Точно решаемые модели в теории волн на воде и волновой турбулентности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ

Глава I. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ И КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Глава 2. КЛАССИЧЕСКАЯ МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ В БЕССОЛЖОН

НОМ СЕКТОРЕ

Глава 3. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАКОНЫ ДИСПЕРСИИ И ТЕОРЕМЫ

О НИХ

Глава 4. ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ КОрРЕГБЫХ ГАМИЛЬТОНШЫХ

СИСТЕМ НА ИНТЖРИКШОСТЬ

Глава 5. СТРУКТУРА ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ И КЛАССИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ СИСТЕМ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ДВИЖЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧНО РЕШАЕМЫХ МОДЕЛЕЙ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, подведем итоги. Результаты, полученные в диссертации, можно разделить на три группы. К первой группе можно отнести результаты Глав 1-3, в которых на основе формализма классической S -матрицы разработан метод проверки на точную решаемость гамильтоновых волновых систем с аналитическим гамильтонианом. Для широкого класса систем этот метод доведен до уровня алгоритма. Вторая группа результатов получена в Главе 4, в которой разработанный в Главах 1-3 метод применен для исследования нескольких важных в физике нелинейных волн систем. Третья группа результатов получена в Главе 5 и касается структуры особенностей интегралов движения, S -матрицы и переменных дейст-вие-утол для систем с дополнительными интегралами движения, а также классификации точно решаемых моделей.

Метод проверки на точную решаемость основан на необходимом условии существования у гамильтоновой системы дополнительных аналитических интегралов движения с квадратичной главной частью. Такие интегралы возникают у всех систем, решаемых методом обратной задачи. Для физически наиболее важных двумерных систем они вычислены в Главе I. Необходимое и достаточное условие их существования (альтернатива В. 14-15) близко по своей природе к условию (В.6), возникающему в методе Пуанкаре проверки конечномерных гамильтоновых систем на существование дополнительных интегралов движения. Как и в конечномерных системах, основным препятствием к их существованию являются малые знаменатели, являющиеся комбинацией частот невозмущенной (в данном случае - линеаризованной) задачи с целочисленными коэффициентами. Однако между конечномерным и бесконеч

- из номерным случаями имеется существенное различие. Именно-в бесконечномерном случае возникает новое понятие - вырожденный закон дисперсии. Результаты Главы 3 настоящей диссертации позволяют надеяться, что все вырожденные законы дисперсии к настоящему моменту перечислены.

Изучение особенностей интегралов движения и формальных переменных действие-угол, проведенное в Главе 5 показывает, что неодномерные точно решаемые системы с вырожденными и невырожденными законами дисперсии качественно различаются по "количеству" интегралов движения. Системы с невырожденным законом дисперсии имеют на каждую степень свободы по интегралу движения (по крайней мере в бессолитонном секторе), что делает правдоподобным предположение об их полной интегрируемости.

Системы же с вырожденным законом дисперсии имеют недостаточно интегралов движения и ни в каком смысле не являются интегрируемыми. Следовательно, они могут проявлять стохастические свойства, и имеет смысл рассматривать соответствующие им кинетические уравнения. Эти кинетические уравнения также являются точно решаемыми моделями слабой турбулентности.

Как мы видели, основным инструментом, используемым для исследования структуры особенностей рядов теории возмущений и интегралов движения является классическая матрица рассеяния, алгоритм вычисления которой (диаграммная техника) подробно разработан в Главе 2 настоящей диссертации. Классическая матрица рассеяния (2.5) может быть использована только в бессолитонном секторе, и это является ограничением излагаемого подхода.Кроме того, метод, разработанный в диссертации, позволяет доказывать, строго говоря, только "неинтегрируемость", несуществование дополнительных интегралов движения описанного класса, так как при практических вычислениях можно проверить выполнение альтернатшзы из Главы 3 только в двух-трех первых порядках. Поэтому можно сказать, что этот метод в некотором смысле противоположен методу Уолквиста-Естабрука [61,62], в котором в случае удачи можно построить L - А пару для данной нелинейной системы, но в случае неудачи остается возможность. вложения возникающих коммутационных соотношений в более широкую алгебру Ли. Существует еще подход, основанный на дифференциальной алгебре (см., например, [бз] ), однако он дает возможность эффективно исследовать только одномерные уравнения и, кроме того, с его помощью выделяются только системы с локальными интегралами, в то время как предлагаемый в диссертации подход лишен этих ограничений. С другой стороны, методами дифференциальной алгебры можно исследовать произвольные одномерные локальные уравнения с функциональным произволом и предъявлять списки интегрируемых уравнений, что в настоящем подходе затруднительно.

