Применение метода вихревых частиц к задачам динамики вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Вихревой метод, его достоинства и недостатки.

Обзор развития вихревых методов в последние годы.

Цели и содержание работы.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ, АЛГОРИТМИЗАЦИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ

ВИХРЕВОГО МЕТОДА.

1.1 .Теоретические основы метода.

Постановка задачи.

Схема расщепления.

Диффузионное слагаемое.

Конвективное слагаемое.

Вычисление граничных условий.

Перераспределение вихрей.

Многоблочные сетки.

Моделирование тела.

Моделирование экрана.

1.2. Вычисление сил.

Определение сил с помощью закона количества движения.

Определение сил из распределения давления.

1.3. Обобщение вихревого метода. Введение модели турбулентности.

Уравнение модели Спэларта-Алмэраса.

Коррекция модели. Модель SARC.

1.4. Организация вычислений.

Оптимизация для многопроцессорных систем.

2. ВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДА НА ПРИМЕРЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА.

2.1. Введение.:.

2.2. Результаты расчета.

3.2. Постановка задачи.67

Некоторые оценки из потенциальной теории и противоречия с экспериментами.67

Методика исследования.70

3.3. Динамика вихрей вблизи твердой стенки.71

Результаты расчета.72

3.4. Устойчивость решения.85

3.5. Оценка и учет турбулентности.89

3.6. Влияние концевых вихрей на динамику экраноплана.100

3.7. Результаты моделирования динамики экраноплана.103

Пересечение следа под прямым углом.103

Пересечение вихревого следа под углом.107

Движение параллельным курсом.111

3.8. Заключение'.115

4. ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНТУРА С УЧЕТОМ

ТУРБУЛЕНТНОСТИ.116

4.1. Нестационарное отрывное обтекание крыльевого профиля.1.116

4.2. Расчет боковой силы, действующей на корпус дрейфующего судна.124

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.-.130

ЛИТЕРАТУРА.133

Введение.

Вихревой метод, его достоинства и недостатки.

Целью данной диссертационной работы является разработка и приложение вихревого метода к задачам динамики вязкой жидкости. Согласно вихревому методу, основанному на лагранжевом описании движения жидкости, движущиеся зоны завихренности моделируются набором вихревых частиц, каждая из которых характеризуется формой, интенсивностью и линейными размерами. В настоящей работе в качестве таких частиц используются двумерные дискретные вихри, перераспределяемые в каждый момент времени между узлами некоторой вспомогательной неподвижной сетки, что позволяет избежать нерегулярности в их размещении и обеспечить устойчивость метода. Вихри перемещаются вместе с жидкими частицами с локальной скоростью потока и их завихренность меняется согласно уравнениям переноса. В вязкой жидкости наряду с конвекцией вихревых элементов учитывается их диффузия и генерация новых вихрей на границах потока.

Вихревые методы базируются на представлении скорости в виде суммы градиента скалярной функции и ротора векторного потенциала, законе Био-Савара и уравнении Навье-Стокса, записанного в переменных завихренность - скорость. Как показывает история вычислительной гидродинамики, вихревые методы являются мощным и эффективным инструментом теоретического исследования концентрированных вихревых структур, обладая при этом перспективами дальнейшего совершенствования. Они имеют следующие преимущества по сравнению с традиционными конечно-разностными, конечно-элементными и псевдоспектральными подходами [6], [68]:

• Вычислительные вихревые методы, базирующиеся на лагранжевом описании, требуют размещения вычислительных элементов только в ограниченной части потока, там где завихренность не равна нулю (фактически в очень малой части потока). Это преимущество особенно заметно проявляется при решении безграничных задач и нестационарных задач.

• Вихревые методы содержат меньшую искусственную вязкость, по сравнению с конечно-разностным представлением конвективных слагаемых в уравнении Навье-Стокса.

• В вихревом методе непосредственно рассчитывается завихренность, а скорость получается интегрированием по закону Био-Савара. В итоге, ошибка вычисления скорости много меньше, чем в конечно-разностных методах той же точности, в которых скорости вычисляются непосредственно.

• При использовании вихревых методов проблема устойчивости расчетов при высоких числах Рейнольдса не столь остра, как в других методах.

• Вихревой метод универсален, прост и „прозрачен". Благодаря этому облегчается контроль результатов и существует интуитивное понимание связи между математической моделью и моделируемой задачей.

• Вихревой метод предоставляет точное автоматическое выполнение граничных условий на бесконечности.

