Влияние эффектов обрушения на трансформацию и накат длинных волн на берег

Родин, Артём Александрович

Влияние эффектов обрушения на трансформацию и накат длинных волн на берег тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Родин, Артём Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Влияние эффектов обрушения на трансформацию и накат длинных волн на берег»

Автореферат диссертации на тему "Влияние эффектов обрушения на трансформацию и накат длинных волн на берег"

005061520

Родин Артём Александрович

ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ОБРУШЕНИЯ НА ТРАНСФОРМАЦИЮ И НАКАТ ДЛИННЫХ ВОЛН НА БЕРЕГ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 Ш ¿013

Нижний Новгород - 2013

На правах рукописи

005061520

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Пелнновский Ефим Наумович

Официальные оппоненты: Доброхотов Сергей Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики природных катастроф ФГБУН «Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН».

Зайцев Андрей Иванович кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией вычислительной гидромеханики и океанографии ФГБУН «Специализированное конструкторское бюро средств автоматизации морских исследований ДВО РАН»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского»

Защита состоится «28» июня 2013 г. в J4 часов на заседании специализированного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д. 24, корп. 1, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан «24» мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., доцент

Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Динамика нелинейных волн на поверхности однородной и несжимаемой жидкости является традиционной задачей механики жидкости, и здесь можно привести несколько классических монографий по этой проблеме (Стокер, 1959; Уизем, 1977; Лайтхил, 1981). Практическая важность таких исследований обусловлена опасным характером больших морских волн, приводящим к гибели кораблей, разрушению прибрежной инфраструктуры и гибели людей. Особую опасность имеют так называемые длинные волны (их длина превышает глубину бассейна) из-за их воздействия на прибрежные населенные пункты, портовые и береговые сооружения. Ярким примером длинных волн являются волны цунами, длина которых превышает максимальную глубину океана. Последние разрушительные цунами 2004 года в Индийском океане и 2011 года в Японии привели к гибели более 300 тысяч людей и возникновению технологических катастроф при разрушении атомной электростанции. Штормовые нагоны, возникающие при прохождении циклонов, приводят к затоплению береговой зоны и гибели людей, как это было во время урагана Катрина в 2005 году в г. Новый Орлеан. Приливные боры, также являющиеся, длинными волнами, тоже представляют большую опасность. Так, например, на реке Цяньтан в Китае в 1993 году во время приливного бора погибло 59 человек. Волны, образующиеся при разрушении плотины на реках, служили причиной многочисленных жертв, как это было в Италии в 1963 году. 7 июля 2012 года, в результате сильнейших ливней произошло затопление населенных пунктов Краснодарского края реками и склоновыми стоками. Общее число насчитываемых жертв — более 170, число пострадавших — 34 тысячи человек. Оползни также служат источником длинных волн, как это произошло при сползании Печерского монастыря в Волгу в 1597 году.

Не меньшую опасность представляют волны-убийцы, среди которых тоже есть длинные волны. Волны-убийцы на поверхности моря за последние 10 лет стали предметом серьезного исследования с применением методов нелинейной теории волн. При этом обычно учитываются два главных фактора эволюции морских волн: дисперсия, связанная с разностью в скоростях распространения отдельных спектральных компонент, и нелинейность, приводящая к модуляционной неустойчивости волны и изменению скорости ее распространения. Существующие механизмы формирования волн-убийц под воздействием нелинейности и дисперсии суммированы в недавних книгах и обзорах (Куркин и Пелиновский, 2004; Garrett and Gemmrich, 2009; Kharif et al., 2009). Особенно существенной дисперсия является для волн в открытом океане, где отношение значений фазовой скорости к групповой достигает 2. Между тем, как показывает анализ наблюдаемых данных (Nikolkina and Didenkulova, 2011), большинство аварий и столкновений с волнами-убийцами происходит как раз в прибрежной зоне: в мелководной части океана и на берегу. Так, за 5 лет с 2006 по 2010 гг., 50% всех аварий, вызванных волнами-убийцами, произошло на берегу, 38.5% - на мелководье и только 11.5% в глубоководной

части океана и в открытом море. Ущерб, вызванный такими столкновениями, также несопоставимо велик именно в прибрежной зоне. В частности, из 131 смертных случая, вызванных волнами-убийцами за те же годы, 79 произошли на мелководье и 46 - на берегу. Исследование же процессов, ведущих к появлению волн-убийц в рамках теории мелкой воды, начато совсем недавно, причем только для необрушенных волн.

