Теория движения и взаимодействия твердых сферических аэрозольных частиц во внешних полях с учетом поверхностных и объемных особенностей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хасанов Анис Саляхович

ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТВЕРДЫХ СФЕРИЧЕСКИХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ С УЧЕТОМ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ОБЪЕМНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Специальность: 01 04 02 - теоретическая физика

""ииьиабЭ

МОСКВА 2007

003060969

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского государственного областного университета

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Яламов Ю.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов В.М,

доктор физико-математических наук, профессор Поддоскин А В.; |

I

доктор технических наук I Беляев В.В.

Ведущая организация: Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана !

Защита состоится 04 июля 2007 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 при Московском государственном областном университете по адресу 105005 г. Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета. I

Автореферат разослан «_ 0) » Ш-йиЛ- 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор Богданов Д Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Проблема переноса аэрозольных частиц в газовых средах под действием внешнего поля имеет большое научное и прикладное значение В связи с этим важным является установление и изучение новых физических эффектов, играющих существенную роль при описании их движения. Диссертационная работа посвящена обобщению существующих теорий движения и взаимодействия твердых сферических аэрозольных частиц. В ней выбраны два направления для обобщения — учет поверхностных явлений и объемных особенностей частиц

Рассмотрение движения аэрозольных частиц при малых числах Кнудсена Л/а, где Я — средняя длина свободного пробега молекул газа, а — радиус частицы, можно вести гидродинамическим методом В настоящее время теория движения таких частиц подробно описана для различных случаев внешнего поля Движение частицы в поле постоянного на большом удалении от нее градиента температуры называется термофоретическим, и теория термофоретического движения построена с учетом широкого класса эффектов Движение частицы в поле оптического излучения называется фотофоретическим, и изучению теории фотофоретического движения также посвящено много работ Тем не менее, вопросы обобщения существующих теорий остаются актуальными

Одним из направлений для обобщения теории движения летучих сферических частиц является учет коэффициента испарения [1] Летучими называются частицы, на поверхности которых происходит фазовый переход (испарение или конденсация вещества частицы) Твердая летучая аэрозольная частица называется сублимирующей Особый интерес представляет теория движения сублимирующих неоднородных аэрозольных частиц. Под объемными особенностями в данной работе имеются в виду именно различные модели неоднородности частиц У неоднородной частицы коэффициент теплопроводности в каждой ее точке зависит от координат этой точки Если рассмотреть эту зависимость в сферической системе координат с началом в центре частицы, то для большого класса аэрозольных частиц зависимость их коэффициента теплопроводности к, от координаты г оказывается более существенной, чем зависимость от других координат В случае непрерывной зависимости к, = кг, (г) частица называется частицей с переменной внутренней теплопроводностью, и теория термофоретического и фотофоретического движений нелетучих аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью также была рассмотрена в ряде работ Если в общем случае зависимости к1 = к1 (г) решения могут быть записаны с помощью рекуррентных формул, то в случае экспоненциальной зависимости к, (г) = к, (0) ехр(Л; г/а), где к, - параметр, характеризующий

неоднородность частицы, решениям можно придать аналитический вид Поэтому под переменной внутренней теплопроводностью в данной работе имеется в виду экспоненциальная зависимость коэффициента теплопроводности от координаты г. Теория движения сублимирующих аэрозольных частиц во внешних полях с учетом коэффициента испарения и переменной внутренней теплопроводности ранее не рассматривалась

Важным направлением для обобщения теории термофоретического движения твердых сферических нелетучих аэрозольных частиц является учет гидродинамического эффекта [2] Гидродинамический метод, применяемый для описания движения аэрозольных частиц, основан на предположении о большой удаленности частиц друг от друга, при которой частица может рассматриваться как одиночная Если частицы расположены близко, то движущаяся частица генерирует в газовой среде поле скорости, влияющее на движение других частиц, и такие частицы называются гидродинамически взаимодействующими Обобщение теории движения гидродинамически взаимодействующих частиц с учетом их неоднородности является важной задачей в теории аэродисперсных систем К частицам с неоднородными теплофизическими свойствами относятся, кроме упомянутых частиц с переменной внутренней теплопроводностью, двухслойные частицы Обобщением модели двухслойной частицы является модель многослойной частицы В настоящее время движение однородных частиц с учетом гидродинамического эффекта подробно описано в литературе Теория термофоретического движения аэрозольных частиц, в которой одновременно учитываются гидродинамический эффект и упомянутые выше объемные особенности, также ранее не рассматривалась

Среди систем взаимодействующих частиц наибольший интерес представляют системы из двух частиц (дублеты), а среди дублетов -дублеты из одинаковых частиц, движущихся вдоль линии их центров Такие дублеты обладают устойчивостью, а при движении вдоль линии центров наблюдается наибольшее взаимодействие частиц Поэтому в данной работе под дублетом имеется в виду пара одинаковых гидродинамически взаимодействующих частиц, движущихся вдоль линии их центров В случае однородных частиц в биполярной системе координат можно получить точное решение задачи о термофорезе двух сферических частиц, движущихся вдоль линии их центров Имеются также численные методы, позволяющие изучать гидродинамический эффект В случае же неоднородных частиц актуальной является разработка единого метода, позволяющего получить как точное решение задачи о термофорезе двух двухслойных, многослойных частиц и частиц с переменной внутренней теплопроводностью, так и формулы для практических расчетов

Целью данной работы является-

1 Описание термофоретического и фотофоретического движений

сублимирующих сферических аэрозольных частиц с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности

2 Разработка метода для решения задачи о термофорезе двух одинаковых твердых сферических аэрозольных частиц, движущихся вдоль линии их центров, позволяющего обобщение на случай неоднородных аэрозольных частиц и получение, как точного решения, так и формул для практических расчетов

3 Описание термофоретического движения двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих двухслойных, многослойных аэрозольных частиц (дискретный случай) и частиц с переменной внутренней теплопроводностью (непрерывный случай) с использованием разработанного метода

Достоверность результатов подтверждается согласием их с результатами других авторов Из построенной теории движения аэрозольных частиц с учетом поверхностных и объемных особенностей можно получить известные результаты путем предельного перехода

Научная новизна

1 Построены теории термофореза и фотофореза сублимирующих сферических аэрозольных частиц с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности

2 На основе теории линейных операторов разработан метод, с помощью которого можно получить как точное решение задачи о термофорезе двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических аэрозольных частиц с объемными особенностями, движущихся вдоль линии их центров, так и приближенные формулы для практических расчетов Получены формулы для силы Стокса, термофоретической силы и скорости, а также формулы для поправок к ним Проведен анализ поля температуры на поверхности одной частицы с учетом влияния второй частицы

3 Построена теория термофореза двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических двухслойных аэрозольных частиц

4. Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих твердых сферических двухслойных аэрозольных частиц обобщена на случай многослойных аэрозольных частиц

5 Построена теория термофореза двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью.

Теоретическая и практическая значимость

Изучение переноса аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрациям газовых средах является важнейшей проблемой. Теоретическое описание движения аэрозольных частиц в таких средах, в том числе неоднородных по своим теплофизическим свойствам

частиц, выявление закономерностей их поведения вызывает не только научный, но и практический интерес, так как это знание можно использовать при целенаправленном воздействии на аэрозоли Результаты исследования могут быть использованы при математическом моделировании процессов переноса в аэродисперсных системах

На защиту выносятся следующие результаты

1 Решения задач о термофорезе и фотофорезе сублимирующих сферических аэрозольных частиц с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности

2 Операторный метод решения задачи о термофорезе двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических аэрозольных частиц, движущихся вдоль линии их центров

3 Решения задач о термофорезе двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических двухслойных, многослойных аэрозольных частиц, а также аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью, движущихся вдоль линии их центров

Апробация работы Полученные в работе результаты были представлены на V Международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли» (Санкт-Петербург, май 2006 г ), Международной конференции «Математическая гидродинамика» (Москва, июнь 2006 г), Х1П Рабочей группе «Аэрозоли Сибири» (Томск, ноябрь 2006 г), X Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, декабрь 2006 г.)

Публикации По теме диссертации имеется 20 публикаций, в том числе 11 статей в журналах, рекомендованных ВАК

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 280 наименований Содержит 52 рисунка и 7 таблиц Полный объем работы составляет 222 страницы

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, ее научная новизна, представлены положения, выносимые на защиту

В первой главе диссертации «Теория движения сублимирующих сферических аэрозольных частиц во внешних полях» рассматриваются теории термофореза и фотофореза летучих частиц с учетом коэффициента испарения (сублимации) а и переменной внутренней теплопроводности. Под коэффициентом а имеется в виду величина, которая определяется с помощью соотношения [1] а = (Лг,+ + А'Г+ ^Т), где И*, -потоки молекул испаряющегося вещества частицы, направленные,

соответственно, от и к ее поверхности, Л^ - поток отраженных от поверхности молекул вещества частицы, который имел бы место, если бы пар и газ находились в равновесии с веществом частицы В случае нелетучих частиц а- 0, а в общем случае а е [ОД]

В первом параграфе рассматривается твердая сферическая аэрозольная частица, взвешенная в однокомпонентном газе, в котором поддерживается на большом расстоянии от частицы постоянный градиент температуры УГ На поверхности частицы происходит фазовый переход в виде испарения (сублимации) вещества частицы с образованием вокруг частицы вязкой бинарной смеси Испаряющееся вещество частицы называется первой компонентой бинарной смеси, а однокомпонентный газ — второй ее компонентой Взаимодействие бинарной смеси с неоднородно нагретой поверхностью частицы приводит к тепловому скольжению смеси по поверхности частицы, а неоднородность по концентрациям создает диффузионное скольжение В этих условиях создается действующий на частицу импульс, под действием которого она приходит в ускоренное движение. На частицу также действует сила вязкого сопротивления внешней бинарной смеси, которая увеличивается с ростом скорости Когда величина суммарной силы, действующей на частицу, становится равной нулю, частица переходит в равномерное и прямолинейное движение с некоторой постоянной скоростью, называемой скоростью термофореза. В системе координат, начало которой совпадает с центром частицы, задача о термофорезе сводится к задаче об обтекании сферы потоком, имеющим в бесконечности постоянную по величине и направлению скорость V«,. В качестве положительного направления оси Ог выбрано направление V Т Если - скорость движения сублимирующей частицы относительно центра тяжести внешней среды, то =-\>т=-Ц~к, где V - искомая величина, к - вектор базиса (7, ], к) Так как движение бинарной смеси относительно частицы является осесимметрическим, то в сферической системе координат с началом в центре частицы рассматривается зависимость только от г и в

Пусть V и р — поля скорости и давления, р - плотность, /7 -динамическая вязкость, ке ~ коэффициент теплопроводности, Те -температура бинарной смеси, п} и п2 — числа молекул первой и второй ее компонент в единице объема, тх и п%2 — массы их молекул, с} = щ /и и с2 = п2 /п (где п = щ + п2) - относительные концентрации этих компонент, к! — коэффициент теплопроводности частицы, Г, — поле температуры внутри нее, а Г0 - температура частицы, невозмущенная постоянным градиентом температуры УТ Так как с1+с2= 1, то

искомыми являются поля V, р, Те> Т1, сх, которые удовлетворяют уравнениям [1] т/У2у=У/>, сйу? = 0, У2Ге=0, У2Гг =0, У2с, = 0 Поле Г, удовлетворяет условию ограниченности, а поле Ге - условию эир^ - \ЧТ\г сой в\ < +оо (неравенству г>а соответствуют точки газовой

г^а

среды) Кроме того, Те - Т, при г-а, а при г —со выполняются условия уг = и сое 9, р = р<п, =^100

При записи граничных условий на поверхности частицы используются средние значения величин р,Те, пх, п2, п [ 1] Тепловому и диффузионному скольжениям бинарной смеси по поверхности частицы

дте к51о 8сг

соответствует условие Ув = ——--- н—----, а непроницаемости

аТ0 дв а дв

поверхности частицы для радиального потока второй компоненты —

условие п{пуг - П/31 = 0 при г = а, где К^, К^ - коэффициенты

теплового и диффузионного скольжений бинарной смеси, .О -

коэффициент взаимной диффузии ее компонент, /?, -п\тх!р0 [1]

Движение рассматривается при малых числах Кнудсена, но при этом

радиус частицы является не настолько большим, чтобы полностью

пренебрегать влиянием на него слоя Кнудсена Граничные условия,

соответствующие фазовому переходу имеют следующий вид [1, 3]

^ „ 3с1 8Те дТ'

и01уг -£>/?2-г-= Ио^К^ ~с\) и -ке~— + - = -Ьтхй0ау(4, -с,) дг дг дг

при г = а, где /?2 = по т2 /Ро > у = л[кТ0 /(2тп1) - одна четвертая абсолютной тепловой скорости испаряющихся молекул, к - постоянная Больцмана, в] и £ — насыщающая относительная концентрация и удельное тепло фазового перехода первой компоненты бинарной смеси

Величина ^ на поверхности частицы зависит от величины Т1 Эта зависимость линеаризуется [!]• 5,1(Г() = 50 +<50(Г, ~Т0) при г = а, где

дв

50 и <50 являются, соответственно, значениями 5! и —- при Г, = Т0

дТг

Решения уравнений движения, теплопроводности и диффузии представляются в виде рядов [1] Неопределенные коэффициенты этих разложений находятся из граничных условий. Получена следующая формула для скорости частицы

где т = ке/к,, kx =aum02/(2Dn0 +ашп02), k2 = LmxDnlS0/(w02/с,) -безразмерные величины Если отсутствует фазовый переход на поверхности частицы, то or = 0, кх =0, =KTs!r/e/pe fl] (г/е и pe -динамическая вязкость и плотность однокомпонентного газа), и формула (1) переходит в формулу для скорости термофореза нелетучей частицы [1]

Uth = - 2г УГ Скорость представлена в виде

РеТ0 + 1

= u(a)Uth Проведен анализ поправочного коэффициента и(а) в случае, когда лед на поверхности частицы испаряется в воздух, образуя смесь «водяной пар-воздух» Воздух при этом рассматривается как однокомпонентный газ, так как состоит преимущественно из азота Концентрация испаряющегося вещества частицы предполагается малой и

для приближенных вычислений считается, что п02 =по> КTsi = KTslrielре В данной работе движение аэрозольной частицы в воздухе рассматривается при Г = 273К, Р = 0,1МПа Показано, что учет коэффициента испарения может существенно влиять на величину скорости.