Конечно идеальных численных методов не существует, и вихревые методы обладают рядом серьезных недостатков, которые также следует отметить [6], [68]:

• Прежде всего это огромные затраты памяти при требующем высокого разрешения моделировании течений с высокими числами Рейнольдса. Учет турбулентности также увеличивает эти затраты. Сюда же следует отнести и огромные затраты расчетного времени, требующиеся для моделирования нестационарных задач.

• Несмотря на утверждение в ряде работ о полном отсутствии искусственной вязкости в вихревых методах, искусственная диффузия вихревых образований все же имеет место быть. При этом имеются различные источники ее образования. Наиболее заметный вклад вносят ошибки вычисления конвекции вихревых частиц. Как показано в работе [49], использование метода Эйлера при моделировании конвекции вихря Ранкина в идеальной жидкости приводит к тому, что дискретные вихри, моделирующие его, будут двигаться не по окружностям, следующим из точного решения, а по касательным к ним, переходя на внешние орбиты. В результате вихрь Ранкина будет расплываться на плоскости, как будто он испытывает численную диффузию[49].

• В ряде вариантов вихревых методов существуют свободные параметры, для выбора которых отсутствуют надежные и универсальные критерии. В большинстве случаев введение свободных параметров необходимо для стабилизации счета или для учета вязкости.

• Существуют трудности в постановке граничных условий на твердых и свободных границах потока.

• Вихревые методы сравнительно новые и поэтому еще слабо апробированы для сложных гидродинамических задач таких, как отрывные течения и турбулентность. Это отталкивает многих исследователей при выборе метода решения задачи.

Обзор развития вихревых методов в последние годы.

Начало вычислительному методу вихрей было положено в теоретических работах Гельмгольца [42]. Теоремы Гельмгольца конструктивно используются практически во всех вариантах вихревого метода. Впервые вихревой метод был использован в работе Розенхеда [65] для моделирования динамики тангенциального разрыва. Интенсивное развитие и применение вихревых методов началось в шестидесятых годах. Объектом исследования в подавляющем большинстве работ было отрывное обтекание двумерного контура с фиксированными точками отрыва. В семидесятые годы началось освоение трехмерных задач. В конце семидесятых годов сформировалось направление, целью которого стало обобщение вихревых методов для исследования задач двумерного турбулентного движения жидкости. Это направление развивалось и в следующем десятилетии. В восьмидесятые годы продолжалось также исследование трехмерных задач отрывного обтекания с помощью вихревых методов, создавались алгоритмы и программы для решения прикладных инженерных задач. Как важное достижение следует отметить также разработку вихревых методов для решения широкого круга задач теории волнового движения, глиссирования и кавитации.

Следует отметить ряд отечественных исследователей, занимавшихся в эти десятилетия вихревыми методами. В первую очередь это С.М. Белоцерковский и его школа [2], [3], [4], М.И. Ништ, А.С. Гиневский, А.Н. Майборода [9], В.Ф. Молчанов, Е.А. Новиков [10], В.И. Юшин [16], В.К. Трешков [7], [11], [15], М.А. Басин [1], [22]. Зарубежные исследования представлены в блестящем и наиболее полном на сегодняшний день обзоре вихревых методов Т. Сарпкайя [68], в котором проанализировано около 600 работ. Также следует упомянуть работы А. Леонарда [53], [54], являющегося одним из наиболее крупных авторитетов в этой области. Другие наиболее принципиальные работы в области математического обоснования вихревых методов были сделаны Дж. Т. Биллом, А. Майдой [23], Грингардом [41], Ху [43] и др.

В последние годы вихревые методы испытывают „второе дыхание" после их бурного расцвета в 60 -е и 70 -е годы. В первую очередь возвращение интереса к вихревым методам объясняется значительным ростом мощности вычислительной техники и ростом степени ее доступности. С одной стороны, доступность вычислительной техники проявляется в том, что сегодня любой ученый или даже студент имеет доступ к высокопроизводительным системам, способным решать достаточно сложные задачи. Повышение мощности компьютеров с другой стороны приводит к тому, что широкий класс аэрогидродинамических задач можно сегодня решать без разработки каких-либо упрощающих теорий и предположений, которые, как показывает история развития гидромеханики, не всегда оправданы. Так, к примеру, сегодня возможно проводить прямые численные исследования динамики жидкости, не только не отказываясь от рассмотрения эффектов вязкости, но и проводя в некоторых случаях прямое моделирование турбулентности [26]. И вихревые методы предоставляют на этом пути широкие возможности.

