Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧУРАШЕВА Надежда Георгиевна

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

15 АВГ2013

005532051

005532051

На правах рукописи

V

ЧУРАШЕВА Надежда Георгиевна

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и фундаментальная информатика» ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Романовский Рэм Константинович, доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет»

Чугунов Владимир Аркадьевич, доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Казанский федеральный университет»

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук», г. Новосибирск

Защита состоится 3 октября 2013 г. в 14 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, НБ КФУ).

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. и., доцент

Е. К. Липачёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В последние десятилетия интенсивно развивается возникшая на стыке теории дифференциальных уравнений и теории управления проблематика, связанная с разработкой и анализом математических моделей управления волновыми процессами, описываемыми краевыми задачами для гиперболических уравнений.

Интенсивное развитие этой проблематики началось в связи с потребностями практики в 1970-90-е гг. в работах Ж.-Л. Лионса, О. Ю. Эмануи-лова, Ф. П. Васильева, А. И. Егорова, М. М. Потапова. В последние годы продолжаются интенсивные исследования по математическим моделям граничного управления волновыми процессами.

Большой цикл В. А. Ильина, Е. И. Моисеева и их учеников посвящен граничному управлению колебаниями струн и стержней.

Одна из актуальных задач теории управления - разработка методов граничного управления процессом теплопереноса в сплошных средах. В последние годы интенсивно развивается гиперболическая (волновая) теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в классической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла и описывающая быстропротекающие процессы теплопереноса. Цикл работ О. Г. Жуковой и Р. К. Романовского посвящен разработке математических моделей граничного управления теплопереносам в рамках этой теории. Рассматриваются краевые задачи для гиперболической системы уравнений теплопроводности, моделирующие теплоперенос в однородном изотропном материале. Ставится задача поиска температурного режима на границе тела, обеспечивающего заданное распределение температуры тела в заданный момент времени. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений.

Представляет теоретический и практический интерес продолжение этих исследований по двум направлениям.

I. Перенос указанных результатов по граничному управлению тепло-переносом в двумерном и трехмерном материале на случай анизотропного материала.

II. Решение — в случаях одномерного, двумерного и трехмерного материала — задачи выбора из построенных классов допустимых граничных управлений оптимального, минимизирующего заданный функционал потерь.

Цель работы: решение задач управления, указанных в пунктах I и И.

Из сказанного выше следует актуальность темы диссертации.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие основные результаты.

1. Решена задача оптимального одностороннего граничного управления теплопереносом в стержне с квадратичным функционалом потерь.

2. Вычислены матрицы Римана первого и второго рода семейств гиперболических систем, ассоциированных с двумерной и трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности в общем случае анизотропного материала.

3. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений теплопереносом в анизотропной пластинке и в анизотропном пространственном теле звездной формы.

4. Решена в каждом из этих случаев задача выбора оптимального граничного правления с квадратичным функционалом потерь. В качестве следствия получены решения задачи оптимального граничного управления теплопереносом в изотропном двумерном и трехмерном материале.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты вносят существенный вклад в теорию оптимального граничного управления процессами в сплошных средах. Они могут использоваться специалистами по теплофизике и теплоэнергетике при решении конкретных задач управления процессом теплопереноса, а также при подготовке студентов вузов по этим специальностям.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (два доклада, Омск, апрель 2011 г.), на IV Международной конференции МПМО-2011 «Математика, ее приложения и математическое образование» (Улан-Удэ, июнь 2011 г.), на X международной Четаевской конференции (Казань, июнь 2012 г.), на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (Омск, апрель 2012 г.), на VII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов, машин» (два доклада, Омск, ноябрь 2012 г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, из них статьи [ 1—- в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 84 наименований, включая работы автора. В каждой главе использована своя нумерация параграфов, рисунков, формул и теорем. Объем диссертации - 97 страниц.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Р. К. Романовскому за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и дается краткая аннотация результатов работы.

1. Глава 1 носит подготовительный характер. Здесь вводятся основные понятия и теоремы, на которые опирается дальнейшее изложение.

В § 1.1 приведена схема обобщенного метода Лагранжа.

В § 1.2 изложены систематически используемые в работе сведения о матрицах Римана первого и второго рода одномерной гиперболической системы.

В § 1.3 приведена гиперболическая модель теплопроводности для случая анизотропного материала.

§ 1.4 содержит используемые в главе 2 сведения о матрицах Римана одномерной гиперболической системы теплопроводности.

Приведенная в § 1.3 гиперболическая система уравнений теплопроводности имеет вид

Здесь первое уравнение - закон сохранения энергии, второе - обобщенный закон Фурье (релаксационное соотношение первого порядка), Т(х, Г), д(х, I) - температура и вектор плотности теплового потока в точке х в момент времени t, с, р - удельная теплоемкость и плотность, г - период релаксации, К — тензор теплопроводности - симметрическая положительно определенная матрица второго или третьего порядка:

В рамках модели (1) скорость распространения теплового импульса по направлению любого орта со в К2 или Ж3 конечна и дается формулой

2. В главах 2-3 рассматриваются поставленные выше задачи управле-

ния теплопереносом соответственно в стержне, анизотропной пластинке звездной формы, анизотропном пространственном теле звездной формы. Теплоперенос моделируется смешанной задачей для системы (1) соответ-

ср--(-сНуя = 0,

(1)

51

К=КТ, К>0.

(2)

ствующей размерности (в случае стержня К = к> 0 - скаляр). Строится в каждом случае с использованием аппарата матриц Римана класс допустимых граничных условий - обеспечивающих заданное распределение температуры тела в заданный момент времени, - затем из этого класса выбирается методом Лагранжа оптимальное граничное управление - минимизирующее заданный квадратичный функцонал потерь. Подход состоит в сведении задачи граничного управления решениями смешанной задача к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши для системы (1). При этом процедура построения класса допустимых управлений в двумерном и трехмерном случаях существенно отличается от примененной в указанных выше работах О. Г. Жуковой.

