Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на термо- и фотофорез твердых нагретых аэрозольных частиц сфероидальной формы при малых числах Рейнольдса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи ПЛЕСКАНЕВ Алексей Александрович

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДЫ И ФОРМ-ФАКТОРА НА ТЕРМО- И ФОТОФОРЕЗ ТВЕРДЫХ НАГРЕТЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ СФЕРОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

01.01.03 -математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Белгородский государственный университет»

Научный руководитель

доктор физнко - математических наук, профессор Мялай Николай Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, заслуженный работник высшей школы РФ, академик Международной педагогической академии, профессор Латышев Анатолий Васильевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Жура Николай Андреевич

Ведущая организация

ГОУ ВПО «Рязанский государственный университет им. С.А. Есенина»

Защита состоится 28 ноября 2006 г. в 1б00 часов на заседании диссертационного совета К 212,015.05 при Белгородском государственном университете, по адресу: 308007 г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 322,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан 27 октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор t / ¿У? Глушак A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время вес большее значение приобретают научные исследования по различным проблемам физики аэродисперсных систем. Это связано с ежегодным увеличением использования аэрозолей в практике - в промышленности, технике, медицине, сельском хозяйстве и т.д. В связи с обострением экологической ситуации все большего внимания требуют вопросы очистки газов от аэрозольных частиц, оказывающих вредное воздействие на людей и окружающую среду. Наибольшую трудность представляет улавливание высокодисперсных частиц, при этом термофоретический и фотофоретический механизмы являются одними из эффективных способов осаждения.

Важным научным направлением, развиваемым в рамках механики аэродисперсных систем, является теоретическое исследование закономерностей движения твердых частиц в неоднородных по температуре газообразных средах - термофоретического и теплофоретического движения. Тер-мофоретическое движение частиц происходит во внешнем заданном поле градиента температуры. Под действием термофоретической силы и силы вязкого сопротивления среды частицы приобретают постоянную скорость, называемою скоростью термофореза. Теплофоретическое движение частиц возникает при неоднородном нагреве частиц внутренними источниками тепла произвольной природы. Если выделение тепла происходит в результате взаимодействия частиц с электромагнитным излучением, то в этом случае движение частиц называется фотофорезом, а сила, вызывающая это движение - фотофоретической. Эти явления практически всегда сопутствуют термодинамически неравновесным системам, которые, как правило, и встречаются в природе. Зачастую они могут оказаться определяющими в динамике дисперсных систем.

Одной из основных проблем физики аэродисперсных систем, активно разрабатываемой как в нашей стране, так и за рубежом, является проблема теоретического описания поведения взвешенных в газообразных средах частиц. Без знания закономерностей этого поведения невозможно математическое моделирование эволюции аэродисперсных систем и решение такого важного вопроса, как целенаправленное воздействие на аэрозоли.

У значительной части встречающихся в практике аэродисперсных систем среднее расстояние между аэрозольными частицами намного больше их характерного размера. В таких системах учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить, основываясь на знании законов динамики, тепло- и массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных аэрозольных частиц.

К настоящему времени в литературе достаточно полно разработана теория движения твердых аэрозольных частиц сферической формы как в случае малых, так и в случае больших относительных перепадов тем-

пературы. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы Г} и температурой области вдали от нее к последней. Относительный перепад температуры считается малым, если (Ts -Тф)/Тф « 1, и большим в противном случае. Здесь и далее индексы «g» и « р» будем относить к газообразной среде и частице; индексом «оо» обозначены параметры газообразной среды на бесконечности, т.е. вдали от частицы. Большой вклад в исследовании движения аэрозольных частиц внесли Г.С. Эпштейн, Ж.Р. Брок, H.A. Фукс, Б.В. Дерягин, ЮЛ. Яламов и др.

Частицы, входящие в состав реальных дисперсных систем, могут иметь произвольную форму поверхности, например, сфероидальную. Движение аэрозольных частиц сфероидальной формы изучено лишь в случае, когда относительный перепад темперы мал.

Таким образом, исследование вопросов, связанных с переносом аэрозольных частиц сфероидальной формы в неоднородных по температуре вязких средах, носит актуальный характер и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Цель работы. Построение в приближении Стокса при числах Рей-нольдса и Пекле много меньших единицы теории термо- и фотофореза твердых нагретых аэрозольных частиц сфероидальной формы. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи.

1. Решить линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды (зависимости плотности газообразной среды от температуры) и зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры в сфероидальной системе координат.

2. Изучить влияние форм-фактора и нагрева поверхности на силу сопротивления и скорость гравитационного движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы.

3. Построить в приближении Стокса при числах РеЙнольдса и Пекле много меньших единицы теорию термо- и фотофоретического движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы при произвольных относительных перепадах температуры в их окрестности.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики.

Научная новизна работы. Доказана теорема существования решения краевой задачи для линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры в сфероидальной системе координат.

Впервые на основе гидродинамического подхода разработана теория термо- и фотофоретического движения высокотеплопроводных твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы при произвольных перепадах

температуры. Изучено влияние форм-фактора и нагрева поверхности на силу сопротивления и скорость гравитационного движения нагретой твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

Практическая и теоретическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Математические методы, используемые при решении линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса и теплопереноса, могут быть применены в дальнейшем при теоретическом описании движения частиц с более сложной геометрией. Результаты научного исследования могут быть использованы для вычисления силы и скорости термо- и фотофореза; при описании процесса осаждения аэрозольных частиц в каналах; проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц несферической формы поверхности; при разработке методов тонкой очистки газов от аэрозольных примесей.

Положения, выносимые на защиту.

1. Решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры в сфероидальной системе координат.

2. Решение задачи о влиянии нагрева поверхности и форм-фактора на силу сопротивления и скорость гравитационного падения твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

3. Теория термо- и фотофоретического движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы при значительных перепадах температуры в их окрестности.

Достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений; корректностью построения математических моделей физических систем; согласованностью полученных в диссертации результатов с известными результатами и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на П Международной научно-практической конференции «Экология: образование, наука, промышленность и здоровье» (г. Белгород, 2004); Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность - 2005» (г. Обнинск, 2005); Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006); Международной научной конференции: «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006); на научных семинарах кафедры теоретической физики Белгородского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 12 публикациях.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка (137 наименований) и двух приложений, содержит 13 иллюстраций и 5 таблиц. Общий объем диссертации 136 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, описана структура диссертации, проведен краткий обзор литературы по исследуемой тематике.

Первая глава диссертации посвящена решению линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом зависимости плотности газообразной среды и коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры в сфероидальной системе координат.

В разделе 1.2 диссертации, перечислены основные сведения теории дифференциальных уравнений, используемые в данной работе. В частности, теория решения дифференциальных уравнений п-го порядка с помощью обобщенных степенных рядов.

В разделе 1,3 получено решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры в сфероидальной системе координат.

При решении системы газодинамических уравнений сделаны следующие допущения.

1) Все процессы рассматриваются в квазистационарном приближении.

2) Определяющими параметрами задачи являются р^, р^, ск. В

процессе движения частицы сохраняются величины а, Гв и

их. (Здесь а - большая полуось сфероида, с^— теплоемкость газа

при постоянном давлении). Из этих величин можно составить три безразмерные комбинации: Яе^ -О^р^а/^^ — число Рейнольде а,

Рев -с^и^р^а/Х^ - число Пекле и $ = а\УТ\/Т„ - безразмерный параметр, характеризующий перепад температуры на размере частицы. Считается, что движение аэрозольных частиц во внешних палях (градиента температуры и гравитационном поле) происходит при И.ес «1, Ре^ «1 и £ «1. Это позволило использовать в диссертации теорию возмущения, т.е. искать выражения для полей скорости, давления и температуры в виде разложения по малому параметру, при этом мы ограничивались первым порядком малости.

3) Коэффициент теплопроводности частицы много больше коэффициента теплопроводности окружающей газообразной среды Хр » .

4) Частица образована однородным и изотропным по своим свойствам веществом.

5) Зависимость коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры имеет степенной вид1:

где ц» - МГ«>' 0.5ЙРЙ1, 0.75 1,

-1<у<+1, - Т8=Тр/Т^ - безразмерные температуры;

6) Частица считается крупной, т.е. число Кнудсена Кп ^ 0,01.

В рамках сформулированных допущений в первой главе диссертации находится решение следующего линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса

Э?е _ Г '

дх1 дхь

дУ, ] дУк 2, дУ) дхк дх, 3 * дх

(2)

V * ' } J

<Мрви,)-0, (3)

с граничными условиями в системе координат сплюснутого сфероида

е = е0: С/.-ЛГ,, (4)

е->со: иг С/„со5Т]ее -С^япт!«,,/», (5)

Здесь £/в и С/ц— радиальная и тангенциальная компоненты массовой скорости и^ в сфероидальной системе координат; ит — величина скорости набегающего потока (С/„ ¡|Ог); ее и еч- единичные векторы сфероидальной системы координат.

Вид коэффициентов Лг, и Л"2 в граничных условиях на поверхности частицы зависит от условий конкретной физической задачи.

Сфероидальные координаты (е,т],ф) связаны с декартовыми координатами соотношениями

дг = ссЬе5шцсо8ф,>' = ссЬе8т118т<(>1г = с8Ьесо5Г(> (6) х — с$ЬезшТ|соз<р, _у = с8Ье&тц8т<(>, г = ссЬесо$11, (7)

где с - л]а2 -Ь2 -в случае сплюснутого сфероида {а>Ьу формула (6)) и

с — л!ь2 —а2 - в случае вытянутого сфероида (а< Ь, формула (7)); а и Ь -полуоси сфероида; при этом положение декартовой системы координат фиксировано относительно частицы таким образом, чтобы ось ог совпадала с осью симметрии сфероида. Поверхности частицы соответствует координатная поверхность со значением е = е„.

1 МалаЙ Н.В. Исследование термодиффузиофоретического и фотофоретического движения час-

тиц в сжимаемых газообразных средах: дис.... канд. физ.-мат. наук.-Москва, 1988,- 146 с.