Подробный обзор развития вихревых методов в последнее десятилетие представлен в работе Н.В. Корнева [6]. Поэтому в настоящем введении будут отмечены только работы появившиеся после выхода обзора [6]. Основными путями развития вихревых методом в девяностые годы стали четыре следующих направления:

• Основой любого качественного численного метода являются эффективность и достоверность [26]. Эффективность проявляется в том, что число вычислительных элементов должно быть сведено к минимуму, не теряя при этом качества решения. Это означает, что основные усилия в разработке современных вихревых методов должны быть сосредоточены на создании и приложении быстрых алгоритмов, дающих при этом возможность моделирования как можно более широкого круга практически значимых задач. Поэтому разработка быстрых алгоритмов, направленных на устранение громоздкости и повышенных вычислительных требований вихревых методов стала приоритетным направлением в развитии вихревых методов в последние годы. Сюда следует также отнести и привлечение современного математического аппарата. Основные достижения в этой области были сделаны Грингардом [41], Блиссом, Андерсоном [18]. Цикл работ Грингарда посвящен ускорению расчетов путем использования кластеризации частиц. Вихревые частицы объединяются в иерархические конгломераты различного масштаба и расчет взаимодействия с другими дальними конгломератами производится с помощью мультипольных разложений. В работе [18] предлагается комбинация метода вихрь - ячейка с методом прямого суммирования по закону Био-Савара. Наиболее поздние исследования Корнева Н.В. [47] показали, что наибольшая производительность вычислительного метода вихрей достигается при использовании комбинации метода Грингарда и метода вихрь-ячейка. Дополнительным и немаловажным способом повышения мощности вихревых методов в последнее время стало вычисление скорости, индуцированной вихрями, через векторный потенциал, определяемый из решения уравнения Пуассона вместо непосредственного применения закона Био-Савара. В настоящей работе для решения уравнения Пуассона применяется метод быстрого преобразования Фурье.

• Обобщение вихревых методов для решения задач динамики вязкой жидкости. Эта проблема состоит из двух задач: моделирование вязкой диффузии и учет граничных условий. Для моделирования диффузии использовались и детерминистический, и стохастический методы. Здесь следует отметить работы Леонарда, Грингарда, Мас-Галлика и Дегонда[35]. Одна из последних работ Хуберсона и др. [44] посвящена расширению существующих численных схем расчета диффузии для задач с неоднородной вязкостью (турбулентные течения). В работе рассматриваются метод случайных блужданий (Random Walk Method), метод обмена завихренностью {Strength Exchange Method) и модель диффузионной скорости (Diffusion Velocity Model), базирующаяся на законе Фика. К сожалению строгих и четких выводов о преимуществах какого либо метода получено не было. Как показывают личные исследования автора, этот вопрос нуждается в дальнейшем изучении. Применению метода обмена завихренностью посвящена и работа [24], в которой метод Мас-Галлика и Дегонда [35] обобщается на широкий класс задач и в частности на задачи с граничными условиями Нейманна. В работе Вольфа и Стриклэнда [82] описывается применение модели диффузионной скорости для вычисления диффузионного слагаемого с использованием набора вихревых элементов близкого к работе [26]. Также интересной представляется работа [17] в которой метод случайных блужданий применяется для задачи со сложными граничными условиями (волнообразные (гофрированные) стенки). Значительные результаты по учету граничных условий были получены Комотсакосом и др. [54] (развитие идей Лайтхилла [56]), Бернардом [25], [26] (использование в качестве вихревых частиц прямоугольных кусков вихревой пелены, причем элементы прилегающие к границе потока полагаются неподвижными, а их интенсивность равна отношению скорости на их верхней границе к их полуширине), Ни [62] (использование для вычисления условия прилипания вихревых слоев и слоев источников).

• Моделирование турбулентных течений. Среди новых работ посвященных развитию вихревых методов для решения турбулентных задач следует отметить очередную работу А.Чорина [20]. Несомненно в этом разделе стоит упомянуть и работу Бернарда [26] описывающую турбулентное моделирование обтекания сфероидов с помощью вихревого метода и показывающую, что моделирование когерентных структур в свободных вихревых потоках возможно в рамках вихревых методов без привлечения дополнительных гипотез феменологического характера. Хотя основным средством моделирования турбулентности в вихревых методах пока остается «моделирование крупными вихревыми структурами» (Large Eddy Simulation, LES), однако появляются и работы в которых производится попытка синтеза вихревого метода и полуэмпирических моделей турбулентности [12]. Примером такого подхода к учету турбулентности является и настоящая работа. Одной из наиболее поздних тенденций в моделировании турбулентности является так называемое Detached-Eddy

Simulation (DES) [39], [69], [74], которое объединяет моделирование крупными вихревыми структурами по модели Смагоринского в свободном потоке и полуэмпирические модели турбулентности (SA) вблизи стенки.

