Матричное лагранжево описание вихревых структур в идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КОНЦЕПЦИЯ МАТРИЧНОГО ЛАГРАНЖЕВА ОПИСАНИЯ

ДВИЖЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.

1Л. Введение.

1.2. Лагранжево описание и обычная форма записи лагранжевых уравнений

1.3. Особенности трехмерного стационарного движения.

1.4. Матрица Якоби и матричное представление лагранжевых уравнений гидродинамики.

1.5. Унитарные преобразования и комплексная форма матричных уравнений

1.6. Комплексная формулировка трехмерных уравнений для траекторий частиц.

1.7. Выводы к главе

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР НА

ОСНОВЕ МАТРИЧНОГО ОПИСАНИЯ.

2.1. Постановка начальных и граничных задач.

2.2. Описание поля завихренности при матричном подходе.

2.3. Базовые элементарные решения матричных уравнений.

2.4. Матричная формулировка решений теории быстрой деформации

2.5. Двумерные течения со слоистыми распределениями завихренности и их трехмерные обобщения.

2.6. Параметрические методы «сшивки» вихревых течений с потенциальными

2.7. Выводы к главе

ГЛАВА 3. ТЕЧЕНИЯ С ПРЕЦЕССИЕЙ ЗАВИХРЕННОСТИ

3.1. Общая схема разделения переменных для решений с экспоненциальной зависимостью от времени.

3.2. Плоские птоломеевские течения.

3.3. Течения с искривленными вихревыми линиями.

3.4. Течения с прямыми вихревыми линиями.

3.5. Прецессирующие цилиндрические вихри эллиптического сечения в потенциальном потоке.

3.6. Выводы к главе

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ВИХРЕЙ С ОСЕВЫМ ТЕЧЕНИЕМ В ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКАХ

4.1. Обзор литературы по динамике вихревых структур.

4.2. Лагранжево обобщение преобразования Лундгрена для вихрей с осевым течением

4.3. Птоломеевские вихри в осесимметричном деформационном поле

4.4. Птоломеевские вихри с осевым потоком.

4.5. Волны Герстнера на фоне поперечного течения.

4.6. Выводы к главе

Фундаментальной задачей современной гидродинамики, унаследованной от классической механики жидкости, остается изучение динамики и взаимодействия вихревых структур. По образному выражению, приведенному в книге Сэффмена [1], вихри — это «мышцы и жилы гидродинамики». Без представления о механизмах, определяющих их поведение, невозможно продвижение в построении динамических моделей турбулентности, решении проблем устойчивости и контроля течений, совершенствовании аэродинамики крыла и развитии многих других разделов гидродинамической теории и технических приложений.

За длительную историю развития гидродинамики было предложено несколько формулировок исходных уравнений, на которых может базироваться исследование тех или иных аспектов динамики вихрей. Например, можно рассматривать скорость как функцию координат в пространстве, или считать текущие координаты частиц жидкости функциями их начальных положений, или в некоторых случаях за независимые переменные принимать компоненты скорости, комплексный потенциал и функцию тока, использовать потенциалы Клебша, гамильтоновский формализм и так далее. Известные методы построения теории разделяются на три большие группы в зависимости от того, какой принцип описания движения жидкости лежит в их основе: эйлеров, лагранжев или смешанный, сочетающий элементы первых двух.

Традиционно наиболее широкое применение в классической и современной механике жидкости находят методы, развиваемые в рамках эйлерова («полевого») описания, когда течение характеризуется полями скорости (или другими связанными с ней величинами) как функциями координат в системе отсчета, не зависящей от движения среды. Альтернативой этому способу описания является лагранжев («материальный») подход, когда изучается эволюция каких-либо динамических характеристик для материальных элементов среды — жидких частиц, сохраняющих свою индивидуальность в потоке. В своем традиционном виде лагранжева теория ставит целью прослеживание перемещений жидких частиц, помечаемых с помощью некоторого набора параметров — лагранжевых переменных. Лагранжево описание используется при рассмотрении ряда фундаментальных задач в классической литературе [2-4], однако в современной гидродинамической теории оно применяется значительно реже, чем эйлерово. Особенность лагранжева подхода, создающая существенные затруднения при описании вязких сил, заключается в следующем. С физической точки зрения вязкие напряжения определяются взаимным расположением и относительными скоростями частиц в текущий момент времени, но при лагранжевом представлении независимые переменные характеризуют расстояния между частицами лишь на тот момент времени, который был выбран за начало отсчета. Следствием этого является появление в лагранжевых уравнениях, учитывающих вязкость, чрезвычайно громоздких анизотропных членов диффузионного типа, которые также имеют и высокую степень нелинейности [5-7].