При выполнении условия Хр » Xg в коэффициенте динамической вязкости можно пренебречь зависимостью по углу я в системе частица - газ и считать, что вязкость связана только с температурой /^(е), т.е.

<8>

Явный вид tg0 определяется из решения уравнения для теплопереноса. С учетом конкретных физических задач, рассматриваемых в диссертации,

(у 11+а

1+—arcctgXj ,где X = sh е, у0 -константа.

Исследования показали, что поиск выражений для компонент массовой скорости в виде

^пМ--rVG(e)C0S1b = —%-s(e)sinn (9)

позволяет разделить переменные в уравнении Навье-Стокса (2). Здесь G(s) и g(e) — некоторые функции, зависящие только от радиальной координаты е; Н% - коэффициент Ламе.

Подставляя (9) в (2), с учетом (8) и установленной из уравнения непрерывности (3) связи между функциями G(e) и g(e), исключая давление, после преобразований, в конечном итоге, приходим к следующему обыкновенному неоднородному дифференциальному уравнению для функции G(X)

( , 1 + Х2 , Ad'G í 1 1-Х2 , 1 _/t 1 + Х2 # lY[d2G

1irctgxJ^-+ri-—!irctgxJ|dF+

í 2(1-X2) 2 , 1 (d2f nfdfY, 1 + x2 ^ П

fdf ní-aY1^-*-2 . 0 4pf Л Л , 4 1 dt^

с краевыми условиями

G(Xl , =A% lim 2?^2л->1. (11)

Делая в уравнении (10) замену переменной v = 1/Х и раскладывая в окрестности нуля в степенные ряды функции, входящие в это уравнение, получаем уравнение (12):

■

я_Л 12й ^ 51 Й!^) ясй

я=0

-ЗГ03£©<6>ул4с = ^¿©^у"-1, (12)

в»а J и=о

где Г0 =у0/с.

Точкау - 0 для однородного уравнения (12) является регулярной особой точкой, и, следовательно, его решение может быть подучено в виде обобщенных степенных рядов. При этом радиус сходимости этих рядов будет равен единице - расстоянию до ближайшей особой точки.

Решение однородного уравнения (12) будем искать в виде обобщенного степенного ряда:

о М-у'ЗГСл". (13)

11=0

Подставляя (13) в однородное уравнение (12), получаем определяющее уравнение г(г-1Хг-2)+8г(г-1)+8г-8 = 0, корни которого равны 1, - 2»-4. Согласно общей теории дифференциальных уравнений2, решения однородного уравнения, соответствующего (12), имеют вид:

(14)

№=0

+а>, 1/^)0,(у) , (15)

V пы> ^ V )

Из вида правой части неоднородного уравнения (12) следует, что его частным решением будет функция

0>) = -1;с<г>у" +Ш21ПЫО1(У). (17)

"V л*0 V » )

Здесь С^.С^.С^С^^О, (о,,со2,а>э-солу*, рекуррентные соотношения для С<1),С12>,С?> и определяются методом неопределенных коэффициентов, их явный вид приведен в § 13 диссертации.

1 Смирное В.И. Курс высшей математики. М: Наука, 1974.-Т.Ш. - 4.2. - 662 с.

Таким образом, в результате проведенного исследования доказана следующая теорема.

Теорема. Существует решение краевой задачи (10) — (11), которое имеет вид

где А1 -произвольная постоянная, функция С,(у) (у = 1 />.) - аналитическая в окрестности точки v = 0, о функции С2(у) и С3{у) представляются формулами

0з(у) = ±Ф3(у)+а)11п^01М

с аналитическими в окрестности точки v = 0 функциями Ф2(у) и Ф3(у).

Зная функцию в(X), мы можем найти явный вид для компонентов скорости и давления, а также общую силу, действующую на нагретый сфероид, которая определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы.

Заметим, что если в уравнении (10) пренебречь зависимостью коэффициентов молекулярного переноса от температуры ^ = * = 0), то (10)

¡¡О <»Х

переходит в уравнение, описывающее обтекание сплюснутого сфероида при малых относительных перепадах температуры. Решение этого уравнения можно найти также в виде обобщенных степенных рядов. Зная выражения для компонент скорости и давления, интегрируя тензор напряжений по поверхности сфероида, можно получить выражение для поправочного множителя к закону Стокса. В этом случае имеется возможность сравнить выражения для поправочного множителя к закону Стокса, полученного в диссертации А'и, с известным в литературе поправочным множителем ЛТ*3.

При численном анализе для различных отношений полуосей сфероида выявлено хорошее совпадение этих коэффициентов (см. табл. 1),

К - 2

у = 4__1

* 3^/1+4 Х0+(1-Х20)агсс1в Результаты главы I использовались в последующих главах диссертации.

' Хаппель Дж., Бренер Г, Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1960,- 630 с.

Таблица 1

Ыа 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

к. 0.951 0,961 0.970 0,980 0.990

Кн 0.951 0,961 0.970 0,980 0.990

Вторая глава посвящена исследованию влияния нагрева поверхности и форм-фактора (отношения полуосей сфероида) на силу сопротивления 14 скорость гравитационного движения равномерно и неравномерно нагретого сфероида.

В разделе 2.1 и 2.2 приведены основные уравнения и граничные условия, позволяющие описать обтекание равномерно и неравномерно нагретого сфероида.

В случае равномерно нагретого сфероида система уравнений газовой динамики и граничные условия имеют вид (18) -(22):

дР,

г _

\ 1-

ди, дик ' + *

дхк дх,

3 дх} I

■ F¡imi),

(18)

дх, Зхк

= (19)

<Ку(ХгУГ,) = 0, (20)

с граничными условиями:

е = е0: С/, «0, С/ч «0, Гж «Г,; (21)

е_*со: ив -»Г.. (22)

Обтекание неравномерно нагретого сфероида (внутри частицы действуют тепловые источники плотностью др, неоднородно распределенные в

ее объеме) описывается системой уравнений (23) - (28):

£й дх,

ди< дик 2 _ ди} -- ^----——

дхк дх, 3 дх

/ J

дхк

<Ну(р,и,) = 0,

= о, -Яр,

с граничными условиями

£ = е0: £/,=0, £/„ = 0,

Тг =Тр; X, ) = X, (?Г„е,) + о0а, (Т* - О,

х>

е -> 0: Тр * да.

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

Здесь Я}™6* - компоненты вектора гравитационных сил; ст0 — интегральная степень черноты; о, - постоянная Стефана-Больцмана.

Решая уравнения теплопереноса методом теории возмущения и используя результаты первой главы, были получены аналитические выражения для силы сопротивления и скорости гравитационного падения нагретого сфероида в следующем виде; ,г * г, г „ 2 аЬ , ч ^ 2 О^-ОзС,

Зд/ГТя^ о^-о.сГ

где функции - берутся при средней температуре поверхности сфероида которая в случае неоднородно нагретого сфероида зависит от плотности тепловых источников.

При решении задачи о движении неравномерно нагретого сфероида в гравитационном поле природа тепловых источников, расположенных внутри частицы, не конкретизировалась, что позволило получить аналитические выражения для силы вязкого сопротивления и скорости гравитационного падения в наиболее общем виде. -

На рис. 1 изображены кривые для поправочного множителя к закону

Стокса Кп от интенсивности падающего

/ излучения 1 для случая, когда частица

поглощает излучение как абсолютно черное тело. Отношение полуосей сфероида Ыа = 0,85. Внешняя среда -воздух. Кривая 2 соответствует оценке величины К^ по формуле, полученной

.-Вт/см для случая малых относительных

и и.1 0.2 0.3 0.4 0.5 «„я«™«» о ^««Л»

рйс 1 перепадов температуры, в которой

значение коэффициента вязкости бралось при средней температуре

поверхности сфероида.

Численные расчеты показали, что нагрев поверхности оказывает существенное влияние на силу вязкого сопротивления и скорость гравитационного падения аэрозольной частицы. При этом влияние форм-фактора сказывается, лишь когда поверхность частицы заметно отличается от сферической. Эти факты можно использовать в практических приложениях. Проведено качественное сравнение с экспериментом.

В третьей главе отражено построение теории фотофоретического движения нагретой твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы в вязкой неизотермической газообразной среде.

При неоднородном нагреве поверхности частицы электромагнитным излучением возникает движение, называемое фотофоретическим. Под действием фсггофоретической силы и силы вязкого сопротивления среды частицы приобретают постоянную скорость - скорость фотофореза.

В разделе 3.1 дается постановка задачи, приведены основные уравнении и граничные условия. Общая система газодинамических уравнений и граничных условий имеет следующий вид:

бРв а

/

дх, дхк

И

ди, дик 2 „ Ш,

(29)

дхк дх, 3 дху Шу(р,И,)=0," (30)

<!МЬвУГж) = 0. сИу(ХрУГ/)) = -др, (31)

г

7; - Г,, X, (УТ, - ее) = УГ, . е,) + с0а, (Т* - £ ), (32) е->«>: и,-+1/всо5лсеРв ~*Т*> (33)

е->0: Тр *«>. (34)

Фотофорез обусловлен тепловым скольжением газа вдоль твердой неравномерно нагретой поверхности аэрозольной частицы. Это скольжение учтено в граничных условиях для компонент массовой скорости на поверхности частицы (32), где Кк - коэффициент теплового скольжения, который определяется методом кинетической теории газов. Интервал возможных теоретических значений Ка составляет 0.75 —1.2. Большой вклад в теорию теплового скольжения внесла школа Ю.И. Яламова (Л .А. Юшка-нов, М.Н. Гайдуков и др.).

Решая уравнения теплопереноса методом теории возмущения и используя результаты первой главы, были получены аналитические выражения для силы и скорости фотофореза при произвольных перепадах температуры. При построении теории фотофореза природа тепловых источников, неоднородно распределенных по объему частицы, не конкретизировалась, что позволило получить аналитические выражения в общем виде. Численные оценки проводились для случая абсолютно черного тела, при этом плотность тепловых источников представляется как

сЬесозч

е0 с

о*

р (е.П) = { с (ch1 е - sinг г|)5е' (о

Здесь I - интенсивность падающего на сфероид излучения. Выражение для фотофоретической силы может быть записано в виде:

v„ 2f?G, X0arcctgX0 -1

У.п. - П С,' -i /TTv*A * '

= 6ла, fpH =

TJk^GlG.-Gfi', зф + ^А где л- коэффициент, зависящий от температуры.

