Описание процессов интенсивного теплопереноса гиперболическими уравнениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Теплоперенос в неподвижной среде

§ I. Некоторые основные свойства.

§ 2. Исследование квазилинейной системы уравнений методом бегущих волн.

§ 3. Автомодельные решения степенного типа.

ГЛАВА П. Решение некоторых задач газовой динамики с теплопроводностью гиперболического типа.

§ I. Бегущие волны в газе с теплопроводностью гиперболического типа.

§ 2. Бегущие волны в газе с вязкостью и теплопроводностью гиперболического типа.

§ 3. Бе1ущие волны для случая, соответствующего полностью ионизованной плазме.

§ 4. Автомодельные решения.

ГЛАВА Ш. Численное исследование электронной теплопроводности горячей плазмы.

§ I. О некоторых разностных схемах для гиперболического уравнения теплопроводности.

§ 2. Краткое описание программы для численного решения уравнений газодинамики с теплопроводностью гиперболического типа.

§ 3. О модели "обратных потоков"

§ 4. Пример расчета реальной задачи физики высокотемпературной плазмы.III

Эффективное решение крупных научно-технических задач, в которых необходимо учитывать самые разнообразные физические явления, описываемые нелинейными уравнениями математической физики, в настоящее время практически не мыслимо без вычислительного эксперимента £49 J . Успешное проведение последнего самым существенным образом связано с правильным выбором физико-математических моделей изучаемых явлений.

Широкий круг физических задач (например, задач высокотемпературной плазмы) приводит к необходимости подробно исследовать перенос тепла, зачастую являющейся одним из определяющих процессов. Для математического описания теплопереноса чаще всего используют закон Фурье [76 ] , гласящий, что поток тепла пропорционален градиенту температуры

V = (I)

Здесь эе - коэффициент теплопроводности. Если нас интересует распространение тепла в неподвижной среде с постоянной плотностью jo и удельной теплоемкостью Су , то помимо уравнения (I) для полного описания процесса достаточно иметь лишь начальные, граничные условия и закон сохранения энергии

2) где й - внешние источники или стоки тепла.

В одномерном случае при отсутствии источников тепла и постоянном Э6 можно свести (I), (2) к классическому уравнению теплопроводности

ЪТ - afr л;- —

Т "" ' (з)

Для широкого крута задач уравнение (I) с достаточной точностью описывает процессы теплопереноса, однако, при очень малых характерных масштабах длины (определяемых обычно величиной

При L^A , где J\ - длина свободного пробега частиц, нельзя говорить о локальном термодинамическом равновесии. Даже использование самого понятия "температура" при этом не вполне правомочно. Модельный характер уравнения (I) проявляется и на очень больших расстояниях. Из уравнения (3) при постоянном коэффициенте температуропроводности ^-^/рС^ следу"6? бесконечная скорость распространения тепла. Действительно, решение одномерной задачи о мгновенном плоском источнике тепла (в момент времени t-О в плоскости ос = О на единице площади выделяется энергия EQ = CvJ^Qo > Т(х, О) = О при 0 ) имеет вид (см., например, £24 ,

Формула (4) показывает, что во всякой точке х. температура, создаваемая источником, действующим в нулевой момент времени, отлична от нуля для сколь угодно малых моментов времени.

Реально коэффициент теплопроводности не является постоянной величиной, а зависит от термодинамических параметров вещества. Константой его можно считать лишь тогда, когда температура и плотность меняются мало. Более широкую область применимости имеет представление коэффициента теплопроводности в виде степенной функ

СХ & ции температуры и плотности зг(р,Т) - х0 Т jO . При этом значения величин а и & зависят от того, какие частицы являются основными носителями энергии. Например, если мы рассматриваем перенос закон Фурье (I) неприменим.

59] ):

4) тепла электронами в полностью ионизованной плазме, то Л = 5/2 , 6=0; если теплопроводность лучистая, то а = 13/2 ,8 = -2 [10, 24, 58] .

При а>0 процесс распространения тепла по холодному фону идет с конечной скоростью. Например, решение поставленной выше задачи о мгновенном плоском источнике тепла в случае, когда х=хсТЛ , ol>0 и теплоперенос описывается уравнением ft дхС1'1 docj > j>Cv имеет вид [7, 8, 23, 24] (ср. с (4), а= 0):

Т(*М (6)

I о > lxl>x9(t), j где Jc^(t) = K-q^Qq* t л+& - положение фронта тепловой волны, т (t) = • ш ■ г(к + £) , w ^ га) а J

Г - гамма-функция.

В частности, для электронной теплопроводности, Л = 5/2

CCpM-t^Qo t) , (7) в)

При любой зависимости X. от Т и рамки применимости закона Фурье ограничены требованием малости градиентов температуры по сравнению с отношением самой температуры к длине свободного пробега частиц, требованием L- . При решении задач физики высокотемпературной плазмы часто встречаются ситуации, когда масштабы пространственно-временных неоднородностей сравнимы с длиной свободного пробега электрона и характерным временем между столкновениями электронов (например, в задачах лазерного термоядерного синтеза - вблизи критической плотности, вблизи фронта тепловой волны - см., например, fl4, 93, 30, 65, 67j ).

