Гамильтоновская динамика вмороженных полей в идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л.Д.ЛАНДАУ

На правах рукописи

РУБАН Виктор Петрович

ГАМИЛЬТОНОВСКАЯ ДИНАМИКА ВМОРОЖЕННЫХ ПОЛЕЙ В ИДЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: член-корреспондент РАН Кузнецов Е.А.

Черноголовка - 1999

Содержание

Введение 2

1 Динамика вмороженных вихрей в гидродинамических системах 8

1.1 Канонический формализм для жидкости со свободной поверхностью 10

1.2 Интегралы движения ..........................................14

1.3 Лагранжиан с учетом топологических интегралов движения .... 16

1.4 Несжимаемая жидкость со свободной поверхностью.........20

1.5 Представление вихревых линий........................................22

1.6 Плоские течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью 25

1.7 Интегрируемая гидродинамика ....................27

1.8 Продольные течения внутри вихревой нити.............29

2 Черенковское взаимодействие вихрей со свободной поверхностью 33

2.1 Динамические уравнения в конформных переменных........36

2.2 Стационарное движение.............................39

2.3 Связанные состояния поверхностных волн..............43

2.4 Всплывание точечного вихря......................45

2.5 Трехмерная динамика вихревой нити....................................50

3 Движение магнитных линий в МГД 52

3.1 Вмороженные поля в МГД..............................................55

3.2 Представление Вебера для МГД........................................59

3.3 Системы МГД типа в несжимаемом пределе..........................62

3.4 Двумерная несжимаемая МГД..........................................67

Заключение 70

Приложения 72

А Варьирование лагранжиана для конформных переменных.....72

Б Доказательство формул (3.38) и (3.39) ................................74

В Вывод уравнений (3.43) и (3.44)........................................75

Литература 76

Публикации 80

Введение

Гидродинамика в настоящее время представляет собой обширную и важную часть макроскопической физики, перед которой стоят как фундаментальные теоретические проблемы, так и важные прикладные задачи. Классическими гидродинамическими уравнениями адекватно описывается широкий круг явлений - звуковые и поверхностные волны, конвекция, турбулентность, крупномасштабные течения в атмосфере и океане, ударные волны, и так далее [1], [2]. Более сложные модели, учитывающие дополнительные степени свободы, позволяют рассматривать макроскопическую динамику замагниченной плазмы [3], [4], сверхтекучей жидкости, процессы в многокомпонентных смесях с учетом химических реакций, а также многое другое.

При решении ряда гидродинамических задач на первом этапе исследования допустимо пренебречь всеми диссипативными процессами и использовать приближение идеальной жидкости. При такой аппроксимации динамическая система, описывающая течение, является консервативной. Удобным инструментом для работы с подобными системами является канонический формализм, который дает возможность с единой точки зрения классифицировать все нелинейные процессы. Применению гамильтоновского метода в гидродинамике посвящено большое количество работ (см. например, обзор [5] и список литературы там). Данное направление исследований развивается еще с прошлого века, когда Клебш ввел канонические переменные, названные впоследствии его именем, для описания течений идеальной несжимаемой жидкости (соответствующую ссылку можно найти в книге [6]).

При поддержке хорошо разработанного математического аппарата гамиль-тоновской механики (основные идеи и методы которого изложены, например, в [5],[7],[8]) в теории гидродинамических систем за последние десятилетия получено большое количество важных результатов. Сюда относятся исследования задач об устойчивости стационарных течений, нахождение канонических переменных в разнообразных конкретных моделях, разработка методов теории возмущений в гамильтоновых системах с континуальным числом степеней свободы, применение теории солитонов, описание различных процессов в плазме, в неоднородной жидкости, на свободной поверхности, создание теории волновой турбулентности и многое другое [9]-[55].