0.2 о.з

Рис.2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Рис.3

На рис. 2 приведены графики функций fph от /, для медной частицы,

взвешенной, в воздухе при различных отношениях полуосей сфероида: Ыа- 0,75 (кривая 1), 6/а = 0,85 (кривая 2), Ыа-0,95 (кривая 3), кривая 4 построена для шара радиуса R = a, Размер частицы 20 мкм. На рис, 3 изображена зависимость функции/^ (кривая 1) от 1 для медной частицы,

взвешенной в воздухе {Ь/а = 0,75). Кривая 2 соответствует оценке величины по формулам, полученным для случая малых относительных перепадов температуры, в которых значения коэффициентов молекулярного перенежа брались при средней температуре поверхности сфероида.

Численный анализ влияния нагрева поверхности и форм-фактора на силу и скорость фотофореза приведен в разделе 3.4. Установлено, что сила и скорость фотофореза существенно зависит от средней температуры поверхности частицы и показателей а, ß и у. Причем с увеличением / сила и скорость фотофореза возрастает нелинейно. Роль форм-фактора (отношения полуосей сфероида) мала и становится заметной, лишь когда форма частицы значительно отличается от сферической.

В четвертой главе диссертации приведено построение теории термо-форетического движения твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы и анализ влияния нелинейных характеристик среды и форм-фактора на силу и скорость термофореза.

В разделе 4.1 дается постановка задачи, приведены основные уравнения и граничные условия.

Решение задачи было проведено в той же постановке, что и решение задачи о фотофорезе. Отличием является замена в (33) граничного условия Tg -> Гж на Tg +jV7*|cshecosn, указывающее, что в газе с помощью внешних источников поддерживается малый постоянный градиент температуры |Vr|||Ö2t

В результате были получены аналитические выражения для термофоре-тической силы и скорости.

Проведенные численные оценки показали, что нагрев поверхности оказывает значительное влияние на термофоретическое движение аэрозольной частицы сфероидальной формы. Роль форм-фактора, по сравнению с фотофорезом, более заметна, но остается, однако, по отношению к нагреву поверхности второстепенной.

Следует заметить, что построение теории фото- и термофореза является достаточно сложной задачей. Это связано с тем, что в газах движение конкретной частицы определяется как поверхностными явлениями (обусловленными непосредственным взаимодействием молекул газообразной среды с поверхностью частицы), так и объемными эффектами, возникающими из-за неоднородных распределений гидродинамического и температурного полей. Число Кнудсена позволяет разграничить всю область газа, ок-

ружаюшего частицу, на гидродинамическую и газокинетическую. В данной работе использовался гидродинамический метод, т.е. считается справедливой модель сплошной среды. Однако, при решении обычных уравнений газовой динамики учитываются поправки, связанные с отличием от нуля числа Кнудсена, в первую очередь в граничных условиях. Такой подход предполагает введение "скачков" макроскопических параметров на границе раздела фаз. Точность гидродинамического подхода в построении теории термо- и фотофореза зависит от граничных условий на поверхности частицы, которые получаются из решения кинетического уравнения Больцмана. Поэтому граничные условия справедливы только в той ситуации, для которой решено уравнение Больцмана. В научной литературе разработаны различные методы его решения, которые можно найти, например, в монографиях и работах С. Чепмена, Т. Каулинга, К. Черченьяни, Дж. Ферцигера, Г. Капера, М.Н. Когана, В.П. Силина, Ю.И. Яламова, A.A. Юшканова, A.B. Латышева4 и др.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении I получены общие выражения для распределения поля температуры вне и внутри сфероида при произвольных перепадах температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее.

В приложении II приведены коэффициенты разложения©*0

Основные результаты исследования:

1. Решено линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом зависимости плотности газообразной среды и коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры в сфероидальной системе координат.

2. В квазистационарном приближении построены теории гравитационного движения равномерно нагретой и неравномерно нагретой твердой крупной аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры и степенном виде зависимости вязкости и теплопроводности от температуры. Получены аналитические формулы для силы сопротивления и скорости гравитационного падения сфероидальной частицы.

3. Проведенный на основании полученных формул для силы и скорости гравитационного движения анализ показал, что нагрев поверхности частицы существенно влияет на величину силы сопротивления и скорости ее гравитационного падения. Форм-фактор оказывает незначительное влияние.

4 Латышев А.В., Юшканов А. А. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории: Монография, Иэд-во МГОУ, 2004. 286 с.

4. В квазистационарном приближении построены теории фотофорети-ческого и термофоретического движения нагретой твердой крупной аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры и степенном виде зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры.

5. Получены аналитические выражения для силы и скорости фото- и термофореза, позволяющие описывать движение аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольном распределении плотности тепловых источников по объему частицы.

6. Проведенный на основании полученных формул численный анализ показал, что форм-фактор оказывает заметное влияние на термофорез, однако, как и в случае фотофореза, его роль по сравнению с нагревом поверхности остается второстепенной. Применение формул, отвечающих малым перепадам температуры с усредненными значениями физических величин при данной температуре поверхности частицы для случая больших относительных перепадов температуры, приводит к значительным ошибкам. Кроме того, сила и скорость фото- и термофореза существенно зависит от значений показателей а,р и у.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. МалаЙ II.В., Плесканев A.A. К вопросу о влиянии внутреннего тепловыделения на термофорез твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы //ИФЖ. 2004. Т. 77. № 6. С. 74 - 78.

2. Малай Н.В., Плесканев АЛ. Влияние внутреннего тепловыделения на термофорез твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы: тез. докл. II Между нар. науч.-практ. конф, // Экология: образование, наука, промышленность и здоровье. Белгород: БГТУ им. В.Г. Шухова. 2004. № 8. С. 107 - 108.

3. Малай Н.В., Плесканев. A.A. Особенности обтекания аэрозольной частицы сфероидальной формы при малых перепадах температуры // Деп. в ВИНИТИ. 2005.20 с. Ks 223 - В 2005.

4. МалаЙ Н.В., Плесканев A.A., Стукалов. A.A., Щукин Е.Р., Особенности фотофоретического движения крупных аэрозольных частиц сферической формы при малых относительных перепадах температуры в их окрестности//Деп. в ВИНИТИ. 2005.17с. Ха П69-В2005.

5. Малай Н.В., Плесканев A.A., Щукин Е.Р. Особенности поведения твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы при значительных перепадах температуры в ее окрестности: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф7/Аэрозоли и безопасность — 2005. Обнинск: ФГОУ «ГЦИПК». 2005. С. 140 - 142.

6. Малай Н.В., Плесканев A.A., Щукин Е.Р. К вопросу о влиянии внутреннего тепловыделения на движение нагретой твердой частицы в вязкой жидкости // ЖТФ. 2006. Т. 76. Ка 3. С. 25 - 29.

7. Малай Н.В., Плесканев A.A., Щукин Е.Р. Особенности фотофорети-ческого движения умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы//Оптика атмосферы и океана. 2006. ТЛ9.№5.С.413 - 418.

8. Плесканев A.A. Обтекание равномерно нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры в ее окрестности. // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: ГОУ ВПО "РГУ им. С.А. Есенина". 2006. № 10. С. 52 - 55.

9. Малай II.В., Плесканев A.A. Применение обобщенных стеленных рядов для получения точного решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости газообразной среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры// Деп. в ВИНИТИ. 2006. № 1053-В2006.

10.Малай Н.В.» Плесканев A.A. Гравитационное движение твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы // Деп. в ВИНИТИ. 2006. № 1056 -В 2006.

П.Малай Н.В., Плесканев A.A. Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на термо- и фотофоретическое движение твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы // Деп. в ВИНИТИ. 2006. № 1057 - В 2006.

12.Плесканев A.A., Малай Н.В, К вопросу о термо и фотофоретическом движении твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы: тез. докл. междунар. науч. конф. // Современные методы физико-математических наук. Орел: ГОУ ВПО "ОГУ". 2006. Т. 2. С. 145-149.

Подписано в печать 25.10.2006. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Усл. пл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 244. Оригинал - макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85.

ВВЕДЕНИЕ.

Обзор литературы по термо- и фотофорезу аэрозольных частиц и исследованию решения уравнения Навье-Стокса.

Глава I. Применение обобщенных степенных рядов для получения аналитического решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости газообразной среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры.

1.1. Основные уравнения газовой динамики.

1.2. Общая теория решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с помощью обобщенных степенных рядов.

1.3. Применение обобщенных степенных рядов для нахождения аналитического решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса а) Случай малых относительных перепадов температуры. б) Случай произвольных относительных перепадов температуры

1.4. Анализ полученных результатов.

1.5. Выводы.

Глава II. Гравитационное движение твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

2.1. Гравитационное движение равномерно нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

2.2. Гравитационного движения неравномерно нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

2.3. Выводы.

Глава III. Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на фотофоретическое движение нагретой твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Поле температуры вне и внутри частицы.

3.3. Вывод выражений для фотофоретической силы и скорости.

3.4. Анализ полученных результатов.

3.5. Выводы.

Глава IV. Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на термофоретическое движение нагретой твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Поле температуры вне и внутри частицы.

4.3. Вывод выражений для термофоретической силы и скорости.

4.4. Анализ полученных результатов.

4.5. Выводы.

Актуальность темы. В настоящее время все большее значение приобретают научные исследования по различным проблемам физики аэродисперсных систем. Это связано с ежегодным увеличением использования аэрозолей в практике - в промышленности, технике, медицине, сельском хозяйстве и т.д. Образующиеся в результате производственной деятельности человека аэрозоли могут оказывать вредное воздействие на людей и окружающую среду. В связи с обострением экологической ситуации все большего внимания требуют вопросы очистки промышленных отходов от аэрозольных частиц, природа образования которых может быть произвольной.