3. В главе 2 рассматривается задача одностороннего граничного управления теплопереносом в конечном стержне длины I. Смешанная задача, моделирующая теплоперенос, имеет в векторно-матричной записи вид

Ьи =

ґз р'

— + А— + В

дї дБ

и = 0, (ї,ґ)є[0, /]х[0, со),

(3)

и „ =

ги=мо,

-(4)

Здесь

и ~

~т а 0" ' 1 1 , В = "0 0 "

, А = 2 2~\ 2.- 0 г-'

я. 0 -а Ъ~х -Г1

—--величина (2) для стержня, Ь = I ,

тер \кср

рі- кусочно-гладкая, выполняется условие согласования 0) = 0. Начальные данные выбраны нулевыми без потери общности для упрощения выполняемых вычислений. Задача (3)-(4) однозначно разрешима в классе кусочно-гладких функций со слабыми разрывами (скачками производных) на характеристиках, проходящих через точки (0, 0), (0, /) и точки разрыва //.

Решение задачи оптимального граничного управления приводится в §§ 2.2,2.3 и состоит из двух этапов.

3.1. При фиксированных /* > 0, 6(5) є С'[0, /], 6(1) =0 ищется температурный режим ц на левом конце стержня, обеспечивающий выполнение равенства

Т(5,1*;м0) = *е[0,1]. (5)

Предполагается, что за время і* движущийся с конца стержня со скоростью а тепловой импульс успевает пройти весь стержень. Рассматривается крайний случай

Зафиксируем вектор-функцию

й(*) =

.ВД.

є С'[0,/].

Определим операторы А^, Ак, к - 1,2, равенствами АкИк^акехр\-^-)ик(1-аІ) + | У,Д/-сг, і)Нк{а)йа, ¿ = 1,2,

Л,Л = А К (*)+1V, +/ - а, Ґ)/ік (<т)с!а-, рк =а,ехр|

2т

(6)

(7)

(8)

где а, = 1/2, а2 = Ы2, уи- элементы матрицы Римана второго рода системы (3):

г -і _ ехр(-//(2г))

1> 124 ат

'АЇ (А.

2т) асі у 2т

(9)

где й? = л//2 - (.? / а)2 , //г) - функции Бесселя мнимого аргумента.

Будем называть векторы (7) управлениями. Обозначим Н класс управлений, удовлетворяющих условию

АИ=А,/г1+А21г2=в О), 5 є [0, /],

(Ю)

где ф) - функция (5). Фиксируя в (10) произвольную компоненту Ьк вектора (7), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода на другую компоненту, однозначно разрешимое в С'[0, /].

ТЕОРЕМА 2.1. Каждому вектору И є Н отвечает решение /1 задачи граничного управления (5), (6), вычисляемое по формуле

ц(Х,К)=Ах\+Агкг, (11)

где Ак\- функции (8).

3.2. Слагаемое (8) в правой части (11) указывает вклад компоненты Ик вектора (7) в формирование требуемого температурного режима ц на ле-

вом конце стержня. В качестве функционала потерь принимается «сумма квадратов»

г

F(h) = ajUA^)2 +(A2h2)2]dtmin; he H.

0

F имеет смысл, с точностью до постоянного множителя, квадрата внутренней энергии, внесенной управлением на левом конце стержня за время /*. Минимизация F эквивалентна минимизации 4f . Замена s = l-at приводит F к виду

= (12)

о

где

А К =ake{s)hk(s)+\

l-s 2 ат

.(13)

Введем гильбертовы пространства

X = X2([0,/]->R2), Y = Z2([0, /] -> К). Рассмотрим задачу оптимального управления

F(h)-+ min, Ah-9 = О, heX. (14)

Функция Лагранжа задачи (14) имеет вид

I

Л) = F(h) +jA(s)(Ah-9)ds, ЛеУ.

о

ВерНЫ утверждения

1°. Функция (12) выпукла, строго дифференцируема в каждой точке h еХи имеет вторую производную Фреше F" = const, при этом длялюбого f=Uи/г? еХ

F\h)f = 2j[(i, hOA, f +(A2 hJA, f2]ds,

0

0

(FY)f>c\\ffx, c = const >0.

2°. Л е Нош(Х —» 7), АХ = Г.

Применение с учетом 1°, 2°, теоремы 1.1 из главы 1 (в силу выпуклости /г здесь идет речь о глобальном экстремуме) приводит решение задачи (14) к решению системы уравнений

Х'„(И,Я) = О, АИ = в, (И,Я)еХхУ,

равносильной, как показывают вычисления, системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода

R у/ (s) + J K(s, cr) цг (cx)d(T = t](s),

(15)

где

~2а,У(5) 0 А' V "0"

R = 0 2 a*e2(s) Рг <Рг . 7 = 0

А А 0 в

, K=[kJs,cт)]1

2[«,e(o-)v,(cr,5) + ^vl(T,s)vl{T,cr)dT'\, 0 < a <s, 0

s

2[aie(s)vi(5,0") + JV,.(r,<0V,(T,cr)dT], s<cr<l,

iv ((T,5), 0<£7<5,

Кг = і „ . ^ , К І 0> = Кг s)> kn = hi = Къ =

[0, s<cj<l,

v,.(s,cr) = v1,(/-(T, (l-s)/a), v,0,o-) = v],.(i+/-o-, lid), / = 1,2.

Нетрудно убедиться, что |det R| > const > 0.

Из альтернативы Фредгольма с учетом «хороших свойств» ядра и правой части /Г1 tj следует, что система (15) имеет единственное решение

^=[л,Д,і]тєс'[ 0,/],

если выполняется требование

/

-1 <£s(X), JC\j/ -^R~xKy/d<j, (16)

о

где s(JC) - множество собственных значений компактного оператора ЭС. Каждая точка С, є s(JQ отделена от остальных и непрерывно зависит от па-

раметров, входящих в формулы для /?, К. Поэтому случай -1 е имеет место «с вероятностью ноль». Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (16).

