Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц в вязкой жидкости

Баранов, Виталий Евгеньевич

Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц в вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Баранов, Виталий Евгеньевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саранск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц в вязкой жидкости»

Автореферат диссертации на тему "Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц в вязкой жидкости"

На правах рукописи

БАРАНОВ Виталий Евгеньевич

ДИНАМИКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена на кафедре математики и теоретической механики Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор С. И. Мартынов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор А. Б. Мазо

Защита состоится 29 декабря 2005 года в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д212.081.11 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

ясно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

— доктор физико-математических наук, профессор В. А. Налетова

Ведущая организация — Ульяновский государственный

технический университет

Автореферат разослан ноября 2005

г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Саченков

гооб-А _ 2203270

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Актуальность рассматриваемой в диссертации проблемы связана как с практикой создания новых материалов на основе вязкой жидкости, в которой частицы образуют определенную микроструктуру (например, коллоидные кристаллы), так и с теорией моделирования поведения таких сред. В последние годы интенсивно развиваются методы численного моделирования взаимодействия частиц в вязкой жидкости. Широко используются такие методы, как метод отражения, метод стоксовой динамики, метод коллокаций, метод конечных элементов, метод ячеечного уравнения Больцмана. Общим недостатком этих методов является резкое возрастание вычислительных затрат с ростом числа частиц. Поэтому получение новых аналитических и конструирование эффективных численных схем в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и программная реализация метода расчета гидродинамического взаимодействия конечного числа твердых сферических частиц при малых числах Рейнольдса, а также изучение процессов осаждения частиц в безграничной и ограниченной плоской стенкой жидкости. Научная новизна.

• Разработан новый метод вычисления тензорных коэффициентов разложения решения задачи Стокса в случае обтекания конечного числа частиц.

• Показано, что удержание нескольких (5-6) первых членов этого разложения обеспечивает точность приближенного решения на уровне 1% в сравнении с известными частными решениями задачи.

• Решена задача об осаждении облака конечного числа частиц в безграничной жидкости. Показано, что скорость осаждения облака возрастает как с ростом числа частиц, так и с увеличением их концентрации.

• Разработан новый метод расчета гидродинамического взаимодействия

конечного числа частиц с непо й. Данный метод

сводит указанную задачу к задаче расчета взаимодействия частиц в неограниченной жидкости.

• Решены задачи об осаждении двух частиц вблизи вертикально и горизонтально расположенных плоских стенок. Показано, что наличие вертикальной стенки приводит к появлению поперечной составляющей скорости. При осаждении частиц на горизонтальную стенку в жидкости возникают вихревые структуры.

• Разработан программный комплекс, включающий в себя:

— программу автоматической генерации и решения системы определяющих уравнений;

— программу расчета полей скоростей и давлений в жидкости, гидродинамических сил и моментов, действующих на каждую частицу;

— модуль визуализации движения частиц в потоке

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов следует из того, что они основаны на общих законах и уравнениях механики жидкости и обеспечиваются строгими математическими выкладками, выводами и оценками, сопоставлением решений задач, полученных различными методами, совпадением в частных случаях количественных результатов с результатами работ других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют глубже понять механизм гидродинамического взаимодействия частиц и имеют широкий спектр применения на практике. В частности. разработанная модель может быть использована при расчете процессов коагуляции, сепарирования, седиментации в суспензиях, аэрозолях, коллоидных системах во внешних силовых полях различной природы. Основные положения, выносимые на защиту.

• Разработан и программно реализован алгоритм расчета динамики конечного числа частиц в безграничном потоке вязкой жидкости с учетом их гидродинамического взаимодействия.

• Получена зависимость средней скорости осаждения частиц в трехмерном облаке от их числа и концентрации.

• Разработан и программно реализован метод расчета взаимодействия потока, содержащего конечное число частиц, с плоской стенкой.

• Обнаружено, что при осаждении частиц вблизи стенки в жидкости возникают вихревые структуры, а частицы приобретают поперечную составляющую скорости."

• *

. „ • 9

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на Международной летней школе по гидродинамике больших скоростей (г. Чебоксары, 2002 г.; 2004 г.), международной школе по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004 г.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 20022003 гг.), на конференциях Средневолжского математического общества (Саранск, 2002-2004 гг.), на научных семинарах института математики и механики при Казанском университете (Казань, 2004-2005 гг.), на семинаре Института механики МГУ (Москва, 2003 г.).

Публикации. По теме работы опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 152 листа машинописного текста, содержит 74 рисунка, 15 таблиц и список литературы из 111 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность рассматриваемой проблемы, сформулированы цель и задачи работы, проведен анализ работ, посвященных движению твердых частиц в потоке вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса, кратко излагается содержание работы.

В главе 1 рассматривается задача об одиночной сфере в потоке неограниченной вязкой жидкости, скорость которой на бесконечности представляется в виде полинома произвольной степени. Решение уравнений Стокса представляется в виде рядов по мультиполям. Рассмотрены частные случаи движения частицы в однородном, линейном, квадратичном и кубическом по координатам потоке вязкой жидкости. Для случая потока произвольной степени получены общие формулы для коэффициентов, входящих в мультиполь-ные разложения для скорости и давления.

В пункте 1.1 дана постановка задачи. Пусть единичная твердая сферическая частица находится в неограниченной вязкой жидкости вязкости т}. Радиус частицы Я, в пространстве задана система координат, начало которой совпадает с центром частицы. Невозмущенный поток жидкости (т.е. поток, который был бы в отсутствии частицы) задан в виде функции и,(х).

Скорость п'(х) и давление р?(х) возмущенного потока будем рассматривать в виде суммы скорости и давления невозмущенного потока и скорости и давления потока возмущения:

^(г) - и(Ё) + й(х), р'(х) = Р(х)+р{х).

Уравнения для возмущения скорости й{х) и давления р(х) в приближении Стокса имеют вид:

V = 0, (1)

t?V Ч = Vp. (2)

Скорость невозмущенного потока задается в виде полинома :

Ui(x) = Ui + UijXj + Щкx}Xk + UijkiXjXkXi + ... .

На поверхности частицы и в бесконечности ставятся граничные условия:

щ{х) + U%(x) = Vi + Гу Xj, когда |£] = R, (3)

иг(х) —► 0, р(х) —► 0, когда \х\ —> оо. (4)

где Гу = £ikjU>k, V - линейная скорость частицы, ш - угловая скорость частицы.

Требуется определить скорость и давление возмущенного потока, а также силу и момент, действующие на частицу со стороны жидкости.

В пункте 1.2 рассматриваются мультипольпыс разложения для возмущений скорости и давления :

р(х) ---- HtLi(x) + Н131г0) + HijiLl]k{x) + HljkiLvki(x) + ... (5)

2 1 3

rju,(x) = --HiLa(x) - -HjLtJ(x) ■ |£|2 - -HtJLj(x) -

■ |x|2 - jH^L^ix) - ^H]klLtjkl(x) • |f|2 - (6)

5 1

— g HijklLjkl(x) - ~HjklmLt]klm{x) • \S\ — ...

где тензорные коэффициенты Hu Hi}, HtJk, Н^ы, ... подлежат

определению, а мультиполь Ь^к...а{х) вычисляется по формуле: Lik e(f)e

4 dxidxjdxk ' дх„\\х\) '

В пунктах 1.3—1.4 рассмотрены случаи обтекания одиночной частицы однородным и линейным потоком. Из граничных условий на поверхности частицы найдены тензорные коэффициенты. Полученные решения задачи для возмущений скорости и давления в этих случаях совпадают с известными.

В пунктах 1.5—1.6 аналогичным образом рассмотрены случаи обтекания одиночной частицы квадратичным потоком и потоком третьей степени.

В пунктах 1.7—1.8 дано обобщение на случай, когда невозмущенный поток задан в виде произвольного полинома по координатам.

В главе 2 дастся постановка задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа частиц в вязкой жидкости. С использованием математического аппарата, развитого в главе 1, была разработана процедура, позволяющая записать решение задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа частиц в форме, подобной случаю одиночной сферы. В результате получена система линейных уравнений, решение которой позволяет определить все неизвестные коэффициенты, входящие в разложения для скорости и давления, а также вычислить линейную и угловую скорость каждой частицы.

В пункте 2.1 дается постановка и решение задачи о движении двух частиц в неподвижной на бесконечности жидкости. Две твердые частицы А и В радиуса Н помещены жидкость вязкости Г]. На частицы действуют внешние силы РА и Рв, и внешние моменты ТА и Тв. Требуется определить линейные скорости частиц.

Положение точки в жидкости относительно центров сфер А к В будем обозначать векторами г^иг" соответственно. Из геометрических соображений имеем соотношение хв — хА — Л, где Я - вектор, соединяющий центры частиц. Граничные условия на поверхности частиц задаются в виде аналогичном (3).

