Нелинейные характеристики среды и движение нагретых частиц сферической формы в вязких неизотермических средах

Стукалов, Александр Анатольевич

Нелинейные характеристики среды и движение нагретых частиц сферической формы в вязких неизотермических средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Стукалов, Александр Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Белгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейные характеристики среды и движение нагретых частиц сферической формы в вязких неизотермических средах»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные характеристики среды и движение нагретых частиц сферической формы в вязких неизотермических средах"

На правах рукописи

СТУКАЛОВ Александр Анатольевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДЫ И ДВИЖЕНИЕ НАГРЕТЫХ ЧАСТИЦ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ В ВЯЗКИХ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ СРЕДАХ (ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА)

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород 2008

003460117

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Белгородского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Малай Николай Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Савков Сергей Анатольевич

кандидат физико-математических наук, доцент Воронов Виталий Павлович

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет

им. Г.Р. Державина

Защита состоится « 13 » Февраля 200 9 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д212.105.04 при Курском государственном техническом университете по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Курск ГТУ по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

«Л»

Автореферат разослан «Л» января 200 9 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, г

кандидат физико-математических наук 0/1<%с< ^ Рослякова Л.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время все большее значение приобретает исследование физических и динамических свойств дисперсных систем и создание на этой основе математических моделей, позволяющих оценивать их поведение. Дисперсной системой называют одно-компонентную или многокомпонентную вязкую среду (жидкость или газ) с взвешенными в ней частицами.

Наибольший интерес представляют дисперсные смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых есть частицы, а вторая - газ или жидкость. Газ (жидкость) с взвешенными в нем частицами называют аэрозолями (гидрозолями), а сами частицы - аэрозольными (гидрозольными). При этом размер частиц дисперсной фазы находится в очень широких пределах: от макроскопических (~500л«см) до молекулярных (~ 10нм) значений; варьирует в них соответственно и концентрация частиц - от одной частицы до высококонцентрированных систем. В настоящее время, с учетом развития нанотехнологий, большую перспективу представляет применение ультрадисперсных (нано-) частиц, в частности, в наноэлектронике и нанотехно-логиях в целом.

Аэрозоли играют большую роль в природе и жизни человека и находят все более широкое применение в технике, медицине, сельском хозяйстве и быту. В связи с интенсификацией производства увеличивается их выброс и в атмосферу вместе с промышленными дымами. Аэрозольные загрязнения наиболее динамичны и представляют собой непосредственную угрозу окружающей среде. Таким образом, важной причиной возрастающего интереса к изучению аэро(гидро)дисперсных систем является разнообразие и фундаментальный характер задач, которые возникают в этой области.

К настоящему времени в литературе достаточно полно разработана теория движения аэрозольных частиц сферической формы, как в случае малых, так и в случае больших относительных перепадов температуры в их окрестности. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы и температурой области вдали от нее к последней, то есть величину (Тя ~ТеФ,)/Те„. Относительный перепад температуры считается малым при (l]s -Tj/Te„«\ и большим в противном случае.

Существенный вклад в изучение и применение аэродисперсных систем внесли ряд отечественных и зарубежных исследователей: Г.С. Эп-штейн, Ж.Р. Брок, H.A. Фукс, В.М. Волощук, Б.В. Дерягин, O.A. Волко-вицкий, П.Е. Суетин, Ю.И. Яламов и др.

Среднее расстояние между аэрозольными частицами у значительной части встречающихся на практике аэродисперсных систем намного больше

характерного их размера. В таких системах учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить, основываясь на знание законов динамики движения и тепло-и массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных аэрозольных частиц. Поэтому исследование закономерностей движения отдельных частиц в газообразных средах (как однородных, так и неоднородных) является важной актуальной задачей, представляющей значительный теоретический и практический интерес. Без знания закономерностей этого поведения невозможно математическое моделирование эволюции аэродисперсных систем и решение такого важного вопроса, как целенаправленное воздействие на аэрозоли.

Цель работы: изучение влияния нелинейных характеристик среды на движение нагретых частиц (твердых и капель) сферической формы в вязких неизотермических газообразных средах при малых числах Рей-нольдса.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- разработать вариант математического метода решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом зависимости коэффициента вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат; сравнить с уже полученными;

- решить конвективное уравнение теплопроводности методом сращиваемых асимптотических разложений с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры;

- изучить влияние нагрева поверхности на силу и скорость гравитационного движения слабо испаряющейся равномерно нагретой капли. Получить аналог формулы Адамара-Рыбчинского, позволяющей оценивать силу и скорость гравитационного дрейфа капли при произвольных перепадах температуры в ее окрестности;

- исследовать влияния движения среды на фотофорез нагретых твердых аэрозольных частиц сферической формы.

Объект исследования: физические и динамические свойства аэродисперсных систем.

Предметом исследования является поведение нагретой аэрозольной частицы сферической формы в вязкой неизотермической газообразной среде.

Методы исследований. Результаты работы получены с использованием теории дифференциальных уравнений, качественных свойств специальных функций, метода Фурье разделения переменных, уравнений математической физики.

ственности полученного решения). Исследовано влияние движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) на фотофорез твердых нагретых крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы. Проведен численный анализ влияния нагрева поверхности и движения среды на поведение аэрозольной частицы в вязкой неизотермической газообразной среде.

Разработанные математические методы могут быть использованы и при исследовании поведения нагретых частиц в вязких неизотермических средах (газ или жидкость) с более сложной формой (сфероид, цилиндр и т.д.).

Практическая значимость работы. Результаты научного исследования могут быть применимы при описании процесса осаждения аэрозольных частиц в разнотемпературных каналах; при проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц; при разработке методов тонкой очистки газов от аэрозольных примесей и т.п.

Математические методы, используемые при решении уравнений гидродинамики и теплопереноса, могут быть применены в дальнейшем при теоретическом описании поведения нагретых частиц в вязких неизотермических средах (газ или жидкость) с более сложной геометрией, например, сфероидальной, цилиндрической и т.д.

Кроме того, результаты данной работы могут быть использованы при разработке спецкурсов по гидродинамике, газовой динамике, а также при подготовке курсовых и дипломных работ студентов 3-5 курсов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Решение в виде обобщенных степенных рядов линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом степенного вида зависимости коэффициента вязкости от температуры в сферической системе координат.

2. Влияние нагрева поверхности на силу и скорость гравитационного дрейфа слабо испаряющихся равномерно нагретых капель и твердых частиц сферической формы.

3. Решение конвективного уравнения теплопроводности методом сращиваемых асимптотических разложений с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности от температуры в сферической системе координат.

4. Влияние движения среды на фотофорез нагретых твердых крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы.

тематических моделей физических систем; согласованностью полученных в диссертации результатов с известными результатами и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на II Международной научно-практической конференции «Экология: образование, наука, промышленность и здоровье» (г. Белгород, 2004); Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность - 2005» (г. Обнинск, 2005); Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006); Международной научной конференции: «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006); 2 Международной научной конференции «X Белорусская математическая конференция» (г. Минск, 2008), на научных семинарах кафедры теоретической физики Белгородского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 2 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора. В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежит обработка полученных результатов, участие в их обсуждении и подготовке материала для публикации в открытой печати и на конференциях.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав и приложения, библиографического списка (137 наименований), содержит 24 иллюстраций и 2 таблицы. Общий объем диссертации 130 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель и задачи, определяется его научная новизна, достоверность, обоснованность и практическая значимость. Представлены положения, выносимые на защиту, результаты апробации и публикации по теме диссертации. Дан краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе диссертации получено аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом степенного вида зависимости вязкости от температуры; доказана теорема существования и единственности полученного решения. Проведено сравнение с известными результатами.

В разделе 1.1 дается определение основных уравнений гидродинамики и свойства вязкой неизотермической газообразной среды, используемых в диссертации. Общая система гидродинамических уравнений нелинейна, и в разделе 1.2 приведены допущения, позволяющие линеаризовать эту систему:

1. все процессы, происходящие в системе частица-газ, рассматриваются в квазистационарном приближении при малых числах Рейнольдса и Пекле;

2. движение нагретой аэрозольной частицы рассматривается при значительных (больших) относительных перепадах температуры в ее окрестности. В работе при описании свойств газообразной среды и частицы рассматривается степенной вид зависимости динамической вязкости и теплопроводности от температуры: Ме=Ме~1И>

4 = Л=Лл". где Ме~=МеЮ, = = 4 (О.