Тем не менее для идеальной жидкости лагранжева формулировка уравнений гидродинамики обладает некоторыми преимуществами по сравнению с эйлеровой, поскольку она позволяет непосредственно использовать имеющиеся лагранжевы инварианты (величины, сохраняющие свое значение для жидкой частицы) для упрощения задачи. Постоянство во времени каждой такой величины означает наличие интеграла, который можно использовать для понижения порядка рассматриваемых дифференциальных уравнений. Кроме того, существенно лагранжевы характеристики, связанные с вихревыми трубками и поверхностями тока, позволяют предсказывать фундаментальные топологические свойства векторных полей, конвективно переносимых жидкостью и «вмороженных» в течение. Достаточно современный обзор топологических методов, опирающихся на свойства лагранжевой инвариантности (они оказались особенно плодотворными в магнитной гидродинамике), представлен в работе Моффата [8].

Соответствие между эйлеровыми и лагранжевыми характеристиками одного и того же течения, вообще говоря, может быть весьма нетривиальным. Примером этого могут служить волны Герстнера ( [3,4], см. также §4.5 настоящей работы) — они описываются замечательно простым решением лагранжевых уравнений, но не имеют явного представления в эйлеровом описании. Более типичным, однако, является как раз противоположное соотношение между эйлеровыми и лагранжевыми характеристиками. Даже в случаях, когда эйлерово поле скоростей относительно простое и детерминированное, картина движения частиц жидкости может приобретать хаотический характер (тогда говорят, что имеет место стохастическая адвекция, или лагранжев хаос — см., скажем, работу Арефа [9]). Обзор известных решений лагранжевой гидродинамики, включая собранные в книгах [10,11], свидетельствует о том, что общие аналитические методы исследования трехмерных лагранжевых уравнений не получили развития до настоящего времени. Подтверждением этому служат также и работы из специального тематического выпуска трудов Лондонского королевского общества, собранные под заглавием «Лагранжева картина движения жидкости»1 и отражающие в совокупности современные представления о различных аспектах движения жидкости с лагранжевой точки зрения. Единственный метод решения трехмерных задач, упоминаемый Стюартом и Табором в заглавной статье этого выпуска [12], пригоден лишь для специального класса частных решений, когда явная зависимость давления от координат и времени предполагается известной. Далее в том же тематическом выпуске Ареф (см. [9], Р. 274) констатирует, что «. хотя имеется простое соответствие между уравнениями гидродинамики в эйлеровом и лагранжевом представлениях и выбор между ними в значительной степени является делом вкуса, аналитическая традиция явным образом отдает предпочтение эйлерову представлению и рассматривает лагранжеву версию как непригодную для аналитического исследования».

Вопреки этому установившемуся мнению успешное развитие аналитических методов лагранжева описания для трехмерных вихревых течений оказывается возможным, если не ограничиваться рамками общепринятой парадигмы лагранжевой гидродинамики. С целью исследовать эти возможности в настоящей диссертации разрабатывается новый вариант теории, использующей лагранжев взгляд на движение жидкости, — матричное лагранжево описание.

Побудительным мотивом для развития нового подхода служили также и следующие очевидные соображения. Как правило, для каждой из известных формулировок уравнений гидродинамики имеется ряд задач, которые решаются просто и наглядно, хотя в других ситуациях та же самая форма уравнений может оказаться сложной для интерпретации и построения решений. Примеров этому множество: уже упомянутые выше вихревые волны Герстнера, теория которых в эйлеровой версии, вероятно, была бы еще более сложной, чем разложения Стокса для потенциальных волн; с другой стороны, картина движения частиц для нестационарных решений уравнений Эйлера в большинстве случаев неясна

Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Ser. A. 1990. V. 333, № 1631. The lagrangian picture of fluid motion. A Theme compiled and edited by J. T. Stuart and M. Tabor. без специального исследования. Анализ этих и многих других примеров, на которых можно сопоставить результаты приложения различных формулировок теории, подтверждает следующее очевидное соображение. Там, где не удается продвинуться с помощью традиционных приемов, для получения новых результатов необходимо искать альтернативные способы построения теории. Именно таким образом возникли задачи разработки и приложения матричного описания, призванного облегчить изучение трехмерных вихревых структур с лагранжевой точки зрения.