• Практическое применение вихревых методов для решения инженерных задач. Наиболее выдающиеся результаты в этом направлении были получены в работе Маршалла и Гранта [60], в которой вихревые частицы использовались для расчета взаимодействия крыльевой лопасти и вихревого шнура, находящегося в вихревом потоке. Из других значительных практических результатов следует отметить цикл работ Леонарда [53], [54] посвященный детальному и высокоточному моделированию импульсно стартующего цилиндра с большим объемом сравнений с численными и экспериментальными результатами. Работа Лин и Везза [57] представляет интересные результаты моделирования крыльевого профиля при больших углах атаки и числах Рейнольдса. Работа Ху [83] посвящена изучению отрывного обтекания профиля с интерцептором.

Все отмеченные выше направления развития вихревых методов нашли свое отражение и в данной диссертационной работе, в которой делается попытка обобщения вихревого метода для решения практических задач динамики вязкой жидкости с учетом турбулентности и граничных условий. Данный обзор дополняют введения к каждой главе данной диссертации, где рассмотрены конкретные проблемы.

Цели и содержание работы

Целью работы является дальнейшее развитие вихревого метода, разработка алгоритмических вопросов его реализации и применение метода для решения конкретных задач динамики вязкой жидкости.

Для достижения поставленной цели необходимо было рассмотреть ряд конкретных физико-математических проблем, в том числе:

• Разработка эффективных численных методов и алгоритмов решения уравнений Навье-Стокса вихревым методом.

• Моделирование турбулентности в рамках вихревого метода.

• Апробация метода, оценка точности и эффективности метода на примере исследования задач, для которых существуют либо точные аналитические решения, либо надежные численные или экспериментальные результаты.

В качестве прикладных задач гидродинамики вязкой жидкости рассматриваются следующие проблемы:

• Разработка вихревого метода для расчета отрывного обтекания двумерных контуров потоком вязкой жидкости с учетом внешних границ и турбулентности.

• Динамика концевых вихрей вблизи твердой стенки. Анализ устойчивости образования вторичных вихревых систем. Влияние концевых вихрей на динамику экраноплана. Исследование безопасности полета пары экранопланов.

• Применение вихревого метода к задачам управляемости судна. Получение отрывной составляющей боковой силы на корпусе дрейфующего судна.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Во введении рассматриваются достоинства и недостатки вихревых методов, и проводится краткий обзор последних работ в этой области и тенденций развития вихревых методов. Завершается введение описанием целей диссертационной работы. В первой главе рассмотрены теоретические вопросы построения эффективного вихревого метода, пригодного для решения задач гидродинамики с учетом вязкости и граничных условий. Метод вихревых частиц обобщается на случай учета турбулентности путем сопряжения с базирующимися на вихревой вязкости (eddy viscosity) моделями турбулентности (модель Спэларта-Алмэраса, модель SARC). Также в этой главе производится обобщение метода Донор-Акцептор на случай неоднородной вязкости. Среди прочего рассматриваются достоинства и недостатки различных диффузионных численных схем, различные алгоритмы регуляризации вихревого поля и обсуждается применение многоуровневых и неоднородных сеток для вихревых методов. Во второй главе метод апробируется на примере мгновенного старта кругового цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса 120-9500, и проводится сравнение с экспериментальными данными и численными расчетами других авторов. В третей главе исследуется динамика концевых вихрей вблизи твердой стенки в ламинарной и турбулентной постановках задачи, и изучается влияние концевых вихрей на динамику экраноплана. Четвертая, заключительная, глава данной работы посвящена применению описанного вихревого метода к расчету обтекания произвольного контура ламинарным или турбулентным потоком вязкой жидкости с учетом различных граничных условий. В качестве примеров рассматриваются обтекание крыльевого профиля движущегося с различными углами атаки и при различных числах Рейнольдса и использование метода плоских сечений для получения отрывной составляющей боковой силы на корпусе дрейфующего судна. В заключении кратко обобщаются и перечисляются основные результаты данной диссертационной работы. Завершается работа списком используемой литературы.