По аналогии с выражениями (5) и (6), возмущения скорости и давления от двух частиц ищем в виде:

р(х) = ВА и{хА) + Н* из{хА) + НАк Ьф{хА) + НАк1 Ь^к1(хА) +

Ь,(хв) + 11% Ьгз{хв) + Нвк Ьф{хв) + В%ы Ь1зЫ(хв) + ... И

Пи%{х) = В? Ьо(хА) -\вА Ь13{хА) ■ |^|2 - | ВА Ь3(хА) -

В% Ь,зк(хА) ■ |^|2 - I НАк Ьзк{гА) - 1 ВАк1 Ь,зк1(хА). Н2 -

М*1) - ^ н%1тьгзк1т{хА) ■ |гЛ|2 -

2 1 3

Н?Шхв) - I Вв Ь,3(хв). |**|2 - I В% Ь3(хв) -

-1 Н% Ь1]к{хв) ■ |хв|2 - | Нвк Ьзк(хв) - 1 Н% ЬгзЫ(хв) • |*я|2 -

-§ Кы - ~ Ввк1тьтт(хв) ■ |£в|2

Вычисляя силы и моменты, действующие на частицу А со стороны жидкости Г?(1,усС> = 4тг НА, ТАМ = у тге^ЯД и пренебрегая инерцией

частицы А, получим

Рассматривая граничное условие на поверхности частицы Л, замечено, что для всех точек этой поверхности верно неравенство \хА\ < |й|, при выполнении которого реализуется разложение в ряд:

Л- = и{хв) = +г*) = Ьо(П) + х* + +

х? хА х£ + хАхАхАхА + ...

Выбирая первые два члена этого разложения, получим приближенное равен-

ство

\хв

ъЬо(к) + Ьв{Н)хА,

(10)

Подставляя (10) в (8) и обозначая 1

-1 я?1о(Й) - \ я® ьгз{П) - |Я12 -1 н? ь3(Ку -~Н% ь„к(К) ■ \п\2 - £ н*кь,к(Я) - 1 н% ьг1к1(Ь) ■ Й2 - (И)

5 ->1 -

г' Г)

3 ~5

(Л) - ± Н? [2 К Ьу(Й) + иоаф) ■ \Щ -

К - ^ и% [2 к и3т + ■ \Щ -

нф ^ь(Й) - 11% [2 К ¿уы(Я) + Ьг}ки(И) • |Я|2] -

5 ->1 г

_9 НФ1 - — Н]Ыт |2 к3 Ьф1т(К) + Ьцытвф) ■ |/г|2|

получим граничное условие на поверхности частицы в виде:

Н?ШхА) Ь^хА) ■ - | НА Ь,(хА) -

~~ Н% Ьюк{хА) ■ - \ НАк Ь]к{хА) - 1 Н% Ьф1{хА) ■ \х-

НАЫ Ь]Ы{2А) - ~ НАк1тЬчк1т(хл) • И2 = = -г11)?-Т1Е)£х? + Г1Уг+г)ГцХ?, когда \хА\ = Я.

(12)

Граничное условие, записанное в такой форме, очень похоже на граничное условие, которое получится, если рассматривать движение одиночной частицы А в потоке, скорость которого на бесконечности задана формулой Д +■ Используя решение для одиночной частицы, можно выразить

тензоры Н?, #4, НАк и ЯуЫ через тензоры Д4 и Оа3

К* = (13)

= -^„(ДЗ-ГЗ), (14)

7дЗ

Я^ - 7? ([л? - + [Д1 - <у, (15)

+Д>5у + Д^ + Д1%). (16)

Уравнения (9), (11) - (16) были получены при рассмотрении граничного условия на поверхности частицы А. Если добавить к ним уравнения, которые получаются при аналогичном рассмотрении граничного условия на поверхности частицы В, то получится замкнутая система уравнений. Эта система уравнений при известных К, РА, Рв, ТА, Тв единственным образом определяет значения всех неизвестных: УА, Vе. <~3А, шв, Б? , ВА, Н?, НАк, НАкь Дв, Д®, Нв, Нвк, ЯуЫ. Таким образом по заданным силам и моментам, действующим на частицы, можно найти скорости частиц и возмущения скорости и давления в каждой точке жидкости.

В пункте 2.2 приводится обобщение приведенной процедуры на случай произвольного числа частиц и произвольной точности приближения граничных условий на поверхности частиц.

В пункте 2.3 разработанный метод моделирования взаимодействия конечного числа частиц тестируется на задачах, решение которых получено другими методами.

Первая из таких задач - известная [1,2] задача о движении двух сферических частиц вдоль линии центров. В диссертации вычисляются коэффициенты сопротивления, найденные для этой задачи при различных е (е — Я/Л - отношение радиуса частицы к расстоянию между центрами частиц) и различными методами. Отклонение результатов предложенного в диссертации метода от точных значений [1] при любых е не превышает 0.025%.

Вторая задача связана с моделированием движения двух частиц под действием силы, перпендикулярной линии центров. Сравнение результатов с расчетами по методу отражения показало, что при е < 0.4 различие в значениях коэффициента сопротивления не превышает 1%.

Третья тестовая задача состояла в определении мгновенной скорости осаждения нечетного числа одинаковых частиц, расположенных вдоль гори-

1 8

УМ 1,6

1.4

/Ч

1.2

Н'С? Р Е? ГУ С В' АВСОЕРвН

Рис. 1. Скорости нечетного числа частиц с центрами на одной прямой, движущихся под действием силы, перпендикулярной этой прямой. Точки - результат данной работы, крестики - результаты {3,4].

зонтальной прямой с расстояниями а между центрами. На рис. 1 отображены скорости частиц для а/К — 4, число частиц от 3 до 15 Частицы обозначены буквами: А - центральная частица, В и В' - ближайшие к ней (их центры находятся на расстоянии а — 4Я от центра частицы А), С и С' - следующие две частицы (их центры находятся на расстоянии а — 4Я от центров частиц В и В', соответственно), и так далее. Таким образом, конфигурация из трех частиц состоит из частиц В', А и В; конфигурация из семи частиц состоит из частиц £>', С", В', А, В, С, й (их центры лежат на одном прямой в этом порядке). Через Ц обозначена скорость одиночной частицы, найденная по закону Стокса, через V - скорость одной из частиц Н', .... А, Н. Ломаная линия соединяет точки, соответствующие частицам одной конфигурации.

Наконец, рассматривался случай осаждения двух частиц одинакового размера, но разной плотности [5]. Более плотная частица изначально располагалась над менее плотной. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментом до момента контакта частиц.

Помимо тестов в п. 2.3 изучалось также несколько случаев динамики трех и четырех частиц в зависимости от их начального положения. В частности, для четырех одинаковых частиц, расположенных первоначально в углах вертикально ориентированного квадрата, получено решение, согласно которому относительное движение частиц периодично по времени.

В пункте 2.4 рассмотрено движение трех частиц, на которые наложены связи, оставляющие расстояние между соседними частицами постоянным и не мешающие вращательному движению частиц (цепочка частиц). Получено, что в случае, когда частицы расположены вдоль прямой, перпендикулярной направлению действия внешней силы, имеется предельная конфигурация, при котором крайние частицы сближаются. Для частиц, расположенных

вдоль прямой под углом к силе тяжести, наблюдается процесс циклического сворачивания - разворачивания цепочки.

В пункте 2.5 разработанный метод использовался для моделирования динамики большого числа взаимодействующих частиц (облако). Рассматривалось осаждение трехмерного облака, состоящего из 110 частиц под действием силы тяжести. Получена зависимость средней скорости (г?) осаждения от числа частиц и их концентрации в облаке.

Графики зависимостей (ь) от концентрации при 30 и 100 частицах построены на рис. 2. Графики зависимости (г;) при изменении числа частиц и постоянной концентрации 0.1, 0.05 и 0.025 построены на рис. 3.

Рис. 2 и 3 показывают, что средняя скорость осаждения облака увеличивается как с ростом числа частиц так и с ростом концентрации. В диссер-

Рис. 2. Зависимость средней скорости осаждения облакя от концентрации при постоянном числе частиц

Рис 3 Зависимость средней скорости осаждения облака от числа частиц при постоянной

концентрации.

тации было найдено распределение частиц по скоростям в облаке. Выяснено общее правило: модуль линейной скорости больше у частиц, находящихся ближе к центру облака, и меньше у частиц, находящихся ближе к краю облака.

В главе 3 рассматривается гидродинамическое взаимодействие твердых сферических частиц при наличии плоской поверхности.

В пункте 3.1 дается постановка задачи и форма решения задачи о движении одной частицы А радиуса Я в жидкости с вязкостью г} и ограниченной плоскостью 7. Проекция центра частицы А на плоскость 7 обозначается точкой М. Вектор с началом в точке М и концом в центре частицы А обозначается буквой п\ таким образом, модуль вектора Я равен расстоянию от центра частицы А до плоскости 7. Положение точки жидкости относительно центра сферы А обозначается вектором х.

Так же, как в первой и второй главах предполагается, что движение жидкости описывается уравнениями непрерывности (1) и Стокса (2). На поверхности частицы и бесконечности граничные условия имеют вид (3), (4). На стенке имеется граничное условие:

Для получения решения задачи вводится дополнительная фиктивная частица В, симметричная А относительно плоскости (рис. 4), и затем используется форма записи решения, как в задаче о двух частицах. Обозначая через у положение точки жидкости относительно центра фиктивной частицы В, получаем, что у — х + 2 К. Кроме того, для точек на плоскости выполняются

Рис. 4. Фиктивная частица служит для представления взаимодействия частицы с

плоской стенкой.

