Использование Гамильтонова формализма в нелинейной оптике и теории магнетизма тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РГб ол

2 7 ЛИВ 1997

Трифонов1 Евгений Викторович

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМАЛИЗМА В НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ И ТЕОРИИ МАГНЕТИЗМА

01. 04. 02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 1996

Работа выполнена в институте Прикладной математики ДВО РАН

Научные руководители: доктор физико-математических наук

Сазонов C.B.

кандидат физико-математических наук, доцент Скурихин Е.Е.

Официальные оппоненты: ' доктор физико-математических наук

Алексеев Г.В.

доктор физико-математических наук, профессор Шаповалов A.B.

Ведущая организация: Институт Сильноточной Электроники СО РАН

Защита состоится 23 января 1997 года в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 064.58.03 при Дальневосточном Государственном Университете по адресу: 690600 г.Владивосток, ул.Суханова, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Дальневосточного Государственного Университета.

Автореферат разослал "¿О " декабря 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета д,

кандидат физико-математических наук ^ И.В.Соппа

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важной тенденцией в исследовании нелинейных динамических систем, описывающих различные физические процессы, является поиск скрытых гамильтоновых структур, порождаемых данными системами. Гамильтонов подход позволяет с общих позиций взглянуть на, казалось бы, разнородные явления. Использование данного подхода приводит к унификации методов исследования поведения различных физических объектов. Более того, гамильтонов подход существенно упрощает исследования, сводя их к работе с единственной скалярной функцией, называемой гамильтонианом. Несмотря на интенсивный рост публикаций, посвященных задаче распознавания гамильтоновости динамических систем, последняя все еще далека от своего решения.

Одним из показателей прогресса в области лазерной физики является создание все более коротких когерентных импульсов. С каждым прорывом за новый временной рубеж появляется мощный инструмент для исследования внутренней структуры вещества.

При использовании взаимодействия предельно коротких (длительностью до одного периода электромагнитных колебаний) оптических импульсов (ПКИ) с веществом становятся неприменимыми использовавшиеся в традиционной нелинейной оптике приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз (ММАФ). Использование здесь гамильтоновых методов позволяет получить как ранее известные, так и'новые результаты.

Хорошим полем приложения гамильтонова формализма является нелинейная физика магнитных доменов. Уравнение Ландау-Лифшица, описывающее динамику вектора намагниченности, обладает гамильтоновой структурой. Данное обстоятельство способствует унификации исследования динамики ферромагнитных доменов в различных условиях.

Цель работы состоит в построении общего формализма для описания с единых позиций динамических явлений в оптике предельно коротких импульсов и теории магнетизма.

Научная новизна. В работе получены следующие оригинальные результаты:

1. Исследована на гамильтоновость общая динамическая система в трехмерном фазовой пространстве. Введена трехмерная нестационарная пуассонова структура, для которой получено общее описание.

2. Исследована на гамильтоновость система оптических уравнений Блоха, как при отсутсвии, так и при наличии релаксации. Получена обладающая гамильтоновой стуктурой система диссипативных уравнений типа Блоха, которая также может служить для учета затухания в случае отличающихся времен продольной и поперечной релаксации.

3. Показано, что в случае линейной однородной трехмерной динамической системы для ее гамильтонизации достаточно знания квадратичного по фазовым переменным интеграла.

4. Без использования ММАФ в приближении сильного толя с помощью гамильтонова формализма проинтегрирована самосогласованная система уравнений Максвелла-Блоха для случая циркулярно поляризованных импульсов.

5. Развита теория взаимодействия электромагнитных ПКИ с диэлектрическими пара- и ферромагнетиками при их распространении вдоль внешнего магнитного поля. Исследованы условия существсн

вания электромагнитных со л тг тонов, а также особенности пх усиления в неравновесной сред$.

6. Найдено новое (3-(-1)-мерное сингулярное решение нелинейного уравнения Ландау-Лифшица в виде кольцевых нестационарных цилиндрических магнитных доменов.

Практическая ценность. Используемый и развиваемый в работе гамильтонов формализм может найти применение в задачах о распространении предельно коротких оптических импульсов в волокнах оптической связи, когда традиционное приближение нелинейной оптики - ММАФ оказывается непригодным. Кроме того, полученные в работе результаты, касающиеся ферромагнитных доменных структур, могут оказаться полезными при разработки систем магнитной записи и хранения информации.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Система дифференциальных уравнений для трехмерных нестационарных пуассоновых структур, следующая из тождества Якоби, может быть решена в явном виде.

2. Для представления линейных однородных трехмерных уравнений в гамнльтоновом виде достаточно знания квадратичного по фазовым переменным интеграла движения.

3. Система уравнентий Блоха без диссипации является гамильтоновой с неканонической пуассоновой структурой.

4. Гамильтонов подход позволяет проинтегрировать связанную систему уравнений Максвелла-Блоха в приближении сильного поля без

использования метода медленно меняющейся огибающей.