Во втором параграфе движение частицы рассматривается в поле оптического излучения [4] На частицу падает однородный поток электромагнитного излучения с интенсивностью Е, энергия которого поглощается частицей и распределяется по ее объему На поверхности частицы происходит фазовый переход в виде испарения (сублимации) вещества частицы с образованием вокруг нее вязкой бинарной смеси Тепловое и диффузионное скольжения приводят к фотофоретическому движению частицы, а скорость ее равномерного движения называется скоростью фотофореза В системе координат, начало которой совпадает с центром частицы, задача о фотофорезе также сводится к задаче об обтекании сферы потоком, имеющим в бесконечности постоянную по величине и направлению скорость В качестве положительного

направления оси Oz выбрано направление распространения однородного потока излучения Так как поток электромагнитного излучения является однородным, то движение потока является осесимметрическим Если О^Ц- скорость движения частицы относительно центра тяжести внешней

среды, то Upfr=-v00=Uk, где U - искомая величина Составляющие vr и ve поля v при г—>оо удовлетворяют условиям vr = -U cos в, ve = U sin в Поле 7\ находится из уравнения V2T) =-q, (г,в)]к{, где д,(г,0) - плотность тепловых источников внутри частицы Для температуры среды Те при г -> да выполняется условие Те = Т^.

Uph = - ——-Г — (— j(q,r,k)dV)k для скорости фотофореза [4].

Движение частицы происходит при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности- \Те - Тех \/Тех «1 Остальные уравнения и граничные условия аналогичны соответствующим уравнениям и граничным условиям задачи о термофорезе Получена следующая формула для скорости Ü^

К(«) ß *у

= 4-?^ ++-BL )3 ±-\{q,r,k)dVk,{ 2)

* Г0 и02 Ъ{2т+ \ + 2к1к2)к1 V v

где V — объем частицы, а запись означает скалярное произведение

векторов 3 и b Если отсутствует фазовый переход на поверхности частицы, то формула (2) переходит в формулу

2 KTslrje 1__11

3 реТ0 2т + 1к^Гу Гак как Ü^ = u{a)0ph, то учет коэффициента испарения (сублимации) в

случае фотофореза приводит к такому же поправочному коэффициенту, который был получен в случае термофореза

В третьем параграфе формула (1) обобщается для частиц с переменной внутренней теплопроводностью, переменный коэффициент теплопроводности которых имеет вид к,(г) = г,(O)exp(i, г/а), где j к, |< 2,3 (условие |<2,3 соответствует условию 0Д< (0) <10).

Вместо уравнения V2T, =0 решается уравнение div(K, (r)Vr;) = 0 Пусть

М(г) = г[ехр(-£,г/а) -1 + к,г/а - ^(к,г/а)2ф-к,г/а)3/б\, (3)

П^аМ'(а)/М(а), (4)

где М(0) = 0, а при к, = 0 М{г) = г На основании формул (3) и (4)

(-*,)/ 6

При изменении к, на отрезке [-2,3,2,3] функция у = у\(к,) убывает от 1,8099 до 0,5874 Формула для скорости термофореза U^ сублимирующей частицы с переменной внутренней теплопроводностью имеет следующий вид

ü™ =AKf- + klDÖ0(Ksl + А)] , vr, (6)

Г0 я02 2т + у\+2к1к1

где т = ке/к1 (а). В случае однородной частицы к, =0, у\*=\, и формула

(6) переходит в формулу (1) Если отсутствует фазовый переход на

поверхности частицы, то формула (6) переходит в формулу

гНл) К-Ы'Не 2г

и)н' =---VI для скорости частицы с переменной

Ре10 2г + Г1

внутренней теплопроводностью [5-6] Скорость ¿7^га) представлена в виде =и{п\а)0%\ где и{п)(а) - поправочный коэффициент к

скорости О^ Величина поправки и{п) (а) при различных значениях параметра к1 проанализирована в случае, когда лед на поверхности частицы испаряется в воздух

В четвертом параграфе формула (2) обобщается на случай частицы с переменной внутренней теплопроводностью В этом случае для нахождения поля Т\ решается уравнение сЬу(~к1 (г)УТ1 )=д, (г, в) Получена следующая формула для скорости фотофореза частицы с переменной внутренней теплопроводностью

* -и

р 3 Т0 «02 2т + гх+2кхк2 к,(а)

V у гМ{а)

Если частица однородна, то к, =0, к,(г) = к,, М(г) = г, аМ{г)!\гМ(а)\ г 1, ух =1, и формула (7) переходит в формулу (2) Если отсутствует фазовый переход, то формула (7) переходит в формулу для скорости фотофореза й^ нелетучей частицы с переменной внутренней теплопроводностью

= --[7] Так как

* 3 реТ0 2т + ух к,{а) V у гМ{а)

= , то учет коэффициента а приводит к такому же

поправочному коэффициенту, который был получен в задаче о термофорезе частицы с переменной внутренней теплопроводностью

Вторая глава «Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц на основе теории линейных операторов» посвящена разработке метода для решения задач о термофорезе двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих однородных и неоднородных аэрозольных частиц В первом параграфе приведена постановка задачи Рассматривается движение двух одинаковых твердых сферических однородных частиц, взвешенных в однокомпонентном газе Газовая среда покоится вдали от частиц, а ее температура Те имеет вид Те =ГУ + г® где Гу - поле постоянного

градиента температуры VТ, е^ - возмущение, вызванноеу-й частицей

(верхний индекс j означает номер частицы и j е {1,2}) Движение происходит вдоль линии центров параллельно градиенту V Т, т е является осесимметрическим (вращение частиц отсутствует) В качестве положительного направления оси Oz выбрано направление постоянного градиента температуры VT, I - расстояние между центрами частиц, Ох (0,0,0), 02(0,0,1) — центры частиц Считается, что зазор между частицами не меньше 0,01а, следовательно, 1>а + 0,0\а + а = 2,01а Пусть t-a/l, t^-a /(2,01 а) = 0,4975 Тогда 0 < t < t0 Так как движение является осесимметрическим, то в сферической системе координат нет зависимости от координаты ср Пусть Р - произвольная точка, гх, вх и г2, в2 -сферические координаты точки Р в системах координат с центрами в точках Ох и 02, соответственно В системе координат с центром в Ох поле 7*v представляется в виде Tv =Т0 + ¡Vrjr, cos вх, а в системе координат с центром в 02 ~ в виде Tv = Г0 + |УГ|/ + ¡V7lr2 cos д2 (так как |V7fo cos^^lVrlZ + IVrl^ cos<?2), где Г0 — температура невозмущенного поля постоянного градиента температуры WT в точке Ох Если U — гермофоретическая скорость пары частиц, то U = —Uk, где U - искомая величина Пусть v и р — поля скорости и давления, ре - плотность, г/ -динамическая вязкость, ке - коэффициент теплопроводности газа

Скорость v рассматривается как сумма [2] v = v^ + v , где v^ -возмущение поля скорости, вызванное движением j-й частицы Аналогично, Р = + i?® + р('2\ где р0 - невозмущенное значение давления, - возмущение поля давления, вызванное движением /-ой частицы Поля v^, р^, е^ и поле температуры внутриу-й частицы удовлетворяют уравнениям divv^ = 0, V2s^=0,

V2r,0) = 0 [2] Поле Tt удовлетворяет условию ограниченности Граничные условия для полей температур Те, T^J> на поверхностях

„ дТе дТ,0)

частиц имеют вид Те = Г, и ке--к,- при г = а, где к t -

OTj дг;

коэффициент теплопроводности частиц Граничные условия теплового скольжения на поверхностях частиц записываются в виде vr = -U cos<9y,

ve - U sm в j + ПрИ г =a, где KTs/ - коэффициент теплового

' Т(>Реа

скольжения газа При r; —>со limv^ =0, lim р^ =0, =0

Во втором параграфе приведено решение уравнений теплопровод-

ности Возмущения е^ представляются в виде разложений по объемно-

сферическим функциям. аи) = ЦА^Н^, где - неопределенные

л=о

коэффициенты, = Рп(соев] )/г"+1, Рп(х) - многочлен Лежандра

При рассмотрении граничных условий на поверхности первой частицы члены разложения возмущения епо объемно-сферическим функциям второй системы координат разлагаются по объемно-сферическим функциям первой системы координат Аналогично рассматривается граничное условие на поверхности второй частицы Нахождение неизвестных коэффициентов разложений полей температур , и Те в соответствующих системах координат сводится к поиску векторов

пространства 1Х = {(х;,х2, ) |<+°°Ь являющегося [8] полным

1=1

линейным нормированным (т.е банаховым) пространством с нормой

11*11=11*, I

В третьем параграфе приводится решение уравнений гидродинамики Симметричные относительно оси Ог и исчезающие на бесконечности поля давления р(7) и скорости в сферической системе

со

координат, связанной с } -й частицей, имеют вид [2, 9] = X Р(-п-\'

в=1

5е -"-1 2т(2п-1)Ур-п-1+щ(2п-1)Р-»-1)' ^

~ объемно-сферические функции = Рп (соэ О;)/г"+х,

умноженные на неопределенные коэффициенты При нахождении результирующей скорости на поверхности первой частицы, возмущение, вызванное второй частицей, переписывается в системе координат, связанной с первой частицей Аналогично учитывается возмущение, вызванное первой частицей, при рассмотрении граничных условий на поверхности второй частицы Нахождение неопределенных коэффициентов сводится к поиску неизвестных векторов в Ц

В четвертом параграфе выводятся формулы для термофоретической силы, скорости, поправок к ним и к закону Стокса Пусть Ь - банахово пространство ограниченных линейных операторов [8], действующих из /( в /] Точные формулы для искомых векторов в тепловой и гидродинамической частях задачи записываются в терминах операторов пространства Ь и векторов пространства Точные формулы для скалярных величин записываются с помощью линейных ограниченных

функционалов, заданных в /, Пусть l\M) - пространство матриц А с

00

бесконечным числом строк и столбцов с нормой ||Л|| = sup Оператор

П 5=1

В &L задается с помощью некоторой матрицы А е по формуле ВХ = АХ, где lei,, АХ - произведение матрицы А на вектор X Норма такого оператора В, согласованная с нормой вектора X, совпадает с

OQ

числом ||л(|| = sup X \aSn I Для матрицы и порожденного ею оператора в

п S=1

дальнейшем используется одно и то же обозначение Ограниченный линейный функционал, определенный в 1Х, задается с помощью элемента У = (ух, у2, ) банахова пространства ограниченных последовательностей

т [8] с нормой sup^l по формуле у = YX, где Х = {хх,х2, >г е/¡, a YX

к

- произведение двух матриц (вектора-строки и вектора-столбца). Для элемента пространства т и порожденного им функционала в дальнейшем используется одно и то же обозначение Норма |F| функционала Y,

согласованная с нормой вектора X, совпадает с числом supjj^ |

к

Формулы для термофоретической силы, скорости, поправок к ним и к закону Стокса строятся по следующей схеме. Пусть элементы матрицы М определены по формуле (M)sn = C"+st"+s+l, где запись (A)s„ означает элемент матрицы А, a C£+s = (и + s)^{n\ i'). Тогда ||М| < [//(1 -1)}2 < 1 при Yfe[0,i0], те оператор М является сжимающим Пусть Л -диагональная матрица из и ]|Л|| < 1, Е - единичная матрица из l\m) Так как ||МЛ||<||М||-||Л|<1, то оператор МЛ является также сжимающим, следовательно, оператор Е-МК обратим и (Е - МЛ)~' е L при Vfe[0,i0] (если оператор А отображает банахово пространство в себя и

IЛ <1, то оператор Е-А обратим и (Е - А)'1 = X А п [8]) Отсюда

п=0

следует, что (£ - А)(£ - МЛ)-1 е 1Х, где Е{ =(1,0,0 .)г Пусть элементы диагональной матрицы Л4 определены по формуле (Л4 )sf! =(s + \)Ssn, где 8т - символ Кронекера Матрица Л4 но

А4(Е - А)(Е - МК)~Х Ех е . Сжимающий оператор R~ определяется по следующей формуле

R- =А5Мр+А6Му -А6МА-ХХ(Е-МА\1У\0,5Е-Мр-Му) (8)

В формуле (8) элементы диагональных матриц Л15 Л5, Л6 определены по формулам (Л1)от=-(® + 1 )/*6зп, (Л5),„ +

(А6)т = (2л- + \)35п Так как ||А711 = 1 и ||мЛ^|[< ¡МЦЦа^Ц < 1, то оператор

Е-МАГХХ обратим Элементы матриц М р, Му определяются по

формулам {Мр)т=Спп+^хРт, {Му)т=Спп+^-17т, где

_ п(2п -1) 1 3 ф + 1)

В =- у =-----1- ——---- Матрицы

2{п +1)(2« + 3) 2 2(25 - 1)(и +1) (25-1)(и + «) ^

Л5, Л6 £ь\м\ но матрицы А5М р, А6Му, А6МА^, как и матрицы М,

Мр, Му, МЛ71 и МА, принадлежат линейному нормированному

пространству матриц с с нормой ||Л||2 = (¡Л| <||^||2) При

.у,и=1

[0,0,4975] значения функции у = (?)| принадлежат отрезку [0,0,8937]. Так как |<1 при всех Ге[о,/0], то оператор {Е-К ) 1 существует при всех ?е[0,?0]. Отсюда следует, что {Е-Я~ Г1 [Л4 (Е - А)(Е - МЛ)"1 ^ ] е при любом ? е[0,?0]

Элемент Е[ = (1,0,0, )ет задает в /] функционал по формуле у = Б] X, где X = (х1,х2, )Т е1и а е\ X - произведение двух матриц (вектора-строки и вектора-столбца) Это позволяет определить функцию /(?, Л) по формуле

/({, А) = Е\ {{Е - /ГГ'[Л4 (Е - А)(Е - МЛ)"1 Е1 ]}, (9) где / е [0, /0 ] Пусть <рх (х) = (1 - х)/(1 + л: (л + 1)/л') (я еЫ, х *+1)) и элементы диагональной матрицы Ае имеют вид.

(К)*П=<Р*Ш1П> (Ю)

где г = к е ¡к 1 Формула для результирующей силы, действующей на у -ю частицу, записывается в виде

Р^=2мт\ут, А]1) - Кт^Щ/^р^/иЛеШ (11) Формула (11) является корректной, так как ¡Ле| < 1 Сила Р^ равна сумме силы Стокса Р^ и термофоретической силы Р^.

