Динамика ансамбля нерегулярных волн в прибрежной зоне

Шургалина, Екатерина Геннадьевна

Динамика ансамбля нерегулярных волн в прибрежной зоне тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Шургалина, Екатерина Геннадьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2015 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Автореферат по механике на тему «Динамика ансамбля нерегулярных волн в прибрежной зоне»

Автореферат диссертации на тему "Динамика ансамбля нерегулярных волн в прибрежной зоне"

На правах рукописи

ШУРГАЛИНА Екатерипа Геннадьевна

ДИНАМИКА АНСАМБЛЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВОЛН В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005560613

1 Я ПАР 2015

Нижний Новгород - 2015

005560613

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Пелиновский Ефим Наумович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук Шамин Роман Вячеславович, заведующий кафедрой «Математическое моделирование в космических системах», Российский университет дружбы народов

кандидат физико-математических наук Тютин Виктор Владимирович, доцент кафедры математики факультета бизнес-информатики и прикладной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

ФГБУН «Институт проблем механики им. И. А. Ишлинского РАН»

Защита состоится «22» апреля 2015 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им. Р. Е. Алексеева по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д. 24, корп. 1, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева.

Автореферат разослан «25» февраля 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, —

д. ф.-м. н., профессор // Л.Ю.Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Ветровое волнение на поверхности естественных водоемов представляет собой сложную и нерегулярную систему, обусловленную интерференцией и взаимодействием волновых пакетов, двигающихся с разными скоростями и в разных направлениях. Их прогноз чрезвычайно важен для мореплавания и освоения ресурсов Мирового океана. Оперативный прогноз ветрового волнения осуществляется на основе нелинейных кинетических уравнений для спектральной интенсивности волн, и здесь достигнут значительный прогресс. Естественно, что в случайном поле ветровых волн возможно появление больших выбросов — аномально больших короткоживущих волн, за которыми закрепился термин: волны-убийцы (в англоязычной литературе - rogue or freak waves). Такие волны сейчас перестали быть предметом только морского фольклора и приключенческой литературы. Они приковывают внимание специалистов ввиду их очевидной опасности для кораблей и нефтяных платформ в море, портовых сооружений и туристических зон на побережье. Многочисленные данные наблюдений волн-убийц в различных районах Мирового Океана приведены в монографиях [1-3], и собраны в каталогах [4-8].

Изучение проявления волн-убийц в прибрежной зоне является весьма актуальной и практически важной задачей. При этом надо иметь в виду, что вблизи берега не обязательно глубина всегда мала (по сравнению с длиной волны). Известно много случаев наблюдения волн-убийц вблизи крутых скал, где глубина достаточно большая. На важность исследования таких случаев обращается внимание в работах специалистов из Тайваня [9] в связи с многочисленными жертвами среди рыболовов, располагающихся на волноломах и скалах. При этом можно пользоваться хорошо развитой теорией волн в бассейне бесконечной или конечной глубины. Однако наличие вертикальной преграды (ограждающих стенок) еще не рассматривалось в теоретических моделях генерации волн-убийц.

Если же глубина воды в прибрежной зоне мала, а шельф протяженный, то «включаются» новые эффекты, связанные с сильным отличием формы волн от квазисинусоидальной, характерной для глубокой воды. Нелинейные волны в прибрежной зоне зачастую имеют солитонную или квазисолитонную структуру. Особенно часто такие волны наблюдаются при вхождении приливной волны в устья рек, где трансформируются в обрушивающиеся ударные волны (гидравлические прыжки) или волнообразные боры [10] и они могут иметь весьма нерегулярную структуру. В статье [11] уже отмечался солитонный характер волнового поля в прибрежной зоне, и использовалась специальная аппроксимация спектра таких волн. Нелинейная теория волн на мелкой воде хорошо развита. Наиболее известной моделью является уравнение Кортеве-га - де Вриза, выведенное еще в 1895 году. Основной спецификой этого уравнения является его применимость для волн, распространяющихся только

в одном направлении. Учет встречного распространения волн (или более общая задача взаимодействия волн, распространяющихся в разных направлениях) также был сделан уже достаточно давно, для этого случая выведено много разновидностей уравнений Буссинеска. В рамках «мелководных» моделей волн на воде пока имеются только единичные работы по волнам-убийцам, основанные на приближении узкополосного волнового пакета или уравнения Кортевега — де Вриза. В тоже время анализ волн-убийц в солитонном поле еще вообще не проводился.

Стоить отметить, что в прибрежных водах вследствие вертикальной стратификации вод по температуре и солености, а также скорости потока, существуют внутренние волны. Внутренние гравитационные волны имеют ту же природу, что и поверхностные гравитационные волны, только для них гравитация почти уравновешена силой Архимеда. Слабонелинейная теория внутренних волн в прибрежной зоне также основана на уравнении Кортевега — де Вриза [12], однако здесь становятся важными следующие поправки по нелинейности, приводящие к уравнению Гарднера. В рамках этого уравнения для некоторых типов стратификации возможен эффект модуляционной неустойчивости, приводящий к генерации "внутренних" волн-убийц [13-15]. И здесь можно сказать, что солитонная структура внутренних волн, всегда отмечаемая в наблюдениях [16-17], никак пока не учитывалась при анализе волн-убийц.