Заключение

Подводя итоги данной диссертационной работы, хочется обобщить и кратко сформулировать основные результаты. Таковыми, по мнению автора, являются:

• Метод вихревых частиц, базирующийся на численной схеме расщепления уравнений Навье-Стокса по физическим параметрам, полученной и теоретически обоснованной в работах [6] и [48], доведен до практического применения к расчету обтекания произвольного контура потоком вязкой жидкости с учетом граничных условий.

• Дополненный современными математическими алгоритмами и численными процедурами метод вихревых частиц превращен в эффективный инструмент исследования задач динамики вязкой жидкости.

• Вихревой метод протестирован в широком объеме на примере такой академической задачи, как мгновенный старт кругового цилиндра. Получено хорошее согласование по целому ряду параметров с экспериментальными данными и результатами численных работ других авторов.

• Метод вихревых частиц обобщен на случай учета турбулентности путем сопряжения с базирующимися на вихревой вязкости (eddy viscosity) моделями турбулентности (модель Спэларта-Алмэраса, модель SARC).

В качестве приложений разработанного метода решены следующие практические задачи:

• Проведено численное моделирование движения пары вихрей противоположной интенсивности вблизи экрана в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Получено хорошее согласование с результатами работ других авторов.

• Исследовано влияние учета турбулентности на траекторию движения вихревой пары.

• Проведено моделирование динамики одиночного вихря вблизи стенки до больших безразмерных времен (/=360). Исследованы вихревые структуры, образующиеся при взаимодействии вихря с твердой стенкой в вязкой жидкости. Исследована устойчивость данного процесса.

• Получены кинематические и геометрические параметры вихревой системы, возникающей за летательным аппаратом, движущимся в зоне экранного эффекта. Показано, что расхождение концевых вихрей за экранопланом, получаемое при моделировании с учетом вязкости значительно меньше результатов получаемых из потенциальной задачи.

• Проведено исследование динамики экраноплана, движущегося вблизи вихревой системы другого аппарата и обнаружены границы аварийно опасных значений циркуляции концевых вихрей и необходимые интервалы движения для различных относительных углов курса.

• Сделаны оценки зон безопасного полета экраноплана Hydrowing при движении параллельным к другому аппарату курсом.

• Проведены расчеты отрывного и безотрывного обтекания крыльевых профилей ламинарным и турбулентным потоком вязкой жидкости. Получено хорошее согласование с экспериментальными данными и показаны преимущества перед методом интегральных соотношений теории пограничного слоя.

• Показано, что вихревой метод может быть применен к задачам управляемости судна на примере расчета методом плоских сечений боковой силы, возникающей на корпусе дрейфующего судна. Получено хорошее согласование с эмпирической методикой.

Вышесказанное позволяет сделать следующие выводы:

• Основная цель данной диссертационной работы, а именно -применение вихревого метода для решения задач гидродинамики вязкой жидкости - выполнена в полном объеме на примере ряда практических приложений.

• Научно-техническая новизна данной работы проявляется в обобщении хорошо известных потенциальных вихревых методов для решения задач динамики вязкой жидкости с учетом граничных условий и турбулентности и движения объекта.

• Разработанный вихревой метод и полученные результаты дают перспективы дальнейшего развития данной работы в направлении учета трехмерности, учета волнообразования на свободной поверхности, и т.д.

• Современное состояние вычислительной техники дает вихревым методам «второе дыхание», переводя их на новый качественный

132 уровень, и позволяя эффективно использовать заложенные в них преимущества перед другими численными методами.

Результаты данной диссертационной работы докладывались на семинарах СПбГМТУ, ЦНИИ им. Крылова, института Океанологии РАН им. П.П. Ширшова, Военно-Морской Академии им. Дзержинского, на семинаре С.М. Белоцерковского (ЦАГИ), в Ростокском университете (Германия) и Висмарской высшей школе судоходства (Германия).

Частично результаты работы представлены в 10 публикациях, в том числе 3 в международных реферируемых журналах.

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю проф., д.т.н. Корневу Н.В. за постоянное внимание и стимулирование данной работы, а также Российскому Фонду Фундаментальных Исследований (РФФИ) и Немецкой Службе Академических Обменов (DAAD) за частичное финансирование данной работы.

