе для решения составной задачи оптимального управления в классе ограниченных и измеримых функций предлагается редукция исходной задачи к более простым задачам оптимизации в системах обыкновеннных дифференциальных уравнений. Для решения этих вспомогательных задач можно использовать весь набор достаточно эффективных методов, разработанных для задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Во многих прикладных задачах оптимального управления (например, моделирование ряда процессов химической технологии)[35. 43. 44. 91] управляющие функции по физической сути являются гладкими. Вместе с тем, достаточно мощные методы оптимального управления, основанные на использовании принципа максимума Л.С.Понтрягина, его следствий и модификаций, ориентированы на классы разрывных управлений.

Можно сделать вывод, что проблема разработки методов решения задач оптимального управления в классе гладких управляющих воздействий, является актуальной.

Одними из первых, кто начал работать над оптимизационными задачами с гладкими управлениями, были О.В.Васильев и А.В.Аргучинцев [9, 10, 21]. Здесь также стоит отметить работу [65], где речь идет об асимптотической оптимизации линейных динамических систем в классе гладких ограниченных управлений. Цель нашей работы - продолжить исследование задач оптимизации в классе гладких управлений (получение необходимых условий оптимальности, построение методов улучшения допустимых управлений). В частности, в [6] нами был предложен новый подход к исследованию подобных задач, приведены конструктивные варианты методов улучшения, обеспечивающие гладкость допустимых управлений и выполнение соответствующих ограничений.

Отметим чисто теоретическую направленность многих работ в области оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными. Многие авторы ограничиваются получением условий оптимальности того или иного вида и, в лучшем случае, теоретическими схемами методов.

Интересным приложением задач оптимального управления системами с распределенными параметрами является моделирование процессов химической технологии (расчет пусковых режимов химико-технологических объектов, переход от одного стационарного режима к другому, проектирование системы ректификационных колонн и т.п.)[11, 16, 17, 35, 36, 37, 43, 44, 58, 67, 68, 69, 78, 91, 97, 103, 104, 105, 106, 107]. Например, в [78] рассмотрены основные подходы математического моделирования переноса импульса, массы и энергии в многофазных средах при конструировании или модернизации промышленных аппаратов. В [106] авторы решают задачу определения оптимальной конструкции химико-технологической системы в условиях некоторой неточности исходной физико-химической, технологической информации. Вероятностные ограничения преобразовываются в детерминированные. В [69] предложен численный метод реализации уравнений математической модели процессов тепло- и массообмена в низкотемпературном твердотопливном газогенераторе на базе неявной разностной схемы. В [43, 44] решена задача моделирования тепломассообменных процессов с рециркуляцией взаимодействующих потоков в классе кусочно-непрерывных управлений, исследованы и решены краевые задачи для анализа нестационарных режимов многотарельчатых ректификационных колонн. Для решения задачи разработаны численные алгоритмы, показана сходимость разностных схем.

Но никто из авторов не исследовал подобные задачи с точки зрения получения условий оптимальности для гладких управлений.

В нашей работе для решения задачи оптимизации процесса ректификации [43, 44] предложен метод улучшения допустимого гладкого управления. Была проведена численная реализация метода, анализ влияния выбора начального приближения на сходимость методов.

Объектом исследования в данной работе являются задачи оптимального управления системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Данный выбор вызван, с одной стороны, многочисленными приложениями подобных задач, а с другой стороны, наличием удобного математического аппарата (характеристики, интегральные представления решений и т.п.) для этого класса уравнений. К рассматриваемым системам сводятся классическое гиперболическое уравнение второго порядка, а также системы Гурса-Дарбу и канонические системы первого порядка с двумя ортогональными семействами характеристик [27, 77]. В рамках данных систем описываются явления возбуждения и распространения волн, кристаллооптика и электромагнитные колебания [77, 115, 163], динамика популяций, распространение эпидемий и наркотиков [148, 155, 160]. ряд химико-технологических процессов [16, 35, 43, 44, 58, 68, 97, 103, 104, 168].