Таким образом, актуальность диссертации очевидна. Поверхностные и внутренние гравитационные волны оказывают важное влияние на гидрологический режим прибрежной зоны. Интенсивные поверхностные волны особенно интересны для изучения, так как могут представлять серьёзную угрозу для судов, нефтяных платформ, портовых сооружений и туристических зон на побережье; такие волны затрудняют осуществление хозяйственной деятельности человека на шельфе. Нелинейные внутренние волны влияют на подводную биосферу и вызывают транспорт наносов, создают размывы грунта у оснований платформ и трубопроводов, влияют на распространение акустических сигналов. Особо сильное воздействие будут оказывать волны-убийцы, которые и изучаются в данной диссертации. Поэтому исследование процессов возникновения волн - убийц в прибрежной зоне является актуальным и практически значимым.

Цели диссертационной работы

Основная цель диссертационной работы - изучение особенностей образования аномальных волн в прибрежных водах при разных предположениях на глубину бассейна и форму волнового поля. Более детально будут исследованы:

1. Кинематика и статистика больших волн в случайном поле ветровых волн при наличии вертикальной преграды и взаимодействии с волнами зыби;

2. Особенности нелинейного взаимодействия двух солитонов на мелкой воде как элементарного акта солитонной турбулентности;

3. Динамика случайных мультисолитонных полей в рамках уравнений Кортевега - де Вриза и модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза;

4. Возможность возникновения волн-убийц в солитонном газе.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Продемонстрировано, что механизм дисперсионной фокусировки образования волн-убийц "работает" для волн, взаимодействующих с вертикальной преградой. Показано, что на глубокой воде непосредственно перед образованием максимальной волны, волна-убийца быстро меняет свою форму от высокого гребня до глубокой впадины. Время жизни волны-убийцы растет с увеличением числа индивидуальных волн в аномальном волновом пакете, а также с уменьшением глубины воды.

2. Демонстрируется, что взаимодействие однополярных солитонов ведёт к уменьшению третьего и четвертого моментов, характеризующих коэффициенты асимметрии и эксцесса волнового процесса. Выявлена немонотонность вариаций моментов при смене обменного режима взаимодействия солитонов на обгонный. Показано, что в случае взаимодействия разнополярных солитонов четвертый момент возрастает.

3. Исследована нелинейная динамика ансамблей случайных однополярных солитонов в рамках уравнения Кортевега - де Вриза и модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза. Показано, что коэффициенты асимметрии и эксцесса солитонного газа уменьшаются в результате столкновений солитонов, определены функции распределения амплитуд волн. Поведение солитонных полей в рамках вышеуказанных моделей оказывается качественно похожим. Показано, что в подобных полях в среднем амплитуда больших волн уменьшается из-за многосолитонных взаимодействий.

4. Обнаружен новый эффект торможения солитона малой амплитуды и даже смены направления движения в мультисолитонном газе в результате нелинейного взаимодействия с другими солитонами в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза.

5. Показано, что в разнополярном солитонном газе в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза образуются аномально большие волны (волны-убийцы). С увеличением плотности солитонного газа вероятность и интенсивность волн-убийц в подобных системах возрастает.

Положения, выносимые на защиту

1. Сценарий появления волн-убийц при подходе волнового пакета к вертикальной преграде и наложения волн зыби на ветровые волны в рамках механизма дисперсионной фокусировки.

2. Особенности взаимодействия двух солитонов как элементарного акта солитонной турбулентности в рамках уравнений типа Кортевега - де Вриза.

3. Характеристики ансамбля однополярных солитонных полей в рамках уравнения Кортевега — де Вриза и модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза.

4. Эффект торможения и даже смены направления движения уединенной волны малой амплитуды в поле солитонов большой амплитуды в рамках модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза.

5. Эффект появления волн-убийц в солитонном газе, состоящем из разно-полярных солитонов, в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза.

Практическая значимость результатов работы

Полученные результаты о времени жизни волн-убийц могут быть использованы для экспресс-оценок опасности таких волн вблизи вертикальных преград. Полученные характеристики функций распределения и статистических моментов мультисолитонных полей могут быть учтены при создании прогностической модели интенсивных поверхностных и внутренних волн на мелководье.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в диссертации, доложены на следующих российских и международных конференциях: Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2010 - 2014); XVII - XX Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2011 - 2014); XXI - XX Международных молодежных научно-технических конференциях «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2012 - 2013); VI-th international conference "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives", Novosibirsk, 2012; ROGUE WAVES Int. Workshop, Germany, Dresden, 2011, Symposium "Extremes 2014", Hanover, Germany, 2014, New Zealand Coastal Society Annual conference: Raglan 2014, New Zealand, 16-й Нижегородской сессии молодых учёных (технические науки) 2011, 18-й Нижегородской сессии молодых учёных (естественные, математические науки), 2013, 24-й Всероссийской научно-методической конференции по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ-2014», IAHS - IAPSO -IASPEI Joint Assembly in Gothenburg, Sweden, 2013.