Подстановка И2 в равенство (11) со слагаемыми (13) дает оптимальное граничное условие на левом конце стержня.

ТЕОРЕМА 2.2. Задача оптимального управления (14) имеет в общем положении (16) единственное решение Ь = (И1,Ь2), где \ - компоненты решения у/ системы интегральных уравнений (15). Соответствующий оптимальный температурный режим на левом конце стержня дается формулой

I 2

где а = фс7гср, Ь = ^т / кср, ч функции (9).

4. Глава 3 посвящена распространению результатов главы 2 на случаи двумерного и трехмерного материала. В §§ 3.1—3.4 решается задача оптимального граничного управления теплопереносом в анизотропной пластинке, в § 3.5 эти результаты переносятся на случай анизотропного пространственного тела. Случай изотропного материала (К = кГ) оговаривается в конце главы.

В двумерном случае

Ч= Ч> , К= , к„=кя, ки > О, с!е1£>0.

[Чг\ [_К2\ кгг J

Система (1) в векторно-матричной записи имеет вид

(17)

где и =

'д 3 я = 0,

Ьи + А, + А2- + В и

[а/ 1 Эх, дх2 /

т~ 0 М" 0 0 0 м

я, > А> = : "Ч, 0 0 . А2 = г" 12 0 0

Яг- г 0 0 г" <К22 0 0

"0 0 0 "

В = 0 г'1 0

0 0 г"'

Пусть Т> — ограниченная область на плоскости х = (хь х2), звездная относительно точки (0, 0), с кусочно-гладкой границей с уравнением в полярных координатах

|;с| = г(<р) >0, 0<д}< 2тг.

Рассматривается смешанная задача, моделирующая теплоперенос в пластинке Т):

(Lu = 0, 0,0є£>х(0,оо),

(18)

где Ь — оператор (17), функция ц непрерывна в своей области определения, выполняются условия согласования //(ср, 0) = 0. 4.1. Введем семейство ортов

Q=4üj =

'со,' соза

БІпа

, 0<а<2я

Построим семейство одномерных гиперболических систем

L и =

'±+А(а)±+в

dt V J8s

и — 0, со є Q,

(19)

где А(а>) = cosa A, +sinar А2, Ак, В — матрицы (17). Нетрудно получить:

А(аз) = Zojá\ag(a(o, 0,-aj Z~J, Zm =

где аш — величина (2).

Проведем на плоскости (л, г) характеристики б = ±aJ оператора и пусть У*т, ¥,1 -открытые углы с вершиной в (0,0), изображенные на рис. 1. Вычисления по формулам § 1.3 дают следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.1. Матрицы Рішана первого и второго рода ика, Уш семейства гиперболических систем (19) даются формулами

0

Коз -Коз

- 03

г X

, 03 =

-Біпа со ъа

мо=

2та

Ь:хКсо Каю1

. М0 =

2га.

ООО

о . ,

о

2 та

-Ь,:хКсо Ксою1

О, (з,Ое¥о:,иУо:„

V =

4га,

О

о о

/.1^1 0

2т

1

2г

где ¿> =—I—, (1га=г+в1а<в, ¿ш=Ас11а с!г

асСР

Из формул для матрицы У№ в частности, следует:

О = О, о = ехрН)

(20)

4а г

<

(21)

4^«/. \2т,

4.2. В двумерном случае задача граничного управления (5) имеет вид Т(х,1*;м) = в(х), хеР, (22)

2г

> —а, а„ = шш„ г0 = шМ

¿у <ие£2 ре[0,2;г]

за это время тепловой импульс, движущийся с границы по любому направлению со со скоростью а а, успевает пройти весь путь до ближайшей точки границы дЮ. Предполагается в(х) е С™(£>); здесь и далее символ ¿"обозначает множество функций из С°°(Х>)с носителем строго внутри Т>.

где

Продолжая в нулем из D в К2 представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

7Г да

e(.x) = \9a(<o x)da, ва(s) = (2лгГ2+е""в(-го)))rdr, (23)

° о

где в - преобразование Фурье функции в, ax = x^cosa+x2 sin а. Обозначим rla=aJ*-rQ, rla=aJ*+rQ,

П = {{s,a,q>): (а,<р) е [0,ít]x[0,2*], rlm < s < r2o>}.

Зафиксируем вектор-функцию

f\(s,a,<p)

Определим оператор Л равенством

Ah = Alhl+A2h2,

s

ЛЛ = К* ехР(~£) К а,<р) + \ Sk0J (s - aj* -<T, t*)hk (а, а, <р) da, (25)

п.

где bi = 1/2, Ъг - -bjl, bm - величина (20), Skm вычисляются по формулам (21). Будем называть векторы (24) управлениями. Обозначим Ж класс управлений И, удовлетворяющих требованию

h =

(24)

M = ea(s-aj*), (s,a,<p)eTl.

(26)

Вычисление класса Ж сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по іє^,^] на одну из компонент Ик вектора к при фиксированной другой.

ТЕОРЕМА 3.2. Каждому вектору И є Ж отвечает решение // задачи граничного управления (22), вычисляемое по формуле

л

ц{<р, V, К) = а,<р, Г;й,) + а, ср, /; /г2)]Ла, я = г(<р)соъ{а - <р\ (27)

о

где Tk{s,a,<p,t;hk) =

bkaexv(-b)hk(s + aj,a,<p)+ (28)

+ J vtJs-a,t)hLXcj,a,(p)dcr, s+aj>rlaí.

4.3. Ищется вектор-функция h є Ж, минимизирующая квадратичный функционал потерь

Ї* 2п л-

У(А) = і/А | ^+ а'

ООО

имеющий смысл, с точностью до постоянного множителя, квадрата внутренней энергии, внесенной управлением на границе пластинки за время Ґ.