Р^=2щаи/{1,А'х)к, (12)

2жП 2 а Кп, /(Г0 ре ) /(>, Л е ) V Г (13)

При выводе формул для поправок находятся пределы при / -»со в формулах (12)—(13). В результате получаются формулы для силы Стокса и термофоретической силы в случае одиночной частицы

Рх1=2жщиГ(0,А~11)к, (14)

/(ТоРе ) ДО,Ле)УГ (15)

Так как /(О, Л^1) = 3, то формула (14) совпадает с формулой Стокса Р^=Ьща Ш Пусть Р}/^ - (1)Рз1, где (г) - поправка к закону Стокса Из формул (14) и (12) следует, что

ЛД0=/(^Л71)/з (16)

Так как /(0,Л£,)=2[1 -^(т)], то из формулы (15) следует формула для

термофоретической силы Аяг^аК^/{Т0ре)\\ - ср^ (г)]УГ Пусть

Р^—/^ (?, Ке)Р1/г, где Ле) - поправка к термофоретической силе Тогда из формул (15) и (13) следует, что

/А С.Л«) = Д/,Ле)/[2<1 - (г))] (17)

Формула для скорости дублета выводится из равенства к нулю силы Р^

и = (18)

ЗТоРе ЛДО

Переход к пределу при / со в формуле (18) приводит к формуле для скорости 01 одиночной частицы [1]

(19)

Щ Ре

Пусть и — и{Г)01, где - поправка к скорости 01 Тогда

«(О =/А С, л, )//„(/) (20)

Формулы для сил, скорости и поправок к ним имеют смысл и при значениях (, более близких к ? = 0,5, чем t = 0,4975. Например, при

Г 6 [0,0,4999] |М|| < [г/(1 - О]2 < 1, р~|е [0,0,995б]. Следовательно,

операторы М, Я' являются сжимающими, и приведенная выше схема построения формул сохраняет силу

Формулы для термофоретической силы, скорости и поправок к ним могут быть обобщены с учетом скачка температуры на поверхностях частиц В этом случае граничное условие на поверхности частицы

Т, = Г,и) заменяется на условие Те - Гг(у) = СтЛ —, где Ст =2,179 -

коэффициент скачка температуры для простого газа [1] Формула (10) обобщается в виде (Ле )т = <р$ (г + зСТ Л/а)дш.

В пятом параграфе приведены формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов по ним В приближенных вычислениях матрицы М, Мр, Му в формуле (9) заменяются на матрицы М^,

где запись при \/к>3 означает матрицу, полученную путем обнуления тех элементов азп матрицы А, сумма индексов которых удовлетворяет неравенству з + п>к Функции /д (?), /гА(?,Ле), и(?), построенные по этой схеме, с ростом к стремятся к соответствующим точным функциям. В диссертационной работе все расчеты проведены при к =54 Это означает, что в матрицах М, Мр обнуляются элементы вида

о(?54), а в матрице Му - элементы вида о(г52) Выбор £=54 приводит к высокой точности вычислений

Для малых г (те для больших расстояний между частицами) выводятся простые формулы Если отбросить во всех матрицах М, Мр и

Му элементы вида о(Р), то Ае)=1~ 1,5? + 2,25?2 + (2<рх (г) -1,375)?3,

м(?)=1 + (1 + 2^,(т)>3, (?) =1 -1,5? + 2,25?2 - 2,375?3 [2, 9] Так как точность этих формул ухудшается при увеличении ?, а вычисления, основанные на замене матриц М, ММу на матрицы М[541, ЛГд4',

сопряжены с большим объемом вычислений, то приводится также упрощенная схема расчетов поправок при ? е [0, ?0 ]

Проанализировано поле температуры газовой среды Т^ на поверхности у -й частицы, имеющее важное значение при описании термофоретического движения дублета частиц По формулам Р(&1) = (/>! (соб вх), Р2 (соэ <9]), .) и б(?) = (г2,13, ) определяются элементы Р(#,) и <3(?) пространства ти Так как \Рп(со50х)\ < 1 и 0 <¿<0,5, то |Р(#2)||<1 и ||<2(?)|| < 0,25 Этим элементам соответствуют функционалы Р(#1) и (2((), определенные в по формулам у = Р(в1 )Х иу = , где X ~(хх,х2,- )Г е/1 Пусть Та = |УГ|а Для поля Г® получена следующая формула

Гг(1) = Г0 + Габ(?)[(£ - Л.МГ'Л^,] + )[(£ - Ае)(£ -МЛе

(21)

(Т}2) анализируется аналогично) Если в формуле (21) перейти к пределу при ? —»0, то Т}^ =Т0 +Та[\- (рх(г)]соэвх, те Т0 - невозмущенное второй частицей среднее значение температуры на поверхности первой частицы, а невозмущенное отклонение температуры от среднего значения

Т0 описывается функцией у^ ((9[) = [1 - ^ (т)] сое вх Из формулы (21) следует, что возмущение среднего значения температуры на поверхности первой частицы описывается функцией р^ (?) = <2(1)[{Е - ЛеМ)-1 А.еЕх ], возмущение отклонения от среднего значения — функцией

р(Р<7,вх) = Р(вх ){(Е-Ае )[(Е -МАеУ1 - Е]ЕХ }, а полное возмущение поля температуры на поверхности первой частицы — функцией р(>\{,0х) = Л(1)(?>Так как при вычислении величин р^(?),

р^{г,9х) матрицы М, Мр, Му заменяются на матрицы М[к],

при к =54, то в приближенных расчетах в Р{0) учитываются первые

52 полинома Лежандра, а в <2(1) не учитываются величины вида о(?53 )

Приведены графики и таблицы поправок к термофоретической силе и скорости для различных значений т е [0,0003,0,35], вычисленные по формулам (17) и (20). Этот промежуток охватывает широкий спектр дублетов В случае движения в воздухе значение г =0,0003 имеет дублет частиц, состоящих из железа, а значение г =0,3 5 - дублет частиц из вещества с низкой теплопроводностью Так как при t < 0,05 скорость дублета мало отличается от скорости одиночной частицы, то поправки найдены, начиная со значения г = 0,06 с шагом 0,01 (вместо конечного значения 0,5 взято 0,4975)

Расчет возмущений поля температуры на поверхности первой частицы проведен для значения г =0,01 (в случае движения в воздухе это значение т имеет дублет частиц, состоящих из льда) Приведены графики

функций у^(вх), Р$(*)> а графики функции при изменении вх

построены для фиксированных значений Также построены графики функции р^(1,вх) при изменении вх для фиксированных больших

значений ? и соответствующие графики для возмущений поля температуры на поверхности второй частицы Кроме того, в случае этого дублета проанализировано совместное изменение термофоретической скорости и силы при изменении I Из формулы (20) следует, что (1пи{1))' - (1п (Г, Ае))' = -(1п (г))', где величины (1пи(0)\ (1п/й(*,Ле))' и (1п/и(/))' соответствуют темпам изменения относительных приращений термофоретической скорости, силы и поправки к закону Стокса Разность величин (1пи(0У и (1п /^(¿,Ле))' не зависит от самих частиц дублета, а так как (<) > 0, (?) < 0, то она положительна С ростом t величина -(1п/И(0У убывает, и связь между величинами (1п «(?))' и (1п//й(г,Ле))' становится теснее Приведены графики функций (1пм(<))', (1п //й(г,Ле))', (1п/л(?))' Так как формула для поправки и{г) может быть обобщена с учетом скачка температуры, то для этого дублета построены графики м(/) при Х/а = 0,001 и Я/а = 0 В дальнейших практических расчетах поправки, пропорциональные числу Кнудсена, не учитываются, так как это не входит в задачи диссертационного исследования

Так как формулы для поправок к термофоретической силе и скорости имеют смысл и при г е [0,0,4999], то интерес вызывают значения этих поправок при предельном в данной работе значении 1 = 0,4999 Соответствующая таблица поправок и их графики приведены для значений г из промежутка [Ю-6,0,4]

В третьей главе «Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих двухслойных аэрозольных частиц» результаты, полученные во второй главе, обобщаются на случай двухслойных частиц. Пусть а — радиус частицы, Ь — радиус ее ядра Ядро и оболочку частицы можно задать с помощью неравенств г <Ъ и Ъ<г<а. В первом параграфе приведена постановка задачи Пусть Тр^, Т^ — поля температур в оболочках двухслойных частиц, а Т^ - в их ядрах Граничные

... дТ/ ЗТЬ0)

условия на поверхностях ядер имеют вид ТУ—Ти к, —— = кь-

8Г]

при г}=Ъ, где к, и кь - коэффициенты теплопроводности оболочки и

ядра частицы, соответственно Во втором параграфе рассматривается тепловая часть задачи, а в третьем параграфе - ее гидродинамическая часть В четвертом параграфе выводятся формулы для термофоретической силы, скорости и поправок к ним Пусть т = ке/к,, со = к,/кь, % - Ъ/а, а

элементы матрицы Л^ определены по формуле

(Л№ = <р$ (яр, ■ (22)

Матрица Л(</) обобщает матрицу Ле и | < 1 Если аэрозольная частица

однородна, то о = 1и (Л(й)) „, = (т<р5 (^ 24+1 <рв (1)))<5,.„=<р, (тер, (0))<5ет= <р5 {т)ё8П=(А е) $п Дальнейшие построения основываются на функции

/(?, Л№) = Е[ {(Е у1 [Л4(Е - А(е1)){Е - МА^у1 £,]} (23) Формула для поправки к термофоретической силе имеет вид

и (и ) = /(/, Л<'> )/[2(1 - сРх (т (.Хъсрх (©))))] (24)

Для скоростей дублета и одиночной частицы и IIимеем формулы

о? -ъш^ътъЩ^чт, (25)

ЩРе л до

¿7«о = - ^^ [1 - ъ (т (хг (р\ (®)))РГ (26)

ЩРе

Формула для поправки и к скорости IIимеет вид

«(0 =С, Л("> )//„(/) (27)

В пятом параграфе приводятся формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов Поправки (/, Л^ ), и(() являются функциями t и зависят от параметров т, со, % Для анализа влияния ядра рассмотрены два дублета Первый дублет состоит из частиц с массивным ядром с высокой теплопроводностью Этим частицам соответствуют малое значение а и большое значение %. Пусть г = 0,01, 0 = 0,03, ,£ = 0,9 (если движение рассматривается в воздухе, то эти значения имеет дублет частиц, оболочка которых состоит из льда, а ядро - из железа и Ъ = 0,9а). Второй дублет состоит из однородных частиц из вещества оболочки частиц первого дублета (их можно рассматривать как двухслойные с параметрами г = 0,01, ® = 1 и с произвольным значением ;ге[0;1], а если движение рассматривается в воздухе, то эти значения имеет дублет частиц из льда) Для обоих дублетов на рис. 1 и 2 приведены графики функций У ~ Р? (*> ) Для малых и больших значений I

0,0020 -0,0015 -0,0010 -

0,00034 0 00029 0,00024 0,00019 0,00014 У 0,00009 0,00004 --0,00001 -0,000060 -0,00011

у 0 0005 0,0000

е

в

Рис 1 Графики у = /т® (/, в\) для первого (слева) и второго (справа) дублетов при ( =0,2, 0,22, 0,24, 0,26

0,108 -I 0,088 -|\ 0,068 ■ у 0 048 -Г 0,028 -р 0 008 --0 0120^

0 0588 0,0488 0,0388 у 0 0288 -0 0188 -0,0088 -0,0012

00

1 о

20

3,0

в

Рис 2 Графики у — p(p(t,6{) для первого (слева) и второго (справа) дублетов при t =0,47, 0,48, 0,49, 0,4975

Приведенные на рис 2 возмущения у- р^(t,вх) убывают по вх в случае обоих дублетов Однако они при больших значениях t приводят к различным видам неоднородностей по температуре на поверхности первой частицы Расчеты показывают, что возмущения у = (/,в{) в случае второго дублета усиливают неоднородности по температуре на всей поверхности первой частицы с ростом /, а в случае первого дублета это не

наблюдается при больших г Различным характерам изменения неоднородностей на поверхностях частиц соответствуют и различные характеры изменения функций у = (\п/л (г, Л(йГ)))' и у = (1пи(/))' На рис 3 приведены графики функций у = (1пи(г))', 7 = (1п (?, Л(</)))'

1 4

Рис 3 Графики функций у = (1пи(0У (сверху), у = (1п Л^'))' и >> = (1п (())' (точечная пиния) для первого (слева) и второго (справа) дублетов

На рис 4 приведены графики функций у = //А Л(аГ)), а на рис. 5 -графики функций у - и(1) (убывание термофоретической силы в случае первого дублета приводит к появлению промежутка убывания скорости).

Рис 4 Графики поправок к термофоретической силе для первого (слева) и второго (справа) дублетов

Рис 5 Графики поправок к термофоретической скорости для первого (слева) и второго (справа) дублетов

Оставляя значения г = 0,01, <» = 0,03 неизменными, рассматривается

зависимость величин и(() от третьего параметра хе [ОД] в

случае первого дублета Для этого множество значений х разбивается на четыре области 0,94 <^<1, 0,83 <%< 0,94, 0,6 < % < 0,83, 0 < ^ < 0,6. На рис 6 приведены графики функций (г, ) и и(?) при 0,94 < % < 1

О 01 0 2 0,3 0,4 0,5 0 01 0,2 0 3 0,4 0,5

t t

Рис 6 Графики поправок к термофоретической силе и скорости для первого дублета при 0,98, 0,96, 0,95 (сверху вниз)

На рис 7 приведены графики функций fth (t, ) и u(t) при 0,83 < х - 0,94. На графиках функций u(t) есть промежутки убывания

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 05

I I

Рис 7 Графики поправок к термофоретической силе и скорости для первого дублета при %=0,94, 0,92, 0,9, 0,84 (сверху вниз)

На рис 8 приведены графики функций fth Л^ ) и и(г) при 0,6 < х - 0,83

Рис 8 Графики поправок к термофоретической силе и скорости для первого дублета при х~0,83, 0,7, 0,67, 0,65 (снизу вверх)

На рис. 9 приведены графики fth (7, Л^'), и({) при 0 < ^ < 0,6 (промежуток убывания термофоретической скорости отсутствует).