1. Басин М.А., Корнев Н.В. Аппроксимация вихревого поля в безграничной среде. ЖТФ, 64, 1994, стр. 179-185

2. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С., Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей,М,: Физико-математическая литература, 1995

3. Белоцерковский СМ., Котовский ВН., Ништ М.И., Федоров P.M., Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М: Наука, 1988

4. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. "Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью", М: Наука, 1978

5. Девнин С.И., Аэродинамика плохообтекаемых конструкций, 1983, JI. Судостроение

6. Корнев Н.В. Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидродинамики корабля, диссертация на соискание ученой степени доктора техн. наук, Санкт-Петербург, 1998

7. Корнев Н.В., Трешков В.К., Численный метод расчета нестационарных аэрогидродинамических характеристик несущей поверхности при боковом движении, Проблемы Гидродинамики Судна, Труды Ленинградского Кораблестроительного Института, 1985, стр. 87-92

8. Мазаев К.М., Влияние вязкости на гидродинамические характеристики крыльев с механизацией, Дипломная работа, Кафедра гидромеханики, Государственный Морской Технический Университет, Санкт-Петербург, 1992.

9. Майборода АН., Математическая модель гидродинамики для тела, пересекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости, Доклады АН Украинской ССР, No.5, 1991, стр. 50-53

10. Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов). ЖЭТФ, 3, 1983, стр. 975-981

11. Плисов Н.Б., Рождественский К.В., Трешков В.К., Аэрогидродинамика судов с динамическими принципами поддержания, учебное пособие, Ленинград, Судостроение, 1991

12. Смирных Е.А., Численное моделирование плоской турбулентной струи методом вихревых частиц с учетом мелкомасштабной турбулентности, ЦАГИ, 199113. „Справочник по теории корабля" под редакцией Я. И. Войткунского, томЗ, Л. Судостроение, 1985

13. Трешков В.К., Аэродинамика экраноплана в основном режиме его движения, Диссертация доктора технических наук, Ленинградский Кораблестроительный Институт, 1982

14. Юшин В.И., Скрипова О Ф., "Методы расчета стационарных аэродинамических характеристик плоских несущих систем сложной формы, движущиеся вблизи опорной поверхности ", техн. отчет ЦНИИ им. Крылова, 1981

15. Airiau С., Giovanni A., Vorticity evolution on a separated wavy wall flow, Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, vol. 7, 1999, pp. 1-11.

16. Anderson C .R, A method of local corrections for computing the velocity field due to a distribution of vortex blobs, J. Сотр. Physics, 62, 1986, pp. 111-123.

17. Bardina I.E., Huang P.G., Coakley T.J. Turbulance modeling validation, testing and development, NASA Technical Memorandum 110446, 1997, pp.l-98.

18. Barenblatt G.I., and Chorin A.J., A new formulation of the near-equilibrum thery of turbulence, Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, vol. 7,1999, pp.23-35.

19. Bar-Lev, M. and Yang, H.T., "Initial Flow Field Over an Impulsively Started Circular Cylinder", J.Fluid Mech., 72, 1975, pp. 625-647

20. Basin M. A. and Kornev N.V., Incorporation of the Viscosity in the Vortex Method, ZAMM, 78, Issue 5 (1998), pp. 335-344 (in German)

21. Beale J.T.,Majda A., Vortex Methods II: Higher Order Accuracy in Two and Three Dimensions, Math, of Computation, vol. 39 (159), 1982, pp.29-52.

22. Benhaddouch R, Treatment of a Newmann boundary condition by a particle exchange method, Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, vol. 7,1999, pp.36-45.

23. Bernard P.S., A Deterministic Vortex Sheet Method for Boundary Layer Flow, J. Comput. Phys., 117,1995, pp. 132-145.

24. Bernard P.S., Dimas A.A, Collins J.P., Turbulent flow modeling using a fast, parallel, vortex tube and sheet method, Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, vol. 7,1999, pp .46-5 5.

25. Bouard R., Coutanceau M., The early stage of development of the wake behind an impulsively started circular cylinder for 40 < Re < 104, J. Fluid Mech., 101, 1980, pp. 583-607.

26. Chang C.C. & Chern RL A numerical study of flow around an impulsively started circular cylinder by a deterministic vortex method. J. Fluid Mech. 233, 1991, pp.243-263.

27. Coijon A., Poinsot Т., Vortex model to define safe aircraft separation distances, Journal of Aircraft, vol.33, no. 3, 1996, pp. 547-554.

