Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ



академия наук ссср ордена ленина сибирское отделение шчислигельшя центр

На правах рукописи

Кабанихин Сергей Игоревич

УДК 519.642.5 517.988.68 517.956.3

проекционно-разностные метода определения

коэффициентов гиперболических уравнений

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1989

ч

Работа выполнена в Институте математики и в Вычислительном центре Сибирского отделения Академии наук СССР

■ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

профессор ■ А.Н. Коновалов доктор физико-математических наук ' ' - профессор . В.И.Дмитриев

- доктор физико-математических наук ; ; . профессор А.М.Федотов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московский инженерно-физический институт

Защита состоится " // " i^^U^e^S 19ЭС года на. заседании Специализированного Совета Д002Л0.01 Вычислительного центра Сибирского отделения АН СССР по адресу: 630090, Новоси-бирск-90, проспект академика М.А.Лаврентьева, 6

С диссертацией можно • ознакомиться. в читальном зале отделения ГПНТБ (проспект академика М.А.Лаврентьева, б)

■л :" "

Автореферат разослан -" •/¿^¿t^h/i^i 199^ года

Ученый секретарь •

Специализированного Совета

кандидат физико-математических наук .Ю.И.Кузнецов

• !

13>", окуя ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Отдел

¡ссертац'д^уздьноеть темы. Диссертация пссзязцена исследования ди-н&.'ичосктс обратных задач для гиперболических уравнений и систем, изучению вопросов корректности обратных задач, построению и обоснованию численных методов решения. Обрат:¡из задачи. для гиперболических уравнений и систем возиикаэт во многих областях математической„физики и заключаются е определе-ни;: коэффициентов уравнений по некоторой дополнительной информации о решении ссотзетствупцих прямых ¡задач. Искомыми коэффициентами являются, как правило, такие паяные характеристики исследуежос сред, как параметр; ;1а»«е к плотность - в случае обратных задач теории упругости, тензоры д/^зктргасской и магнитного проницаемостей и тегтсср г.ров-гикосги - в случае обратных задач для системы уравнений Максвелла; скорость распространения волн в среде и плотность - в случае обратной задачи для уравнения акустики, и т.д. Практической значимостью указанных обратных задач обусловлена актуальность исследований по корректности этих задач, по создания и обоснования численних методов решения.

К серсдине секидзсятых годов в теории'обратных задач были получены теоремы единственности и оценки условной устойчивости решения целого ряда многомерных обратных задач для гиперболических уравнений, теоремы о локальной корректности ряда одномерных обратных задач в диншвшеской постановке, получены оценки условной устойчивости "в целом". (М.Ы.Лаврентьев, В.Г.Романов, Ю.Е.Анакоиов, А.С.Благовещенский и др.) В области численных методов били предложены алгоритмы определения коэффициентов отражения слоистых сред ( 0. Ku.netЯ, Р.&Оирьб£аиЛ и др.), сформулирована в общем виде

(А. С.Алексеев) идея метода обращения разностной схемы (ЮРС), которая была реализована для решения одномерной обратной динамической задачи еейсмики (А.С.Алексеев, В.И. Добринский, Б.С.Парийекий, Н.Ы.Бородаева, О.Ф.Антоненко, Фаы ЛоЙ Ву). Однако открытия! оставались вопросы применения МОРС к различным классам одномерных обратных задач для гиперболических уравнений и систем, вопрос обоснования метода и получения оценки скорости сходимости, а также вопрос о применении

МОРС для численного решения многомзркьас обратных задач. Исследованию указанных вопросов посвящеш работы автора диссертации {Д-14Ц . Работа выполнялась в рамках темы "Некорректные задачи математической физики и теории переноса" (номер гос.регистрации 81041851) Вычислительного центра СЮ АН СССР (г. Новосибирск). а томи "Обратные задач:; математической физики" (номер гос.регистрации 0166.0125713) Института математики СО АН СССР.

Цель работы заключалась в разработке теории и методов численного решения динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем (при этом в случае многомерных обратных задач требовалось предварительно установить теоремы о локальней-корректности.

Методика работы. При исследовании корректности обратных задач использовались метода функционального анализа и общей теории обратных задач, теории регуляризации. При построении и обосновании численных алгоритмов использованы проекционные методы в сочетании с конечно-разностном методом обращения разностной схемы и методами регуляризации.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Впервые изучен ряд постановок обратных задач, возникающих в сейсморазведке, геоэлектрике, акустике и др., на основе общего метода сведения указанных задач к операторным уравнениям Вольтерра с ограниченно липшиц-непрерывным ядром.

2. Для операторных уравнений Вольтерра с ограниченно липшиц-непрерывным ядром впервые установлена теорема о корректности в окрестности точного решения,построена вольтер-ровская регуляризация для операторного уравнения первого рода, изучены вопросы использования априорной информации, разрешающей способности и обоснования-метода линеаризации.

3. Впервые построены и обоснованы численные методы решения широкого круга одномерных обратных задач для гиперболических уравнений и систем.

4. Предложен и разработан проекционный метод исследования многомерных обратных задач для гиперболических уравнений и систем, позволивший впервые сформулировать и доказать локальные теоремы существования ряда многомерных обратных

задач ^I,8,9 / , а также построить и доказать сходимость регуляризирующязс алгоритмов.

5. На основе результатов, перечисленных в пунктах 1-4, разработан проекционно-разностный метод решения многомерных динамических обратных задач. Метод применен для исследования обратных задач, возникающих в сейсморазведке,- геоэлектрике, акустике и др.

6. На основе проекционного метода построена линейная регуляризации многсмэркьх сбратнкх задач для уравнения колебаний и уравнения акустики.

Теоретическая и практическая цённость. Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в разработке и обосновании общего метода численного решения широкого круга динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем, как одномерных, так и ряда многомерных. Предложенные автором алгоритмы послужили основой создания комплекса программ для численного решения обратных задач, возникающих в сейсморазведке, геоэлектркке и др. Разработанные алгоритмы и программы переданы для использования в ряд организаций и могут быть использованы при ранении прикладных задач обработки и интерпретации наблюдений з геофизике.