^ - Тк/Те_, к = е,1, 0.5<а,/?<1, -1 <со< 1, Здесь и далее индексы «е» и «¡» будем относить к газообразной среде и частице, индексом «б» - обозначены значения физических величин, взятых при средней относительной температуре частицы равной Т15, а индексом » -обозначены значения физических величин, характеризующие внешнюю среду в невозмущенном потоке;

3. коэффициент теплопроводности частицы по величине много больше коэффициента теплопроводности газа. Это допущение приводит к тому, что в коэффициенте вязкости можно пренебречь зависимостью по углу в в системе «частица - газ» (предполагается слабая угловая асимметрия распределения температуры) и считается, что вязкость связана только с температурой te0(r), т.е. Ме{{е(г^))~ мА{ео(г))- При

этом /е(г,в) = 1е0{г)+&е{г,в), где ЯД/м9)«/,0(г), &е{г,в), (е0{г) оп-

ределяются из решения тепловой задачи. Это допущение позволяет рассматривать гидродинамическую часть отдельно от тепловой части, а связь между ними осуществляется через граничные условия;

4. частица образована однородным и изотропным по своим свойствам веществом;

5. при описании движения нагретой частицы во внешних заданных полях используется гидродинамический подход, т.е. модель сплошной среды. Решаются обычные уравнения гидродинамики и теплопере-носа, учитывающие, однако, поправки, связанные с отличием числа Кнудсена от нуля в граничных условиях.

В рамках сформулированных выше допущений в диссертационной работе исследовалась следующая система гидродинамических уравнений, описывающая распределения полей скорости и, давления Р и температур Т вне и внутри нагретой частицы:

к У I [_ " "] к ^ N

-У)Те= сИу{Я^Те), пе = Ре/кТ„

■^-{реи1)=0, (1)

ах,

(2) (3)

где хк —декартовые координаты; к-постоянная Болыдмана;ре = пете, ре, те - плотность и масса молекул газообразной среды-плотность тепловых источников, неоднородно распределенные в объеме частицы, за счет которых и происходит ее нагрев.

Система уравнения (1) - (3) решалась со следующими граничными условиями вне и внутри аэрозольной частицы (в сферической системе координат (г,в,(р)):

r=R, (/;М)=/,, иев{г,в)=/2,

г->со, Ut-->U„coseer-U„sineee,Te^>Te„, Ре^>Р„, (4)

г->0, Т:*оо .

Здесь /,, /2 - const, ег, е$ - единичные векторы сферической системы координат.

Значения /, и /¡, входящих в граничные условия на поверхности нагретой частицы радиуса R (г = R) определяются конкретной физической задачей (речь о которых пойдет в следующих главах)

В разделе 1.3 перечислены основные сведения из теории решения дифференциальных уравнений n-го порядка с помощью обобщенных степенных рядов, используемых в данной работе.

Одной из основных трудностей диссертационного исследования -это нахождение аналитического решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса (1) с учетом степенного вида зависимости вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат, которое получено в разделе 1.4.

Компоненты массовой скорости и давления искались в виде разложения по полиномам Лежандра и Гегенбауэра. Они нужны нам для нахождения общей силы, действующей на частицу. Сила определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы. Используя свойство полиномов Лежандра и Гегенбауэра, легко показать, что эта сила определяется первыми членами этих разложений. Связь между радиальными функциями в этих разложениях находилась из уравнения непрерывности (1) при этом учитывалось зависимость плотности газообразной среды от температуры (уравнение состояния). Учитывая явный вид зависимости вязкости от температуры (допущение (3)) и подставляя все это в линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса (1), которое затем решалось методом разделения переменных. В конечном итоге было получено следующее однородное дифференциальное уравнение 4-го порядка:

/ У3(8 + Уг(* + а+ )^-+y(~S + aJ + af +

ay dy dy

+ а/)—+(«/+«/ + a/ )G = 0 (5)

1-2/3 8/7 /?2-3/?-o0 + 3 + 3a ,0-1

в котором or, =-—, аг=——, а,=--—,—^-. а. =2-—,

р 1 1 + а 1 1 + ог 3 (l + а) а + Г

_„/72+/7-«/7-3«-3 _ 6 + 12g + 6«2 + /72 - Г0

(1 + а)2 - (1 + а)з ' у + Г0'

«,=2—--гг-, у = г IR, Ja-const,

(1 + а)"

с граничными условиями

F2, (6)

2 ify

2(1 +or) J

Заметим, что при получении и нахождении решения уравнения (5) в виде обобщенных степенных рядов мы использовали переменную I, впервые предложенную Е.Р. Щукиным1

Точка у = 0 для уравнения (5) является регулярной особой точкой и, следовательно, его решение может быть получено в виде обобщенных степенных рядов2.

Решение уравнения (5) ищем в виде обобщенного степенного ряда:

С=/ХС.Г. С0*0. (8)

„=0

Подставляя (8) в уравнение (5), получаем определяющее уравнение, корни которого равны р] = -3, рг--\, р3=0, р4 = 2. Заметим, что разность корней (по модулю) определяющего уравнения равна целому числу. Следовательно, согласно общей теории решения дифференциальных уравнений в виде обобщенных степенных рядов (метод Фробениуса) в остальных решениях, кроме первого решения (в нашем случае рх~-3) появляется добавочное слагаемое с логарифмом2.

Большему по модулю из корней отвечает решение: 1_

Второе решение уравнения (5) (~ р2 = -1) ищем в виде:

с2 (Ю)

У^о У

Третье решение уравнения (5), отвечающее корню ръ = 0, равно:

С«= 1 (9)

' Щукин, Е.Р. Влияние нелинейных характеристик газообразной среды на движение, улавливание и кинетику фазовых переходов аэрозольных частиц: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Е.Р. Щукин. Моск. пед. ун-т. - МПУ.,1998. - 275 с.

2 Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддинг-

тон, Н. Левинсон - М.: Иностр. Лит-ры. 1958. - 474 с.

С3 = Zcfr , С® =1 (11)

л=0 У л=0 У л=0

Здесь ai,a2,g0 - const, рекуррентные соотношения для C^'.C^'.Cf определяются методом неопределенных коэффициентов, их явный вид приведен в диссертации, а в приложении I приведены численные значения коэффициентов Cf (п>1), С<2) (и > 3) и С<3) (п>4) при а = Р =1+0.7+0.5 в интервале температур от 273 К до 1200 АГ.

Явный вид четвертого решения G4(y) уравнения (5) мы не приводим, т.к. оно не удовлетворяет граничному условию (7) при у —»°°.

Решение G(y)= ДС,(у)+ДС2(у)+ Аръ(у)+А4 G4(y) формально удовлетворяет уравнению (5) по построению. Легко показать, что радиус сходимости степенных рядов равен единицы. Кроме того ограниченность функций Gt(y), G2(y) и G3(y) обусловлена выбором переменной

е(у)=.

<1. Постоянные интегрирования A,, Д,А3 и Д однозначно

У + Г0

определяются из граничных условий (6) - (7): А4 =0, А3 =1. Для определения постоянных Д и Д имеем следующую линейную систему уравнений:

|ДС1(1) + ДС2(1)+С3(1)=^ {ДС4(1) + ДС5(1)+С6(1)=^2 Эта система имеет единственное решение, если ее определитель от-¿7,(1) С2(0 С4(1) С5(1)

сти решений СДу), С2(у), С3(у). Следовательно:

С,(1) /<-С3(1) С4(1) ^2-С6(1)

личен от нуля. Определитель

?t0 в силу линейной независимо-

А =

Fx -G3( 1) С2(1)

F, -c6(I) (1)

G,(l) G2(l)

G4(I) G5(I)

д:

G,(l) С2(1) С4(1) С5(1)

Таким образом, в результате проведенного исследования доказана следующая теорема.

Теорема. Существует единственное решение уравнения (5), удовлетворяющее граничным условиям (6) - (7), которое имеет вид: С{у)= ДС1(у)+ ДС2(у)+ А3С3(у)+ Д 64 (у). В разделе 1.5 проведено сравнение полученного решения с известными решениями.

Таким образом, в первой главе диссертации разработан математический метод решения линеаризованного по скорости уравнения Навье -

Стокса с учетом степенного вида зависимости вязкости и плотности газообразной среды от температуры.

В качестве примера применения разработанного в первой главе метода, во второй и третьей главах диссертации исследуются гравитационное и фотофоретическое движения нагретой аэрозольной частицы сферической формы.

Во второй главе получены аналитические формулы, обобщающие формулы Адамара-Рыбчинского и Стокса. Формулы, позволяющие оценить силу и скорость гравитационного падения нагретой твердой аэрозольной частицы и слабо испаряющейся капли при произвольных относительных перепадах температуры в ее окрестности. В разделах 2.1 и 2.2 приведены основные уравнения и граничные условия.

В частности, в случае движения равномерно нагретой твердой сферы радиуса И в поле силы тяжести система уравнений гидродинамики и граничные условия, в системе координат, связанной с центром масс частицы (см. рис. 1), имеют вид (12) - (16):

Рис. 1. Схема обтекания неподвижной равномерно нагретой сферы плоскопараллельным потоком со скоростью .