Результаты диссертации докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 145 страниц, включая 65 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 посвящена исследованию кинематики и статистики больших волн в линейном случайном поле ветровых волн. §1.2 является вводным; здесь приведены основные уравнения линейной потенциальной теории волн (в том числе уравнение Лапласа с соответствующими граничными условиями на свободной поверхности и дне):

ДФ = 0 (-оо<7<0), (1)

а2Ф ЭФ дп дФ

сФ дг

дг ' 8( = 0 (г = -#)-

(г = 0).

(2) (3)

А'

По оси х реализуется периодическое граничное условие. Геометрия решаемой задачи представлена на рис. 1.

Также в этом параграфе дано описание механизма дисперсионной фокусировки (рис. 2). Суть его заключается в следующем: получить волну-убийцу из случайного волнового пакета очень сложно, поэтому в рамках данного механизма сначала воспроизводят волну-убийцу, смотрят её дисперсионное расплывание, а затем решение инвертируется в пространстве.

///////

Рис. 1. Геометрия задачи

§ 1 О 0.5

Й О"

е=-15 I

до фокусировки

-40 -20 0 20 40 хЛ

* 1 I (=0 § 1

§ о.5; 1 " § о.5:

£ о'-п-5 о-

о и

я -0.5: , Я-0.5:

О фокусировка О

& 'Г -40 -20 0 20 40 & Л хЛ

Рис. 2. Механизм дисперсионной фокусировки

4=15;

—I

после фокусировки

-40 -20 0 20 40 х/1

Здесь же приведён рассчитанный пример появления одиночной аномально большой волны в поле ветровых волн в рамках этого механизма (рис. 3):

1 з!

я ,1

1-60

м о .ц

-зГ

^ 1 « 1

►а 0

^ • ; Л 1

-2000 -1000

а> § -2 £-3

-2000

-1000

X, т

1000 2000

Рис. 3. Появление волны-убийцы в случайном поле ветровых волн

-2000

-юоо

Х,т

1000

2000

В расчетах, связанных с образованием волн-убийц, использовался ряд Фурье:

= Д собС®/ - /с(х+)' V4)

/=1

где к. =/М, М - интервал дискретизации спектра, щ = ^[фЩкр), И-общее

число гармоник. В случае фонового случайного волнения фазы <р, распределены равномерно и задаются с помощью генератора случайных чисел, а амплитуды находятся как Д. = ^Б(к)Ак через Б(к) - энергетический спектр волнения. В наших расчетах использовался спектр Пирсона - Московица:

5(к) = —гехй 2к 11

2 \

и" к1

(5)

где а = 8.1 • 10 3; р = 0.74 ; £/-скорость ветра.

Детерминированная компонента волн рассчитывалась также по формуле (4) с нулевыми фазами и спектральными амплитудами, вычисляемыми по известной форме волны-убийцы щеак(х), предполагаемой симметричной

Ак 2тг

4 = — \njreak (*)«»(*,*)<& •

(6)

В §1.3 рассмотрено взаимодействие попутно двигающихся детерминированных волн зыби со слабым ветровым волнением в рамках потенциальной теории. Отмечается, что в случае переменного ветра в области шторма волны зыби могут фокусироваться на некотором расстоянии от области зарождения, образуя аномально большие волны («волны-убийцы»). Выполнено исследование видимости аномально больших волн зыби разной формы на фоне ветрового волнения. В качестве критерия инициализации волны-убийцы выбран амплитудный критерий [1]:

afr>2as=Hs, (7)

где as - значительная амплитуда волнения, afr - амплитуда волны-убийцы. Величина as представляет собой среднее значение одной трети самых больших волн в реализации.

Показано, что время жизни волны-убийцы, как и ожидалось, зависит от отношения af,/as. На рис. 4 представлены срезы волнового поля в случае эволюции «одной сестры» для различных значений отношения амплитуды волны-убийцы зыби к значительной амплитуде.

120г 100" 80

1 «0-& 40 20-

1-2 минуты

300 " 250 3 200 S I50 &Ю0 50

2-3 минуты

л •

1000

о800

те" 600 S

« 400 200

300 Х,т

500

Х,ш

1000

1500

6-7 минут

Lsüí

1000 2000 3000 4000 5000 X, m

Рис. 4. Срезы волнового поля в случае эволюции «одной сестры» для различных значений отношения амплитуды волны-убийцы зыби к значительной амплитуде: а) а/г/а, =2.2, б) Яр / = 2.7,

в) а, 1а, =3.2

В § 1.4 изучается формирование "волны-убийцы" у вертикальной преграды (скалы или клифа) (рис. 5). Демонстрируется внезапность появления волны-убийцы у стенки, если глубина у нее велика (её время жизни составляет порядка 2 минут).