Рис 9 Графики поправок к термофоретической силе и скорости для первого дублета при %=0,6, 0,5, 0,3, 0 (снизу вверх)

Приведенные области изменения х зависят от г и «У Если, например, г = 0,04 и 0 = 0,008, то область значений х разбивается на области 0,98< 2 < 1, 0,9<2<0,98, о,62<^<0,9, 0<^<0,62 Если ядро имеет невысокую теплопроводность или не является массивным, то при изменении ^ от 1 до 0 в графиках поправок и = промежуток убывания отсутствует

В четвертой главе «Теория термрофореза двух гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью» результаты, полученные во второй главе, обобщаются на случай частиц с переменной внутренней теплопроводностью В качестве модели неоднородности по теплопроводности рассматривается зависимость к, (г) = к,(0)ехр(&, г/а), \к, ]< 15 Данное семейство функций является достаточно широким Например, если к:, (г) меняется между коэффициентом теплопроводности сажи и коэффициентом теплопроводности железа (при Т = 21ЪК), то достаточно рассмотреть промежуток | к, |< 8 В первом параграфе

приводится постановка задачи Для полей температур Т^ внутри частиц уравнения теплопроводности имеют вид с11у(к1 (г)УТУ^) = 0 Во втором параграфе решаются уравнения теплопроводности В третьем параграфе выводятся формулы для термофоретической силы, скорости и поправок к ним Пусть т = ке/к1(а), К - диагональная матрица, диагональные элементы г^. которой найдены по формуле

<28)

;=о(25 + 1 + г)' »' / 1=о(2« + 1 + »)' 1

Элементы матрицы Л® определяются через элементы матрицы Я

(Л(А)),„ = (*■„)<?„, (29)

Эта матрица является обобщением матрицы Ае если частица является

однородной, то к, = 0, Ги.(0) = 1, (Л(А)),„ =<р5(гг^)бхп =<р3{т)8,п = (Ае)зп В этой главе дальнейшие построения основываются на функции

/(Г,Л(А)) = Е'[{(Е - Ц--)-1[Л4(Е - А(к))(Е - МЛ(/,))-!£,]} (30) (так как |л(А)||<1, то формула (30) является корректной). Поправка к термофоретической силе определяется по формуле

и (*, Л(А)) = /(*, Л<"> >/[2(1 - <рх (ЩЛ ))] (31)

Формула для скорости дублета частиц с переменной внутренней

теплопроводностью имеет вид

г?<") -.

и,

ЩРе

Л/ 0)

(32)

Из формулы (32) следует формула для скорости одиночной частицы [5-6]

(33)

ЩРе

(ги ~УУ\, где ух определяется по формуле (5)) Из формул (32) и (33) выводится формула для поправки к скорости Ох одиночной частицы

«(0 = /й(*,Л<*>)//Л( 0 (34)

В четвертом параграфе приводятся формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов по ним Поправки (?, Л^*), и(/) являются функциями переменной зависящими от параметров т и к, При т = 0,01 проанализирована зависимость этих поправок от к, в промежутке \к, ¡<15 При вычислении величин г^ по формуле (28) учитываются члены, индексы которых удовлетворяют неравенству г <50, что обеспечивает высокую точность при -15 < к, <15 Множество -15 < <15 разбито на три области к, < -6, - 6 < к, < 4, к, > 4 На рис 10 приведены графики функций / = /гй (?, Л^ ) и и = и(1) для к1 < -6

0,05

0,15

0 25

0,35

0,45

0,05

0 15

0,25

0,45

Рис 10 Графики / = /й Л(А)) и и = и(€) для Г = 0,01 при к, =-15, -12, -9, -6 (снизу вверх)

В этом случае характер убывания термофоретической силы при сближении частиц приводит к уменьшению поправки к скорости На рис 11 приведены графики функций / = (1,Л(А)) и и = и(?) для -6<к, <4 (промежуток убывания скорости отсутствует)

0,95 0 90 10,85 0,80

0,75

1,00

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,05

015

0,25

0,35

0,45

Рис 11 Графики f = /гй {г, Л№ ) и и = и{{) для г = 0,01 при к, =-5, -3, 0, 4 (снизу вверх)

На рис 12 приведены графики / = /Л (г, Л(А)) и и = м(г) для > 4

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,05

0,15

0 25

0 35

0,45

Рис 12 Графики / = /Й(/,Л(А)) ии = и(() для г = 0,01 при к, =6, 9, 12, 15 (сверху вниз)

На характер зависимостей функций / = /(Й(?,А(Й)) и и = и(?) от параметра к1 влияет параметр г Например, при т = 0,1 множество значений к, разбивается на три области к, < -6, - 6<к, < -1, к, > -1

Показано, что модель частицы с переменной внутренней теплопроводностью можно использовать для приближенных вычислений вклада гидродинамического эффекта в скорость термофореза некоторых двухслойных частиц с массивным ядром с высокой теплопроводностью

В пятой главе «Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих многослойных аэрозольных частиц» результаты, полученные во второй главе, обобщаются на случай многослойных частиц Если ограничиться неоднородными частицами, переменный коэффициент теплопроводности которых зависит только от радиальной координаты точки, то многослойные частицы являются наиболее общей моделью для исследования термофоретического движения двух гидродинамически

взаимодействующих частиц Во-первых, по формулам, выведенным для многослойных частиц, можно вести расчеты в случае однородных и двухслойных частиц. Во-вторых, любую частицу с переменной внутренней теплопроводностью можно разбить на достаточное количество слоев и для приближенных вычислений считать однородной внутри каждого слоя

В первом параграфе приводится постановка задачи Пусть к>3 -натуральное число Под многослойной частицей имеется в виду частица, состоящая из к сферических слоев 0 < г < ах, ах < г < а2, а2 5 г < а3, , ак_х <г <ак, где 0 < ах < а2 < а3 < <ак = а Каждый слой является однородным, и коэффициент теплопроводности г-го слоя равен кг На границах слоев выполняются условия непрерывности температуры и потока тепла Во втором параграфе решаются уравнения теплопроводности, а в третьем параграфе выводятся формулы для термофоретической силы, скорости и поправок к ним Пусть г = ке /кк , ti=Ki+\lKi> Xi=a,lai+1» 0<i<k — l, kq=kx, a0 = 0 При Vs>l определяется следующая последовательность чисел по рекуррентной формуле т'ш = T,<ps(x^\]fPs)), \<i<k-\, Tqs = т0 -1 Элементы матрицы Л® определяются по формуле

(Л^)™ =<Ps(Ws(X2k-t]V.frH.P» (35)

Дальнейшие построения основываются на функции

f{t, Л(*>) = Е{ {(Е -R-у1 [Л4(Е - А(ек) )(Е - МЛ« )'' £,]} (36) Формула (36) корректна, так как ||л® || < 1. Поправка к термофоретической силе определяется по формуле

U it, Л«) = fit, Л®)/[ 2(1 - (РХ iWx ixU<Px (rj_u ))))] (37) Формула для скорости U^ дублета многослойных частиц имеет вид

W = - ^ [1 - у, (m (zlm m fth f ) vr (38)

ilQPe JstVJ

Отсюда следует формула для скорости Ux® одиночной частицы

Щк) = - (39)

ЩРе

Из формул (38) и (39) выводится формула для поправки и к скорости Uxk^ одиночной частицы при учете влияния второй частицы

uit) = fth(t,A^)lfstit) (40)

В случае трехслойной частицы формулы (38)-(39) имеют вид

Uf -ъ(mA(г,)))))], (41)

ЩРе Jst (О

-(3) _ ср^ту^х^г^хЫ Т,)))))]7Г (42)

В четвертом параграфе приведены формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов С помощью модели многослойной частицы можно анализировать гидродинамический эффект и в случае частиц с переменной внутренней теплопроводностью Пусть г = ке/к1 (<я)=0,01 На рис 13 приведены графики поправок к скорости, построенные с использованием формул для частиц с переменной внутренней теплопроводностью при двух значениях к, = -2,3 и к, = 2,3

1

Рис 13 Графики поправок к термофоретической скорости, найденных по формулам для частицы с переменной внутренней теплопроводностью (к1 = —2,3 -сплошная линия, к, — 2,3 - точечная линия) и многослойной частицы (маркеры)

Маркерами обозначены точки, рассчитанные по формулам для модели многослойной частицы Для этого в обоих случаях частицы разбиваются на к = 10 слоев одинаковой толщины и каждый слой считается однородной с коэффициентом теплопроводности, равным значению переменного коэффициента теплопроводности частицы на сферической поверхности этого слоя с большим радиусом

В случае больших по абсолютной величине значений к, число слоев нужно увеличить Для всех значений к, из интервала |&г|<15, который с большим запасом включает все реальные случаи, число слоев к = 50 дает высокую точность при вычислении по модели многослойной частицы На рис 14 приведены соответствующие графики Аналогичная ситуация имеет место и при г = 0,1

Рис 14 Графики поправок к термофоретической скорости, найденных по формулам для частицы с переменной внутренней теплопроводностью (к, = —15 -точечная линия, к1 =15 - сплошная линия) и многослойной частицы (маркеры)

Модель многослойной частицы позволяет более точно описать гидродинамический эффект по сравнению с моделью двухслойной частицы В качестве примера рассмотрен дублет, состоящий из взвешенных в воздухе аэрозольных частиц, ядра которых с радиусом 0,9а состоят из железа Рассмотрены четыре варианта оболочки, В первом варианте оболочка состоит из сажи, а во втором - из льда В третьем и четвертом вариантах оболочка сама состоит из двух слоев одинаковой толщины В третьем варианте внутренний слой состоит из льда, а внешний - из сажи, а в четвертом варианте внутренний слой состоит из сажи, а внешний - из льда На рис 15 приведены соответствующие графики

Рис 15 Графики поправок к термофоретической скорости для выбранных вариантов оболочки 1-4 1 - сплошная линия, 2 - пунктирная линия, 3 - точечная линия и 4 - штрихпунктирная линия

Модель многослойной частицы позволяет более точно задать поверхностные слои частицы, а рис 15 иллюстрирует их важность при описании гидродинамического эффекта

В заключении перечислены основные результаты работы

1 В случае твердых сферических аэрозольных частиц, на поверхности которых идет фазовый переход в виде испарения (сублимации) вещества частицы, формулы для скорости термофореза и фотофореза обобщены с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности

2 Предложен новый метод решения задачи о термофорезе двух одинаковых аэрозольных частиц (операторный метод), движущихся вдоль линии центров, позволяющий обобщение на случай неоднородных аэрозольных частиц и в рамках которого можно получить как точное решение, так и формулы для практических расчетов. Приведены формулы для поправок к закону Стокса, к термофоретической силе и скорости, для возмущений одной частицей поля температуры на поверхности другой частицы

3. Операторным методом решена задача о термофорезе дублета двухслойных аэрозольных частиц Проанализировано влияние размера ядра и его теплопроводности на значения поправок к термофоретической силе и скорости

4 Решение задачи о термофорезе дублета двухслойных аэрозольных частиц обобщено на случай дублета многослойных аэрозольных частиц Модель многослойных аэрозольных частиц является важной для моделирования поверхностных слоев частицы при изучении гидродинамического эффекта.

5 Операторным методом решена задача о термофорезе дублета аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью Проанализировано влияние характера неоднородности аэрозольных частиц на зависимость термофоретической силы и скорости от расстояния между частицами Показана связь между моделью аэрозольной частицы с переменной внутренней теплопроводностью и моделью двухслойной аэрозольной частицы с массивным ядром с высокой по сравнению с оболочкой теплопроводностью При изучении гидродинамического эффекта в случае дублетов аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью могут быть использованы формулы для дублета многослойных аэрозольных частиц.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Яламов Ю И, Галоян В С Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван. Луйс, 1985 208 с

[2] Яламов ЮИ, Мелехов А.П, Гайдуков МН Термофорез гидродинамчески взаимодействующих аэрозольных частиц // Доклады академии наук СССР 1986 Т 287 №2 С 337-341

[3] Фукс Н А Испарение и рост капель в газообразной среде М, 1958. 91 с.

[4] Щукин Е Р , Яламов Ю.И, Шулиманова 3 JI Избранные вопросы физики аэрозолей М МПУ, 1992 297 с

[5] Яламов Ю.И, Хасанов А С. Теория термофореза неоднородных аэрозольных частиц//Теплофизика высоких температур 1996 Т 34 №6 С 929-935

[6] Яламов ЮИ, Хасанов А.С О термофоретическом движении крупных неоднородных аэрозольных частиц // Журнал физической химии 1997. Т 11 С. 2092-2094

[7] Яламов Ю И, Хасанов А С Фотофорез гетерогенных по теплопроводности крупных аэрозольных частиц // Журнал технической физики 1998 Т 68 №4 С 1-6

[8] Колмогоров АН, Фомин С В Элементы теории функций и функционального анализа М Наука, 1976 542 с

[9] Хаппель Дж., Бреннер Г Гидродинамика при малых числах Рейнольдса М Мир, 1976 632 с

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Яламов Ю И , Хасанов А С Теория термофореза сублимирующих крупных твердых сферических аэрозольных частиц с переменной теплопроводностью МГОУ М, 2003 14 с. Деп в ВИНИТИ № 1651-В2003

2. Яламов Ю И, Хасанов А С Анализ влияния характеристик сублимирующей сферической аэрозольной частицы на скорость термофореза//Вестник МГОУ 2004 № 1-2 С. 25-35

3. Яламов Ю И, Хасанов А С Термофорез неоднородных по теплопроводности сублимирующих аэрозольных частиц // Журнал технической физики. 2004 Т 74. Вып 7 С 13-19.

4. Яламов Ю И, Хасанов А С. Фотофорез неоднородных по теплопроводности сублимирующих аэрозольных частиц МГОУ М, 2005 15 с Деп в ВИНИТИ № 35-В2005.