Процесс нелинейной трансформации волны на мелководье хорошо известен и в рамках нелинейной теории мелкой воды допускает точное аналитическое описание в виде римановой волны (Стокер, 1959; Вольцингер и др., 1989). Этот процесс, приводящий к опрокидыванию волны и последующему образованию ударной волны (бора), часто наблюдается в прибрежной зоне моря и при вхождении приливной волны в устье реки. При этом основное внимание уделяют форме волны, ее спектру и моменту обрушения (отождествляемому в рамках гиперболических уравнений мелкой воды с так называемой градиентной катастрофой). Опрокидывание волны обычно случается вблизи берега или при вхождении волны в устье реки (Пелиновский, 1982). Динамика самой обрушенной волны изучена меньше. Аналитические результаты известны только для развитого бора, в котором скорости течения по обе стороны от скачка стремятся к константам (Стокер, 1959; Вольцингер и др., 1989). В зависимости от высоты бора, реализуются разные типы ударной волны: «параболическая волна», гидравлический прыжок и волнообразный бор. В последнем случае для описания структуры ударной волны необходимо учитывать дисперсионные эффекты (например, в рамках уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса), а в первых двух — уравнения мелкой воды в дивергентной форме с соответствующими граничными условиями на разрыве. В то же время, если волна достаточно длинная, так что ударный фронт занимает малую часть волны, то ее в целом можно описывать как ударную волну, не интересуясь структурой фронта и аппроксимируя его разрывом. Изменение амплитуды бора зависит от характера волнового поля позади разрыва. В случае мало-амплитудного бора поле вне разрыва описывается по-прежнему решением в виде римановой волны, и амплитуда бора может быть найдена аналитически (Пелиновский, 1982). Здесь имеется полная аналогия с задачами нелинейной акустики (Руденко и Солуян, 1975), где подробно анализируется формирование и развитие ударной волны во втором порядке по нелинейности. Однако, как отмечается в книге (Руденко и Солуян, 1975), в третьем порядке по нелинейности ударная волна не вписывается в профиль римановой волны, и возможно возникновение отраженных волн от разрыва. Этот эффект экспериментально наблюдался в электромагнитных линиях передачи, где, однако, дисперсионные эффекты являются значительными (Воляк и др., 1975). Для волн на воде нелинейность может быть сколь угодно сильной на малой глубине, поэтому асимптотические оценки в рамках приближения слабой нелинейности не всегда являются применимыми.

эквивалентному линейному волновому уравнению, и впервые это было сделано в работе (Carrier and Greenspan, 1958). Это решение существует только, если якобиан преобразований годографа отличен от нуля, что эквивалентно существованию однозначных профилей водной поверхности. На физическом языке однозначный профиль водной поверхности означает необрушенную волну. В рамках этой теории найдено большое число аналитических решений, соответствующих накату на берег волн различной формы (солитон, гауссов или лоренцевый импульсы, синусоидальный импульс и т.п.), см., например, (Пелиновский, 1996; Диденкулова и др., 2006b; Диденкулова, Пелиновский 2008). Что же касается наката на берег волн большой амплитуды, когда волна является обрушенной, то аналитические результаты получены только для случая полностью развитого бора (Schen and Meyer, 1963). Именно поэтому актуально исследование наката одиночных волн на берег в широком диапазоне изменения их высоты, когда волна опрокидывается еще до подхода к берегу, при этом ее форма не может быть аппроксимирована полностью развитым бором. Здесь пока сделаны еще первые шаги.

Уже из перечисленного выше вытекает важность исследования влияния эффектов обрушения на трансформацию длинной волны на мелководье без ограничения на ее амплитуду. Именно эта проблема и рассматривается в диссертации.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертационной работы является изучение процесса распространения, трансформации и взаимодействия длинных нелинейных волн в мелководном бассейне с учетом обрушения. В частности, предполагается:

1. Исследовать процессы нелинейной трансформации и взаимодействия уединенных импульсов различной амплитуды и полярности на поверхности жидкости постоянной глубины в приближении мелкой воды с учетом обрушения.

2. Определить влияние эффекта обрушения на высоту наката длинной волны на плоский откос.

3. Выполнить лабораторный эксперимент по накату длинных волн различной формы на плоский откос.

Методы исследования. Основными методами настоящей диссертации являются вычислительные эксперименты. Вычислительные модели построены на основе уравнений мелкой воды со свободной поверхностью. Для реализации этих экспериментов используется современный численный пакет, позволяющий решать гиперболические системы дифференциальных уравнений методом конечных объемов, в том числе и при наличии разрывов. Для верификации результатов использовалось лабораторное моделирование.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

ударного фронта, которая распространяется в противоположную от падающей волны сторону. Показано, что появление данного эффекта возможно не только для римановых волн, но и для волн цунами в случае, когда в очаге возможны сильные горизонтальные подвижки.

2. Исследовано взаимодействие как римановых, так и ударных волн положительной полярности, и обсуждены основные особенности взаимодействия волн разных типов. Рассчитаны максимумы смещения водной поверхности в момент взаимодействия ударных волн. При малых амплитудах рассчитанные величины хорошо описываются аналитической теорией для взаимодействующих римановых волн. В случае обрушения толщина потока становится меньшей, чем предсказывается теорией для римановых волн и полностью развитого бора.

3. Показано, что обрушение волны влияет как на высоту наката, так и на время накатывания волны на берег. Нелинейно деформированная или обрушенная одиночная волна движутся быстрее, чем волна с гладким профилем. Высота наката возрастает, если к откосу подходит нелинейно деформированная волна или ударная волна в начальной стадии.

4. В ходе экспериментов, выполненных в большом лабораторном лотке Ганноверского университета, подтверждено влияние асимметрии падающей волны на высоту её наката на берег, приводящее к тому, что крутые волны проникают вглубь побережья на большие расстояния.

5. В рамках лабораторного эксперимента показано, что ширина спектра падающей волны мало влияет на распределение максимумов высот наката нерегулярных волн на берег. Максимумы высот накатов волн для спектров различной ширины достаточно хорошо описываются распределением Рэлея.

Положения, выносимые на защиту

1. Новый нелинейный эффект «обратной» волны, возникающей при формировании ударного фронта, которая распространяется в противоположную от падающей волны сторону.

2. Сценарии нелинейной трансформации и взаимодействия уединенных импульсов различной амплитуды и полярности на поверхности жидкости постоянной глубины в приближении мелкой воды с учетом обрушения.

3. Влияние эффекта обрушения на высоту наката длинной волны на плоский откос.