щ = О, когда (х + К) ± К.

(17)

следующие равенства:

j/i — Xj Н- 2 hi, ННЙ,

(f+Ä)±fi, (у-Я) JL Я, (18)

х,Ы = ~\h\2, y{hi = |Й|2 .

Решение для возмущений давления и скорости ищется в виде:

р(£) = Н{Ь,{х) + ЯуЬу(х) + HijkLijk(x) + ...+ i-GiLt(y) + GijLij(y) + GijkL,jk(y) + ... ,

щг = -^НгЬ0(х) - ^Я^у(х) • |хр - ^Н^(х) -

~Т(лНзкКк(х) ■ \х\2 - ^НфЬ]к(х) - ^-Н}ыЬгэы(х) ■ |£|2 10 7 14 (20) -\СМу) ~ ■ - | ому) ~

Форма записи решения такая же, как если бы вместо частицы А и стенки было две частицы А я В. Имеется принципиальное отличие от случая взаимодействия двух частиц. Хотя форма записи выражений для давления (19) и скорости (20) такая же, как если бы описывалось взаимодействие двух частиц А и В, однако граничные условия по-прежнему рассматривается на частице А и стенке 7, а не на частице А и частице В.

В пункте 3.2 описана процедура, позволяющая подобрать для каждого из коэффициентов Щ, Ну, • - ■ несколько коэффициентов

д.,..., так, чтобы граничное условие на плоской поверхности выполнялось тождественно. Для Я* эта процедура выглядит так.

Беря всевозможные комбинации тензоров Щ /г, (линейно по Я,), можно записать выражения для тензоров (Зу,

С, - + дгНаНаЫПЩ*, _ (21)

G^j - дзЩЬ.3 + д\Н$}ц + дьНаЬабц + деНака^ку/щ2, (22)

Су* = д7Н^кк + ^{ЩЫкк + НкЫЬ]) + ддЩ6зк\к\2 +

+дю(Н&к + + дпНаНаНг63к + (23)

+512Яа/га(Л_г5,к + ИкЗц) + д\ъНаКак%Н]кк1щ .

Здесь 5х, д2, дз, 94, дъ, 9б, 97, 9ъ, 59, 91 о, 9п, 9\г, 9\з есть неизвестные числовые коэффициенты.

Подставляя (21) - (23) в выражение для скорости (20) и приводя подобные с учетом (18), получим значения числовых коэффициентов:

п 2 8 2 л

01 = -1, 92 = 0, дз = - , 94=-^, Р5 = -д, 06 = 4,

7 7

07 - 0, 08 = 0 , 01О = -- , 012 = ^ , 013 - о .

Таким образом, можно записать выражения для тензорных коэффициентов фиктивной частицы, которые позволяют точно удовлетворить граничное условие на плоскости. Тензорные коэффициенты для реальной частицы определяются из граничного условия на ее поверхности.

При изучении движения нескольких частиц вблизи плоской стенки для каждой частицы добавляется симметричная ей фиктивная таким образом, чтобы выполнялись граничные условия на плоскости. В результате такого добавления получается облако взаимодействующих частиц. Метод решения таких задач развит в главе 2.

В пункте 3.3 было проведено тестирование предложенного метода моделирования взаимодействия частиц с плоской стенкой и сравнение с другими известными методами [6]. В работе приведены результаты численного моделирования взаимодействия со стенкой одной и двух частиц. Были построены поля скоростей и линии тока для различных случаев осаждения частиц вблизи плоской стенки. Линии тока для одной частицы, осаждающейся на стенку, изображены на рис. 5. Линии тока при осаждении на плоскость приняли вид замкнутых кривых, что соответствует образованию замкнутой вихревой нити вокруг частицы, расположенной в плоскости, перпендикулярной скорости осаждения частицы.

Рис. 5. Линии тока для одной частицы, движущейся под действием внешней силы вблизи плоской стенки. Направление силы - перпендикулярно стенке, расстояние от центра частицы до стенки - пять радиусов. Стрелкой показана скорость самой частицы.

чччччччч'чччччччч

Стрелками показаны скорости частиц.

Риг. 7. Линии тока дпя двух частиц, осаждающихся на плоскую стенку. Расстояние между центрами частиц - пять радиусов, от центров частиц до стенки - два радиуса.

Стрелками показаны скорости частиц

Также было рассмотрено движение двух частиц вблизи плоской поверхности. При осаждении на плоскую стенку двух сферических частиц, вокруг них также образуется замкнутая вихревая нить (рис. 6). Однако при приближении к стенке картина усложняется (рис. 7). В области между частицами образуется новое вихревое поле, имеющее грибовидную форму. Это приводит к тому, что направление вращения частиц при приближении к плоской стенке меняется на противоположное, что ранее не было известно.

Исследовалось также движение двух частиц параллельно плоской стенке. В этом случае появляется поперечная составляющая скорости, направленная перпендикулярно действующей внешней силе Эта поперечная составляющая приводит к отдалению частиц от стенки. В диссертации такое поведение частиц объясняется гидродинамическим взаимодействием с плоскостью.

Основные результаты

В диссертационной работе получены следующие основные результаты

• разработан метод и его программная реализация для численного расчета динамики конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости с учетом их гидродинамического взаимодействия;

• полученные с помощью метода результаты для частных случаев движения одной, двух, трех, четырех и нечетного числа частиц, расположенных на прямой, хорошо согласуются с известными результатами, полученными другими методами;

• рассчитана скорость осаждения для различных конфигураций случайно расположенных частиц, образующих облако из 1-110 частиц;

• получена зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке; показано, что скорость осаждения увеличивается с ростом числа частиц, причем во всех случаях наибольшая скорость наблюдается у частицы, находящейся внутри облака;

• разработан метод и его программная реализация для численного расчета динамики конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости при наличии твердой плоской поверхности; метод сводит задачу о взаимодействии частицы со стенкой к задаче о взаимодействии двух частиц;

• показано, что наличие стенки качественно меняет динамику частиц но сравнению со случаем безграничной жидкости, в частности наличие стенки приводит к появлению вихревых течений и поперечных перемещений, что не наблюдалось при осаждении частиц в безграничной жидкости.

Следует отметить финансовую помощь Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №01-01-00435, №04-01-00607), позволившую ускорить выполнение работы и написание диссертации.

Список цитируемой литературы

1. Stimson М. The motion of two spheres in a viscous fluid / M. Stimson, G. B. Jeffrey // Proc. Roy. Soc. - 1926. - Ser. A. - V. 111. - P. 110-116.

2. Хаппелъ Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хап-пель, Г. Бреннер; перевод с англ. В. С. Бермана и В. Г. Маркова; под ред. Ю. А. Буевича. - М.: Мир, 1976. - 630 с.

3. Durlofsky L. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles / L. Durlofsky, J. F. Brady, G. Bossis // J. Fluid. Mech. - 1987. - V. 180, -P. 21-49.

4. Ganatos P. A numerical solution technique for three-dimensional Stokes flows, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane / P. Ganatos, R. Pfeffer, S. Weinbaum // J. Fluid Mech. - 1978. - V. 84. P. 79111.

5. Zhao Y. Interaction of two touching spheres in a viscous fluid / Y. Zhao, R. H. Davis // Chem. Eng. Sci. - 2002. - V. 57. - P 1997-2006.

6. Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a plane surface // Chem. Eng. Sci. - 1961. - V. 16. - P. 242-251.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Баранов В. Е. Общее решение уравнений Стокса для движения твердой сферической частицы в произвольном потоке вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Труды Средневолжского мат. общ-ва. - 2003. -Т. 5. - № 1. - С. 280-292.

2. Баранов В. Е. Осаждение цепочки частиц в вязкой жидкости // Мат. межд. молод, науч. школы-конф. "Лобачевские чтения - 2002". - Казань: изд-во Казанского мат. об-ва, 2002. - С. 8-9.

3. Baranov V. Е. Sedimentation of a large number of particles in viscous fluid / V. E. Baranov, I. P. Boriskina, S. I. Martynov // Int. summer sci. school "High Speed Hydrodynamics - 2002". - Cheboksary, 2002. - P. 425-428.

4. Баранов В. E. Осаждение большого числа частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, И П. Борискина, С. И. Мартынов // Тез. докл. Межд. летней науч. школы "Гидродинамика больших скоростей - 2002". - Чебоксары, 2002. С. 34-35.

5. Варанов В. Е. Осаждение конечного числа твердых сферических частиц в вязкой жидкости. / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Труды Средне-волжского мат. общ-ва, 2002. - Т. 5. - № 1. - С. 300-309.

6. Баранов В. Е. Изменение формы осаждающихся структур под влиянием гидродинамического взаимодействия // Мат. всероссийской молод, науч. школы-конф. "Лобачевские чтения - 2003". Казань: изд-во Казанского мат. общ-ва, 2003. - С. 73-74.

7. Баранов В. Е. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Изв. РАН. МЖГ. - 2004. - № 1. - С. 152-164.

8. Баранов В. Е. Осаждение облака случайно расположенных частиц // Мат науч. конф. "Огаревские чтения - 2003". Саранск: изд-во Мордов. ун-та,

2003. - С. 182-183.