Рис. 5. Сценарий появления аномальной волны вблизи вертикальной преграды

на фоне ветровых волн

Глава 2 посвящена особенностям двухсолитонных взаимодействий в рамках уравнений Кортевега де - Вриза (КдВ) и модифицированного уравнения Кортевега - де Виза (мКдВ), применяемых для описания поверхностных и внутренних гравитационных волн в мелководных бассейнах.

В §2.2 приводятся некоторые данные о наблюдениях групп солитонов в виде ундулярного бора и солитонов внутренних волн в природных водоемах. На основании натурных данных проверяется условия появления ундулярных боров, известные в литературе по лабораторным данным (рис. 6). В среднем они возникают, если H/h < 1.5, где Н- высота бора, h - глубина водоёма.

Chanson

Favre / Teles da Silva .

►H/li

1.13 1.19 Jl.3 1.35 1.5 l.«3i 1-89 2.25 1.1 1.15 1.2 1.32 1.43 | 1.62 1.8 1.9 4 фУндулярный бор stoker 7 Nakamura ^^ Обру шлющийся oop ^J* Два случая для данного H/li

Рис. 6. Распределение данных наблюдений по параметру H/h, где Н - высота бора, h - глубина водоёма

В §2.3 исследовано двухсолитонное взаимодействие в рамках уравнения Кортевега - де Вриза:

du . du ffu . —+6и—+—г- = 0-dt дх дх

(8)

Двухсолитонное решение его имеет вид [18]:

8(4 -aJ^ cosh^ 4 smhJ^(jr - 2A,t)

u(x,t)=

(9)

В этой классической задаче нелинейной теории волн мы сосредоточились на изучении моментов волнового поля, играющих важную роль в теории турбулентности, что раньше не делалось в литературе:

+оо

М„(?)= ¡и"(х,1)ск> ("=1.2,3,4) (10)

Первые два момента сохраняются, будучи инвариантами уравнения КдВ. На рис. 7 представлено изменение величин третьего и четвертого моментов М* (м; = (А/, тах-А/, тЬ)/М, 0) в зависимости от отношения амплитуд солитонов.

Рис. 7. Относительное изменение моментов в момент максимального взаимодействия: М*М\ в зависимости

от отношения амплитуд соли-тонов.

Обе кривые немонотонны и их экстремумы (максимумы) находятся на значении А2М.!~ 0.34, которое находится в переходной зоне О.ЗЗ^г/А^О.Зв, разделяющей режимы обгона и обмена при двухсолитонном взаимодействии.

Особенности взаимодействия двух солитонов в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза, которое используется в теории внутренних волн, демонстрируются в §2.4.

ди

+ви-

ды

= 0.

Ы дх &

Его двухсолитонное решение представлено в следующем виде [19]:

и(х,0 = 2 у_(Л2(х-А2())+х2Л2 созЬ(4(х-Др)_

(П)

¿А О -1)+г совисд (х - до -а2(х-до)+созЬ(4 (х - 40+а2(х- до)' (-12) Г = -

4±А>!

4-4

Чтобы оценить величину изменений моментов при взаимодействии солитонов, в данном случае рассматривается изменение величин третьего и четвертого моментов в зависимости от отношения амплитуд солитонов (рис. 7). Для однополярных солитонов, поведение моментов немонотонное и, как и ранее, наблюдается смена режимов взаимодействия солитонов. Величина изменения моментов максимальна как раз для солитонов с отношением А2/А,1 соответствующим переходной зоне, и изменения моментов в этом случае может достигать 20 % и 40 %, соответственно, для третьего и четвёртого моментов. На рис. 8а для сравнения представлены соответствующие кривые для КдВ-солитонов, которые лежат немного ниже кривых для мКдВ-солитонов, но, в принципе, отличаются незначительно.

В случае взаимодействия разнополярных солитонов характер кривых принципиально меняется (рис. 86). Кривые монотонны, так как в данном случае существует только один режим взаимодействия. Важно отметить, что величина изменений моментов для разнополярных солитонов весьма существенна, особенно когда амплитуды солитонов близки по модулю.