Замена (!,а,<р)-*{*,а,<р) по формуле 5 приводит функцио-

нал к виду

эд=іЩ ^ [(ГЛ )2 + (ГЛ)2] * ¿<р> (29)

П„

гЛ=^ехР

S~Sa<p

2а.т

\

s-s

ht(s, а,(р)+ } sJ sa9-cr,—^\hk(<T,a,<p)da. 1« V и У

Аналогично одномерному случаю вводятся гильбертовы пространства X = Х2(П0 —> М2), У = 12(П0 -> М). Рассматривается задача оптимального управления

8F(A) -> min, Л/г -9a(s- a J*) = 0, /геХ, (30)

где ва - функция (23), Л - оператор (25), & - функционал (29). Функция Лагранжа имеет вид

(£{q>, Л) = £(h) + JJJA(s, a, <p)[Ah-ва]гЬ da d<p, ЛеУ. п„

Имеют место аналоги утверждений 1°, 2° в п. 3.2. Применение теоремы 1.1 из главы 1 приводит решение задачи (30) к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода по s e[rlffl,raf>] на тройку

[ЙЬЙ2,Я]

Га</>

M(i, а, ф) vi(s, а, ф) + J N(5, сг, а, <р) у(<т, а, <р) da = f(s, а) (31)

с гладкими М, N, f, |det М| > const > 0 (см. § 3.4). Повторение рассуждений, проведенных в п. 3.2, дает: в общем положении

-1 г s(30, 3Cv= } M-'Nvi/rfcr, (32)

система (31) имеет единственное решение і£г = [Ль Й2, Цт є С(П0).

Из выполненных построений с учетом 2;г-периодичности М, Ы, га1р по (р следует, что пара И = (І\,Іг1) удовлетворяет требованиям (24), (26) с заменой П на По- Обозначим Ж0 = {ИєЖ: И = Іг^ на П0}.

Построение векторов (А], /г2) є Ж приводится, после вычисления (/г,,/^), к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода на продолжение в П\П0 одной из компонент Нк при фиксированном - с сохранением непрерывности и свойств (24) — продолжении другой.

ТЕОРЕМА 3.3. В ситуации общего положения (32) каждая вектор-функция й = [Л,, ¡г^ класса Ж о, где И2 — компоненты решения у/системы интегральных уравнений (31), дает решение задачи оптимального граничного управления (30). Соответствующий оптимальный температурный режим на границе пластинки вычисляется по формулам (27), (28), где Зкт - функции (21), строящиеся по элементам матрицы Римана второго рода семейства одномерных гиперболических систем (19).

5. В § 3.5 результаты §§ 3.1—3.4 распространены на случай трехмерного материала по схеме, изложенной в п. 4. Здесь

К = К\ К> 0.

к = К21 к22

* 31 КЪ2 К 33

Система (1) в векторно-матричной записи имеет вид

Ьи =

д А д . д .8

— + А,-+ А2-+ А3-+ В

Э/ дх1 дх2 дх}

и = [Т,д]\ д = [д1,я2,д1]\

и = 0,

(33)

А, =

А, =

0 (срУ 0 о" 0 0 (срГ 0

г" 0 0 0 А, = т-'к12 0 0 0

т~ К2\ 0 0 0 ' 2 т~'к22 0 0 0

ч 0 0 0 0 0 0

0 0 0 (СРҐ~ "0 0 0 0 "

0 0 0 В- 0 г- 0 0

г-'к2Ъ 0 0 0 0 0 т'] 0

т']кз, 0 0 0 0 0 0 ■ г-1

Пусть % - ограниченная область в пространстве х = (хь х2, х3), звездная относительно точки (0, 0, 0), с кусочно-гладкой границей с уравнением в сферических координатах

Ы = г(ф), <р = (<р„<р2)<ЕЕ, £ = [0,2лг]х[0,л-].

(34)

Рассматривается смешанная задача, моделирующая теплоперенос в теле 2)

(£и = 0, (х, /)єЗ)х (0, со),

(35)

где I - оператор (33), ц е С{<Ш), выполняется условие согласования 5.1. Введем семейство ортов

(36)

соБа, зіпа2

£1 = со = <у2 = БІпа, Бта2 , а=(а1,а2)єЕ

СО 8£Г2

Построим семейство одномерных гиперболических систем

Lu =

— + А(й))— + в|и = 0, ftieO,

dt V 'ds 1

(37)

где А(а>) = ¿а. А, +6)2А2 +ю3А3, Ак, В - матрицы (33). Имеет место равенство А(со) = га<Иаё(аа,0,0,-аю)2-\

где Z„ =

0 0 а а,' 7-1 _ К Vі 0 0 Vі

У / 8 -г іО 2Í 2/7 -со

1

аюср

f =

sin а,

-cosa, 0

Ксо у ,

g-a>xf, у=-, ху, r¡ = yxf.

г

Вычисления по формулам §1.3 дают следующий результат. ТЕОРЕМА 3.4. Матрицы Рішана первого и второго рода 11кю, Уш семейства гиперболических систем (37) имеют вид

и,

Л ; 1га

Ъ,:хКо) Г Коза?

М0=

. МО

А«рН)

О I ООО оГ 0| /Г

О I

о ' о о о

о]-

о I Еп"

ь0!

и<Л*У

2та„.

та,Ь.

и I

-га <а

-Ь~1Ксо ! К сою1

V. М К**.]-

о,

V _ ехР(~^)

4га,

0 0

Г Л ^

0 0 /0 -

\2т )

0 0 0

0 0 0

0 с/

0 <У (У

12г

2т

где У*ш -углы, изображенные на рис. 1, с заменой характеристики (Зш гш ¿4Ш> ¿кш> Лвеличины (20).

Из формулы для матрицы Уш следует, в частности, формулы (21) для элементов у11ш, \12т, здесь со - орт (36).

5.2. Задача граничного управления имеет вид (22) с заменой пластинки пространственным телом 2). Предполагается в(х) е С" (2)),

2 г

I* > —= пппаа, г0 = шахг(<р).