Одной из основных проблем физики аэродисперсных систем, активно разрабатываемой как в нашей стране, так и за рубежом, является проблема теоретического описания поведения взвешенных в газообразных средах частиц. Без знания закономерностей этого поведения невозможно математическое моделирование эволюции аэродисперсных систем и решение такого важного вопроса как целенаправленное воздействие на аэрозоли.

Важным научным направлением, развиваемым в рамках механики аэродисперсных систем, является теоретическое исследование закономерностей движения твердых частиц в неоднородных по температуре газообразных средах - термофоретического и теплофоретического движения. Термофоретическое движение частиц происходит во внешнем поле градиента температуры. Под действием термофоретической силы и силы вязкого сопротивления среды частицы приобретают постоянную скорость, называемою скоростью термофореза. Теплофоре-тическое движение частиц возникает при неоднородном нагреве частиц внутренними источниками тепла произвольной природы. Если выделение тепла происходит в результате взаимодействия частиц с электромагнитным излучением, то в этом случае движение частиц называется фотофорезом, а сила, вызывающая это движение - фотофоретической. Эти явления практически всегда сопутствуют термодинамически неравновесным системам, которые, как правило, и встречаются в природе. Зачастую они могут оказаться определяющими в динамике дисперсных систем.

К настоящему времени в литературе достаточно полно разработана теория движения твердых аэрозольных частиц сферической формы как в случае малых, так и в случае больших относительных перепадов температуры. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между температурой поверхности частицы Г5 и температурой области в дали от нее Тф к последней, то есть величину (Т^ - Тх)/Тт. Относительный перепад температуры считается малым при (Г4 -Тх)/Тх «1 и большим в противном случае. Частицы, входящие в состав реальных дисперсных систем, могут иметь произвольную форму поверхности, например, сфероидальную. Движение аэрозольных частиц сфероидальной формы изучено лишь в случае, когда относительный перепад темперы мал.

Таким образом, исследование вопросов, связанных с переносом аэрозольных частиц сфероидальной формы в неоднородных по температуре вязких средах, носит актуальный характер и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Цель работы. Построение в приближении Стокса при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы теории термо- и фотофо-реза твердых нагретых аэрозольных частиц сфероидальной формы.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Решить линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды (зависимости плотности газообразной среды от температуры) и зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры в сфероидальной системе координат.

2. Изучить влияние форм-фактора (отношения полуосей сфероида) и нагрева поверхности на силу сопротивления и скорость гравитационного движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы.

3. Построить в приближении Стокса при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы теорию термо- и фотофоретического движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы при произвольных относительных перепадах температуры в их окрестности.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики.

Научная новизна работы. Доказана теорема существования решения краевой задачи для линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры в сфероидальной системе координат.

Впервые на основе гидродинамического подхода разработана теория термо- и фотофоретического движения твердых высокотеплопроводных аэрозольных частиц сфероидальной формы при произвольных относительных перепадах температуры. Изучено влияние форм-фактора и нагрева поверхности на силу сопротивления и скорость гравитационного движения твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

Практическая и теоретическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Математические методы, используемые при решении линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса и теплопереноса, могут быть применены при теоретическом описании движения частиц с более сложной геометрией. Результаты научного исследования могут быть использованы для вычисления силы и скорости термо- и фотофореза; при описании процесса осаждения аэрозольных частиц в каналах; проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц несферической формы поверхности; при разработке методов тонкой очистки газов от аэрозольных примесей.

Кроме того, материалы данной диссертационной работы могут быть востребованы при разработке спецкурсов по гидродинамике, а также при подготовке курсовых и дипломных работ студентов 3-5 курсов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Решение линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры в сфероидальной системе координат.

2. Решение задачи о влиянии нагрева поверхности и форм-фактора на силу сопротивления и скорость гравитационного движения твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

3. Теория термо- и фотофоретического движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы при значительных перепадах температуры в их окрестности.

Достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений; корректностью построения математических моделей физических систем; согласованностью полученных в диссертации результатов с известными результатами и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на II Международной научно-практической конференции «Экология: образование, наука, промышленность и здоровье» (г. Белгород, 2004); Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность - 2005» (г. Обнинск, 2005); Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006); Международной научной конференции: «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006); на научных семинарах кафедры теоретической физики Белгородского государственного университета.

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [68-78,88].

Обзор литературы по термо- и фотофорезу аэрозольных частиц и исследованию решения уравнения Навье-Стокса

В современной науке и технике, в области химических технологий, гидрометеорологии, охраны окружающей среды и т.д. широко применяют многофазные смеси.

Аэродисперсной системой называют однокомпонентную или многокомпонентную газообразную среду, со взвешенными в ней частицами.

Наибольший интерес представляют аэродисперсные смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых есть твердые частицы, а вторая -газ. Газы со взвешенными в нем частицами (как твердыми, так жидкими) называют аэрозолями, а сами частицы - аэрозольными.

В зависимости от природы аэрозоли подразделяют на естественные и искусственные. Естественные аэрозоли образуются под воздействием природных сил, например, при вулканических явлениях; сочетании ветра с эрозией почвы; атмосферных явлениях и т.п. Искусственные аэрозоли образуются в результате хозяйственной деятельности человека. Важное место среди искусственных аэрозолей занимают промышленные аэрозоли, являющиеся нежелательными отходами производственной деятельности общества и оказывающими неблагоприятное влияние на окружающую среду и здоровье населения. Таким образом, аэродисперсные системы находят широкое применение, и всестороннее изучение их свойств представляет значительный научный и практический интерес.

На входящие в состав аэродисперсных систем аэрозольные частицы могут действовать силы различной природы, вызывающие их упорядоченное движение относительно центра инерции газообразной среды. Так, например, седиментация и электрофорез происходят в поле гравитационной и электрической силы. В газообразных средах с неоднородным распределением температуры возникновение упорядоченного движения частиц обусловлено действием сил молекулярного происхождения. Их появление вызвано передачей частицам молекулами газообразной среды нескомпенсированного импульса. При этом движение частиц, обусловленное внешним градиентом температуры, называют термофорезом. Неоднородное распределение температуры в окрестности частиц может возникнуть при их нагреве (охлаждении) источниками (стоками) тепла произвольной физической или химической природы, так называемыми внутренними источниками тепла. Внутренние источники (стоки) тепла - это модельное представление удобное для описания реальных процессов, сопровождающихся выделением тепла в объеме аэрозольной частицы. Так можно моделировать нагрев частицы под действием химической реакции, радиоактивного распада вещества частицы, внешнего электромагнитного излучения и т.п. Наиболее изученным является вопрос о движении капель и частиц, неравномерно нагретых внешним электромагнитным излучением. Такое движение в научной литературе получило название фотофореза. В результате неоднородного распределении температуры движение аэрозольных частиц может происходить, например, в каналах тепло- и массообменников, в зонах просветления облаков и туманов, в устройствах, предназначенных для нанесения тонких покрытий из аэрозольных частиц, химических реакторах и т.д. [20,27,29,32,46-47,50,83-84,86-87].

Направленное термофоретическое движение и движение под действием неоднородно распределенных в объеме частицы внутренних источников тепла может быть использовано при проектировании устройств, предназначенных для селективного разделения частиц по размерам, тонкой очистки газов, при получении веществ с заданными свойствами.

Кроме того, аэрозольные частицы могут оказать значительное влияние на протекание различных физических и физико-химических и процессов в аэродисперсных системах (например, процессов массо- и теплообмена). Это обстоятельство нужно учитывать при нахождении распределений физических величин внутри рассматриваемых систем.

Среднее расстояние между аэрозольными частицами у значительной части встречающихся на практике аэродисперсных систем намного больше характерного размера частиц. В таких системах учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить основываясь на знание законов динамики движения и тепло- и массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных аэрозольных частиц. Поэтому изучение закономерностей движения отдельных частиц в газообразных как однородных, так и неоднородных средах является важной актуальной задачей, представляющей значительный теоретический и практический интерес.

Размеры твердых или жидких аэрозольных частиц, взвешенных в газообразной среде, могут находиться в очень широком диапазоне (до 300-Т-500 мкм). Для классификации аэрозольных частиц по размерам применяют критерий Кнудсена [38]:

Кп = —, Я где А,-средняя длина свободного пробега молекул газообразной среды; Я - характерный размер аэрозольной частицы.

Частицы называются крупными, если <0.01, умеренно крупными при 0.01<£и<0.3 и мелкими при Кп» 1.

Если на поверхности частицы происходит испарение (сублимация) или конденсация образующего их вещества, то такие частицы называют летучими. В случае отсутствия фазового перехода на поверхности частиц их называют нелетучими.

Основной задачей газовой динамики является изучение движения газа как целого и его взаимодействия с другими физическими телами. Описание движения аэрозольной частицы является сложной задачей.

Это связано с тем, что в газах движение конкретной частицы определяется как поверхностными явлениями (обусловленными непосредственным взаимодействием молекул газообразной среды с поверхностью частицы), так и объемными эффектами, возникающими из-за неоднородного распределения гидродинамического и температурного полей.

Число Кнудсена позволяет разграничить всю область газа, окружающего частицу, на гидродинамическую и газокинетическую. При описании движения частицы в гидродинамической области (феноменологическая модель) решаются обычные уравнения газовой динамики, учитывающие, однако, поправки, связанные с отличием числа Кнудсена от нуля, в первую очередь в граничных условиях. Такой подход предполагает введение «скачков» макроскопических параметров - температуры, скорости газа и т.п. на границе раздела фаз.

Суть газокинетического подхода заключается в следующем. В кинетической теории газов используется модель, основанная на статистическом (вероятностном) описании поведения совокупности молекул. Основную роль в этой модели играет уравнение Больцмана для функции распределения молекул по их положениям в пространстве и по скоростям. Этот путь требует решения достаточно сложного кинетического уравнения Больцмана, которое в общем случае провести не удается. Применяемые для этой цели приближенные методы состоят либо в замене уравнения Больцмана, либо в поисках приближенного решения самого уравнения Больцмана с помощью одного из известных методов [1-2,17,43,57-61,89,82-83,95,100,119].

Укажем лишь, что наряду с газокинетическим и гидродинамическим методом используется и термодинамический метод, основанный на анализе выражения производства энтропии вблизи поверхности частицы [10-12,122].