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах академика М.М.Лаврентьева (ВЦ СО АН СССР г. Новосибирск и ИМ СО АН СССР), академика А.С.Алексеева (ВЦ СО АН СССР г.Новосибирск), чя.-хорр. АН СССР В.Г.Романова (ВЦ 00 АН СССР г. Новосибирск и ИМ СО АН СССР), профессора В.И.Дмитриева (МГУ), профессора А.И. Прилепко (МИ®), профессора О.Е.Аниконова (ИМ 00 АН СССР), профессора С.В.Голь-дика (ИГ к Г 00 АН СССР), профессора А.М.Блохина (НГУ), на семинаре отделения прикладной математики ИМ СО АН СССР. Доклада по отдельным результатам диссертации были сделаны автором на Всесоюзных школах,семинарах и конференциях по условно-корректным задачам математической физики: в Ноорусе (1981г.), в Самарканде (1983 г.), в Саратове (1985г.), в Новосибирске (1984г., 1986г., 1988г.), на IX Международном симпозиуме по электромагнитным зондированиям Земли и Луны (Сочи, 1988г.) на различных Всесоюзных, региональных и республиканских школах, семинарах и конференциях по обратным

задачам геофизики, вычислительной математике, математической физике. ■

Личный вклад автора. В работах Св-7] автору диссертации принадлежит идея использования проекционного метода при исследовании рассматриваемых в работах задач, реализация идеи проведена совместно с соавторами, при этом вклад каждого из них следует определит:, как равный. В монографии СЗИ автором натшеаге.! главы 5,6 и приложение. 3 работе [1133 автору диссертации принадлежит постановка задачи и идея решение, программа численного решения разработана С.В.Мартаковым. В остальном вклад соавторов в работу [131 равный.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения ( 280 страниц машинописного текста), а также списка литературы из 405 наименований, приложения, рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована общая постановка задачи, приведен краткий обзор работ по различным методам исследования и численным алгоритмам решения динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем, дан обзор содержания диссертации.

В качестве основного объекта исследования выбрана следующая постановка обратной задачи, встречающаяся, как правило, в различных областях геофизики.

• Цусть = (г е : 2 > 0 } , /^-множество вещественных чисел. Предположим, что до момента времени t=0 полупространство Я * находилось в покое, т.е. для функции (или вектор-функции) й ) , описывающей процесс распространения волн в среде, выполнено условие

и\иош0- (1)

Предположим, что на границе Я=0 , начиная с момента времени t=0 » выполняется граничное условие

что процесс распространения волн б среде списывается ре-иением уравнения (или системы уравнений)

Я2*,?; . (3)

Здесь [1 - гиперболический оператор (в большинстве интересных для приложений задач первого или второго порядка), ¡4 -дифференциальный оператор, обеспечивающий корректность смешанной задачи (Т)-СЗ). Обратной называется задача определения одного или нескольких чорффициентов оператора £ в случае, если о решении задачи СI)-(3) ■ задано, некоторая дополнительная информация

М~и\¿С*А., <4>

где Мг - некоторый, вообще говоря дифференциальный, оператор. Предполагается, что коэффициенты операторов ¿г Мг не зависят от времени.

Обратные задачи для гиперболических уравнчпи;: относятся к ннкорректным задачам математической фиикки. Общий подход к решению некорректных задач был сформулирован А.Н.Тихоновым и разлит в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, В.Г.Романова, В.Н.Страхова, В.Я.Арсенина, Ю.Е.Аникокова,

A.Б.Бакушинского, А.Л.Бухгейма, Г.М.Вайникко, В.В.Васина,

B.А.Винокурова, Ю.Л.Гапоненко, В.Б.Гласно, А.В.Гончарского, В.И.Дмитриева, А.Д.Искендерова, А.С.Леонова, 0.А.Лисковца, В.А.Морозова, А.И.Прилепко, В.П.Тананы, А.М.Черепащука, А.Г.Яголы и многих других авторов.

По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на следующие основные группы: кинематические, спектральные обратные задачи и обратные задачи рассеяния, динамические обратные задачи.

В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило врсмениподобкой, поверхности. Первые постановки динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем были сформулированы и исследованы М.М.Лаврентьевым и В.Г.Романова, А.С.Елаговещенс-

ким, А.С.Алексеевым. Систематическое исследование динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем было проведено В.Г.Романовны. Методика доказательства локальных теорем существования и единственности решения обратных динамических задач, а также теорем единственности и условной устойчивости "в целом", развитая В.Г.Роыановш, была применена в исследовании широкого круга обратных задач С. П. Белинским, В.Г.Яхно, Е.Ы.Бидайбековш, Т.П.Пухначевой, Е.С.Глушозой, Е.А.Волковой и др.

Различные подходы и метода исследования обратных динамических задач для гиперболических уравнений и систем предложены и развиты в работах А.К.Прилепко, B.E.Аниконова, А.Л.Бух-гейма, Ы.В.Клибанова, Ю.Л.Гапоненко, Б.С.Парийского, Д.Г.Орловского, А.Л.Йванкова, Ы.И.Белишева, А.В;Баева, Б.А.Бубнова и др. Целый ряд результатов в этом направлении получили в последние десятилетия зарубежные авторы, такие как J.Q.Bei-' гутать, K.P.Bide, R.Burridge, Y.M. Cíen,, 3.6-op£,ui¿íb, M.M.Sond-k¿, J. ü.Lía, R.R.lheene, l Rakesk, F. Saniosa, tíW. Syws и др.

Большинство имеющихся к настоящему времени работ по исследованию динамических обратных задач можно разделить по методам исследования на шесть основных групп: метод операторных уравнений Вольтерра (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, Ю.Е.Ани-конов, А.Л.Бухгейм, А.Ы.Денисов и др.), оптимизационные методы (А.Н.Тихонов, А.С.Алексеев, A.Hamfiercgüt, £CAavent,Р.La¿fy, Ch-Hemon,Л.ICooke, W.LSckneíd&c, onson. и úp. ), метод Ньютона-Канторовича (К.Г.Резницкая, 0. í.Антоненко, G. В.Xie, P. Sucks, F. Saniosa и др. ), динамический вариант

метода Гельфанда-Левитана (И.М.Гельфанд, Б.М.Левитан, М.Г. Крейн, А.С.Благовещенский, Б.С.Парийский, Л. Gopinaík . , М.М. Sondki и др.), метод линеаризации (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, &.Jo8e/ít и др.) и метод обращения разностной схемы.

Разумеется, приведенная классификация не является всеобъемлющей и в известной степени условна, поскольку во многих публикациях используются различные комбинации указанных методов, а также комбинации динамических постановок со спектральными и кинематическими, тем не менее она позволяет провести сравнение указанных методов.