28. Cotel A. J., Breidenthal RE, Turbulence inside a vortex, Physics of Fluids, vol. 11,10, 1999, pp 3026-3029.

29. Cottet G.-H., Ould Salihi M.-L., El Hamraoui M., Multi-purpose regridding in vortex methods, Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, vol. 7, 1999, pp.94-103.

30. Cox I S., Brentner K.S., Rumsey C.L., Computation of vortex shedding and radiated sound for a circular cylinder: Subcritical to transcritical Reynolds numbers, Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 12,1998, pp. 233-253.

31. Crow S.C,, Stability theory for a pair of trailing vortices, AIAA Journal, vol. 8, 1970, pp. 2172-2179.

32. Dee F., Nicholas O., Flight measurements of wing tip vortex motion near the ground, Royal Aircraft Establishment TR 68007, 1968.

33. Degond P., Mas-Gallic S., A particle method to solve the Navier-Stokes system, Numer. Math., 57,1990, pp. 805-827.

34. Ebert J., Meyer M., Hydrowing A new efficient Wing-In-Ground effect craft, Workshop proceedings of „WISE up to ekranoplan GEMs", 15th- 16th June 1998, The University of New South Wales, Sydney, Australia, 1998, pp.267-273

35. Ferziger J.H., Peric M., Computational methods for fluid dynamics, 1999.

36. Fischer, H., Matjasic, K., From Airfish to Hoverwing, Workshop proc. WISE up to ekranoplan GEMs, The University New South Wales, 1998, pp. 69-89

37. Forsythe J.R, Hoffmann K.A. and Dietker J.-F., Detached-Eddy simulation of a supersonic axisymmetric base flow with an unstructured solver, AIAA paper, 00-2410, 2000.

38. Greene G.C., An approximate model of vortex decay in the atmosphere, Journal of Aircraft, 23(7), 1986, pp.566-573.

39. Greengard L., Rokhlin V., A Fast Algorithm for Particle Simulations, J. Comput. Physics, 73, 1987, pp. 325-348.

40. Helmholtz, H., Uber Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen, Zeitschrift fur reine und angewandie Mathematik, LV, 1858, pp. 485-512.

41. Hou T.Y., Lowengrub J S. and Shelley M.J., Removing the stiffness from interfacial flows with surface tension, Journal of Comput. Phys., 114, 1995, p. 132.

42. Huberson SLe Maitre O., Rivoalen E., Particle simulation of diffusion with non uniform viscosity, Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, vol. 7, 1999, pp. 195-204.

43. Isay W.H., An approximate solution of the velocity and pressure field of a tip vortex in turbulent flow, Ship Technology Research, vol. 39,1992, pp.42-52.

44. Kiya M., Tamura H., Arie M., Vortex shedding from a circular cylinder in moderate Reynolds - number shear flow, J. Fluid Mech., 101, 1980, pp. 721736.

45. Kornev N., Leder A., Mazaev K., Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three-dimensional vortex field, Schiffbauforschung40 (2001) 1, pp. 47-55.

46. Kornev N.V, Basin M.A., A way to split the Navier-Stokes equations in the context of the vortex method, Commun. Numer. Meth. Engng, 14, 1998, pp. 313-319.

47. Kornev N.V., A new numerical scheme for point vortex motion, Commun. Numer. Meth. Engng, IS, 1999, pp. 777-780.

48. Kornev N.V., Taranov A.E., AutoWing 2.4 Efficient software for numerical calculation and design of ekranoplans (WIG crafts), hydrofoils and planing ships, http://vvwvv.cl.spb.ru/taratiov/Index.htm, 2000

49. Kornev N., Taranov A., Behaviour and Potential Hazard of WIG trailing vortices, Ship Technology Research, vol. 47(3), 2000, pp.115-125.

50. Koumoutsakos P., Leonard A., High-resolution simulations of the flow around an impulsively started cylinder using vortex methods, J. Fluid Mech296,1995, pp. 1-38.

51. Koumoutsakos P., Leonard A., Pepin F., Boundary Conditions for Viscous Vortex Method, J. Сотриt. Physics, 113,1994, pp.52-61.

52. Koumoutsakos P., Shiels D, Simulations of the viscous flow normal to an impulsively started and uniformly accelerated flat plate , J. Fluid Mech., 328,1996, pp. 177-227,

53. Lighthill M,J. Introduction. Boundary Layer Theory. Laminar Boundary Layers, edited by J. Rosenhead, Oxford University Press, NY, 1963 ,pp.54-61.

