Гамильтонова динамика магнитной жидкости

Фотов, Кириак Николаевич

Гамильтонова динамика магнитной жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Фотов, Кириак Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Гамильтонова динамика магнитной жидкости»

Автореферат диссертации на тему "Гамильтонова динамика магнитной жидкости"

005052448

На правах рукописи

Фотов Кириак Николаевич

ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

л 4 0КТ2012

Москва-2012

005052448

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет приборостроения и информатики».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Соколов Виктор Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян Артем Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Николаев Павел Николаевич

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики»

Защита диссертации состоится 11 октября 2012 г. в 1500 часов на заседании диссертационного Совета Д212.155.07 при Московском государственном областном университете по адресу': 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан «07» сентября 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук,

доцент

Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Относительно недавно сформировался новый раздел гидродинамики - феррогидродинамика. Предметом ее изучения является магнитная жидкость или феррожидкость - искусственно синтезированная конденсированная среда, которая является коллоидным раствором наночастиц твердого магнитного материала с размерами порядка 10 нм в несущей жидкости. В отличие от магнитной гидродинамики, изучающей взаимодействие магнитных полей с электропроводящей жидкостью, подавляющая часть магнитных жидкостей синтезируется на основе жидких диэлектриков и не проводит электрический ток. Несмотря на существование значительного количества континуальных моделей непроводящих магнитных жидкостей, тенденция построения новых моделей сохраняется, что обусловлено сложностью моделируемой среды. Свойства феррожидкости ранее описывались с помощью полуфеноменологических систем уравнений, полученных на основе уравнений баланса. Этот метод очень громоздок, и, кроме того, при учете следующих нелинейных членов нужно каждый раз заново повторять сложную процедуру вывода с целью проверки всех законов сохранения.

Эффективным методом получения и исследования нелинейных динамических уравнений, описывающих разнообразные явления в конденсированных средах, является гамильтоновский формализм, который позволяет непосредственно выписать нелинейные уравнения динамики, автоматически удовлетворяющие всем законам сохранения. Метод скобок Пуассона позволяет регулярным способом получать уравнения движения для гидродинамических систем, корректировать уравнения, получаемые из феноменологических соображений для уже известных моделей, а также находить нелинейные диссипативные уравнения различных моделей гидродинамики.

Каноническая форма уравнений идеальной гидродинамики классической баротропной жидкости былаполучена в работе [1]. Для сверхтекучей жидкости та же задача решена в работах Лебедева и Халатникова [2]. Использование метода скобок Пуассона в физике конденсированного состояния непосрествен-но для естественных физических переменных впервые было предложено Дзя-лошинским и Воловиком [3]. Этот метод использовался в работах Лебедева и

Каца для вывода нелинейных уравнений динамики жидких кристаллов [4]. В то же время, гамильтонова теория, позволяющая единым образом описать известные модели феррогидродинамики, до недавнего времени не была построена.

Цель работы. Основной целью диссертации является вывод гамильтоно-вых уравнений для существующих моделей феррогидродинамики.

Научная новизна. На основе предложенного функционала полной энергии непроводящей магнитной жидкости и метода неканонических скобок Пуассона впервые получены гамильтоновы уравнения феррогидродинамики. Используя представление Клебша для гидродинамического импульса, вычислены взаимные скобки Пуассона для всех пар физических переменных и построены нелинейные гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью. В аналитическом виде получены формулы описывающие эффект анизотропии скорости распространения звука и закон дисперсии спиновых волн в модели непроводящей магнитной жидкости с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных феррогидродинамики с внутренним вращением. Используя метод Рэлея, получена система диссипативных уравнений непроводящей магнитной жидкости.

Научная и практическая ценность работы. Впервые развитый в работе гамильтоновский формализм для описания динамики магнитных жидкостей может быть использован для исследования нелинейных волновых процессов, построения новых математических моделей с различными уравнениями эволюции намагниченности. Практическая ценность работы заключается в создании физической основы для проектирования узлов и устройств на основе уникальных свойств магнитных жидкостей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Гамильтонова теория непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

2. Аналитические результаты, описывающие эффект анизотропии скорости распространения звука и закон дисперсии спиновых волн в модели непроводящей магнитной жидкости с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности.

3. Вывод неканонических скобок Пуассона физических переменных и дис-сипативных уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: II Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г. Ставрополь, 14-17 сентября, 2009); 12 Международной конференции по магнитным жидкостям (Sendai, Japan l-5th August, 2010); III Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г. Ставрополь ,15-18 сентября 2011); XLVIII Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектро-ники (г. Москва, 15-18 мая 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 3 работы из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа изложена на 90 стр. машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 90 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обоснована актуальность темы исследований, показана ее научная новизна и практическая значимость, сформулированы цели работы, а также представлены сведения о структуре и содержании работы, приводятся положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 приведен обзор современного состояния исследований, посвященных изучению динамических свойств феррожидкости.

В Главе 2 диссертации излагаются физические принципы и математический аппарат, составляющие основу гамильтоновского подхода к гидродинамическим системам. Локальная лагранжева теория без высших производных по времени задается лагранжианом L, который является функционалом обобщена/- \ Sa" пых координат и (x,t) и их производных —-, взятых в один и тот же момент

дхм

времени. По лагранжиану строится действие, а уравнения движения получаются из вариационного принципа.