Отметим также, что поток, вычисленный по закону Фурье, может в случае больших градиентов температуры превысить поток тепла, переносимый электронами в условной ситуации, когда все они вдруг изменили направление своего движения и полетели в одну сторону, "Ц^ ^пе ' £92] • На самом деле различные физические процессы, сопутствующие движению электронов (см., например, fl4, 26, 30, 65, 67, 77, 81, 89, 99] и др.), уменьшают во много раз величину ограничивающего потока, который обычно записывают в виде где Ке - концентрация электронов, Те - температура, тпе - масса электрона, & - постоянная Болыдаана, f - некоторое число, которое различные авторы предлагают брать в диапазоне от 0.01 до I в зависимости от учета тех или иных физических явлений ["14, 26 , 30 , 35 , 47 , 64 , 65-67 , 77 , 81-86 , 88 и др.J .

Для реальных задач высокотемпературной плазмы, например, для задач лазерного термоядерного синтеза, учет ограничения сверху теплового потока становится чрезвычайно важен, особенно при больших плотностях потока излучения

26, 47, 64, 65, 83] .

Учет ограничения теплового потока, опирающийся на тот или иной способ описания процесса теплопереноса, в значительной степени может повлиять на получаемые в расчетах характеристики горячей плазмы [l4, 64, 82].

Численные эксперименты по JITC и исследование влияния различных физических факторов на параметры плазмы [64, 82] показывают, что при уменьшении f оптимальный энергетический выход падает, необходимая для его достижения полная энергия лазерного импульса растет, требуемая мощность лазера увеличивается.

Попытки учесть ограничение теплового потока сверху выражением (9) в численных расчетах сводились, главным образом, к использованию для теплового потока интерполяционных форгдул типа

W= (Wp , ^-тш ) > (10)

ИЛИ w;1 + или vr = 1 + гад , (ID

Wrrj ft/* где введение модуля обеспечивает нужный знак у потока при /^l^'Knaj Простейшая математическая модель (10) используется авторами работ [75, 85, 8б] , а интерполяция (II) - модель "обратных потоков" применяется в подавляющем большинстве программ для численного решения задач ЛТС (см., например, [I, 4, 6, 14, 26, 47, 72, 73, 98]).

Недостатки этих математических моделей обсуждаются в [14, 35] . В первой из них уравнения, описывающие распространение тепла при Wp^Wrwn - параболического типа, при WF ^W^^ -гиперболического. В этой модели после достижения электронным потоком предельного значения процесс передачи тепла меняется и в количественном, и в качественном отношении, что может сильно сказаться на результатах и дать побочные "паразитические" эффекты. Возникает также вопрос о корректности постановки задачи с соответствующими начальными и граничными условиями. Поток тепла в уравнении (9) всегда одного знака. Чтобы знак потока соответствовал направлению распространения тепла, следует брать, например, К.^ положительным или отрицательным в зависимости от направления процесса. Тогда уравнение для переноса тепла сведется с учетом (2) к одноцу из двух видов: о где f/V Оба полученных уравнения - гиперболического типа. Выражения для характеристик имеют вид: при/С^Я , при /Сх

Рис. I. Рис. 2.

Видно, что при К,±>0 постановка краевой задачи правомерна, т.к. тепло распространяется вдоль характеристик, отходящих от оси ординат и направленных в сторону увеличения переменной ос у 0 (см. рис. I.).

В случае (см. рис. 2.) характеристики направлены в обратную сторону и пересекают ось Ot , принося с собой возмущения, связанные с начальными данными.

Произвольно задавать граничные условия в точке зс - 0 нельзя, и задача становится некорректной.

При расчетах практических задач часто образуются профили как с положительными, так и с отрщательными градиентами. Если дТ при этом используется модель (10), и достигает предельного значения ^то* , то возникает краевая задача, где в качестве начальных данных фигурирует уже сформированный профиль температуры, причем производные от температуры по пространственной переменной могут иметь любой знак. В таком случае математическая модель (10) может привести к некорректной постановке задачи.

При использовании модели (II) в численном эксперименте можно получить совершенно другой характер решения в том диапазоне физических параметров, в котором справедливо приближение обычной теплопроводности. В работе [14J приведен пример численного расчета задачи лазерного термоядерного синтеза, который иллюстрирует влияние такого ограничения потока. Введение его в случае, когда потоки были достаточно далеки от предельных, резко замедлило динамику процесса, качественно изменило профили физических величин по сравнению с расчетом по закону Фурье. Искусственное введение ограничения потока по формуле (II) может с самого начала привести к искажению описания процесса и создать условия для неестественного самоподдерживающегося роста градиента температуры, влекущего за собой необходимость учитывать предельный поток.

Простейшая модель (10) и модель "обратных потоков" (II) суть сугубо математические модели без должного физического обоснования, и нельзя гарантировать истинность результатов расчетов, проведенных с их использованием.

В силу значительных затрат машинного времени использование кинетических уравнений не всегда приемлемо для задач, "отягощенных" учетом многих нелинейных эффектов, тем более для серийных расчетов.

В свете вышеизложенного становится актуальной задача поиска и исследования других физически осмысленных математических моделей для описания переноса тепла ["68, 74, 78, 80, 82, 88, 94, 99).