54. Liu H.-T., Effect of ambient turbulence on the decay of a trailing vortex wake, Journal of Aircraft, vol. 29, no. 2,1992, pp. 255-263.

55. Liu H.-T., Tow-tank simulations of vortex wake dynamics, FAA Proceedings of the Aircraft Wake Vortices Conference, FAA, Washington, DC, 1991, pp.32-1, 32-26.

56. Marshall IS., and Grant, JR., Penetration of a Blade into a Vortex Core: Vorticity Response and Unsteady Blade Forces, J. Fluid Mech, 306, 1996, pp.83-109.

57. McCormick B.W,, Tangier J.L. and Sherrieb H.E., Structure of trailing vortices, J.Aircraft, 5,1968

58. Ni A.L., Boundary Conditions for the Vorticity-Velocity Formulation of Navier-Stokes Equations, AIAA Journal, 34,1996, pp. 416-418.

59. Riegels F.W., Aerodynamische profile, R. Oldenbourg, 1958.

60. Reimer H.M., Vicroy D.D., A preliminary study of a wake vortex encounter hazard boundary for a B737-100 airplane, NASA Technical Memorandum 110223,1996, pp. 1-13.

61. Rosenhead L., The formation of vortices from a surface of discontinuity, P. Roy. Soc. Lond., A134,1931, pp. 170-192.

62. Rossow V. J., Wake-vortex separation distances when flight-path corridors are constrained, Journal of Aircraft, vol. 33, no. 3,1996, pp. 539-547.

63. Rudis R.P., Burnham D C., Janota P., Wake vortex decay near the ground under conditions of strong stratification and wind shear, Presented at Advis. Group Aerosp. Res. Dev. (AGARD) Symp., Trondheim, Norway, 1996, 11, pp. 1-10.

64. Sarpkaya T,, Computational methods with vortices The 1988 Freeman Scholar Lecture, J. Fluids Eng., Ill, pp. 5-52.

65. Shur M., Spalart P R., Strelets M, and Travin A., Detached-Eddy simulation of an airfoil at high angle of attack, 4th Int. Symp. Eng. Turb. Modeling and Measurements, Corsica, May 24-26, 1999.

66. Shur M., Strelets M., Travin A., Spalart P.R., Two numerical studies of trailing vortices, AIAA paper, 98-0595, 1998.137

67. Spalart P R, Almaras SR., A one-equation turbulence model for aerodynamic flows, AIAA paper, 92-0439, 1992.

68. Spalart P.R., Shur M., On the sensitization of turbulence models to rotation and curvature, Aerospace Science and Technology, 5, 1997, pp. 297-302.

69. Spalart P R., Airplane trailing vortices, Anm. Rev. Fluid Mech., 30, 1998, pp. 107-138.

70. Spalart P R., Trends in turbulence treatments, AIAA paper, 2000-2306, 2000.

71. Spreiter J R., Sacks A.H., The rolling up of the trailing vortex sheet and ist effect on the downwash behind wings, J. Aeronaut. Set, 18(1), 1951, pp.2132.

72. Stewart E.G., A parametric study of acceleration of an airplane due to a wake vortex system, NASA Technical Memorandum 208745, 1999, pp. 1-36.

73. Stoecker H., Taschenbuch mathematicher Formeln und moderner Verfahren, Verlag Harry Deutsch, 1993

74. Taranov A., Komev N., Leder A., Development of the Computational Vortex Method for Calculation of Two-Dimensional Ship Sections with Flow Separation, Schiffbaiiforschiing 39 (2000) 2, pp. 95-105.

75. Teske M.E., Bilanin AJ., Barry J.W., Decay of aircraft vortices near the ground, AIAA Journal, 31(8), 1993, pp. 1531-1533.

76. Tuerk L., Coors D., Jacob D., Behaviour of wake vortices near the ground over a large range of Reynolds numbers, Aerospace Science and Technology, 2, 1999, pp. 71-81.

77. Williamson C.H.K., Vortex dynamics in the cylinder wake, Annu. Rev. Fluid. Mech., 28, 1996, pp. 477-539.

78. Wolfe W.P., Strickland J.H., A hybrid method for two-dimensional flow over tube bundles, Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, vol. 7, 1999, pp.440-454.

79. Xu C., A vortex method for separated flow around an airfoil with a detached spoiler, Computational Mechanics, 23,1999, pp.271-278.

80. Zheng Z.C., Ash R.L., Study of aircraft wake vortex behaviour near the ground, AIAA Journal, 34, 1996, pp. 580-589.