Э Ре д Щ д Щ

а хк а х} ^ а хк а х] З а х„

«ну(/?,и,) = о, амлсУ7;)=о

с граничными условиями:

г=я, £/;= о, и;=о, те=тв, (М)

г —ие-»^сов^-^вш^, Ре^>Ре„. (15)

Решая уравнения теплопереноса методом Фурье и используя результаты первой главы, были получены аналитические выражения для силы сопротивления и скорости гравитационного падения равномерно нагретой твердой частицы сферической формы при произвольных относительных перепадах температуры в ее окрестности (аналог формул Стокса):

2 _ э и: -0;Ъ

, (т,к, ] = 1,2,3)

(12) (13)

^=6п, и=к„п,, й =-

9 /С /„

(16)

где =2(0,(1)С2'(1)-С2(1)С1'(1))/з(с1(1)Сз/(1)-Сз(1)С,'(1)), с/ -первая

производная по у от соответствующей функции (к -1,2,3).

В случае, когда величина нагрева поверхности частицы достаточно мала, т.е. средняя температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей среды вдали от нее (Г0 —>0), зависимостью плотности и коэффициентов молекулярного переноса от температуры можно пренебречь. В этом случае полученные формулы (16) переходят в известные выражения для сферы (/ = 1).

Для иллюстрации относительного влияния нагрева поверхности на силу сопротивления и скорости гравитационного падения на рис.2 - 3 приведены кривые, связывающие значения функций %= /м /|Га=27з* и

X - /Л/г|7-д=273к со значениями Тш для частиц меди с радиусом Л =0.1

мм, взвешенных в воздухе при нормальных условиях. Кривые 1, 2 и 3 строились соответственно при а = ¡5 = 0.5 + 0.7 +1.

Рис. 2. Рис.3.

Численные расчеты показали, что нагрев поверхности оказывает существенное влияние на силу вязкого сопротивления и скорость гравитационного падения аэрозольной частицы и зависит от показателей ог = /? = 0.5-ь0.7ч-1. Эти факты можно использовать в практических приложениях.

В разделе 2.2 проведено качественное сравнение полученных в диссертации формул для равномерно нагретой сферы с экспериментом3. В эксперименте исследовалось влияние температуры газовой среды и температуры горящих угольных частиц (разогретых антрацитовых частиц) на коэффициент аэродинамического сопротивления с погрешностью ±10 -20%. Температура частиц, взвешенных в нейтральной (азотной) и в

3 Бабий, В.И. Аэродинамическое сопротивление частицы в неизотермических условиях / В.И. Бабий, И.П. Иванова //Теплоэнергетика. 1965. - № 9. - С. 19-23.

окислительной (воздушной и кислородной) газовой среде, изменялась от 20 °С до 800 °С. Размеры угольных частиц в опыте - от 0,1 до 1,0 мм. В экспериментальной работе была предложена формула расчета коэффициента аэродинамического сопротивления частицы в неизотермических ус-

ловиях С'г =

52 Яе

К. У

Г т \т

У е- /

Здесь т = 1,7, Т15 -температу-

ра поверхности частицы.

Если привести полученную в диссертационном исследовании формулу (2.2.8) к аналогичному виду, то она примет вид:

(17)

На рис.4 проведено сравнение коэффициентов фР и ф'Р в интервале температур от 273 °К до 1073 "К. Кривые 1,2 и 3 строились соответственно при а = /7 = 0.5+0.7 + 1. Численные оценки показали очень хорошее согласие с экспериментальными данными.

Рис. 4.

Сравнение формул (17) с формулами Стокса, при коэффициенте вязкости в формуле Стокса взятый при средней температуре поверхности частицы Тц проведено в разделе 2.2. Численные оценки показали завышенный характер формулы Стокса, который тем существеннее, чем выше нагрета частица.

Особенности гравитационного движения неравномерно нагретой (внутри частицы действуют внутренние источники тепла) твердой частицы сферической формы рассмотрены в разделе 2.3. Получены аналитические выражения для силы и скорости и проведены численные оценки.

В разделе 2.4 рассмотрено гравитационное движение равномерно нагретой слабо испаряющейся капли в газообразной среде. В ряде случаев, представляющих практический интерес, сфера, поступательно движущаяся

при малых числах Рейнольдса, сама состоит из жидкости, в которой, в свою очередь; может возникнуть движение, и желательно выяснить, какое влияние оказывает эта внутренняя циркуляция и нагрев ее поверхности на силу сопротивления и скорость ее гравитационного дрейфа.

Предполагается, что при движении равномерно нагретая капля сохраняет сферическую форму. Физически это означает, что силы поверхностного натяжения на ее границе значительно больше сил внешнего давления, стремящихся нарушить сферическую форму. Математически отмеченное условие сохранения сферической формы капли можно представить в виде следующего неравенства:

(18)

ЯЛ

Здесь а -коэффициент поверхностного натяжения на границе капля-внешняя среда, I/ - величина скорости капли, имеющая в случае гравитационного движения порядок:

(19)

После подстановки (19) в (18) получаем условие (20), позволяющее оценить допустимые размеры капель, сохраняющих сферическую форму при их движении в поле силы тяжести:

Я<<лН-Г (20)

Так, например, оценки, проведенные по (20), для жидкости, имеющей на границе раздела поверхностное натяжение порядка <т~10~'///м, р. -103 кг/м3 и движущееся в газе с ре~\ кг/м1, дает верхний предел радиуса капли /г«3.2-10"4м = 320 микрон.

К системе уравнений (14) - (16) для учета влияния внутренних течений необходимо добавить уравнения Стокса внутри слабо испаряющейся капли. Это приводит и к изменению граничных условий на поверхности частицы. В сферической системе координат кинематические условия на поверхности раздела фаз требуют: для нормальных компонентов скорости выполнения условия и' = И\ =0, касательные компоненты скорости непрерывны иев =и'в, и непрерывны касательные компоненты тензора на-

пряжений це

г-»* гш хди1

щ+ш: и:

дг г дв

=д

дг г дв

и при

рУ(.| Т: Таким образом, мы получаем замкнутую систему уравнений, из решения которой были получены аналитические выражения для силы сопротивления и скорости гравитационного дрейфа равномерно на-

гретой слабо испаряющейся капли сферической формы (аналог формулы Адамара-Рыбчинского):

На рис. 5 приведены численные оценки по формуле (21) - кривые, связывающие значения / =/А/ с0 значениями Т5 для крупной

капли калия радиусом /? = 100 мкм, движущейся в азоте при Тех = 273 "К, Ре = 1атм. Кривые 1, 2 и 3 строились при « = /? = 0.5-5-0.7 + 1 соответственно

Из рис. 2 и 5 видим, что учет внутренних течений приводит к уменьшению силы сопротивления.

В разделе 2.5 рассмотрена задача о возможности термокапиллярного дрейфа слабо испаряющейся капли с однородным внутренним тепловыделением в поле силы тяжести.

Известно, что наличие градиента температуры на поверхности капли обуславливает возникновение градиента силы поверхностного натяжения и может вызвать движение капли. Это движение связано с касательными напряжениями на поверхности капли за счет изменения коэффициента поверхностного натяжения а с температурой Т (эффект Марангони) и направлено в сторону более нагретых участков внешней среды при с1а1 с1Т<§ или в противоположную сторону при (1с> Iс!Т> 0 (термокапиллярный дрейф).

В диссертации исследуется важный пример термокапиллярного дрейфа, в котором не симметрия температурного поля возникает благодаря движению капли и усиливается за счет действия равномерно распределенных внутренних источников тепла. Рассматривается ситуация, когда неоднородное распределение температуры на поверхности капли есть следст-

(21)

--Н 1-а = р = й* /• 2-« = /? = а? .<-« = /?=!

Рис.5.

вие ее собственного движения4. Получены аналитические формулы для силы и скорости термокапиллярного дрейфа слабо испаряющейся капли в поле силы тяжести при произвольных относительных перепадах температуры. Количественное исследование обсуждаемого явления в диссертации для нагретых слабо испаряющихся капель представляет собой вполне реальную экспериментальную задачу.

В третьей главе исследуется влияние нагрева поверхности частицы и движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) на фотофорез.

В разделе 3.1 дана постановка задачи, основные уравнения и граничные условия для крупной и умеренно крупной неравномерно нагретой аэрозольной частицы.