Переход к гамильтоновскому формализму совершается введением полей импульсов ра (*,'), сопряженных обобщенным координатам иа(х,1). Далее строится гамильтониан системы, а гамильтоновы уравнения движения, которые формулируются на языке введенных пар канонических переменных (гЛр") и гамильтониана Н, записываются в виде уравнений Гамильтона:

Ф1 = _Ж (1)

а ~ 5ра' а 8иа'

Если определить канонические скобки Пуассона для двух локальных по времени функционалов И и в от обобщенных координат и импульсов

з 5F № 5F 50 -Х[5и"(х) Бр«(х) ~ Ьра(х) 5иа(х)_|'

где суммирование проводится по всем парам (ка,ра) канонических переменных, то уравнения Гамильтона записываются в таком же виде, как и для классических систем с конечным числом степеней свободы:

Скобки Пуассона обладают двумя основными свойствами:

1) {^.С?} =-{6,^} - свойство антисимметричности; (4)

2) они удовлетворяют тождеству Якоби

+ + = 0. (5)

На практике оказывается удобным рассмотрение гамильтоновых систем более общего вида, в которых невозможно или нет необходимости провести однозначное разделение переменных на обобщенные координаты и сопряженные им импульсы. Такие системы описываются с использованием «обобщенных координат» не являющихся каноническими переменными, а в качестве таких координат используются естественные физические переменные, функционалом от которых является функционал полной энергия системы. Наиболее простой способ построения неканонических скобок Пуассона в системах гидродинамического типа состоит в переходе от скобки Пуассона, выраженной через канони-

ческие переменные, к неканонической скобке используя представление Клебша для гидродинамического импульса.

Скобка Пуассона для двух функционалов ^ и й от функционально независимых друг от друга независимых физических переменных и" (л,?) определяется тензором Г1уассонаО'1(! (й;х,х') по правилу

^Пщг^ф/'^ ГО

Если положить /7 = иа(х):б = г/(я'), то из этого определения следует: {и'(*•)) = О*1 [и;*,4 (7)

т.е. тензор Пуассона выражается через фундаментальные скобки Пуассона |г/а(л),«р(л:')| базисных функций иа(х) - естественных физических переменных, образующих фазовое пространство.

Из условия антисимметричности скобки Пуассона и тождества Якоби следует, что тензорное поле Оар[н;х,л:'] удовлетворяет свойству антисимметричности

0^[щх,х'] = -0^[и;х\х] (8)

и соответственно тождеству Якоби

= 0 (9)

где сокращенная запись ц.п. означает слагаемые, полученные из первого циклической перестановкой по индексам и аргументам. Введенные согласно (6)-(9) скобки Пуассона определяют гамильтоновы системы общего вида как системы, которые эволюционируют по закону

^ = (10)

где Н - гамильтониан системы - величина, функционально зависящая от полей и* (х;).

В Главе 3 получены гамильтоновы уравнения движения идеальной феррожидкости с вмороженной намагниченностью.

В П.1 дано обоснование выбора динамических переменных, описывающих движение непроводящей феррожидкости и используя первое начало термодинамики, показано, что функционал полной энергии системы представляется в виде:

.2 Н2

р1_ + ру(р,*,т)-р(т,Н)- —

(П)

где р = р{х,1) - плотность, 5 = 5(х,г) - удельная энтропия, т = т(х,г) - вектор удельной намагниченности, ^(р.в.т) - плотность внутренней энергии и v = у(х,/) - скорость жидкости.

Для среды с произвольной связью между индукцией В и напряженностью Н магнитного поля, уравнения Максвелла, в которых будем пренебрегать током смещения, могут быть записаны в виде

В = Н + 4яМ, Н = -вгас1ф, (12)

Дф = 4жНуМ, (13)

где введен скалярный потенциал ф магнитного поля. В модели феррогидродинамики с вмороженной намагниченностью эволюция удельной намагниченности задается уравнением

ЁИк + ^ЁЪ^ЁЬ. (14)

81 а дха а дха

В П.2 получены лагранжевы уравнения движения идеальной феррожидкости с вмороженной намагниченностью. Расширенный функционал действия с лагранжианом со связями, в роли которых выступают уравнение (14), а также уравнение непрерывности

Зр+А(рУ4) = 0, (15)

81 дхкк

и условие адиабатичности движения

ск & & л (л(л

— = —+ -= 0, (16)

Л 81 к дхк задается формулой:

+а

дхк

+ Р

1 +

8л

дт 8т„

дхь

— т.

дх^

где функции а,р,Л„ (л = 1,2,3) - множители Лаграпжа. Вычислив вариационные производные по всем полям, включая множители Лагранжа и скорость жидкости, получим расширенную лагранжеву систему уравнений непроводящей феррожидкости с вмороженной намагниченностью:

55 А ЗР & . дт„ д , л

ОУ,

дхк 3х1

55 д\„ 8 , ч

5т, 55

8хк

ар

Зш ЗФ ,

8т„ дх„ дх„ ду

ЭВ см V ,,

5р 81 дхк 2 ар

— = 0 -» — + (Ну (ру) = 0, 5р 81 К '

55 81 v ' Р

55 5а

55 5А.„

а?

