Обратная задача рассеяния в потенциальных моделях ядерной физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Методы решения задач рассеяния в случае оптического потенциала. Описание с помощью формализма Т-матрицы.

§1. Описание процесса рассеяния в Т-матричном подходе.

Случай локальных гладких возмущений.

§2. Обратная задача рассеяния для локальных потенциалов из класса операторов ^Т.

§3. Нестационарная постановка задачи рассеяния в случае нелокального оптического потенциала. Единственность решения.

§4. Метод решения уравнения для Т-оператора в случае оптического потенциала.

§5. Условия разрешимости уравнения для компонент оператора Hfe).

§6. Обратная задача рассеяния для нелокального оптического потенциала взаимодействия.

Глава II. Исследование линейно зависимых по энергии потенциалов с помощью методов обратной задачи.

§1. Потенциальные модели, приводящие к взаимодействию вида 1Г(х,Е) = ис*)+ еЖС*Х.

§2. Преобразование Лиувилля и свойства решений уравнения (2.25).

§3. Обратная задача для уравнения Шредингера с потенциалом, линейно зависящим от энергии.

§4. Случаи, допускающие решение обратной задачи для компонент потенциала VX*,!?) : и(х) , игСк).

- 3

§5. Сравнительный анализ нуклон-нуклонного взаимодействия в случае зависимых и независимых от энергии потенциалов.

Глава III. Оценка точности восстановления потенциалов.

§1. Достоверность потенциальных моделей, построенных по методу обратной задачи теории рассеяния.

Случай С = 0.

§2. Поведение S -матрицы на бесконечности и связанная с этим погрешность восстановления потенциала.

§2.1. Случай слабопеременной функции S(k).

§2.2. Произвольный вид зависимости

§3. Влияние ошибки в измерении экспериментальных данных на погрешность восстановления потенциала.

§4. Устойчивость обратной задачи рассеяния в случае fe 0.

§5. Оценка погрешности AVfx/) для С- 1.

§6. Устойчивость решения обратной задачи в

Т-матричном подходе.

В диссертационной работе рассматриваются метода решения обратной задачи рассеяния для известных ядерных потенциалов: оптического и зависящего линейно от энергии. При этом изучается возможность практического использования этого класса функций взаимодействий для решения задач ядерной физики.

Актуальность темы. Как известно, одним из основных методов исследования квантовомеханических систем является обратная задача теории рассеяния. К настоящему времени благодаря основополагающим работам Гельфанда И.М. и Левитана Б.М. [75] , Марченко В. А. [77], Фаддеева Л.Д. [97] создан соответствующий математический аппарат этой теории. Построено большое количество различных, в том числе, точно решаемых моделей. Они могут быть успешно ис: .пользованы для рассмотрения конкретных задач атомной и ядерной физики. Однако, практическое применение этих методов сильно отстает от темпов развития самой теории. Образовался разрыв между теоретическими моделями и их конкретными приложениями.

Это расхождение связано в основном с неоднозначностью восстановления потенциала по неполным данным рассеяния, которые измерены с некоторой экспериментальной погрешностью. Обратная задача становится устойчивой, если использовать априорную информацию извлекаемую из дополнительных физических данных. Современное состояние теоретической и экспериментальной ядерной физики позволяет получить такие сведения. Это, например, информация о продолжении амплитуды рассеяния ( 6 -матрицы) на область, недоступную для прямого измерения. Или общий вид функции взаимодействия, предсказываемый современной теорией. В итоге изучение указанного выше класса потенциалов методом обратной задачи рассеяния оказывается своевременным и важным с точки зрения практического использования как новых, так и уже построенных моделей.

Цель работы, заключается, во-первых, в построении новых методов решения обратной задачи теории рассеяния для специальных видов ядерных потенциалов (оптического и зависящего линейно от энергии), во-вторых, в изучении свойств этого и других классов потенциалов для решения конкретных задач ядерной физики.

Научная новизна. В работе построены методы решения прямой и обратной задачи рассеяния для случая оптического потенциала и функции взаимодействия, зависящей линейно от энергии. С этой целью использованы два возможных подхода в квантовой теории рассеяния: нестационарный (Т-матричный) и стационарный. Найдены достаточные условия разрешимости соответствующих уравнений, а также ограничения, при которых решение обратной задачи оказывается устойчивым. Определены условия на данные рассеяния, при которых задача с линейно зависящим от энергии потенциалом эквивалентна уже изученной задаче с локальным взаимодействием. Рассмотрены возможности использования полученных методов для решения некоторых задач ядерной физики. Для этого изучалось влияние ошибки измерения экспериментальных данных на точность восстановления потенциала.Задача рассматривалась в 3-х мерном и одномерном случае (на положительной полуоси) для различных значений орбитального момента. Получены оценки точности восстановления уже построенных потенциальных моделей. Кроме того, рассмотрена возможность практического использования других потенциалов (локальных и нелокальных), которые найдены методом обратной задачи теории рассеяния.