Поскольку в данной работе используется гидродинамический подход, то основной акцент в обзоре будет сделан на него. Следует, однако, отметить, что точность гидродинамического подхода в построении теории термо-и фотофореза зависит от граничных условий на поверхности частицы, которые получаются из решения кинетического уравнения Больцмана. Поэтому граничные условия справедливы только в той ситуации, для которой решено уравнение Больцмана.

Перейдем к обзору литературы по термофорезу и фотофорезу крупных твердых аэрозольных частиц. По своей физической природе термофорез и фотофорез обусловлен тепловым скольжением газа вдоль твердой поверхности аэрозольной частицы.

Приведем краткую историческую справку по термо- и фотофорезу. Явление термофореза открыто экспериментально более 100 лет назад. Помещая в газ, где с помощью внешних источников тепла поддерживается градиент температуры ЧТ, аэрозольную частицу, было обнаружено, что, несмотря на отсутствие обычных внешних сил, частица приходит в движение в направлении изменения температуры. Измерения показали, что скорость установившегося движения пропорциональна градиенту температуры, по крайней мере, для малых градиентов, и направлена в ту же сторону, что и поток тепла, обусловленный теплопроводностью газа.

В 1918 году Эренхафт совершенно неожиданно обнаружил (наблюдая за движением частиц пыли, взвешенных в воздухе в луче мощной лампы), что некоторые частицы двигаются по направлению к источнику излучения - эффект, который нельзя объяснить действием светового давления, всегда направленным от источника света. Открытый эффект был назван фотофорезом.

Обзор ранних теоретических и экспериментальных работ по фотофорезу достаточно полно изложен в [136]. Любопытным фактом является то, что сам автор термина «фотофорез» Ф. Эренхафт объяснил наблюдаемое в эксперименте движение частиц в поле излучения как «электродинамический эффект второго рода» для отличия от явления светового давления [127]. Вскоре явление фотофореза было объяснено уже известным радиометрическим эффектом для неоднородно нагретых излучением частиц [135]. Отметим также, что в [135] впервые был сформулирован принцип разделения задачи на электродинамическую и газокинетическую.

Первые расчеты распределения плотности электромагнитного поля в объеме сферических частиц по теории Ми [126,130] позволили качественно объяснит природу положительного и отрицательного фотофореза (движение частиц в направлении распространения излучения и в противоположном). Как оказалось, знание интенсивности внутреннего поля не несет информации ни о направлении, ни о величине фотофоре-тической силы и скорости движения частиц. Усредненной характеристикой, определяющей фотофоретическую силу, является фактор асимметрии поглощения излучения Jx (аналог дипольного момента плотности тепловых источников), относящийся к комплексу микрофизических, оптических характеристик, ответственных за динамику аэрозолей [18,19,65,120]. Способ расчета указанной характеристики является чисто электродинамическим.

Классическая гидро- и газодинамика не могла объяснить явления термо- и фотофореза поскольку распределение скоростей и температур в системе газ - аэрозольная частица согласно классической гидро-и газодинамике определяются решением уравнений Навье-Стокса и Лапласа с граничными условиями ип = о, ит = О, Те=Тп = дг дг а, в случае термофореза, и граничным условием, что на бесконечности задан постоянный градиент температуры Те = +{уТ-п) (Ле и ^.-коэффициенты теплопроводности газа и частицы; пит- орты нормали и касательной к поверхности частицы; Те,Т1 - температура газа и частицы; -температура газообразной среды вдали от частицы). Поля скоростей и температуры в такой постановке совершенно независимы, и, как следствие, относительного движения газа и частицы в отсутствие внешних сил не происходит.

Впервые связь между полем течения и температурой обнаружили теоретически Максвелл и экспериментально Рейнольде [134]. Было установлено, что если поддерживать в газе вдоль его границы с твердым телом градиент температуры, то в направлении этого градиента возникает движение газа. Это явление было названо криком или тепловым скольжением. Скорость скольжения по Максвеллу равна v.vr„ где ve - кинематическая вязкость газа.

Эти работы положили начало развитию новой ветви гидро- и газодинамики «со скольжением», в которой классические условия «прилипания» газа на стенке заменяются условиями «скольжения».

Гидродинамический метод был впервые применен для построения теории термофореза крупных твердых сферических аэрозольных частиц в простом (однокомпонентном) газе П.С. Эпштейном в 1929 г. [128]. В [128] для скорости термофореза им была получена следующая формула

2Х- vr,

4 Г, 2Х.+Х, где VT- заданный с помощью внешних источников в газовой фазе малый постоянный градиент температуры.

Коэффициент 3/4 появился в связи с использованием Эпштейном полученной Дж. К. Максвеллом [134] формулы для касательной к плоской поверхности аэрозольной частицы компоненты скорости теплового скольжения. П.С. Эпштейн записал ее в виде касательной составляющей вдоль сферической поверхности, заменив Vln Те на 1 дТ

RT Э9 где 0 - азимутальный угол в полярной системе координат, предполагая, что радиус сферической частицы Я»Х, Х-средняя длина свободного пробега молекул газообразной среды.

Из формулы Эпштейна видим, что скорость термофореза пропорциональна коэффициенту 3/4. Это связано с предположением Максвелла, что газовые молекулы, движущиеся к плоской границе раздела между твердой поверхностью и газом, сохраняют вплоть до столкновения с ней, функцию распределения по скоростям, которую они имели в объеме газа вдали от границы раздела. Отраженные от стенки молекулы Максвелл разделил на две категории - долю молекул отражающуюся от стенки диффузно с изотропным распределением по координатам и объемным максвелловским распределением по скоростям, и долю которая отражается упруго и зеркально с сохранением полной абсолютной величины скорости и ее составляющей, касательной к стенке. Величина q удовлетворяет условию: 0<д<1.

Опыты показали, что формула Эпштейна дает для X / X < 1 несколько заниженное (примерно в 1.5 раза) значение скорости термофореза. Особенно плохо формула «работает» в случае, когда X IX »1.

Скорость термофореза, как показали эксперименты, хотя и несколько падает, но не в такой значительной степени, как это предсказывает формула Эпштейна.

Такое расхождение может быть объяснено следующим образом. Подход Максвелла существенно упрощает истинную картину поведения молекул в слое газа на расстояниях порядка средней длины их свободного пробега. Этот слой газа принято называть слоем Кнудсена. На самом деле молекулы газа, перед тем как столкнуться с поверхностью стенки, испытывают в слое Кнудсена, по крайней мере, одно столкновение с молекулами, отраженными от стенки. Поэтому, в реальных условиях имеет место зависимость функции распределения по скоростям газовых молекул от расстояния до стенки в зоне шириной порядка X до поверхности. Корректное рассмотрение задачи взаимодействия газа с поверхностью должно опираться на решение кинетического уравнения Больцмана для функции распределения по скоростям газовых молекул в слое Кнудсена. Однако, несмотря на не строгость и даже противоречивость допущения Максвелла, с физической точки зрения его результат обладает лишь одним существенным недостатком: полученное им значение коэффициента теплового скольжение не зависит от характера взаимодействия молекул газа с межфазной поверхностью. Коэффициент 3/4 в научной литературе называют коэффициентом теплового скольжения и обозначают^. Впоследствии были предприняты попытки улучшить результат Максвелла Дерягиным Б.В., Бакановым С.П., Яламовым Ю.И., Ивченко И.Н., Soné J., Loyalka S.K., Абрамовым Ю.И., Openheim А., Ониши, Юшкановым A.A., Латышевым A.B. и т.д., см. например, [9,14,44, 62-63]. Предпринимались попытки и экспериментального определения коэффициента теплового скольжения [98]. Отметим, что при qn 1 (диффузное отражение) коэффициент Kts лежит в интервале 1.1-1.2. Для зеркального отражения (q = 0) Kls=0J5. Таким образом, интервал возможных теоретических значений Kts составляет 0.75-1.2.

Гидродинамический метод для фотофореза дает следующий результат где q¡ - плотность тепловых источников внутри частицы; \q( zdV-дппольный момент плотности тепловых источников; пг - единичный вектор в направлении оси ог, в ту же сторону падает электромагнитное излучение, которое неоднородно нагревает поверхность аэрозольной частицы. V

Видим, что скорость термофореза и фотофореза пропорциональна коэффициенту теплового скольжения, т.е. по своей физической природе эти явления подобны.

Аналитическая теория термофореза и фотофореза крупных твердых частиц как сферической, так и несферической формы, при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы и при малых перепадах температуры в их окрестности разработана достаточно подробно. В этом случае, решая уравнения газовой динамики, можно пренебречь зависимостью коэффициентов молекулярного переноса и плотности вязкой несущей среды от температуры. Результаты теории, описывающей термофоретическое и фотофоретическое движение крупных аэрозольных частиц при малых относительных перепадах температуры можно найти, например, в работах [6,13,15-16,36,40,42,53-55,80,90-94,96,102, 121,123-125,129-133]. Подавляющее большинство экспериментов по определению термо- и фотофоретической силы проведено для случая малых относительных перепадов температуры [21-23,45,48,137]. Этот вопрос при условии больших относительных перепадов температуры, ввиду отсутствия надежных экспериментальных данных, остается открытым. Даже изучение аэродинамического сопротивления при наличии тепло и массообмена с окружающей средой представляет собой весьма сложную задачу, как в теоретическом, так и в экспериментальном отношении. Немногочисленные исследования показали, что при движении в холодной газовой среде сопротивление горящих и не горящих, но разогретых частиц может во много раз превышать сопротивление частиц, поверхность которых имеет температуру газообразной среды. Особенно заметен эффект увеличения сопротивления при малых числах Рейнольдса. В частности, в работе [8] было показано, что при неизотермическом движении коэффициент аэродинамического сопротивления частицы характеризуется в основном не температурой набегающего потока, а температурой пристеночных слоев газа и может быть рассчитан по температуре частицы. Также в [8] была предложена полуэмпирическая формула для вычисления аэродинамического сопротивления частицы неправильной формы, аналог формулы Стокса: f = Зя&Учрги<1, где vч - кинематическая вязкость газа при температуре частицы, рг-плотность газа при температуре набегающего потока, <1- средний размер. Коэффициент к рассматривался как коэффициент формы.