9. Баранов В. Е. Движение твердой частицы в вязкой жидкости вблизи плоской поверхности / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Мат. XVII сессии межд. школы по моделям механики сплошной среды. Казань: изд-во Казанского мат. об-ва, 2004. С. 42-46.

10. Baranov V. Е. Sedimentation of particles on the plane / V. E. Baranov, S. I Martynov // Int. summer sei. school "High Speed Hydrodynamics - 2004". - Cheboksary, 2004. - P. 297-300.

11. Баранов В. E. Осаждение на плоскость частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Тез. докл. межд. летней науч. школы "Гидродинамика больших скоростей - 2004". - Чебоксары, 2004. - С 35-36.

12. Баранов В. Е. Гидродинамическое взаимодействие частиц с плоскостью / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Труды Средневолжского мат. общ-ва,

2004. - Т. 6. - № 1. - Р. 266-271.

Подписано в печать 17.11.05. Объем 1,0 п.л.

Тираж 100 экз Заказ № 133. Типография Полиграф, ИП Ковалева Е Н. 430000, г. Саранск, ул. Рабочая, 155

№25 58g

РНБ Русский фонд

2006-4 29804

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Баранов, Виталий Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНАЯ ЧАСТИЦА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

1.1. Постановка задачи.

1.2. Решение в виде мультиполы-юго разложения.

1.3. Обтекание неподвижной частицы однородным потоком.

1.4. Обтекание неподвижной частицы линейным потоком.

1.5. Обтекание неподвижной частицы квадратичным потоком.

1.6. Обтекание неподвижной частицы кубическим потоком.

1.7. Обтекание неподвижной частицы потоком произвольной степени.

1.8. Движение частицы в заданном полиномом потоке.

ГЛАВА 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ.

2.1. Взаимодействие двух частиц.

2.2. Взаимодействие любого конечного числа частиц.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Выражения для скорости и давления.

2.2.3. Преобразование граничных условий.

2.3. Численное моделирование движения частиц.

2.3.1. Движение двух частиц.

2.3.2. Динамика трех частиц.

2.3.3. Динамика четырех частиц.

2.3.4. Скорости осаждения нечетного числа частиц.

2.3.5. Осаждение различных частиц.

2.4. Численное моделирование движения цепочки частиц.

2.5. Численное моделирование осаждения облака частиц.

2.5.1. Средняя скорость осаждения.

2.5.2. Распределение по скоростям

2.5.3. Двумерное облако.

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ПЛОСКОЙ СТЕНКОЙ.

3.1. Постановка задачи и форма записи решения.

3.2. Определение тензорных коэффициентов.

3.3. Численное моделирование движения частиц вблизи стенки.

3.3.1. Движение одной частицы вблизи стенки.

3.3.2. Динамика двух частиц вблизи стенки.

Введение диссертация по механике, на тему "Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц в вязкой жидкости"

Диссертация посвящена исследованию гидродинамического взаимодействия частиц в потоке вязкой жидкости и влиянию этого взаимодействия на динамику самих частиц. Как известно, в системе "жидкость+частицы" существуют два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими на частицы. Примером таких сил могут служить силы, обусловленные наличием зарядов или дипольных моментов у частиц. Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц в жидкости. Распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц, если только они не находятся очень далеко. Соответственно, имеется влияние на распределение напряжений в жидкости у поверхности какой-либо ^ частицы и, следовательно, на ее поступательное и вращательное движения, то есть на динамику самих частиц. В свою очередь, движение частиц меняет поток жидкости. Таким образом, гидродинамическое взаимодействие влияет ф на течение жидкости с частицами в целом и, соответственно, на все процессы, происходящие в такой системе и обусловленные гидродинамикой.

Актуальность рассматриваемой проблемы связана как с практикой создания новых материалов на основе вязкой жидкости, в которой частицы образуют определенную микроструктуру, так и с теорией моделирования поведения таких сред. В качестве примера можно привести коллоидные кристаллы, свойства которых активно изучаются в последние годы (Kegel [48], Koch [51], Pussey [60], Trau, Saville [75], и др.). Частичный обзор методов моделирования таких сред выполнен в работе Sommerfeld [70]. Корректное описание поведения таких сред невозможно без учета гидродинамического взаимодействия частиц, поэтому ему и уделяется особое внимание в некото-41 рых работах (например, Hofman, Clercx [39], Ladcl [53], Yamamoto [79]).

В различное время создавались разнообразные методы моделирования движения жидкостей, содержащих твердые частицы. Как известно, рассмотрение движения одиночной частицы в неограниченной жидкости было вы-# полнено еще Стоксом [101]. В дальнейшем успешно решались задачи обтекания частиц различными потоками [64], задачи движения несферических частиц [6,25,46,77,80].

Значительно сложнее оказалась задача о моделировании гидродинамического взаимодействия и движения под действием этого взаимодействия двух и более частиц в вязкой жидкости. В разное время предлагались разные подходы к этой проблеме. Метод отражений, впервые предложенный Смолу-ховским [68], получивший дальнейшее развитие в работах Факсена [28], Кин-№ ча [52], Вакии [76], заключается в последовательном вычислении отраженных полей от поверхностей всех тел, погруженных в жидкость. Метод отражений ф позволил получить хорошее аналитическое решение задачи о взаимодействии двух частиц и задачи о взаимодействии одной частицы и плоской стенки работы Факсена [28], Бреннера [18] и др.). Однако процедура этого метода оказалась достаточно сложна, так что уже для трех частиц было получено решение только для частного случая их расположения.

Поскольку решение общей задачи о взаимодействии нескольких сферических частиц оказалось довольно сложной проблемой, было развито несколько частных методов. Стимсон и Джеффри [71], используя биполярные координаты, получили точное решение для двух частиц, движущихся вдоль их линии центров. Gluckman [31,32] развил процедуру моделирования осесимметричного течения вокруг группы частиц, что позволило ему найти коэффициенты сопротивления для каждой из нескольких частиц при обтекании их однородным потоком, параллельным их линии центров. Leichtberg и др. [54] рассматривали проблемы устойчивости соосного движения группы частиц.

В работах Ganatos, Kim, Schmitz и др. [20,29,42,44,49,65] рассматривалось решение задачи о двух частицах через нахождение матрицы подвижности. В результате описанного в этих работах метода в большинстве случаев получалась система линейных уравнений, которая затем численно решалась. Решение находилось с большой точностью. Были найдены некоторые особенности решения, например, Бэтчелор [5] определил, при каком расстоянии между центрами двух одинаковых частиц достигается минимум сопротивления при движении этих частиц перпендикулярно линии центров.

Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии многих частиц. Были предложены различные способы, как это можно сделать [19,30,35,58,63,7274]. Hocking [38] смог объяснить многие наблюдаемые эффекты, например, периодичность движения четырех частиц, расположенных в виде квадрата (в настоящей диссертации эта задача рассмотрена в главе 2). Бэтчелор с помощью статистических методов активно развивал метод парных взаимодействий [1-3], что позволило ему определять средние свойства суспензии, в которой случайно распределены частицы. Этот метод непосредственно использует решение задачи о взаимодействии двух частиц и целиком основан на предположении о маловероятности события, что три и более частицы окажутся поблизости друг от друга. Вследствие этого предположения его результаты оказались применимы только для слабоконцентрированных суспензий.

Метод стоксовой динамики, развитый в работах Bossis, Brady, Durlofsky [8-17,27], с самого начала развивался главным образом как численный метод. Процедура расчета этим методом основана на разбиении поверхности каждой частицы на сегменты с последующим вычислением средней плотности поверхностных сил, действующих со стороны жидкости на каждый из таких сегментов. Метод стоксовой динамики продолжает развивается в настоящее время и позволяет численно решать задачи о гидродинамическом взаимодействии нескольких частиц с приемлемой точностью.

Метод ячеечного уравнения Больцмана, представленный в работах Heemels [36], Nourgaliev [57] и др., основан на использовании результатов кинетической теории газов. Это довольно общий метод, позволяющий кроме описания течения жидкости при малых числах Рейнольдса описывать процессы переноса тепла, описывать обтекание тел со сложной геометрией. Минусом этого метода является его сложность.

При разработке всех вышеперечисленных методов описания гидродинамического взаимодействия частиц предполагалась малость числа Рейнольдса. Из литературы [95] известно, что при числе Рейнольдса Re < 1 решение Стокса для одной частицы довольно хорошо приближает решение уравнения Навье-Стокса. Вместе с тем известны работы [21,81,107,108], в которых рассматривается течение при умеренных числах Рейнольдса.

Метод конечных элементов (например, работы Behr [7], Ни [40]) использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Этот метод позволяет находить решения при любых числах Рейнольдса, а не только при малых. Недостатком этого метода является очень большое количество вычислений и необходимость работать с большими объемами данных. Даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц остается трудной задачей.

Таким образом, не существует достаточно точного и при этом несложного метода, позволяющего моделировать взаимодействие любого конечного числа частиц. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа частиц, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Исследуя движение жидкости, содержащей частицы, обычно рассматривают либо обтекание тел потоком жидкости, скорость которого отлична от нуля на бесконечности [5,9,16,32]; либо движение тел под действием внешнего силового поля в покоящейся на бесконечности жидкости [1,17,38,41,45,47]; либо движение тел под действием внешнего силового поля в жидкости, скорость которой на бесконечности отлична от нуля [55,76,109,110]. В настоящей диссертации наибольшее внимание уделяется осаждению тел в жидкости под действием внешней силы тяжести, однако также рассматриваются и некоторые задачи обтекания.