: ах.

А &

= 0-> — + у,

81 '

л 3/Я„ = 0 —+ у,

а/ '

= о,

Зт„

дх,

— пи

= 0.

(18)

(19)

(20) (21) (22)

(23)

(24)

Определив обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координатам ф,= {р,.г,/ял} и построив расширенный гамильтониан системы как преобразование Лежандра, в работе получена расширенная гамильтонова система уравнений движения феррогидродинамики с вмороженной намагниченностью.

В П.З на основе функционала (11) и метода скобок Пуассона выведена полная система гамильтоновых уравнений гидродинамики непроводящей магнитной жидкости со свободной и вмороженной намагниченностью.

Итак, чтобы сформулировать гамильтоновы уравнения движения, необходимо вычислить взаимные скобки Пуассона для величин, функционалом которых является энергия системы.

Вычисляя скобки Пуассона для физических полей {р,$,тп,пк) согласно

формуле

5F Ю №

(25)

1Ьфк(х)Ьрк(х) ЬРк(х)8фк(х)\' где Фк={р,!,т„}, д ={р,аД„} и учитывая представление Клебша для гидродинамического импульса, находим:

{р,р'} = 0,{р,5'} = 0, (26)

(28)

дхк

5 _£. "¡к ■ дхк дха

где д(х'-х) - дельта функция Дирака.

Гамильтоновы уравнения движения формулируются при помощи гамильтониана (11) с учетом коммутационных соотношений (26)-(28) и имеют следующий вид:

дI дк

(29)

(30)

(31)

+ сНуМ

[дт,) 1&"/ )

В П.4 изучается модель непроводящей феррожидкости, в которой недисси-пативное движение удельной намагниченности описывается уравнением Ландау-Лифшица

ска

где + Н - эффективное магнитное поле,

от

В этом случае явный вид взаимных скобок Пуассона для физических переменных имеет следующий вид:

{я,,^} = а'(71;5)-аДк,5), {р,^} = -ЭДр5), (34)

{Л/„р'} = {р,р'}=0, (35)

{м,Мк\ =уг1к-Ме8(х'-х), {м„пк)=-дк{м:ь), (36)

где г'1г - полностью антисимметричный единичный тензор. Скобки Пуассона произвольного функционала /•" с гамильтонианом системы можно представить в виде

И'} =_[<&■

5тг,

5р

, 8IV 5Р

5щ 8Ма

(,, I,, ,, ) №

5А/„

(37)

а для плотности гидродинамических сил получаем формулу ' J Яг.'1 ' у > ьм I "

(38)

бр"1 "г ' ъм\,

Формулы (34)-(38) приводят к следующей гамильтоновой системе уравнений движения непроводящей магнитной жидкости, в которой эволюция удельной намагниченности происходит согласно уравнению (33):

5М, д1

= [IV ^=^Н'!Ме,

дх.

сЧ д/

дх.

= -|1 + (МУ)Я,+^-(М(1Г'-Н)).

дх,

(39)

(40)

(41)

Исходя из полученной системы уравнений рассмотрено распространение малых возмущений в рассматриваемой модели непроводящей магнитной жидкости. В покоящейся феррожидкости имеем

В0=Н0+4яМ0,М0ПН0, (42)

где Н„- постоянное магнитное поле. Возмущения плотности, напряженности магнитного поля и удельной намагниченности относительно их равновесных значений представим в виде

р = р0+р', H = H0+h, M = M0+m (43)

и с учетом обменного взаимодействия эффективное магнитное поле задается формулой

1Г/=аАт + Н, (44)

где а - постоянная обменного взаимодействия.

В результате, линеаризованная система уравнений (39)-(41), решение которой ищется в виде плоских волн

ra,=m0e-'(í"-kr),h = h0Hta'-kr), (45)

сводится к системе алгебраических уравнений

Vo=c>í^k_(M0h0)—, (46)

СО ОРо

y[m0,H0+aA2M()] + y[M0,h0], (47)

где с- скорость звука в ненамагниченной жидкости.

Из условия совместимости полученной системы однородных линейных уравнений получаем дисперсионное уравнение

W4-CO2[cü2+Q2] + <4Q2-O)40=0, (48)

где приняты обозначения

ш2 = у2cos28(Я0 + ак2М0) + у2sin2 б(Я0 + акгМ0)(в0 + ак2М0), (49)

О2=Л2 + (М0соз9)2 —, (50)

Ро

4 2 2 - « '

cd¿ = у cos 9

a>t2+^|(47t^02)(A/0cose)2 —. (51)

M¡tJ

Ро

Уравнение (66) приводит к двум решениям:

1 Г I-"I"2

<п = со2 + а2 + ^(со2 - П2)2 + 4а*а ,

1 Г I-"I"2

со2+а2-А/(о)2-а2)2 + 4ю: .