Цель диссертационной работы - исследование задач оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимизационных задач с управляемыми дифференциальными связями на границе достаточно общего вида; получение неклассических условий оптимальности граничных управлений в классе ограниченных и измеримых, а также гладких управляющих воздействий; построение итерационных методов улучшения допустимых управлений; оценка эффективности методов путем проведения численных экспериментов для прикладных химико-технологических задач.

Методы исследования основаны на использовании неклассических формул приращения целевых функционалов; нестандартных вариаций, обеспечивающих гладкость допустимых управлений. В работе использованы аппараты современного математического анализа, теории оптимизации и управления, численных методов. Численные расчеты на персональных компьютерах проводились с использованием системы МАТЬАВ 7.0.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученныев работе.

1) Исследована задача оптимального управления полулинейной гиперболической системой первого порядка с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В классе ограниченных и измеримых управлений получены неклассические точные формулы приращения целевого функционала, которые позволили доказать необходимые условия оптимальности вариационного типа и свести данную задачу к задачам оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

2) В указанном классе задач для гладких допустимых управлений использована нестандартная вариация, обеспечивающая гладкость допустимых управлений и выполнение поточечных и/или интегральных ограничений. Доказаны необходимые условия оптимальности. Разработаны конструктивные варианты методов улучшения допустимых управлений, обоснованы утверждения о сходимости.

3) Для задач оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболических систем с достаточно общей формой смешанных условий получены необходимые условия оптимальности гладких граничных управлений и описаны методы улучшения управления.

4) Осуществлена численная реализация методов улучшения гладких граничных управлений для решения прикладной задачи исследования процесса ректификации в насадочной колонне. Проведена серия численных экспериментов при различных входных данных, начальных приближениях и видах ограничений. Результаты расчетов показывают эффективность разработанных в диссертационной работе методов.

1. Агаджанов А.1.. Трансцендентные числа и фрактальные функции в задачах финитного управления распределенными системами / А.Н. Агаджанов, А.Г. Бутковский // Доклады Академии Наук. - 2008. -Том 420, № 5. - С.604-606.

2. Антоник В.Г. К решению задач оптимального управления на основе методов линеаризации / В.Г. Антоник, В.А. Срочко // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1992. - Т. 32. № 7. - С.979-991.

3. Антоник В.Г. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления / В.Г. Антоник. В.А. Срочко // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1998. - Т. 38, N2 4. - С.564-572.

4. Аргучинцев A.B. Оптимальное управление начальными условиями канонической гиперболической системы первого порядка на основе нестандартных формул приращения / A.B. Аргучинцев, В.П. По-плевко // Известия вузов. Математика. 2008. - №1. - С.3-10,

5. Аргучинцев A.B. Вариационное условие оптимальности в задаче управления начально-краевыми условиями полулинейных гиперболических систем / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Автоматика и телемеханика. 2008. - №4. - С.17-28.

6. Аргучинцсв A.B. Оптимизация одного класса гиперболических систем с гладкими управлениями / A.B. Аргучинцев, В.П. Поплевко // Известия вузов. Математика. 2009. - №7. - С.1-6.

7. Аргучинцев A.B. К поиску оптимальных граничных управлений в двумерных полулинейных гиперболических уравнениях / A.B. Аргучинцев // Модели и методы исследования операций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - С.50-58.

8. Аргучинцев A.B. Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами / A.B. Аргучинцев, О.В. Васильев // Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, № 6. - С.797-803.

9. Аргучинцев A.B. К решению обратной проблемы цунами в рамках двумерной модели методами оптимального управления / A.B. Аргучинцев. В.А. Терлецкий // Исследования цунами. 1990.- № 4.-С.52-57.

10. Аргучинцев A.B. Оптимальное управление гиперболическими системами / A.B. Аргучинцев. М.: Физматлит. 2007. - 168 с.

11. Балакирев B.C. Оптимальное управление процессами химической технологии / B.C. Балакирев, В.М. Володин, A.M. Цирлин. -М.:Химия. 1978. - 383 с.

12. Батурин В.А. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения / В.А.Батурин, В.А.Дыхта. А.И.Москаленко и др. Новосибирск: Наука. 1990. - 190 с.