Движение аэрозольных частиц, происходящее в однокомпонент-ных газообразных средах при значительных перепадах температуры в их окрестности, рассмотрено в работах [25,37,51,66-67,81-82,107-117]. Впервые решение задачи о силе сопротивления движению однородно нагретой твердой сферической частицы было проведено в работе [131]. Однако, полученные в [131] результаты из-за неудачно выбранного метода решения уравнений газодинамики нельзя было использовать при значительных перепадах температуры. К тому же авторы [131] ограничились рассмотрением случая линейной зависимости от температуры коэффициентов теплопроводности и динамической вязкости.

Описание термо- и фотофореза нагретых аэрозольных частиц сферической формы с учетом степенных зависимостей коэффициентов молекулярного переноса газообразной среды (вязкости, диффузии и теплопроводности) от температуры было проведено в работах [79,81, 107-117]. При этом уравнения газовой динамики решены, предложенным Щукиным Е.Р. методом, в виде степенных разложений функций задачи относительно параметра £(у) = Г0/(у+Г0), где Г0=^+а-1, /¿.=7^/7^, у = г/Л- безразмерная радиальная координата. В работе Малая Н.В. [81] впервые были получены аналитические выражение для силы и скорости термо- диффузио- и фотофореза крупных и умеренно крупных нагретых аэрозольных частиц сферической формы.

В некоторых работах, связанных с неизотермическими течениями газообразной среды, учитывались дополнительно «барнеттовские температурные напряжения» [25,37,51]. В [37,51] было показано, что при повышении температуры поверхности частицы происходит монотонное возрастание величины силы сопротивления. В ходе решения уравнения конвективной теплопроводности был использован метод сращиваемых асимптотических разложений [30]. В рамках разработанной в [37,51] схемы решения задачи было установлено, что при обтекании потоком сильно однородно нагретой сферы барнеттовские температурные напряжения вызывают появление подсасывающей силы, направленной в сторону движения частицы. Действие этой силы может привести к значительному уменьшению силы вязкого сопротивления среды движению частиц по сравнению с силой Стокса. В работе [25] в процессе численного интегрирования уравнений газовой динамики был рассмотрен термофорез однородно нагретой частицы сферической формы. Появление этого вида термофореза обусловлено действием объемных барнеттовских температурных напряжений. В [117] такая же задача была решена аналитически. Решение уравнений газовой динамики в [117] было проведено также в виде бесконечных сходящихся степенных рядов относительно параметра I. Барнеттовские напряжения могут оказать сильное влияние на движение частиц, но вопрос о необходимости учёта барнеттовских температурных напряжений при решении неизотермических задач до настоящего времени однозначного ответа не получил. Поэтому в настоящей работе барнеттовские напряжения не учитывались.

Перейдем к краткому обзору литературы по решению уравнения Навье-Стокса. Теоретическая гидродинамика давно привлекала к себе внимания ученых разных специальностей. Наглядность ее экспериментов, сравнительная простата основных уравнений и четкая постановка задач вселяли надежду получить полное количественное описание динамических явлений, происходящих в жидкой и газообразной средах. Однако в действительности простота задач оказалась обманчивой.

Вследствие общей их нелинейной природе получить точные решения уравнений гидродинамики не представляется возможным. До сих пор не увенчались полным успехом усилия, направленные на разрешение двух принципиальных вопросов: 1) имеют ли уравнения гидродинамики при дополнительных граничных и начальных условиях единственное решение и 2) насколько удовлетворительно описывают решения этих уравнений реальные течения.

Богатейший теоретический и экспериментальный материал, накопленный в гидродинамике, по-видимому, недостаточен для строгого математического анализа происходящих в жидкости и газе явлений. Многочисленные парадоксы гидродинамики указывают на то, что до окончательной теории еще далеко.

Для решения задач гидродинамики и теплообмена используются три различных подхода: 1) экспериментальный, 2) численный и 3) аналитический. При экспериментальном подходе заранее спроектированная и изготовленная модель помещается в аэродинамическую трубу, где и осуществляется ее экспериментальное исследование. Экспериментальный подход позволяет найти наиболее близкие к действительности решения многих гидромеханических задач, однако его стоимость растет с каждым днем. Кроме того, сложность оборудования, проблемы моделирования, коррекция измеренных значений и сложность измерений, не говоря уже о его стоимости, делает этот метод не эффективным. При использовании численного подхода делается ограниченное количество предположений, и получающаяся в результате система уравнений гидродинамики или газовой динамики решается численно на ЭВМ. Применение численных методов имеет ряд ограничений: погрешности округления, проблема задания граничных условий и стоимость машинного времени. При использовании аналитического подхода делаются некоторые упрощающие предположения, что позволяет найти решение задачи по возможности в замкнутом виде. Аналитические методы, эффективность которых в самых разных областях прикладной математики всеми признана, остаются одними из самых главных методов исследования. Суть аналитических методов заключается в том, что при их применении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность. Однако и этот метод имеет ряд существенных ограничений: ограничен простыми геометрическими конфигурациями и физическими моделями; обычно применяется лишь к линейным задачам.

Поскольку в данной работе используется аналитический подход, то основной акцент в обзоре будет сделан на него.

В гидродинамике с учетом того, что общая система гидро- и газодинамических уравнений нелинейная, были разработаны приближенные методы, позволяющие в той или иной мере упростить уравнения гидродинамики и приспособить их к характеру отдельных типов конкретных задач. Большинство конкретных задач о движении вязкой изотермической жидкости, имеющих тот или иной практический интерес, решено именно на основании приближенных уравнений движения вязкой изотермической жидкости с использованием метода возмущений (метод многих масштабов, метода сращиваемых асимптотических разложений, метод усреднения и т.д.). О некоторых вопросах изложенных выше можно найти, например, в работах [4-5,7,28,35,56,100,106].

Весомый вклад в развитие теории уравнения Навье-Стокса внесла O.A. Ладыжевская, одна из замечательных представителей петербургской математической школы. Главным результатом Ладыжевской в этой области было полное решение проблемы в двухмерном случае (доказала однозначность разрешимости задачи). В трехмерном случае она получила частичные результаты: доказала однозначную разрешимость уравнений на конечном промежутке времени, а также решила общую задачу в предположении малости числа Рейнольдса.

Следует отметить, что до настоящего времени остаются открытыми такие вопросы как: наличие однозначной разрешимости «в целом» общей трехмерной начально-краевой задачи в каком-либо классе обобщенных решений без предположения малости об известных в задаче функциях и областях, заполненных жидкостью; существование при всех числах Рейнольдса хороших решений (ламинарные течения) общей нелинейной стационарной задачи в многосвязных областях; разрешимость стационарных задач обтекания в неограниченных областях при любом числе Рейнольдса и т.д.

Задача описания движения аэрозольных частиц существенным образом усложняется, когда мы описываем их поведение при больших относительных перепадах температуры. В случае значительных перепадов температуры при решении уравнений гидродинамики и теплопе-реноса необходимо учитывать зависимость коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии) и плотности газообразной среды от температуры.

Как уже отмечалось выше, многие частицы, встречающиеся в промышленных установках и в природе, имеют форму поверхности, отличной от сферической, например, сфероидальную. В настоящее время движение твердых сфероидальных частиц при малых относительных перепадах температуры в их окрестности в изотермических газообразных средах исследовано достаточно подробно (см. выше). В данной диссертационной работе впервые в научной литературе строится теория движения крупной твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры в ее окрестности в неизотермической вязкой газообразной среде.

Движение аэрозольных частиц при значительных перепадах температуры в их окрестности может происходить в поле лазерного излучения, при сублимации твердых частиц и испарении капель в сильно перегретых газообразных средах, протекании в объеме частиц и на их поверхности химических реакции. В связи с этим изучение законов движения нагретых частиц является важным научным направлением динамики аэродисперсных систем. Это направление исследований в настоящее время интенсивно развивается.

5. Выводы.

1. В квазистационарном приближении при числах при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы построена теория термофоретиче-ского движения крупной твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы с учетом зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности), плотности газообразной среды и теплопроводности частицы от температуры.

2. Проведенный на основании полученных формул численный анализ показал, что форм-фактор оказывает заметное влияние на термофорез, однако, как и в случае фотофореза, его роль по сравнению с нагревом поверхности остается второстепенной. Применение формул, отвечающих малым перепадам температуры с усредненными значениями физических величин при данной температуре поверхности частицы для случая больших относительных перепадов температуры, приводит к значительным ошибкам. Кроме того, сила и скорость фото- и термо-фореза существенно зависит от значений показателей а,(3 и у.

3. В предельном случае при а->Ь, полученные формулы для силы и скорости термофореза нагретой сфероидальной частицы переходят для силы и скорости термофореза нагретой частицы сферической формы [66,81-83,109-110,116-117], а в случае, когда средняя температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей среды в известные формулы [14-15,42,45,85,96,54,55,80,90, 104,120].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Решено линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы в сфероидальной системе координат с учетом зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности), плотности газообразной среды и теплопроводности частицы от температуры.

2. В квазистационарном приближении построены теории гравитационного движения равномерно нагретой и неравномерно нагретой твердой крупной аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры и степенном виде зависимости вязкости и теплопроводности от температуры. Получены аналитические формулы для силы сопротивления и скорости гравитационного падения сфероидальной частицы.

3. Проведенный на основании полученных формул для силы и скорости гравитационного движения анализ показал, что нагрев поверхности частицы существенно влияет на величину силы и скорости ее гравитационного падения. Форм - фактор оказывает незначительное влияние.

4. В квазистационарном приближении построены теории фотофорети-ческого и термофоретического движения нагретой твердой крупной аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры и степенном виде зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры.

5. Получены аналитические выражения для силы и скорости фото- и термофореза, которые позволяют описывать движение аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольном не азимутально-симметричном распределении плотности тепловых источников по объему частицы.