а 2 1 £) 2 1 Рис. 8. Изменение величин третьего и четвертого моментов в зависимости от

отношения амплитуд солитонов: а - положительные мКдВ-солитоны и КдВ-солитоны с соответствующими амплитудами, б - знакопеременные мКдВ-солитоны (больший солитон имеет положительную полярность)

Глава 3 посвящена исследованию случайных мультисолитонных полей в рамках КдВ и мКдВ уравнений. В §3.2 и в §3.3 исследуются однополярные солитонные поля и их статистические свойства. Начальные поля в случае КдВ представлены суперпозицией солитонов с произвольными амплитудами:

■V

«(х, 0) = ^ДвесЬ2 1=1

а в случае мКдВ:

и(х, 0) = ]Г А,зссЬ[А, {х - х01)]'

Фазы х0, выбираются таким образом, чтобы в начальный момент времени солитоны не взаимодействуют друг с другом, поэтому они не являются случайными. Выбранный случайно набор амплитуд солитонов Ai не меняется от реализации к реализации, а меняется только порядок расположения солитонов. В первоначальных экспериментах с 20 солитонами их амплитуды в расчетной области меняются в пределах от Атт = 0.5 до Атах = 3.5. Пример КдВ-солитонного поля и его эволюция во времени представлены на рис. 9.

(13)

время

Рис. 9. КдВ-солитонное поле при а - / = = 0, б — I — 500, в - пространственно временная диаграмма

Случай мКдВ-солитонных полей будет иметь качественно похожий характер. Однако остановимся подробнее на пространственно-временной диаграмме мКдВ-солитонного поля (рис. 10).

Рис. 10. Эффект смены направления движения мКдВ-солитона

Все солитоны движутся с положительной скоростью, за исключением одного, выделенного чёрным прямоугольником. В данном волновом поле его амплитуда является наименьшей, и, соответственно, он движется с наименьшей скоростью между столкновениями. Результирующая же скорость его отрицательна, на что показывает наклон линии его траектории. Такой неожиданный эффект получается из-за многочисленных столкновений с остальными солитонами, и при каждом таком столкновении он смещается немного назад (это, естественно, происходит со всеми солитонами, но для солитонов большой амплитуды эффект не является сильным). Отсюда можно заключить, что сильное нелинейное взаимодействие может значительно влиять на скорость и траекторию солитона. Причём стоит отметить, что в рамках уравнения Кортевега - де Вриза такого эффекта не наблюдалось, поскольку солитоны там двигаются с большими скоростями, чем мКдВ-солитоны (их скорость пропорциональна амплитуде, в то время как в мКдВ уравнении пропорциональна А), и такой эффект не успевает проявиться, хотя и в том случае взаимодействие солитонов сдвигало меньший солитон назад.

Процесс взаимодействия солитонов будет влиять на функции распределения волнового поля. Демонстрируется, что с течением времени функция распределения амплитуд волн (локальных максимумов волнового поля) меняется для обоих случаев. Качественно изменения происходят одинаковым образом: число мало амплитудных импульсов возрастает, а число больших волн уменьшается. В результате, функция распределения амплитуд волн становится более крутой, по сравнению с начальным распределением. Однако в чисто солитонном поле этот эффект проявляется слабо, подчеркивая упругий характер взаимодействия солитонов и сохранения их параметров.

Вычислены статистические моменты солитонного поля: среднее поле, дисперсия, коэффициенты асимметрии и эксцесса:

<и>= -]и{х)сЫ,' ст2 = -]и(х)1 (Ье- < и(х) >г,

^ о ^ О

Як = —^/(иО*)- < и(х) >)3с1х, Киг = ~ [(и(х)- < и(х) >)4Л. (16) о ¿СГ4^

Первые два, будучи инвариантами рассматриваемых уравнений, сохраняются. Однако третий и четвертый моменты будут меняться со временем. Они наиболее интересны с точки зрения волн-убийц. Третий отвечает за количество положительных и отрицательных волн в реализации, а четвёртый -за хвосты функции распределения, т. е. за аномальные выбросы в поле. На рис. 11 представлена временная эволюция третьего и четвёртого моментов солитонного газа, рассчитанных для одной реализации и усреднение по 50 реализациям для КдВ и мКдВ случаев.

3'10 50 100 150 200 О 50 100 150 200

а время время

Рис. 11. Временная эволюция коэффициентов асимметрии и эксцесса однополярного солитонного газа: а - КдВ, б - мКдВ

С течением времени усредненные по реализациям коэффициенты асимметрии и эксцесса уменьшаются и после нескольких столкновений выходят на почти стационарные значения, в то время как в одной реализации они остаются случайными. Причина этого в характере взаимодействия солитонов, поскольку подобные взаимодействия ведут только к уменьшению третьего и четвёртого моментов.

Формально поведение статистических моментов КдВ солитонных полей напоминает поведение подобных моментов для положительных мКдВ-полей, меняются лишь количественные значения. Динамика КдВ и положительных мКдВ-солитонных полей представляется достаточно похожей. Однако в подобных однополярных полях не возникают аномально большие волны.