13. Бокмельдер Е.П. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболического типа / Е.П. Бокмельдер, В.А. Дыхта //

14. Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. -Новосибирск, 1985. С.41-58.

15. Бокмельдер Е.П. Принцип максимума для полулинейных гиперболических систем при функциональных ограничениях / Е.П. Бокмельдер, В.А. Дыхта // Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск, 1986. - С.200-207.

16. Бокмельдер Е.П. Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем / Е.П.Бокмельдер, В.А.Дыхта, А.И.Москаленко и др. Новосибирск: ВО Наука. Сибирская издательская фирма, 1993. - 197 с.

17. Бондарь А.Г. Математическое моделирование в химической технологии / А.Г. Бондарь. Киев: Вища школа, 1973. - 280 с.

18. Бояринов А.И. Методы оптимизации в химической технологий / А.И. Бояринов, В.В. Кафаров. М.: Химия. 1969. - 564 с.

19. Булдаев A.C. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых процессов / A.C. Булдаев // Известия вузов,. Математика. 2004. - № 1. - С. 18-24.

20. Булдаев A.C. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем / А,С, Булдаев. Улан-Удэ: Изд-во Бурят, ун-та, 2008. - 260 с.

21. Булдаев A.C. Нелокальное улучшение управлений в линейных по .состоянию системах с терминальными ограничениями / A.C. Булдаев, Д.О. Трунин // Автоматика и телемеханика. 2009. - Т.70. JVL,5. -С.7-12.

22. Бурдуковская A.B. Оптимизация систем канонических гиперболических уравнений с гладкими ограниченными управлениями / A.B. Бурдуковская. О.В. Васильев // Жури, вычислит, математики и мат. физики 2000. - Т.40, № 1. - С.43-53.

23. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука. 1965. -474 с.

24. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука. 1975. - 568 с.

25. Васильев О.В. Принцип максимума Л.С.Пошрягина в чсории оптимальных систем с распределенными параметрами / О.В. Васильев // Прикладная математика. Новосибирск, 1978. - С.109-138.

26. Васильев О.В. Об одном алгоритме оптимизации в системах Гурса-Дарбу, основанном на принципе максимума / О.В. Васильев // Проблемы оптимального управления. Минск, 1981. - С.264-277.

27. Васильев О.В. Методы оптимизации и их приложения. Часть 2. Оптимальное управление / О.В. Васильев. В.А. Срочко, В.А. Терлецкий. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1990. - 151 с.

28. Васильев О.В. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума / О.В. Васильев, А.И. Тятюшкин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1981. -Т. 21, № 6. - С.1376-1384.

29. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1988. - 552 с.

30. Васильев Ф.П. Методы оптимизации / Ф.П. Васильев. М.: Факториал, 2002. - 824 с.

31. Васильев Ф.П. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны / Ф.П. Васильев. М.А. Куржанский, М.М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вы-числ.математика и кибернетика. 1993. - № 3. - С.8-15.

32. Габасов Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габа-сов, Ф.М. Кириллова. М.: Наука, 1971. - 508 с.

33. Габасов Р. Оптимальное робастное управление динамическими системами по неточным измерениям их выходных сигналов / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, Е.И. Поясок // Доклады Академии Наук. -2008. Том 421, № 2. - С.172-176.

34. Гайдук О.Н. Математическое моделирование нестационарных процессов ректификации для динамического тренажера в установке гидроконверсии вакуумного газойля / О.Н. Гайдук. Г.Ф. Громыко, А.И. Шнип и др. // Информатика. 2008. - № 2. - С.54-68.

35. Ганисв Р.Ф. Некоторые аспекты моделирования гидродинамики при волновом перемешивании жидкостей / Ганиев Р.Ф. и др. // Доклады АН. 2009. - Т.429. № 1. - С.72-75.

36. Гартман Т.Н. Основы компьютерного моделирования химико-технологических процессов: Учедное пособие для вузов / Т.Н. Гартман, Д.В. Клушин. М.: ИКЦ "Академкнига", 2006. - 416 с.

37. Годунов С.К. Уравнения математической физики / O.K. Годунов. -М.: Наука, 1979. 392 с.