Скажем теперь несколько слов о перспективах разработанного в диссертации метода. Как уже было сказано, если известно, что один дополнительный интеграл вида (5.1) существует, можно сделать важные выводы о гамильтоновой структуре исследуемого уравнения. Именно, если закон дисперсии невырожден, то все особенности переменных действие-утол (5.18) сосредоточены на поверхностях, соответствующих процессам П -*■ П таким, что импульсы входящих частиц являются перестановкой импульсов выходящих. Но на таких поверхностях в переменных действия будут содержаться только сингулярные члены вида s2 NsKv;;.sk"n|aK<|2.|aKnl

1 — ЭП где p. С

S,.Sn . . S1 . . . bn - . .

Kn KA . kn-K4 . - - Kn

Поэтому, хотя переменные IK и сингулярны, весьма вероятно, что можно построить регулярные переменные действия Гк такие,

ГРС2 что регуляризованное в смысле главного значения 1к представляется в виде

1Г = Тк + 5МккДкЛк-К1 +

Более того, регулярные переменные действие-угол для одномерных интегрируемых систем, например для уравнения Кортевега-де Бриза [il] именно так и устроены. То, что и в общем случае это должно быть так, следует из следующего простого соображения: в общем случае нормальная форма Биркгофа., если она существует, совсем не обязана быть 1 линейной функцией действий. Как было показано в Главе 5, гамильтониан системы с невырожденным законом дисперсии линеен по переменным I к • Если регулярные переменные действия Хк существуют, что, подставляя в гамильтониан ряд IK[ IJ , получим нормальную форму Биркгофа общего вида [б4], что вполне естественно. Проверка этого предположения, однако, чрезвычайно сложа технически.

В заключение следует сказать и о том, что результаты настоящей диссертационной работы вносят определенный вклад в создающуюся сейчас (по аналогии с качественной теорией конечномерных систем) качественную теорию бесконечномерных точно решаемых гамильтоновых систем.

Первыми шагами в этом направлении, по-видимому, можно считать работы Ф.Магри f57], [бб], где введены понятия функциональных конфигурационного и фазового пространств для таких систем, симплектического оператора, являющегося обобщением симплектической формы на бесконечномерный случай, операторного векторного поля на функциональном фазовом пространстве и получен ряд важных результатов по теории А -операторов. Как и в конечномерных системах, для понимания структуры фазового пространства важно знать особенности интегралов движения и других возникающих в теории возмущений объектов. Настоящая диссертационная работа содержит ряд результатов в этом направлении .

1. Gardner С. S., Green J.M., Kruskal M.D., Mi lira H.M. Method for solving the Korteveg-de Vries equation, Phys.Rev.1.ett., 1967, v.19, N 19, p. 1095-Ю97.

2. Bethe H. Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigen-functionen der Linearen Atomkeme, Zeitschrift fur Physik, 1931, bd. 71, s.205-226.

3. Onsager L. Cristal statistics I. A two-dimensional model with an order-disorder transition, Phys.Rev., 1944» v.65, p.117-149.

4. Hopf E. The partial differential equation IX^+UW-^J^U^. Comm. Pure Appl.Math., 1950, v.3, p.201-220.

5. Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation ocouring in aerodinamics, Q.Appl.Math., 1951, v.9, p.225-256.

6. Лаке П.Д. Интегралы нелинейных уравнений и уединенные волны, Математика, 1969, т.13, $ 5, с.128-150.

7. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, 1971, т.61, Jt I, с.118-134.

8. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде, ЖЭТФ, 1973, т.64, & 5, с.1627-1639.

9. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I., Функц.анализ и прилож., 1974, т.8, $ 3, с.43-53.

10. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния, Функц.анализ и прилож., 1979, т.13, Л 3, с.13-22.

11. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д., Уравнение Кортевега-де Вриза -вполне интегрируемая гамильтонова система, Функц.анализ и прилож., 1971, т.5, №4, стр.18-27.

12. Ablovitz M.J., Каир D.J., Newell А.О., Segur Н. The inverse scattering transform Courier analisis for nonlinear problems, Stud.Appl.Math., 1974, v.LIII, N4, p.249-515.

13. Gardner O.S., Green J.M., Cruskal M.D., Miura R.M. Kortevel-de Vries equation. IV, Comm. Pure Appl. Math.,1974, v.27, N 1, p.97-135.

14. Захаров B.E., Манаков С.В. О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шредингера. ТМФ, 1974, т. 19, В 3, стр. 332-343.

15. Захаров В.Е., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Полное описание решений Sin -Горцон уравнения, ДАН СССР, 1974, т.219, № 6, стр. 1334-1337.

16. Захаров В.Е., Михайлов А.В. Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния, 1ЭТФ, 1978, т.74, J6 6, стр.1953-1973.

17. Захаров В.Е., Манаков С.В. К теории резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах, ЖЭТФ, 1975, т.69, )& 5, стр. 1654-1673.

18. Каир D.J. Three wave resonant interaction, Stud.Appl* Mat., 1976, v.55, N 1, p.9-45.

19. Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., Наука, 1980, 320 с.

20. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах, ДАН СССР, 1970, т.192, Л 4, стр. 753-756.

21. Manakov S.V., Zakharov V.E., Bordag Б.А., Its A.R., Mat- " veev V.B. Two-dimensional solitons of Kadomtsev-Petviash-vili equation and their interaction. Phys.Lett., 1977, V.63A, N 3» p.205-206.

22. Захаров В.Е. Точные решения в задаче о параметрическом взаимодействии трехмерных волновых пакетов, ДАН СССР; 1976, т.22, Ш 6, стр. I3I4-I3I7.

23. Бломберген Н. Нелинейная оптика, М., Мир, 1966, 424 с.

24. Каир D.J. The solution of the general initial value problem for the full three-dimensional three wave resonant interaction. Physica 3D, 1981, v.3, N 1/2, p.374-395.

25. Davey A., Stewartson K. On three-dimensional packets of surface waves, Proc.Roy.Soc.Lond., 1974, A338, N 1613, p.101-110.

26. Ahker D., Freeman N.S. On the solution of the Davey-Stewartson equation for long waves. Pros.Roy.Soc. Lond., 1978, A360, N 1703, p.529-540.с

27. Шульман Е.И. О существовании Учетного набора интегралов движения для системы трех трехмерных резонансно взаимодействующих волновых пакетов, ТВ®, 1980, т.44, № 2, стр.224--228.

28. Zakharov V.E., Schulman E.I. Degenerative dispersion laws, motion invariants and kinetic equations, Physica D., 1980, v.l, N 2, p.191-202.

29. Пуанкаре А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики, йзбр.труды, т.II, М., Наука, 1972, 1000 с.

30. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, йзбр. труды, т.1, М., Наука, 1971, 750 с.

31. Zakharov V.E., Schulman E.I. On the integrability of the system of two coupled nonlinear Schro'dinger equations.• Physica D, 1982, v,4, N 2, p.270-274.

32. Zakharov Т.Е. Integrable systems in multidimensional spaces, in Lecture Notes in Physics, 1983» v.153» p.190--216.

33. Щульман Е.И. Об интегрируемости уравнений типа Дэви-Стю-артсона, ТШ, 1983, т.56; Л 7, стр.131-136.

34. Щульман Е.И. Об интегрируемости уравнений резонансного взаимодействия длинной и короткой волн, ДАН СССР, 1981» т.259, 3, стр. 579-581.

35. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М., Мир, 1984, 528 с.

36. Flashka Н., Mc.Iaughlin. Canonically conjugate variables for KdV and Toda lattice with periodic boundary conditions, Prog.Theor.Phys., 1976, v.55, N2, pp.438-456.

37. Веселов А.П., Новиков С.П. Скобки Пуассона и комплексные торы, Труды Мат .института АН СССР им.В.А.Стеклова, т.65, стр.39-62.