Необходимо отметить, что попытки развить новые теоретические подходы в гидродинамике предпринимались неоднократно и часто оказывались весьма плодотворными. Например, оригинальная формулировка лагранжевых уравнений гидродинамики, предложенная Овсянниковым в работе [13], положила начало многочисленным работам его школы по теории устойчивости нестационарных течений со свободной границей, обзор которых можно найти в книге Андреева [10].

Мощный и универсальный гамильтоновский формализм, приложение которого к уравнениям гидродинамического типа было развито благодаря работам В.Е. Захарова, создал основу для целого направления исследований динамики и статистики волновых процессов в океане, атмосфере и плазменных средах. Современное изложение идей, приводящих к гамильтоновским формулировкам гидродинамических уравнений, представлено в обзоре Захарова и Кузнецова [14].

С использованием моделей гамильтоновской теории Кузнецовым и Руба-ном недавно было предложено так называемое представление вихревых линий — смешанный лагранжево-эйлеров вариант описания, когда каждая вихревая линия нумеруется двумерным лагранжевым маркером, а третья независимая переменная изменяется вдоль вихревых линий [15]. В последующих работах Кузнецова с соавторами [16,17] на основе этого описания был выдвинут и исследован механизм гидродинамического коллапса, связанный с опрокидыванием вихревых линий.

В работе Юдовича [18], посвященной той же проблеме — коллапсу и потере гладкости решений уравнений гидродинамики, уравнение Эйлера преобразовывалось в систему связанных уравнений для тензора скоростей деформации и «тензора завихренности», равного антисимметричной части тензора произволных от компонент скорости.

В числе появившихся за последнее время идей следует упомянуть и ква-тернионную формулировку уравнения Эйлера, которая представлена в работе Гиббона [19], опубликованной лишь несколько месяцев назад. Путем введения четырехкомпонентного вектора, элементы которого характеризуют взаимную ориентацию завихренности и главных осей тензора скоростей деформации, уравнение Эйлера удалось преобразовать к кватернионному уравнению Риккати или такому же уравнению Шредингера с нулевым собственным значением, для которого потенциал определяется матрицей Гесса от давления.

Подытоживая это далеко не полное перечисление различных подходов к построению теории, можно сделать вывод о том, что любая последовательная оригинальная формулировка основных уравнений (помимо того, что она интересна с методической точки зрения) способна стать эффективным инструментом решения тех или иных актуальных проблем динамики жидкости. С учетом этого обстоятельства и была определена цель данной работы.

Цель работы

Основной целью настоящей работы является развитие нового варианта гидродинамической теории — матричного лагранжева описания, основанного на замкнутой системе уравнений для лагранжевой матрицы Якоби, разработка методов решения матричных лагранжевых уравнений и приложение полученных решений к изучению трехмерных вихревых структур в идеальной несжимаемой жидкости.

Достижение этой цели включает следующие этапы: изложение и обсуждение особенностей предлагаемого метода описания движения жидкости в рамках лагранжева представления, формулировка соответствующего ему математического аппарата — матричных лагранжевых уравнений; развитие методов построения решений системы матричных уравнений гидродинамики (в том числе на примерах модельных задач и путем сопоставления с известными результатами); приложение разработанных методов к исследованию конкретных вихревых течений и получение новых результатов в области динамики трехмерных вихревых структур, подтверждающих эффективность предлагаемого подхода.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Замкнутая система уравнений для лагранжевой матрицы Якоби, описывающая движение идеальной несжимаемой жидкости и составляющая основу матричного лагранжева описания.