В nr.pt:'" главе раосиатриваа-хся ряд с^рат.-гл "»еде*-- для ги-nep<foia»:sc:a« уравнений и с:ттем, возникающих в р&---*кчнюс областях матг!мст:; зскоР- фююеи. Основная результатом глава является обоснование полоумия о том, -.sto :-т,ог::е обрат.ччз задачи могут быть сведега я операторным утайчонуям Вольсерра с ограниченно лшпш-непрс ршкым ядро:.; (см. определение нижа). На связь обратгак садач .-пер&торннк' уравнений Всльтерра, ка необходимость исследований опараторньвс уразясииЛ Вол^торра •?уло указано М.Н. Лаирги^ягш з I97C г. и-д Неудуиаро.ннзд конгрессе м*~е>-ат:-;чоа в КйЦц-^. 3 сЬ'сатнк-с задачах для мшвэбото-чр.сккй уразчемнЧ ör- 'свгзь сйфективко ясяользозалк ; ля доки-¿Хх'пльствй лиь--.ль«к reopen сущэсгвозскил yebpat единствен:?':": л: к уело'.г,;? /„•тоЯчдаоети "'в цел->:-!;' £-!\?cicai:oa, А.И.Приепко, ?'.Е.Агийоко«, г.Л.Вухгей:', А.С-Вваговсщгнский, и многие пдугиь acTOi«. Одарко яипь нглкчая с р-бсш автора диссертации СКО бзяс явно указано и 8ф$гк*чяьо ¿«пользовано то обстоятельство, ото ядро операторного уравнения Вольтирра, :t которого сзодагеся v-iorae обрагннэ аадачи %гя гкпврйзам;«*-кия лВДяенпК. и систем, обладает сеоЯзтб:*-' ограниченной лип-аац-гепрврлшястя. Это позволило установить c»wjo новых фактов (•} 2,4-2.6). а г?,пк". по-новому н обгтсч яи£*г оазгекить и обьясггт-.?ь несколько ранее илрсгчче обстоятел.ье-'-з а теории обрати-" гадай С^даг.а

В § I.I рассматривается с:-:ччзла задача сяралсдэник функции Gfay,) «а сос^'коиемий

Гргш&м.ии*№¥)и> уьЗСШ), плА

(5)

г/! - ,7, ' (?)

Здесь = /=¿2,...,л.}.

Обратные задача для урвзнения (Б) в различных постановках исследовались Ю.И.Березансхк», М.Ц.Лаврентьевым, В.Г.Романовым, А.С.Вдаговсщенскиы, А.Л.Бухгейыом, М.В.Клибановым и др.

В § 1.1 рассматривается зопрсс о сз'Щбетвовакии решения прямой задачи (5)-С7) и выводится интэгредкффзрзмцчальное уравл8ние относительно искомого коэффициента (Л,

9

г х-г

У

следует понимать как некоторые операторы, зависящие от О.

Далее в § '1.1 строится пример, показывающий,что даже при сколь угодно гладких данных оешение обратной задачи ( 5)-{ 8) может не быть ограниченны!.', "б целом". Этот пример в некотором смиеле объясняет отмеченную многими авторами больше .о чувствительность обратных задач для гиперболических уравнений (даже оономешых) к изменениям д^1 "^тх, поскольку показывает, что даже простоя сдвиг на постоянную б данных обратной задачи может привести к неограниченному росту решения на конечном промежутке .

В § 1.2 рассматриваются различные постановки обратных задач для системы уравнений Максвелла. Использование переменных полей в электромагнитной разведке обосновано е работах

A.Н.Тихонова, В.И.Дмитриева, О.А.Скугаревс-кой, Д.Н.Шахсу-варова, Д.Н.Четаева, Л.Д.Баньяна, В.А.Сидорова, В.В.Тикшаэ-ва, М.С.Жданова, Б.С.Свэтовй, В.А.Цецохо, Л.А.Табаровского и др.

Первые результаты по обратным задачам для полной систе-' мы уравнений Максвелла в динамической постановке получены

B.Г.Романовым, С.П.Белинс.цгм, Т.П.Пухначевой и автором диссертации С83 . В § 1.2 приведены некоторые из этих результатов, необходимые в дальнейшем, а именно: способ приведения системы уравнений Максвелла к каноническому по переменным а и ^ виду, выделение сингулярной части решения прямой задачи. В заключении выписано операторное уравнение Вольтерра относительно искомой функции проводимости б(£,Я)

в случае, когда источник стороннего тока имеет вид

(10)

4- ^еМ^д^ц (И)

с л о

в котором Г,ф- выражаются через известные функции, а и (/> - некоторые операторы, зависящие от б .

В § 1.3 рассматривается система уравнений теории упругости, записанная в скоростях и напряжениях. Обратная задача заключается в опрздсыении плотности р и упругих параметре? Ц// как функций глублкн 2 по заданному режиму колебаний границы 3 = 0 упругого полупространства {7, , Обратные задачи для системы уравнений теории упругости в спектральной и в диняг,:нческой постановках были г.первые поставлена и исследованы А.С.Алексеевы», В.Г.Романовым, А.С.Благовещенским. В § 1.3 в качество иримэра рассмотрены прямая и обратная задачи в постановках, изученных ранее Б.Г.Михайлен-ко (численннй алгоритм решенкя прямой задачи) и В.Г. Романовым (теоремы существования единственности и оценки условной устойчивости решения обратной задачи). Задача рассматривается в предположении,что С,(Я)*=С(%') , Сг (Я) = С(Х),

Здесь С) = ¿и)/р,

Пт.'едполагается, что на границе Х-0 приложено воздействие вида ! достаточно гладкая фун;сция. Показано, чго в этом случае для неизвестных функций С(%), <//(Я)=б'Ш)> {б-(/г(рс~)) можно получить операторное уравнение, аналогичное (9) и (II).

В § 1.4 рассматриваются прямая и обратная задачи для уравнения акустики

С2 -щ-г=Ш~ч(лр&и, (х„2г)£%\ (12)

да St

х.-0

= k(X„Xz)d{t), (14)

и\Х/0 = /(*„ггЛ. CI5)

В одномерном варианте (все рассматриваемые функции не зависят от ) обратная задача изучена в работах А.С.Алексеева, В.Г.Романова, А.С.Благовещенского, Б.С.Парийского

II

!! др,

В многомерное случае теорем едино? секиост-и и ицекка условно?; ус?ойччаогл-и "в целой" и локадьнгя теорема супастаз-ваяия в классе функций вид?