6. Проведенный на основании полученных формул численный анализ показал, что форм-фактора оказывает заметное влияние на термофо-рез, однако, как и в случае фотофореза его роль по сравнению с нагревом поверхности остается второстепенной. Применение формул, отвечающих малым перепадам температуры с усредненными значениями физических величин при данной температуре поверхности частицы для описания случая больших относительных перепадов температуры, приводит к существенным ошибкам. Кроме того, сила и скорость фото- и термофореза значительно зависит от значений показателей а,|3 и у.

1. Абрамов Ю.И. Приближенный метод решения кинетического уравнения вблизи границы. II. Температурный скачок //ТВТ. 1970. №5. С.1013 1017.

2. Абрамов Ю.И., Гладуш Г.Г, Диффузионное и тепловое скольжение бинарной смеси газов //ПМТФ. 1970. №4, С. 51- 55.

3. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИ Украины, 1939. 718 с.

4. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990. Т. 1. 383 с.

5. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990. Т. 2. 720 с.

6. Аскарьян Г.А. Движение частиц в луче лазера //УФН. 1973. Т. 110, № 1. С. 115-116.

7. Бабенко К.И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью //ДАН СССР. 1973. Т. 210. № 2. С. 294-297.

8. Бабий В.И., Иванова И.П. Аэродинамическое сопротивление частицы в неизотермических условиях //Теплоэнергетика. 1965. № 9. С. 19 -23.

9. Баканов С.П. Расчет теплового скольжения при произвольной аккомодации на границе раздела фаз //ЖТФ. 1977. Т. 44. С. 421 427.

10. Баканов С.П., Ролдугин В.И. Граничные задачи кинетической теории газов и необратимая термодинамика //ПММ. 1977. Т. 41. С. 651 659.

11. Баканов С.П., Ролдугин В.И., О двух методах построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц // Колл. журнал. 1972. Т. 39, №6. С. 1027- 1038.

12. Баканов С.П., Дерягин Б.В., Ролдугин А.И. К вопросу о диффузионном скольжении газа. II. Применение методатермодинамики необратимых процессов //ИФЖ. 1981. Т. 51, № 1. С. 40-46.

13. Баканов С.П., Дерягин Б.В. Теория термофореза больших аэрозольных частиц //Докл. АН СССР. 1962. Т. 147., № 1. С. 139 -142.

14. Баканов С.П. Термофорез в газах при малых числах Кнудсена //УФН. 1992. Т. 162. № 9. С. 133-162.

15. Береснев С.А., Черняк В.Г. Термофорез сферической аэрозольной частицы при произвольных числах Кнудсена. Постановка задачи и метод решения //ТВТ. 1986. Т. 24, № 2. С. 313 321.

16. Береснев С.А., Черняк В.Г. Термофорез сферической аэрозольной частицы при произвольных числах Кнудсена. Обсуждение результатов //ТВТ. 1986. Т. 24, № 3. С. 549 557.

17. Береснев С.А., Черняк В.Г., Фомягин Г.А. Кинетическая теория фотофоретического движения аэрозольной частицы // Тезисы докладов XIV Всесоюзной конференции: Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем. Одесса, 1986. Т.1. С. 64.

18. Береснев С.А., Кочнева Л.Б., Суетин П.Е. Расчет и анализ микрофизических оптических характеристик атмосферного аэрозоля: модель однородных сферических частиц //Оптика атмосф. и океана. 2002. Т. 15. №5 -6. С. 522-529.

19. Береснев С.А., Кочнева Л.Б. Фактор асимметрии поглощения излучения и фотофорез аэрозолей //Оптика атмосф. и океана. 2003. Т. 16. №2. С. 134-141.

20. Береснев С.А., Ковалев Ф.Д., Кочнева Л.Б., Суетин П.Е., Черемисин A.A. О возможности фотофоретической левитации частиц в стратосфере //Оптика атмосф. и океана. 2003. Т. 16. № 1. С. 52 57.

21. Боголетов А.И., Быстрый Т.П. Экспериментальное изучение фотофоретического движения в газах методом моделирования по числу Кнудсена // Тезисы докладов XIV Всесоюзной конференции:

22. Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем. Одесса, 1986. Т.1.С. 153 154.

23. Боголетов А.И., Быстрый Г.П., Береснев С.А., Черняк В.Г., Фомягин Г.Д Экспериментальное и теоретическое исследование фотофореза в разреженном газе //Теплофизика высоких температур. 1991 Т. 29. №4. С. 750-758.

24. Боголетов А.И., Суетин П.Е., Береснев С.А., Быстрый Т.П., Черняк В.Г. Фотофорез модельных аэрозольных частиц //ТВТ. 1996. Т. 34. №5. С. 751-756.

25. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир. 1986. 660 с.

26. Борис А.Ю. Термофорез и взаимодействие равномерно нагретых сферических частиц в газе //ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 2. С. 324 327

27. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета. М-Л.:Химия. 1966. 535 с.

28. Броунштейн A.B., Фишбейн М.И. Гидродинамика массо- и теплообмена в дисперсных системах. Л.: Химия. 1977. 279 с.

29. Бытев В.О. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса //ПМТФ. 1972. № 6. С. 56 64.

30. Брюханов О.Н., Шевченко С.Н. Тепломассообмен. М.: Наука. 2005. 460 с.

31. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: МГУ. 1982. 292 с.

32. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Ленинград: ЛГУ. 1978. 295 с.

33. Вальтберг А.Ю., Исянов П.М., Яламов Ю.И. Теоретические основы охраны атмосферного воздуха от загрязнения промышленными аэрозолями. Санкт-Петербург: Нииогаз-фильтр. 1993. 235 с.

34. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир. 1967. 310 с.

35. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1977. 720 с.

36. Васильев М.М. Об асимптотическом поведении скорости и силах, действующих на тело, в стационарном потоке вязкой жидкости //ПММ. 1974. Т. 38. С. 84-91.

37. Гайдуков М.Н., Мелкумян М.А., Яламов Ю.И. К теории движения несферических частиц в термодиффузионных полях //ИФЖ. 1983. Т. 45, №5. С. 508 509.

38. Галкин B.C., Коган М.И., Фридлендер О.Г. Обтекание сильно нагретой сферы потоком газа при малых числах Рейнольдса //ПММ. 1972. Т.36. С. 880 -885.

39. Галоян B.C., Яламов Ю.И. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс. 1985. 208 с.

40. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л., ГИТТЛ, 1950. 436 с.

41. Горелов С.Л. Термофорез и фотофорез в разреженном газе //Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. № 5. С. 178 - 182.

42. Грандштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматиздат. 1962. 1100 с.

43. Дерягин Б.В., Рабинович Я.И. Экспериментальная проверка теории термофореза больших аэрозольных частиц //Докл. АН СССР. 1964. Т. 137, № i.e. 154- 157.

44. Ивченко И.Н. Теория движения аэрозольных частиц в неоднородных газах //Автореф. . док. физ.-мат. наук. М. 1968.

45. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Тепловое скольжение неоднородного газа вдоль плоской поверхности //Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 6. С. 59-66.

46. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И., Рабинович Я.И. Теоретическое и экспериментальное исследование явления термофореза аэрозольных частиц при больших числах Кнудсена //ЖФХ. 1971. № 3. С. 583 587.

47. Кабанов M.B. Мощное лазерное излучение в атмосферном аэрозоле. Новосибирск: Наука. 1984. 222 с.

48. Кабанов М.В. Лазерное зондирование индустриальных аэрозолей. Новосибирск: Наука. 1986. 185 с.

49. Кавторин П.Н., Быстрый Г.П., Боголетов А.И., Носов A.B., Шумков В.А. Экспериментальная установка для изучения термофоретических явлений с помощью можельных экспериментов в широком диапазоне чисел Кнудсена //Деп. в ВИНИТИ 1985. № 5947 85.

50. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Гос. издат. физ.-мат. литер., 1981. 703 с.

51. Коваленко JI.M., Глушков А.Д. Теплообменники с интенсификацией теплоотдачи. М.: Энергоатомоиздат. 1981. 240 с.

52. Коган М.Н., Галкин B.C., Фридлендер О.Г. О напряжениях, возникающих в газах вследствие неоднородности температуры и концентраций. Новые типы свободной конвекции. //УФН. 1976. Т. 119. Вып. 1.С. 111-124.

53. Коддингстон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Иностр. Лит-ры. 1958. 474 с.

54. Кузиковский A.B. Динамика сферической частицы в мощном оптическом поле //Изв. ВУЗ. Физика. 1970. № 5. С. 89 94.

55. Кутуков В.Б. Движение макрочастиц в вязких средах в поле оптического излучения: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Калинин, 1976.- 137 с.

56. Кутуков В.Б., Щукин Е.Р., Яламов Ю.И. О фотофоретическом движении аэрозольной частицы в поле оптического излучения //ЖТФ. 1976. Т. 46, №3. С. 626-627.

57. Ладыжевская O.A. Математические вопросы динамики вязкой жидкости. М.: Наука. 1970. 288 с.

58. Латышев A.B. Аналитическое решение задачи о скольжении газа с использованием модельного уравнения Больцмана с частотой,пропорциональной скорости молекул. Поверхность. Рентгеновские и синхротронные исследования. 1997. № 1. С. 92 - 99.

59. Латышев A.B., Юшканов A.A., Попов В.Н. Влияние температуры молекулярного газа на значения коэффициента скольжения // ПМТФ. 2006. №1. С. 58-65.

60. Латышев A.B., Юшканов A.A. Точные решения граничных задач для модельных уравнений Больцмана с переменной частотой столкновений. Монография. ОТП РАН. Деп. в ВИНИТИ 25.04.1986, №1360-В96, 238 с.

61. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. Изд-во МГОУ. 2004. 286 с.

62. Латышев A.B., Попов В.Н., Юшканов A.A. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений. Монография. 2004. Архангельск. 263 с.

63. Латышев A.B., Юшканов A.A., Попов В.Н. Вычисление скорости скольжения молекулярного газа вдоль сферической поверх- ности с учетом коэффициентов аккомодации//ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 11. С. 26-31.

64. Латышев A.B., Юшканов A.A., Попов В.Н. Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении второго порядка с учетом вращательных степеней свободы молекулярного газа//Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. №21. С. 49-57.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 736 с.