2. Общее представление завихренности через инварианты Коши течения и развитая на его основе физическая и геометрическая интерпретация инвариантов Коши в естественной «лагранжевой» криволинейной системе координат

3. Новый класс двумерных нестационарных вихревых течений, описывающий эволюцию слоистых распределений завихренности в безграничной области или при наличии границ специальной формы

4. Новое семейство нестационарных трехмерных вихревых течений с прецессией вектора завихренности, для которых траектории частиц представляются как сумма трех круговых вращений с различными амплитудами и пространственной ориентацией. Прецессия цилиндрического вихря эллиптического сечения во внешнем потенциальном потоке, изученная на основе найденных решений

5. Лагранжево обобщение преобразования Лундгрена, включающее, помимо осесимметричного деформационного потока, сдвиговое течение в направлении главной оси тензора скоростей деформации. Построенные с помощью этого преобразования трехмерные точные решения, описывающие птоло-меевские вихри с осевым потоком в деформационном поле, а также волны Герстнера с поперечным течением

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 138 страниц, включая 17 рисунков и список литературы из 122 наименований.

Основные результаты диссертации

1. Предложено уравнение совместности для лагранжевой матрицы Якоби. С помощью этого уравнения в совокупности с матричными уравнениями неразрывности и вихря построена замкнутая относительно матрицы Якоби система уравнений, которая является основой матричного лагранжева описания движений идеальной несжимаемой жидкости.

Показано, что матричные уравнения сохраняют свою структуру при унитарных преобразованиях пространственных координат и лагранжевых переменных. Даны комплексные формулировки трехмерных лагранжевых уравнений гидродинамики в матричной и обычной координатной формах.

2. Получено общее представление завихренности течения в виде разложения на составляющие, пропорциональные инвариантам Коши, в естественном лагранжевом базисе, в котором лагранжевы переменные играют роль криволинейных координат в пространстве. Дана физическая и геометрическая интерпретация смысла инвариантов Коши.

Определена универсальная система лагранжевых переменных для стационарных течений, установлена связь между их функцией Бернулли и инвариантами Коши. Найдено общее выражение для лагранжевой матрицы Якоби плоских стационарных потенциальных течений. На его основе в матричной форме построено решение задачи об эволюции малых вихревых возмущений в крупномасштабном потенциальном потоке.

Для решения задач «сшивки» трехмерных вихревых и потенциальных движений на границе вихря предложен новый параметрический метод, основанный на матричной формулировке условий потенциальности течения вне вихревой области.

3. С помощью методов факторизации и разделения переменных в действительной форме матричных уравнений найден и исследован новый класс двумерных решений, для которых временная зависимость положений частиц выражается суммой двух действительных экспонент с показателями различных

128 знаков, а пространственная структура определяется заданием формы двух плоских кривых. Установлено, что эти решения описывают нестационарные вихревые течения со слоистыми распределениями завихренности в безграничной области или при наличии границ специальной формы. Получены трехмерные решения, обобщающие этот класс плоских течений.

4. Построено и изучено новое семейство нестационарных трехмерных вихревых течений, общими свойствами которых являются прецессия вектора завихренности и характер траекторий частиц в виде суперпозиции трех круговых вращений с различными амплитудами и пространственной ориентацией. На основе найденных решений исследовано трехмерное прецессионное движение цилиндрических вихрей эллиптического сечения под действием окружающего потенциального потока и установлен вид внешнего деформационного потенциала, определяющего прецессию вихря.

5. Найдено лагранжево обобщение преобразования Лундгрена для произвольных плоских движений, которое, помимо осесимметричного деформационного поля, включает сдвиговое течение в направлении главной оси тензора скоростей деформации. Построено семейство точных решений, описывающее трехмерные нестационарные вихри сложной радиальной и азимутальной структуры — птоломеевские вихри с осевым потоком в осесимметричном деформационном поле. Изучена модель распространения вихревых гравитационных поверхностных волн конечной амплитуды на неоднородном поперечном течении, найдены траектории частиц и поле завихренности для результирующего трехмерного движения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем разделе формулируются основные результаты диссертации.

1. Сэффмен Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000. 376 с.

2. Кирхгоф Г. Механика. М.: Изд. АН СССР, 1962. 402 с.

3. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

4. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I. М.: Физматгиз, 1963. 584 с.

5. Gerber R. Sur la reduction a un principle variationnel des equations du movement d'un fluide visqueux incompressible// Ann. Inst. Fourier. 1949. V. 1. P. 157-162.

6. Монин A.C., Яглом M.A. Статистическая гидромеханика. 4. I. М.: Наука, 1966. 639 с.

7. Moffat H.K. Structure and stability of solutions of the Euler equations: a la-grangian approach // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. V. 333, № 1631. P. 321-342.