38. Голубь H.H. Необходимые условия оптимальности для многомерных распределенных систем, содержащих звенья с сосредоточенными параметрами / H.H. Голубь // Дифферепц. уравнения. 1980. - Т. 16. № 10. - С.1878-1881.

39. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления / В.И. Гурман. М.: Наука, 1977. - 304 с.

40. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления / В.И. Гурман. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

41. Гурман В.И. Управление колебаниями при ограниченном ресурсе управления / В.И. Гурман. JI.E. Знаменская // Изв. АН. Теория и системы управления. 2002. - № 1. - С.41-49.

42. Демиденко Н.Д. Управляемые распределенные системы / Н.Д. Де-миденко. Новосибирск: Наука, 1999. - 551 с.

43. Демиденко Н.Д. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами / Н.Д. Демиденко. Новосибирск: Наука. 2006. - 551 с.

44. Дикусар B.B. Теоремы существования и единственности оптимального управления для канонической задачи Дубовицкого-Милютина / В.В. Дикусар // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 33. JV9 11. --С.1484-1489.

45. Дикусар В.В. Качественные и численные методы в принципе максимума / В.В. Дикусар. A.A. Милютин. М.: Наука. 1989. - 144 с.

46. Дубовицкий А.Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений / А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1965. - Т. 5, № 3. - С.395-453.

47. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума для классических задач оптимального управления / В.А. Дыхта // Автоматика и телемеханика. 2002. - № 4. - С.47-54.

48. Дыхта В.А. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В.А. Дыхта, О.Н. Самсонюк. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2003. -256 с.

49. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации / Ю.Г. Евтушенко. М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1982. - 432 с.

50. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах / А.И. Егоров // Прикл. математика и механика. 1963. - № 4. - С.688-696.

51. Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности в банаховых пространствах / А.И. Егоров // Матем. сборник. 1964. - Т. 64(106). № 1. - С.79-101.

52. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности / А.И. Егоров // Изв. АН СССР. Сер. ма-гем. 1965. - Т. 29, № 6. - С.12,05-1256.

53. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями (обзор) / А.И. Егоров, JI.H. Знаменская // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2000. - № 5(2). - С.249-257.

54. Егоров А.И. Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффузии / А.И. Егоров, P.P. Рафатов. Фрунзе: Изд-во Илим, 1990. - 377 с.

55. Забелло JI.E. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием / Л.Е. Забелло // Дифферент уравнения 1990,- Т. 26, № 8,- С.1309-1315.

56. Забелло Л.Е. Необходимое условие оптимальности типа равенства для систем с запаздыванием и интегральными ограничениями на управление / Л.Е. Забелло // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, № 10. - С.1429.

57. Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов / А.Ю. Закгейм. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Химия, 1982. - 288 с.

58. Захарченко B.C. Метод приращений для решения квадратичных задач оптимального управления / B.C. Захарченко, В.А. Срочко // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. - № 6. - С.145-154.

59. Ильин В.А. Граничное управление смещением на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. 2008. - Т.44, № 11. - С.1487-1498.

60. Ильин В.А. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т.43, № 11. - С.1528-1544.

61. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний па двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Дифферент уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С.1517-1534.

62. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. -2001. Т. 376, № 3. - С.295-299.

63. Калинин А.И. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем в классе гладких ограниченных управлений / А.И. Калинин, Ф.М. Кириллова // Дифференц. уравнения. 1998. - Т.34, № 2. - С.175-183.

64. Капустян В.Е. Оптимальное ограниченное управление сингулярно возмущенными системами с распределенными параметрами / В.Е. Капустян. Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. - Киев, 1994. -35 с.

65. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии / В.В. Кафаров. 4-е изд., перераб., доп. - М.:Химия. - 1985. -448 с.

66. Кафаров В.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учебное пособие для вузов / В.В. Кафаров, М.Б. Глебов. М.: Высшая школа, 1991. - 400 с.

67. Кириллов В.В. Расчетно-теоретическое исследование процессов тепло- и массообмена в низкотемпературных газогенераторах / В.В. Кириллов // Химическая физика и мезоскоиия. 2008. - Т.10, 4.- С.428-436.

68. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем / Н.Е. Кирин. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та. - 1975. - 160 с.

69. Костин Г.В. Вариационные подходы к решению начально-краевых задач динамики линейных упругих систем /Г.В. Костин, В.В. Сау-рин // Прикладная математика и механика. 2009. - Т.73. Вып. 6.- С.934-953.

70. Кружков С.Н. Нелинейные уравнения с частными производными (лекции). Часть 2 / С.Н. Кружков. М.: Изд-во МГУ, 1970. - 133 с.

71. Крылов И.А. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления / И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусь-ко // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1962. - Т. 2, № 6. - С.1132-1139.

72. Крылов И.А. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления / И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько //

73. Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1972. - Т.Н. № 1. -С.14-34.

74. Кулешов A.A. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов / A.A. Кулешов // Доклады Академии Наук. 2009.- Т.426, № 3. С.307-309.

75. Куликовский А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский. Н.В. Погоре-лов, А.Ю. Семенов. М.: Физматлит. 2001. - 608 с.

76. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. М.: Мир, 1964. - 830 с.

77. Лаптев А.Г. Модели тепломассообмена в многофазных средах и расчет промышленных аппаратов / А.Г. Лаптев // Вестник Казанского государственного энергетического университета. 2009. - Т.З. № 3.- С.14-21.

78. Летников A.B. Курсъ вар1ащоннаго исчислешя / A.B. Летников. -М.: Императорское Московское техническое училище. 1891. 152 с.

79. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 414 с.

80. Лионе Ж.-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. // Успехи матем. наук. -1985 Т. 40, № 4. - С.55-68.

81. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К.А. Лурье. М.: Наука. 1975. - 480 с.

82. Любушин A.A. Модификации и исследование сходимости меч ода последовательных приближений для задач оптимального управления / A.A. Любушин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. -1979. Т. 19, № 6. - С.1414-1421.

83. Любушин A.A. О применении модификации метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления / A.A. Любушин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. -1982. Т. 22, № 1. - С.30-35.

84. Любушин A.A. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / A.A. Любушин, Ф.Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 2. - С.147-159.

85. Мансимов К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче с распределенными параметрами / К.Б. Мансимов // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2001. - Т. 41. № 10. - С.1505-1520.

86. Маркин Е.А. О существовании , единственности и устойчивости решения одного класса динамических систем, описывающих химические процессы / Е.А. Маркин, A.C. Стрекаловский // Вестн. МГУ. Сер. вычисл. матем. и кибернетика. 1977. - № 4. - С.3-11.

87. Матвеев A.C. Обобщенные решения полулинейной системы уравнений в частных производных гиперболического типа и задачи управления / A.C. Матвеев // Деп. в ВИНИТИ 23.07.90, № 2983-30. 39 с.

88. Матросов В.М. Нелинейная теория управления / В.М. Матросов. С.Н. Васильев, А.И. Москаленко и др. М.: Физматлит, 2003. -352 с.

89. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными / С. Ми-зохата. М.: Мир, 1977. - 504 с.

90. Миронова В.А. Математические методы термодинамики при конечном времени / В.А. Миронова, С.А. Амелькин, A.M. Цирлин. М.: Химия, 2000. - 384 с.

91. Моисеев Е.И. Оптимизация граничного управления смещением на одном конце струны при закрепленном втором конце в классе W22 / Е.И. Моисеев, A.A. Холомеева // Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45, № 7. - С.941-946.

92. Морозов С.Ф. Об одной задаче оптимального управления нестационарными процессами переноса / С.Ф. Морозов, В.И. Сумин // Дифферент уравнения. 1972. - Т . 8, № 12. - С.2235-2243.

93. Морозов С.Ф. О задачах быстродействия в теории оптимального управления процессами переноса / С.Ф. Морозов. В.И. Сумин // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11, № 4. - С.726-740.

94. Москаленко А.И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении / А.И. Москаленко. Новосибирск: Наука. 1983. - 222 с.

95. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики / А.И. Москаленко. Новосибирск: Наука, 1999. -220 с.