4. Влияние асимметрии длинных волн на высоту их наката на берег постоянного наклона, а также влияние ширины спектра падающей волны на распределение максимумов высоты наката

Достоверность полученных результатов

Достоверность численного моделирования в вычислительных экспериментах подтверждается работами (LeVeque and George, 2006; Gonzalez et al., 2011), где дано полное тестирование используемого программного пакета. Результаты лабораторных экспериментов использовались для подтверждения предложенных теоретических оценок влияния асимметрии волны и ширины волнового спектра на характеристики наката волн на откос.

Практическая значимость результатов работы

Полученные в работе результаты могут применяться для изучения природных процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Предсказанный новый эффект образования обратной волны при формировании ударного фронта позволит выполнить тестирование имеющихся программ решения геофизических задач с помощью уравнений мелкой воды. Полученные расчетные зависимости высоты наката волны на берег могут быть использованы для экспресс-оценок высот цунами. Результаты лабораторного моделирования наката нерегулярных волн на берег важны для оценки прогнозирования затопления берега ветровыми волнами.

Публикации и вклад автора.

Основные результаты диссертации опубликованы в 23 научных работах, 6 из которых - статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК, 2 - статьи в рецензируемых журналах, 14 - тезисы докладов на российских и международных конференциях. Во всех работах автору принадлежит частичная постановка вычислительных экспериментов, обработка результатов вычислительных экспериментов, их интерпретация и участие в написании статей. В лабораторном эксперименте на Ганноверском волновом канале, автор участвовал во всех этапах от подготовки до обсуждения результатов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2011 - 2013); XVII - XIX Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2011 - 2013); XI Международной молодежной научно-технической конференций «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2012); 8th Baltic Sea Science Congress (Санкт-Петербург, 2011); 12th International Coastal Symposium (Плимут, Великобритания, 2013); 6th International Conference "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives" (Новосибирск, 2012); летней школе Gene Golub SIAM Summer School 2012 «Simulation and Supercomputing in the Geosciences» (Монтерей, США, 2012).

Результаты диссертации докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 121 страница, включая 70 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 является в основном вводной, и она посвящена изложению теории мелкой воды и численным программам, решающим эти уравнения. В §1.2 обсуждаются различные формы уравнений нелинейной теории мелкой воды и их связь с фундаментальными законами сохранения массы и количества

движения. В §1.3 приведено описание, возможности и общие принципы работы программной среды CLAWPACK, которая использовалась для численного моделирования и изучения длинноволновых процессов в мелкой воде в данной диссертации. CLAWPACK (Conservation LAWs PACKage) - программный комплекс, разработанный профессором Рэнделом Левеком, написанный на языке Fortran и основанный на методе Годунова, позволяет решать динамические задачи с разрывами параметров внутри расчетной области. В §1.4 описаны вычислительные трудности, с которыми пришлось столкнуться, а также их решения в рамках данной работы. Также здесь приведены результаты тестирования программного пакета и указаны ссылки на экспериментальные тесты. В §1.5 приводятся некоторые данные о наблюдениях ударных волн (боров) в природных водоемах. В отличие от акустики, где нелинейная трансформация волны часто приводит к образованию ударного фронта (если малы потери и достаточно времени или расстояния на проявление нелинейных эффектов), в жидкости «работает» еще и дисперсия, которая препятствует обрушению волны. В результате, на воде наблюдаются как обрушенные волны (гидравлические боры), так и волнообразные боры с гладкой структурой. Критерии перехода между различными борами, активно обсуждаемые в литературе, воспроизводятся здесь, что позволяет отобрать физически значимые результаты расчетов, выполненных только в рамках теории мелкой воды без учета дисперсии. Показано, что два этих случая различаются значением отношения глубин самого бора и воды, движущейся впереди него Я/А (здесь Н — полная высота бора за ударным фронтом, отсчитываемая от дна; h — глубина водоёма перед бором). Из приведенных критериев следует, что боры с перепадом высот Я/А > 1.5 могут описываться теорией мелкой воды без учета дисперсии.

В главе 2 выполнен анализ процесса формирования и эволюции ударной волны на мелководье без ограничения на ее амплитуду в рамках теории мелкой воды, основные уравнения которой имеют вид

дН 8Ни „

—+-= 0,

at дх (1)

ВНи д ... 2 1 ,г2ч

где Н— полная глубина бассейна, складывающаяся из невозмущенной глубины бассейна h(x) и смещением водной поверхности tj(x,t)', и — горизонтальная компонента поля скорости, х — горизонтальная координата, g - ускорение свободного падения. Главной целью этой главы является обсуждение основных сценариев взаимодействия длинных волн, которые могут привести к появлению волн-убийц на мелкой воде с учетом эффектов сильной нелинейности и обрушения. В §2.2 рассмотрена трансформация римановой волны отрицательной полярности (впадины) в ударную. Показано, что если впадина глубока, так что

Я<Я„=|А, (2)

то скорость распространения впадины становится отрицательной. В этом случае разные участки волнового профиля распространяются в разные стороны, так что ударная волна образуется практически мгновенно, и появляется «обратная» волна отрицательной полярности, движущаяся в противоположном направлении от главной. В работе рассмотрена эволюция начальной впадины различной амплитуды (от 0.2 м до 0.9 м) при глубине бассейна 1 м. Форма начальных импульсов задавалась формулой

Я0(*) = й

1-4, ех]

-к

(3)

скорость течения в котором определяется, так чтобы волна распространялась в одну сторону. Коэффициент А0 здесь отвечает за амплитуду волны. В последующих расчетах характерный «полу-размер» импульса 1= 142 м, так что приближение длинных волн выполняется. Трансформация волны с амплитудой 0.8 м (А0 =0.8) иллюстрируется соответственно рис. 1 для различных моментов времени, где наблюдается новый эффект: формирование отраженной волны от разрыва в бегущей волне.