Наряду с этим имеется ряд актуальных проблем, для которых пока не получено удовлетворительного и полного решения. В частности, недостаточно ис-

следованы задачи о взаимодействии вихрей и поверхностных волн, проблема образования особенностей в решениях уравнения Эйлера за конечное время из гладких начальных состояний, динамика вихревых структур со сложной топологией и так далее. В целом ряде работ последних лет отмечено, что трудности с пониманием статистических свойств турбулентности также в большой мере связаны с недостатком информации о решениях консервативной задачи.

Одним из важнейших вопросов, которые в рамках канонического формализма допускают рассмотрение с единой точки зрения, является вопрос об интегралах движения динамической системы. Согласно теореме Нётер, законы сохранения тесно связаны с симметрией лагранжиана по отношению к той или иной однопараметрической группе преобразований динамических переменных. Хорошо известно, что законы сохранения энергии, импульса и углового момента замкнутых систем следуют из фундаментальных свойств времени и пространства - однородности времени, а также однородности и изотропности пространства. Благодаря этим свойствам сдвиги и повороты системы не изменяют ее лагранжиан.

Характерное свойство систем гидродинамического типа заключается в том, что у них, помимо указанных общих законов сохранения, имеется бесконечное число специфических интегралов движения - например, при изэнтропических течениях сохраняется циркуляция обобщенного импульса вдоль произвольного жидкого контура. Данное утверждение в обычной нерелятивистской гидродинамике называется теоремой Кельвина о сохранении циркуляции скорости [1].

С точки зрения лагранжева формализма сохранение указанных величин связано с особой симметрией уравнений идеальной гидродинамики [38]-[42]. При лагранжевом описании каждая жидкая частица маркируется трехмерным вектором а. Динамика жидкости определяется указанием положения х(а, I) каждой жидкой частицы в произвольный момент времени t. Уравнения движения для отображения г = х(а, следуют из вариационного принципа

Лагранжиан £ баротропной жидкости допускает бесконечнопараметрическую группу симметрий - он принимает одно и то-же значение на всех отображениях х(а, t), для которых совпадают эйлеровы характеристики течения - плотность p(r,t) = det|j(9a(r, i)/dr|| и скорость v(г, t) = x(a(r,t),i). Такие отображения отличаются одно от другого только некоторой перестановкой лагранжевых маркеров а, с чем и связано английское название группы симметрий - relabeling group. Все законы сохранения завихренности являются следствием данной симметрии лагранжиана по отношению к переобозначению маркеров (по теореме Нётер). Наиболее общая формулировка этих законов постулирует наличие локального векторного лагранжева инварианта - инварианта Коши [б].

На уровне эйлерова описания течений о наличии инварианта Коши свидетельствует уравнение переноса завихренности О, определяемой как

0(r,£) = rotp(r,i), p(r,i) = 6£/5±(a(r,t)).

Здесь р - поле обобщенного импульса. Уравнение для Í7 имеет вид

fit — rot[v х Q], Формальное решение этого уравнения гласит, что

= =/'('" x(M))(no(a)V,)x(a,i)d3a, (о,)

причем соленоидальное поле fi0(a), не зависящее от времени, как раз представляет собой инвариант Коши. Формула (0.1) показывает, что линии начального соленоидального поля ¡Г20 деформируются отображением х(а, t), сохраняя при этом все свои топологические свойства. Такое свойство линий поля завихренности называют вмороженностью. Закон вмороженности вихревых линий непосредственно связан с проблемой введения канонических переменных в идеальной гидродинамике. Этот закон следует из формулы Вебера [6] для поля обобщенного импульса, которая фиксирует все маркировочные интегралы движения бароторопной жидкости:

p(r, t) = УаДг, t)u0f¿( a) + V</>( г, t), причем Í20(a) = rotauo(a). Известное представление Клебша

Р = — V/LÍ + Vtp, Р

в котором (А, /л) и (р,<р) составляют пары канонически сопряженных величин, есть частный случай представления Вебера, соответствующий течениям с замкнутыми вихревыми линиями и тривиальной топологией [5],[29]. В отличие от переменных Клебша, переменные аи^не образуют канонически сопряженных пар, хотя их динамика и подчиняется вариационному принципу.