(53)

Формула (52) определяет закон дисперсии магнонов в сжимаемой непроводящей магнитной жидкости. В предельном случае несжимаемой жидкости из (52) следует известный закон дисперсии спиновых волн в кубических кристаллах, если пренебречь энергией магнитной анизотропии. Формула (53) определяет закон дисперсии продольной звуковой волны с учетом влияния внешнего магнитного поля Н0 и обменного взаимодействия. В предельном случае, когда не учитывается влияние магнитного поля И, возникающего при колебаниях вектора намагниченности, из (53) для скорости звуковой волны находим следующую формулу:

где 0 - угол между направлением напряженности внешнего поля и направлением распространения волны.

Таким образом, формулы (53)-(54) описывают явление анизотропии скорости звука в модели феррожидкости с уравнением (33) для намагниченности.

В первом параграфе Главы 4 выводится система взаимных скобок Пуассона для физических переменных и скобка Березина-Кириллова-Константа идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением. Функционал полной энергии идеальной феррожидкости с внутренним вращением с учетом энергии скрытого вращения задается формулой:

где I - удельный момент инерции феррожидкости, - удельный внутрен-

ний момент импульса. Новая динамическая переменная 8 = в(л;,/) играет роль некоммутативной динамической переменной и характеризуется взаимной скобкой Пуассона

(54)

н;

8л- '

(55)

р'МЬ-Л-Ф-')- (56)

В связи с этим, непосредственное применение метода наименьшего действия оказывается невозможным. В работе используется прямой метод вычисления неканонических скобок Пуассона, в основе которого лежит использование полной системы уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением и интеграла энергии (55), который в дальнейшем выступает в роли гамильтониана системы.

Из уравнений баланса для импульса и полного момента импульса получаются следующие уравнения для скорости и внутреннего момента импульса идеальной феррожидкости с внутренним вращением:

/,^ = -Ягаф + (М7)Н, (57)

где V = Р2 — - давление в сжимаемой жидкости. др

= [т,Н"], (58)

Уравнение движения удельной намагниченности в модели идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением имеет вид:

^ Ji.nl (59>

Л I/'

Система (15)-(16), (56)-(59) замыкается заданием конкретного вида удельной внутренней энергии ц/ = у/(р^,т). Вычислив временные производные

естественных физических переменных ил={р,5,та>за,ка=ртга} и используя соответствующие скобки Пуассона с гамильтонианом (55), в итоге получаем

следующую систему уравнений движения феррожидкости.:

.....<«•>

Воспользовавшись далее уравнениями (15)-(16), (56)-(59), исключим из системы (60) частные производные по времени от динамических переменных и с помощью дельта - функции Дирака внесем оставшиеся локальные члены под знак интеграла. Для выполнения получившихся интегральных равенств необ-

ходимо и достаточно, чтобы система взаимных неканонических скобок Пуассона для естественных физических переменных феррогидродинамики имела следующий вид:

' д

як,р} = р(х') . 1 &(*)

\дхк

дхь

8(х'-х) д^х-х'),

дхь

8(х-хг),

. д д Як-;--7Г„-

V дх„ дхи

8(х-х<),

1 дтп(хг)

(61.1) (61.2)

(61.3)

(61.4)

(61.5)

Р,{щ>хК} = -£1пата{х)5(,х-хг),

= = {Р\Р} = {тк,р} = {^'.д} = = {4л] ={/«;,*} = Ц,/и„}=0.

Формулы (61.1)-(61.8) позволяют найти неканоническую скобку Пуассона функционалов ? и С на фазовом пространстве, образованном естественными физическими переменными иА(х,1) = {р,7гк,х,тк,х11} феррогидродинамики с

(61.6)

(61.7)

(61.8)

внутренним вращением: р

+ \7Т1

д (8в дхк\5р

8в

Ал йЕ.

дхк ^ 8р

(Рх +

г дя

ЧяГ

дх.

|_а_

8тгп)дх„

8]Л( 8в

8э )

8в

дх„

сРх +

8з }

8£ <4.

,5 г 8тп J Рь-

8Р

\5тп;

8в_

(62)

8ж,

ы, Щ

( Зв

}дх„

зв

5я,

■Ъ)

дв 8х_

8Р 8л,

м (6Р)

, и«*,

- \еЬш — -1 Р

Ы3х-

8С 5з.

<?х.

Сумма первых двух слагаемых в правой части (62) совпадает со скобкой Березина-Кириллова-Константа. Если к ним добавить третье слагаемое, то получаем неканоническую скобку Пуассона для небаротропных течений.

В П.2 используя метод Рэлея выводится системы уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением с учетом диссипации. Для описания диссипативных процессов в феррожидкости воспользуемся методом Рэлея, согласно которому в гамильтоновы уравнения следует добавить слагаемые, явный вид которых определяется диссипативной функцией Рэлея.

Плотность обобщенного тока, соответствующего естественной физической переменной у/, задается формулой

] = (63)

В случае феррогидродинамики с внутренним вращением для компонент тока получаем следующие формулы:

Эи„ 1 2 1 г г

/„= ——V —1шг, л = у> " др 2 2 е

Н'

(64)

1=Т, Л = ю, ]м где (о - угловая скорость.