5. Яламов Ю И, Хасанов А С Теория движения неоднородных по теплопроводности сублимирующих твердых сферических аэрозольных частиц в поле оптического излучения // Доклады академии наук 2005 Т. 403 № 1 С 333-336

6 Яламов Ю И, Хасанов ACO влиянии коэффициента сублимации на фотофорез неоднородных по теплопроводности аэрозольных частиц //Письма в Журнал технической физики 2005 Т 31 Вып. 15 С 19-22

7 Яламов Ю И, Хасанов А С Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих крупных двухслойных аэрозольных частиц МГОУ М., 2006 25 с Деп в ВИНИТИ № 93-В2006

8 Яламов Ю И, Хасанов А С Фотофорез крупных сублимирующих аэрозольных частиц // Теплофизика высоких температур 2006 Т 44 № 2 С 293-297

9 Яламов Ю И, Хасанов А.С Анализ влияния ядра на термофоретическое движение дублета твердых частиц // Вестник МГОУ 2006 № 2 С 16-27

10 Яламов Ю И, Хасанов А С Теория термофореза двух крупных гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц на основе теории линейных операторов. МГОУ. М., 2006 22 с Деп в ВИНИТИ № 94-В2006

11. Яламов Ю.И, Хасанов АС. Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих крупных неоднородных по теплопроводности аэрозольных частиц // Вестник МГОУ 2006 № 2 С. 28-39

12 Яламов Ю И, Хасанов А С Влияние структурных особенностей на движение двух гидродинамически взаимодействующих частиц в поле градиента температуры // International Conference «Mathematical Hydrodynamics». ABSTRACTS Moscow, Russia, June 12-17 Steklov Mathematical Institute, Lomonosov Moscow State University 2006. P 106

13 Яламов ЮИ, Хасанов AC Теория движения двух гидродинамически взаимодействующих двухслойных аэрозольных частиц в поле градиента температуры // Пятая международная конференция «Естественные и антропогенные аэрозоли» (22-26 мая) СПб., 2006. С 85

14 Яламов ЮИ, Хасанов АС Теория движения сублимирующих неоднородных аэрозольных частиц во внешних полях // Аэрозоли Сибири XIII Рабочая группа Тезисы докладов. Томск Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2006 С 7

15 Яламов ЮИ, Хасанов АС Обобщение термофоретического движения дублета твердых частиц с учетом скачка температуры на их поверхности//Журнал технической физики 2006 Т 76 Вып 10 С 18-24

16 Яламов Ю И, Хасанов А С Теория движения сублимирующих и взаимодействующих твердых сферических неоднородных аэрозольных частиц во внешних полях Монография М МГОУ, 2006 221 с

17 Яламов ЮИ., Хасанов АС Анализ поля температуры на поверхности частицы в задаче о термофорезе дублета аэрозольных частиц //Вестник МГОУ 2007 № 1. С 42-54

18. Яламов ЮИ., Хасанов АС Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих многослойных аэрозольных частиц //ВестникМГОУ 2007 №1.С 30-41

19 Яламов Ю И , Хасанов А С Математическое моделирование термофоретического движения двух аэрозольных частиц с учетом объемных и

гидродинамических эффектов // Труды X Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. 2. Ростов-на-Дону. Изд-во ООО «ЦВВР», 2007 С 330-332

20. Яламов Ю.И, Хасанов А С Расчет поправок при учете гидродинамического эффекта в задаче о термофорезе двух частиц //Вестник МГОУ 2007 №2 С. 37-46.

Автор выражает благодарность заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Яламову Ю И за активное участие при определении общего направления исследования, совместное обсуждение, ценные рекомендации при работе над диссертацией

Подписано в печать 31 05 2007 г Бумага офсетная Гарнитура «Times New Roman»

Формат бумаги 60/84 шб Уел п л 2 _ Тираж 100 экз Заказ № 180__

Изготовлено с готового оригинал-макета в Издательстве МГОУ 105005, г Москва, ул Радио, д 10-а

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СУБЛИМИРУЮЩИХ СФЕРИЧЕСКИХ

АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ.

§1.1. Термофорез сублимирующей однородной аэрозольной частицы.

§1.2. Фотофорез сублимирующей однородной аэрозольной частицы.

§1.3. Термофорез сублимирующей аэрозольной частицы с переменной внутренней теплопроводностью.

§ 1.4. Фотофорез сублимирующей аэрозольной частицы с переменной внутренней теплопроводностью.

Глава И. ТЕОРИЯ ТЕРМОФОРЕЗА ДВУХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Решение уравнений теплопроводности.

§2.3. Решение уравнений гидродинамики.

§2.4. Формулы для силы Стокса, термофоретической силы, скорости и поправок к ним.

§2.5. Формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов.

Глава III. ТЕОРИЯ ТЕРМОФОРЕЗА ДВУХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ДВУХСЛОЙНЫХ

АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ.

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Решение уравнений теплопроводности.

§3.3. Решение гидродинамической части задачи.

§3.4. Формулы для термофоретической силы, скорости и поправок к ним.

§3.5. Формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов.

Глава IV. ТЕОРИЯ ТЕРМОФОРЕЗА ДВУХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ С

ПЕРЕМЕННОЙ ВНУТРЕННЕЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ.

§4.1. Постановка задачи.

§4.2. Решение уравнений теплопроводности.

§4.3. Формулы для термофоретической силы, скорости и поправок к ним.

§4.4. Формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов.

Глава V. ТЕОРИЯ ТЕРМОФОРЕЗА ДВУХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МНОГОСЛОЙНЫХ

АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ.

§5.1. Постановка задачи.

§5.2. Решение уравнений теплопроводности.

§5.3. Формулы для термофоретической силы, скорости и поправок к ним.

§5.4. Формулы для приближенных вычислений и результаты расчетов.

Актуальность работы. Проблема переноса аэрозольных частиц в газовых средах под действием внешнего поля имеет большое научное и прикладное значение [1-12]. В связи с этим важным является установление и изучение новых физических эффектов, играющих существенную роль при описании их движения. Диссертационная работа посвящена обобщению существующих теорий движения и взаимодействия твердых сферических аэрозольных частиц. В ней выбраны два направления для обобщения - учет поверхностных явлений и объемных особенностей аэрозольных частиц.

Рассмотрение движения аэрозольных частиц при малых числах Кнудсена Л/а, где Я - средняя длина свободного пробега молекул газа, а - радиус частицы, можно вести гидродинамическим методом [13-16]. В настоящее время теория движения таких частиц подробно описана для различных случаев внешнего поля. Движение аэрозольной частицы в поле постоянного на большом удалении от нее градиента температуры называется термофоретическим, и теория термофоретического движения построена с учетом широкого класса эффектов [17-116]. Движение аэрозольной частицы в поле оптического излучения называется фотофоретическим, и изучению теории фотофоретического движения также посвящено много работ [117-152]. Тем не менее, вопросы обобщения существующих теорий остаются актуальными.

Одним из направлений для обобщения теории движения летучих сферических аэрозольных частиц является учет коэффициента испарения [153]. Летучими называются частицы, на поверхности которых происходит фазовый переход (испарение или конденсация вещества частицы). Твердая летучая аэрозольная частица называется сублимирующей. Особый интерес представляет теория движения сублимирующих неоднородных аэрозольных частиц. Под объемными особенностями в данной работе имеются в виду именно различные модели неоднородности частиц. У неоднородной частицы коэффициент теплопроводности в каждой ее точке зависит от координат этой точки. Если рассмотреть эту зависимость в сферической системе координат с началом в центре частицы, то для большого класса аэрозольных частиц зависимость их коэффициента теплопроводности Kt от координаты г оказывается более существенной, чем зависимость от других координат. В случае непрерывной зависимости Ki=Ki{r) частица называется частицей с переменной внутренней теплопроводностью, и теория термофоретического и фотофоретического движений нелетучих аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью также была рассмотрена в ряде работ [154-163]. Если в общем случае зависимости Kt = решения могут быть записаны с помощью рекуррентных формул, то в случае экспоненциальной зависимости Kt{r) = tci(0)ехр(£г- г/а), где kt - параметр, характеризующий неоднородность частицы, решениям можно придать аналитический вид. Поэтому под переменной внутренней теплопроводностью в данной работе имеется в виду экспоненциальная зависимость коэффициента теплопроводности от координаты г. Теория движения сублимирующих аэрозольных частиц во внешних полях с учетом коэффициента испарения и переменной внутренней теплопроводности ранее не рассматривалась.

Важным направлением для обобщения теории термофоретического движения твердых сферических нелетучих аэрозольных частиц является учет гидродинамического эффекта. Гидродинамический метод, применяемый для описания движения аэрозольных частиц, основан на предположении о большой удаленности частиц друг от друга, при которой частица может рассматриваться как одиночная. Если частицы расположены близко, то движущаяся частица генерирует в газовой среде поле скорости, влияющее на движение других частиц, и такие частицы называются гидродинамически взаимодействующими. Обобщение теории движения гидродинамически взаимодействующих частиц с учетом их неоднородности является важной задачей в теории аэродисперсных систем. К частицам с неоднородными теплофизическими свойствами относятся, кроме упомянутых частиц с переменной внутренней теплопроводностью, двухслойные частицы [164-176]. Они образуются в ходе конденсации молекул паров какого-либо вещества на поверхности твердого ядра. После затвердевания жидкой оболочки образуется твердая двухслойная частица. Коэффициент теплопроводности двухслойной частицы является дискретной функцией координаты г. Обобщением модели двухслойной частицы является модель многослойной частицы. В настоящее время движение однородных частиц с учетом гидродинамического эффекта подробно описано в литературе [177-241]. Теория термофоретического движения аэрозольных частиц, в которой одновременно учитываются гидродинамический эффект и упомянутые выше объемные особенности, также ранее не рассматривалась.

Среди систем гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц наибольший интерес представляют системы из двух частиц (дублеты), а среди дублетов - дублеты из одинаковых частиц, движущихся вдоль линии их центров. Такие дублеты обладают устойчивостью, а при движении вдоль линии центров наблюдается наибольшее взаимодействие частиц. Поэтому в данной работе под дублетом имеется в виду пара одинаковых гидродинамически взаимодействующих частиц, движущихся вдоль линии их центров. В случае однородных частиц в биполярной системе координат можно получить точное решение задачи о термофорезе двух сферических частиц, движущихся вдоль линии их центров. Имеются также численные методы, позволяющие изучать гидродинамический эффект. В случае же неоднородных частиц актуальной является разработка единого метода, позволяющего получить как точное решение задачи о термофорезе для двухслойных, многослойных частиц и частиц с переменной внутренней теплопроводностью, так и формулы для практических расчетов.

Целью данной работы является:

1. Описание термофоретического и фотофоретического движений сублимирующих сферических аэрозольных частиц с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности.

2. Разработка метода для решения задачи о термофорезе двух одинаковых твердых сферических нелетучих аэрозольных частиц, движущихся вдоль линии их центров, позволяющего обобщение на случай неоднородных частиц и получение как точного решения, так и формул для практических расчетов.

3. Описание термофоретического движения двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих двухслойных, многослойных аэрозольных частиц (дискретный случай) и аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью (непрерывный случай) с использованием разработанного метода.

Достоверность результатов подтверждается согласием их с результатами других авторов. Из построенной теории движения аэрозольных частиц с учетом поверхностных и объемных особенностей можно получить известные результаты путем предельного перехода.

Научная новизна.

1. Построены теории термофореза и фотофореза сублимирующих сферических аэрозольных частиц с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности.

2. На основе теории линейных операторов разработан метод, с помощью которого можно получить как точное решение задачи о термофорезе двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических аэрозольных частиц с объемными особенностями, движущихся вдоль линии центров, так и приближенные формулы для практических расчетов. Получены формулы для силы Стокса, термофоретической силы и скорости, а также формулы для поправок к ним. Проведен анализ поля температуры на поверхности одной частицы с учетом влияния второй частицы.

3. Построена теория термофореза двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических двухслойных аэрозольных частиц.

4. Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих твердых сферических двухслойных аэрозольных частиц обобщена на случай многослойных аэрозольных частиц.

5. Построена теория термофореза двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью.

Теоретическая и практическая значимость.

Изучение переноса аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрациям газовых средах является важнейшей проблемой. Теоретическое описание движения аэрозольных частиц в таких средах, в том числе неоднородных по своим теплофизическим свойствам частиц, выявление закономерностей их поведения вызывает не только научный, но и практический интерес, так как это знание можно использовать при целенаправленном воздействии на аэрозоли. Результаты исследования могут быть использованы при математическом моделировании процессов переноса в аэродисперсных системах.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Решения задач о термофорезе и фотофорезе сублимирующих сферических аэрозольных частиц с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности.

2. Операторный метод решения задачи о термофорезе двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических нелетучих аэрозольных частиц, движущихся вдоль линии их центров.

3. Решения задач о термофорезе двух одинаковых гидродинамически взаимодействующих твердых сферических двухслойных, многослойных аэрозольных частиц, а также аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью, движущихся вдоль линии центров.

Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены на V Международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли» (Санкт-Петербург, май 2006 г.); Международной конференции «Математическая гидродинамика» (Москва, июнь 2006 г.); XIII Рабочей группе «Аэрозоли Сибири» (Томск, ноябрь 2006 г.); X Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, декабрь 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 20 публикаций [242-261], в том числе 11 статей в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 280 наименований. Содержит 52 рисунка и 7 таблиц. Полный объем работы составляет 222 страницы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Докторская диссертация посвящена обобщению теории движения твердых сферических аэрозольных частиц во внешних полях с учетом поверхностных явлений и объемных особенностей частиц.

В случае твердых сферических аэрозольных частиц, на поверхности которых идет фазовый переход в виде испарения (сублимации) вещества частицы, формулы для скорости термофореза и фотофореза обобщены с учетом коэффициента испарения (сублимации) и переменной внутренней теплопроводности. Вклад коэффициента испарения в величину скорости аэрозольной частицы может быть существенным.

Предложен новый метод решения задачи о термофорезе двух одинаковых аэрозольных частиц (операторный метод), движущихся вдоль линии центров, позволяющий обобщение на случай неоднородных аэрозольных частиц и в рамках которого можно получить как точное решение, так и формулы для практических расчетов. Приведены формулы для поправок к закону Стокса, к термофоретической силе и скорости, для возмущений одной частицей поля температуры на поверхности другой частицы.

Операторным методом решена задача о термофорезе дублета двухслойных аэрозольных частиц. Проанализировано влияние размера и теплопроводности ядра на значения поправок к термофоретической силе и скорости.

Решение задачи о термофорезе дублета двухслойных аэрозольных частиц обобщено на случай дублета многослойных аэрозольных частиц. Модель многослойных аэрозольных частиц является важной для описания поверхностных слоев частицы при изучении гидродинамического эффекта.

Операторным методом решена задача о термофорезе дублета аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью. Проанализировано влияние характера неоднородности аэрозольных частиц на зависимость термофоретической силы и скорости от расстояния между частицами. Показана связь между моделью аэрозольной частицы с переменной внутренней теплопроводностью и моделью двухслойной аэрозольной частицы с массивным ядром с высокой по сравнению с оболочкой теплопроводностью. При изучении гидродинамического эффекта в случае дублетов аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью могут быть использованы формулы для дублета многослойных аэрозольных частиц.

Материалы диссертации могут быть использованы при математическом моделировании процессов переноса тепла и массы в аэродисперсных системах.

Автор выражает благодарность заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Яламову Ю.И. за активное участие при определении общего направления исследования, совместное обсуждение, ценные рекомендации при работе над диссертацией.

1. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 351 с.

2. Фукс Н.А. Успехи механики аэрозолей. М., 1961.158 с.

3. Дерягин Б.В. Аэрозоли (дымы и туманы). М.: Знание, 1961.

4. Спурный К., Йех Ч., Седлачек Б., Шторх О. Аэрозоли. М.: Атомиздат, 1964.360 с.

5. Фукс Н.А., Сутугин А.Г. Высокодисперсные аэрозоли. М., 1969. 84 с.

6. Грин X., Лейн В. Аэрозоли пыли, дымы и туманы. Л.: Химия, 1969. 428 с.