Научная и практическая ценность работы. Разработаны методы решения задач рассеяния душ потенциалов: оптического (нелокального) и зависящего линейно от энергии. Они могут быть использованы для нахождения нуклон-нуклонных, нуклон-ядерных функций взаимодействия. Аналогичные методы применимы для определения переменного коэффициента преломления в неоднородных средах. Сведение нестационарной задачи рассеяния к уравнению Липпмана-Швингера с оптическим потенциалом позволяет решить проблему устойчивости при восстановлении функции взаимодействия без привлечения дополнительных сведений о продолжении амплитуды рассеяния на область высоких энергий. Решение задачи устойчивости в стационарном подходе также дает оценки точности восстановления потенциала по неполным данным рассеяния. Они записаны как функции погрешности измерения экспериментальных данных £ , предельной энергии , до которой определяются данные рассеяния, а также некоторой априорной величины. Полученные неравенства позволяют оценить ошибку восстановления потенциалов. Они показывают, что наилучший результат достигается в случае слабых потенциалов (Т-матричный метод) и при нулевом орбитальном моменте (в стационарном подходе). В последнем случае точность восстановления резко уменьшается при Х-> 0. Фактически это позволяет использовать обратную задачу рассеяния для определения поведения потенциалов начиная с расстояния порядка 0,4 - 0,5 Ферми.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Разработаны методы решения прямой и обратной задачи рассеяния для уравнения Липпмана-Швингера с оптическим потенциалом.

2. Доказано существование единственного решения задачи о рассеянии частицы на оптическом потенциале в классе гладких потенциальных функций, убывающих на бесконечности быстрее, чем i/h 3.

3. Найден метод решения обратной задачи рассеяния для радиального уравнения Шредингера с потенциалом, зависящим линейно от энергии.

4. Проведены численные расчеты для парижского нуклон-нуклон-ного потенциала, демонстрирующие связь зависимых и независимых. от энергии потенциалов в теории рассеяния.

5. Найдены оценки погрешности восстановления потенциала в уравнении Шредингера для радиальной волновой функции при t ^ 0, а также сделаны соответствующие численные расчеты для А/А/ - потенциала с мягким кором.

6. Найдено решение задачи о погрешности восстановления потенциала в уравнении для Т - амплитуды рассеяния в случае оптического потенциала.

В заключении диссертант считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность доктору физ.-мат. наук А.М.Поповой за постоянное внимание и помощь в работе. Автор благодарит кандидатов физ.-мат. наук А.И.Васкина и В.Н.Пивоварчика, а также доктора физ.-мат. наук Б.Н.Захарьева за полезные дискусии в ходе работы над Ш главой.

1. Фаддеев Л.Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц. - Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 1963, т.69, с.1-122.

2. Jauch J.M. Theory of the scattering operator. Helv.Phys. Acta, 1958, v.51, p.661-684.

3. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969, 232 с.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. -М.: Мир, 1977, т.1, 380 с.

5. Ладыженская О.А., Фаддеев Л.Д. 0 теории возмущений непрерывного спектра. ДАН СССР, 1958, т.120, с.1187-1190.

6. Schwartz J.Т. Some non-selfadjoint operators. Comm.Pure. Appl.Match., I960, v.15, p.609-659

7. Schwartz J.T. Some-non-aelfadjoint operators. Comm.Pure. Appl.Math., 1961, v.14, p.619-626.

8. Prosser R.I. Formal solutions of inverse scattering problems.1.. J.Math.Phys., 1975, v.17, p.1775-1779•

9. Prosser R.T. Formal solutions of inverse scattering problems. J.Math.Phys., 1968, v.10, p.I8I9-I822.

10. Prosser R.I. Formal solutions of inverse scattering problems.

11. I. J.Math.Phys., 1979, v.21, p.2648-2655.

12. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, 740 с.