Диссипативная функция Рэлея определяется формулой

(65)

где (Г - локальная скорость производства энтропии. Предполагается, что а не зависит от потока ]р. Отсюда следует, что уравнение движения для массовой плотности представляет собой уравнение непрерывности др

д1

= -У .(ру).

(66)

Обобщенные уравнения движения для векторных переменных я.М.Б и для плотности энтропии имеют следующий вид:

81 1 1 ¿у

аМ Г», г,! ¿Д

— = {м,я}-^г, (67)

а х ' л»

5/ 5Т ;

Положительно определенная локальная скорость производства энтропии определяется формулой

о- = + -1V ■ у<^)2 + /7ДУ- у)2 +

«Р 3 (69)

+С(У х у - 2о>)2 + ун(Н*)2 + ^(УГ)2, где г] - это сдвиговая вязкость, Т]у - объёмная вязкость, С, - вращательная вязкость, ун - скорость магнитной релаксации, а Хг - теплопроводность. С учетом приведенных выше соотношений уравнение движения для феррожидкости и релаксационное уравнение для намагниченности принимают следующий вид:

/с^ = 77У2у + ^ + ^ ^ УУ • у + ^У х (2и - V х у) - Ур + (VII) • М, (70)

+ V ■ УМ—ю х М + М(У • у) = Т^Н'Л (71)

Временная эволюция плотности внутреннего момента импульса и плотности энтропии определяется уравнениями

ос

—+ У-(у8) = МхН + 2^(Уху-2со). (72)

Я?

^+ У-(у5)=^У2Г + СГ. (73)

В П.З с помощью метода скобок Пуассона рассматривается возможность совмещения концепции вмороженности вектора намагниченности с основными уравнениями для магнитной жидкости с внутренним вращением.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Предложен функционал полной энергии непроводящей магнитной жидкости, дано его обоснование, и обоснование выбора физических полей, в фазовом пространстве которых выводятся гамильтоновы уравнения движения

феррогидродинамики.

2. Получены расширенные лагранжевы системы уравнений движения как для модели феррогидродинамики со свободной намагниченностью, так и для непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

3. На основе найденного представления Клебша для гидродинамического импульса вычислены взаимные скобки Пуассона для всех пар физических переменных и построены нелинейные гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

4. Выведены гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости, в которой эволюция удельной намагниченности происходит согласно уравнению Ландау-Лифшица.

5. На основе линеаризованных уравнений феррогидродинамики с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности исследован спектр собственных мод системы. В аналитическом виде получены формулы описывающие эффект анизотропии скорости распространения звука и закон дисперсии спиновых волн в непроводящей магнитной жидкости.

6. Показано, что система уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением в случае отсутствия диссипации обладает гамильтоновой структурой. Получена система фундаментальных скобок Пуассона для базисных функций в фазовом пространстве.

7. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением. Используя метод Рэлея, получена система диссипативных уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Соколов В. В., Фотов К. Н., Эминов П.А. Гамильтоновы уравнения феррогидродинамики с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности.// Изв. вузов. Физика. № 7.2010, С. 38-45.

2. Соколов В.В„ Фотов К.Н., Эминов П.А. Гамильтонова структура уравнений идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением.//Доклады Академии Наук, том 440, № 3.2011, С. 331-334.

3. Соколов В. В., Фотов К. Н., Эминов П.А. Лагранжева и гамильтонова форма уравнений феррогидродинамики.// II Всероссийская научная конференция «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем». Сборник научных трудов, г. Ставрополь, 2009, С. 231-237.

4. Sokolov V. V., Fotov К. N., Eminov P.A. Poisson brackets method in ferrohydro-dynamics.//Physics Procedía 9, 2010, P. 131-136.

5. Соколов В. В., Фотов К. H. Гамильтонова структура уравнений идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением.// III Всероссийская научная конференция «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем», Сборник научных трудов, г. Ставрополь, 2011, С. 131-137.

6. Sokolov V. V., Fotov К. N., Eminov P.A. Poisson brackets method in ferrohydro-dynamics.//12 International Conference on Magnetic Fluids. Abstracts, Japan, 2010, P.302

7. Соколов B.B., Фотов K.H. Скобка Березина-Кирилова-Константа феррогидродинамики с внутренним вращением.// III Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектро-ники. Тезисы докладов, г. Москва,2012, С. 138-141.

Цитируемая литература:

1. X. Ламб. Гидродинамика.//Л.: Гостехиздат, 1947, 928 с.

2. В.В. Лебедев, И.М. Халатников.// ЖЭТФ. 1978, Т. 75 № 6. С. 2312-2316 3.1. Е. Dzyaloshinsky, G. Е. Volovick.// Ann. Phys. 1980. V. 125. P. 67-97.

4. B.B. Лебедев, Е.И. Кац. Динамика жидких кристаллов.// М.: «Наука», 1988, 144 с.

Подписано к печати 06.09.2012 г. Формат 60x84. 1/16. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 129.

Московский государственный университет приборостроения и информатики

107996, Москва, ул. Стромынка, 20

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Фотов, Кириак Николаевич

Введение.

Глава I. Современное состояние исследований динамических свойств ферроржидкости.

§ 1. Механизмы и модели релаксации намагниченности.