Одна из таких моделей опирается на следующее уравнение для потока тепла где Т - время релаксации теплового потока, равное по порядву величины времени свободного пробега частицы.

Уравнение (12) было предложено еще Максвеллом [87] . В простейшем случае, когда коэффициент теплопроводности X, и время релаксации теплового потока Т - постоянные величины, оно используется для описания теплопереноса в наследственно-упругих материалах [31, 45] , в разреженных газах ["60-62, 69, 95] . В £22 J указывается, что описание распространения тепловых импульсов в твердых телах при низких температурах при помощи уравнения (12) хорошо согласуется с экспериментальными данными. В статье [12] отмечается, что "давно обнаруженное в жидком гелии явление второго звука возникло именно при использовании уравнения теплопроводности гиперболического типа". Применению (12) в задачах термоупругости посвящена шита [4б]. Там же можно найти дополнительную библиографию по данному вопросу.

Уравнение (12) можно получить из уравнения Больцмана при помощи метода тринадцати моментов Трэда (см., например, [39, 90J). Существует также вывод (12) из обобщенного уравнения Фоккера-Планка [70J.

В работах [12, 63] уравнение (12) получают феноменологически. Приведем для наглядности, не претендуя на строгость, вывод (12), исходя из простейших молекулярно-кинетических соображений [61].

Рассмотрим в некоторой точке среды плоскую площадку, перпендикулярную направлению потока тепла. Для определенности будем считать, что тепловой поток направлен вдоль оси ос слева направо. Пусть & - средняя (тепловая) скорость частиц, Т - время свободного пробега. На выделенную площадку попадают лишь частицы, находящиеся на расстоянии длины свободного пробега А - "&V от нее, скорость которых направлена в сторону площадки. Из частиц, находящихся на расстоянии Я справа от площадки, примерно 1/6 их часть движения налево, к площадке, т.к. все 6 направлений (вверх и вниз, вперед и назад, направо и налево) равновероятны. Тогда частицы, находящиеся справа от площадки, создадут поток jnpae -""g"71 ^ . Поток энергии, переносимый ими через площадку, будет WnpaB - ~ ^ъЪ тг\ £праЬ ? где т масса частиц, £ -энергия частиц. Аналогично, jAefi = т £лее

Тогда суммарный поток энергии будет иметь вид W= pn V- (- £nfJCi& +

Qe

В первом приближении можно считать, что £fl = £ ~ ^

ОФ 2 жл

W = - & q^l , где 32 = юн Су -j- - коэффициент теплопроводности. Мы получили тем самым закон Фурье. Если же параметры среды - температура и тепловой поток меняются быстро, то необходимо учесть, что частицам нужно еще некоторое время на то, чтобы долететь до рассматриваемой площадки. Поток тепла, выражение для которого мы получили, будет перенесен через площадку не в тот самый рассматриваемый момент времени t , когда температуры слева и справа от нее были соответственно Тлев и Т^^ , а в момент времени t + Z , где Г - порядка времени свободного пробега, dT(t) ciTCi") т.е. на самом деле не ~\jJ(t) = -se , aW(t+Z)--3e

В первом приближении tyft+Z) =W60 + Т , и мы получили тем самым V+ Г^г - - «эе уравнение (12).

Б последнее время интерес к этому уравнению возрос в связи с тем, что его было предложено применять и в горячей плазме для описания процесса электронной теплопроводности ГЗО, 35, 71, 90, 91J , как альтернативу общепринятым способом учета ограничения теплового потока (10), (II). При этом необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности и времени релаксации теплового потока от термодинамических параметров плазмы [58, 71, 90].

Математическая модель, использующая (12) для описания электронной теплопроводности, свободна от описанных выше недостатков, присущих моделям (10), (II), более физически обоснована.

Эта математическая модель в ряде случаев значительно лучше передает основные свойства процесса теплопереноса, вытекающие из кинетического подхода, что показывает следующий пример.

Б £бб] при помощи уравнения Фоккера-Планка была рассчитана задача о переносе тепла в неподвижной однородной среде из области, где температура поддерживалась постоянной за счет внешних источников тепла, в область, где температура была изначально в четыре раза ниже. При этом получилось, что в горячей области, несмотря на равенство нулю градиента температуры, потоки тепла были отличны от нуля и уменьшались по абсолютной величине с течением времени, а собственно в тепловой волне потоки тепла в точке не определялись однозначным образом значениями температуры и градиента температуры в данной точке. Аналогичные результаты были получены и в [84].

Очевидно, что ни одна из математических моделей (10), (II), а также ни одна из более сложных математических моделей, основанных на локальном квазистационарном подходе (например, рассмотренные в [68, 78, 88, 94, 99J ) не дадут сходных результатов.

Б самом деле, если градиент температуры равен нулю, то все эти модели с необходимостью дадут нулевое значение потока тепла.

В то же время уравнение (12) допускает существование потоков теп

ЭТ ла, отличных от нуля при ^ 0 , - они цри этом затухают пропорционально (- t/v) .

Если на плоскости ( ^/^тш? ), (здесь предельный поток (9), Я - длина свободного пробега, пропорциональная Тг) по осям откладывать величины в логарифмическом масштабе, то закон Фурье дает прямую, проведенную пунктирной линией на рис. 3 ; предельный поток (9) - прян/ую, проведенную точками.