96. Расчеты химико-технологических процессов: Учебное пособие для вузов / Под ред. И.П. Мухленова. 2-е изд. перераб. и доп. - JL: Химия, 1982. - 248 с.

97. Никитин A.A. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием / A.A. Никитин, A.A. Кулешов // Дифференциальные уравнения. 2008. - Т.44, № 5. - С.681-690.

98. Новоженов М.М. Методы оптимального управления системами математической физики / М.М. Новоженов. В.И. Сумин, М.И. Сумин.- Горький: Изд-во Горьковского гос. ун-та. 1986. - 87 с.

99. Овсянников Д.А. Математические меч оды управления пучками / Д.А. Овсянников. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та. 1980. - 228 с.

100. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц / Д.А. Овсянников. Л.: Изд-во Ленинград, унта, 1990. - 310 с.

101. Овсянников Д.А. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц / Д.А. Овсянников, О.И. Дривотин. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2003. - 176 с.

102. Островский Г.М. Методы оптимизации химических реакторов / Г.М. Островский, Ю.М. Волин. М.: Химия, 1967. - 248 с.

103. Островский Г.М. Моделирование сложных химико- технологических систем / Г.М. Островский, Ю.М. Волин. М.: Химия, 1975.- 311 с.

104. Островский Г.М. Методы оптимизации химико-технологических процессов / Г.М. Островский. Ю.М. Волин. H.H. Зиятдинои. М.: КДУ, 2008. 424 с.

105. Островский Г.М. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями / Г.М.

106. Островский. H.H. Зиятдипов и др.// Доклады АН. 2009. Т.425. № 1. С.63-66.

107. Островский Г.М. Оптимальное проетирование системы ректификационных колонн / Г.М. Островский, H.H. Зиятдипов и др. // Доклады АН. 2010. - Т. 431, № 6. - С.768-771.

108. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частыми производными / И.Г. Петровский. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры. 1953. - 360 с.

109. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида / В.И. Плотников // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. - Т. 36, 3. - С.652-679.

110. Плотников В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве / В.И. Плотников, В.И. Сумин // Сиб. мат. жури. -1981. Т. 22. № 6. - С.142-161.

111. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе и др. М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1983. - 392 с.

112. Потапов М.М. Обобщенное решение смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы первого порядка / М.М. Потапов // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 10. - С. 18261828.

113. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода / М.М. Потапов // Вести. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. математика и кибернетика. 1996. - № 2. - С.35-41.

114. Рево П.А. Граничное управление процессом колебаний на левом конце при свободном правом конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / П.А. Рево. Г.Д. Ча-бакаури // Докл. РАН. 2001. - Т. 379, № 4. С.459-462.

115. Рождественский Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б.Л. Рождественский. H.H. Яненко.- М.: Наука. 1978. 686 с.

116. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем. I / Л.И. Розоноэр // Автоматика и телемеханика.- 1959. Т. 20, № 10. - С.1320-1334.

117. Сиразстдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов. М.: Наука, 1977. - 479 с.

118. Срочко В.А. Принцип максимума для одного класса систем с распределенными параметрами / В.А. Срочко // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск, 1983. - С. 170-182.

119. Срочко В.А. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах Гурса-Дарбу / В.А. Срочко // Сиб. мат, журн. 1984. - Т. 25, № 1. - С.126-133.

120. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления / В.А. Срочко. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. 1989. - 160 с.

121. Срочко В.А. Методы линейно-квадратичных аппроксимаций для решения задач оптимального управления / В.А. Срочко // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск: ИрВЦ СО РАН, 1995. -№ 1. - С.110-135.

122. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В.А. Срочко. М.: Физматлит, 2000. - 1G0 с.

123. Срочко В.А. Квадратично-игольчатая аппроксимация и методы улучшения в задачах оптимального управления / В.А. Срочко // Иркутский университет. Серия: Оптимизация и управление. Вып.З. Иркутск, 2001. - 28 с.