§ 2. Уравнения баланса и производство энтропии.

§ 3. Гидродинамическое напряжение и магнитная релаксация.

§ 4. Быстрая вращательная релаксация.

§ 5. Сравнение с предыдущей теорией.

Глава II. Методы Лагранжа и Гамильтона в гидродинамике идеальной жидкости.

§ 1. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости в переменных

Эйлера.

§ 2. Метод Лагранжа и метод Гамильтона в гидродинамике идеальной

Жидкости.

§ 3. Обобщенные Гамильтоновские системы. Неканонические скобки

Пуассона. Скобка Березина-Кириллова-Константа.

Глава III. Гамильтоновы уравнения движения феррогидродинамики с вмороженной намагниченностью.

§ 1. Функционал энергии и выбор физических полей.

§ 2. Расширенные системы лагранжевых и гамильтоновых уравнений движения феррожидкости: случаи вмороженной и свободной намагниченнсти.

§ 3. Метод скобок Пуассона в феррогидродинамике.

§ 4. Модель непроводящей магнитной жидкости с уравнением Ландау

Лифшица.

Глава IV. Метод скобок Пуассона в феррогидродинамике с внутренним вращением.

§ 1. Система взаимных скобок Пуассона для физических переменных и скобка Березина-Кириллова-Константа.

§ 2. Метод Рэлея и вывод системы уравнений феррогидродинамики с учетом диссипации.

§ 3. Система уравнений Гамильтона феррогидродинамики с внутренним вращением и вмороженной намагниченностью.

Введение диссертация по физике, на тему "Гамильтонова динамика магнитной жидкости"

В последние годы для описания нелинейных процессов в физике плазмы и жидких кристаллов, магнитной гидродинамике и геофизике, а также в астрофизике, и при изучении явлений в конденсированных средах с неабеле-вой группой симметрии успешно применяется гамильтоновский формализм [1-17]. Из фундаментальных работ, относящихся к этой проблеме, необходимо назвать статьи [18-24]. В [18] сформулирована лагранжева форма уравнений баротропной жидкости. В [19-22] получены лагранжевы и гамильтоновы уравнения движения для сверхтекучей жидкости, причем в [21] рассмотрен и случай спиновой гидродинамики. В работе [23] впервые предложено использовать метод скобок Пуассона непосредственно для гидродинамических переменных. Метод скобок Пуассона получил дальнейшее развитие в работах посвященных изучению жидких кристаллов [24]. Следует отметить, что в [21-24] было показано, каким образом на основе метода скобок Пуассона можно находить и нелинейные диссипативные уравнения гидродинамики. Систематическое изложение метода скобок Пуассона и его приложений к гидродинамическим системам дается также в работах [25-31].

Исследование уравнений движения как абелевых, так и неабелевых структур в переменных Лагранжа на основе вариационных методов проводится в работах [1-10,32-35]. Сюда же можно отнести работы, в которых исследуется движение идеальных релятивистских жидкостей в гравитационных полях [36].

Относительно недавно сформировался новый раздел гидродинамики -феррогидродинамика [37-43]. Предметом ее изучения является магнитная жидкость или феррожидкость - искусственно синтезированная среда, которая является коллоидным раствором наночастиц твердого магнитного материала с размерами порядка 10 нм в несущей жидкости. В отличие от магнит4 ной гидродинамики [1,5,44], изучающей взаимодействие магнитных полей с электропроводящей жидкостью, подавляющая часть магнитных жидкостей синтезируется на основе жидких диэлектриков и не проводит электрический ток. Свойства феррожидкости ранее описывались с помощью полуфеноменологических систем уравнений [37-29,41-43], или на основе обобщенного принципа виртуальных работ [40]. Однако, даже в случае идеальной феррогидродинамики, гамильтонова теория, позволяющая единым образом описать используемые модели, до настоящего времени не была предложена.

Основной целью диссертации является вывод гамильтоновых уравнений для существующих моделей идеальной феррогидродинамики.

В первой главе приведен обзор современного состояния исследований, посвященных изучению динамических свойств феррожидкости.

Во второй главе диссертации излагаются физические принципы и математический аппарат, составляющие основу гамильтоновского подхода к гидродинамическим системам.

В третьей главе построены нелинейные гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью. Выведены гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости, в которой эволюция удельной намагниченности происходит согласно уравнению Ландау-Лифшица. На основе линеаризованных уравнений исследован спектр собственных мод системы.

В главе четыре показано, что система уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением в случае отсутствия диссипации обладает гамиль-тоновой структурой. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных феррогидродинамики с внутренним вращением. Методом Рэлея получена система диссипативных уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались на II Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем»; 12 Международной конференции по магнитным жидкостям; III Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем»; ХЬУШ Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Перечислим основные результаты, составляющие содержаниеи диссертации.

7. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением.

Автор выражает глубокую, искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Соколову Виктору Васильевичу за предоставление интересной темы, полезные советы и своевременные замечания.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Фотов, Кириак Николаевич, Москва

1. В.Е. Захаров, ЕА. Кузнецов, УФН, 1997, Т.167, №11, С.1137.