38. Захаров В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией, Изв. высш. уч.зав., серия Радиофизика, 1974, т.17, Л 4, стр.431-453.

39. Умэзава X. Квантовая теория поля, М., И.Л., 1958, 380 с,

40. Захаров В.Е., Львов B.C. 0 стохастическом описании нелинейных волновых полей, Известия Высш.уч.зав., серия Радиофизика, 1975, т.18, J* 10, стр. 1470-1487.

41. Konopelchenko B.G. On the integrable equations and degenerative dispersion laws in multidimensional spaces, J.Phys. A: Math.Gen., 1983, v. 16, N 2, pp.L311-L316.

42. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости, ПМТФ, 1969, $ 2, стр.86-94.

43. Yuen H.G., Ferguson W.E. Fermi-Pasta-Ulam recurrence in the two-dimensional nonlinear Schrodinger equation. Phys. Fluids, 1978, v,21, N 11, p.2116-2118.

44. Захаров B.E., Иванов М.Ф., Щур Л.Н. Об аномально медленной стохастизадии в некоторых двумерных моделях теории поля, Письма в ЖЭТФ, 1979, т.ЗО, Л I, стр.39-44. .

45. Shrira V.I. On the propagation of a three-dimensional packet of weakly non-linear internal gravity waves, J.Fon-lin.Mech*, 1981, v.16, N 2, p«129-138.

46. Захаров B.E., Рубенчик A.M. О нелинейном взаимодействии высокочастотных и низкочастотных волн, ПМТФ, 1972, 5, стр.84-98.

47. Захаров В.Е. Метод обратной задачи рассеяния. В кн.: Со-литоны, М., Мир, 1983, стр.270-309.

48. Benilov E.S., Burtsev S.P. То the integrability of the equations describing the Langmuir-ion-acoustic-wave interaction. Phys.Lett., 1983, v.98A, N 5,6, pp.256-258.

49. Берхоер A.I., Захаров В.Е. Самовоздействие волн с различной поляризацией в нелинейных средах, ЖЭТФ, 1970, т.58, № 3, стр.903-911.

50. Манаков С.В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн, ЖЭТФ, 1973, т.65, $ 2, стр.505--516.

51. Makhankov V.G., Pashaev O.K. On properties of the nonlinear Schrodinger equation with symmetry, JIHR preprint E2-81-70, Dubna, 1981.

52. Захаров B.E., Коллапс ленгмюровских волн, ЖЭТФ, 1972, т.62, № 5, стр. 1745-1759.53* Yajima И», Oikawa M. Formation and Interaction of sonic Langmuir solitons. Progr.Theor.Phys., 1976, v.56, N 6, p.1719-1739.

53. Zamolodchikov А.В., Zamolodchikov Al.B. Faotorised S-Matrices in two dimensions as the exact solutions of Certain Relativistic Quantum Field theory models. Ann.Phys., 1979, v.120, N 2, pp.253-291.

54. Thacker H.B. Exact integrability in quantum field theory and statistical systems. Reviews of Modern.Physics, 1981» v.53* N 2, p.253-285.

55. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М., Наука, 1974, 432 с.

56. Magri F. A,simple model of the integrable Hamiltonian equation, J.Math.Phys., 1978, v,19, N 5, p.1156-1162.

57. Magri F. A geometrical approach to the nonlinear solvable equations, Lecture Notes in Physics, v.120, p.233-263, Berlin, Heidelberg, New Xork* Springer, 1980.

58. Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега-де Фриса. ДАН СССР, 1974, т.217, Л 2, стр.276-279.

59. Zakharov V.E., Konopelchenko B.G. On the theory of recursion operator., Comm.Math.Phys.,1984,v.93, N4, p.483-509.

60. Walquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations, J.Math.Phys., 1976, v.16, N 1, p.1-7.

61. Walquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structuresof nonlinear evolution equations, J.Math.Phys., 1976, v#16, N 7, p.1293-1297.

62. Ибрагимов Xx., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. Функциональный анализ иприлож., 1980, т.14, Jfc I, стр. 25-36. 64. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах, М., Мир, 1973, 168 с.