124. Срочко В.А. Регуляризация принципа максимума и методов улучшения в квадратичных задачах оптимального управления / В.А. Срочко. С.Н. Душутина. Е.И. Пудалова // Известия вузов. Математика. 1998. - № 12. - С.82-92.

125. Стрекаловский A.C. К оптимальности по векторному критерию одного класса динамических систем, описывающих химические процессы / A.C. Стрекаловский // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. университета. 1980. -С.186-203.

126. Стрекаловский A.C. К теореме существования решения для одного класса распределенных систем / A.C. Стрекаловский // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. университета, 1983. - С.119-128.

127. Стрекаловский A.C. Элементы невыпуклой оптимизации / A.C. Стрекаловский. Новосибирск: Наука. 2003. - 356 с.

128. Стрекаловский A.C. О сходимости алгоритма глобального поиска в задаче выпуклой максимизации на допустимом множестве / A.C. Стрекаловский. A.A. Кузнецова // Известия вузов. Математика. 1999. № 12. - С.74-81.

129. Сумин В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления / В.И. Сумин // Журн. вычислит, математики и мат.физики. 1990. - Т.ЗО. № 1. - С.2-21.

130. Сумин М.И. Параметрическая двойственная регуляция для задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями / М.И. Сумин // Жури, вычислит, математики и мат. физики. -2009. Т. 49, № 12. - С.2083-2102.

131. Терлецкий В.А. К оптимизации полулинейных гиперболических систем первого порядка с начальным условием Коши / В. А. Терлецкий // Управляемые системы. Новосибирск, 1982. - № 22. - С.70-79.

132. Терлецкий В.А. Вариационный принцип максимума в управляемых системах одномерных гиперболических уравнений / В,А. Терлецкий // Изв. вузов. Математика. 1999. - jYs 12. - С.82-90.

133. Терлецкий В.А. Обобщенное решение гиперболических систем одномерных полулинейных дифференциальных уравнений / В.А. Терлецкий. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. уп-га. Серия Оптимизация и управление. - 2004. - Вып. 11. - 48 с.

134. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В.В. Тихомиров // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38. № 3. - С.393-403.

135. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В.В. Тихомиров // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 4. - С.529-537.

136. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М.: Наука, 1977. - 736 с.

137. Толстоногов A.A. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости / A.A. Толстоногов // Изв. АН. Сер. математическая. 2000. - Т. 64, № 4. - С.163-181.

138. Толстоногов A.A. Существование оптимального управления без предположения выпуклости в эволюционной системе первого порядка / A.A. Толстоногов // Матем. сборник. 2001. - Т. 192, № 9. -С.125-142.

139. Тятюшкин А.И. Многометодпая технология оптимизации управляемых систем / А.И. Тятюшкин. Новосибирск: Наука, 2006. - 343 с.

140. Тятюшкин А.И. Параллельные вычисления в задачах оптимального управления / А.И. Тятюшкин // Сиб. журн. вычислит, математики. 2000. - Т. 3, № 2. - С.181-190.

141. Тятюшкин А.И. Миогометодная технология для расчета оптимального управления / А.И. Тятюшкин // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003. - № 3. - С.59-67.

142. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков. Новосибирск: Научная книга. 1999. - 352 с.

143. Черноусько Ф.Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф.л. Черноусько. В.Б. Колмановский // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977. - Т. 14. - С.101-166.

144. Ahmed N.U. Optimal control of distributed parameter systems / N.U. Ahmed, K.L. Teo. New York: Elsevier North Holland, Inc. - 1981. -430 p.

145. Almeder C. An age-structured single-state drug initiation model-cycles of drug epidemics and optimal prevention programs / C. Almeder. J.P. Canlkins, G. Feightinger and other //Socio-Economic Planning Sciences. 2004. - V. 38, № 1. - P. 91-109.

146. Brokate M. Necessary optimality conditions for the control of semilinear hyperbolic boundary value problems / M. Brokate // SIAM J. Control Optim. 1987. - V. 25, No 5. - P.1353-1369.

147. Buldacv A.S. Non-local improvement method in polynomial optimal control problems with terminal constraints / A.S. Buldaev. D.O. Trunin // Optimization. 2009. - V. 58, No 7. - P.771-779.