2. В.Е. Захаров, ЖЭТФ. 1971, Т.60, вып. 5, С.1714-1726.

3. В.Е. Захаров, Изв. вузов. Физика. 1974, Т. 17, № 4, С.431-453.

4. P.J. Morrison, Rev.Mod.Phys., 1998, V. 70, Р.467.

5. Е.А. Кузнецов, В.П. Рубан, Письма в ЖЭТФ.1988, Т. 118, вып. 4(10), С.893-905.

6. Е.А. Кузнецов, В.П. Рубан, ЖЭТФ, 2000, Т. 118, вып.4(10), С.893.

7. R. Jackiw, V.P. Nair, S.Y. Pi, A.P. Polychronakos, Perfect fluid theory and its extensions, arXiv:hep-ph/0407101, 8 Jul 2001, V. 1.

8. В.П. Гончаров, Изв. АН СССР, Физ. атмосф. и океана, 1986, №2, С. 125135.

9. B.J1. Покровский, И.М. Халатников, Письма в ЖЭТФ. 1992, Т. 55, вып. 9, С.509-511.

10. В.П. Гончаров, В.И. Павлов, Гамильтоновая вихревая и волновая динамика, М., ГЕОС, 2008, С.432.

11. A. Frenkel, Е. Levich, Phys. Lett. Ser. A, 1982, V. 88, № 9, P.461-465.

12. F.S. Henyey, Am. Inst. Phys. Conf. Proc, 1982, V. 26, № 1, P. 480-483.

13. T.S. Lundgren, Phys. Fluids, 1963, V. 6, № 7, P.898-904.

14. А.Г. Воронович, Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1979, Т. 15, № 1, С.82-91.

15. A.A. Исаев, М.Ю. Ковалевскй, ТМФ, 1995, Т. 102, № 2, С. 283-296.

16. H.H. Романова, И.Г. Якушкин, Докл. РАН. Сер. механика, 2001, Т. 380, № 5, С.630-634.

17. В.И. Тахтаджян, Л.Д. Фадеев, Гамильтонов подход в теории солито-нов. М., Наука, 1986, С.287.

18. Б.И. Давыдов, ДАН СССР, 1949, Т. 69, С. 165.

19. Л.Д. Ландау, ЖЭТФ, 1941, Т. 11, С.592.

20. И.М. Халатников, ЖЭТФ, 1952, Т.23, С. 169.

21. В.В. Лебедев, И.М. Халатников, ЖЭТФ, 1977, Т. 73, вып. 4(10), С.1537.

22. В.В. Лебедев, И.М. Халатников, ЖЭТФ, 1978, Т. 75, вып.6(12), С.2313.

23. I.E. Dzyaloshinskii and G.E. Volovic, Annals of Physics, 1980, 125, P.67.

24. Е.И. Кац, В.В. Лебедев, Динамика жидких кристаллов, М., Наука, 1988, С. 144.

25. В.П. Гончаров, В.И. Павлов, Проблемы гидродинамики в гамильтоно-вом описании, М., МГУ, 1993, С. 197.

26. D.D. Holm, В.A. Kupershmidt, Phys. Lett. 1982, V.91, N9, P.425-430.

27. D.D. Holm, B.A. Kupershmidt, Physica D. 1983, V.6, N 2, P.347-363.

28. D.D. Holm, B.A. Kupershmidt, Phys. Lett. 1988, V.129, N 2, P.93-100.

29. P.J. Morrison, Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982, V. 88, P. 13-46.

30. С.П. Царев, ДАН СССР. 1985, Т. 282, № 3, С. 534-537.

31. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, ДАН СССР, 1984, Т. 279, № 2, С. 294297.

32. W.A. Newcomb, Nuclear Fusion, Supplement, 1962, Part 2, P.451.

33. C.C. Моисеев, Р.З. Сагдеев, A.B. Тур, ЖЭТФ, 1982, T.83, вып. 1(7), С.215.

34. В.П. Рубан, ЖЭТФ, 1999, Т.116, вып.2(8), С.563.

35. И. Антонио, Г.П. Пронько, ТМФ, 2004, Т. 141, №3, С.392.

36. V.P. Ruban, Phys. Rev. Е, 2003, V. 68, 047302.

37. Р. Розенцвейг, Феррогидродинамика, М., Мир, 1989, С.357.

38. М.И. Шлиомис, УФН, 1974, Т.112, вып.З, С.427.

39. В.Б. Горский, Магнитная гидродинамика, 1986, №4, С. 17.

40. В.В. Соколов, В.В. Толмачев, Магнитная гидродинамика, 1996, Т.32, №3, С.318.

41. B.U. Felderhof, Phys .Rev. Е, 2000, V. 62, Р.3848.

42. R.E. Rosensweig, Journal of Chemical Physics, 2004, V.121, №3, P. 1228.

43. M. Shliomis, M. Mond, К. Morozov, Phys. Rev. Lett., 2008,V.101, 074505.

44. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, М., Наука, 1992, С.664.