к-:

били получек^ б я«- основе лроекционного метода. Анапо-гич.-ае идеи при иссло.цованли обратных задач для уравнения акустики применили затем Т.В.Мельникова, № К', йутев ,Р.$исЯ&. В 5 1.4. получено оператовноэ уравнение относительно фикции

4» " * . -

Б V 1.5 рас сдоэтиваетсл обратная задача дгч -приближения кинетического уразкзния переноса. Система уравнен;!К Рд -приближения приводится к кзионическогяу виду. Затем, поел« выделения сингулярной части решения прямой задачи, съ роится оамм;утая система нелинейных интегральных уравнений вольтер-ровсксю типа относительно неизвестных функций. Обратное задачи для уравнения переноса рассматривались ранее А.И.Прялеп-ко, 0.Е. Анысоновым, Д.С,Анккэковым, А.Х.Амиргвьи, А.Н.Бонда-ренко, У.И.СултанггзлИк.; к И.Ш МркегулоЕым и др. Постановка, рассматриваемая в § 1.Ь, принадлежит В.Г.Романову и У.М.Сул-тангазину. В этоу: направлении в работах В.Г.Романова, автора диссертации и К.Бобоеиа С73 к др. исследованы случаи ¿Р- и

-приближения, получены локалымо теорс.-.ы существования решения, оценки условной устойчивости и теоремы единственности решения "в целом", построены конечно-разностные алгоритш решения обратных задач.

В главе 2 исс-леду*/.-«! операторные уравнения Вольтерра с ограниченно липпищ-кепрерувньм ядром. Уравнениям Вольтерра первого и второго рода, а также их функциональным и операторным аналогам пссеяцшо больное количество работ. Помимо ставши уяе классическими методов решения операторных уравнений, изложенных, например, в монографиях Л.В.Канторовича и Г.П.Аки-лова, А.Н.Тихонова н В.Я.Арсенина, М.Г.Красносельского, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко и др., М.М.Лаврентьева, различные аспекты теории и построения приближенных методов решения нелинейных интегральных функциональных и операторных уравнений, связанных с обратными и некорректными задачами, изу-

ченьг в работах Я.П.Альбера, А.Б.Бекушинского, М.И.Белишева, Б. А.Бельтшова, A.Ji.Byxreiii'a, Б.Б.Васина, В.А.Винокурова, М.К.Гавуркна, Х.Гаевсмзго, К.Грэгера ;; К.Захариаса, Ю.Л.Га-поненко, М.И.Иманалиеза, А.С.Леонова, О.А.Лисковца, В.А.Морозова, В.Г.Романова, В.П.Тананы и др. Различные вопроси, связанные с теорией и численными методами решения интегральных уравнений Больтерра исследовали также S.^mird,G.7~.£:2.k&C, P. J. ftouwe.i, Р.НЛ VMenfeti. V.L. ЛаШ, Z. Jackieur&cz, КЛи&, V.E.FitzfiSon,

Основным результатом второй главы является определение и подробнее исследование операторных уравнений Больтерра с ограниченно липкиц-непрерыЕиим ядром. Отметим, что рассматриваемые ранее нелинейности обладали, ,-:ак правило, либо лип-ииц-непрерывнеегью, либо сеойствэ;-;:: монотонности. В случае же общей нелинейности, требовалась, как правило, дифферен-цируемость по Фреше. Результаты главы 2, а также § 3.6, в частности, показывает, что в случае вольтерровых операторов для доказательства корректности "в малом'-, (§ 2.2), корректности в окрестности точного решения "в целом" (§ 2.3),исследования разрешапцей способности (§2.4), регуляризации операторных уравнений первого рода ( § 2.5), построения и обоснования численных алгоритмов (§ 3.6) и некоторых других результатов достаточно требовать лишь ограниченной липшиц-непрерквности семейства операторов.

В §2.1 приведены основные определения, связаннее с операторным уравнением

ъ

+ t*8. (Г7)

о ■

S = [ö, 7"J . Предполагается, что C(S; £ ), х - некоторое банахово пространство с нормой !!' II . Решение уравнения (17) ищется в классе C{S ',£*) (это означает, что pit) есть непрерывная функция i на S со значениями в х ). Интеграл в (17) понимается как интеграл Бохнера. Цусть Si =&,«] • Оператор K{i(C(Si \X)-*C(Si> х)) будем называть оператором Больтерра, если для любых дг е eC{S{; х) и любого из того, что

при всех Ъб[р, t,3 , следует, что

при ШЗХ 2ГС [o,¿fJ. . c

Семейство оперсторсз (C'í$¿; '>•&)), * <-'bt

будем называть огранич=гпо л'Шййц-квпрержным, если существует ■.¡в'цестаежйя фуян:;:.«: с , «эрастащая ло <*,/3 и такая, чтс цяя любого 'Ь s S и лкбнх c/f о(£? cnpv,-ьедлива оцет;::

Вудем говорить, что сеь.^иство операторов при-

надд-:-:-ж- классу есч при люооы оператор

являатся оператором Вольтеру - семейство {¿у}/^ является ограниченно липшиц-непрерыьн!. !.

В 5 2.2 дсгсгзана локальная корректность задачи (17) и еао-рема единственности се рошэкия 1 s гслом".

Теорема 2.2.1 { о логгдьной ксррахтностн). Предположим, что Я? Р(? • и t £('/', fJ)

Тогда можно указать Т^ а (о, Т) такое, что при всех Тд е. (0, решение операторного уравнения (Г?) су.,н.-'гвует и единственно в С ({С; ¡ х) и непрерывно зависит от данных.

Теорема 2.2.2 (о единственности и условной устойчивости). Предположим, что при /=/«<2 , для ZjtÜ(S'-, х)

существуют соответственно Ср. е. С(S; х), - решения

операторных уравнений 1

о.Ф -я. ф + \ U S, /-/,£, (18)

¿ i о

иад^ад-Тогда кл-г? место оценка

Из последней оценки вытекает единственность, решения вC(S,x)t одаако, устойчивость в теореме 2.2.2 носит условный характер,' поскольку ш предполагаем, что j-- /,2, существу»?, а в оценке участвуют Q¡-, 2. /

В § 2.3 показано, что т>т этой условности можно избавиться,

14

«ели А-ыгкв обратной гздачя (.-.к. -¿с*)) достаточно »злы. Теорйна £.?• л, Предмс • .>»-:>ч, что ] ^ г

Тогдл можно ¿•г'&аать '-У>0 тякое, что при любом СМ-, л), удсьл-.тьорнкас-. уел. -■;«> „. < £ , реззкя!? уравнения

(17) сузестя/ст к асясенио '2 64«.': я} и неарзр^вио «акцепт от данных.