148. Choo K.G. On an optimal control problem involving first order hyperbolic systems with boundary controls / K.G. Choo, K.L. Teo. Z.S. Wu //Numer. Funct. Anal, and Optim. 1981-1982. - V. 4; No 2. -P.171-190.

149. Coron J. Dissipative boundary conditions for one-dimensional nonlinear hyperbolic systems / J. Coron. G. Bastin. B. D'Andrea-Novel // SIAM J. Control Optim. 2008. - V. 47, No 3. - P. 1460-1498.

150. Dharmatti S. Hybrid control systems and viscosity solutions / S. Dharmatti, M. Ramaswamy // SIAM J. Control Optim. 2005. - V. 44, No 4. - P. 1259-1288.

151. Fattorini H.O. A unified theory of necessary conditions for nonlinear nonconvex systems // Appl. Math. Optim. 1987. - Vol. 15. - P. 141185.

152. Gugat М. .¿/-optimal boundary control for the wave equation / M. Gugat, G. Leugering, G. Sklyar // SIAM J. Control Optim. 2005. -V. 44, No 1. - P. 49-74.

153. Gundepucli P.K. Velocity control of hyperbolic partial differential equation systems with single characteristic variable / P.K. Gundepudi. J.C. Friedly // Chemical Engineering Science. 1908. V. 53. No 24. - P. 4055-4072.

154. Hintermuller M. PDE-constrained optimization subject to pointwise constraints on the control, the state, and its derivative / M. Hintermuller, K. Kunisch // SIAM J. Control Optim. 2009. - V. .20, No 3.-P. 1133-1156.

155. Li X. Optimal control theory for infinite dimensional systems / X. Li, J. Yong. Boston: Birkhauser. 1995. - 352 p.

156. Markus M. Seinilinear hereditary hyperbolic systems with nonlocal boundary conditions, B / M. Markus, V. Mizel //J. Math. Anal, and Appl. 1980. - V. 77, No 1. - P.1-19.

157. Mayne D.Q. First order strong variation algorithms for optimal control / D.Q. Mayne, E. Polak // J.Optim.Theory Appl. 1975. - V. 16, No 34. - P.277-301.

158. Prieur C. Quasi-optimal robust stabilization of control systems / C. Prieur, E. Trelat // SIAM J. Control Optim. 2006. - V. 45, No 5. -P. 1875-1897.

159. Ruan W. A hyperbolic system of equations of blood flow in an arterial network / W. Ruan, M.E. Clark, M. Zhao and other // SIAM J. Appl. Math. 2003. - V. 64, No 2. - P. 637-667.

160. Slass J.V. Maximum principle for optimal boundary control of vibrating structures with applications to beams / J.V. Slass, J.C. Bruch. I.S. Sadek //Dynamics and Control. 1998. - V. 8. - P. 355-375.

161. Suryanarayna M.B. Existence theorems for optimization problems concerning linear hyperbolic partial differential equations without convexity conditions / M.B. Suryanarayna //J. Optim, Theory Appl. 1976. -V. 19. No 1. - P. 47-61.

162. Teo K.L. On the computational methods of optimal control problems / K.L. Teo, L.T. Yeo // Int. J. Systems Sci. 1979. - V. 10, No 1. - P. 51-76.

163. Tzafestas S.G. Distributed-parameter and large-scale systems: a literature overview / S.G. Tzafestas // 11-th IMACS World Congress Sci. Comput., Vol.4. Amsterdam, 1986. - P.195-215.

164. Winkin J. Dynamical analysis of distributed parameter tubular reactors / J. Winkin, D. Dochain, P. Ligarius // Automatica. 2000. - V. 36, No 10. - P. 349-361.

165. Wolfersdorf L. A counterexample to the maximum principle of Pontryagin for a class of distributed parameter systems / L. Wolfersdorf // Z. Angew. Math, and Mech. 1980. - V. 6, No 4.- P. 204.

166. Zhang H. Optimal control of hybrid systems and a system of quási-variational inequalities / H. Zhang. M. James // SIAM J. Control Optim. 2006. - V. 45, No 2. - P. 722-761.