66. Летфулова Л.Б., Старинов A.B., Береснев С.А. Поглащающие свойства атмосферного аэрозоля: анализ микрофизических оптических характеристик //Оптика атмосф. и океана. 2001. Т. 14. № 1.С. 69 -75.

67. Малай Н.В. Фотофоретическое и термодиффузиофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц//ИФЖ.1988 Т.54. № 4.С.628-634.

68. Малай H.B. Обтекание неравномерно нагретой капли потоком жидкости при произвольных перепадах температуры в ее окрестности //ИФЖ. 2000. Т. 73. № 4. С. 1 11.

69. Малай Н.В., Плесканев A.A. К вопросу о влиянии внутреннего тепловыделения на термофорез твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы //ИФЖ. 2004. Т. 77. № 6. С. 74 78.

70. Малай Н.В., Плесканев A.A., Щукин Е.Р. К вопросу о влиянии внутреннего тепловыделения на движение нагретой твердой частицы в вязкой жидкости // ЖТФ. 2006. Т. 76, № 3, С. 25 29.

71. Малай Н.В., Щукин Е.Р., Плесканев A.A., Стукалов. A.A. Особенности фотофоретического движения умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы // Оптика атмосферы и океана. 2006. Т. 19. № 5, с. 413 418.

72. Малай Н.В., Плесканев. A.A. Особенности обтекания аэрозольной частицы сфероидальной формы при малых перепадах температуры //Деп. в ВИНИТИ. 2005. № 223 В 2005.

73. Малай Н.В., Щукин Е.Р., Плесканев A.A., Стукалов. A.A. Особенности фотофоретического движения крупных аэрозольных частиц сферической формы при малых относительных перепадах температуры в их окрестности // Деп. в ВИНИТИ. 2005. № 1169 В 2005.

74. Малай Н.В., Плесканев A.A. Гравитационное движение твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы // Деп. в ВИНИТИ. 2006. 24 с. № 1056 В 2006.

75. Малай Н.В., Плесканев A.A. Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на термо- и фотофоретическое движение твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы // Деп. в ВИНИТИ. 2006. 21 с. № 1057 В 2006.

76. Малай Н.В., Аматов М.А., Стукалов A.A. К вопросу о фотофорезе в жидкости //Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. № 9. С.42 47.

77. Малай Н.В., Щукин Е.Р., Стукалов A.A. Влияние движения среды на фотофорез крупных аэрозольных частиц сферической формы//Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. № 9. С.48 58.

78. Малай Н.В. Исследование термодиффузиофоретического и фотофоретического движения частиц в сжимаемых газообразных средах: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 1988. - 146 с.

79. Малай Н.В. Влияние не линейных характеристик среды и форм фактора на движение твердых частиц и капель в жидких средах прималых числах Рейнольдса: Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Белгород, 2001.-396 с.

80. Марков М.Г. Теоретическое исследование влияние термодиффузиофореза и фотофореза на эволюцию атмосферного аэрозоля. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Обнинск, 1985. 179 с. Библ. 141 наим.

81. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена. Тепловое излучение. М.: Высшая школа. 1974. 270 с.

82. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535 с.

83. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука. 1987. 464 с.

84. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. II. М.: Наука. 1987.359 с.

85. Плесканев А.А. Обтекание равномерно нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры в ее окрестности. // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: ГОУ ВПО «РТУ им. С.А. Есенина». 2006. № 10. С. 52-55.

86. Поддоскин А.Б. Газокинетические методы в динамике умеренно крупных аэрозольных частиц // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М. 1982. 120 с.

87. Редчиц В.П. Динамика несферических аэрозольных частиц в неоднородных газах и газовых смесях. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1986. 160 с. Библ. 120 наим.

88. Савков С.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Граничные условия скольжения бинарной газовой смеси вдоль поверхности малой кривизны //Физическая кинетика и гидромеханика дисперсных систем. М. 1986. С. 57 80. Деп. в ВИНИТИ, № 5321 В86.

89. Савков С.А. Граничные условия скольжения неоднородной бинарной смеси газов и их применение в динамике аэрозолей. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1987. 128 с. Библ. 101 наим.

90. Санасарян A.C. Теория движения жидких капель, твердых частиц и газовых пузырьков в неоднородных вязких средах в режиме со скольжение. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Калинин. 1977. 113 с. Библ. 101 наим.

91. Сафиуллин P.A., Яламов Ю.И. Обзор термодиффузиофореза несферических аэрозольных частиц //Деп. В ВИНИТИ 1994. 22 с. № 2174-В94.

92. Силин В.Г. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 971. 331 с.

93. Скачков И.М. Исследование влияния форм-факторов, инерционных и конвективных эффектов на движение аэрозольных частиц в неоднородных газах. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1986. 185 с. Библ. 163 наим.

94. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1974. Т. III. ч.2. 662 с.

95. Сторожилова А.И., Щербина Г.Н. Измерение скорости термофореза крупных аэрозольных частиц и применение результатов измерений к определению коэффициента теплового скольжения газа //Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, № 2. С. 386 389.

96. Смитлз Дж. Металлы. М.: Металлургия, 1980. 446 с.

97. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир. 1981.408 с.

98. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972. 735 с.

99. Ушакова Н.Я. Термо- и диффузиофорез капель бинарных растворов. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1991. 161 с. Библ. 73 наим.

100. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.:Мир, 1976. 554 с.

101. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1960. 630 с.

102. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720 с.

103. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд. иностр. лит. 1960. 510 с.

104. Шулиманова 3.JI. Теория термодиффузиофоретического, фотофоретического и броуновского осаждения частиц в плоскопараллельных каналах./ Автореф.канд. физ.-мат. наук. Одесса. 1986.

105. Щукин Е.Р. О движении аэрозольных частиц с неоднородным распределением тепловых источников в поле внешних градиентов температуры и концентрации //ЖТФ. 1980. Т. 50, № 6. С. 1332 1335.

106. Щукин Е.Р., Малай Н.В. Движение нагретых умеренно крупных аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрации газообразных средах //МОПИ им. Н.К, Крупской. М., 1986. 36 е.: Библиогр.: 12 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 8532 В86.

107. Щукин Е.Р., Малай Н.В. Поля распределения температуры и концентрации в окрестности нагретой сферической частицы //Изв. ВУЗ. Физика. 1990. Т. 33. № 7. С 128.

108. Щукин Е.Р., Малай Н.В. Фотофоретическое и термодиффузиофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц //ИФЖ. 1988. Т. 54, № 4. С. 628 634.

109. Щукин Е.Р. Влияние нелинейных характеристик газообразной среды на движение, улавливание и кинетику фазовых переходов аэрозольных частиц //Автореф. . док. физ.-мат. наук. М. 1999.

110. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС. 1998. 424 с.

111. Юшканов A.A. некоторые вопросы физической кинетики и динамики аэрозолей //Автореф. канд. физ.-мат. наук. М. 1980.

112. Яламов Ю.И., Кутуков В.Б., Щукин Е.Р. Теория движения малых аэрозольных частиц в поле оптического излучения // ИФЖ. 1976. Т. 32, №6. С. 996- 1002.

113. Яламов Ю.И., Афанасьев Н.М. Термофорез цилиндрической аэрозольной частицы в режиме со скольжением //ИФЖ. 1977. Т.47, № 9. С. 1998-2000.

114. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н. Два метода построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц //Колл. журнал. 1976. Т. 38, №3. С. 1149 1155.

115. Яламов Ю.И., Сафуллин Р.А. К теории термофореза цилиндрической аэрозольной частицы в умеренно разреженном газе //ТВТ. 1994. Т. 32. № 2. С. 271 275.

116. Яламов Ю.И., Санасарян А.С. О движении крупных капель, твердых частиц и газовых пузырей в неоднородных по температуре газах и жидкостях в режиме со скольжением //ЖТФ. 1975. Т. 45. С. 2052-2157.

117. Яламов Ю.И., Редчиц В.П., Гайдуков М.Н. О термофорезе аэрозольной частицы эллипсоидальной формы в гидродинамическом режиме //ИФЖ. 1980. Т.39. № 2. С. 538 540.

118. Dusel P.W., Kerker М., Cooke D.D. Distribution of absorption centers within irradiated spheres //J. Opt. Soc. Am. 1979. V. 69. № 1. P. 55 59.

119. Ehrenhaft F. Towards a physics of millionth of centimeters // Physik. Zeitschr. 1917. Bd. 17. S. 352 358.

120. Epstein P.S. Zur Theorie des Radiometers // Zs. F. Physik. 1929. Bd. 54. № 4. S. 537-563.

121. Hidy G.M., Brock J.R Photophoresis and the Decent of Particles into the Lower Strstosphere //J. Geophys. Res. 1967. V. 72. N 2 . P. 455-460.

122. Greene W.M., Spjut R.E., Bar-Ziv E., Sarofim A.F., Longwell J.P. Photophoresis of irradiated spheres: absorption centers //J. Opt. Soc. Amer. B. 1985. V. 2. № 6. P. 998 1004.

123. D.R. Kassoy, T.C. Adomcon, J R and A.F. Messiter Compressible Low Reynolds Number Flow around a Sphere //J. Physics Fluids. 1966. Vol/ 9, № 4. P. 671-68

124. Leong K.N. Thermophoresis and Diffusiophoresis of Large Aerosol Particles of Different Shapes //J. Aerosol Sei. 1984. Vol. 15. No. 4. P. 511 -517.

125. Lin S.P. On Photophoresis //J. Colloid Interface Sei. 1975. V. 51. N 1. P. 66-71.

126. Maxwell J. C. On Stresses in Rarefied Gases Arisihg from Ihequalities of Temperature //Philos. Trans. Roy. Soc. 1979. Vol. 170. № 1. P. 231256.

127. Rubinowiez A. Radiometerkräfte und Ehrenhaftische Photophorese //Annalen der Physik. 1920. Bd. 62. № 16. S. 691 737.

128. Preining 0. Photophoresis / Aerosol Science / Ed. C.N. Davis N.Y.: Academic Press, 1966. P. 111 135.

129. Tong N.T. Experiments on Photophoresis and Thetmophoresis //J. Colloid Interface Sei. 1975. V. 51. N 1. P. 143-151.