7. Sutton C.W. Рассеивание тумана мощным лазером // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 10. С. 196-199.

8. Довгалюк Ю.А., Ивлев Л.С. Физика водных и других атмосферных аэрозолей. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 255 с.

9. Ужов В.Н., Вальдберг А.Ю., Мягков Б.И., Решидов И.К. Очистка промышленных газов от пыли. М.: Химия, 1983. 297 с.

10. Зуев В.Е., Землянин А.А., Копытин Ю.Д., Кузиковский А.В. Мощное лазерное излучение в атмосферном аэрозоле. Новосибирск: Наука, 1984. 224 с.

11. Углов А.А., Гнедовец А.Г. Нагрев капли в газовой атмосфере импульсным лазерным излучением // Физика и химия обработки материалов. 1985. № 4. С. 10-15.

12. Райст П. Аэрозоли. М.: Мир, 1987. 280 с.

13. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.928 с.

14. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. 584 с. Т. 2. 728 с.

15. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 632 с.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

17. Maxwell J.C. On Stresses in Rarefied Gases Arising from Inequalities of Temperature //Philos.Trans. Roy. Soc. 1879. V. 170. N 1. P. 231-256.

18. Epstein P.S. Zur Theorie des Radiometers // Zs. f. Physik. 1929. Bd. 54. N 4. P. 537-563.

19. Rosenblatt P., La Mer V.K. Motion of particles in a temperature gradient; thermal repulsion as a radiometric phenomenon // Phys. Rev. 1946. V. 70. P. 385-395.

20. Дерягин Б.В., Духин C.C. О движении аэрозольных частиц в поле диффузии//ДАН СССР. 1956. Т. 106. № 5. С. 851-854.

21. Фукс Н.А., Янковский С.С. О термофорезе в потоке аэрозоля // ДАН СССР. 1958. Т. 119. №6. С. 1177-1179.

22. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., 1960.510 с.

23. Shadt C.F., Caddie R.D. Thermal forces on aerosol particles // J. Phys. Chem. 1961. V. 65. N 10. P. 1689-1693.

24. Brock J.R. On the Theory of Thermal Forces Acting on Aerosol Particles //J. Coll. Sci. 1962. V. 17. P. 768-780.

25. Brock J.R. Forces on Aerosols in Gas Mixture // J. Colloid Sci. 1963. V. 18. N6. P. 489-501.

26. Дерягин Б.В., Рабинович Я.И. Экспериментальная проверка теории термофореза больших аэрозольных частиц // ДАН СССР. 1964. Т. 157. № 1. С. 154-157.

27. Сторожилова А.И. Измерение скорости движения аэрозольных частиц в поле диффузии водяного пара // ДАН СССР. 1964. Т. 155. № 2.С. 426-429.

28. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно больших аэрозольных частиц // ДАН СССР. 1964. Т. 155. № 4. С. 886-889.

29. Рабинович Я.И. Экспериментальное исследование движения газа и взвешенных в нем частиц под влиянием температурного градиента: Автореф. дис. канд.физ.-мат. наук. М., 1965. 13 с.

30. Derjaguin B.V., Yalamov Yu.I. Theory of Thermophoresis of Large Aerosol Particles // J. Colloid Sci. 1965. V. 20. N 6. P. 555-570.

31. Brock J.R. The Thermal Force in the Transition Region // J. Colloid and Interface Sci. 1967. V. 23. P. 448-452.

32. Brock J.R. Experiment and Theory for the Thermal Force in the Transition Region // J. Coll. and Interf. Sci. 1967. V. 25. № 3. P. 393-399.

33. Яламов Ю.И. Теория движения аэрозольных частиц в неоднородных газах: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1968. 353 с.

34. Lang Н., Loyalka S.K. On exact expression for the diffusion slip velocity in a binary gas mixture // Phys. Fluids. 1970. V. 13. P. 1870-1873.

35. Абрамов Ю.И., Гладуш Г.Г. Диффузионное и тепловое скольжение бинарной смеси газов // ПМТФ. 1970. № 4. С. 51-55.

36. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И., Галоян B.C. Теория движения умеренно крупных летучих аэрозольных частиц в неоднородных газах // ДАН СССР. 1971. Т. 201. №2. С. 383-385.

37. Yalamov Yu.I., Derjaguin B.V., Galojan V.S. Theory of thermophoresis of volatile aerosol particles and droplets of solutions // J. Colloid and Interface Sci. 1971. V. 37. N4. P. 793-800.

38. Яламов Ю.И., Щукин E.P. Теория термофореза испаряющихся капель грубодисперсного аэрозоля //ЖФХ. 1971. Т. 45. № 10. С. 2421-2424.

39. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Гидродинамический метод расчета скорости термофореза умеренно крупных нелетучих аэрозольных частиц //ЖФХ. 1971. Т. 45.№3. С. 577-582.

40. Яламов Ю.И., Ивченко И.Н. О диффузионном скольжении бинарной газовой смеси // Изв. АН СССР. Серия МЖГ. 1971. № 4. С. 22-26.

41. Яламов Ю.И., Дерягин Б.В. Теория термофореза умеренно крупных и крупных аэрозольных частиц с учетом теплового скольжения газа и скачка температуры у поверхности частиц // Коллоидный журнал. 1971. Т. 33. №2. С. 294-300.

42. Loyalka S.K. The slip problem for a simple gas // Z. Naturforsch. 1971. B. 26a. P. 964-972.

43. Loyalka S.K. Velocity slip coefficient and the diffusion slip velocity for a multicomponent gas mixture // Phys. Fluids. 1971. V. 14. N 12. P. 2599-2604.

44. Галоян B.C. Вопросы теории термофореза и диффузиофореза летучих аэрозольных частиц: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1971. 102 с.

45. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Прямой метод расчета термофоретической силы, действующей на умеренно крупную частицу // Коллоидный журнал. 1972. Т. 34. №5. С. 769-773.

46. Яламов Ю.И., Метелкин Е.В. О движении аэрозольной частицы в неоднородно нагретой бинарной газовой смеси в гидродинамическом режиме // ЖФХ. 1972. Т. 46. № 10. С. 2639-2643.

47. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р. Теория термофореза высокодисперсных летучих аэрозолей // ЖФХ. 1973. № 5. С. 1288-1290.

48. Яламов Ю.И., Барсегян О.А., Галоян B.C. Гидродинамическая теория переноса нелетучих аэрозольных частиц в неоднородной по температуре и концентрации бинарной газовой смеси // ЖФХ. 1973. Т. 47. № 10. С. 2722.

49. Сторожилова А.И., Щербина Г.И. Измерение скорости термофореза крупных аэрозольных частиц и применение результатов измерения к определению коэффициентов теплового скольжения газа // ДАН СССР. 1974. Т. 217. №2. С. 386-389.

50. Яламов Ю.И., Барсегян О.А., Галоян B.C., Дерягин Б.В. К теории движения умеренно крупных нелетучих аэрозольных частиц в неоднородной по температуре и концентрации бинарной газовой смеси // ДАН СССР. 1974. Т. 216. № 2. С. 289-292.

51. Loyalka S.K. Temperature jump in the gas mixture // Phys. Fluids. 1974. V. 17. N5. P. 897-899.

52. Щукин E.P. Вопросы теории движения аэрозольных частиц (летучих и нелетучих) в газовых смесях в одновременном поле градиентов температуры и концентраций: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Калинин, 1974. 128 с.

53. Яламов Ю.И., Юшканов А.А., Барсегян О.А. К вопросу о зависимости от числа Кнудсена скорости термофореза умеренно крупных нелетучих частиц // ЖФХ. 1974. Т. 48. № 9. С. 2393.

54. Яламов Ю.И., Санасарян А.С. О движении крупных капель, твёрдых частиц и газовых пузырьков в неоднородных по температуре газах и жидкостях в режиме со скольжением // ЖТФ. 1975. Т. 45. № 10. С. 21522158.

55. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Щукин Е.Р. Теория термодиффузиофореза умеренно крупных и крупных летучих аэрозольных частиц // ЖФХ. 1975. Т. 49. № 2. С. 505-507.

56. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н. О движении нелетучих крупных аэрозольных частиц в неоднородной многокомпонентной газовой смеси // Коллоидный журнал. 1975. Т. 37. № 3. С. 460-467.

57. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 344 с.

58. Яламов Ю.И., Барсегян О.А., Юшканов А.А. Вычисление скорости скольжения газа вдоль сферической поверхности и ее влияния на скорость термофореза // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика. Калинин, 1975. С. 11-35.

59. Гайдуков М.Н. Применение методов термодинамики необратимых процессов и физической кинетики в физике аэрозолей: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Калинин, 1975.152 с.

60. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса вгазах. М.: Мир, 1976. 554 с.

61. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Барсегян О.А. О влиянии термодиффузии на термодиффузиофоретическое движение аэрозольных частиц // ДАН СССР. 1976. Т. 229. № 2. С. 371-374.

62. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н. Два метода построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц // Коллоидный журнал. 1976. Т. 38. №6. С. 1149-1155.

63. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Барсегян О.А. О влиянии термодиффузии на термофоретическое движение аэрозольных частиц // ДАН СССР. 1976. Т. 229. № 2. С. 371-374.

64. Яламов Ю.И., Юшканов А.А. Диффузионное скольжение бинарной газовой смеси вдоль искривленной поверхности // ДАН СССР. 1977. Т. 237. № 2. С. 303-306.

65. Yalamov Yu.I., Yushkanov А.А. Theory of thermal slip along the spherical surface of a binary mixture of gases // Phys. Fluids. 1977. V. 20. N 11. P. 18051809.

66. Яламов Ю.И., Агванян Ю.М. Термофорез крупных жидких капель раствора в бинарной вязкой смеси при наличии фазового перехода на поверхности капель // ЖФХ. 1978. Т. 52. № 3. С. 579-583.

67. Яламов Ю.И., Татевосян A.M., Гайдуков М.Н. Термодиффузиофорез капель раствора в бинарной газовой смеси // ЖТФ. 1979. Т. 49. № 6. С. 1323-1326.

68. Агванян Ю.М., Яламов Ю.И. К теории диффузиофороза «летучих» высокотеплопроводных сферических капель // Коллоидный журнал. 1978. Т. 40. № 6. С. 1043-1047.

69. Яламов Ю.И., Юшканов А.А. Тепловое скольжение бинарной газовой смеси вдоль искривленной поверхности // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика. М., 1978. С. 162-175. Деп. в ВИНИТИ. № 3504-78.

70. Агванян Ю.М., Яламов Ю.И. Диффузиофорез жидких капель в вязких средах с учетом внутренних течений и фазового перехода на их поверхности // ИФЖ. 1979. Т. 37. № 6. С. 1083-1088.

71. Prodi F., Santachiara G., Prodi V. Measurements of Thermophoretic Velocities of Aerosol Particles in The Transitions Region // J. Aerosol Sci. 1979. №10. P. 421-425.

72. Яламов Ю.И., Ханухова JI.B. Термодиффузионные эффекты в динамике капли в неоднородной по температуре смеси // ЖТФ. 1979. Т. 49. № 11. С. 2485-2486.

73. Агванян Ю.М. Термофорез и диффузиофорез крупных летучих капель при произвольной относительной ориентации градиентов температуры и концентрации // Изв. ВУЗов. Серия Физика. 1979. № 7. С. 127-130. Деп. в ВИНИТИ. № 1652-79.

74. Яламов Ю.И., Юшканов А.А., Поддоскин А.Б. О граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом поверхности малой кривизны // ДАН СССР. 1980. Т. 254. № 2. С. 343-346.

75. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А, Яламов Ю.И. К вопросу о термофорезе умеренно крупных аэрозольных частиц // ЖТФ. 1980. Т.50. № 1. С.153-161.

76. Юшканов А. А. Некоторые вопросы физической кинетики и динамики аэрозоле: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1980. 155 с.

77. Яламов Ю.И., Ивченко И.Н., Мурадян С.М. Теория испарения сферических капель при произвольных числах Кнудсена // ДАН СССР. 1981. Т. 258. №5. С. 1106-1110.

78. Бахтилов В.И., Щукин Е.Р., Яламов Ю.И. Теория термодиффузиофореза летучих крупных сфероидальных аэрозольных частиц // Вопросы физики формообразования и фазовых превращений.

79. Калинин, 1982. С. 116-126.

80. Мурадян С.М. Тепло-массоперенос в ограниченных объемах неоднородных газов, содержащих аэрозольные частицы: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1982.95 с.

81. Уварова JI.A. Теория испарения многокомпонентных капель и частиц под действием тепловых источников: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1982.145 с.

82. Fuchs N. Thermophoresis of aerosol particles at small Knudsen number: Theory and Experiment // J. Aerosol Sci. 1982. V. 13. № 4. P. 327-330.

83. Яламов Ю.И., Демберел О.Ж. Диффузиофорез капель концентрированных растворов с двойным фазовым переходом // ИФЖ. 1983. Т. 45. №6. С. 1018-1019.

84. Яламов Ю.И., Чапланова И.Н., Гайдуков М.Н. О термофорезе аэрозольных частиц в бинарной газовой смеси в почти свободно-молекулярном режиме // ТВТ. 1983. Т. 21. № 3. С. 533-537.

85. Марков М.Г., Щукин Е.Р. Термофорез аэрозольной частицы, испаряющейся в бинарной газовой смеси // ИФЖ. 1983.Т. 44. № 1.С. 143144.

86. Щукин Е.Р., Санасарян А.С. К вопросу об испарении капель чистых веществ в многокомпенентных газовых смесях // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика. МОПИ им. Н.К. Крупской. 1983. Вып. 7. Ч. 2. С. 85-89. Деп. в ВИНИТИ. № 5882-83.

87. Мелкумян М.А., Яламов Ю.И. О влиянии слабой деформации поверхности сферической аэрозольной частицы на ее поведение в неоднородной газовой среде. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1983. 24 с. Деп. в ВИНИТИ. № 5180-83.

88. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Мелкумян М.А. Термофорез слабодеформированной сферической аэрозольной частицы // ДАН СССР. 1984. Т. 274. № 3. С. 580-582.

89. Скачков И.М., Щукин Е.Р., Яламов Ю.И. К вопросу о движении аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрации средах // ИФЖ. 1984. Т. 46. № 1. С. 144.

90. Щукин Е.Р., Скачков И.М. Термофоретическое движение аэрозольных частиц при малых числах Кнудсена // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, 1984. Вып. 32. С. 52-56.

91. Яламов Ю.И. Теория движения твердых и жидких аэрозольных частиц в неоднородных газах // Тезисы докладов VIII Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов. М., 1985. Т. I. С. 39.