Наличие бесконечного числа интегралов движения существенно определяет динамические и статистические свойства жидких систем. По этой причине выяснение структуры законов сохранения и поиски новых параметризаций динамических переменных, в которых бы учитывались как можно полнее интегралы движения, имеют важное значение. Даже при учете малой неконсервативности часто имеет смысл говорить об интегралах соответствующей консервативной задачи, поскольку значения некоторых из них сохраняются с высокой степенью точности, особенно на начальном этапе движения, пока система не перешла в такое состояние, где роль диссипации становится определяющей за счет больших градиентов. Кроме того, законы сохранения в физических системах, как правило, связаны с определенными геометрическими объектами. Использование этих связей способствует пониманию и наглядному представлению всего происходящего. В гидродинамических системах такими геометрическими объектами являются вмороженные вихревые линии, изучению движения которых и посвящена данная работа.

Ниже кратко описана структура диссертации.

В Главе 1 диссертации развивается гамильтоновский формализм для вмороженных вихревых линий в системах гидродинамического типа. Следует сказать, что фактически подобный формализм используется в гидродинамике и теории сверхтекучести уже довольно давно для описания локализованных сингулярных вихревых структур - точечных вихрей на плоскости [6],[50]-[53] и бесконечно тонких вихревых нитей в пространстве [25],[44]. Как известно, одной из трудностей в работе с такими сингулярными объектами является проблема регуляризации расходящихся выражений, особенно острая в трехмерном случае. Данная работа намечает путь последовательного учета наиболее значимых степеней свободы при анализе подобных структур, на котором не приходится иметь дела с бесконечностями в выражениях для физических величин.

Если жидкость несжимаема, то ее течение в эйлеровом представлении полностью описывается одним вмороженным соленоидальным полем Г2(г,£), для которого справедлива формула (0.1). Важнейшим свойством этого представления, положенным в основу данной работы, является его калибровочная свобода - существуют такие замены а = а(Ь, ¿) с неединичным якобианом, что после перехода к новым переменным Ь выражение в правой части (0.1) сохранит свою структуру, с той разницей, что вместо сохраняющего объемы отображения х(а, £) будет стоять другое отображение Ы(Ь,£), на которое не наложены какие-либо связи, а вместо Оо(а) будет фигурировать По(Ь) с той же функциональной зависимостью, но уже от новых переменных. Отображение ЩЬ, ¿) не несет в себе никакой информации о плотности, а только обеспечивает в точности такую-же деформацию вихревых линий, как и отображение х(а, ¿). В частном случае, когда все вихревые линии замкнуты, существуют такие координаты ^(Ь), ^г(Ь), £(Ь), в которых представление вмороженного поля принимает особенно простой вид:

Здесь и = (^1,^2) £ N есть маркер отдельной вихревой линии, лежащий в фиксированном двумерном многообразии М, £ - параметр вдоль линии. Таким образом, вмороженное соленоидальное поле можно представлять себе как непрерывную совокупность линий, которые нигде не начинаются и не заканчиваются, не рождаются и не исчезают со временем. Калибровочная свобода соответствует замене продольной параметризации £ = ¿), а также переобозначению маркеров вихревых линий и = г/(г>,£), д{и\, и2)/д{й\, щ) = 1.

Предложенное в данной работе описание течений несжимаемой идеальной жидкости посредством отображения Г1(Ь,£) снимает проблему учета сложных топологических свойств течения. Вся информация об этих свойствах заложена в поле Г2о(Ь). Уравнения движения для К следуют из вариационного принципа, причем новый лагранжиан содержит поле Г2о(Ь) в качестве бесконечномерного параметра и допускает симметрию по отношению к переобозначению маркеров вихревых линий. Законы сохранения всех объемов, заключенных внутри

замкнутых вихревых поверхностей, если таковые поверхности вообще имеются, следуют из этой симметрии по теореме Нётер. Как известно, существуют течения, в которых отсутствуют глобально определенные вихревые поверхности [7], [37] (например, ABC-течения в некоторой области параметров). Поведение вихревых линий при этом весьма нерегулярно - одна линия может плотно заполнить область с конечным объемом. Описание динамики вмороженных полей с подобными свойствами наиболее целесообразно осуществлять в терминах отображения R(b, i). В частности, для нестационарных движений, близких к стационарным ABC-течениям, можно выбрать такую калибровку, в которой отображение R(b, t) в нулевом приближении по малым возмущениям не будет зависеть от времени.