В §3.4 проведено численное исследование динамики разнополярного солитонного газа в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Ври-

за. Начальное солитонное поле по-прежнему представляется суперпозицией случайных солитонов:

И(х,0) = 2>ДзесЬ[Д.(х-х0,.)], я,=±1. (17)

/=1

Введём плотность солитонного газа как р = N11, где N - число солитонов в расчётной области, Ь - размер расчётной области. Солитонные поля разной плотности представлены на рис. 12.

О 50 100 150 200 250 300 350 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 X X

Рис. 12. Начальные мультисолитонные поля с плотностями 0.24, 0.14

С течением времени солитоны взаимодействуют и периодически возникают аномальные импульсы, выделяющиеся на фоне остальных волн, причём как положительные, так и отрицательные (рис. 13).

время время

Рис. 13. Экстремумы волновых полей для солитонного поля с плотностью 0.24

Аномальные пики, периодически возникающие на фоне остальных волн, могут быть рассмотрены с точки зрения волн-убийц при помощи амплитудного критерия волн-убийц (7).

Будем рассматривать конкретную реализацию и для каждого момента времени определять Л5. На рис. 14 представлены волновые поля, содержащие аномально большие волны.

Рис. 14. Волновое поле, содержащее аномально большую волну и ее форма

Для плотности 0.24 превышение А/А.9 составляет даже 3.09. Формы волн-убийц похожи на форму результирующего импульса при взаимодействии разнополярных солитонов.

Так как в солитонном газе с наибольшей плотностью интенсивность (частота) взаимодействий больше, то логично предположить, что в таком газе аномальные импульсы должны иметь амплитуду больше, чем в полях с меньшей плотностью. На рис. 15 представлена зависимость «максимума мак-симорума» (тах(итах)) от плотности газа.

7——.....—......—

16 а

■3 5 х

§ 4

• '

0.05

Рис. 15. Зависимость «максимума макси-морума» от плотности газа. Видна тенденция увеличения амплитуды по модулю (практически линейная зависимость).

0.1 0.15 0.2 0.25 плотность газа

Статистические моменты знакопеременных полей будут качественно отличаться от аналогичных моментов для однополярного солитонного газа, которые преимущественно уменьшались с течением времени. В данной ситуации коэффициент эксцесса преимущественно увеличивается, указывая на увеличение хвостов функции распределения (рис. 16). В то же время коэффициент асимметрии может принимать как отрицательные, так и положительные значения в разные моменты времени. Однако их усреднение близко к нулю за счёт баланса между положительными и отрицательными волнами.

25г

100 время

Рис. 16. Временная эволюция коэффициентов асимметрии и эксцесса в разнополярном солитонном газе

На рис. 17 представлен коэффициент эксцесса для солитонных полей разной плотности в одной реализации. Как видим, с увеличением плотности газа коэффициент эксцесса уменьшается. И этот рисунок, казалось бы, приводит к парадоксальному результату.

р — 0.048

40 60

время

Рис. 17. Коэффициенты эксцесса для солитонных полей разной плотности

На самом же деле, изменения коэффициента эксцесса характеризуют превышение функции распределения над гауссовой кривой в интегральном смысле, но ничего не говорят о величине функции распределения в области очень большой амплитуд. И данный рисунок демонстрирует фактически, что большой эксцесс не означает наличие в волновом поле волн-убийц. А точный ответ будут давать функции распределения амплитудных характеристик.

В случае знакопеременных полей эффект изменения функций распределения амплитудных характеристик будет противоположным (в отличие от однополярного газа). В этом случае доля малоамплитудных волн уменьшается, а волн с большими амплитудами - увеличивается. То есть в моменты сильного нелинейного взаимодействия хвосты функций распределения могут значительно возрастать (рис. 18).

Рис. 18. Функции распределения амплитуд волн в разные моменты времени (логарифмический масштаб)

10"

|амплитуды|

Таким образом, нелинейное взаимодействие солитонов ведёт к появлению волн-убийц в знакомеременных полях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

5. Показано, что в разнополярном солитонном газе в рамках модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза образуются аномально большие волны (волны-убийцы). С увеличением плотности солитонного газа вероятность и интенсивность волн-убийц в подобных системах возрастает.

Литература

1. Куркин A.A., Пелиновскгш E.H. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. Нижний Новгород, ННГУ, 2004. 157 с.

2. Khar if Ch., Pelinovsky £., Slunyaev A. Rogue Waves in the Ocean. Springer, 2009.216 р.

3. Доцеико С.Ф., Иванов B.A. Волны-убийцы. Современные проблемы океанологии. Морской гидрофизический институт национальной Академии Наук Украины, Вып. 1, Севастополь, 2006.44 с.

4. Didenkulova /./., Slunyaev A.V., Pelinovsky E.N., Khar if Ch. Freak Waves in 2005 // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2006, V. 6. P. 10071015.

5. Liu P.С. A chronology of freaque wave encounters // Geofizika. 2007, V. 24. P. 57-70.

6. Liu P.C. Brief Communication: Freaque wave occurrences in 2013 // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. Discuss. 2014. V. 2. 7017-7025.