Физическая постановка задачи сводится к следующему. До момента времени Г = 0 частица не облучалась и находилась в термодинамическом равновесии с газом; в момент ?>0 на частицу падает плоская монохроматическая волна интенсивностью /0 и длиной волны ^ (см. рис. 6). Энергия электромагнитного излучения, поглощаясь частицей, превращается в тепловую энергию, которая неоднородно распределяется в ее объеме. Тепловая энергия может быть описано некоторой функцией ц1 (г), называемой объемной плотностью внутренних источников тепла. Функция <7¡(г) считается заданной. Тепло передается с неравномерно нагретой поверхности частицы в окружающую среду за счет излучения и взаимодействия с молекулами окружающего газа. Эффект разреженности, отвечающий за возникновение фотофореза, учитывается через граничные условия, допускающие возможность теплового скольжения газа вдоль неоднородно нагретой поверхности частицы. Под действием фо-тофоретической силы аэрозольная частица приходит в движение. Наряду с фотофоретической силой на частицу действует силы вязкого сопротивления среды. Когда величина фотофоретической силы становится равной величине силы вязкого сопротивления среды, частица начинает двигаться равномерно. Скорость равномерного движения частицы называют фотофоретической скоростью.

С учетом выше сказанного задачу можно сформулировать в общей постановке (как это принято в научной литературе). Рассматривается установившееся движение твердой умеренно крупной (крупной) аэрозольной частицы, нагреваемой внутренними источниками тепла (произвольной природы), неоднородно распределенные в ее объеме с плотностью д,., в вязкой неизотермической газообразной среде. На бесконечности газ поко-

4 Редников, А.Е. О термокапиллярном движении капли с однородным внутренним тепловыделением / А.Е. Редников, Рязанцев Ю.С. // ПММ. - 1989. - Т. 53. № 2. - С. 271-277 .

ится. Это позволяет получить выражения для силы и скорости фотофореза в более общем виде.

m(/-)=u+ik

Рис. 6. Схема фотофоретического движения сферической частицы.

Основная трудность в описании фотофореза (кроме нахождения решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса) заключалось в необходимости учесть влияние на него движения среды. При больших перепадах температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее конвективный член в уравнении теплопроводности pecpe(U{ ■ V) Те по порядку величины, может быть, сравним с основным

членом - div(AeVTe). Корректно решить эту задачу, учитывая, что конвективное уравнение теплопроводности нелинейное, можно используя метод сращиваемых асимптотических разложений5. Это связано с тем, что нам известно граничное условие для нулевого приближения и неизвестно граничное условие для первого приближения поля температуры вдали от частицы. До настоящего времени авторы, рассматривая это явление, либо предполагали, что граничное для первого приближения вдали от частицы пропорционально cos в, либо фотофорез рассматривали совместно с тер-мофорезом, диффузиофорезом и т.д., т.е. с аналогичными по своей физической природе явлениями, где известно граничное условие для первого приближения вдали от частицы. Этот недостаток устранен в разделе 3.3.

В разделе 3.2. кратко излагается основная идея метода сращиваемых асимптотических разложений, а в разделе 3.3. получено аналитическое решение конвективного уравнение теплопроводности с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности от температуры

(22)

и уравнение Пуассона внутри частицы, с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности частицы, от температуры:

div(lVTi) = ~qi (23)

5 Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк - М.: Мир. 1967. -310с

Найфе, А. Введение в методы возмущений / А. Найфе - М.: Мир. 1984. - 535 с.

Уравнения (22) и (23) решались со следующими граничными условиями для крупной аэрозольной частицы в сферической системе координат:

у=1, и:= 0, А^^+а^Мт?-^ (24)

иег=и„со$в,иее=-и„шв, Ре = Ре„, Те=те„, (25)

у->0, (26)

В граничных условиях (24) на поверхности частицы учтено, соответственно: условие непроницаемости и теплового скольжения для нормальной и касательной компонент массовой скорости, равенства температур и непрерывность радиального потока тепла.

Уравнение (22) нелинейное и оно решалось методом сращиваемых асимптотических разложений. Суть этого метода заключается в следующем. Внутренние и внешние асимптотические разложения безразмеренной температуры представим как:

^ЛЮи**). (/о(£) = 1)> (27)

п=0

= (28)

л=0

где £ = еу - "сжатая" радиальная координата5.

/ /*

При этом требуется, чтобы 0, —^ 0 при е 0. Недос-

^п Л

тающие граничные условия для внутреннего и внешнего разложений вытекают из условия тождественности продолжения асимптотических разложений того и другого в некоторую промежуточную область, т.е.

ф->°°,0) = №->О,0) (29)

Асимптотическое разложение решения внутри частицы, как показывают граничные условия на поверхности частицы, следует искать в виде, аналогичном (27):

= (30)

п=0

Относительно функций /л*(г) и /п (е) предполагается, что порядок их малости по е увеличивается с ростом п.

В разделе 3.3 получены нулевые и первые приближения для распределения температуры вне и внутри аэрозольной частицы и проведено сравнение с известными результатами.

При исследовании влияния на фотофорез движения среды природа тепловых источников, неоднородно распределенных по объему частицы, не конкретизировалась, что позволило получить аналитические выражения для силы и скорости фотофореза в общем виде. Эта сила будет аддитивно

складываться из силы вязкого сопротивления среды ^ ; силы Ррк, пропорциональной дипольному моменту плотности тепловых источников ("чистый" фотофорез, если под q¡ понимать тепловые источники, обусловленные поглощением электромагнитного излучения), и силы обусловленной движением среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности):

В качестве примера влияния нагрева поверхности на силу "чистого" фотофореза и фотофореза с учетом движения среды на рис. 7, 8 приведены численные оценки для частиц меди, взвешенных в воздухе при нормальных условиях.

Численные оценки показали, что при увеличении средней температуры поверхности частицы происходит монотонное увеличение скалярных коэффициентов, входящих в выражения для "чистого" фотофореза и фотофореза с учетом движения.

Представляет интерес, какой вклад движение среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) оказывает на величину силы и скорости "чистого" фотофореза. Для этого необходимо конкретизировать природу тепловых источников. В разделе 3.4 такие оценки были приведены для наиболее простого случая, когда частица поглощает излучение как черное тело. В этом случае поглощение происходит в тонком слое толщиной ¿Я « Я, прилегающем к нагреваемой части поверхности частицы. При этом плотность тепловых источников внутри слоя толщиной ¿К определяется с помощью формулы:

—^-соб(9, -<в<к, Я-8К<г<К ! т 5К 2

О, 0<в< —

где /0 - интенсивность падающего излучения.

В результате были получены выражения для силы и скорости фото-фореза абсолютно черных твердых частиц сферической формы. На рис.9 приведены численные оценки функции х"а,> показывающей влияние движения среды на "чистый" фотофорез.

Анализ полученных формул для силы и скорости фотофореза показал, что вклад движения среды пропорционален произведению числа Прандтля на относительный перепад температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее (момент тепловых источников нулевого порядка). В газах число Прандтля порядка единицы и все зависит от относительного перепада температуры. Численные оценки показали, что в случае малых относительных перепадов температуры его вклад ~ 5 — 12%, а в случае больших перепадов температуры его вклад зависит от показателей аф и момент тепловых источников нулевого порядка, но основной вклад в силу и скорость фотофореза дает дипольный момент плотности тепловых источников.

В разделе 3.4 получены аналитические выражения для силы и скорости фотофореза умеренно крупной и крупной аэрозольной частицы сферической формы с учетом влияния движения среды и проведены аналогичные численные оценки.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении I приведены численные значения коэффициентов С® (п > 1), С<2) (и > 3), С<3) (и>4) и функций 0,(1),С2(1),С3(1) вместе с производными до 3-го порядка при а = /?=1+0.7+0.5 в интервале температур от ПЪК до 1200АГ.

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Получено аналитическое решение линеаризованного по скорости

уравнение Навье-Стокса с учетом зависимости плотности газообраз-

ной среды и степенного вида зависимости коэффициента вязкости от температуры. Доказана теорема существования и единственности полученного решения.

2. Получены аналитические формулы для силы и скорости гравитационного дрейфа слабо испаряющейся капли и равномерно нагретой твердой частицы при произвольных перепадах температуры в их окрестности. Получено обобщение формул Стокса и Адамара-Рыбчинского.

3. Проведенный на основании полученных формул численный анализ показал, что нагрев поверхности частицы существенно влияет на величину силы сопротивления и скорости ее гравитационного движения. Их величина также существенно зависит от показателей a,ß и а. Проведено сравнение с экспериментом, которое показало хорошее согласие.

4. Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, получено аналитическое решение конвективного уравнения теплопроводности с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности от температуры.

5. В квазистационарном приближении исследовано влияние движения среды на фотофорез нагретых умеренно крупных и крупных аэрозольных частиц сферической формы при произвольных перепадах температуры в окрестности аэрозольной частицы.