8. Aref H. Chaotic advection of fluid particles // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. V. 333, № 1631. P. 273-288.

9. Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: ВО «Наука», 1992. 133 с.

10. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Новосибирск: ВО «Наука», 1994. 318 с.

11. Stuart J.T. and Tabor М. The lagrangian picture of fluid motion // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. V. 333, № 1631. P. 263-271.

12. Овсянников JI.B. Общие уравнения и примеры // В кн.: Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей: Сб. науч. тр. Новосибирск: Наука, 1967. С. 5-75.

13. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн // УФН. 1997. Т. 167, № 11. С. 1137-1167.

14. Кузнецов Е.А., Рубан В.П. Гамильтоновская динамика вихревых линий в системах гидродинамического типа // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 67. С. 1015-1020.

15. Кузнецов Е.А., Рубан В.П. Коллапс вихревых линий в гидродинамике // ЖЭТФ. 2000. Т. 118. № 4(10). С. 893-905.

16. Желиговский В.А., Кузнецов Е.А., Подвигина О.Н. Численное моделирование коллапса в идеальной несжимаемой гидродинамике // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 74. С. 402-406.

17. Yudovich V.I. On the loss of smoothness of the solutions of the Euler equations and the inherent instability of flows of an ideal fluid // Chaos. 2000. V. 10. № 3. P. 705-719.

18. Gibbon J.D. A quaternionic structure in the three-dimensional Euler and ideal magneto-hydrodynamics equations // Physica D. 2002. V. 166. № 1-2. P. 17-28.

19. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О нестационарных вихревых течениях идеальной несжимаемой жидкости. Препринт ИПФ АН СССР № 64. Горький: ИПФ АН СССР, 1983. 21 с.

20. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О плоских вихревых течениях идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 1. С. 76-78.

21. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О нестационарных вихревых течениях идеальной несжимаемой жидкости // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1985. № 2. С. 57-64.

22. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Матричная формулировка гидродинамики и трехмерные обобщения птоломеевских течений // Изв. ВУЗов Радиофизика. 1996. Т. 39. № 6. С. 783-796.

23. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Исследование трехмерных вихревых течений с помощью матричных уравнений гидродинамики // ДАН. 1997. Т. 357, № 5. С. 619-622.

24. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А. Нелинейные волны Кельвина на границе цилиндрического вихря // Изв. РАН МЖГ. 1997. № 5. С. 62-70.

25. Yakubovich E.I. and Zenkovich D.A. Matrix approach to Lagrangian fluid dynamics // J. Fluid Mech. 2001. V. 443. P. 167-196.

26. Yakubovich E.I. and Zenkovich D.A. Matrix approach to Lagrangian fluid dynamics. Preprint of Institute of Applied Physics № 533. Nizhny Novgorod: Institute of Applied Physics, Russian Academy of Sciences. 2000. 37 p.

27. Yakubovich E.I. and Zenkovich D.A. Matrix formulation of hydrodynamic equations: an analytical approach to three-dimensional vorticity dynamics // In: «Day on Diffraction'99». International Seminar: Abstracts. Saint Petersburg, 1999. P. 49-50.

28. Yakubovich E.I. and Zenkovich D.A. Matrix fluid dynamics // In: «Progress in Nonlinear Science». International Conference: Abstracts. Nizhny Novgorod, 2001. P. 191.

29. Отчет о научной и научно-организационной деятельности ИПФ за 1996 г. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1996. С. 3.

30. Институт прикладной физики / Отчет о научной и научно-организационной деятельности за 1999 г. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1999. С. 32.

31. Институт прикладной физики / Буклет к 25-летнему юбилею ИПФ РАН. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2002. С. 21.

32. Dresselhaus Е. and Tabor М. The kinematics of stretching and alignment of material elements in general flow fields // J. Fluid Mech. 1991. V. 236. P. 415444.

33. Batchelor G.K. and Proudman I. The effect of rapid distortion of a fluid in turbulent motion // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1954. V. 7. P. 83.

34. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М.: Иностранная лит., 1959. 617 с.

35. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А. Вихревые стационарные волны на сдвиговом потоке // Изв. РАН ФАО. 1990. Т. 26. № 1. С. 35-46.

36. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

37. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

38. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Наука, 1968. 618 с.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

40. Hunt J.C.R. A theory of turbulent flow round two-dimensional bodies // J. Fluid Mech. 1973. V. 61, Pt. 4. P. 625-706.