7. Nikolkina I., Didenkulova I. Catalogue of rogue waves reported in media in 2006-2010 //Nat. Hazards. 2012. V. 61. P. 989-1006.

8. Nikolkina I. Didenkulova I. Rogue waves in 2006-2010 // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 2011. V. 11. P. 2913-2924.

9. Tsai СИ.-Н., Su M.-Y., Huang Sh.-J. Observations and conditions for occurrence of dangerous coastal waves // Ocean Engineering. 2004. V. 31. P. 745760.

10. Chanson H. Tidal Bores, Aegir, Eagre, Mascaret, Pororoca: Theory and Observations. World Scientific. 2012. 201 p.

11. Brocchini M., Gentile R. Modelling the run-up of significant wave groups // Continental Shelf Research. 2001. V. 21. P. 1533-1550.

12. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Ленинград, Гидрометеоиздат. 1981. 302 с.

13. Grimshaw R., Pelinovsky К, Talipova Т., Ruderman М. Erdelyi R Short-lived large-amplitude pulses in the nonlinear long-wave model described by the modified Korteweg-de Vries equation // Studied Applied Mathematics. 2005. V. 114, №2. P. 189.

14. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova Т., Sergeeva A. Rogue internal waves in the ocean: long wave model // European Physical Journal Special Topics. 2010. V. 185. P. 195-208.

15. Талипова Т.Г. Механизмы образования внутренних «волн-убийц» // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2011. Т. 4, №4. С. 58-70.

16. Ostrovsky L., Stepanyants Yu. Do internal solitons exist in the ocean? // Rev. Geophys. 1989. V. 27. P. 293-310.

17. Vlasenko V., StashchukN., Hutter K. Baroclinic Tides: Theoretical Modeling and Observational Evidence. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2005.351 p.

18. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1968. V. 21. P. 467-490.

19. Anco S.C., Ngatat N.T., Willoughby M. Interaction properties of complex mKdV solitons //Physica D. 2011. V. 240. P. 1378-1394.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

Ш1. Пелиновский Е.Н., Шургалина Е.Г. Аномальное усиление волны вблизи вертикальной преграды // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2010. Т. 4, №10. С. 29-38.

Ш2. Шургалина Е.Г., Пелиновский Е.Н. Проявление аномально больших волн зыби на фоне слабого ветрового волнения // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2012. Т. 5, № 1. С. 77-88.

ШЗ. Пелиновский Е.Н., Шургалина Е.Г. Взаимодействие уединенных внутренних волн малой амплитуды // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т. 6, №2. С. 78-86.

Ш4. Пелиновский Е.Н., Шургалина Е.Г. Двухсолитонное взаимодействие в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2014. Т. 57, № 10.

Ш5. Пелиновский Е.Н., Шургалина Е.Г., Родин А.А. О критериях перехода обрушающегося бора в волнообразный // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2015. Т. 51, № 2. С. 825-833.

Ш6. Pelinovsky Е., Shurgalhta Е., and Chaikovskaya N. The scenario of a single freak wave appearance in deep water - dispersive focusing mechanism framework //Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 2011. V. 11. C. 127-134.

Ш7. Pelinovsky E.N., Shurgalina E.G., Sergeeva A.V., Talipova T.G., El G.A., Grimshaw R.H.J. Two-soliton interaction as an elementary act of soliton turbulence in integrable systems // Physics Letters A. 2013. V. 377, №3-4. P. 272-275.

Монография:

Ш8. Шургалина Е.Г., Пелиновский E.H. Динамика случайных ансамблей поверхностных гравитационных волн с приложениями к волнам-убийцам в океане. LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken. 2012. 121 с.

Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

Ш9. Шургалина Е., Пелиновский Е. Математическая модель возникновения волны-убийцы на стенке и ее численная реализация // XVI Нижегородская сессия молодых учёных, Нижний Новгород, 15-19 февраля 2011. С. 250-253.

Ш10. Шургалина Е.Г., Пелиновский Е.Н., Чайковская Н.А. Сценарий встречи корабля с одиночной волной-убийцей на поверхности глубокого моря // X Международная молодежная научно-техническая конференция «Будущее технической науки», 13 мая, 2011, Нижний Новгород, Россия.

Ш11. Шургалина Е.Г. Теоретические оценки времени жизни волн-убийц в глубоком море, возникших при схлопывании волновых пакетов // Международная научно-техническая конференция "Информационные системы и технологии" (ИСТ-2011), 22 апреля, 2011. С. 434.

Ш12. Шургалина Е.Г. Динамика волн-убийц в каналах и реках // Международная научно-техническая конференция "Информационные системы и технологии" (ИСТ-2012), 20 апреля 2012. С. 368.