Простейшая модель (10) дает ломаную штрихпунктирную линию. Другие из вышеперечисленных математических моделей (в том числе (II)) приведут к кривым, подобным изображенной на рис. 3 сплошной линией. Результаты расчета [бб] (для данной конкретной задачи) приведены на том же рисунке на два различных момента времени крестиками и кружками. Видно, что значение потока тепла для них, в отличие от всех вышеперечисленных математических моделей, не определяется однозначно значениями температуры и градиента температуры в данной точке. При использовании уравнения (12) поток тепла так

9W же зависит не только от этих двух величин, а еще и от ^г

Отметим, что в [80] предлагается квазистационарный подход, позволяющий вычислять поток тепла по значениям термодинамических параметров во всей области, также качественно согласующийся с результатами [66, 84J .

Несмотря на то, что уравнение (12) известно давно, его в основном исследовали при постоянных значениях коэффициента теплопроводности и времени релаксации теплового потока [9, 12, 22, 27, 38-41, 45, 46, 60-63, 69, 79, 95] .

В последнее время возрос интерес к уравнению (12) в квазилинейном случае, когда зе и Т зависят от температуры и плотности

Рис. 3,

30, 36, 71, 90, 91, 96J . Этот интерес, как уже отмечалось выше, объясняется тем, что проблема управляемого лазерного термоядерного синтеза потребовала достаточно хороших способов описания процесса электронной теплопроводности при условиях, когда закон Фурье теряет силу. При этом наряду с феноменологическими, аппро-ксимационными математическими моделями типа тех, что используют уравнения (10), (II), был предпринят ряд попыток построить более точные, более физичные математические модели, оставаясь, однако, в рамках гидродинамического описания процесса.

Цель настоящей работы состоит в исследовании математической модели для описания интенсивного теплопереноса, опирающейся на уравнение (12), разработке и реализации численных методов для решения соответствующих систем дифференциальных уравнений, а также в применении этой модели к решению практических задач высокотемпературной плазмы.

В работе исследуются основные особенности процессов теплопереноса, описываемых уравнениями теплопроводности гиперболического типа как в неподвижной, так и в движущейся среде. В отличие от работ других авторов, в которых изучается линейный случай, в настоящей работе учтена зависимость ае и Т от температуры и плотности среды, что приводит к качественно новым эффектам.

Метод характеристик, обычно применяемый для расчета теплопроводности гиперболического типа (см., например, [31, 45J ), неприменим при . В работе выписана чисто неявная разностная схема, которая при любых значениях времени релаксации теплового потока сохраняет свойства устойчивости и асимптотической устойчивости, что является весьма существенным в квазилинейном случае.

Указаны преимущества данного подхода по сравнению с применяемыми в настоящее время в вычислительном эксперименте способами учета ограничения теплового потока для описания электронной теплопроводности. Проведено сравнение численных расчетов с результатами эксперимента.

Результаты работы могут быть использованы при исследовании различных задач физики плазмы, в которых теплоперенос играет заметную роль. Указанная модель позволяет разумно описывать процессы теплопроводности в широком диапазоне параметров и может эффективно применяться при проведении вычислительных экспериментов в физике плазмы.

Численные методы решения уравнений теплопроводности гиперболического типа реализованы в рамках программ FLOK А [18, 19] и JDIAN/A [25, 51] и используются в расчетах, проводимых ИПМ АН СССР совместно с ФИАН СССР.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30, 35, 36, 37, 56, 57] и докладывались на ШТ научной конференции ЖГИ (1980 г.), на Всесоюзной конференции по управляемому термоядерного синтезу (г. Звенигород, 1981 г.), на Всесоюзных школах молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики" (г. Кишинев, 1981 г.; г. Львов, 1983 г.), на Международной школе-семинаре "Математические модели, аналитические и численные методы в теории переноса" (г. Минск, 1982 г.), на Всесоюзной конференции по физике горячей плазмы, посвященной 75-летию со дня рождения академика Л.А.Арцимовича (г. Звенигород, 1984 г.), на межинститутском семинаре в ФИАН СССР, на научном семинаре ИПМ АН СССР.

Материал диссертации распределен по главам следующим образом.

Первая глава посвящена исследованию теплопереноса в неподвижной однородной (полагаем

J>(x,t) si среде, описываемого' уравнением (12) совместно с уравнением энергии.

Б первом параграфе указываются некоторые другие физические процессы, описываемые аналогичным образом. Далее показывается, что изучаемая система уравнений является гиперболической. Вводится предельный поток, связанный с данным способом описания тепло-переноса. Затем приводятся некоторые точные решения системы при постоянных се и X , указываются отличия от "классической" теплопроводности (Г= 0).

После этого система исследуется в квазилинейном случае, когда se=3e0Ta} T0Taip а.>а±>0 . Рассматриваются решения типа бегущих волн, движущихся с постоянной скоростью ьй по "фону" с заданной температурой и нулевым значением потока тепла. Анализ показывает, что если & превосходит "тепловую скорость звука" = VjrcJ' , вычисленную по значениям на начальном фоне, то решения разрывны. Для скачков выписываются аналоги условий Гюгонио, показывается их эволюционность.