оСра^с«. ).;'эдпг:л зрение лиСэ о малости огрезкн С^вй-рь^а ?."<.!). лисю ■:>./одаак ¿теорема 2.3.1; пригодит к г.:..з»тнося-и (17;. с .'-¡«угой стороны, д. о пглпт.Чояй

ПГ-.-^эр ~

(г) ~ г) •! ¿г(г)Ж. -1) '

поке^азаст, их--, с.зла но предпочесть ^ .о..;: 7 иди , то реиь! :«е ураш:пгтя (ЗС) пр;: крок^пел!.,^. /" иЖ^к'.жнт н нр существовать

Теорем .г 2.¿>.2, Прг.здолаг.;..«?, *П'о судествуе-.' - рсие:;;с

¿Я ; , ■ Тогда можно уни^ть /Тел? -..коз, здео при

псег х ,лг. Л'а; .й; , удсвде-гаор^-цяс ;-.:ло-гя 3 .'-Х^'.^,. } Г;-

цу:!;-.-; Д <: ¿-'{о ; .г:.'1 уся&ятгж

до + (4

дг-'-гж и 7Довлс-ть5р--*г опенле

(Ю)

(2.0)

Огсйтк.-', ч*Ги- результат«, гнагсгэткг» 2.3.2 оыги

«толуф*ш -¡.2, А.Краскеезль, ¿'.Й.УаГникко

л др., при иссзздоьак:?!» сбг-ч операторов« /рЕш.,"!«" рО к # = <)(£) . Од;а.кс, для «окаъатедьетва существенно использовалась дк^ре'щкруемость спера^суд $ , е лри оценке . скорое?» сходимости, приблиаегешх рэтензй, ка;: правило, и налкчяе втсрс; проивЕзд^сй оператора ¡Р (или

В 5 2.4 яр:; -^кснроЕ?лд2« /Г, //, о £ С{$•■£■) определяется радрешзз^ая способность образке:: задачи (17), г:зк нак-сш.-сльно всспизное такс-ь, *-ь"о при везх £ ¿45;

удоглетворетцнк услсгял I ?в>'< 4 рвение уравне-

ния (17) существует С и агс-довательнс удэрлсгварлат оценка

(20)). Оценку снизу для и0 теорема 2.3.2

мр ит¡л. [а+й, г+а)} ■<-#д .

Оценка сверху для $0 получена в случае иоделы;оЛ обратной задачи и аналогично может быть получена для осгалыплс рассматриваем:^' задач.

В § 2.5 исследуется операторное равнение первого рода

(21)

Основным результатом является построение вольтерроьской регуляризации "в целом" для (21). Исследованием различных видов интегральных, Ф.» 'хционал^-шх и операторных уравнений Вольтерра первого рода гакималис:, А.Н.Тихонов, М.Ы.Лаврентьев, В.К.Иванов, В.Г.Романов, а также А.С.Апарцин, А.Асанов, А.В.Баер, А.Б.Бакушинс.лИй, Е.А.Бельтюков, А.Л.Бу^гейм, Г.М.ВаЙ-никко, В.А.Винокуров, В.В.Всронин, Ю.Л.Гапоненхо, В.Б.Гласко, А.М.Денисов, Ы.И.Иыаналиев, М.В.Клибанов, И.А.Магницкий,В.А.Морозов, В.О.Сергеев, А.Сражидинов, В.Н.Страхов, В.П.Танана, З.Б.Цалюк, В.А.ЦецохО и др.

Общий метод регуляризации операторного уравнения первого рода был предложен М.М.Лаврентьевы:.; в случае, когда

/1 - линейный, вполне непрерывный положительный оператор. Основываясь на методе М.Ы.^яврентьева, А.М.Денисов и В.О.Сергеев построили вольтерровение регуляризации линейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода, А.В.Баев исследовал нелинейный аналог, возникающий при исследовании обратной динамической задачи сейсмики.

В § 2.5 введено вспомогательное уравнение ■ь

+ 5 Ш. (22)

о

Теорема 2.5.4. Предположим, что решение уравнения (21) существует е %'(0)=О ; удов-

летворяет условиям

{К.уУ[-дт], е^ад, м-Ш.

Ъ €.0

Пусть (а+£,

Тогда можно указать зависшие только от Г- О, ,

и такие, при всех «ге ), е (О, (си/2)СХр("Т,^)) решение уравнения (£;) существует в (?{$%х'} и удовлетворяет оценке

В § 2.6 рассмотрены .-зопросы использования априориой- инфор-коции л

обоснования истода линеаризации при решении уравнения (35). Показано, что при достаточно точном задании, приближение решения £Си) уравнения (17) можно воспользоваться методом последоватегыгсг приближений. Получена также оценка разности «езду точ«.ым решением д. и решением линеаризованной задачи.

В § 2.7 пока?.-ало, ■ ■для операторного уравнения

- 7ЛЬ + (а)Ы: (23)

<р.(р№ - \ [К^чУЫг, ¡-Г,г,5,

к которому приводятся обратные задачи, рассмотренные в § 1.2 - 1.4, при условии {/^'З^е£ е , справедли-

вы все результаты из § 2.1 - 2.6.

В главе 3 излагаются численные алгоритмы решения одномерных обратных за,г.ач для гиперболических уравнений и систсм, основанные на методе обращения разностных схем. Идея была предложена А. С.Алексеевы,;. Бри исследовании одномерной обратной динамической задачи сейсмики эта идея была затем применена О.Ф.Актонекко, Н.М.Бородаевой, А.С.Алексеевым и В.И.Доб-ринским. Э.В.Никольским, Фам Лой Ву

Различные теоретические и численные аспекты метода обращения разностных схем' исследовали также А.В.Баев, В.В.Комиссаров, В.Д.Блинов и В.Г.Яхно, а также автор диссертации в работах С2,41 и в работах совместных с Я.А.Ахметовнм, К.С.АбдиеЕшл, К.Бобоевым, А.Д.Сатыбаевым.

Следует отметить, что до того момента, как идея метода обращения была сформулирована А.С.Алексеевым в математической ферме как общий возможный способ определения коэффициентов гиперболических уравнений, подобные алгоритмы исходя из физических соображений были предложены и использованы

при резании конкретных Гйо<$изичееких задач, напр-мер, задачи определения гкусигчесхой sscsköctk пачки иесдкгасдн^х езеев

(ß.Kuwiz, Р.В.&оярШаий ).• Б дальнейшее различи«*

uTifiriH проддоже^ак алгоритмов развивали £«?'• PoS'jiS&ifS&v&t, PJ/oSiSi-Mvtfi, ZM.Mene'sc, ¿¿'¿гсглФ, X/ eäurfoui, KSaniosa. % \LSpnm, 5.Pz$lri,P.£u:z№?s, X.-/.. devtevntn.