6. Анализ полученных формул показал, что вклад движения среды пропорционален произведению числа Прандтля на относительный перепад температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее (момент тепловых источников нулевого порядка). В газах число Прандтля порядка единицы и все зависит от относительного перепада температуры. Проведенный численный анализ показал, что основной вклад в силу и скорость фотофореза дает дипольный момент плотности тепловых источников. Влияние движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) - это дополнительная поправка к основному эффекту и с увеличением средней температуры поверхности ее вклад увеличивается. Кроме того, сила и скорость фотофореза существенно зависит от показателей a,ß и со.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Стукалов A.A., Малай Н.В., Щукин Е.Р., Рязанов К.С. К вопросу о гравитационном движении равномерно нагретой частицы в газообразной среде. // Новосибирск, СО РАН, ПМТФ. 2008, № 1, т. 49, с. 74-80

2. Стукалов A.A., Малай Н.В., Щукин Е.Р., Плесканев A.A. Особенности фотофоретического движения умеренно крупной аэрозольной частицы сферической формы //Оптика атмосферы и океана. 2006. Т. 19. №5. С. 413-418

3. Стукалов A.A., Малай Н.В., Аматов М.А. К вопросу о фотофорезе в жидкости //Дифференциальные уравнения. 2005. Вып. 9. С. 42-47

4. Стукалов A.A., Малай Н.В., Щукин Е.Р. Влияние движения среды на фотофорез крупных аэрозольных частиц сферической формы //Дифференциальные уравнения. 2005. Вып. 9. С. 48-58

5. Стукалов A.A., Малай Н.В., Щукин Е.Р., Плесканев A.A. Особенности фотофоретического движения крупных аэрозольных частиц сферической формы при малых относительных перепадах температуры в их окрестности // Деп. в ВИНИТИ 19.08. 2005. № 1169 - В 2005

6. Стукалов A.A., Малай Н.В.Использование метода сращиваемых асимптотических разложений в задаче о фотофоретическом движении нагретой твердой аэрозольной частицы сферической формы // Международная научная конференция "Современные методы физико-математических наук", г. Орел, ОГУ. 9-14 октября 2006 г.

7. Стукалов A.A., Малай Н.В. Влияние на фотофорез нагрева поверхности аэрозольной частицы // Экология: образование, наука, промышленность и здоровье: тезисы докладов на II Международная научно-практическая конференции. Белгород. БГТУ им. В.Г. Шухова. 2004. С. 109

8. Стукалов A.A., Малай Н.В., Щукин Е.Р. Влияние движения среды на фотофорез аэрозольной частицы сферической формы //Тезисы докл. Международной научно-практической конференции "Аэрозоли и безопасность- 2005". Обнинск. 2005. С. 137-139

9. Стукалов А. А., Малай Н. В., Рязанов К. С., Щукин Е. Р. О некоторых особенностях решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса // Тезисы докл. Первая международная конференция "Математическое моделирование и дифференциальные уравнения" г. Минск, Б ГУ, 2-5 октября 2007г.

Ю.Стукалов А. А., Малай Н. В. О некоторых особенностях решения конвективного уравнения теплопроводности, с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры // Тезисы докл. часть 2 Международная научная конференция "X Белорусская математическая конференция" г. Минск, БГУ, 3-7 ноября 2008г.

11. Стукалов A.A. К вопросу о гидродинамическом сопротивлении сферической частицы с однородным внутренним тепловыделени-ем.//Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. БелГУ. №9 (49). Вып. 14. - Белгород, 2008. - С. 274 -278

Подписано в печать 29.12.2008. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 525.

Тиражировано в издательско-полиграфическом центре «ПОЛИТЕРРА» г. Белгород, пр. Б.-Хмельницкого, 137, корпус 1, офис. 357 тел.: 35-88-99*401, 8-910-360-14-99

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Стукалов, Александр Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

Обзор литературы по движению твердых частиц и капель сферической формы в вязких неизотермических средах.

Глава I. Решение уравнений гидродинамики с учетом зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Преобразование уравнений газовой динамики.

1.3. Общая теория решения линейных дифференциальных уравнений п -го порядка с помощью обобщенных степенных рядов.

1.4. Применение обобщенных степенных рядов для получения решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса.

1.5. Анализ полученных результатов.

Глава II. Особенности гравитационного движения нагретой частицы сферической формы.

2.1. Постановка задачи о движении нагретой твердой частицы сферической формы в поле силы тяжести. Уравнения движения и граничные условия.

2.2. Скорость гравитационного движения твердой равномерно нагретой частицы сферической формы.

2.3. Скорость гравитационного движения неравномерно нагретой твердой аэрозольной частицы сферической формы.

2.4. Особенности движения равномерно нагретой капли в поле силы тяжести

2.5. О возможности термокапиллярного движения капли с однородным внутренним тепловыделением.

2.6. Анализ полученных результатов.

Глава III. Особенности фотофоретического движения нагретых твердых аэрозольных частиц сферической формы.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Метод сращиваемых асимптотических разложений.

3.3. Использование метода сращиваемых асимптотических разложений для нахождения распределения температур в окрестности неравномерно нагретой частицы.

3.4. Вывод выражений для фотофоретической силы и скорости.

3.5. Анализ полученных результатов.

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейные характеристики среды и движение нагретых частиц сферической формы в вязких неизотермических средах"

Актуальность темы. В современной науке и технике, в областях химических технологий, гидрометеорологии, охраны окружающей среды и т.д. широко применяют многофазные смеси. Наибольший интерес представляют дисперсные смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых есть частицы, а вторая - вязкая среда (газ или жидкость). Газ (жидкость), с взвешенными в ней частицами называют аэрозолями (гидрозолями), а сами частицы - аэрозольными (гидрозольными). Гидро-и аэрозольные частицы могут оказать значительное влияние на протекание физических и физико - химических процессов различного вида в дисперсных системах (например, процессов массо - и теплообмена). Размер частиц дисперсной фазы находится в очень широких пределах: от макроскопических (~500л/юи) до молекулярных (~10/ш) значений; варьирует соответственно и концентрация частиц - от одной частицы до высококонцентрированных систем (> Ю10 слГ3). В настоящее время, с учетом развития нанотехнологий и наноматериалов, большую перспективу представляет применение ультрадисперсных (нано-) частиц, например, в наноэлектронике, наномеханике и т.д.

На входящие в состав дисперсных систем частицы могут действовать силы различной природы, вызывающие их упорядоченное движение относительно центра инерции вязкой среды. Так, например, седиментация происходит в поле гравитационной силы. В газообразных средах с неоднородным распределением температуры может возникнуть упорядоченное движение частиц, обусловленное действием сил молекулярного происхождения. Их появление вызвано передачей некомпенсированного импульса частицам молекулами газообразной среды. При этом движение частиц, обусловленное, например, внешним заданным градиентом температуры, называют термофорезом. Если движение обусловлено за счет внутренних источников тепла неоднородно распределенных в объеме частицы, то такое движение называется фотофоретическим.

К настоящему времени в литературе достаточно полно разработана теория движения нагретых аэрозольных твердых частиц сферической формы как в случае малых, так и в случае больших относительных перепадов температуры в окрестности частицы. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы TiS и температурой области вдали от нее (Геа0) к последней, то есть величину (TlS - Tc^)/Te,rj. Относительный перепад температуры считается малым при (TtS - TeJ)/ Tcr> «1 и большим в противном случае.

Существенный вклад в изучение и применение аэрозольных систем внести ряд отечественных и зарубежных исследователей: Г.С. Эпштейн, Ж.Р. Брок, H.A. Фукс, В.М. Волощук, Б.В. Дерягин, П.Е. Суетин, O.A. Волковиц-кий, Ю.И. Яламов и др.

Среднее расстояние между аэрозольными частицами у значительной части встречающихся на практике аэродисперсных систем намного больше характерного размера частиц. В таких системах учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить, основываясь на знание законов динамики движения и тепло - и массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных аэрозольных частиц. Без знания закономерностей этого поведения невозможно математическое моделирование эволюции аэрозольных систем и решение такого важного вопроса как целенаправленное воздействие на аэрозоли. Поэтому изучение закономерностей движения отдельных частиц в газообразных (жидких) как однородных, так и неоднородных средах является важной актуальной задачей, представляющей значительный теоретический и практический интерес.

Цель работы - исследовать влияние нелинейных характеристик среды на движение нагретых частиц сферической формы в вязких неизотермических газообразных средах при малых числах Рейнольдса.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи: - разработать вариант математического метода решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом зависимости коэффициента вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат; сравнить с уже полученными;

- исследовать влияния движения среды на фотофорез нагретых твердых аэрозольных частиц сферической формы.

Научная новизна работы. Разработан еще один вариант математического метода, позволявший найти аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса, с учетом степенного вида зависимости вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат (доказана теорема существования и единственности полученного решения). Исследовано влияние движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) на фотофорез твердых нагретых крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы. Проведен численный анализ влияния нагрева поверхности и движения среды на поведение аэрозольной частицы в вязкой неизотермической газообразной среде.