Заключительный параграф главы посвящен автомодельным решениям задачи о распространении тепла по холодному фону от стенки с заданным на ней тепловым режимом. Выписываются условия автомодель-ности, система уравнений сводится к ОДУ. Искомое решение разрывно, оно находится методом пристрелки. Приводятся результаты расчета исходной системы уравнений в частных производных, показывающие быстрое установление автомодельного профиля.

Во второй главе решаются некоторые задачи газовой динамики с теплопроводностью гиперболического типа. Исследования проводятся для одномерного плоского случая в массовых лагранжевых переменных.

Вначале рассматриваются решения типа бегущих волн, движущихся с постоянной массовой скоростью Я) по холодному однородному неподвижному фону, аналогично работам [~34, 52 J . Для газа без вязкости задача сводится к исследованию одного обыкновенного дифференциального уравнения (решения которого при -рх- - сопл£, ссуплЛу выписываются явно); для газа с вязкостью - к исследованию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнении, которое проводится на фазовой плоскости безразмерная температура -безразмерный удельный объем. Показывается возможность существования решений с двумя разрывами, связанными с наличием в среде двух скоростей распространения малых возмущений, двух скоростей "зщ-ка".

Далее рассматриваются автомодельные решения задачи о поршне (с заданным на нем тепловым режимом), вдвигаемом в холодный неподвижный газ. При численном расчете исходной системы уравнений "на установление" получены автомодельные решения с двумя разрывами. Показано, что при увеличении времени релаксации теплового потока возможна смена режимов TB-I на ТВ-П, связанная с уменьшением скорости распространения тепла.

Третья глава диссертации посвящена вопросам численного решения уравнений теплопроводности гиперболического типа и численному исследованию процессов электронной теплопроводности в горячей плазме.

В первом параграфе рассматривается трехпараметрическое семейство разностных схем для описания теплопереноса в неподвижной среде при постоянных 96 и "С , получены условия устойчивости. Исследована устойчивость, асимптотическая устойчивость и точность на стадии регулярного режима для некоторых конкретных схем. Показаны преимущества чисто неявной схемы для решения практических задач, где Т меняется в самых широких пределах (в том числе при Z-т 0 , когда неприменим метод характеристик, обычно используемый для расчета уравнений теплопроводности гиперболического типа).

Далее приводится краткое описание программы для численного решения уравнений газовой динамики с теплопроводностью гиперболического типа; особо рассмотрен вопрос об аппроксимации времени релаксации теплового потока в границы ячеек.

Для сравнения свойств трех математических моделей описания электронной теплопроводности (закона Фурье, модели "обратных потоков" и уравнений теплопроводности гиперболического типа) рассматриваются решения (автомодельные и типа бегущих волн) соответствующих систем уравнений, описывающих теплоперенос в неподвижной среде.

В четвертом параграфе аналогичное сравнение проводится на примере расчетов по программе jbJA/S/A , учитывающих большое число физических процессов. Показывается, что при использовании различных моделей результаты существенно отличаются друг от друга. Проводится сравнение расчетов с результатами натурных экспериментов.

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации состоят.в следующем:

- Исследованы основные особенности процессов теплопереноса, описываемых уравнениями теплопроводности гиперболического типа. Указаны преимущества данного подхода по сравнению с применяемыми в настоящее время в вычислительном эксперименте математическими моделями, учитывающими ограничение теплового потока, для описания электронной теплопроводности горячей плазмы.

- Изучены различные режимы распространения тепла в неподвижной среде. Показан разрывный характер решения, существенно зависящий от соотношения между скоростью движения волны и скоростью распространения тепла.

- Показано, что ввиду наличия в газе с теплопроводностью гиперболического типа двух скоростей распространения малых возмущений, у системы уравнений газовой динамики с теплопроводностью гиперболического типа возможны решения с двумя разрывами.

- Рассмотрены автомодельные решения системы уравнений газовой динамики с теплопроводностью гиперболического типа. Показано, что при увеличении времени релаксации теплового потока возможна смена режимов TB-I на ТВ-П, связанная с уменыознием скорости распространения тепла.

- Исследовано трехпараметрическое семейство разностных схем для численного решзния гиперболической системы уравнений теплопроводности. Получены условия устойчивости. Исследована устойчивость, асимптотическая устойчивость и точность на стадии регулярного режима для некоторых конкретных схем. Показаны преимущества чисто неявной схемы для решзния практических задач.

- Проведены расчеты реальных ванием различных моделей описания Результаты сравниваются с данными физических задач с использо-электронной теплопроводности, эксперимента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Аврорин Е.Н., Зуев А.И., Карлыханов Н.Г., Лыков В.А., Черняков В.Е. О требованиях к мишеням и параметрам лазерной установки для получения термоядерной вспышки: Препринт J6 48. М.: ИПМ АН СССР, 1980, 39 с.

2. Афанасьев Ю.В., Бусурина Л.Н., Волосевич П.П., Гамалий Е.Г., Гуськов С.Ю., Данилова Г.В., Крохин О.Н., Маслянкин В.И., Розанов В.Б., Царева Л.С. Вычислительные эксперименты в ЛТС. Физика плазмы, 1983, т. 9, вып. 4, с. 791-799.