—0,8

5.0.6 х 0.4

0.2 -4

198 с

-1 О х(км)

__0.8 |0.6 0.4 0.2 -4

998 с

-3 -2

0 12 3 4 х(км)

Рис. 1 Эволюция сильно нелинейной ударной волны, начальная амплитуда

волны 0.8 м

Здесь, при формировании ударного фронта, часть волны «срывается» и распространяется в противоположную сторону. Как видно, при больших амплитудах отраженная волна также трансформируется в ударную.

В §2.3 изучено однонаправленное взаимодействие волн с учетом указанных выше нелинейных эффектов. Рассчитано несколько случаев взаимодействия волн с различными высотами и длинами импульсов. Приведем здесь один из примеров, когда начальные импульсы имеют одинаковую амплитуду (А0 =0.8), и ведущий импульс имеет меньшую ширину (0.9 км), по сравнению с 2.8 км шириной у отстающего (рис. 2). Ведущий импульс формирует ударный фронт и генерирует отраженную волну первым, а далее начинает распространяться как ударная волна, уменьшаясь по амплитуде.

5 10 х, км

Рис. 2 Нелинейное взаимодействие волновых впадин разной ширины и одинаковой амплитуды.

В результате, когда отстающая волна превращается в ударную, амплитуда ведущей волны стала уже заметно меньше. Отраженная от отстающего импульса волна (которая тоже становится ударной) больше и шире, чем волна, отраженная от лидирующего импульса. Эффект формирования отраженной волны, влияет на однонаправленное взаимодействие двух волн разной амплитуды и ширины (рис. 2). При распространении волны сливаются в один импульс, оставляя за собой отраженные волны, которые, в случае случайного поля, в свою очередь, будут взаимодействовать с другими падающими волнами, движущимися во встречном направлении.

В §2.4 проведено численное исследование взаимодействие длинных волн со стенкой. Результаты сравниваются с теоретическими предсказаниями. В частности, с линейной теорией, где амплитуда волны на стенке Н„ равна удвоенной высоте падающей волны Нщ

-1.

(4)

Л А

Для нелинейных волн без обрушения тоже есть связка максимальных значений толщины водного потока вдали от берега и на стенке' Я„. Она приведена в (Пелиновский, 1996):

И,

= 1 + 4

(5)

Нт 1Н<*

А V А

Из этого выражения видно, что высота волны на стенке нелинейно растет с увеличением высоты падающей волны. Высота всплеска с позиций бесконечно протяженного бора, накатывающегося на стенку (Стокер, 1959):

я, А

1+,1-2

Я,.

V Л

(6)

Пример формирования ударной волны при ее подходе к стенке и взаимодействие обрушенной волны со стенкой, расположенной ві = 0, показан на рис. 3. Начальная амплитуда волны составляла 0.9 м. Через 612 с, при подходе волны к стенке, ее амплитуда упала до 0.7 м.

Ос

2.5

.. 2 I

: 1.5

2 3 х(км)

2.5 _ 2

2 3 х(ки)

1648 с

2 3 х(км)

Рис. 3 Взаимодействие со стенкой волны с начальной амплитудой 0.9 м

На рис. 4 отражены все три описанные теоретические зависимости, а также приведены результаты численного расчета для различных начальных высот волн. Видно, что при небольшой высоте подходящего потока все три теоретические кривые достаточно близки. С увеличением высоты потока начинает сказываться нелинейность, и это ведет к отличию нелинейного решения и решения для бесконечно протяженного бора от линейного.

Юг

Рис. 4 Максимальный уровень воды на стенке, рассчитанный по формулам (4) (пунктирная линия), (5) (штриховая линия), (б) (сплошная линия) и рассчитанным

численно (квадраты)

Однако, сами решения (кроме линейного) демонстрируют очень хорошее совпадение вплоть до Яи/й = 2, после чего они начинают постепенно расходиться. В проведенном численном расчете на стенку накатывалась ударная волна с ограниченной протяженностью, поэтому формула для бесконечно протяженного бора дает слегка завышенную оценку для этого случая.

В §2.5 анализируется встречное взаимодействие уединенных волн большой амплитуды в мелководном бассейне. Приведем здесь случай столкновения волн с ударными фронтами (рис. 5). Амплитуды начальных импульсов равны 0.9 м, а расстояние между ними - 6.6 км. К моменту столкновения ударный фронт на каждой волне успевает сформироваться полностью, и высота волн начинает падать (рис. 5), так что амплитуды обеих волн непосредственно перед взаимодействием равны 0.7 м.

осек

300 сек

2.5[

_ 2

Ї1.5І

1Н

2.5!_ 2:

-2

0 2 х(км.) 1650 сек

2.5 „ 2 11,5

-6

-2

х(км)

Рис. 5. Взаимодействие двух уединенных волн с начальной амплитудой 0.9 м.

Для теоретической оценки высоты «пика» при столкновении ударных волн воспользуемся законами сохранения массы и момента (Вольцингер и др., 1989):

(с-и)(А + £,) = сЛ;

(7)

где с — скорость движения подходящего бора, и - скорость потока за фронтом ударной волны, с — скорость бора после взаимодействия, — начальная высота возмущения, а — искомая нами высота потока в момент взаимодействия. Эта система хорошо аппроксимирует случаи взаимодействия ударных волн относительно большой амплитуды (£, ¿ЗА). В случае же бора малой амплитуды

поток становится неустойчивым, и для его описания надо пользоваться теорией волнообразного бора.