Положения, выносимые на защиту:

2. Влияние нагрева поверхности на силу и скорость гравитационного дрейфа слабо испаряющихся равномерно нагретых капель сферической формы.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обусловлена корректностью постановки задачи исследования; корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений; корректностью построения математических моделей физических систем; согласованностью полученных в диссертации результатов с известными результатами и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на II Международной научно-практической конференции «Экология: образование, наука, промышленность и здоровье» (г. Белгород, 2004); Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность - 2005» (г. Обнинск, 2005); Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006); Международной научной конференции: «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006); 2 Международной научной конференции «X Белорусская математическая конференция» (г. Минск, 2008), на научных семинарах кафедры теоретической физики Белгородского го су д ар сгве н н о го у н и в ер с итета.

Личный вклад соискателя заключается в том, что все изложенные в диссертационной работе результаты исследований получены либо соискателем, либо при его непосредственном участии. В части работ, выполненные в соавторстве и включенных в диссертацию, автор является инициатором проведенных работ (выдвигал идею, формулировал задачу, намечал пути ее решения) и внес определяющий вклад в обработку полученных результатов, учас тие в их обсуждении и подготовке материала для публикации в открытой печати и на конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка литературы. Работа изложена на 130 страницах, содержит 24 рисунка, 2 таблицы. Список используемой литературы включает 137 названий.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получено аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом зависимости плотности газообразной среды и степенного вида зависимости коэффициента вязкости от температуры. Доказана теорема существования и единственности решения.

2. Получены аналитические формулы для силы и скорости гравитационного дрейфа слабо испаряющейся капли и равномерно нагретой твердой частицы при произвольных перепадах температуры в их окрестности. Получено обобщение формул Адамара-Рыбчинского и Стокса.

3. Проведенные на основании полученных формул численный анализ показал, что нагрев поверхности частицы существенно влияет на величину силы сопротивления и скорости ее гравитационного движения. Их величина также существенно зависит от показателей и со. Проведено сравнение с экспериментом, которое показало хорошее согласие, относительная погрешность не более 15%.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Стукалов, Александр Анатольевич, Белгород

1. Абрамов, Ю.И. Приближенный метод решения кинетического уравнения вблизи границы. 1.. Температурный скачок / Ю.И. Абрамов //ТВТ. - 1970. - №5.-С.1013-1017.

2. Абрамов, Ю.И. Диффузионное и тепловое скольжение бинарной смеси газов / Ю.И. Абрамов, Г.Г. Гладуш // ПМТФ. 1970. - №4, - С. 51-55.

3. Айне, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л Айне Харьков: ГНТИ Украины, 1939. - 718 с.

4. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер М.: Мир., 1990. - Т. 1.-383 с.

5. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер М.: Мир., 1990. - Т. 2. - 720 с.

6. Аскарьян, Г.А. Движение частиц в луче лазера / Г.А. Аскарьян // УФН. 1973.-Т. 110, № 1.-С. 115-116.

7. Бабенко, К.И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью / К.И. Бабенко //ДАН СССР. 1973. -Т. 210. №2.-С. 294-297.

8. Бабий, В.И. Аэродинамическое сопротивление частицы в неизотермических условиях / В.И. Бабий, И.П. Иванова //Теплоэнергетика. 1965,-№9.-С. 19-23.

9. Баканов, С.П. Расчет теплового скольжения при произвольной аккомодации на границе раздела фаз / С.П. Баканов //ЖТФ. 1977. - Т. 44. - С. 421-427.

10. Баканов, С.П. Граничные задачи кинетической теории газов и необратимая термодинамика / С.П. Баканов, Ролдугин В.И. //ПММ. — 1977.-Т. 41.-С. 651-659.

11. Баканов, С.П. Термофорез в газах при малых числах Кнудсена / С.П. Баканов // УФН. 1992.-Т. 162. № 9. - С. 133-162.

12. Берковский, Б.М. Гидродинамическое сопротивление эллипсоидальной капли при малых числах Рейнольдса / Б.М. Берковский, М.С. Краков, И.В. Никифоров, В.К. Полевиков //МЖГ. 1987. - № 3. - С. 4-8 .

13. Береснев, С.А. Термофорез сферической аэрозольной частицы при произвольных числах Кнудсена. Постановка задачи и метод решения / С.А. Береснев, В.Г. Черняк //ТВТ. 1986. - Т. 24, № 2. - С. 3 13-321.

14. Береснев, С.А. Термофорез сферической аэрозольной частицы при произвольных числах Кнудсена. Обсуждение результатов / С.А. Береснев, В.Г. Черняк //ТВТ. 1986. - Т. 24, № 3. - С. 549-557.

15. Береснев, С.А. Расчет и анализ микрофизических оптических характеристик атмосферного аэрозоля: модель однородных сферических частиц / С.А. Береснев, Л.Б. Кочнева, П.Е. Суетин // Оптика атмосф. и океана. 2002. - Т. 15., № 5 - 6. - С. 522-529.

16. Береснев, С.А. Фактор асимметрии поглощения излучения и фото-форез аэрозолей / С.А. Береснев, Л.Б. Кочнева // Оптика атмосф. и океана. 2003. - Т. 16., № 2. - С. 134-141.

17. Береснев, С.А. О возможности фотофоретической левитации частиц в стратосфере / С.А. Береснев, Ф.Д. Ковалев, Л.Б. Кочнева, П.Е. Суетин, A.A. Черемисин // Оптика атмосф. и океана. 2003. - Т. 16., № 1.-С. 52-57.

18. Боголетов, А.И. Экспериментальное и теоретическое исследование фотофореза в разреженном газе / А.И. Боголетов, Г.П. Быстрый, С.А. Береснев, В.Г. Черняк, Г.Д Фомягин // Теплофизика высоких температур. 1991. - Т. 29. № 4. - С. 750-758.

19. Боголетов, А.И. Фотофорез модельных аэрозольных частиц / А.И. Боголетов, П.Е. Суетин, С.А. Береснев, Г.П. Быстрый, В.Г. Черняк // ТВТ. 1996.-Т. 34. № 5. - С. 751-756.

20. Борен, К. Поглощение и рассеяние света малыми частицами / К. Бореи, Д. Хафмен М.: Мир. 1986. - 660 с.

21. Борис, А.Ю. Термофорез и взаимодействие равномерно нагретых сферических частиц в газе / А.Ю. Борис // ПММ. — 1984. Т. 48. Вып. 2.-С. 324-327

22. Бретшнайдер, С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета / С. Бретшнайдер М-Л.¡Химия. 1966. - 535 с.

23. Броунштейн, A.B. Гидродинамика массо- и теплообмена в дисперсных системах / A.B. Броунштейн, М.И. Фишбейн Л.: Химия. 1977. -279 с.

24. Бытев, В.О. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса / В.О. Бытев // ПМТФ. 1972. - № 6. - С. 56-64.

25. Брюханов, О.Н. Тепломассообмен / О.Н. Брюханов, С.Н. Шевченко — М.: Наука. 2005.- 460 с.

26. Вайнберг, Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики / Б.Р. Вайнберг М.: МГУ. 1982. - 292 с.

27. Вальтберг, А.Ю. Теоретические основы охраны атмосферного воздуха от загрязнения промышленными аэрозолями / А.Ю. Вальтберг, П.М. Исянов, Ю.И. Яламов Санкт-Петербург: Нииогаз-фильтр. 1993.-235 с.

28. Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк М.: Мир. 1967. - 3 10 с.

29. Варгафтик, Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н.Б. Варгафтик М.: Наука, 1977. - 720 с.

30. Валуева, Е.П. Введение в механику жидкости / Е.П. Валуева, В.Г. Свиридов М.: МЭИ. 2001. - 211 с.

31. Гайдуков, М.Н. К теории движения несферических частиц в термо-диффузионпых полях / М.Н. Гайдуков, М.А. Мелкумян, Ю.И. Яламов // ИФЖ. 1983. Т. 45, № 5. - С. 508-509.

32. Галкин, B.C. Обтекание сильно нагретой сферы потоком газа при малых числах Рейнольдса / B.C. Галкин, М.И. Коган, О.Г. Фридлен-дер // ПММ. 1972. - Т.Зб. - С. 880-885.

33. Галкин, B.C. О силах на тела в газе, обусловленных барнеттовскими напряжениями / B.C. Галкин, О.Г. Фридлендер // ПММ. 1974. - Т. 38. Вып. 2.-С. 271-283.

34. Галоян, B.C. Динамика капель в неоднородных вязких средах / B.C. Галоян, Ю.И. Яламов Ереван: Луйс. 1985. - 208 с.