Осяоьнши pcs.'Vti.Ta'PsasH гл?.?ч 3 лг-..sc--'«.; ^"¡оснок^че иоло-жег-.л о том, чте E&pox'-il круг nuKOMSUhifi дил!м,:чес-

ш зе^ач я'-s гиперболически/ у|»;шек::й слс-:<ы «OJESV Сыго решек кь основе ¡¿е;:'Д.< cür-a'.'.dtü;.: разлсс: cxr« с заданной •n,voii счсрос-ги f?rofl!';:'.f.T-ä, ч ?ак5? иег.-реэкае в.;;'.'.^»:»

для pacnäslvjsfbpüml'ä ^ r.v-з i г.ядг"..

Ь § 3,1 ка npüi'.epe по- ганоь:-.;! ; варианта ийр^т -

ной »ада*«' (5)-(8) строятся рлт-орн':;,; обращен::;- разпас;.;0й ехеглт

ub-uf + ur-^-^af,

и доказывается, что регэние диокр» ">ой ■ i^z^not я-и^ч.-существует и сводится к точному ■ ■■ ■х:-:-:,, е . .^рт'-.-Г-

ратной задета ир .ч.у.^г^очяз кал;--! / с с»> cjFVH-.'b., ио-ряд::а i2 .

В § 3.2 иа Оиксзз катода ой^угпи: г.?г.;остксЯ ахе..^ построен здеяенюй е-г^орн ; i ре:*?н-:я ех«»ек- ¡?»-зй ы- эй -»-укн»! для систедо урагииши? гад», расеготрздьзЯ г s l.i-

Раэличкаг адсхснжа мэдода-рвиздк- c-Spttissc оада»: систем урагнонвй Ивьсэелль пр-едложе^ к нссасдовангг т. ггбо-ткх А. Н.Тихонова, НЛ'.Лгврсигьеза, Б.И.Д«н*рк*йа, Б. Б. Гладко, Ы.С.Ддакога, М.К.Ззрдг'.чевекогс, 0.£&ньян&( Б.А.&-ДОО»

А.Табаровского, В.В.Глзййзш, И.Ц.Вар&щовг, З.Т,Голубела н наогкх Другкя авторов.

В § 3.2 рассматриваться дикакичзсьая пое?и:эвка сохчйгп&й задачи. (Боагоякость пршеи&нй* я'жоттххх кагорря к юа> обрйкяЯ мдата дяя Езазиех-йцколарногс- праближеняя слетав* уравнений Еагсзэлла обсуждается в конце § 3.2).

После соотвотсгвущкх уир.--з.ений;праиснвм.-ш преобрааова-нал %рье по горивогкакивд »гакс'икыз, приведения к'хшо-

IS

нк-:сс к-глу и сингулярной части рзагаша прямой

задай*, сСратна? задача зснзгдетсп. г-знечко-рагностлаи аналогом.

В огя^ке от йэввотюа ранее <жом ооргзс-п.т, (одно уразие-нкз второго поряц.;;'. или слстс-ма аз деуя урвглонкй ПЗрЗСГО порядка) в дашоа }:*чо£гед1!ко учитывать наличке вертя-,

калькой характеристика. Схка о5раз?иия бнгляд«' сведущим ооравсц (схема счета г.о характер.! стихгм, но не сн^зу вверх -как з"".- происходит ггрк рзяенин прямых задач - а слева направо, от дополнительной няфопсции вглубь исследуемой среды) хЧ .к . / *

* .Аг' £. *+/

(К вилисаннык соотио^ьнаяц, добавляются дискретные аналога условий на параггерастякзх и дополнительной ¿¡нормами).

В § 3,2 рассматривается обратная задача для системы уравнений теорчи упругости в случае линейно зависимых скоростей. В этом случае применение метода обращения ос.гожняетсл наличием шести характеристик, две из которых вертикальна, ДЕе шевт разные положительные наклоны, две - разные отрицательные. В § 3.3 построена схема обращения по характеристикам с использованием кусочно-линейной интерполяции. Обоснование сходимости проведено в случае, когда известны константы, ограничивающие в корлз С искомые коэффициенты. Идея построения схемы обобщается з § 3.4 на случай обратной задачи для системы с криволинейными характеристиками.

В § 3.5 рассматривается одномерная обратная задача для уравнения акустики, наиболее подробно изученная ранее в работах А. С. Алексеев и В.И.Добринского, А.С.Благовещенского, В.6юр1паИ ' и Н.М. ¿ОП'Мс. , 0.3. Антоненкс, И.М.Бородае-вой, §ан Лой Ву, З.В.5£йолаского>Б.С.ПаряйсЕого.: а многих друггя ззЕороз .. Автором диссертации получено обоснование сяодиности метода обращения разностной схемы для данной, и для ряда других обратных вадач (си. главу I и § З.б). В §3.5 помимо метода обращения рассматривается также.новый

метод решения, основанный на динамическом варианте меюда Гельфанда-Левитана. Решение уравнения Гельфанда-Левитана предложено проводить пр;; помощи разложения в ряд $урье, что позволяет воспользоваться полученным автором диссертации достаточным условием разрешимости уравнения Гельфанда-Левитана.

Основной результат главы 3 сфор^улироЕвл и доказан в §3.6 и заключается е обосновании сходимости со скоростью поряд:;а iiz решения дискретного аналога операторного уравнения (17) к. точному решению этого уравнения при стремлению к нулю шага дискретизации к=Г/А . Вводится Зц - множество векторов

/V,/V и семейство операторов • [У.у • пРИнадлежащих М[К, Т) , где класс М(К, Г)

является дискретным аналогом класса Ж (/, и) , удовлетворяющим соответствующим условия}.! аппроксимации. Выписывается дискретный аналог уравнения (17)

р- * (k/) + 2 (р), /"О, (25)

Теорема 3.6.1. Предположил, что для ZeC (S-, x) суще ствует ф^С1 (S% X ) - решение уравнения (Г7), г е

е Г) • Тогда можно указать ^

и i/, £ такие, что при всех натур&льннх //>Л1'^ реи.;мне системы (25) существует и удовлетворяет оценке

max I q, U/) -р- j « hг. (26)

Используя результаты предыдущих трех глав оценку вида (26) можно получить для всех ранее построенных алгоритмов обращения. Отметим также, что если для решения обратной задачи (17) использовать не метод обращения, & например,, метод Ньз-тона-Канторовича или оптимизационный метод, то и в этом случае оценка (26) позволяет оценить близость решения дискретного аналога обратной задачи к точному решению обратной за-

•¡ПИ.