Взаимодействие римановых волн одинаковой амплитуды исследовалось аналитически также в работе (Пелиновский, 1982), в которой представлена оценка высоты всплеска при столкновении двух идентичных волн

где Аиан - амплитуда волны, непосредственно перед столкновением.

Максимум толщины потока в момент взаимодействия составляет 2.6 м. Если вычесть невозмущенную глубину в 1 м, то получаем оценку высоты волны в момент столкновения 1.6 м. Высота необрушенной волны, вычисляемая по формуле из (7) с такими начальными условиями будет равна также 1.6 м, и высота по формуле из (8) - 1.6 м. Линейная же теория предсказывает 1.4 м. Различие с предсказаниями нелинейной теории связано с «переходной» формой ударной волны, которая не может быть описана формой развитого бора. При малых амплитудах рассчитанные величины хорошо описываются результатами аналитической теории для взаимодействующих римановых волн. В случае обрушения из-за диссипации энергии на фронте ударных волн, толщина потока становится меньшей, чем предсказывается теорией для римановых волн и полностью развитого бора.

В §2.6 задача взаимодействия волн интерпретируется как задача об эволюции произвольного начального возмущения, что может оказаться важным для описания нелинейных эффектов для волн цунами в очаге. При этом начальные условия должны включать как смещение уровня воды в очаге, так и поле скорости частиц в нем.

Получено решение нелинейных уравнений, учитывая оба начальных условия, как на смещение водной поверхности Н0(х), так и на начальную скорость частиц и0(х). Для упрощения расчетов принята следующую аппроксимацию поля скорости в очаге

где а - произвольное число, изменяемое от 0 до 1. В предельном случае {а = 0), нулевая скорость соответствует поршневой подвижке, когда генерируются волны в обе стороны от очага, а во втором (а = 1) - точному возмущению в римановой волне. Промежуточные значения а позволяют получить волны, распространяющиеся в разные стороны с разным "весом".

На рис. 6а показана форма волны в момент времени 320 с при начальной впадине 0.5 м. Как видим, нелинейные эффекты здесь весьма заметны, и рассчитанные амплитуды впадин (0.27 м) превышают линейные значения (0.25 м). Расчеты по нелинейным формулам приводят к той же амплитуде волн (0.27 м), что и в расчетах. Ясно видно, что волна преобразовалась в ударную практически сразу после выхода из очага и далее она распространяется, уменьшаясь по амплитуде (мы не приводим здесь соответствующих картинок). При увеличении амплитуды впадины до 0.9 м (рис. 66) амплитуда волны в расчетах (0.56 м) остается близкой к "нелинейному" значению (0.57 м), хотя

(8)

(9)

здесь нелинейные эффекты максимальны, и ударные волны формируются еще в очаге. И в том и другом случае волновое поле далеко от линейного, представленного штриховой линией на рис. 6.

320 с 320 с

х(км) х(км)

а) А0 = 0.5 б) А0 = 0.9

Рис. 6 Формирование волнового поля при а=0. Черная сплошная линия -численный расчет, штриховая - линейная теория

Увеличение глубины начального "провала" при большой начальной скорости ведет к формированию сильной ударной волны идущей вправо, при этом её фронт сформировался в "левой" части очага (см. рис. 7, где профили волны построены для различных моментов времени 145, 170, 220 и 720 с). В тоже время, на рисунке видны две "левые" волны, впереди бежит малая волна амплитуды 0.07 м (ее значение совпадает с предсказанным), а затем существенно большая волна с амплитудой 0.17 м. Разделение "левой" волны на две хорошо видно на рис. 8 в увеличенном масштабе. Природа второй волны связана с отражением от фронта ударной волны, и этот процесс обсуждался выше.

Начальные условия соответствовали римановой волне, двигающейся в сторону берега, на ровном дне. В последующих расчетах мы фиксировали начальную форму волны в виде положительного Гауссового импульса:

Н0(х) = Ае,-/1^)') + И , (10)

где А — амплитуда волны (менялась от 0.1 м до 2.5 м), расстояние Хо - в расчетах мы используем равным 210 м, параметр р=0.005 м" подбирался так, чтобы изначально заданный импульс находится в непосредственной близости к откосу.

145 с 170 с

-6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6

х(км) х(кы)

Рис. 7 То же, что на рис. 6 при а = 0.9 и А0 = 0.9 14

220 с

х(км)

Рис. 8 То же, что на рис. 6 при а=0.9 и Ао=0.9 (увеличенный масштаб)

Глава 3 посвящена изучению наката длинных волн на берег. В §3.2 приведены численные расчеты наката необрушенных и обрушенных одиночных волн на плоский откос (рис. 9).

Рис. 9 Эскиз геометрии канала для рассматриваемой проблемы наката.

В численных расчетах рассматривались случаи наката волны, амплитуда которой в начальной момент времени была равна 0.1 м, 0.5 м, 1.5 м и 2.5 м. В последнем варианте начальная высота волны экстремально велика - 2.5 м (рис. 10). Разница в амплитудах накатывающейся и отраженной волн ясно видна на

Рис. 10 Накат 2.5 метровой одиночной волны на берег с наклоном 1/6 в различные моменты времени.

I_I_1_j_,_[_I_I_3

220 230 240 250 260 270 280 290 300 M

Рис. 11 Изменение высоты волны в процессе наката волны на берег и отражения от него. Начальная высота волны равна 2.5 м. Сплошная линия соответствует накату волны, пунктирная - откату.