3. Афанасьев Ю.В., Гамалий Е.Г., Розанов В.Б. Основные уравнениядинамики и кинетики лазерной плазмы. В кн. Теория нагрева и сжатия низко энтропийных термоядерных мишеней (Труды ФИАН, т. 134). - М.: Наука. 1982, с. 10-31.

4. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде. ПНИ, 1952, т. 16, № I, с. 67-78.

5. Баренблатт Г.И., Вишик И.М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. ПММ, 1956, т. 20, № 3, с. 4II-4I7.

6. Баумейстер К., Хамилл Т. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о полубесконечном теле. Теплопередача, 1969, № 4, с. II2-II9.

7. Брагинский С.П. Явления переноса в плазме. В кн.: Вопросы теории плазмы /йод ред. Леонтовича М.А. - М.: Атомиздат, 1963, вып. I, с. 183-271.

8. Брушлинский К.В., Каждая Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики Усп. матем. н., 1963, т. 18,2, с. 3-23.

9. Бубнов В.А. Замечания к волновым уравнениям теории теплопроводности. В кн.: Проблема тепло- и массопереноса. Мн.: Наука и техника, 1976, с. 168-175.

10. Васин Б.Л., Ерохин А.А., Зорев Н.Н., Кологривов А.А., Рупа-сов А.А., Склизков Г.В., Шиканов А.С. Нагрев и сжатие сферических мишеней, облучаемых лазером. Труды ФИАН, 1983, т. 133, с. 51-145.

11. Волосевич П.П., Косарев В.И., Леванов Е.И. Об учете ограничения теплового потока в численном эксперименте: Препринт № 21. М.: ИПМ АН СССР, 1978,22 с. .

12. Волосевич ПЛ., Курдюмов СЛ., Бусурина Л.Н., Крус В.П. Решение одномерной плоской задачи о движении поршнл в идеальном теплопроводном газе. IBM и МФ, 1963, т. 3, № I, с. 159-169.

13. Волосевич ПЛ., Леванов Е.И. Автомодельные решения уравнений газовой динамики с учетом нелинейной теплопровдоности: Курс лекций., Тбилиси: ТГУ, 1977, 79 с.

14. Волосевич ПЛ., Леванов Е.И. Некоторые автомодельные задачи газовой динамики с учетом дополнительных нелинейных эффектов. Диф. уравнения, 1981, т. 17, № 7, с. I200-I2I3.

15. Гайфулин С.А., Захаров А.В., Змитренко Н.В., Карпов В.Я., Михайлов А.П., Мищенко Т.В. САФРА. Функциональное наполнение. flora. Программа расчета уравнений одномерной газовой динамики с теплопроводностью (Инструкция). М.: ИПМ АН СССР, 1982, 52 с.

16. Гольдин В.Я., Четверушкин Б.Н. Исследование охлаждения и разлета сферической мишени, разогретой излучением лазера. -ЖЭТФ, 1975, т. 68, вып. 5, с. I768-I77I.

17. Гутфельд Р. Распространение тепловых импульсов. В кн.: Физическая акустика/под ред. У. Мэзона, т. 5, М.: Мир, 1973, с. 267-329.

18. Зельдович Я.В., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопровдоности, зависящей от температуры. В "Сб. к семидесятилетию академика А.Ф. Иоффе". М., Изд-во АН СССР, 1950, с. 61-71.

19. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., "Наука", 1966, 688с.

20. Зуев А.И., Карлыханов Н.Г., Лыков В.А., Черняков В.Е. 0 роли быстрых электронов и ограничения электронной теплопроводности в экспериментах с газонаполненными оболочками: Препринт

21. М.: ИПМ АН СССР, 1980, 21 с.

22. Колесников П.М. Методы решения нелинейных уравнений теории переноса. В кн. "Аналитические и численные методы в терии переноса", Минск: ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1977, с. 3-48.

23. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва в газах -М.: Наука, 1973, 278 с. (Труды МИ АН СССР им. В.А. Стеклова, т. 119).

24. Коробейников В.П., Мельникова Н.С., Рязанов Е.В. Теория точечного взрыва. М.: Физматгиз, 1961 - 332 с.

25. Косарев В.И., Леванов Е.И., Сотский Е.Н. Об одном способе описания процесса электронной теплопроводности в высокотемпературной плазме: Препринт № 142. М.: ИПМ АН СССР, 1981, 25с.

26. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения . волн напряжений в твердых телах. Труды ВЦ АН СССР, 1976, вып.,6, 67 с.

27. Курдюмов С.П. Бегущие температурно-гидродинамические волны, движущиеся по фону с постоянным давлением: Препринт $ 45. М.: ИПМ АН СССР,.1971, 32 с.

28. Курдюмов С.П. Изучение взаимодействия гидродинамических и нелинейных тепловых процессов с помощью бегущих волн, М.: ИПМ АН СССР, 1971, Препринт № 55, 45 е.; Препринт № 56, 48 с.

29. Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Бегущие волны в среде с вязкостью и теплопроводностью: Препринт № 44. М.: ИПМ АН СССР, 1973, 45с.

30. Леванов Е.И., Сотский Е.Н. Ограничение теплового потока и способы его учета в численном эксперименте. Сб. Математические модели в теории тепло- и массообмена (материалы международной школы-семинара), Минск, ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1982,с. 84-89.