41. Hunt J.C.R., Carruthers D.J. Rapid distortion theory and the 'problems' of turbulence // J. Fluid Mech. 1990. V. 212. P. 497-532.

42. Lifschitz A. and Hameiri E. Local stability conditions in fluid dynamics // Phys. Fluids A. 1991. V. 3. P. 2644-2651.

43. Lifschitz A. On the instability of certain motions of an ideal incompressible fluid // Adv. Appl. Math. 1994. V. 15. P. 404-436.

44. Sipp D. and Jacquin L. Elliptic instability in two-dimensional flattened Taylor-Green vortices // Phys. Fluids. 1998. V. 10. № 4. P. 839-849.

45. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Физматгиз, 1973. 416 с.

46. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. 648 с.

47. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973. 288 с.

48. Moore D.W. and Saffman P.G. Structure of a line vortex in an imposed strain // In: Aircraft Wake Turbulence and Its Detection / Ed. by J.H. Olsen, A. Goldburg, M. Rogers. Plenum Press. 1971. P. 339-354.

49. Kida S. Motion of an elliptic vortex in a uniform shear flow // J. Phys. Soc. Jpn 1981. V. 50. P. 3517-3520.

50. Moore D.W. and Saffman P.G. The motion of a vortex filament with axial flow // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1972. V. 272. P. 403-429.

51. Fukumoto Y. and Miyazaki T. Three-dimensional distorsions of a vortex filament with axial velocity //J. Fluid Mech. 1991. V. 222. P. 369-416.

52. Alekseenko S.V., Kuibin P.A., Okulov V.L., and Shtork S.I. Helical vortices in swirl flow // J. Fluid Mech. 1999. V. 382, P. 195-243.

53. Marques F. and Lopez J.M. Precessing vortex breakdown mode in an enclosed cylinder flow // Phys. Fluids. 2001. Y. 13, № 6. P. 1679-1682.

54. Hussain A.K.M.F. Coherent structures and turbulence // J. Fluid Mech. 1986. V. 173. P. 303-356.

55. Pullin D.I. and Saffman P.G. Vortex dynamics in turbulence // Annu. Rev. Fluid Mech. 1998. V. 30. P. 31-51.

56. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Math. 1948. V. 1. P. 171-199.

57. Batchelor G.K. and Townsend A.A. The nature of turbulent motion at large wavenumbers // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1949. Y. 199. P. 238-255.

58. Townsend A.A. On the fine-scale structure of turbulence // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1951. V. 208. P. 499-521.

59. Siggia E.D. Numerical study of small scale interrnittency in three-dimensional turbulence // J. Fluid Mech. 1981. V. 10. P. 375-406.

60. Kerr R.M. Higher-order derivative correlation and the alignment of small scale structures in isotropic turbulence J. Fluid Mech. 1985. V. 153. P. 31-58.

61. Hosokawa I. and Yamamoto K. Fine structure of a directly simulates isotropic turbulence // J. Phys. Soc. Japan. 1989. V. 58. P. 20-23.

62. She Z.-S., Jackson E., and Orzag S.A. Intermittent vortex structures in homogeneous isotropic turbulence // Nature. 1990. V. 344. P. 226-228.

63. Ruetsch G.R. and Maxey M.R. Smal scale features of vorticity and passive scalar fields in homogeneous isotropic turbulence // Phys. Fluids A. 1991. V. 3. № 6. P. 1587-1597.

64. Vincent A. and Meneguzzi M. The spatial structure and statistical properties of homogeneous turbulence // J. Fluid Mech. 1991. V. 225. P. 1-25.

65. Douady D., Couder Y., and Brachet M.E. Direct observation of intermittency of intense vorticity filaments in turbulence // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 983-986.

66. Kida S. and Ohkitani K. Spatio-temporal intermittency and instability of a forced turbulence // Phys. Fluids A. 1992. V. 4. № 5. P. 1018-1027.

67. Jimenez J., Wray A.A., Saffman P.G., and Rogallo R.S. The structure of intense vorticity in homogeneous isotropic turbulence // J. Fluid Mech. 1993. V. 255. P. 65-90.