В диссертации на основе аналитического метода Мартынова [102-106] разработана аналитическая процедура и создана компьютерная программа для численного решения задачи о взаимодействии конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости. Процедура метода достаточна проста и позволяет на обычном персональном компьютере реализовывать вычисления для системы, включающей до полутора сотен взаимодействующих частиц в вязкой жидкости. На более мощных компьютерах число частиц можно увеличить как минимум на порядок.

В главе 1 рассматривается задача о единичной сфере в потоке неограниченной вязкой жидкости, скорость которой на бесконечности представляется в виде полинома произвольной конечной степени по координатам. Предполагается, что движение происходит при малых числах Рейиольдса. Решение уравнений Стокса представляется в виде рядов по мультиполям. Рассмотрены частные случаи движения частицы в однородном, линейном, квадратичном и кубическом по координатам потоке вязкой жидкости. Для случая потока произвольной степени получены общие формулы для коэффициентов, входящих в мультипольиые разложения для скорости и давления.

В главе 2 дается постановка задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа частиц в вязкой жидкости. Используя математический аппарат, разработанный в главе 1. создана процедура, позволяющая записать решение задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости в форме, подобной случаю единичной сферы. В результате серии преобразований получена система линейных уравнений, решение которой позволяет определить все неизвестные коэффициенты, входящие в разложения для скорости и давления в жидкости, а также вычислить линейную и угловую скорости каждой частицы. В пункте 2.1 эта процедура описана для случая двух частиц, в пункте 2.2 сделано обобщение на случай произвольного конечного числа частиц.

В пункте 2.3 говорится об основной проблеме, связанной с применением описанного в настоящей работе метода для моделирования гидродинамического взаимодействия частиц. Эта проблема связана с тем, что для большого числа частиц требуется решать системы, состоящие из большого числа линейных уравнений. Выход из,- этого .^затруднения был найден с созданием специализированной программы для персонального компьютера, которая составляет и решает системы уравнений, позволяя определять линейные и угловые скорости частиц в данной конфигурации, а также отслеживать движение частиц в динамике.

Разработанная программа численного моделирования тестировалась на задачах, решение которых получено другими методами. В частности, для задачи о двух частицах было проведено сравнение с методом отражений и точным решением. Сравнение показало, что при достаточно небольшом количестве слагаемых в мультипольных разложениях, метод, предложенный в диссертации, дает хорошее согласие с точным решением Стимсона и Джеффри [71] и с известными его приближениями, представленными в работах Бэт челора, Бреннера, Кинча, Сох и др. [4,5,18,20,24,25,33,52,55,76,77,96-100].

В работе рассматривался случай, когда частицы равных радиусов расположены в вершинах некоторого правильного многоугольника и движутся под действием равных по величине и направлению внешних сил, перпендикулярных плоскости этого многоугольника. Проведенные в настоящей работе вычисления подтвердили выводы Durlofsky, Brady, Bossis [27] и Jayaweera [41] о том, что линейные скорости частиц также будут перпендикулярны плоскости многоугольника и равны по величине. Это приводит к тому, что с течением времени положение частиц относительно друг друга не будет меняться. В диссертации подробно рассмотрены конфигурации из трех частиц, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, и конфигурации из четырех частиц, центры которых расположены в вершинах квадрата. Изучена зависимость коэффициента сопротивления от стороны правильного треугольника (в случае трех частиц) и квадрата (в случае четырех частиц). Полученные результаты хорошо согласуются с известными, полученными Durlofsky [27], Ganatos [29], Gluckman [31,32]. Если четыре частицы расположены в вершинах квадрата, и начинают движение под действием внешней силы, направленной вдоль одной из сторон квадрата, то относительное движение частиц становится периодичным, что тоже хорошо согласуется с известными результатами (впервые эту задачу рассматривал Hocking [38], позднее она также решалась методом стоксовой динамики в работе Durlofsky [27]).

Был рассмотрен случай осаждения двух частиц одинакового размера, но разной плотности. Такой случай экспериментально исследовался в работе Zhao, Davis [82]. Результаты моделирования, проведенные по разработанному в диссертации методу, хорошо согласуются с экспериментом до момента . контакта частиц. После этого наблюдается расхождение с экспериментальными данными. Это можно объяснить тем, что в рассматриваемой модели не учитываются силы не гидродинамической природы, которые сказываются при близком расположении частиц. Кроме этого, частицы в эксперименте были не идеально гладкие. Имеющиеся шероховатости на частицах также сказываются на их движении вблизи точки контакта, ф В пункте 2.4 рассмотрено движение трех частиц, на которые наложены связи, оставляющие расстояние между соседними частицами постоянным и не мешающие вращательному движению частиц (цепочка частиц). Показано, что в случае, когда частицы расположены вдоль прямой, перпендикулярной направлению действия внешней силы, имеется предельное положение конфигурации, при котором крайние частицы сближаются. Для частиц, центры которых расположены вдоль прямой, образующей острый угол с силой тяжести, наблюдается процесс циклического сворачивания - разворачивания ф цепочки.

В пункте 2.5 описано использование разработанного метода для моде-ф лирования динамики большого числа взаимодействующих частиц. Рассматривалось осаждение большого числа одинаковых сферических частиц (обла

0V ко), падающих в вязкой жидкости под действием силы тяжести. Численное моделирование задачи выполнено для различных конфигураций случайно расположенных частиц, образующих облако из 1-110 частиц. Получена зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в ® облаке. Зависимость от концентрации обусловлена гидродинамическим взаимодействием частиц, влияние которого сводится к изменению распределения скорости жидкости вокруг движущейся частицы. Учет только парных взаимодействий частиц, проведенный в работе Бэтчелора [1-3] дает вклад в выражение для средней скорости осаждения в виде слагаемого, пропорционального концентрации частиц в первой степени. Очевидно, что учет многочастичных взаимодействий должен привести к другой зависимости средней скорости осаждения от концентрации. Однако при этом возникают определенные математические трудности. А именно, возникает проблема нахожде-| ния решения уравнений движения жидкости, удовлетворяющего граничным условиям на частицах, когда число частиц достаточно большое. Так в работах Мартынова [102-106] показано, что даже решение задачи о гидродинамиче-Ф ском взаимодействии трех частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих частиц. Это связано с тем, что условия для скорости жидкости на поверхности каждой частицы являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. Из-за этого в граничных условиях для скорости нельзя отделить результат гидродинамического взаимодействия выделенной частицы с какой-либо другой частицей от результата взаимодействий этой же выделенной частицы со всеми остальными частицами. Именно поэтому решение задачи о гидродинамическом взаимодействии трех и более частиц нельзя представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации частиц. Погрешность представления гидродинамического взаимодействия всех частиц в виде их парных взаимодействий тем больше, чем больше число частиц, участвующих в таком взаимодействии. Этим объясняется расхождение ф интегралов, возникающее при попытке учесть взаимодействие бесконечного числа частиц, суммируя результат их парных взаимодействий (как в работах Бэтчелора [1,4]).

В работе Мартынова [106] показано, что корректный учет гидродинамического взаимодействия большого числа частиц, помещенных в поток вязкой жидкости, с ростом числа взаимодействующих частиц приводит сначала к количественным, а затем и к качественным изменениям свойств решения уравнений гидродинамики. В диссертации была рассмотрена задача об опре-, делении средней скорости осаждения конечного числа частиц, случайно расположенных в ограниченной области жидкости, с учетом их гидродинамиче-Ф ского взаимодействия. Решение этой задачи позволило получить зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке.

I J j ffi

Полученные результаты подтверждают вывод, вытекающий из результатов работы [106]: средняя скорость осаждения для облака, состоящего из конечного числа частиц, должна увеличиваться с ростом числа частиц и с ростом концентрации. Это вытекает из условия, что с ростом числа частиц должен уменьшаться скалярный коэффициент, связывающий скорость осаждения и силу, действующую на частицу. Так как при осаждении частиц на них действует сила тяжести, то из условия постоянства силы получим, что скорость частицы обратно пропорциональна этому коэффициенту. Отсюда следует вывод, что с ростом числа частиц должна увеличиваться их скорость осаждения.

Аналогичный вывод следует и из метода отражений (например, работа Смолуховского [68]). Однако количественные значения существенно расходятся. Это связано, как было указано выше, с представлением гидродинамического взаимодействия частиц в виде парных взаимодействий. Кроме средней скорости частиц, интерес также представляет нахождение распределения частиц по скоростям в осаждающемся облаке. В диссертации приведены некоторые характеристики нескольких случайных конфигураций облака. Во всех рассмотренных случаях частица, обладающая наибольшей скоростью, находилась внутри облака, а частица с наименьшей скоростью - на его крае.