31. Леванов Е.И., Сотский Е.Н. О бегущих волнах в среде с теплопроводностью гиперболического типа: Препринт № 193, М.: ИПМ АН СССР, 1982, 27 с.

32. Ленюк М.П. О волновом уравнении теплопроводности. Украинский математический журнал, 1972, т. 24, № 6, с. 832-838.

33. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена. ИФЖ, 1965, т. 9, № 3, с. 287-304.

34. Лыков А.В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопе-реноса. В кн. Проблема тепло- и массопереноса. Мн.: Наука и техника, 1976, с. 9-82.

35. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник. М. "Энергия", 1978, 480 с.

36. Маслянкин В.И. 0 сходимости итерационного процесса для квазилинейного уравнения теплопроводности. ЖВМ и МФ, 1977, т. 17, № I, с. 209-216.

37. Немчинов И.В. Разлет подогреваемой массы газа в регулярном режиме ПМТФ, 1964, № 5, с. 18-29.

38. Неуважаев В.Е. Неадиабатические движения в идеальном газе (автомодельные решения) Труды МЙАН, 1973, т. 122, с. 24-51.

39. Осокин А.Е., Суворова Ю.В. Некоторые задачи теплопроводности для наследственно-упругих материалов. Изв. АН СССР, сер. Машиноведение, 1983, №-1, с. 87-92.

40. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976, 312 с.

41. Прохоров A.M., Анисимов С.И., Папшнин П.П. Лазерный термоядерный синтез. УФН, 1976, т. 119, вып. 3, с. 401-424.

42. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений, М.: "Наука", 1978, 688 с.

43. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1979, 5, с. 38-49.

44. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 656с.

45. Самарский А.А., Курдюмов С.П., Волосевич П.П. Бегущие волныв среде с нелинейной теплопроводностью. ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, }h 2, с. 199-217.

46. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980, 352 с.

47. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн. ЕВМ и МФ, 1963, т. 3, № 4, с. 702-719.

48. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981,448 с.

49. Сотский Е.Н. Об учете ограничения теплового потока. сб. Труды МФТИ, сер. Аэрофизика и прикладная математика, М.: МФТИ, 1981, с. 105-107.

50. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М.: "Мир", 1965, 212 с.

51. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.-Л.: ГИТЛ, 1951, 659 с.

52. Хонышн А.Д. Об уравнениях гидродинамики быстрых процессов. -ДАН COOP, 1973, т. 210, №5, с. 1033-1035.

53. Хонышн А.Д. О парадоксе бесконечной скорости распространения возмущений в гидродинамике вязкой теплопроводной среды и уравнениях гидродинамики быстрых процессов. В кн. "Аэромеханика", М.: Наука, 1976, с. 289-299.

54. Хонышн А.Д. 0 распространении высокочастотного звука в разреженных одноатомных газах. В кн. "Труды 1У Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике", Издательский отдел ЦАГИ, 1977, с. 300-306.

55. Чернышов А.Д. 0 теории теплопроводности при конечной скорости распространения тепла. ИФЖ, 1975, т. 28, Jfe 3, с. 523-527.

56. Appert К. Influence of Strongly Flux-Limited Electron Thermal Conduction on the Burn of Laser Imploded DT-Spheres. - Nucl. Fusion, 1975, v. 15, No. 6, p. 1188-1190.

57. Ashby D.E.T.F. Criteria for the Onset of Flux-Limited Thermal Conduction in Laser-Induced Compression. Nucl. Fusion, 1976, v. 16, No. 4, p. 625-628.

58. Bell A.R., Evans R.G., Nicholas D.J. Electron Energy Transport in Steep Tempreature Gradients in Laser-Produced Plasmas. -Phys. Rev. Lett., 1981, v. 46, No. 4, p. 243-246.

59. Bickerton H.J. Thermal Conduction Limitations in Laser Fusion -Nucl. Fusion, 1973, v. 13, No. 3, p. 457-458.

60. Bond D.J. Approximate Calculations of the Thermal Conductivity of a Plasma with Arbitrary Temperature Gradient. J. Phys. D.: Appl. Phys., 1981, v. 14, p. L43-L46.

61. Cattaneo. G. Sur une forme de 1*equation de la chaleur eliminant le paradoxe d'une propagation instantee. Comptes rend.us, 1958, t. 247, No. 4, p. 431-433.

62. Chandrasekhar S. Нет. Mod. Phys., 1943, v. 15, No. ?.

63. Choi S.H., Wilhelm H.E. Similarity Transformation for Explosions in Two-Component Plasmas with Thermal Energy and Heat-Flux Relaxation. Phys. Rev. A., 1976, v.14, No. 5. p. 1825-1834.

64. Christiansen J.P., Ashby D.E.T.F., Roberts K.V. MEDUSA: A One-Dimensional Laser Fusion Code. Сотр. Phys. Comm., 1974, v. 7, No. 5, p. 271-287.

65. Christiansen J.P., Winsor N.K., Castor 2.: A Two-Dimensional Laser Target Code. Сотр. Phys. Comm., 1979, v. 17, p. 397-412.

66. Clause P.J., Balescu R. A Non-Linear Approach to the Kinetic Theory of Heat Conductivity in a Plasma. Plasma Physics, 1982, v. 24, No. 11, p. 1429-1448.