д <уеП <реЕ

Продолжая в нулем из 2) в М3, аналогично (23) получим

• оо

в{х) = \ёв(а>-х)<1а, ва(з)=?^\[е'"в{га) + е->"в(-гс0)\г4г, (38)

£0 К*-71) о

где Е0 = [0,л-]х[0,л"], а =(а,,«2), в -преобразование Фурье в.

Обозначим

Ч. = V~г°> г2• = +го' П = {(*»: є Е°х Е' 5 ~

Зафиксируем вектор-функцию

А =

Уф,а,<р)

еС[П], А| = А| ж, А| =А|^. (39)

Определим оператор Л равенством (25), где ¿а - орт (36), 8ка - функции (21). Будем называть векторы (39) управлениями.

Обозначим Ж класс управлений А, удовлетворяющих требованию АИ = ба(з-а„і*), (*, а, <р) є П, где ва - функция (38).

ТЕОРЕМА 3.5. Каждому вектору ИеЖ отвечает решение ц задачи граничного управления (22) для пространственного тела 25, вычисляемое по формуле

//(р,/;А) = |[Г1(5а„,а)9>,г;^) + Г2(^!1„а,^/;А2)] ¿а, ^ = а-г{р)<ар, (40)

Е*

где Тк - функция (28) при а = (а,,а2) и <г> = (<3,,<Р2), - функция (34), й)р — орт (36) с заменой а на <р.

5.3. Решается задача оптимального управления

Э'(А) -»тіп, ИєЖ, - (41)

где ад=| ^ 1'Л)+т2г(*а<р, а, <р, V, /д] л*.

0 Е Ео

Замена 5=5ар+ашГ приводит к виду (29), где 9 —> 3% П —> П, П0 —» П0, а = (а„а2), <р = {<р„(р2).

Рассуждения, аналогичные проведенным в п. 4.3, приводят решение задачи (41) к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода вида (31) по 5 є [г1а,га<р] на тройку [А,, Аг, Я], где Л - множитель Ла-гранжа (см. § 3.5). При условии (32) система имеет единственное решение

у>=(йі,А2, Л) еС(П0),

при этом А = [АД]Т еЖ. Обозначим Ж0={/гєЖ: А = [А,Д]Т на П0}.

Вычисление класса Ж0 здесь также приводится к решению уравнения Вольтерра второго рода.

ТЕОРЕМА 3.6. В общем положении (29) каждая вектор-функция 17 = [1^,И2]'еЖ0 дает решение задачи оптимального граничного управления (41). Соответствующий оптимальный температурный режим на границе тела 2) вычисляется по формуле (40).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статья в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК

1. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский//ДАН. - 2012. - Т. 446.-№ 2. - С. 138-141.

2. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплоперено-сом в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48. - № 9. -С. 1256-1264.

3. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплоперено-сом в изотропном теле / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Докдады АН ВШ РФ. - 2012. - Т. 19. - № 2. - С. 54-60.

4. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Вестник Омского университета. — 2012. - № 2. - С. 63-66.

Публикации в других изданиях

5. Чурашева, Н. Г. Матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности. Случай анизотропного тела / Н. Г. Чурашева // Омский научный вестник. - 2009. - № 3. - С. 29-33.

6. Чурашева, Н. Г. Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Омский научный вестник. — 2010. —№ 3. — С. 14—18.

7. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление. Гиперболическая модель граничного управления теплопереносом в анизотропной пластике / Н. Г. Чурашева // Прикладная математика и фундаментальная информатика : сб. науч. тр. / под ред. А. В. Зыкиной. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011.-С. 46-50.

8. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление процессом распространения тепла в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.11. № 96 В-2011.

9. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности. Одномерный случай / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Современные проблемы науки и техники : сб. науч. тр. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011.- С. 108-112.

10. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление одномерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Прикладная математика и фундаментальная информатика : сб. науч. тр. / под ред. А. В. Зыкиной. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011.— С. 32-42.

11. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопере-носом в однородном стержне. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Математика, ее приложения и математическое образование : Материалы IV Международ, конф. МПМО-2011. - Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2011.-С. 82-87.

12. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплоперено-сом. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // Аналитическая механика, устойчивость и управление : Труды X Международ. Четаевской конф. Секция 3. Управление. - Казань : Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2012. - Т. 3. - Ч. 2. - С. 313-318.

13. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление переносом тепла в изотропном теле / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Динамика систем, механизмов, машин : Материалы VII Международ, науч.-техн. конф. Книга III. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - С. 107-111.

14. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплоперено-сом в анизотропной пластинке / Н. Г. Чурашева // Прикладная математика и фундаментальная информатика : сб. науч. тр. / под ред. А. В. Зыкиной. -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2012. - С. 37^1.

15. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление тегаюпереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Динамика систем, механизмов, машин : материалы VII Международ. науч.-техн. конф. Книга III. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2012. - С. 122-126.

Печатается в авторской редакции Компьютерная верстка А. Ю. Углиржа

Подписано в печать 23.07.13. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 446.

Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23-02-12 Типография ОмГТУ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201362066

Чурашева Надежда Георгиевна

Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -д.ф.-м.н., профессор Романовский Р.К.

Омск 2013

Оглавление

Введение...............................................................................................................3

Глава I. Предварительные сведения...............................................................26

§1.1. Схема обобщенного метода Лагранжа.................................................26

§ 1.2. Матрицы Римана первого и второго рода. Случай постоянных коэффициентов ..........................................................................................................28

§1.3. Гиперболическая модель теплопроводности. Случай анизотропного материала...........................................................................................................31

§ 1.4. Матрицы Римана одномерной гиперболической системы (1.15)......33

Глава II. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале...................................................................................................35

§2.1. Постановка задачи. Схема построения решения ................................35

§ 2.2. Задача граничного управления .............................................................39

§ 2.3. Выбор оптимального граничного управления....................................41

Глава III. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном и трехмерном материале..........................................................................51

§ 3.1. Матрицы Римана семейства систем Ьюи = 0. Случай двумерного анизотропного материла........................................................................................51

§ 3.2. Постановка двумерной задачи управления. Схема решения. Случай анизотропного материла..................................................................................58

§ 3 .3. Построение класса Ж допустимых граничных управлений ............62

§ 3.4. Выбор оптимального граничного управления....................................67

§ 3.5. Случай трехмерного материала............................................................75

Заключение........................................................................................................86

Литература

87

Введение

В последние десятилетия интенсивно развивается возникшая на стыке теории дифференциальных уравнений и теории управления проблематика, связанная с разработкой и анализом математических моделей управления волновыми процессами, описываемыми краевыми задачами для гиперболических уравнений.