68. Kida S. Tube-like structures in turbulence // Lecture Notes in Numerical Applied Analysis. 1993. V. 12. P. 137-159.

69. Vincent A. and Meneguzzi M. The dynamics of vorticity tubes in homogeneous turbulence // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 245-254.

70. Cadot 0., Douady S., and Couder Y. Characterization of the low pressure filaments in three-dimensional turbulent shear flow // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 3. P. 630-646.

71. Jimenez J. and Wray A. A. On the characteristics of vortex filaments in isotropic turbulence // J. Fluid Mech. 1998. V. 373. P. 255-285.

72. Verzicco R. and Jimenez J. On the survival of strong vortex filaments in 'model' turbulence // J. Fluid Mech. 1999. V. 394. P. 261-279.

73. Yamamoto K. and Hosokawa I. A decaying isotropic turulence pursued by the spectral method // J. Phys. Soc. Japan. 1988. V. 57. P. 1532-1535.

74. Pradeep D.S. and Hussain F. Core dynamics of a strained vortex: instability and transition // J. Fluid Mech. 2001. V. 447. P. 247-285.

75. Moffatt H.K., Kida S., and Ohkitani K. Stretched vortices — the sinews of turbulence; large-Reynolds-number asymptotics // J. Fluid Mech. 1994. V. 259. P. 241-264.

76. Le Dizes S., Rossi M., and Moffatt H.K. On the three-dimensional instability of elliptical vortex subjected to stretching // Phys. Fluids. 1996. V. 8. № 8. P. 2084-2090.

77. Lundgren T.S. Strained spiral vortex model for turbulent fine structure // Phys. Fluids. 1982. V. 25. № 12. P. 2193-2203.

78. Pullin D.I. and Saffman P.G. On the Lundgren-Townsend model of turbulent fine scales // Phys. Fluids A. 1993. V. 5. № 1. P. 126-145.

79. Lundgren T.S. A small-scale turbulence model // Phys. Fluids A. 1993. V. 5. № 6. P. 1472-1483.

80. Buntine J.D., Pullin D.I., and Saffman P.G. On the spectrum of a stretched spiral vortex // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 9. P. 3010-3027.

81. Pullin D.I. Pressure spectra for vortex models of homogeneous turbulence // Phys. Fluids. V. 7. № 4. P. 849-856.

82. Segel D. The higher moments in the Lundgren model conform with Kolmogorov scaling // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 12. P. 3072-3077.

83. Misra A. and Pullin D.I. A vortex-based subgrid stress model for large-eddy simulation // Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 8. P. 2443-2454.

84. Buntine J.D. and Pullin D.I. Merger and cancellation of strained vortices // J. Fluid Mech. 1989. V. 205. P. 263-295.

85. Robinson A.C. and Saffman P.G. Stability and structure of stretched vortices // Stud. Appl. Math. 1984. V. 70. P. 163-181.

86. Andreotti B. Studying Burgers' models to investigate the physical meaning of the alignments statistically observed in turbulence // Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 3. P. 735-741.

87. Prochazka A. and Pullin D.I. Structure and stability of non-symmetric Burgers vortices // J. Fluid Mech. 1998. Y. 363. P. 199-228.

88. Eloy С. and Le Dizes S. Three-dimensional instability of Burgers and Lamb-Oseen vortices in a strain field // J. Fluid Mech. 1999. V. 378. P. 145-166.

89. Crow S.C. Stability theory for a pair of trailing vortices // AIAA J. 1970. V. 8. P. 2172-2179.

90. Гледзер Е.Б., Новиков Ю.В., Обухов A.M., Чусов M.A. Исследование устойчивости движений жидкости внутри трехосного эллипсоида // Изв. АН СССР ФАО. 1974. Т. 10. № 1. С. 115-118.

91. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M., Пономарев В.М. Экспериментальное и теоретическое устойчивости движения жидкости внутри эллиптического цилиндра // Изв. АН СССР ФАО. 1975. Т. 11. № 10. С. 981992.

92. Widnall S.E., Bliss D.B., and Tsai C.-Y. The instability of short waves on a vortex ring // J. Fluid Mech. 1974. V. 66. P. 35-47.

93. Moore D.W. and Saffman P.G. The instability of a straight vortex filament in a strain field// Proc. R. Soc. Lond. A. 1975. V. 346, № 1646. P. 413-425.