13. Prosser R.T. Formal solutions of inverse scattering problems.1.. Error estimates. J.Math.Phys., 1982, v.25, p.2127-2150. 15. Feshbach H. A unified theory of nuclear reactions. - Ann.

14. Phys., 1962, v.I9, p.287-515.

15. Feshbach H. A unified, theory of nuclear reactions. II. -Ann.Phys., 1962, v.I9, p.287-31315» Kowalski K.L. Multiple scattering, optical potential and N-body approaches to elastic two-fragment collisions. -Ann.Phys., 1979, v.120, p.328-359.

16. Ахманов С.А., Клоповский К.С., Осипов А.П. Диссоциативная рекомбинация электрона и молекулярного иона. ЖЭТФ, 1982, т.83, с.1623-1633.

17. Ахманов С.А. Диссоциативная рекомбинация и диссоциативное прилипание в колебательно возбужденном кислороде. Дис. канд.физ.-мат.наук, - Москва, 1983, 136 с.

18. Тейлор Дж. Теория рассеяния. М.: Мир, 1975, 568 с.

19. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Гостехиздат, 1959, 246 с.

20. Браун Д.Е., Джексон А.Д. Буклон-цуклонные взаимодействия. -М.: Атомиздат, 1979, 248 с.

21. Lomou E.L., Partovi М.Н. Field theoretical nucleon-nucleon potential. Phys.Rev.D, 1970, v.2, p.1999-2032.

22. Ghodos A., Jaffe R.L., Johnson K., Thorn C.B., Weisskopf V. New extended model of hadrons. Phys.Rev.D, v.9, p.3471-3495.23» Ohodas A., Jaffe R.L., Johnson K., Thorn C.B. Baryon structure in the bag theory. Phys.Rev.D, 1974, v.10, p.2599-2604.

23. Johnson K., Thorn C.B. String-like solutions of the bag model. Phys.Rev.D, 1976, v.I3, p.1934-193925« Jaffe R.L., Low P.E. Connection between quark model eigen-states and low energy scattering. Phys.Rev.D, 1979, v.19, p.2105-2118.

24. Simonov Yu.A. Dynamics of the coupled quark and hadronic channels. -Москва, 1981, 48 с. (ПрепринтAIh-t теоретич. и эксперимент.физики: ITEP-I42).

25. Simonov Yu.A. The quark compound bag model and the Jaffe-Low P-matrix. -Москва, 1981, 12 с. (Препринт/йн-т теоретич. и эксперимент.физики: ITEP-63).

26. Simonov Yu.A. Bag model and the P-matrix analysis. Phys. Lett., 1981, v.I07B, p.1-4.

27. Жигунов В.П., Захарьев Б.Н. Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. М.: Атомиздат, 1974, 224 с.

28. Шмидт Э., Цигельман X. Проблема трех тел в квантовой механике. М.: Наука, 1979, 272 с.

29. Симонов Ю.А. Адрон-адронные взаимодействия в модели составных кварковых мешков. ЯФ, 1982, т.36, с.722-731.

30. Симонов Ю.А. Ядерные силы в модели составных кварковых мешков. Элементарные частицы, 1981, № I, с.3-10.

31. Вилъдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. М.: Мир, 1980, 504 с.

32. Симонов Ю.А. Буклон-нуклонные взаимодействия в модели составных кварковых мешков. ЯФ, 1983, т.38, с.1542-1554.

33. Софронов А.Н. Метод учета мезонных и кварк-глюонных степеней свободы в адрон-адронных взаимодействиях при низких и промежуточных энергиях. Применение к /V/l/-pac сеянию. -ЯФ, 1983, т.38, с.1515-1524.

34. Поздняков А.В., Саввушкин Л.Н., Ипполитов В.Г. О нуклонном оптическом потенциале в модели однобозонного обмена. -Изв. АН СССР, сер.физич., 1982, т.46, с.874-876.

35. Gersten A., Thompson R.H., Green A.E.S. Validity of a local approximation to the one-pion exchange potential for the two-nucleon system. Phys.Rev.D, 1971» v.3, p.2069-2075.

36. Becchetty E.D., Greenlees G.W. ITucleon-nucleous optical model parameters. Phys.Rev., 1969, v.182, p.1190-1209

37. Lacombe M., Loiseau В., Richard J.M., Vinh Mau R., Cote J., Pires P., De Tourreil R. Parametrization of Paris Ш-poten-tial. Phys.Rev.С, 1980, v.21, p.861-873

38. Wong D.Y. Meson resonances and nucleon-nucleon potentials. Fucl.Phys., 1964, v.55, p.212-224.

39. Бабжов В.В. Тяжелые мезоны и нуклон-нуклонный потенциал. -ЯФ, 1965, т.2, с.326-331.

40. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц, М.: Мир, 1969, 608 с.4.5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. -М.: Гостехиздат, 1951. 586 с.

41. Eftimiu С. Direct and inverse scattering by a sphere of a variable index of refraction. J.Math.Phys., 1982, v.23,. p,2140-2146.

42. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1981, 512 с.

43. Короп В.Ф. Обратная задача рассеяния для уравнений с особенностью. ДАН СССР, I960, т.132, с.754-757.

44. Короп В.Ф. Обратная задача рассеяния для уравнений с особенностью. Сиб.мат.журнал, 1961, т.2, с.672-693.

45. Reid R.V. Local phenomenological nucleon-nucleon potentials. Ann.Phys., 1968, v.50, p.411-437

46. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970, 280 с.

47. Lacombe М., Loiseau В., Vinh Май R., Cote J., Pires P., De Tourreil R. Recent nucleon-nucleon scattering and the Paris potential predictions. Phys.Rev. C, 1981» v.23, p.2405-2414.

48. Mac Gregor M., Arndt R.A., Wright R.M. Determination of the nucleon-nucleon scattering matrix. X(p,p) and (n,p). Analysis from I to 450 MeV. Phys.Rev., 1969, v.182, p.I7I4-1728.

49. Bugg D.V. The free IM-interaction, 50-1000 MeV. In: Interact.Med.Energy nucleous-nuclei, Proc. Workshop, Blooming ton, Ind. 28-50 Oct. - 1985, p.41-58.

50. Hidaka H., Beretvas A., Nield 1С., Spinka H., JJnderwood D., Watanabe Y., Yokosawa A. Suggestion for dibaryon resonance in the pp system. Phys.Lett., 1977, v.70B, p.479-481.

51. Bhandari R., Arndt R.A., Roper L.D. Existence of dybaryon resonances in I = i , Ч)^ and nucleon-nucleon scattering. Phys.Rev.Lett., 1981, v.46, p,1111-1114.

52. Auer I.P., Ditzler W.R., Hill D., Imai K., Spinka H., Sta-nek R., loshioka K., Underwood D., Wagner R., Yokasawa A., Burleson G.R., Cottingame W.B., Greene S.J., Sthart S.,

53. Hoffman E.W., Jarmer J.J. Measurement of A in proton-proton scattering between 300 and 800 MeV. Phys.Rev. D, 1981, v.24, p.2008-2011.

54. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. М.: Мир, 1972, 296 с.

55. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980, 408 с.

56. Вабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. -М.: Наука, 1976, 288 с.

57. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, 288 с.

58. Денисов A.M., Крылов А.С. Об устойчивом решении обратной задачи рассеяния. В сб.: Всесоюзная конференция по некорректно поставленным задачам. Тезисы докладов. - Фрунзе, 1979, с.53.

59. Денисов A.M., Семенко Е.В., Халеева И.В. О некорректности обратной задачи рассеяния. Вестник МГУ, сер.выч.матем. и кибернетика, 1978, т.2, с.77-81.

60. Денисов A.M. О численном, решении обратной задачи рассеяния. SBM и МФ, 1977, т.13, с.754-756.

61. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т.151, с.501-504.

62. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого ряда. Докл. АН СССР, 1965, т.161, с.1023-1026.

63. Крылов А.С. О восстановлении потенцила взаимодействия по фазам рассеяния для различных орбитальных моментов. -Вестник МГУ, сер.выч.матем. и кибернетика, 1982, т.2,с. 8-И.

64. Brink D.M., Boeker Е. Effective interactions for Hartree-Eock calculations. Nucl.Phys., 1967» v.a9i, p.1-26.

65. Крылов А.С. Численное решение обратной задачи теории рассеяния. Дис.канд.физ.-мат.наук. - Москва, 1983, 118 с.

66. Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики. ЭЧАЯ, 1970, т.4, с.127-166.

67. Жихунов В,П. Статистический подход к решению обратной задачи квантовой теории рассеяния. Серпухов, 1977, 26 с. (Препринт/йн-т физики высоких энергий: ОМВТ 77/23).

68. Захарьев Б.Н., Пивоварчик В.Н., Плеханов Е.Б., Сузько А.А. Точно решаемые квантовые модели (потенциалы баргмановского типа) ЭЧАЯ, 1982, т.13, с.1285-1235.

69. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, сер.математ., 1951, т.15, с.309-360.

70. Агранович З.С., Марченко В.А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков, изд. ХГУ, I960, 268 с.

71. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев, Наукова Думка, 1977, 220 с.

72. Bargman "V. On the connection between phase shift and scattering potential. Rev.Mod.Phys., 194-9» v.21, p.488-521.

73. Sprung D.W.L., Strivasava Ы.К. Soft core potential model for nucleon-nucleon scattering. II. Nucl.Phys., 1969, v.AI39, p.605-624.

74. Бете Г. Теория ядерной материи. М.: Мир, 1974, 280 с.

75. Визнер Я., Лелек Г. Примеры решения обратной задачи рассеяния методом Марченко. Прага, 1974, 56 с. (Препринт/ Политехнический ин-т: ИВТ-2/74 М).

76. Маляров B.B., Поплавский И.В., Попушой M.H. Восста новление потенциала взаимодействия двух £ -частиц по экспериментальным данным при фиксированном значении орбитального момента.- ЯФ, т.21, с.987-991.

77. Марченко В.А. Устойчивость обратной задачи теории рассеяния.- Мат.сборник, 1968, т.77, с.139-162.

78. Марченко В.А., Лундина Д.Ш. Уточнение неравенств, характеризующих устойчивость обратной задачи теории рассеяния. -Мат.сборник, 1969, т.78, с.476-484.

79. Лундина Д.Ш. Устойчивость обратной задачи теории рассеяния.- Дис.канд.физ.-мат.наук. Харьков, 1971, 128 с.

80. Козел В.А. Оценка точности восстановления потенциала по неполным данным рассеяния. Теория функций, функ.анализ и их приложение, 1973, т.17, с.187-190.

81. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувил-да. Наукова Думка, Киев, 1972, 352 с.

82. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979, 320 с.

83. Комаров В.В., Попова A.M., Попов Ю.В. 0 некоторых методах теоретического исследования области отталкивания нуклон-нуклонного потенциала. ЭЧАЯ, 1978, т.9, с.1213-1240.

84. Маляров В.В., Попушной М.Н. Об аппроксимации £-матрицы рациональными функциями. .- ЯФ, 1973, т. 18, с.1140-1444.

85. Nikishov P.Yu., Plekhanov Е.В., Zakhariev B.N. On exact solutions of scattering problems. Дубна, 1982, 8 с. (Пре-принт/Объед.ин-т ядер.исслед.: Е4-82-525).

86. Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.: Мир, 1966, 276 с.

87. Блажек М. Определение потенциала по аналитическим свойствам амплитуды рассеяния. Mat.-Fyz. Casopis, 1965, v.15, р.147-171.

88. Blazek М. The inverse scattering problem in the case 0. Commun.Math.Phys., 1965, v.5, p.282-298.

89. Фадцеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.

90. УМН, 1959, т.14, с.57-119.98, Coz М. A direct study of a Marchenko fundamental equation with centripetal potential. J.Math.Phys., 1981, v.22, p.1596-1607.

91. Coz M., Rochus P. The translation kernel in the n-dimen-sional scattering problem. J.Math.Phys., 1977, v.18, p.2223-2231.

92. Васкин А.И., Иванов Т.к., Попова A.M. Новый метод расчета амплитуд рассеяния частиц на оптическом потенциале.

93. В сб.: Материалы 31 Всесоюзного совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. Киев, 1981, с. 462.

94. Васкин А.И., Иванов Г.А., Попова A.M. Об одном методе решения уравнения Липпмана-Швингера для неэрмитова оператора взаимодействия.Вестник МГУ. Сер. физика и астрономия, 1982, т.23, с.29-33.

95. Васкин А.И., Иванов Г.А., Попова A.M. Метод расчета амплитуд рассеяния частиц на оптическом потенциале. -Изв. АН СССР. Сер. физич., 1982, т.46, с.178-181.

96. Иванов Г.А., Пивоварчик В.Н., Попова A.M. Описание реакции рассеяния в случае потенциала, зависящего линейно от энергии. В сб.: Материалы 34 Всесоюзного совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. Алма-Ата, 1984,с.450.

97. Иванов Г.А.,Попова A.M. 0 точности определения ядерных потенциалов методом обратной задачи. В сб.: Материалы 34 Всесоюзного совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. Алма-Ата, 1984, с.213.