Первые результаты такого типа для частных ситуаций были получены в 60-е и 70-е годы прошлого века в работах А.Г. Бутковского и ряда других авторов (см. книги [6] и [7] и ссылки в них).

Систематическое построение теории управления волновыми процессами на базе теории гиперболических уравнений началась в работах Ж.-Л. Лионса [36, 37, 81-83]. В частности, в работах [81-83] построен метод решения задачи точной управляемости для гиперболического уравнения второго порядка сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения, получивший название НЦМ-метод, получивший свое развитие в исследованиях многих ученых, в том числе у В. Коморника и О.Ю. Эма-нуилова [76-80]. В работах [76, 78] предложен подход к решению задачи точный управляемости на основе теорем о распространении особенностей; в [76, 78] для решения этой задачи использован аппарат априорных оценок карлемановского типа. В работе Д.Татару [84] этот аппарат применен для решения задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.

Важный вклад в эту проблематику внесла вышедшая в 1995 году работа Ф.П. Васильева [9]. Предложенная в этой работе концепция теории двойственности для линейных систем управления позволила уточнить схему НиМ-метода, представить в виде, позволяющем применять этот ме-

тод для решения широкого класса задач управления системами с распределенными параметрами.

В последние годы продолжаются интенсивные исследования по математическим моделям граничного управления волновыми процессами.

В работах М.М. Потапова [46-51] и A.A. Дряженкова [52] построен приближенный метод решения взаимодвойственных задач управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами с граничными управлениями различных типов.

Большой цикл В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их учеников посвящен граничному управлению колебаниями струн и стержней [4, 21-30, 38, 4045]. В каждом случае рассматривается задача поиска режима на концах, обеспечивающего переход за заданное время от начального вектора

(и, u'j) к заданному; строится зависящее от функциональных параметров

семейство граничных уравнений; из построенных управлений выбирается методом Лагранжа оптимальное - реализующее минимум функционала, имеющего смысл граничной энергии систем или Lp-нормы управления. Во всех случаях построено явное представление оптимального граничного управления. К этому циклу примыкают работы А.И. Егорова и JI.H. Знаменской [14-16].

В работе A.B. Аргучинцева и В.П. Поплевко [3] рассматривается задача оптимального управления (граничного и стартового) полулинейной гиперболической системой первого порядка, получено необходимое условие оптимальности вариационного типа.

Одна из актуальных задач теории управления - разработка методов граничного управления процессами теплопроводности и диффузии. Большое внимание этой проблематике в рамках параболической теории тепло-

проводности уделено в книгах [13, 37, 8]; см. также статьи [2, 11, 12, 35] и ссылки в них.

В последние десятилетия получила свое развитие гиперболическая (волновая) теория теплопроводности, она устраняет неограниченность скорости теплопереноса в классической теории и описывает быстропро-текающие процессы [39, 57, 75, 34, 35, 5, 32]. Вышедший в последние годы цикл работ О.Г. Жуковой и Р.К. Романовского [17-20, 56] посвящен разработке математических моделей граничного управления теплоперено-сом в рамках этой теории. Рассматриваются краевые задачи для гиперболической системы уравнений теплопроводности, моделирующие теплопе-ренос в однородном изотропном материале - одномерном, двумерном и трехмерном. Ставится задача поиска температурного режима на границе тела, обеспечивающего заданное распределение температуры тела в заданный момент времени. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений. Подход состоит в сведении задачи гра-

1

ничного управления решениями смешанной задачи к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши и использовании развитого ранее в работах Р.К. Романовского [53, 54] (см. также книгу [55]) аппарата матриц - функций Римана первого и второго рода, позволяющего строить явное представление решения задачи Коши для подклассов гиперболических систем.

Представляет теоретический и практический интерес продолжения этих исследований по двум направлениям.

I. Перенос указанных результатов по граничному управлению теп-лопереносом на случай анизотропного материала.

II. Выбор оптимального граничного управления, минимизирующего заданный функционал потерь.

Цель работы: решение задач граничного управления и оптимального граничного управления, поставленных в пунктах I и II.

Актуальность темы диссертационной работы вытекает из вышесказанного.

Работа включает в себя введение, три главы, заключение и список литературы.

Во введении дается обзор литературы, аннотация результатов, обоснование актуальности темы диссертации.

1. В первая главе вводятся основные понятия и теоремы, на которые опирается дальнейшее изложение.

В §1.1 приведена схема обобщенного метода Лагранжа из книги [1,

глЗ].

В §1.2 изложены систематически используемые в работе сведения из [53, 54] о матрицах Римана первого и второго рода одномерной гиперболической системы.

В §1.3 приведена гиперболическая модель теплопроводности для случая анизотропного материала.

§1.4 содержит используемые в главе 2 сведения из работы [18] о матрицах Римана одномерной гиперболической системы теплопроводности.

Приведенная в §1.3 гиперболическая система уравнений теплопроводности имеет вид

дТ А' Г\

с р--1- шу ¿7 = 0,

д I

• (0-1) т-У- + К&га(1Т + д = 0.