5. Применение гамильтонова подхода к исследованию взаимодействия электромагнитного импульса с одноосным ферромагнетиком сводит задачу к уравнению двойного Синус-Гордона.

6. Использование методов гамильтоновой механики позволяет найти новые (З-Ы)-мерные решения уравнения Ландау-Лифшица типа многодоменных периодических структур.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на XXIX совещании по физике низких температур (Казань, 1992г.), на VII научном семинаре "Физика магнитных явлений" (Донецк, 1994г.), на III международной конференции "Математические методы моделирования океана" (Владивосток, 1995г.), а также на теоретических семинарах в Тихоокеанском Океанологическом Институте и Институте Прикладной Математики ДВО РАН.

Публикации: По теме диссертации опубликовано в центральной и международной печати шесть работ.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, 84 страниц машинописного текста, включает четыре рисунка и библиографию из 111 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель и кратко излагается содержание работы, а также основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дан краткий обзор современного состояния гамиль-тоновых методов и их применения в таких областях теоретической физики, как оптика ПКИ и динамика магнитных доменов.

В §1 настоящей главы представлены последние экспериментальные и теоретические достижения по взаимодействию фемтосекундных световых импульсов с веществом. Обоснована неправомерность в данном случае использования ММАФ - традиционного приближения нелинейной оптики. Перечислены основные приближения, использующиеся в настоящее время в оптике ПКИ как альтенративные ММАФ. Это приближение среды малой плотности, а также приближение слабого

Ш0Тр » 1 (1)

и сильного

о^оТр « 1 (2)

полей, где и'о - характерная резонансная частота среды, тр - характерный временной масштаб ПКЙ. В заключение данного параграфа предлагается использовать унифицированный подход к исследованию нелинейной саомсогласованной динамики ПКИ в различных средах, основанной на гамильтоновом формализме.

Второй параграф посвящен краткому обзору динамики магнитных доменов, исследуемой на основе уравнения Ландау-Лифшпца (УЛЛ), обладающего гамильтоновой структурой. При этом основное внимание уделено пространственно- неодномерным решениям УЛЛ.

В третьем параграфе дан краткий очерк истории развития гамильто-нова формализма. Изложен современный инвариантный подход, основанный на дифференциально-геометрических структурах. Приведены примеры использования современного гамильтонова подхода в многочисленных областях математики и теоретической физики.

Вторая глава посвящена развитию гамильтонова формализма для трехмерных нестационарных динамических систем и его использованию в современной оптике предельно коротких лазерных импульсов. В §1 рассматривается вопрос гамильтонизапии общей трехмерной динамической системы

г = /(«,<). (3)

Введена нестационарная пуассонова структура, зависящая от некоторых векторов а(и, и Ь(и, ¿) таким образом, что правая часть системы (3) представляется в виде

/(ы,0=УЛхо + Ь1 (4)

где к - гамильтониан.

На векторы а и 6 выписаны вытекающие из тождества Якоби ограничения, представляющие собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Для этих уравнений получены общие решения. Исследован вопрос о функциях Казимира рассматриваемых пуассоновых структур (ПС). В качестве примера предложена система уравнений типа Блоха:

и = -ъи-иоУ + ^у(го + 1- е-71')е<'71~"72)', V = а>ои — 7г1> — Их(и) + 1 — е"",1')е''У1_'У2^, (5)

где и,у пропорциональны компонентам дипольного момента единицы объема, IV - атомная инверсия, Их, £1У - частоты Раби, и>о - резонансная частота двухуровневого атома, 7! и 72 - продольный и поперечный декременты затухания соответственно. Система (5) является гамштьто-новой с наперед заданным интегралом движения

д = 1 [е2^'(и2 + V2) + е™(ьи + 1 - е~^)2] . (6)

В §2 исследована, возможность гамильтонизации общей линейной однородной трехмерной динамической системы. Показано, что для этого достаточно знания квадратичного по фазовым переменным интеграла рассматриваемой системы.

В §3 гампльтонов формализм используется для решения самосогласованной задачи распространения оптических ПКИ циркулярной поляризации в системе нерезонансных >т-переходов, описываемых системой Блоха с использованием приближения "сильного поля" (2). При этом динамическая комплексная частота Раби представляется в виде: п = п х + —| | ехр(г<уз). Показано, что динамика ПКИ описывается уравнением Сннус-Гордона:

где 0 ~ / | П(г,т') | ¿т', а - параметр среды, г - время в сопутству-

ющей системе отсчета, 2 - координата.

Фаза вращения плоскости поляризации ПКИ выражается через решение уравнения (7) в виде:

Полученная конструкция названа бисолитоном. Здесь же исследованы процессы взаимодействия таких бисолитонов друг с другом.

В §4 показано, что теорема гамильтоновой механики об адиабатической инвариантности действия позволяет строго обосновать явление прецессии вектора Блоха при медленном изменении внешнего поля.

Третья глава посвящена использованию гамильтонова формализма в физике магнитных явлений.