35. Голубев, В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев М.-Л., ГИТТЛ, 1950. - 436 с.

36. Горелов, С.Л. Термофорез и фотофорез в разреженном газе / С.Л. Горелов //Изв. АН СССР. МЖГ. 1976.-№5.-С. 178- 182.

37. Грандштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Грандштейн, И.М. Рыжик М.: Физматиздат. 1962. - 1100 с.

38. Дерягин, Б.В. Экспериментальная проверка теории термофореза больших аэрозольных частиц / Б.В. Дерягин, Я.И. Рабинович // Докл. АН СССР. 1964. Т. 137, № 1. - С. 154-157.

39. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт М.: Наука. 1978. - 224 с.

40. Домбровский, Л.А. Неравномерное поглощение теплового излучения в полупрозрачных сферических частицах при произвольном освещении дисперсной системы / Л.А. Домбровский // ТВТ. 2004. - Т. 42. № 6.-С. 961-971

41. Иванов, E.B. Движение оптически плотных капель жидкости в поле лазерного излучения / Е.В. Иванов, В.Я. Коровин, Ю.С. Седунов // Квантовая электроника. 1977. - Т. 4. № 9. - С. 1873-1881

42. Ивченко, И.Н. Тепловое скольжение неоднородного газа вдоль плоской поверхности / И.Н. Ивченко, Ю.И. Яламов // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. -№ 6. -С. 59-66.

43. Кабанов, М.В. Мощное лазерное излучение в атмосферном аэрозоле / М.В. Кабанов Новосибирск: Наука., 1984. - 222 с.

44. Кабанов, М.В. Лазерное зондирование индустриальных аэрозолей / М.В. Кабанов Новосибирск: Наука., 1986. - 185 с.

45. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке -М.: Гос. издат. физ.-мат. литер., 1981. 703 с.

46. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов М.: Высшая школа. 1985. - 480 с.

47. Ковалев, Ф.Д. Экспериментальное исследование фотофореза в газах: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.14/ Ф.Д. Ковалев . Урал. гос. ун-т. -УГУ.,2003. 133с.

48. Коваленко, Л.М. Теплообменники с интенсификацией теплоотдачи / Л.М Коваленко, А.Д. Глушков М.: Энергоатомоиздат. 1981. - 240 с.

49. Кочнева, Л.Б. Микрофизические оптические характеристики и фо-тофорез атмосферных аэрозолей: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.14/ Л.Б Кочнева. Урал. гос. ун-т. УГУ.,2006. - 130с.

50. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингстон, Н. Левинсон М.: Иностр. Лит-ры. 1958. -474 с.

51. Корнев, Г.В. Тензорное исчисление / Г.В Корнев М.: МФТИ. 2000. -239 с.

52. Кочин, Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления / Н.Е Кочин М.:ОНТИ. 1937. - 456 с.

53. Кузиковский, A.B. Динамика сферической частицы в мощном оптическом поле / A.B. Кузиковский //Изв. ВУЗ. Физика. 1970.- № 5. С. 89-94.

54. Кутуков, В.Б. О фотофоретическом движении аэрозольной частицы в поле оптического излучения / В.Б. Кутуков, Е.Р. Щукин, Ю.И. Яла-мов //ЖТФ. 1976.-Т. 46, №3.-С. 626-627.

55. Кухлин, X. Справочник по физике / X. Кухлип М.: Мир. 1985. - 519 с.

56. Ладыженская, O.A. Математические вопросы динамики вязкой жид1 *кости / O.A. Ладыженская М.: Наука. 1970. - 288 с.

57. Латышев, A.B. Влияние температуры молекулярного газа на значения коэффициента скольжения / A.B. Латышев, A.A. Юшканов, В.Н. Попов // ПМТФ. 2006. - №1. - С. 58-65.

58. Латышев, A.B. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории Монография / A.B. Латышев, A.A. Юшканов Изд-во МГОУ. 2004.-286 с.

59. Латышев, A.B. Вычисление скорости скольжения молекулярного газа вдоль сферической поверхности с учетом коэффициентов аккомодации / A.B. Латышев, A.A. Юшканов, В.Н. Попов // ЖТФ. 2005. - Т. 75. Вып. 11.-С. 26-31.

60. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д Ландау, Е.М. Лифшиц М.: Наука. 2003.- 731 с.

61. Летфулова, Л.Б. Поглащающие свойства атмосферного аэрозоля: анализ микрофизических оптических характеристик / Л.Б. Летфулова, A.B. Старинов, С.А. Береснев // Оптика атмосф. и океана. 2001. -Т. 14. № 1.-С. 69-75.

62. Малай, H.B. Фотофоретическое и термодиффузиофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц / Н.В. Малай, Щукин Е.Р. / ИФЖ. 1988 - Т.54. № 4. - С.628-634.

63. Малай, Н.В. Исследование термодиффузиофоретического и фотофо-ретического движения частиц в сжимаемых газообразных сре-дах:Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.02/ Н.В. Малай. Одес. гос. ун-т. -ОГУ.,1988. 146с.

64. Малай, Н.В. Обтекание неравномерно нагретой капли потоком жидкости при произвольных перепадах температуры в ее окрестности / Н.В. Малай //ИФЖ. 2000. - Т. 73. № 4. - С. 1-11.

65. Малай, Н.В. Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на движение твердых частиц и капель в жидких средах при малых числах Рейнольдса: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Н.В. Малай. Моск. обл. гос. ун-т. МОГУ.,2001. - 328 с.

66. Малай, Н.В. К вопросу о влиянии внутреннего тепловыделения на термофорез твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы / Н.В. Малай, A.A. Плесканев // ИФЖ. 2004. - Т. 77. № 6. - С. 74-78.

67. Малай, Н.В. Гравитационное движение равномерно нагретых твердых частиц в вязких неизотермических жидких средах / Н.В. Малай -Белгород. 2007. 74 с.

68. Марков, М.Г. Теоретическое исследование влияние термодиффузио-фореза и фотофореза на эволюцию атмосферного аэрозоля: Дис. канд. физ.-мат. наук./ М.Г. Марков. Обнинск, 1985. 179 с.

69. Мучник, Г.Ф. Методы теории теплообмена. Тепловое излучение / Г.Ф. Мучник, И.Б. Рубашов М.: Высшая школа. 1974. - 270 с.

70. Найфе, А. Введение в методы возмущений / А. Найфе М.: Мир. 1984.-535 с.

71. Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. / Р.И. Нигмату-лин -М.: Наука. 1987. 464 с.

72. Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. II. / Р.И. Нигмату-^ лин М.: Наука. 1987. - 359 с.

73. Нигматулин, Р.И. Физическая гидромеханика / Р.И. Нигматулин, A.A. Соловьев-М.: ГЭОТАР. 2005.-510 с.

74. Новиков, И.И. Теория подобия в термодинамике и теплопередаче / И.И. Новиков, В.М. Боришанский М.: Атомоиздат 1973. - 183 с.

75. Охотин, A.C. Теплопроводность твердых тел. Справочник / A.C. Охо-тин, Р.П. Боровикова, Т.В. Нечаева, A.C. Пушкарский М.: Энерго-атоиздат. 1984. -320 с.

76. Петров, К.С. Моделирование тепло- и массопереноса при аэрозольном нанесении микрокомпонентов на дисперсную твердую фазу: Дис. кан. тех. наук: 01.04.14/ К.С. Петров. Воронеж, гос. техн. ун-т. — ВГТУ.,2007. 145с.

77. Петкевич, В.В. Основы механики сплошных сред / В.В. Псткевич.— М.: УРСС. 2001.- 398 с.

78. Победря, Б.Е. Лекции по тензорному анализу / Б.Е. Победря М.: МГУ. 1986.-263 с.

79. Победря, Б.Е. Основы механики сплошных сред / Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский М.: Физматлит. 2006. - 272 с.

80. Полянин, А.Д. О совместном тепломассопереносе к частице в потоке газа с переменными определяющими параметрами / А.Д. Полянин // ПМТФ. 1984. - № 3. - С. 46-58

81. Полянин, А.Д. О химической реакции с выделением тепла на поверхности движущейся в газе теплопроводной частицы / А.Д. Полянин // ПМТФ. 1982. -№.1. - С. 34-40

82. Попов, Д.Н. Гидромеханика / Д.Н. Попов, С.С. Панаиотти, Рябинин M.B. М.: МГТУ. 2002. - 383 с.

83. Пустовалов, В.К. Испарение капли в диффузионном режиме интенсивным оптическим излучением с учетом температурных зависимостей теплофизических параметров / В.К. Пустовалов, Романов Г.С. // ДАН СССР. 1985. Т. 29. № 1. - С. 50-53.