92. Бахтилов В.И. Теория диффузиофоретического движения и испарение мелких и крупных сфероидальных аэрозольных частиц с внутренними источниками тепла: Дис. канд. физ.-мат. наук. Одесса, 1985. 169 с.

93. Скачков И.М. Исследование влияния форм-факторов, инерционных и конвективных эффектов на движение аэрозольных частиц в неоднородных газах: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1986.185 с.

94. Редчиц В.П. Динамика несферических аэрозольных частиц в неоднородных газах и газовых смесях: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1986. 160 с.

95. Яламов Ю.И., Маясов Е.Г., Юшканов А.А. Термофорез сферической аэрозольной частицы при промежуточных числах Кнудсена // XIV Всесоюзная конференция «Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем». Одесса: Изд-во ОГУ, 1986. Т. 1. С. 125.

96. Гайдуков М.Н. Динамика аэрозольных частиц в неоднородных газах: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1986. 337 с.

97. Береснев С.А., Черняк В.Г. Термофорез сферической аэрозольной частицы при произвольных числах Кнудсена // ТВТ. 1986. Т. 24. № 3. С. 549-557.

98. Савков С.А. Граничные условия скольжения неоднородной бинарной смеси газов и их применение в динамике аэрозолей: Дис. канд. физ.-мат.наук. М., 1987. 128 с.

99. Шейфот А.И. Исследование особенностей движения и взаимодействия аэрозольных частиц в тепловых и оптических полях: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1987.155 с.

100. Чапланова И.Н. Динамика аэрозольной частицы в почти свободно-молекулярном режиме: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1987. 130 с.

101. Маясов Е.Г., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О термофорезе нелетучей сферической частицы в разреженном газе при малых числах Кнудсена // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. № 6. С. 498-502.

102. Яламов Ю.И., Щербакова Е.В. Обзор теорий термофореза крупных и умеренно крупных твердых аэрозольных частиц и их связь с экспериментом. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1988. 22 с. Деп. в ВИНИТИ. № 581-В89.

103. Яламов Ю.И., Латышев А.В. К проблеме граничных условий при движении аэрозольных частиц в неоднородных газах // Тезисы докладов XV Всесоюзной конференции «Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем». Одесса, 1989. Т. 1. С. 88.

104. Яламов Ю.И., Алехин Е.И. Граничные условия на поверхности крупных летучих аэрозольных частиц // Тезисы докладов XV Всесоюзной конференции «Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем». Одесса, 1989. Т. 1. С. 90.

105. Яламов Ю.И., Чермошенцева О.Ф. Математические основы теории движения твердой сферической аэрозольной частицы в неоднородном по температуре газе. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1990. 100 с. Деп. в ВИНИТИ. № 1558-В90.

106. Яламов Ю.И., Чермошенцев А.В. Математические основы теории термофореза крупной сферической летучей аэрозольной частицы. М., 1990. 81 с. Деп. в ВИНИТИ. № 1559-В90.

107. Яламов Ю.И., Чермошенцева О.Ф. Теория термофореза твердойсферической аэрозольной частицы с учетом термодиффузии. МОПИ им. Н.К. Крупской. М, 1990. 14 с. Деп. в ВИНИТИ. № 1556-В90.

108. Яламов Ю.И., Чапланова И.Н. Теория движения аэрозольной частицы в неоднородных разреженных газах. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1990. 131 с. Деп. в ВИНИТИ. № 1557-В90.

109. Ушакова Н.Я. Термо- и диффузиофорез капель бинарных растворов: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1991. 161 с.

110. Красовитов Б.Г. Испарение и конденсационный рост крупных и умеренно крупных капель в газообразных средах при произвольных перепадах температуры: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1991.149 с.

111. Роман В.Г. Влияние несферичности, инерционных и конвективных эффектов на движение аэрозольных частиц во внешних полях: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1992. 103 с.

112. Yalamov Yu.I. Percularites of Thermodiffusiophoretic Motion of Nonspherical Aerosol Particles // Workshop «Phoretic Effects». Prague, 1993. P. 7-8.

113. Яламов Ю.И., Чермошенцев A.B., Чермошенцева О.Ф. Термофорез умеренно крупной твердой аэрозольной частицы, имеющей форму слабо деформированной сферы // ТВТ. 1997. Т. 35. № 4. С. 622-627.

114. Щукин Е.Р. Влияние нелинейных характеристик газообразной среды на движение, улавливание и кинетику фазовых переходов аэрозольных частиц: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1998. 286 с.

115. Юшканов А.А. Влияние кинетических процессов в газе и плазме на динамику и свойства аэрозолей: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1999. 259 с.

116. Ehrenhaft F. Die Photophorese // Ann. Phys. 1918. Bd. 56. P. 81-132.

117. Keng E.Y., Orr C.J. Light Boundary Effect in Photophoresis // Nature. 1963. V. 200. P. 352-358.

118. Preining O. Photophoresis // In: «Aerosol Science» / Ed. by C.N. Davies:

119. Academic Press. New York, 1966. N 4.

120. Hidy G.M., Brock J.R. Photophoresis and the Descent of Particles into the Lower Stratosphere // J. Geophys. Res. 1967. V. 72. N 2. P. 455-460.

121. Кузиковский A.B. Динамика сферической частицы в мощном оптическом поле // Изв. ВУЗов. Физика. 1970. № 5. С. 89-94.

122. Зуев В.Е., Кузиковский А.В., Погодаев В.А., Хмелевцов С.С., Чистякова JI.K. Тепловое воздействие оптического излучения на водные капли малого размера//ДАН СССР. 1972. Т. 20. С. 1069-1072.

123. Lin S.P. On Photophoresis // J. Colloid Interface Sci. 1975. V. 51. N 1. P. 66-71.

124. Яламов Ю.И., Кутуков В.Б. Фотофоретическое движение жидкой капли в вязкой среде // ЖФХ. 1975. Т. 49. № 9. С. 2465.

125. Tong N.T. Experiments on Photophoresis and Thermophoresis // J. Colloid Interface Sci. 1975. V. 51. N 1. P. 143-151.

126. Кутуков В.Б., Щукин E.P., Яламов Ю.И. О фотофоретическом движении аэрозольной частицы в поле оптического излучения // ЖТФ. 1976. Т. 46. Вып. 3. С. 626-627.

127. Yalamov Yu.I., Kutukov V.B., Shchukin E.R. Theory of the Photophoretic Motion of the Large-Size Volatile Aerosol Particles // J. Coll. Int. Sci. 1976. V. 57. N3. P. 564-571.

128. Алексеев И.М., Свиркунов П.Н. Испарение твердых частиц под действием лазерного излучения // I Всесоюзное совещание по атмосферной оптике. Тезисы докладов. Томск, 1976. Ч. 2. С. 200-202.

129. Кутуков В.Б. Движение макрочастиц в вязких средах в поле оптического излучения: Дис. канд. физ.-мат. наук. Калинин, 1976.137 с.

130. Горелов C.JI. Термофорез и фотофорез в разреженном газе // МЖГ. 1976. №5. С. 178-182.

131. Яламов Ю.И., Кутуков В.Б. Движение крупной капли жидкости в поле оптического излучения // Письма в ЖТФ. 1976. Т. 2. Вып. 5. С. 219-224.

132. Яламов Ю.И., Кутуков В.Б., Щукин Е.Р. Движение капли в поле оптического излучения при малых значениях числа Кнудсена // ДАН СССР. 1977. Т. 234. № 5. С. 1047-1050.

133. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Кутуков В.Б., Мягков А.В., Грецкий А.В. О влиянии термодиффузии на фотофоретическое движение аэрозольных частиц // ИФЖ. 1977. Т. 33. № 3. С. 491-494.

134. Кутуков В.Б., Яламов Ю.И. Поперечное фотофоретическое движение частиц в лазерном луче // Нелинейные эффекты при распространении лазерного излучения в атмосфере. Томск, 1977. С. 145-147.

135. Яламов Ю.И., Силин Н.А., Сидоров А.Н., Баринова М.Ф., Щукин Е.Р. Об испарении капель тугоплавких веществ в поле электромагнитного излучения // ЖТФ. 1980. Т. 50. № 2. С. 380-384.

136. Марков М.Г. Теоретическое исследование термодиффузиофореза и фотофореза на эволюцию атмосферного аэрозоля: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1983. 179 с.

137. Щукин Е.Р. Фотофоретическое движение частиц в интенсивном лазерном луче // Тезисы докладов «III Всесоюзного совещания по распространению лазерного излучения в дисперсной среде». Обнинск: Инст. экспер. метеор., 1985. Ч. 4. С. 179-182.

138. Пустовалов К.В., Романов Г.С. Испарение капли в диффузионном режиме интенсивным оптическим излучением с учетом температурных зависимостей теплофизических параметров // ДАН СССР. 1985. Т. 24. № 1. С. 50-53.

139. Боголетов А.И., Быстрый Г.Г. Экспериментальное изучение фотофореза в газах методом моделирования по числу Кнудсена // Тезисы докладов XIV Всесоюзной конференции «Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем». Одесса, 1986. С. 153-154.

140. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Попов О.А. Термофоретическое и фотофоретическое движение нагретой капли в вязкой неизотермической жидкости //ДАН СССР. 1987. Т. 297. № 1. С. 91-95.

141. Щукин Е.Р., Малай Н.В. Фотофоретическое и термодиффузиофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц // ИФЖ. 1988. Т. 54. № 4. С. 628-635.

142. Щукин Е.Р., Малай Н.В., Яламов Ю.И. Движение нагреваемых внутренними источниками тепла капель в бинарных газовых смесях // ТВТ. 1988. Т. 25. № 5. С. 1020-1024.

143. Щукин Е.Р., Малай Н.В. Термодиффузио- и фотофоретическое движение нагретых летучих аэрозольных частиц // ИФЖ. 1990. Т. 59. № 9. С.1033.

144. Yalamov Yu.I. Thermodiffosiophoretic and Photoforetic Motion of Solution Droplets // Workshop «Phoretic Effects». Prague, 1993. P. 5-6.

145. Щукин E.P. Фотофоретическое и термофоретическое движение твердой аэрозольной частицы при значительных перепадах температуры в ее окрестности. МПУ. М., 1993. 35 с. Деп. в ВИНИТИ. № 2353-В93.

146. Щукин E.P. Фотофоретическое и термофоретическое движение сильно нагретой твердой аэрозольной частицы // ТВТ. 1994. Т. 32. № 1. С. 142.

147. Яламов Ю.И. О влиянии коэффициента испарения на диффузиофорез летучих капель. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1990. 23 с. Деп. в ВИНИТИ. № 4120-В90.

148. Щукин E.P., Яламов Ю.И., Шулиманова З.Л., Еремчук Т.М. О термофорезе твердой умеренно крупной сферической частицы с коэффициентом теплопроводности, зависящим от радиальной координаты // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. Вып. 15. С. 33-36.

149. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория движения во внешних полях аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью // Тезисы докладов Международного аэрозольного симпозиума «IAS-З». М., 1996. С. 12.

150. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория термофореза неоднородных аэрозольных частиц // ТВТ. 1996. Т. 34. № 6. С. 929-935.

151. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. О термофоретическом движении крупных неоднородных аэрозольных частиц // ЖФХ. 1997. Т. 11. С. 2092-2094.

152. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Гидродинамическая теория термофореза и фотофореза сферических аэрозольных частиц с переменной внутреннейтеплопроводностью. МПУ. М., 1997. 141 с. Деп. в ВИНИТИ. № 1437-В97.

153. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Фотофорез гетерогенных по теплопроводности крупных аэрозольных частиц // ЖТФ. 1998. Т. 68. № 4. С. 1-6.

154. Мягков А.В., Островский Ю.К., Щукин Е.Р., Яламов Ю.И. Теория движения летучих и нелетучих двухслойных аэрозольных частиц в газовых смесях с неоднородным распределением температуры и концентрации // ЖФХ. 1978. Т. 52. № 6. С. 1545.

155. Татевосян A.M., Яламов Ю.И. Термофорез крупной двухслойной сферической частицы //Коллоидный журнал. 1978. Т. 40. № 1. С. 88-91.

156. Яламов Ю.И., Татевосян A.M., Афанасьев А.В. Теория термофореза умеренно крупной двухслойной сферической жидкой нелетучей частицы //ИФЖ. 1981. Т. 41. № 4. с. 732.

157. Гайдуков М.Н., Яламов Ю.И., Мелкумян М.А. О движении двухслойных аэрозольных частиц со смещенным ядром в неоднородной по температуре газовой среде // ЖТФ. 1983. Т. 53. № 5. С. 915-919.

158. Яламов Ю.И., Чермошенцева О.Ф. Термофорез умеренно крупной двухслойной аэрозольной частицы в бинарной газовой смеси. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1991. 21 с. Деп. в ВИНИТИ. № 660-В91.

159. Яламов Ю.И., Чермошенцев А.В. Движение умеренно крупных двухслойных капель в поле градиента температуры. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1992.16 с. Деп. в ВИНИТИ. № 625-В92.

160. Яламов Ю.И., Чермошенцева О.Ф. Гидродинамическая теория движения двухслойной аэрозольной частицы в неоднородной по температуре газовой смеси // ТВТ. 1992. Т. 30. № 2. С. 422-425.

161. Яламов Ю.И., Нормедова З.И. Особенности движения твердой двухслойной аэрозольной частицы в поле градиента температуры. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1993. 12 с. Деп. в ВИНИТИ. № 806-В93.

162. Яламов Ю.И., Терехина Е.Ю. Теория движения крупной твердой двухслойной сферической аэрозольной частицы в поле электромагнитного излучения. МПУ. М., 1995. 32 с. Деп. в ВИНИТИ. № 3279-В95.

163. Smoluchowski М. On the mutual action of spheres which move in a viscous fluid // Bull. Acad. Sci. Cracow. 1911. V. la. N 1. P. 28-42.

164. Stimson M., Jeffery G.B. The motion of two spheres through a viscous fluid//Proc.Roy. Soc. 1926. V. A111.N757. P. 110-116.

165. Пшенай-Северин C.B. О гидродинамическом взаимодействии облачных капель при малых расстояниях // Изв. АН СССР. Серия «Геофизика». 1958. № 10. С. 1254-1257.

166. Happel J. Viscous flow in multiparticle systems: slow motion of fluidsrelative to beds of spherical particles // A. I. Ch. E. Jour. 1958. V. 4. P. 197.

167. Kynch G.J. The slow motion of two or more spheres through a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1959. V. 5. Pt. 2. P. 193-208.

168. Happel J., Pfeffer R. The motion of two spheres following each other in a viscous fluid//A. I. Ch. Journal. 1960. V. 6. N. 1. P. 129-133.