Актуальной на данный момент проблемой идеальной гидродинамики является вопрос о формировании особенностей в решениях уравнения Эйлера за конечное время из гладких начальных данных. Многочисленные компьютерные эксперименты все более определенно указывают на существование подобных решений [56],[57],[58]. В рамках развитого в Главе 1 формализма образованию особенности соответствует бесконечное сгущение вихревых линий вблизи некоторой точки, близкое к их пересечению. Предъявленные в Главе 1 два примера 3-мерных интегрируемых уравнений гидродинамического типа демонстрируют образование особенности такого рода. В этих системах каждая вихревая линия движется независимо от остальных, что приводит к их инерционному пересечению, похожему на опрокидывание волн в газовой динамике. Имеется надежда на то, что со временем удастся преодолеть трудности, связанные с нелокальностью взаимодействия вихревых линий в обычном уравнении Эйлера, и получить удовлетворительное решение этой проблемы именно в представлении вихревых линий.

Глава 2 данной работы посвящена описанию взаимодействия вихрей и поверхностных волн. В ней исследуется черенковское излучение поверхностных волн точечным вихрем и всплывание вихря за счет потери энергии его притяжения к поверхности. Показано, что в данном процессе очень важна роль неоднородного эффекта Допплера, обусловленного наличием крупномасштабного неоднородного течения жидкости вдоль поверхности. Этот эффект приводит к существенному изменению спектра линейных волн и возникновению их локализованных состояний, когда волновой пакет может совершать финитное периодическое движение над вихрем в той системе отсчета, где вихрь покоится. Показано, что в физически интересном пределе глубокого и сильного вихря амплитуда излучаемых черенковских волн экспоненциально мала по большому параметру gh3/72, где д - ускорение свободного падения, h - глубина вихря, 7 -полная завихренность. В последнем разделе Главы 2 получены приближенные уравнения, которые описывают длинноволновую нелинейную динамику формы трехмерной тонкой вихревой нити в пренебрежении черенковским излучением поверхностных волн. Показано, что равномерное движение прямолинейной горизонтальной нити неустойчиво по отношению к малым возмущениям формы,

причем инкремент неустойчивости Г (к) ~ \к\ при малых к. Данное явление по своей природе аналогично неустойчивости Кроу [59] для пары антипараллельных вихревых нитей в безграничном пространстве.

В Главе 3 исследуется магнитная гидродинамика идеальной баротропной жидкости (МГД) на предмет наличия в ней симметрий перемаркировки. Показано, что вмороженность линий магнитного поля и сохранение так называемых "перекрестных" топологических инвариантов можно объяснить, если рассматривать МГД как длинноволновый и низкочастотный предел двухжид-костной модели плазмы, в которой существование двух вмороженных полей -роторов обобщенных импульсов электронной и ионной жидкостей - следует из симметрии каждой компоненты по отношению к переобозначению лагранжевых маркеров. Перекрестные инварианты в МГД являются пределами специальных комбинаций топологических инвариантов двухжидкостной модели. Предельным переходом получено обобщение представления Вебера на случай, когда имеется вмороженное в жидкость магнитное поле. В Главе 3 также получено кали-бровочно свободное описание МГД-течений идеальной несжимаемой жидкости, учитывающее вмороженность магнитного поля и наличие перекрестных инвариантов. Данное описание представляет собой обобщение развитого в Главе 1 формализма для динамики вмороженных вихревых линий. В работе сформулирован вариационный принцип для дв