' ява 4 посвящена проекционному методу решения многомер-»тных задач для гиперболических уравнений и систем.

;ному автором в работах ft,3D , развитому в рабо-' '1 при исследозатшк обратных задач для уравнения

•Т

•долебаниЗ (§ 4.1). уг.л?н«няя акустики (§ л.2), састемч уравнений Максвеляп 4.?-), линеаризованной обрвтисй задачи для волнового уразгс.ш;л (54.5? и обоснованному в С1Г: J лрииер-;1 дяучб?но?. обратной г.-дат.; для урйьк€*;ия ксяебаниЗ (<> 4.4). Срочная идея к росучьта"1 главы 4 с&кякраотся в том, что ме- -i-оды, развитые в главе* 1-3, могут быть применена для решения кгю^яшрчкх обратю.": г&д?ч в случае, если многомерную обратит» задачу заменить Л^-п^Слчжением галеркинского типа, получая при етгч ноиечнуа систему одномерных обратных ьадач и, следовательно, опзрач-орк^з уравнение (35) с зельтерроэским ограниченно ядром.

В « 4.1 докааггаг-сг: тгорака единственности решения обратной оздачи (5)-(б; в ггд. с* Суякций ¡r(z,y,i)ejQ (р,Т) , удовлетворявших усясвягм '.под гвя:е-."<ем обратной аацачи в данном случае понимается пара функций \q(Z,'ä), t{z,y,t)j) :

(¡¿7)

К'Ъси^ЦехрШрХ peZ+. ш

Доказана гаклез ограниченная липшиц-непрерызность оператора братной задачи в классе фикций представюзых в ви-

е

- S $Kiz)exp-

Ш

!üK4

(29)

В § 4.2 рассматривается трехмерная обратная задача для равнения акустики (12)-(15). В данной постановке обратная ¡дача была впервые рассмотрена в работе С571 . Для случая н/ в § 4.2 показано, что теорему единственности решения дачи определения из (12)-(15) можно доказать методом, из-'жзнным в § 4.1. Далее я § 4.2 строится Н -приближение об-.тной задачи (12)-(15), т.е. выписывается конечная система номерных обратных задач (определенна /У-приближения см. же).

В 5 4.3 выписывается /V -приближение двумерной обратной цачи для системы уравнений Максвелла. В § 4.4 приЕвдеко обоснование проекционного метода на шере двумерной обратной задачи для уравнения колебаний

21

(5)-(8) в классе функций ¿3(р,Г). При этом оказывается удобнее выписывать операторное уравнение Вольтерра не для , а для и{Я,у,1)

\ \-и (зо)

о у/

Здесь к, -известная функция, определяемая данными обратной задачи. По аналогии с (30) построим некоторую конечную систему операторных уравнений ( /V-приближение)

/ г /«-г * *** «

Теорема 4.4.1. Предположим, что решение обратной задачи (5)-(8) существует и £ (Р> Г) для неко-

торых фиксированных р,ТеЯ+ . Предположим также, чтоьипоя-нено условие <р{Х,у) . Тогда найдутся постоянные

И2 € Я+ такие, что при всех Л'>0 и удовлетво-

ряющем неравенству < р, раввкие уравнения (31) су-

ществует и единственно в классе е С(д.(7")), щ -->\',-Лг/,,,,,Л1', и имеет место оценка

Здесь ит (г, ¡0 - коэффициенты Фурье функции и (г, у, ¿) .

В § 4.5 рассматривается линеаризованная многомерная обрат. ная задача для волнового уравнения

= (ЪреЪ**", (33)

дх\ян> 0

(34)

а\,-о Ш

Предполагается, что Сг Ц) - [г, у ) , функция

С^ЯУ считается заданной и ограниченной снизу постоянной

22

а- (7; - фчнитна и I С, I«

Доказывается теорема единственности линеаризованной обратной задачи.

Далее на основе прсекии-.нього метода строится регуляризация линеаризованной обратной салачи, сводящая оадачу нахождения приближенного рожлиия к ;"ошенкю конечного числа линейных интегральных уравнений Вольтерра.

В главе 5 рассматривается метод сведения многомерных обратные задач для уравнения колебаний и уравнения акустики к бесконечномерному аналогу уравнения Гельфанда-Девитана. В зтом случае, в отличие от методики, изложенной в главе 4, удается свести нелинейную обратную задачу к семейству линейные интегральных уравненк-;, что значительно повышает эффективность численных ачгериг'оз. Методика главы 5 язляетея некоторым обобщением работ к. С.Благовещенского,3.(крСпа£А, М.М< вопйЫ , В.О.Пг.риЙскогс и В.Г.Романова, посвященных' соответствующим одномергел обратгжм задачам.

3 § 5.1 рассматривается семейство двумерных осратньгс за-

Функция считается четной пол и 2-Я1 -периодической по

Ц . Обратная задача (36)-(38) является переопределенной -как показано В.Г.Романовым, в случае, если и^[х,у,0)=Р(у)Ш), обратная задача даже при одном фиксированном К локально однозначно разрешима в ¿2(р,Г) . Однако, именно переопределенность позволяет свести обратную задачу (36)-(38) к системе линейных интегральных уравнений, а также понизить на единицу требования гладкости данных обратной, задачи у, по переменной ^ .

В § 5.2 исследуются свойства прямой задачи (36)-(37).

В § 5.3 исследуется вспомогательная прямая задача

дач

Здесь параметр К пробегает множество^ всех целых чисел.

'д1

Щг (39)

Задача (39)-(40) с данными Кони (10) на зреме::жодобной поверхности, всобщэ говоря, на является классически корректной а класмк фуну.-дкй конечно« •. ладности, однако с ¿2(р,Г) се лояльную рорректиог:??. ио;шо устало впт ь, -лопользуя аппарат •лкгл банахоил пространств (си. дебош Л.В.Овсякгакова, Я.Нч-р-ноурга, З.Г.Рся5!;ога к А:Д.Ьу?ге£м&» Г. 5 5.3 усач*?»влз'.ва-ется структура ресенчя зсдачи С39) £40)

иг4(а:,у,ф + , . (41)

а Ta.a-.ti связь функции '¿1ГЛс искомым коэффициентом

г

ит"{х,Ьх~0) - 4 | тег.