§3.3 содержит результаты лабораторных исследований (проведенных в большом волновом канале (GWK), в г. Ганновер, Германия) влияния асимметрии и нелинейности падающих волн на их накат на плоский пляж. Волны асимметричной формы, с крутизной переднего склона превышающей крутизну заднего склона, естественно формировались в бассейне постоянной глубины. Форма волны при этом постепенно деформируется из-за разницы в скоростях гребня и впадины, так что волна приобретает и увеличивает асимметрию по мере распространения. В результате, подходящая к пляжу волна часто имеет очень крутой фронт. Свойства наката таких асимметричных волн на плоский откос существенно отличаются от свойств наката от симметричных волн. Безразмерные амплитуды наката и отката (нормированные максимальной амплитудой наката) ведут себя по-разному и становятся функциями крутизны волны (нормированной начальной крутизной синусоиды). Амплитуда отката слабо зависит от крутизны волны. Отличия откатов, вызванных синусоидальными волнами с различной степенью асимметрии, составляют не более 30%. Высота наката R+, однако, сильно зависит от крутизны волны и аппроксимирована в работе (Диденкулова и др., 2006а)

где Rmax - это максимум амплитуды подходящей волны, Ао - начальная амплитуда синусоидальной волны, Х- длина волны (период синусоиды), L -

расстояние от начала склона до водной кромки на берегу, s - max(—) - крутизна

дх

фронта волны, s„ = та- начальная крутизна волны (у волнопродуктора). дх

Значения максимальных высот наката и глубин отката показаны на рис. 12 Разброс измеренных данных по отношению к теоретическим характеризовался стандартной формулой квадратичной ошибки

где и Я"1 являются экспериментальными и теоретическими значениями высот наката, соответственно, а N представляет собой число измерений. Отклонение составляет менее 0,03 для измерений высот наката и менее 0,09 для измерений глубины отката, что показывает хорошее совпадение между теорией и экспериментом.

Рис. 12 Теоретическая зависимость безразмерных величин максимумов наката, Я+ (сплошная линия) и минимумов отката Я. (пунктирная линия) от крутизны падающей волны, кружки и ромбы соответствуют экспериментальным

данным.

В §3.4 описаны статистические характеристики движущегося уреза на основе экспериментов, проведенных в большом волновом канале (GWK), в городе Ганновер, Германия. Одной из основных идей этого исследования являлось исследование изменения статистики высоты наката случайного волнения на берег в зависимости от параметров падающей волны (нелинейности падающего волнения и ширины спектра). Экспериментально изучался накат нерегулярных волн на плоский откос для трех различных высот волн с соответствующим узкополосным спектром, а также более широкополосным полем падающих волн. Характерный период волн был ~20 с.

Показано, что разница в результатах между рассматриваемыми спектрами мала и, в целом, распределение Рэлея достаточно хорошо описывает амплитуды наката волн не только для узкополосного спектра сигнала, но даже для широкополосного, что согласуется с теоретическими результатами, полученными в (Диденкулова и др., 2010).

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Показано, что при нелинейной трансформации римановой волны отрицательной полярности (впадины) возможно возникновение нового

нелинейного эффекта — «обратной» волны, возникающей при формировании ударного фронта, которая распространяется в противоположную от падающей волны сторону. Показано, что появление данного эффекта возможно не только для римановых волн, но и для волн цунами в случае, когда в очаге возможны сильные горизонтальные подвижки.

2. Продемонстрировано взаимодействие как римановых, так и ударных волн положительной полярности и обсуждены основные особенности взаимодействия волн разных типов. Рассчитаны максимумы смещения водной поверхности в момент взаимодействия ударных волн. При малых амплитудах рассчитанные величины хорошо описываются аналитической теорией для взаимодействующих римановых волн. В случае обрушения толщина потока становится меньшей, чем предсказывается теорией для римановых волн и полностью развитого бора.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский E.H. Длинноволновая динамика прибрежной зоны // Л.: Гидрометеоиздат. 1989. 272 с.

2. Воляк К.И., Горшков A.C., Руденко О.В. О возникновении обратных волн в однородных нелинейных средах // Вестник МГУ. Сер. Физика, астрономия. № 1. 1975. С. 32-36.

3. Диденкулова И.И., Заибо Н., Куркин A.A., Левин Б.В., Пелиновский E.H., Соомере Т. Накат нелинейно деформированных волн на берег // Доклады Академии Наук. Т. 410. № 5. 2006а. С. 676-679.

4. Диденкулова И.И., Заибо Н., Куркин A.A., Пелиновский E.H. Крутизна и спектр нелинейно деформируемой волны на мелководье // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. Т. 42. No. 6. 2006b. С. 839-842.

5. Диденкулова И.И., Пелиновский E.H. Накат длинных волн на берег: влияние формы подходящей волны // Океанология. Т. 48. № 1. 2008. С. 5-10.

6. Диденкулова И.И., Пелиновский E.H., Сергеева A.B., Гурбатов С.Н. Статистические оценки характеристик наката длинных волн на берег // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. № 46. 2010. С. 571—574.

7. Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование // Нижний Новгород: ННГУ. 2004. 157 с.

8. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях // М.: Мир. 1981. 598 с.

9. Пелиновский Е.Н. Гидродинамика волн цунами // Нижний Новгород, ИПФ РАН. 1996. 276 с.

Ю.Пелиновский Е.Н. Нелинейная динамика волн цунами // Горький, ИПФ АН СССР. 1982. 226 с.

П.Руденко О., Солуян С. Теоретические основы нелинейной акустики // М.: Наука. 1975. 384 с.

12.Стокер Дж. Дж. Волны на воде // М.:ИЛ. 1959. 618 с.