94. Tsai C.-Y. and Widnall S.E. The stability of short waves on a straight vortex filament in a weak externally imposed strain field // J. Fluid Mech. 1976. V. 73. P. 721-733.

95. Владимиров В.А., Ильин К.И. Трехмерная неустойчивость эллиптического вихря Кирхгофа // Изв. АН СССР МЖГ. 1988. Т. 3. № 1. С. 40-44.

96. Robinson А.С. and Saffman P.G. Three-dimensional stability of an elliptical vortex in a straining field // J. Fluid Mech. 1984. V. 142. P. 451-466.

97. Miyazaki Т., Imai Т., and Fukumoto Y. Three-dimensional instability of Kirch-hoff's elliptic vortex // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 1. P. 195-202.

98. Pierrehumbert R.T. Universal short-wave insability of two-dimensional eddies in an inviscid fluid // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 2157-2159.

99. Bayly B.J. Three-dimensional instability of elliptical flow // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 2160-2163.

100. Владимиров В.А., Вострецов Д.Г. Неустойчивость стационарных течений с постоянной завихренностью в сосудах эллиптического сечения // ПММ. 1986. Т. 50. № 3. С. 369-377.

101. Landman M.J. and Saffman P.G. The three-dimensional instability of strained vortices in a viscous fluid // Phys. Fluids. 1987. V. 30. № 8. P. 2339-2342.

102. Waleffe F.A. On the three-dimensioanl instability of a strained vortex // Phys. Fluids A. 1990. V. 2. № 1. P. 76-80.

103. Gledzer E.B. and Ponomarev V.M. Instability of bounded flows with elliptical streamlines // J. Fluid Mech. 1992. V. 240. P. 1-30.

104. Billant P., Brancher P., and Chomaz J.-M. Three-dimensional instability of a vortex pair // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 7. P. 2069-2077.

105. Sipp D., Lauga E., and Jacquin L. Vortices in rotating systems: centrifugal, elliptic and hyperbolic type instabilities // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 12. P. 3716-3728.

106. Mason D.M. and Kerswell R.R. Nonlinear evolution of the elliptical instability: an example of inertial wave breakdown// J. Fluid Mech. 1999. V. 396. P. 73-108.

107. Куйбин П.А., Окулов В.JI. Одномерные решения для течений с винтовой симметрией // Теплофизика и аэромеханика. 1996. Т. 3. № 4. С. 311-315.

108. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // J. Fluid Mech. 1964. V. 20. P. 645-658.

109. Abid M. and Brachet M.E. Direct numerical simulation of the Batchelor trailing vortex by a spectral method // Phys. Fluids. 1998. V. 10. № 2. P. 469-475.

110. Delbende I., Chomaz J.-M., and Huerre P. Absolute/convective instabilities in the Batchelor vortex: a numerical study of the linear impulse response // J. Fluid Mech. 1998. V. 355. P. 229-254.

111. Olendraru C., Sellier A., Rossi M., and Huerre P. Inviscid instability of the Batchelor vortex: absolute-convective transition and spatial branches // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 7. P. 1805-1820.138

112. Kawahara G., Kida S., Tanaka M., and Yanase S. Wrap, tilt and stretch of vorticity lines around a strong thin vortex tube in a simple shear flow // J. Fluid Mech. 1997. V. 353 P. 115-162.

113. Gibbon J.D., Fokas A.S., and Doering C.R. Dynamically stretched vortices as solutions of the 3D Navier-Stokes equations // Physica D. 1999. V. 132. P. 497-510.

114. Pullin D.I. and Lundgren T.S. Axial motion and scalar transport in stretched spiral vortices // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 9. P. 2553-2563.

115. Delbende I., Rossi M., and Le Dizes S. Stretching effects on the three-dimensional stability of vortices with axial flow //J. Fluid Mech. 2002. V. 454. P. 419-442.

116. Филлипс O.M. Динамика верхнего слоя океана. JI.: Гидрометеоиздат, 1980. 319 с.

117. McLean J.W. Instabilities of finite-amplitude water waves// J. Fluid Mech. 1982. V. 114. P. 315-330.

118. Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир, 1987. 179 с.

119. Mollo-Christensen Е. Gerstner waves at the interface between stratified fluids H In: «Kongelige Norske videnskabernes selskab». Proc. Theodorsen Colloq. Trondheim e.a., 1976. P. 66-70.