84. Редников, А.Е. О термокапиллярном движении капли с однородным внутренним тепловыделением / А.Е. Редников, Рязанцев Ю.С. // ПММ. 1989. - Т. 53. № 2. - С. 271-277 .

85. Савков, С.А. Граничные условия скольжения бинарной газовой смеси вдоль поверхности малой кривизны / С.А. Савков, Юшканов A.A., Яламов Ю.И. // Физическая кинетика и гидромеханика дисперсных систем.-М. 1986.-С. 57-80,-Деп. в ВИНИТИ, № 5321 В86.

86. Сафиуллии, P.A. Обзор термодиффузиофореза несферических аэрозольных частиц / P.A. Сафиуллии, Ю.И. Яламов // Деп. В ВИНИТИ 1994.-22 с. -№ 2174-В94.

87. Силин, В.Г. Введение в кинетическую теорию газов / В.Г. Силин — М.: Наука, 1971. -331 с.

88. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов М.: Наука. 1974.-Т. III. 4.2.-662 с.

89. Смитлз, Дж. Металлы / Дж.Смитлз М.: Металлургия, 1980. - 446 с.

90. Стукалов, A.A. Влияние движения среды на фотофорез аэрозольной частицы сферической формы / A.A. Стукалов, Н.В Малай, Е.Р. Щукин //Тезисы докл. Международной научно-практической конференции "Аэрозоли и безопасность- 2005". Обнинск. 2005. С. 137-139

91. Стукалов, A.A. К вопросу о фотофорезе в жидкости / A.A. Стукалов, Н.В. Малай, М.А. Аматов // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. - № 9. С.42-47.

92. Стукалов, A.A. Влияние движения среды на фотофорез крупных аэрозольных частиц сферической формы / A.A. Стукалов, Н.В. Малай, Е.Р. Щукин // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. - № 9. С.48-58.

93. Стукалов, A.A. К вопросу о гравитационном движении равномерно нагретой частицы в газообразной среде / A.A. Стукалов, Н.В. Малай, Е.Р. Щукин, К.С. Рязанов // ПМТФ. 2008. - Т. 49, № 1 - С. 74-80

94. Стукалов, A.A. Особенности фотофоретического движения умеренно крупной аэрозольной частицы сферической формы / A.A. Стукалов, Н.В. Малай, Е.Р. Щукин, A.A. Плесканев //Оптика атмосферы и океана. 2006.- Т. 19. № 5. С. 413-418

95. Стукалов, A.A. Гидродинамическое сопротивление с однородным внутренним тепловыделением / A.A. Стукалов // Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. / БелГУ. № 9 (49). Вып. 14 Белгород, 2008. - С. 274-278

96. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам М.: Мир. 1981. - 408 с.

97. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, Самарский A.A. М.: Наука. 1972. 735 с.

98. Тригуб, В.И. К теории лазерного нагрева капель воды/ В.И. Тригуб, П.Б. Болдыревский //ЖТФ. 2001. - Т. 71. Вып. 1.-С. 134-135.

99. Ферцигер, Дж. Математическая теория процессов переноса в газах / Дж. Ферцигер, Г. Капер-М.:Мир, 1976. 554 с.

100. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Бренер Г. М.: Мир, 1960. - 630 с.

101. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман М.: Мир. 1970. - 720 с.

102. Черняк, В.Г. Механика сплошных сред / В.Г. Черняк, П.Е. Суетин -М.: Физматлит. 2006. 352 с.

103. Чепмен, С. Математическая теория неоднородных газов / С. Чепмен, Каулинг Т. М.: Изд. иностр. лит. 1960. - 510 с.

104. Шейндлин, А.Е. Излучательные свойства твердых материалов. Справочник / А.Е. Шейндлин -М.: Энергия. 1974. 471 с.

105. Шкадов, В.Я. Течения вязкой жидкости / В.Я. Шкадов, Запрянов З.Д. М.: МГУ. 1984. - 199 с.

106. Щукин, Е.Р. О движении аэрозольных частиц с неоднородным распределением тепловых источников в поле внешних градиентов температуры и концентрации / Е.Р. Щукин //ЖТФ. 1980. - Т. 50, № 6. - С. 1332-1335.

107. Щукин, Е.Р. Фотофоретическое и термодиффузиофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц / Е.Р. Щукин, Малай Н.В. //ИФЖ. 1988. - Т. 54, № 4. - С. 628-634.

108. Щукин, Е.Р. Влияние нелинейных характеристик газообразной среды на движение, улавливание и кинетику фазовых переходов аэрозольных частиц: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Е.Р. Щукин. Моск. пед. ун-т. -МПУ., 1998. -275 с.

109. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление./ Л.Э. Эльсгольц М.: УРСС. 1998,- 424 с.

110. Яламов, 10.И. Теория движения малых аэрозольных частиц в поле оптического излучения / Ю.И. Яламов, В.Б. Кутуков, Е.Р. Щукин // ИФЖ. 1976. - Т. 32, № 6. - С. 996-1002.

111. Яламов, Ю.И. Термофорез цилиндрической аэрозольной частицы в режиме со скольжением / Ю.И. Яламов, Н.М. Афанасьев //ИФЖ. — 1977. Т.47, № 9. - С. 1998-2000.

112. Яламов, Ю.И. О движении крупных капель, твердых частиц и газовых пузырей в неоднородных по температуре газах и жидкостях в режиме со скольжением / Ю.И. Яламов, A.C. Санасарян //ЖТФ. -1975.-Т. 45.-С. 2052-2157.

113. Яламов, Ю.И. О термофорезе аэрозольной частицы эллипсоидальной формы в гидродинамическом режиме / Ю.И. Яламов, В.П. Ред-чиц, М.Н. Гайдуков //ИФЖ. 1980. - Т.39. № 2. - С. 538-540.

114. Acrivos, A. Heat and mass transfer from single spheres in stokes flow / A. Acrivos, T.D. Taylor //J. phys. of fluids. 1963. - Vol. 5. - No. 4. - P. 387-394.

115. Dusel, P.W. Distribution of absorption centers within irradiated spheres / P.W. Dusel, M. Kerker, D.D. Cooke //J. Opt. Soc. Am. 1979. - V. 69. № 1.- P. 55-59.

116. Ehrenhaft, F. Towards a physics of millionth of centimeters / F. Ehrenhaft // Physik. Zeitschr. 1917. - Bd. 17. - S. 352-358.

117. Epstein, P.S. Zur Theorie des Radiometers / P.S. Epstein // Zs. F. Physik. 1929. - Bd. 54. № 4. - S. 537-563.

118. Hidy, G.M. Photophoresis and the Decent of Particles into the Eower Strstosphere / G.M. Hidy, J.R Brock //J. Geophys. Res. 1967. - V. 72. -N 2 .-P. 455-460.

119. Greene, W.M. Photophoresis of irradiated spheres: absorption centers / W.M. Greene, R.E. Spjut, E. Bar-Ziv, A.F. Sarofim, J.P. Longwell //J. Opt. Soc. Amer. B. 1985. -V. 2. -№ 6,-P. 998-1004.

120. Kassoy, D.R. Compressible Low Reynolds Number Flow around a Sphere / D.R. Kassoy, T.C. Adomcon, J R and A.F. Messiter // J. Physics Fluids. 1966. - Vol. 9. - № 4. - P. 671-68

121. Leong, K.N. Thermophoresis and Diffusiophoresis of Large Aerosol Particles of Different Shapes / K.N. Leong //J. Aerosol Sei. 1984. - Vol. 15. -No. 4. - P. 511-517.

122. Lin, S.P. On Photophoresis / S.P. Lin //J. Colloid Interface Sei. 1975. -V. 51. - N 1. -P. 66-71.

123. Maxwell, J. C. On Stresses in Rarefied Gases Arisihg from Thequalities of Temperature / J. C.Maxwell //Philos. Trans. Roy. Soc. 1979. - Vol. 170. - № l.-P. 231-256.

124. Rimmer, P.L. Heat transfer from a sphere in a stream of small Reynolds number / Rimmer P.L. //J. Fluid Mech. 1968. - Vol. 32. - No. 1. - P. 1-7.

125. Rubinowiez, A. Radiometerkräfte und Ehrenhaftische Photophorese / A.Rubinowiez // Annalen der Physik. 1920. - Bd. 62. - № 16. - S. 691737.

126. Preining, O. Photophoresis / O. Preining //Aerosol Science / Ed. C.N. Davis N.Y.: Academic Press, 1966. - P. 111-135.

127. Tong, N.T. Experiments on Photophoresis and Thetmophoresis / N.T. Tong //J. Colloid Interface Sei. 1975. - V. 51. - N1. - P. 143-151.

128. Morrison, F.A. Electrophoresis of a Particle of Arbitrary Shape / F.A. Morrison //J. Colloid and Interface Science.- 1970 Vol. 31- No. 2. - P. 210-214