13.Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны // М.: Мир. 1977. 622 с.

14.Carrier G.F., Greenspan Н.Р. Water waves of finite amplitude on a sloping beach // J. Fluid Mech. V. 4. 1958. P. 97 - 109.

15.Garrett C., Gemmrich J. Rogue Waves // Physics Today. V.62. № 6. 2009. P. 6263.

16.Kharif Ch., Pelinovsky E., Slunyaev A. Rogue Waves in the Ocean // Springer. 2009.216 р.

17.Leveque R.J., George D.L. High-resolution finite volume methods for the shallow water equations with bathymetry and dry states // WSPC. V. 10. 2007. P. 43-73.

18.Gonzalez F. I., LeVeque R. J., Chamberlain P., Hirai В., Varkovitzky J., George D. L. Validation of the GeoClaw model // Tech. Report prepared for the National Tsunami Hazard Mitigation Program [Электронный ресурс]. URL: http://www.http://depts.washington.edu/clawpack/links/nthmp-benchmarks/

19.Nikolkina I., Didenkulova I. Rogue waves in 2006-2010 II Natural Hazards and Earth System Science. V.ll. 2011. P. 2913-2924.

20.Shen M.C., Meyer R.E. Climb of a bore on a beach. Part 3. Run-up // J. Fluid Mech. V.16. №1. 1963. P. 113-125.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

РА 1. Пелиновский Е.Н., Родин А.А. Нелинейная деформация волны большой амплитуды на мелководье // Доклады Академии Наук. 2011. Т. 438. № 3. С. 337-340.

РА 2. Пелиновский Е.Н., Родин А.А. Трансформация сильно нелинейной волны в мелководном бассейне // Известия РАН Физика атмосферы и океана. 2012. Т. 48, № 2. С. 1-7.

РА 3. Диденкулова И.И., Пелиновский Е.Н., Родин А.А. Формирование экстремальных волн на мелкой воде с учетом обрушения // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2012. Т. 5. № 1. С. 89-98.

РА 4. Родин А.А., Диденкулова И.И., Пелиновский Е.Н. Взаимодействие уединенных волн большой амплитуды в мелководном бассейне // Фундаментальные исследования. 2012. № 11(9). С. 710-714.

PA 5. Denissenko P., Didenkulova I., Rodin A., Listak M., Pelinovsky E. Experimental statistics of long wave runup on a plane beach //Journal of Coastal Research. 2013. SI 65, P. 195-200.

PA 6. Didenkulova I., Denissenko P., Rodin A., Pelinovsky E. Effect of asymmetry of incident wave on the maximum runup height // Journal of Coastal Research. 2013. SI 65, P. 207-212.

Статья в трудах международной конференции:

РА 7. Пелиновский Е.Н., Николкина И.Ф., Родин А.А. Нелинейные волны в медленных гравитационных потоках на склоне // Труды II международной заочной научно-практической конференции «Человек: Наука, Техника и Время». 2009. Ульяновск. С. 197-200.

Статья в рецензируемом журнале:

РА 8. Родин А.А. Численные расчеты наката обрушенных одиночных волн на плоский откос // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева. 2013. № 1(98). С. 36-43.

Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

РА 9. Pelinovsky Е., Slunyaev A., Didenkulova I., Kharif Ch., Talipova Т., Sergeeva A., Shurgalina E., Rodin A. Rogue waves in the ocean as a part of marine natural hazards // Programme and Abstract Book: Le Gosier: Universite des Antilles et de la Guyane,19th Caribbean Geological Conference: Guadeloupe. 2011. P. 74.

PA 10. Rodin A., Pelinovsky E. Large-amplitude simple and shock waves in shallow water // Geophysical Research Abstracts. 2011. V. 13. EGU2011-62.

PA 11. Rodin A., Pelinovsky E. Transformation of large-amplitude nonlinear wave in shallow water // Book of abstracts. 8th Baltic Sea Science Congress, RSHU, St. Petersburg, Russia. 2011. P. 270.

PA 12. Родин A.A., Чайковская H.A. Исследования эволюции волн большой амплитуды в рамках уравнений мелкой воды и их значение для обеспечения безопасности людей в экстремальных ситуациях // Материалы международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2011)» Н. Новгород: Изд-во Hi ТУ, 2011. С. 420.

РА 13. Rodin A., Didenkulova I., Pelinovsky Е. Nonlinear interaction of large-amplitude unidirectional waves in shallow water // Geophysical Research Abstracts. 2012. V. 14. EGU2012-112.

PA 14. Didenkulova I., Pelinovsky E., Rodin A. Formation of shallow water rogue waves taking into account wave breaking effects // Geophysical Research Abstracts. 2012. V. 14. EGU2012-113.

PA 15. Родин А.А., Диденкулова И.И., Пелиновский E.H. Экстремальные волны на мелкой воде // Сборник материалов XI Международной молодежной научно - технической конференции «Будущее технической науки». Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2012. С. 425 - 426.

PA 16. Родин А.А. Взаимодействие однонаправленных мелководных волн И Материалы международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2012)» Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2012. С. 360.

РА 17. Pelinovsky Е., Slunyaev A., Didenkulova I., Sergeeva A., Talipova Т., Nikolkina I., Rodin A., Shurgalina E. Shallow rogue waves: observations, laboratory experiments, theories and modeling. // 6th International Conference "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives". The Conference Program & Proceedings. Russia, Novosibirsk. 2012. P. 112-113.

PA 18. Родин А.А. Динамика волн цунами в очаге // Материалы международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2013)». 2013. Н. Новгород: Изд-во НГТУ. С. 406.