Здесь Т(х,1), д(х,?) - температура и вектор плотности теплового потока в точке х в момент времени /, с, р - удельная теплоемкость и плотность, г - период релаксации, К - тензор теплопроводности - симметрическая положительно определенная матрица второго или третьего порядка:

Уравнения системы - закон сохранения энергии и релаксационное соотношение первого порядка. Скорость распространения теплового импульса

2. В главах 2-3 рассматриваются поставленные выше задачи управления теплопереносом соответственно в стержне, анизотропной пластинке звездной формы, анизотропном пространственном теле звездной формы. Теплоперенос моделируется смешанной задачей для системы (0.1) соответствующей размерности (в случае стержня К = к > 0 - скаляр). Строится в каждом случае с использованием аппарата матриц Римана из [53, 54] класс допустимых граничных условий - обеспечивающих заданное распределение температуры тела в заданный момент времени, - затем из этого класса выбирается методом Лагранжа оптимальное граничное управление - минимизирующее заданный квадратичный функцонал потерь. Подход состоит в сведении задачи граничного управления решениями смешанной задачи к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши для системы (0.1). При этом процедура построения класса допустимых управлений в двумерном и трехмерном случаях существенно отличается от примененной в указанных выше работах

К = КТ, К> 0.

по направлению любого орта йв!" или Ж конечна и дается формулой

(0.2)

[20, 56].

3. В главе 2 рассматривается задача одностороннего граничного управления теплопереносом в конечном стержне длины /. Смешанная задача, моделирующая теплоперенос, имеет в векторно-матричной записи вид

Ьи =

\

— + А— + В дг

и = 0, (*,Ое[0,/]х[0,оо),

(0.3)

4=0 =

> о.

(0.4)

Здесь

~Т 'а 0" 2 = ' 1 1 ~0 0 "

и = , А = 2 ¿г1 -ъ-\ , В = 0 г-1

я. 0 -а

а = I—--величина (0.2) для стержня, Ь= Т

тер

кер

/л - кусочно-гладкая, выполняется условие согласования //(0) = 0. Начальные данные выбраны нулевыми без потери общности для упрощения выполняемых вычислений. Задача (0.3)-(0.4) однозначно разрешима в классе кусочно-гладких функций со слабыми разрывами (скачками производных) на характеристиках, проходящих через точки (0, 0), (0,/) и точки

разрыва //'(см. [10]).

Решение задачи оптимального граничного управления приводится в §2.2, §2.3 и состоит из двух этапов.

3.1. При фиксированных г > 0, ОДеС^О,/], <9(/) = 0 ищется температурный режим ц на левом конце стержня, обеспечивающий выполнение равенства

Г(*,Г;ц>) = 0(*), «б[ О,/].

(0.5)

Предполагается, что за время ¿* движущийся с конца стержня со скоростью а тепловой импульс успевает пройти весь стержень. Рассматривается крайний случай

г Л

а

(0.6)

Зафиксируем вектор-функцию

Ш

(0.7)

Определим операторы А^, Ак, к = 1,2, равенствами Л \ = ак ехр[^^ул1 I у1 к(1 - ^Ик(а)с1(т, к = 1,2,

К = Рк К (5) + ]" С* + / - <т, О К рк = ак ехр

(0.8)

где ах = 1 / 2, а2 = Ь / 2, - элементы матрицы Римана второго рода системы (0.3):

ехр(-/7(2г))

4ат

(с1

ТгГЯТг

У

(

ай

ч

у2 ту

(0.9)

с1 = ф2 -(з / а)2 , / (г) - функции Бесселя мнимого аргумента [58, с. 687].

Будем называть векторы (0.7) управлениями. Обозначим Н класс управлений, удовлетворяющих условию

Л/г=Л1Л1+Л2/г2 = 6'(5), 5е[0,/], (0.10)

где #($) - функция (0.5). Фиксируя в (0.10) произвольную компоненту Ик

вектора (0.7), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода на другую компоненту, однозначно разрешимое в С1 [0, /].

ТЕОРЕМА 2.1. Каждому вектору heH отвечает решение pi задачи граничного управления (0.5), (0.6), вычисляемое по формуле

¿i(t,h)=Alhl+A2h2, (0.11)

где Akhk - функции (0.8).

3.2. Слагаемое (0.8) в правой части (0.11) указывает вклад компоненты hk вектора (0.7) в формирование требуемого температурного режима ß на левом конце стержня. В качестве функционала потерь принимается "сумма квадратов"

*

t

F(h) = а JKAA,)2 + СA2h2)2]dt -> min; heH.

о

F имеет смысл, с точностью до постоянного множителя, квадрата внутренней энергии, внесенной управлением на левом конце стержня за

время t . Минимизация F эквивалентна минимизации Vf. Замена s = l-at приводит F к виду

/

F(h) = J[(A hxf + (Л2 h2)2]ds, (0.12)

где

г f l-s} Ahk = ocke{s)hk{s) + J vxkI /-ö-, — Jhk{a)d(j, e(s) = exp

2 ат

(0.13)

Введем гильбертовы пространства

Рассмотрим задачу оптимального управления

F(h) —»min, Ah-0 = О, heX. (0.14)

Функция Лагранжа задачи (0.14) имеет вид

1

J2?(A, Л) = F(h) + J A(s)(Ah - 6)ds, Л e Y.

о

Верны утверждения

1°. Функция (0.12) выпукла, строго дифференцируема в каждой точке heX и имеет вторую производную Фреьие F" = const, при этом для

любого /=[/1,/2]те1

/

F\h)f = 2j[( A hx)Ax f, + (А2 h2)A2 f2]ds,

(F*f)f = 2 fxf + (A2 f2)2]ds,

(F7)f>c\\ffx с = const > 0.

2°. АеНош(Х-»7), АХ = У.