169. Hocking L.M. The behaviour of cluster of spheres falling in a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1964. V. 20. P. 129-139.

170. Wakija S. Slow motion of a viscous fluid around two spheres // J. Phys. Soc. Japan. 1965. P. 1101-1109.

171. Wakija S. Mutual Interaction of two Spheroids Sedimenting a Viscous Fluid//J. Phys. Soc. Japan. 1965. V. 20. N 12. P. 1502-1514.

172. Goldman A.J., Cox R.G., Brenner H. The slow motion of two identical arbitrarily oriented spheres through a viscous fluid // Chem. Engng. Sci. 1966. V.21.P. 1151-1170.

173. Cooley M.D.A., O'Neill M.E. On the slow motion of two spheres in contact along their of centres through a viscous fluid // Proc. Camb. Phil. Soc.1969. V. 66. Pt. 2. P. 407-415.

174. Devis M.M. The slow translation and rotation of two unequal spheres in a viscous fluid//Chem. Engng. Sci. 1969. V. 24. P. 1769-1776.

175. O'Neill M.E. On axisymmetrical slow viscous flows caused by the motion of two equal spheres almost in contact // Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. V. 65. P. 543-557.

176. O'Neill M.E. Exact solution of the equations of slow viscous flow generated by the axisymmetrical motion of two equal spheres // Appl. Sci. Res.1970. V.21.P. 454-466.

177. Lin C.J., Lee K.J., Sather N.P. Slow motion of two spheres in a shear field // J. Fluid. Mech. 1970. V. 43. Pt. 1. P. 35-47.

178. Cooley M. D. A. The slow rotation in a viscous fluid of a sphere close to another fixed sphere about a diameter perpendicular to the line of centres

179. Quatr. J. Mech. Appl. Math. 1971. V. 24. Pt. 2. P. 237-250.

180. Wacholder E., Weis D. Slow motion of a fluid sphere in the vicinity of another sphere or a plane boundary // Chem. Engng. Sci. 1972. V. 27. P. 18171828.

181. Hocking L.M. The effect of slip on the motion of a sphere close to a wall and of two adjacent spheres // J. Eng. Math. 1973. V. 7. N 3. P. 207-221.

182. Haber S., Hetrsroni G., Solan A. Low Reynolds number motion of two droplets // Int. J. Multiphase Flow. 1974. V. 1. P. 57-71.

183. Reed L.D., Morrison F.A. The slow motion of two touching fluid spheres along their line of senters // Int. J. Multiphase Flow. 1974. V.l. N 4. P. 573-584.

184. Reed L., Morrison F. Particle interactions in low Knudsen number thermophoresis //J. Aerosol Sci. 1975. V. 6. N 3. P. 349-365.

185. Leichtberg S., Weinbaum S., Pfeffer R., Gluckman M.J. A study of unsteady forces at low Reynolds number: a strong interaction theory for the coaxial settling of three or more spheres // Phill. Trans. Roy. Soc. 1976. V. A 282. P. 585-610.

186. Batchelor G.K. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction//J. Fluid Mech. 1976. V. 74. Pt. 1. P. 1-29.

187. Felderhof B.U. Hydrodynamic interaction between two spheres // Physica A. 1977. V. 89. N2. P. 373-384.

188. Ganatos P., Pfeffer R., Weinbaum S. A numerical technique for three-dimensional Stokes flow, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane // J. Fluid. Mech. 1978. V. 84. Pt. 1. P. 79-111.

189. Зинченко А.З. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах Рейнольдса // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 955-959.

190. Бэтчелор Дж., Грин Дж. Гидродинамическое взаимодействие частиц в суспензиях / Механика. М.: Мир, 1980. Сер. № 22. С. 11-124.

191. Кульбицкий Ю.Н. Расчет движения многих частиц в однородном вязком потоке с учетом их гидродинамического взаимодействия М., 1980.34 с. Препринт / СМНС АН СССР. № 4.

192. Зинченко А.З. Расчет близкого взаимодействия капель с учетом внутренней циркуляции и эффектов скольжения // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 4. С. 759-763.

193. Мелехов А.П., Гайдуков М.Н., Яламов Ю.И. Поведение двух капель в неоднородно нагретом газе // IV Всесоюзная конференция по аэрозолям. Тезисы докладов. Ереван, 1982. С. 56.

194. Мелехов А.П., Гайдуков М.Н., Яламов Ю.И. Термофорез двух крупных взаимодействующих частиц // Тезисы докладов 4-ой Всесоюзной конференции по аэрозолям. Ереван, 1982. С. 56.

195. Ли М.М., Гайдуков М.Н., Яламов Ю.И. Движение двух крупных сфероидальных частиц в тепловом поле // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1953. Вып. 7. Ч. 2. С. 188-199. Деп. в ВИНИТИ. № 5982-83.

196. Мелехов А.П., Гайдуков М.Н., Яламов Ю.И. Движение двух капель в неоднородно нагретой среде //ИФЖ. 1983. Т. 35. № 2. С. 326-327.

197. Weinbaum S., Kayser H.G. Hydrodynamic theory for closely interacting particles and boundaries at low Reynolds number // Fluid Dyn.Trans. (Polich Acad. Sci., Inst. Fund. Techn. Res.). 1983. V. 11. P. 229-301.

198. Мелехов А.П., Гайдуков M.H., Яламов Ю.И. Движение двух капель в неоднородно нагретой среде // ИФЖ. 1983. Т. 35. № 2. С. 326-327.

199. Ли М.М. Термодиффузиофоретическое движение двух крупных сфероидальных аэрозольных частиц // Изв. ВУЗов. Физика. 1984. № 2. С. 73-77.

200. Ли М.М., Гайдуков М.Н. Термофорез двух крупных сфероидальных аэрозольных частиц// ИФЖ. 1984. Т. 46. № 6. С. 1117.

201. Гайдуков М.Н., Мелехов А.П. Поведение цепочки сферических частиц в неоднородно нагретом газе // ИФЖ. 1984. Т. 37. № 1. С. 164-165.

202. Мелехов А.П. Термофорез гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц: Дис. . канд. физ-мат. наук. М., 1984. 110 с.

203. Гуськов О.Б. Теория гидродинамического взаимодействия жидких сферических капель в вязком потоке // Современные проблемы теплофизики. Материалы III Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. Новосибирск, 1984. С. 62-66.

204. Ли М.М. Влияние границ объема и взаимодействия аэрозольных частиц на их динамику в неоднородных газах: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Свердловск, 1984.144 с.

205. Кульбицкий Ю.Н. О гидродинамическом взаимодействии частиц в приближении уравнений Стокса. М., 1986. 64 с. Препринт / СМНС АН СССР. №15.

206. Яламов Ю.И., Мелехов А.П., Гайдуков М.Н. Термофорез гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц // ДАН СССР. 1986. Т. 287. №2. С. 337-341.

207. Яламов Ю.И., Гращенков С.Н., Щукин Е.Р. О взаимном движении двух, нагреваемых внутренними источниками тепла, частиц // Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов. Свердловск, 1987. Т. 2. С. 87.

208. Гайдуков М.Н., Левин В.В., Терзян А.В. Движение ансамбля из нескольких аэрозольных частиц в неоднородной по температуре среде.

209. Исследование влияния разреженности среды // Избранные проблемы физической кинетики и гидродинамики дисперсных систем. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1987. С. 110-128. Деп. в ВИНИТИ. № 2675-В87.

210. Белозерцев В.А., Гайдуков М.Н. Движение двух крупных аэрозольных частиц в неоднородно нагретом газе // Избранные проблемы теоретической и математической физики. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1987. С. 119-143. Деп. в ВИНИТИ. № 6584-В87.

211. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Гращенков С.Н. О движении взаимодействующих частиц с неоднородным распределением внутренних источников // Динамика и кинетика дисперсных систем. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1987. С. 3-13. Деп. в ВИНИТИ. № 2676-В87.

212. Гращенков С.И. О гидродинамическом взаимодействии аэрозольных частиц, испаряющихся в диффузионном режиме // Избранные вопросы теоретической физики. М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1988. С. 82-89. Деп. в ВИНИТИ. №7132-В88.

213. Гращенков С.И., Щукин Е.Р. Теория испарения двух умеренно крупных нагреваемых внутренними источниками тепла взаимодействующих капель в поле внешних градиентов температуры и концентрации

214. Механика и физическая кинетика дисперсных систем. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1988. С. 100-119. Деп. в ВИНИТИ. № 8113-В88.

215. Гращенков С.Н., Сутугин А.Г., Щукин Е.Р., Яламов Ю.И. О движении двух твердых взаимодействующих частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла // ИФЖ. 1988. Т. 55. № 4. С. 655.

216. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Гращенков С.И. Термофорез и диффузиофорез двух аэрозольных частиц с учетом внутренних источников тепла. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1989. 117 с. Деп. в ВИНИТИ. № 7212-В89.

217. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Ли М.М. О движении двух сфероидальных частиц в неоднородно нагретом газе // ДАН СССР. 1989. Т. 305. №4. С. 811-815.

218. Левин В.В. Исследование поведения нескольких умеренно крупных частиц в неоднородных средах: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1993. 93 с.

219. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Левин В.В. Термофорез двух частиц при малых числах Кнудсена // ТВТ. 1994. Т. 32. № 1. С. 105-108.

220. Яламов Ю.И., Дьяконов С.Н. Движение двух крупных, касающихся друг друга, низкотеплопроводных аэрозольных частиц вдоль линии их центров в неоднородной по температуре вязкой среде. МПУ. М., 1995. 71 с. Деп. в ВИНИТИ. № 2587-В95.

221. Chen S.H., Keh H.S. Axisymmetric thermophoretic motion of two spheres // J. Aerosol Sci. 1995. V. 26. № 3. P. 429-444.

222. Chen S.H., Keh H.S. Axisymmetric thermophoresis of multiple aerosol spheres //J. Aerosol Sci. 1996. V. 16. P. 663-679.

223. Ruchton E., Devies J. The slow motion of two spherical particles along their line of centers // Int. J. Multiphase flow. V. 4. P. 357-381.

224. Mazur P. On the motion and Brownian motion of n spheres in a viscous fluid // Physica A. V. 110. N 1-2. P. 128-146.

225. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Теория термофореза сублимирующих крупных твердых сферических аэрозольных частиц с переменной теплопроводностью. МГОУ. М., 2003. 14 с. Деп. в ВИНИТИ. № 1651-В2003.

226. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Анализ влияния характеристик сублимирующей сферической аэрозольной частицы на скорость термофореза // Вестник МГОУ. 2004. № 1-2. С. 25-35.

227. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Термофорез неоднородных по теплопроводности сублимирующих аэрозольных частиц // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 7. С. 13-19.

228. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Фотофорез неоднородных по теплопроводности сублимирующих аэрозольных частиц. МГОУ. М., 2005. 15 с. Деп. в ВИНИТИ. № 35-В2005.

229. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория движения неоднородных по теплопроводности сублимирующих твердых сферических аэрозольных частиц в поле оптического излучения // ДАН. Т. 403. № 1. 2005. С. 333-336.

230. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. О влиянии коэффициента сублимации на фотофорез неоднородных по теплопроводности аэрозольных частиц //ПЖТФ. 2005. Т. 31. Вып. 15. С. 19-22.

231. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих крупных двухслойных аэрозольных частиц.

232. МГОУ. М., 2006. 25 с. Деп. в ВИНИТИ. № 93-В2006.

233. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория термофореза двух крупных гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц на основе теории линейных операторов. МГОУ. М., 2006. 22 с. Деп. в ВИНИТИ. № 94-В2006.

234. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Фотофорез крупных сублимирующих аэрозольных частиц // ТВТ. 2006. Т. 44. № 2. С. 293-297.

235. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Анализ влияния ядра на термофоретическое движение дублета твердых частиц // Вестник МГОУ. 2006. №2. С. 16-27.

236. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих крупных неоднородных по теплопроводности аэрозольных частиц // Вестник МГОУ. 2006. № 2. С. 28-39.

237. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория движения сублимирующих неоднородных аэрозольных частиц во внешних полях // Аэрозоли Сибири. XIII Рабочая группа: Тезисы докладов. Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2006. С. 7.

238. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Обобщение термофоретического движения дублета твердых частиц с учетом скачка температуры на ихповерхности // ЖТФ. 2006. Т. 76. Вып. 10. С. 18-24.

239. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория движения сублимирующих и взаимодействующих твердых сферических неоднородных аэрозольных частиц во внешних полях. Монография. МГОУ. М., 2006. 221 с.

240. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Анализ поля температуры на поверхности частицы в задаче о термофорезе дублета аэрозольных частиц // Вестник МГОУ. 2007. № 1. С. 42-54.

241. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория термофореза двух гидродинамически взаимодействующих многослойных аэрозольных частиц // Вестник МГОУ. 2007. № 1. С. 30-41.

242. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Расчет поправок при учете гидродинамического эффекта в задаче о термофорезе двух частиц // Вестник МГОУ. 2007. № 2. С. 37-46.

243. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Шулиманова 3.JI. Избранные вопросы физики аэрозолей. М.: МПУ, 1992. 297 с.

244. Яламов Ю.И., Галоян B.C. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985.208 с.

245. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. М., 1958. 91с.

246. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. 720 с.

247. Таблицы физических величин. Справочник / Под. ред. Кикоина И.К. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.

248. Paul В. Compilation of evaporation coefficient // Amer. Rocket. Soc. J.1962. V. 32. P. 1321-1328.

249. Неизвестный А.И. Результаты экспериментального определения коэффициента испарения воды // Обнинск: Изд. ВНИИГМИ МИД, 1956. 51 с.

250. Иванченко JI.B. Определение коэффициента конденсации молекул водяного пара при росте капель на гигроскопических частицах // Труды Укр. НИГМИ, 1977. Вып. 156. С. 58-63.

251. Амелин А.Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара. М.: Химия, 1972. 304 с.

252. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. I. М.: Наука, 1976. 583 с.

253. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1967. Т. II. 655 с.

254. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958. Т. 1.930 с. Т. 2. 886 с.

255. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., 1953. 379 с.

256. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.

257. Воробьев Н.Н. Теория рядов. СПб.: Лань, 2002. 408 с.

258. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965.423 с.

259. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., 1970.384 с.

260. Хижняк П.Е., Чечеткин А.В., Глыбин А.П. Теплопроводность сажи // ИФЖ. 1979. Т. 37. № 3. С. 475-478.

261. Гюльмисарян Т.Г. Технология производства технического углерода (сажи). М.: Московский институт нефтехимической и газовой промышленности им. И.М. Губкина, 1979. С. 33-34.