В §1 показано, что динамика поперечной магнитной компоненты ПКИ, распространяющегося в изотропном парамагнетике (ферромагнетике) вдоль

т

—со

(3)

внешнего магнитного поля Но, описывается двойным уравнением Синус-Гордона. Таким образом к правой части (7) добавляется член ~ эт 29, обусловленный вкладом продольной магнитной компоненты ПКИ. Фаза же вращения определяется соотношением, аналогичным (8).

В §2 исследуются различные режимы распространения ПКИ в магнетике. Показано, что в отличие от оптических видеоимпульсов стационарные циркулярно поляризованные импульсы могут формироваться в неравновесном магнетике при Но < Щ, где Щ определяется параметрами среды. В работе данный эффект назван динамической инверсией зее-мановских подуровней.

В §3 исследуется режим усиления ПКИ в магнетике при Но > Щ. Показано, что влияние продольной магнитной компоненты сводится к замедлению усиления поперечной компоненты. В то же время сама продольная компонента в процессе усиления импульса выходит в режим насыщения.

В §4 рассматривается параметрическое преобразование частоты магнитного импульса. Показано, что "вращение" спина в реальном пространстве приводит также к возможности непрерывного параметрического преобразования вверх частоты сигнала.

§5 посвящен нахождению точных (3+1) - мерных решений УЛЛ для ферро- и антиферромагнетика типа "легкая ось". Для обоих случаев данное уравнение можно переписать соответственно в виде двух систем:

Ч Дб - [1 + Р0 (Ууз)2] ап б» соэ 9 +

1 дО 120 <Иу (ип20 Чу)--= О

1

д<р ш

— Ыв 1 — Со — Шд зт# соэ#,

д(р

= 0.

Здесь в тир - соответственно азимутальный и полярный углы, определяющие направление вектора намагниченности М и антиферромаг-

намагниченности I и II подрешеток антиферромагнетика), 10 - характерная магнитная длина, «о- частота ларморовской прецессии во внешнем магнитном поле, параллельном оси Z (ось Z совпадает также с осью легкого намагничивания), со - характерная скорость для спиновых волн в антиферромагнетике.

С помощью гамильтонова формализма в полярной системе координат (г, х, -г) найдено точное решение уравнений (10) и (11), имеющее вид:

где ш и - свободные параметры, величина и определяет порядок дискретной осевой симметрии решения, толщина 5 доменной границы в направлении Во равна характерной магнитной длине, выражающейся через параметры анизотропии и неоднородного обмена; в случае же ан-.тиферромагнетика 5 зависит от частоты ш прецессии вектора С вокруг Во- Однако в обоих случаях доменная граница существует лишь благодаря наличию осевой анизотропии. При 17 < 1 решение (12) представляет собой многодоменную периодическую объемную структуру. Если же q = 1, данное решение есть доменная граница, разделяющая два

нетизма Ь — М1 — Мц\ М,Ь ~ (зт^соз^эш^зт^, соэб) (М/,// .

соэ0 = зп[д_!(г/(5-)- | V | 1пг),д],

(П)

9 = шЬ + их

полупространства противоположной намагниченности (в случае антиферромагнетика - два полупространства нулевой намагниченности, но с противоположными намагниченностями у подрешеток).

При г -> 0 решение (12) является сингулярным. Данное решение при <7 < 1 может рассматриваться как кольцевой цилиндрический магнитный домен.

В Заключении подведены итоги и сформулированы основные результаты диссертации.

Публикации по теме диссертации

/

1. Сазонов С.В., Трифонов Е.В. Эффекты нелинейного взаимодействия электромагнитных видеоимпульсов с диэлектрическим парамагнетиком // XXIX совещание по физике низких температур (Казань, 30 июня - 4 июля 1992 г.), Тез. докл. Казань, 1992, ч.З, с. Т 61

2. Сазонов С.В., Трифонов Е.В. Эффекты нелинейного взаимодействия предельно коротких импульсов с диэлектрическим парамагнетиком // ЖЭТФ.1993. Т.103. N 5. с. 1527 - 1537.

3. Sazonov S.V. and Trifonov E.V. Solutions for Maxwell-Bloch Equations Without Using the Approximation of a Slowly Varying Envelope: Circular-Polarized Video Pulses// J.Phys.B: At. Mol. Opt. Phys. 1994. V.27.

N 1. p. L7-L12.

4. Sazonov S.V. and Trifonov E.V. Three-dimensional Axis - Symmetrical Solution for the Nonlinear Landau-Lifshitz Equation // Донецк: 26-30 мая 1994г. Донецк. 1994. с.71.

5. Сазонов С.В., Трифонов Е.В. Об одном (3+1)-мерном решении уравнения Ландау-Лифшица//Изв. ВУЗов (Физика). 1994.Т.37. N6.C.68-71.

6. Трифонов Е.В. Нестационарные трехмерные пуассоновы структуры и некоторые их приложения. Препринт N 17. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1996. 23 с.