0 ■ <42)

В § 5,4 показано, что если рвдение обратной садачн (36)-•(38) существует в г) , 1т?кцш. ¡¡Г^^уЛ), удовлетворяют след^хзцеку бескс^с'?исчарнс-»7 9каяс;у урчдекил Гельфанда-Левиг&на

у«*.««*. с«)

(Здесь штрих означает операцию частного диффзрснцирозакия по переменной и ).

В § 5.5 показано, что если систеаа (43), в которой /К(у,{} доопределеш на значения ^Т, С~] нечетным образом, однозначно разрешима ъ £2 (р, Г) и при этой значения итк(х, у, £-0) связаны нв.аду собой соотношениями

/.. ¡(пгИУи

оператор, определяемый левой частью (43) при всех Х€.\о,

24

положительно определен, то решение обратной задачи (3б)~(38) существует в £3 (р'. Г) , при некотором р'е д7^ и может быть найдено через решение системы (43) из соотношений (4§).

В § 5.6 приведена схема получения аналогичных результатов для обратной задачи для уравнения акустики.

В § 5.7 рассматривается вопрос о получении системы, аналогичной (43), в обратной задаче для волнового уравнения.

В § 5.8. рассматривается /V-приближение обратной задачи (36)-(38), для которого удается установить необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости обратной задачи пдя ^-приближения "в целом".

В заключении в кратком виде сформулированы основные результаты диссертации.

Основная часть алгоритмов, изложенных в диссертации, ревизована в виде комплексов программ под руководством и при гчастии автора коллективом в составе к.ф.-м.н. К.С.Абдиева, :.ф.-м.н.К*;„Бобоева, й.А.Ахметова, А.Д.Сатыбаева, С.В.Марта-:ова. Результаты расчетов по некоторым из алгоритмов приветны в приложении.

Основный результатом диссертации является разработка но--ого направления вычислительной математики и теории некорректных задач - численных методов решения обратных задач для иперболических уравнений и систем. В этом направлении авторы диссертации получены следуицие основные результаты:

1) На базе общей теории обратных задач для гиперболичес-IX уравнений и систем построен общий метод сведения широкого эуга обратных задач, возникающих в сейсморазведке, геоэлект-1ке, акустике и др., к операторным уравнениям Вольтерра с ■раниченно Липшиц-непрерывным ядром.

2) Для операторных уравнений Вольтерра с ограниченно лип-1Ц-непрерывным ядром установлена локальная корректность, кор-ктность в окрестности точного решения, построена вольтер-вская регуляризация уравнений первого рода, изучены вопро-

использования априорной информации, разрешающей способ- . сти и обоснования метода линеаризации. Доказана сходимость иения дискретного аналога операторного уравнения Вольтерра эграниченно липшиц-непрерывным ядром к точному решению это-

уравнения.

3) На основе идеи обращения разностной схемы для широкого круга одномерных обратных задач для гиперболических уравне -ний и систем построены и обоснованы численные метода решения.

4) На основе проекционного метода построены и обоснованы численные методы решения многомерных обратных задач, при реализации которых сначала многомерная обратная задача сводится к конечной системе одномерных обратных задач,- а затек применяется метод обращения разностной схемы.

Е; Ка основе комбинации проекцчонноги метода и динамического варианта метода Гельфзнда-Лезл'ана построена линейная регуляризация многомерных обратных задач для уравнения колебаний и уравнения акустики, при реализации которой задача нахождения приближенного решения сводится к решению конечной системы уравнений типа Фредгольма.

6) Численные методы, предложенные автором диссертации, реализованы в виде алгоритмов и программ, результаты расчетов опубликованы в ряде работ автора (совместно с соавторами) при исследовании обратной задачи для волнового уравнения, обратной задачи для системы уравнений Максвелла, обратной задачи для системы уравнений теории упругости.

В заключение автор выражает благодарность своему учителя члену-корреспонденту АН СССР В.Г.Рскокову г-а постоянное шш -мание и поддержку в работе.

ЛИТЕРАТУРА

I. Кабанихин С.И. Об одной постановке двумерной обратной задачи для уравнения колебаний // Некорректные математические задачи и нроолек« геофизики (Матемгл.гчестае проблем геофизики) / АН С ОТ. Сиб. отд-нио. Вмчзслятелышй центр. - Новосибирск, 1976. - С.64-73.

£. КгЛанихкн С. И. О коночно-разностнсм методе определения коэффициентов гиперболического уравнения // Журн.вычисл. математики и маг.физики. - 1579. - Т.19, №2. - С. 417425.

3. Кабанихин С.И. Применение энергетических неравенств к одной обратной задаче для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. ;„979. - Т. 15, И. - С.61-67.

I. Кабанихин С. И. Конечно-разностный метод определения коэффициентов гиперболической системы первого порядка // Единственность, устойчивость и методы решелия обратных и некорректных задач / АН СССР. Сиб.отд-ниа. Вычислительный центр. - Новосибирск, 1980. - С.36-43.

. Кабанихин С.И. 0 задаче определения коэффициентов уравнения акустики // Неклассические проблемы математической физики / АН СССР. Сиб.отд-ние. Вычислительный центр. -Новосибирск, 1981. - С.93-100.

. Романов В.Г., Кабанихин С.П., Пухначева Т.П. К теории обратных задач электродинамики // Докл. АН СССР. - 1982. - Т.266, № 5.- С. 1070-1073.

Романов В.Г., Кабанихин С.И., Бобоев К. Обратная задача для - приближения кинетического уравнения переноса // Докл. АН СССР. - 1984. - Т.276, №2.- С.296-299. Романов В.Г., Кабанихин-С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. - Новосибирск: Изд-во Вычислительного центра, 1984. - 201 с.

Кабанихин С.И. Проекционный метод решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Некорректные задачи математической физики и анализа. - Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1984. - С.55-59. .Кабанихин С.И. 0 разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. - 1984. -Т.277, № 4. - С.788-791.

11. Кабанихин С.И. Регуляризация многомерных обратных задач ддя гиперболических уравнений на основе проекционного метода // Докл. АН СССР. - 1987. - Т.292, №3. - С.73-75.

12. Кабашкин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. - Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1988. - 166 с.

13. Кабанихии С.И.; Мартаков С.Б. Исследование проекционно-разностнсто метода решения прямой и обратной задачи геоэлектрики. - Препринт / АН СССР. Сиб.отд-ние. Институт математики, № 13, - Новосибирск. 1988 - 51 с.

14. Кабанихин С. И. Линейная регуляризация многомерных обрат-'шг задач для гиперболических уравнений. - Препринт

/ АН СССР. Сиб.отд-ние Институт математики, К 27. - Новосибирск, 1988. - 43 с.