В главе 3 рассмотрена задача о движении частиц в вязкой жидкости при наличии плоской твердой стенки. Аналогичная задача решалась в работах Бреннера [18,100], Cooley [22], Neill [59], Zeng [81]. Основная трудность этой задачи заключается в том, что необходимо получить решение, удовлетворяющее граничным условиям на двух геометрически разных поверхностях: сфере и плоскости. Известные методы решения задачи о взаимодействии частицы с плоскостью довольно сложно применить для случая большого числа взаимодействующих частиц.

В пунктах 3.1 и 3.2 предложен метод, позволяющий представить взаимодействие частицы и твердой плоской стенки как взаимодействие двух частиц: реальной и фиктивной. Реальная частица является реально существующей, и на ней рассматривается граничное условие. Фиктивная частица ф симметрична реальной относительно стенки, она реально не существует, а служит лишь для упрощения записи выражений. Однако такой прием позволяет использовать ту же форму записи решения задачи о взаимодействии сферической частицы и плоской стенки, какая была в случае взаимодействия двух частиц в неограниченной жидкости. То есть, появляется возможность использовать разработанный в главе 2 метод моделирования взаимодействия конечного числа частиц в неограниченной жидкости. Решение, которое получается в результате, точно удовлетворяет граничному условию на плоской ф, стенке и приближенно - на поверхности реальной частицы.

В пункте 3.3 приведены результаты численного моделирования взаи-Ф модействия плоской стенки с одной и двумя частицами. Было выяснено, что результаты предложенного метода достаточно хорошо совпадают с известныа ми, полученными другими методами, когда частица находится на расстоянии от стенки 1.5 радиуса или дальше. При меньших расстояниях уменьшается скорость сходимости мультипольного разложения, являющегося частью предложенного в диссертации метода. Поэтому для сохранения приемлемой точности в случае почти касающихся частицы и стенки требуется увеличивать число членов в мультипольном разложении, что приводит к значительному увеличению объема вычислений.

Для одиночной частицы, осаждающейся на плоскость, были получены результаты, показывающие, что взаимодействие с плоскостью качественно меняет картину обтекания частицы жидкостью по сравнению со случаем осаждения на неподвижную сферическую поверхность. В частности, были построены поле скоростей и линии тока при движении частицы перпендикулярно плоской стенке. Линии тока при осаждении на плоскость в некоторой области жидкости приняли вид замкнутых кривых, что соответствует образованию замкнутой вихревой нити вокруг частицы, расположенной в плоскости перпендикулярной скорости осаждения частицы. При движении частицы вихревая нить движется вместе с ней. Такое вихревое поле не встречалось в других случаях движения одиночной частицы при отсутствии плоскости.

Рассмотрено движение двух частиц вблизи плоской поверхности. При осаждении на плоскую стенку двух сферических частиц, вокруг них также образуется замкнутая вихревая нить. Однако при приближении к стенке картина усложняется. В области между частицами образуется новое вихревое поле, имеющее грибовидную форму. Это приводит к тому, что направление вращения частиц при приближении к плоской стенке меняется на противоположное, что ранее было неизвестно.

При движении двух частиц параллельно плоской стенке картина также принципиально меняется по сравнению со случаем двух частиц в неограниченной жидкости, а именно: появляется поперечная составляющая скорости, направленная перпендикулярно действующей внешней силе. Эта поперечная составляющая приводит к отдалению частиц от стенки. Из литературы известно, что такой поперечной составляющей не возникает ни при движении двух частиц в неограниченной жидкости, ни при движении одной частицы вблизи плоской стенки. Подобную поперечную составляющую дает введение инерционных слагаемых в уравнения движения жидкости [61,62]. Однако, как показывают результаты работ Segre, Johnson [45,66,103], гидродинамическое взаимодействие качественно меняет динамику частиц и приводит к появлению сил, направление которых зависит от относительного положения частиц.

В заключении делаются выводы о практическом значении выполненного исследования и формулируются основные результаты диссертации.

Научная новизна результатов заключается в следующем:

• Разработан новый метод расчета гидродинамического взаимодействия конечного числа частиц с неподвижной плоской стенкой. Данный метод сводит указанную задачу к задаче расчета взаимодействия частиц в неограниченной жидкости.

• Разработан программный комплекс, включающий в себя: программу автоматической генерации и решения системы определяющих уравнений; программу расчета полей скоростей и давлений в жидкости, гидродинамических сил и моментов, действующих на каждую частицу; модуль визуализации движения частиц в потоке.

Достоверность полученных результатов следует из того, что они основаны на общих законах и уравнениях механики жидкости и обеспечиваются строгими математическими выкладками, выводами и оценками, сопоставлением решений задач, полученных различными методами, совпадением в частных случаях количественных результатов с результатами работ других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют глубже понять механизм гидродинамического взаимодействия частиц и имеют широкий спектр применения на практике. В частности, разработанная модель может быть использована при расчете процессов коагуляции, сепарирования, седиментации в суспензиях, аэрозолях, коллоидных системах во внешних силовых полях различной природы.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Получена зависимость средней скорости осаждения частиц в трехмерном облаке от их числа и концентрации.

• Обнаружено, что при осаждении частиц вблизи стенки в жидкости возникают вихревые структуры, а частицы приобретают поперечную составляющую скорости.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на Международной летней школе по гидродинамике больших скоростей (г. Чебоксары, 2002 г.; 2004 г.), международной школе по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004 г.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2002— 2003 гг.), на конференциях Средневолжского математического общества (Саранск, 2002-2004 гг.), на научных семинарах НИИ математики и механики при Казанском университете (Казань, 2004-2005 гг.), на семинаре Института механики МГУ (Москва, 2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, приведенных в списке литературы.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены задачи моделирования гидродинамического взаимодействия частиц в потоке вязкой жидкости и влияния этого взаимодействия на движение самих частиц. Разработанная математическая модель и ее программная реализация могут быть использованы для изучения процессов, происходящих в дисперсных системах и связанных с гидродинамическим взаимодействием частиц. При этом допускается наличие внешнего гравитационного или электромагнитного поля. Однако имеются и некоторые ограничения. При построении модели предполагалось, что жидкость несжимаема, а число Рейнольдса мало. Основные результаты работы заключаются в следующем:

• показано, что наличие стенки качественно меняет динамику частиц по сравнению со случаем безграничной жидкости, в частности, наличие стенки приводит к появлению вихревых течений и поперечных перемещений, чего не наблюдается при осаждении частиц в безграничной жидкости.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Баранов, Виталий Евгеньевич, Саранск

1. Batchelor G. К. Sedimentation in dilute dispersion of spheres /• G. K. Batchelor // J. Fluid Mech. 1972. - V. 52. - P. 245 - 268.

2. Batchelor G. K. Sedimentation in dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory / G. K. Batchelor // J. Fluid Mech. 1982. -V. 119. - P. 379 -408.

3. Batchelor G. K. Sedimentation in dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results / G. K. Batchelor, C. S. Wen //J. Fluid Mech. 1982. - V. 124. - P. 495 - 528.

4. Batchelor G. K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2 / G. K. Batchelor, J. T. Green //J. Fluid Mech. 1972. - V. 56. - P. 401 - 427.

5. Batchelor G. K. The hydrodynamic interaction of two small freely-movingspheres in a linear flow field / G. K. Batchelor, J. T. Green //J. Fluid Mech.- 1972. -V. 56. P. 375 - 400.

6. Batchelor G. K. Slender-body theory for particles of arbitrary cross-section in Stokes flow / G. K. Batchelor // J. Fluid Mech. V. 56. - P. 375 - 400.

7. Behr M. Finite element solution strategies for large-scale flow simulations / M. Behr, Т. E. Tezduyar // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1994.- V. 112. P. 3 - 24.

8. Bossis G. Diffusion and rheology in concentrated suspensions by Stokesian dynamics / G. Bossis, J. F. Brady // Hydrodynamics of Dispersed Media; eds. J.-P. Hulin, A. M. Cazabat, E. Guyon, F. Carmona. Amsterdam: North-Holland, 1990.

9. Bossis G. Dynamic simulation of sheared suspensions. I. General Method /

10. G. Bossis, J. F. Brady // J. Chem. Phys. 1984. - V. 80. - P. 5141 - 5154.

11. Bossis G. Hydrodynamic stress on fractal aggregates of spheres / G. Bossis, A. Meunier, J. F. Brady //J. Chem. Phys. 1991. - V. 94. - P. 5064 - 5070.

12. Bossis G. Self-diffusion of Brownian particles in concentrated suspensions under shear / G. Bossis, J. F. Brady // J. Chem. Phys. 1987. - V. 87. P. 5437 - 5448.

13. Bossis G. Shear-induced structures in colloidal suspensions. I. Numerical ф simulation / G. Bossis, J. F. Brady, C. Mathis //J. Colloidal Interface Sci.- 1988. V. 126. - P. 1 - 15.

14. Brady J. F. Stokesian dynamics / J. F. Brady, G. Bossis // Ann. Rev. Fluid Mech. 1988. - V. 20. - P. Ill - 157.

15. Brady J. F. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation / J. F. Brady, G. Bossis // J. Fluid Mech.- 1985. -V. 155. P. 105 - 129.

16. Brady J. F. The sedimentation rate of disordered suspensions / J. F. Brady, L. J. Durlofsky j I Phys. Fluids. 1988. - V. 31. - P. 717 - 727.

17. Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a• plane surface / H. Brenner // Chem. Eng. Sci. 1961. - V. 16. - P. 242 - 251.

18. Chwang A. T. Hydromechanics of low Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flows / A. T. Chwang, Y. T. Wu // J. Fluid Mech. 1975. - V. 67. - P. 787 - 815.

19. Cichocki B. Hyclrodynamic interactions between two spherical particles / B. Cichocki, B. U. Felderhof, R. Schmitz 11 Phys. Chem. Hyd. 1988. -V. 10. - P. 383 - 403.

20. Climent E. Numerical simulations of random suspensions at finite Reynolds numbers / E. Climent, M. R. Maxey 11 Int. J. Multiphase Flow. 2003. -V. 29. - № 4. - P. 579 - 601.

21. Cooley M. D. A. On the slow motion generated in a viscous fluid by the approaching of a sphere to a plane wall or a stationary sphere /• M. D. A. Cooley, M. E. O'Neill. // Mathematika. 1969. - V. 16. - P. 37 - 49.

22. Cooley M. D. A. On the slow motion of two spheres in contact along their line of centres through a viscous fluid / M. D. A. Cooley, M. E. O'Neill // Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. - V. 66. - P. 407 - 415.

23. Cox R. G. Instability of sedimenting bidisperse suspensions / R. G. Cox // Int. J. Multiphase Flow. 1990. - V. 16. - № 4. - P. 617 - 638.

24. Cox R. G. The steady motion of a particle of arbitrary shape at small Reynolds numbers / R. G. Cox // J. Fluid Mech. 1965. - V. 23. - P. 625• 643.

25. Ding J. M. Sedimentation velocity and potential in a suspension of charge-regulating colloidal spheres / J. M. Ding, H. J. Keh // Journal of Colloid and Interface Science. 2001. - V. 243. - P. 331 - 341.

26. Ф 27. Durlofsky L. J. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles / L. J. Durlofsky, J. F. Brady, G. Bossis // J. Fluid Mech. 1987. - V. 180. - P. 21 - 49.

27. Faxen H. Arkiv. Mat. Astron. Fys / H. Faxen. 1925. - V. 19A. - № 13. -P. 22.

28. Ganatos P. A numerical solution technique for three-dimensional Stokes flows, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane / P. Ganatos, R. Pfeffer, S. Weinbaum // J. Fluid Mech. 1978. -V. 84. - P. 79-111.

29. Glowinski R. Distributed Lagrange multiplier methods for incompressible viscous flow around moving rigid bodies / R. Glowinski, T. W. Pan, J. Periaux• // Comput. Methods App. Mech. Engng. 1998. - V. 151. - P. 181 - 194.

30. Gluckman M. J. Axisymmetric slow viscous flow past an arbitrary convex body of revolution / M. J. Gluckman, S. Weinbaum, R. Pfeffer // J. Fluid Mech. 1972. - V. 55. - Part 4. - P. 677 - 709.

31. Gluckman M. J. A new technique for treating multiparticle slow viscous flow: axisymmetric flow past spheres and spheroids / M. J. Gluckman, R. Pfeffer, S. Weinbaum // J. Fluid Mech. 1971. - V. 50. - P. 705 - 740.

32. Goldman A. J. The slow motion of two identical arbitrary oriented spheres through a viscous fluid / A. J. Goldman, R. G. Cox, H. Brenner // Chem. Eng. Sci. 1966. - V. 21. - P. 1151 - 1170.

33. Hansford R. E. On converging solid spheres in a highly viscous fluid / R. E. Hansford // Mathematika. 1970. - V. 17. - P. 250 - 254.

34. Hassonjee Q. Behavior of multiple spheres in shear and poiseuille flow fields at low Reynolds number / Q. Hassonjee, R. Pfeffer, P. Ganatos // Int. J. Multiphase Flow. 1992. - V. 18. - № 3. - P. 353 - 370.

35. Heemels M. W. Simulating solid colloidal particles using the lattice-Boltzmann method / M. W. Heemels, M. H. J. Hagen, C. P. Lowe // J. Сотр. Phys. 2000. - V. 164. - № 1. - P. 48 - 61.

36. Henderson J. R. Depletion interactions in colloidal fluids: statistical mechanics of Derjaguin's analysis / J. R. Henderson // Physica A: Statistical• and Theoretical Physics. 2002. - V. 313. - P. 321 - 335.

37. Ни H. H. Direct simulation of flows of solid-liquid mixtures / H. H. Hu // Int. J. Multiphase Flow. 1996. - V. 22. - № 2. - P. 335 - 352.

38. Jayaweera K. 0. L. F. The behaviour of clusters of spheres falling in a viscous fluid. Part 1. Experiment / K. 0. L. F. Jayaweera, B. G. Mason, G. W. Slack //J. Fluid Mech. 1964. - V. 20. - P. 121 - 128.

39. Jeffrey D. J. Calculation of the resistance and mobility functions for two unequal rigid spheres in low-Reynolds-number flow / D. J. Jeffrey, Y. Onishi• //J. Fluid Mech. 1984. - V. 139. - P. 261 - 290.

40. Jeffrey D. J. Low Reynolds-number flow between converging spheres / D. J. Jeffrey 11 Mathematika. 1982. - V. 29. - P. 58 - 66.

41. Jones R. B. Mobility matrix for arbitrary spherical particles in solution / R. B. Jones, R. Schmitz // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. -1988. V. 149. - P. 373 - 394.

42. Johnson A. A. Simulation of multiple spheres falling in s liquid-filled tube /

43. A. A. Johnson, Т. E. Tezduyar // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. -1996. -V. 134. P. 351 - 371.

44. Juarez L. H. Numerical simulations of the sedimentations of a tripole-like body in an incompressible viscous fluid / L. H. Juarez, R. Glowinski,

45. B. M. Pettitt // Applied Mathematics Letters. 2002. - V. 15. - № 6.• P. 743 747.

46. Kamel M. Т., Tory E. M. Sedimentation of clusters of identical spheres. I. Comparison of methods for computing velocities / M. T. Kamel, E. M. Tory // Powder Technol. 1989. - V. 59. - P. 227 - 248.

47. Kegel W. K. Crystallization in glassy suspensions of colloidal hard spheres / W. K. Kegel // Langmuir. 2000. - V. 16. - P. 939 - 941.- v 49. Kim S. The resistance and mobility functions of two equal spheres in low

48. Reynolds-number flow / S. Kim, R. T. Mifflin // Phys. Fluids. 1985.• V. 28. P. 2033 - 2045.

49. Kim S. Three dimensional flow over two spheres placed side by side / S. Kim, S. Elghobashi, W. A. Sirignano // J. Fluid Mech. 1993. - V. 246. - P. 465 -488.

50. Koch D. L. On hydrodynamic diffusion and drift in sheared suspensions / D. L. Koch // Phys. Fluids A. 1989. - V. 1. - P. 1742 - 1745.

51. Kynch G. L. The slow motion of two or spheres through a viscous fluid / G. L. Kynch // J. Fluid Mech. 1959. - V. 5. - P. 193 - 208.

52. Ladd A. J. C. Hydrodynamic Interactions in a Suspension of Spherical Particles / A. J. C. Ladd // J. Chem. Phys. 1988. - V. 88. - P. 5051 - 5063.

53. Lin C. J. Slow motion of two spheres in a shear field / C. J. Lin, K. J. Lee, N. F. Sather // J. Fluid Mech. 1970. - V. 43. - P. 35 - 47.

54. O'Neill M. E. On asymmetrical slow viscous flows caused by the motion of two equal spheres almost in contact / M. E. O'Neill // Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. - V. 65. - P. 543 - 556.

55. Nourgaliev R. R. The lattice-Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications / R. R. Nourgaliev, T. N. Dinh, T. G. Theofanous, D. Joseph // Int. J. Multiphase Flow. 2003. - V. 29. -P.117- 169.

56. Mazur P. Many sphere hydrodynamic interactions and mobilities in a suspension / P. Mazur, W. Saarloos // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1982. V. 115. - P 21 - 57.

57. O'Neill M. E. On the slow motion of a sphere parallel to a nearby plane wall / M. E. O'Neill, K. Stewartson // J. Fluid Mech. 1967. - V. 27. -P. 705 - 724.

58. Pusey P. N. Colloidal fluids, crystals and glasses / P. N. Pusey, W. van Megen, S. M. Underwood, P. Bartlett, R. H. Ottewill // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. - V. 2. - P. SA373 - SA377.

59. Rubinov S. I. The transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid / S. I. Rubinov, J. B. Keller // J. Fluid Mech. 1961. V. 11. - P. 447 -459.

60. Saffman P. G. The lift on a small sphere in a shear flow / P. G. Saffman // J. Fluid Mech. 1965. V. 22. - P. 385 - 400.

61. Sarrate J. Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation for fluid-rigid body interaction / J. Sarrate, A. Iiuerta, J. Donea // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2001. - Vol. 190. - № 24-25. - P. 3171 -3188.

62. Schmitz R. Creeping flow about a spherical particle / R. Schmitz, B. U. Felclerhof // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1978.- V. 92. P. 423-437.