Ш13. Шургалина Е.Г. Солитонная турбулентность волновых движений на мелкой воде в рамках уравнения Кортевега - де Вриза // XI Международная молодежная научно - техническая конференция «Будущее технической науки», 18 мая 2012, Нижний Новгород. С. 428.

Ш14. Шургалина Е.Г. Статистические характеристики КдВ солитонных полей // XVIII Нижегородской сессии молодых ученых (естественные, математические науки), Нижний Новгород, 28-31 мая 2013. С. 273.

Ш15. Шургалина Е.Г. Особенности солитонного взаимодействия в рамках уравнений типа Кортевега - де Вриза // XII Международная молодежная научно-техническая конференция «Будущее технической науки», 24 мая, 2013, Нижний Новгород, Россия, С. 512.

Ш16. Шургалина Е.Г Динамика нелинейных диспергирующих волн на мелкой воде // Международная научно-техническая конференция "Информационные системы и технологии" (ИСТ-2013). 19 апреля 2013. Р. 411.

Ш17. Pelinovsky Е., Shurgalina Е. Approximated solutions in the theory of the wave focusing in deep water // Geophysical Research Abstracts. EGU General Assembly 2010. V. 12. EGU2010-2480.

Ш18. Shurgalina E. Life-time of freak waves of different shapes: Dispersive focusing framework // ROGUE WAVES International Workshop, 07 - 11 November

2011, Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems, Dresden, Germany.

Ш19. Pelinovsky E., Shurgalina E. Formation of an abnormal wave in case of interaction with a vertical barrier // Geophysical Research Abstracts. 2011 V 13 EGU2011-44.

Ш20. Shurgalina E„ Pelinovsky E„ Sergeeva A., Talipova Т., Litra A. KdV-turbulence and extreme waves in shallow water // Geophysical Research Abstracts

2012. V. 14. EGU2012-603.

11121. Shurgalina £"., Pelinovsky E. Swell freak wave manifestation on the background weak wind wave field // Geophysical Research Abstracts. 2012. V. 14. EGU2012-128.

11122. Pelinovsky E., Slunyaev A., Didenkulova /., Sergeeva A., Talipova T., Nikolkina /., Rodin A., Shurgalina E. Shallow rogue waves: observations, laboratory experiments, theories and modeling // 6th International Conference "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives". The Conference Program & Proceedings. Russia, Novosibirsk, Akademgorodok. 2012. P. 112-113.

11123. Shurgalina E., Pelinovsky E. Statistical moments of soliton field in shallow water//Geophysical Research Abstracts. 2013. V. 15. EGU2013-168.

11124. Shurgalina E., Pelinovsky E. Features of two-soliton interaction in shallow water // Geophysical Research Abstracts. 2013. V. 15. EGU2013-169.

11125. Pelinovsky E., Shurgalina E. Dynamics of soliton fields in the framework of modified Korteweg - de Vries equation // Geophysical Research Abstracts. 2014. V. 16. EGU2014-1451.

11126. Shurgalina E., Kimmoun O., Kharif Ch., Pelinovsky E. Experimental study of soliton interaction with a vertical wall // Geophysical Research Abstracts. 2014. V. 16. EGU2014-3950.

11127. Shurgalina E., Pelinovsky E. Soliton turbulence and freak waves in shallow water // NZCS 22ND Annual conference: Raglan 2014. P. 78.

11128. Shurgalina E„ Pelinovsky E. Freak waves in modified KdV soliton gas I I Geophysical Research Abstracts. 2015. V. 17. EGU2015-1014.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1 Линейная интерференция случайных волн и образование больших волн §1.1 Введение

§1.2 Механизм дисперсионного фокусирования как механизм формирования «волн-убийц»

§1.3 Различные формы волн-убийц при наложении волн зыби и ветровых волн § 1.4 Взаимодействие морских волн с вертикальной преградой §1.5 Заключение

Глава 2 Двухсолитонные взаимодействия в нелинейных моделях длинных волн в жидкости

§2.1 Введение

§2.2 Наблюдения солитонов в прибрежной зоне моря и основные уравнения §2.3 Двухсолитонное взаимодействие в рамках уравнения Кортевега-де Вриза §2.4 Двухсолитонное взаимодействие в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза §2.5 Заключение

Глава 3 Солитонная турбулентность в рамках интегрируемых длинноволновых моделей

§3.1 Введение

§3.2 Нелинейная динамика случайного ансамбля солитонов в рамках уравнения Кортевега - де Вриза

§3.3 Однополярный солитонный газ в рамках модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза

§3.4 Волны-убийцы в солитонных полях модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза

§3.5 Заключение

Заключение Список литературы

ШУРГАЛИНА Екатерина Геннадьевна

ДИНАМИКА АНСАМБЛЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВОЛН В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

Автореферат

Подписано к печати 20.02.2015 г. Формат 60x90 'Аб. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 14 (2015).

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН 603950, г. Н. Новгород, ул. Ульянова, 46