Применение с учетом 1°, 2°, теорем 1, 2 из [1, п.3.4.1] (в силу выпуклости Р здесь идет речь о глобальном экстремуме) приводит решение задачи (0.14) к решению системы уравнений

= М=6>, (/1,Я)бХх7,

равносильной, как показывают вычисления, системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода

Д i//0) + \K(s,&)\i/{<j)d<j = ф),

(0.15)

где

2a1V(s) 0 а" 'К "0"

0 2 a22e2(s) Рг , п = 0

А А 0 в

, K=[k (s,<T)]1

k„(s,ar) =

2[а, е(сг)у,(о-,5) + Jv,(r,5)v,(r,cr)^r], 0 < <т <s,

о

s

2[а, + Jv;(r,5)v,(r,f7)i/r], S<(7<1,

v (<T,s), О <<7<S, = \ kil(s,a) = ka{<T,s\ kn =k2l =0,

0, s<a<l,

у,(5,сг) = у1г(/-сг, (l-s)/a), vt(s,cr) = vh(s+l-(T, I /а), г = 1,2 Нетрудно убедиться, что |det > const > 0

Из альтернативы Фредгольма с учетом "хороших свойств" ядра и правой части /Г177 следует, что система (0 15) имеет единственное решение

если выполняется требование

/

-lgs^C), = JiT^y/Jo*, (016)

где - множество собственных значений компактного оператора ЗС.

Каждая точка ¿Г е отделена от остальных и непрерывно зависит от

параметров, входящих в формулы для Я, К. Поэтому случай -1 е з{ЗС)

имеет место "с вероятностью ноль". Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (0.16).

Л, Л

Подстановка \ в равенство (0.11) со слагаемыми (0.13) дает оптимальное граничное условие на левом конце стержня.

ТЕОРЕМА 2.2. Задача оптимального управления (0.14) имеет в обА /А Л \ Л

щем положении (0.16) единственное решение И = \ И[,к1\,где Ик — компоненты решения ф системы интегральных уравнений (0.15). Соответствующий оптимальный температурный режим на левом конце стержня

дается формулой

1 1т> 2

где а = / тсрь Ь = ^т / кср, у 1к-функции {0.9).

4. Глава 3 посвящена распространению результатов главы 2 на случаи двумерного и трехмерного материала. В §§ 3.1-3.4 решается задача оптимального граничного управления теплопереносом в анизотропной пластинке, в § 3.5 эти результаты переносятся на случай анизотропного пространственного тела. Случай изотропного материала {К = к1) оговаривается в конце главы.

В двумерном случае

Я

~Я\ , к = К\2

Яг_ _К2\ К22_

ки = к1Ъ ки > 0, сЬг/С > 0.

Система (0.1) в векторно-матричной записи имеет вид

Ьи =

Г д к д л 5

+ А,-+ А-,-+ В

--г ГЛ} -

д1 <9*!

дх-,

и = 0,

(0.17)

0 Ы'1 0 С) 0 м-1

и = , А,= т~хки 0 0 , А 2 0 0

Яг. 0 0 Т 1к22 0 0

"0 0 0 "

В = 0 0 г"1 0 0

Пусть Т> - ограниченная область на плоскости ^ = звездная

относительно точки (0,0), с кусочно-гладкой границей с уравнением в полярных координатах

|лс| = г(ф) > 0, 0 < < 2/г.

Рассматривается смешанная задача, моделирующая теплоперенос в пластинке Т> :

Ьи = 0, (х,/)е£>х(0, сб), Ч=о = [°ДО]\ т\и=г(<р)=^<рЛ

(0.18)

где Ь - оператор (0.17), функция // непрерывна в своей области определения, выполняются условия согласования ¿¿((р, 0) = 0.

4.1. Введем семейство ортов П =

со 5 а - , 0 < а < 2л

<со = =

со2 вшог

Построим семейство одномерных гиперболических систем

и = О, а)еС1,

í а Я ^

± + А(сл£- + Ъ dt v ;ds

(0.19)

где

Л( ¿o) = eos а А1 + sin а А2,

Ак, В - матрицы (0.17). Нетрудно получить:

а. 0 яи

<о со

Ксо -Ко)

G)

т т

(й =

-sin« cosa

где ат - величина (0.2)

Проведем на плоскости (5,/) характеристики $ = ±(2^ оператора и пусть

- открытые углы с вершиной в (0,0), изображенные на рис. 0.1. Вычисления по формулам § 1.3 дают следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.1 Матрицы Римана первого и второго рода Цкт, Уа семейства гиперболических систем (0.19) даются формулами

мо=

_¿bexp(-¿)

2та

ео

1 Таго

ba~lKeo Каю1

^2.(0 =

2тал

0 0 0 0 . т

0

(О-V.

03

М>)=

2та

О)

™<оК 1 -тата? -Ь~1Ка> Каю/

кищ+кп0)2

О, (^еУо^иУо"«,,

V. = ■

ехр

н)

4та„

б/.

1а?

/'Л Л

0

О о

о -,„-

0

^ / (О

у

где

+ (0-20) °фСР ^

Из формул для матрицы , в частности, следует:

ехр

К)

чьумь:

(0.21)

4.2. В двумерном случае задача граничного управления (0.5) имеет

вид

(0.22)

где

, am = mnaa, r0= maх г(<р),

т

за это время тепловой импульс, движущийся с границы по любому направлению (о со скоростью аш , успевает пройти весь путь до ближайшей точки

границы дТ>. Предполагается в(х)eC°°(D); здесь и далее символ ¿""обозначает множество функций из CÜO(D) с носителем строго внутри V.

Продолжая в нулем из V в R2, представляя продолженную функцию интегралом Фурье, переходя к полярным координатам и представляя полученный интеграл по [0,2л-] в виде суммы интегралов по отрезкам [0,/г], [71,2тс\, после преобразований получим:

ЗГ СО

в(х) = \ва((о х)da, ea(s) = (27r)~2 \(eirse(rco) + e-irse(-ro))ydr, (0.23)

о о

где в - преобразование Фурье функции в, co-x = xl cosа + х2 sin а. Обозначим

r\co = aJ - г0 > г2ш = ао/ + Г0 »

П = {{s,a,(p): (а,(р) е [0,/г]х [0,2 л-], гы < s < rlo }. Зафиксируем вектор-функцию

h =

¡\{s,a,(p) h2(s,a,<p)

еС[П], hl__Q=hl=2}r. (0.24)

Определи