45. R.E. Rosensweig, J. Chem. Phys, 2004, V. 123(3), 1228-1242.

46. M.I Shliomis, in Ferrofluids, edited by S. Odenbach, Berlin, Springer, 2002, P.85-111.

47. E. Blums, A. Cebers, M. Maiorov, Magnetic fluids, Berlin, Watter de Gruyter, 1997, P.236.

48. B.U. Felderhof, H.J. Kroh, J. Chem. Phys, 1999, V. 110(15), 7403-7411.

49. B.U. Felderhof, V.V. Sokolov, P.A. Eminov, J. Chem. Phys, 2010, V. 132, 184907-1—184907-7.

50. И.Е. Овчинников, В.В. Соколов, Акустический журнал, 2008, Т.55, №3, С.356.

51. R.E. Rosensweig, J. Chem. Phys, 2004, V. 123(3), 1228-1242.

52. V.V. Sokolov, Acoustic Physics, 2010, V. 56, №6, P.972-978.

53. М.И. Шлиомис, ЖЭТФ, 1967, T.53, вып.3(9), С. 1125.

54. Sawada Т., Nishiyama H., Tabata Т., J.Magn.Magn.Mater., 2002, V. 252, P. 186.

55. PJ. Morrison, J.M. Greene, Phys. Rev. Lett., 1980, 45, P.790-794.

56. H.W. Muller and M.Liu, Phys. Rev.E, V. 64, 2001, 061405.

57. W. К. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Reading, 1955, P.147.

58. N.G. van Kampen and B.U. Felderhof, Theoretical Methods in Plasma Physics, North-Holland, Amsterdam, 1967, P. 25.

59. J. B. Hubbard and R. F. Kayser, J. Chem. Phys., 1981, V. 74, 3535.

60. J. B. Hubbard and P. J. Stiles, J. Chem. Phys. 84, 6955 (1986).

61. J. Hubbard and L. Onsager, J. Chem. Phys., 1977, V. 67, 4850.

62. O. Muller, D. Hahn and M. Liu, J. Phys. C., 2006, V. 18, S2623.

63. K. Henjes and M. Liu, Ann. Phys., 1993, V. 223, P.243.

64. M. Liu and K. Stierstadt in Colloidal Magnetic Fluids, ed. S. Odenbach, Springer, Berlin, 2009, P. 157.

65. C. Rinaldi and H. Brenner, Phys. Rev. E, V. 65, 2002, 036615.

66. S. Odenbach and H. W. Muller, Phys. Rev. Lett., 2002, V. 89, 37202.

67. S. Odenbach and H. W. Muller, J. Magn. Magn. Mater., 2005, V. 289, P.242.

68. A. Leschhorn and M. L'ucke, Z. Phys. Chem., 2006, V. 220, P.219.

69. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Статистическая физика ч.2, Теория конденсированного состояния, М., Наука, 1978, С.448.

70. И.Е. Тамм, Основы теории электричества, М., Наука, 1988, С.504.

71. И.А. Ахиезер, И.Т. Ахиезер, ЖЭТФ, 1984, Т.86, вып.1, С. 120.

72. И.А. Ахиезер, И.Т. Ахиезер, ФТТ, 1984, Т.26, вып.2, С.453.

73. В.В. Соколов, К.Н. Фотов, П.А.Эминов, Гамильтоновы уравнения феррогидродинамики с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности. Изв. вузов. Физика, 2010, № 7, С.38-45.

74. V. V. Sokolov and V. V. Tolmachev, Acoust. Phys., 1997, V. 43, P. 106.

75. В.В. Соколов, К.Н. Фотов, П.А.Эминов, гамильтонова структура уравнений идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением. Доклады Академии Наук, 2011, Т. 440, № 3, С.ЗЗ 1-334.

76. S. R. de Groot and P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , North-Holland, Amsterdam, 1962, P. 231.

77. S. R. de Groot and L. G. Suttorp, Foundations of Electrodynamics, North-Holland, Amsterdam, 1972, P. 287.

78. L. G. Suttorp in Physics in the Making, eds. A. Sarlemijn and M. J. Spar-naay, North-Holland, Amsterdam, 1989, P. 176.

79. G. A. Maugin, J. Math. Phys., 1978, V. 19, P. 1198.

80. P. C. Martin, O. Parodi, and P. J. Pershan, Phys. Rev.A, 1972, V. 6, P.2401.

81. P. G. de Gennes, The Physics of Liquid Crystals, Clarendon, Oxford, 1974, P. 142.

82. B. U. Felderhof, V. V. Sokolov, and P. A. Eminov, J. Chem. Phys, 2011, V. 135, 144901-1—144901-5.

83. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980, P.141.

84. R. E. Rosensweig, Ferrohydrodynamics ,Cambridge University Press, Cambridge, England, 1985, P. 109.

85. W. van Saarloos, D. Bedeaux, and P. Mazur, Physica A, 1981, V. 107, P.109.

86. V.V. Sokolov, K.N. Fotov K. N, P.A. Eminov, Poisson brackets method in ferrohydrodynamics. Physics Procedia 9, 2010, P. 131-136.

87. V.V. Sokolov, K.N. Fotov K. N, P.A. Eminov, Poisson brackets method in ferrohydrodynamics. 12 International Conference on Magnetic Fluids. Abstracts, Japan, 2010, P.302.