63. Schmitz R. Mobility matrix for two spherical particles with hydrodynamic interaction / R. Schmitz, B. U. Felderhof // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1982. - Vol. 116. - P. 163 - 177.

64. Segre G. Behaviour of macroscopic rigid spheres in Poiseuille flow. Parts 1, 2 / G. Segre, A. Silberberg //J. Fluid Mech. 1962. - V. 14. - P. 115 - 157.

65. Sellier A. On the slow gravity-driven migration of arbitrary clusters of small solid particles / A. Sellier // Comptes-Rendus Mecanique. 2004. - V. 332.- P. 987 992.

66. Smoluchowski M. Bull. Inter, acad. Polonaise sci. lett / M. Smoluchowski. -1911. -V. 1A. P. 28.

67. Snook I. K. Hydrodynamic interactions and some new periodic structures in three particle sediments / I. K. Snook, К. M. Briggs, E. R. Smith // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1997. - V. 240 - P. 547 -559.

68. Sommerfeld M. Theoretical and experimental modelling of particulate flows / M. Sommerfeld // VKI Lecture Series. 2002. - № 6. - P. 1 - 63.

69. Stimson M. The motion of two spheres in a viscous fluid / M. Stimson, G. B. Jeffery // Proc. Roy. Soc. 1926. - Ser. A. - V. 111. - P. 110 - 116.

70. Takanashi T. Existence of strong solutions' for the problem of a rigid-fluid system / T. Takanashi // Comptes-Rendus Mecanique. 2003. - V. 336. -№ 5. - P. 453 - 458.

71. Tornberg A.-K. Simulating the dynamics and interactions of flexible fibers in Stokes flows / A.-K. Tornberg, M. J. Shelley //J. Сотр. Phys. 2004. -V. 196. - № 1. - P. 8 - 40.

72. Tran-Cong Т. Stokes problems of multiparticle systems: a numerical method for arbitrary flows / T. Tran-Cong, N. Phan-Thien // Phys. Fluids A. 1989. -V. l.-P. 453 -461.

73. Trau M. Assembly of colloidal crystals at electrode interfaces / M. Trau, D. A. Saville, I. A. Aksay // Langmuir. 1997. - V. 13. - P. 6375 - 6381.

74. Wakia S. Slow motion in shear flow of a doublet of two spheres in contact / S. Wakia // J. Phys. Soc. Japan. 1971. - V. 31. - P. 1581 - 1587.

75. Wakia S. Viscous flow past a spheroid / S. Wakia J. Phys. Sci. Jpn. - 1957. -V. 12. - P. 1130.

76. Wu J. Dynamics of dual particles settling under gravity / J. Wu, R. Manasseh // Int. J. Multiphase Flow. 1998. - V. 24. - P. 1343 - 1358.

77. Yamamoto R. A method to resolve hydrodynamic interactions in colloidal dispersions / R. Yamamoto, Y. Nakayama, K. Kim // Сотр. Phys Com. -2005. V. 169. - № 1 - 3. - P. 301 - 304.

78. Youngren G. K. Stokes flow past a particle of arbitrary shape: a numerical method of solution / G. K. Youngren, A. Acrivos // J. Fluid Mech. 1975.- V. 69. P. 377 - 403.

79. Zeng L. Wall-induced forces on a rigid sphere at finite Reynolds number / L. Zeng, S. Blachandar, P. Fischer // J. Fluid Mech. 2005. - V. 536. -P. 1 - 25.

80. Zhao Y. Interaction of two touching spheres in a viscous fluid / Y. Zhao, R. H. Davis // Chem. Eng. Sci. 2002. - V. 57. - P. 1997 - 2006.

81. Baranov V. E. Sedimentation of a large number of particles in viscous fluid / V. E. Baranov, I. P. Boriskina, S. I. Martynov // Int. summer sci. school "High Speed Hydrodynamics 2002". - Cheboksary. - 2002. - P. 425 - 428.

82. Baranov V. E. Sedimentation of particles on the plane / V. E. Baranov, S. I. Martynov // Int. summer sci. school "High Speed Hydrodynamics -2004". Cheboksary. - 2004. - P. 297 - 300.

83. Варанов В. E. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Изв. РАН. МЖГ. 2004. - № 1. - С. 152 - 164.

84. Баранов В. Е. Гидродинамическое взаимодействие частиц с плоскостью / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Труды Средневолжского мат. общ-ва.- 2004. Т. 6. - № 1. - Р. 266 - 271.

85. Баранов В. Е. Движение твердой частицы в вязкой жидкости вблизи плоской поверхности / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Мат. XVII сессии межд. школы по моделям механики сплошной среды. Казань : изд-во Казанского мат. об-ва, 2004. - С. 42 - 46.

86. Баранов В. Е. Изменение формы осаждающихся структур под влиянием гидродинамического взаимодействия / В. Е. Баранов // Мат. всероссийской молод, науч. школы-конф. "Лобачевские чтения 2003". - Казань : изд-во Казанского мат. общ-ва, 2003. - С. 73 - 74.

87. Баранов В. Е. Общее решение уравнений Стокса для движения твердой сферической частицы в произвольном потоке вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Труды Средневолжского мат. общ-ва. 2003. - Т. 5. - № 1. - С. 280 - 292.

88. Баранов В. Е. Осаждение большого числа частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, И. П. Борискина, С. И. Мартынов // Тез. докл. Межд. летней науч. школы "Гидродинамика больших скоростей 2002". - Чебоксары. - 2002. - С. 34 - 35.

89. Баранов В. Е. Осаждение конечного числа твердых сферических частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Труды Средне-волжского мат. общ-ва. 2002. - Т. 5. - № 1. - С. 300 - 309.

90. Баранов В. Е. Осаждение на плоскость частиц в вязкой жидкости /

91. B. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Тез. докл. межд. летней науч. школы "Гидродинамика больших скоростей 2004". - Чебоксары. - 2004.1. C. 35 36.

92. Баранов В. Е. Осаждение цепочки частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов // Мат. межд. молод, науч. школы-конф. "Лобачевские чтения -2002". Казань : изд-во Казанского мат. об-ва. - 2002. - С. 8-9.

93. Баранов В. Е. Осаждение облака случайно расположенных частиц / В. Е. Баранов // Мат. науч. конф. "Огаревские чтения 2003". - Саранск : изд-во Мордов. ун-та, 2003. - С. 182 - 183.

94. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор : пер. с англ. В. П. Вахомчика и А. С. Попова, под ред. Г. Ю. Степанова. М. : Мир, 1973. - 758 с.

95. Зинченко А. 3. Гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых жидких сфер в линейном поле течения / А. 3. Зинченко // Прикладная математика и механика. 1983. - Т. 47. - № 1. - С. 759 - 763.

96. Зинченко А. 3. К расчету гидродинамического взаимодейсвия капель при малых числах Рейнольдса / А. 3. Зинченко // Прикладная математика и механика. 1978. - № 5. - С. 955 - 959.

97. Зинченко А. 3. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде / А. 3. Зинченко // Прикладная математика и механика. -1980. Т. 44. - № 1. - С. 49 - 59.

98. Зинченко А. 3. Расчет близкого взаимодействия капель с учетом внутренней циркуляции и эффектов скольжения / А. 3. Зршченко // Прикладная математика и механика. 1981. - № 4. - С. 759 - 763.

99. Хаппелъ Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер : перевод с англ. В. С. Бермана и В. Г. Маркова; под ред. Ю. А. Буевича. М. : Мир, 1976. - 630 с.

100. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. / JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. -М. : Наука : Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 736 с.

101. Мартынов С. И. Взаимодействие частиц в суспензии / С. И. Мартынов. Казань : Казанское матем. общ-во, 1998. - 135 с.

102. Мартынов С. И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости / С. И. Мартынов // Изв. РАН. МЖГ. 2000. - № 1 -С. 84-91.

103. Мартынов С. И. Гидродинамическое взаимодействию и деформация капель/С. И.Мартынов / / Инж.-физ. ж. 2001. - Т. 74.-e3.-C. 155-160.

104. Мартынов С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц / С. И. Мартынов // Изв. РАН. МЖГ. .1998. - № 2. - С. 112 - 119.

105. Мартынов С. И. Течение вязкой жидкости через периодическую решетку сфер / С. И. Мартынов // Изв. РАН. МЖГ. 2002. - № 6. -С. 48 - 54.

106. Мазо А. Б. Задачи внешнего обтекания тел несжимаемой жидкостью при умеренных числах Рейнольдса / А. Б. Мазо // Актуальные проблемымеханики сплошной среды. Казань : ИММ КазИЦ РАН, 2001. - С. 192 -207.

107. Налетова В. А. Исследование течения магнитной жидкости в трубе с учетом анизотропии жидкости в присутствии магнитного поля / В. А. Налетова, Ю. М. Шкель // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1988. - № 6. - С. 94 - 98.

108. Налетова В. А. Моделирование движения магнитов и немагнитных тел в ограниченных объемах магнитной жидкости / В. А. Налетова, А. С. Квитанцев, В. А. Турков // Труды института прикладной математики и механики НАН Украины. 2001. - Т. 6. - С. 90-91.

109. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2 т. Т. II / JI. И. Седов. М. : Наука : Гл. ред. физ-мат. лит., 1973. - 584 с.