67. Cowie L.L., McKee C.F. The Evaporation of Spherical Clouds in a Hot Gas. I. Classical and. Saturated Mass Loss Rates. -The Astrophys. J., 1977, v. 211, No. 1, p. 135-146.

68. Fourier J.B. Theorie analytique de la chaleur. Paris, 1822.

69. Gray D.R., Kilkenny D.J. The Measurment of Ion Acoustic Turbulence and Reduced Thermal Conductivity Caused by a Large Temperature Gradient in a Laser Heated Plasma. Plasma Physics, 1980, v. 22, p. 81-111.

70. Kho Т.Н., Bond D.J. Application of a Moment Method to Calculation of Heat Flow in a Plasma with Fokker-Plank Collision Term. J. Phys. D: Appl. Phys., 1981, v. 14, No. 8, p. L117--L119.

71. Lambermont J., Lebon G. On a generalization of the Gibbsequation for heat conduction. Physics Letters, 1973, v. 42A, No. 7, p. 499-500.

72. Luciani J.F., Mora P., Virmont J. Nonlocal Heat Transport Due to Steep Temperature Gradients.- Phys. Rev. Lett., 1983, v. 51, No. 18, p. 1664-1667.

73. Malone R.C., Mc Crory R.L., Morse R.L. Indications of Strongly Flux-Limited Electron Thermal Conduction in Laser-Target Experiments. Phys. Rev. Lett., 1975, v. 34, No. 12, p. 721-724.

74. Mason R.J. Monte Carlo Hybrid Modeling of Electron Transport in Laser Produced Plasmas. Phys. of Fluids, 1980, v. 23, No. 11, p. 2204-2215.

75. Mason R.J., Morse R.L. Hydrodynamics and Burn of Optimally Imploded Deuterium Tritium Spheres. - The Phys. of Fluids, 1975, v. 18, No. 7, p. 814-828.

76. Matte J.P., Virmont J. Electron Heat Transportdown Steep Temperature Gradients. Phys. Rev. Lett., 1982, v. 49, No. 26, p. 1936-1939.

77. Max C.E., Mc Kee C.F., Mead W.C. A Model for Laser Driven Ablative Implosions.- Phys. of Fluids, 1980, v. 23, No. 8, p. 1620-1645.

78. Max C.E., McKee C.F., Mead. W.C. ScalirS of Ablative Laser-Fusion Implosions. Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45., No. 1, p. 28-31.

79. Maxwell J.C. On the Dynamical Theory of Gases. Philos. Trans. Roy. Soc., 1867, v. 157, p. 49-88.

80. Moore P.A.C. Flux-Limited Heat Flow in a Double Plasma Device. J. Phys. D: Appl. Phys., 1981, v. 14, No. 8, p. 1429-1443.

81. Morse R.L., Nielson C.W. Occurence of High-Energy Electrons and Surface Expansion in Laser-Heated Target Plasmas. The Phys. of Fluids, 1973, v. 16, No. 6, p. 909-920.

82. Moses G.A., Duderstadt J.Improved Treatment of Electron Thermal Conduction in Plasma Hydrodinamies Calculations. The Phys. of Fluids, 1977, v. 20, No. 5, p. 762-770.

83. Okada Т., Yabe Т., Niu K. Thermal Flux Reduction by Electro^ magnetic Instabilities. J. of Plasma Physics, 1978, v. 20, No. 3, p. 405-417.

84. Parker E.N. Dynamic Properties of Stellar Coronas and Stellar Winds. 2. Integration of the Heat-Flux Equation. The Astro-physical Journal, 1964, v. 139, No. 1, p. 93-122.

85. Salzmann H. The Applicability of Fourier's Theory of Heat Conduction on Laser Produced Plasmas. Physics Letters, 1972, v. 41A.No. 4, p. 363-364.

86. Shirazian M.H., Steinhauer L.C. Kinetic-Theory Description of Electron Heat Transfer in a Plasma. Phys. of Fluids, 1981, v. 24, No. 5, p. 843-850.

87. Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue de 1'equation de la chaleur. Comptes rend.us, 1958, t. 246, No. 22, p. 3154-3155.

88. Wilhelm H.E., Choi S.H. Nonlinear Hyperbolic Theory of Thermal Waves in Metals. J. of Chem. Phys., 1975, v. 63, No. 5, p. 2119-2123.

89. Yaakobi В., Bristow T.C. Measurement of Reduced Thermal Conduction in (Layered.) Laser-Target Experiments. Phys. Rev. Lett., 1977, v. 38, No. 7, p. 350-353.

90. Zimmerman G.B. Numerical Simulation of the High Density Approach to Laser^Fusion. Preprint UGRL-74811, Lawrence Livermore Laboratory, 1973, 47 p.

91. Быченков В.Ю., Силин В.П. Теплоперенос в турбулентной лазерной плазме. Письма в ЖЭТФ, 1981, т. 34, вып. 6, с. 325-328; Ионно-звуковая турбулентность плазмы - ЖЭТФ, 1982, т. 82, вып. 6, с. 1886-1903.

92. Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. ТЕКОН. Пакет программ для решения тепловых задач: Препринт № 65. М.: ИПМ АН СССР, 1978, 24 с.