РА 19. Родин А.А., Пелиновский Е.Н., Талипова Т.Г., Куркин А.А. Оценки параметров волны прорыва возникающей вследствие разрушения плотины Горьковской ГЭС // Материалы международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2013)». 2013. Н. Новгород: Изд-во НГТУ. С. 407.

РА 20. Диденкулова И.И., Денисенко П.В., Родин А.А. Исследование влияния асимметрии падающей волны на максимальную высоту наката // Материалы международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2013)». 2013. Н. Новгород: Изд-во НГТУ. С. 397.

РА 21. Didenkulova I., Denissenko P., Rodin A., Pelinovsky E. Statistics of long wave runup on a plane beach, based on data from the Large Wave Flume (GWK), Hannover, Germany // Geophysical Research Abstracts. 2013. V. 13. EGU2013-3641.

PA 22. Pelinovsky E., Rodin A. Nonlinear wave transformation in shallow water taking into account the wave breaking effect // Geophysical Research Abstracts. 2013. V. 13. EGU2013-1764.

PA 23. Didenkulova I., Denissenko P., Listak M., Rodin A., Pelinovsky E.

Effect of wave asymmetry on its runup on a beach // Book of abstracts.

International Coastal Symposium. 2013. P. 370.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1 Нелинейная теория мелкой воды: основные сведения и численные модели § 1.1. Введение

§ 1.2. Уравнения нелинейной теории мелкой воды

§ 1.3 .Моделирование уравнений мелкой воды с помощью программного пакета СЬА\УРАСК

§ 1.4. Проблемы численного решения уравнений мелкой воды § 1.5. Типы обрушения мелководных волн в натурных условиях § 1.6. Заключение

Глава 2 Нелинейная трансформация длинной волны в ударную в бассейне с постоянной глубиной §2.1. Введение

§ 2.2 Трансформация римановой волны в ударную

§ 2.3. Однонаправленное взаимодействие нелинейных волн

§ 2.4. Нелинейное взаимодействие длинных волн со стенкой

§ 2.5. Встречное взаимодействие волн большой амплитуды в мелководном

бассейне

§ 2.6. Нелинейные эффекты в динамике волн цунами в очаге § 2.7. Заключение

Глава 3 Накат волн на берег. Численные и натурные эксперименты §3.1. Введение

§3.2. Численные расчеты наката обрушенных одиночных волн на плоский откос

§3.3. Влияние асимметрии падающей волны на максимальную высоту наката §3.4. Экспериментальное исследование наката нерегулярных волн на плоский откос

§3.5. Заключение Заключение Список литературы

Подписано в печать 24.05.13. Формат 60 х 84 VI б. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 432.

Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева. Типография НГТУ. 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Родин, Артём Александрович, Нижний Новгород

нижегородским государственный техническим университет

04201360626

На правах рукописи

Родин Артём Александрович

ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ОБРУШЕНИЯ НА ТРАНСФОРМАЦИЮ И НАКАТ ДЛИННЫХ ВОЛН НА БЕРЕГ

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук профессор Е. Н. ПЕЛИНОВСКИЙ

Нижний Новгород - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...........................................................................................................................3

ГЛАВА 1

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ МЕЛКОЙ ВОДЫ: ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ 15

§11. Введение 15

§ 1.2. Уравнения нелинейной теории мелкой воды 16

$ 1.3.Моделирование уравнений мелкой воды с помощью программного пакета

СЬАУУРАСК.........................................................................................................................23

§1.4. Проблемы численного решения уравнений мелкой воды....................................28

£ 1.5. Типы обрушения мелководных волн в натурных условиях.................................3.3

^ 1.6. Заключение.................................................................................................................4.3

ГЛАВА 2

НЕЛИНЕЙНАЯ ТРАНСФОРМАЦИЯ ДЛИННОЙ ВОЛНЫ В УДАРНУЮ В БАССЕЙНЕ С ПОСТОЯННОЙ ГЛУБИНОЙ 44

§ 2.1. Введение......................................................................................................................44

§2.2 Трансформация римановой волны в ударную........................................................45

$ 2.3. Однонаправленное взаимодействие нелинейных волн 55

§2 4. Нелинейное взаимодействие длинных вочн со стенкой.....................................66

$ 2.5. Встречное взаимодействие волн большой амплитуды в мелководном

бассейне................................................................................................................................73

$ 2.6. Нелинейные эффекты в динамике волн цунами в очаге.....................................78

$ 2.7. Заключение................................................................................................................85

ГЛАВА3

НАКАТ ВОЛН НА БЕРЕГ. ЧИСЛЕННЫЕ И НАТУРНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.......................................................................................................87

§3 1 Введение.......................................................................................................................87

§3.2. Численные расчеты наката обрушенных одиночных волн на плоский откос 88

§3.3. Влияние асимметрии падающей волны на максимальную высоту наката.....96

§3 4. Экспериментальное исследование наката нерегулярных волн на плоский

откос.....................................................................................................................................104

§3.5 Заключение..................................................................................................................113

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................................1.14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 115.

Введение

Актуальность проблемы

Динамика нелинейных волн на поверхности однородной и несжимаемой жидкости является традиционной задачей механики жидкости, и здесь уместно привести несколько классических монографий по этой проблеме (Стокер, 1959; Кочин, 1963; Уизем, 1974; Сретенский, 1977; Лайтхил, 1981; Седов, 2004). Практическая важность таких исследований обусловлена опасным характером больших морских волн, приводящим к гибели кораблей, разрушению прибрежной инфраструктуры и гибели людей. Особую опасность имеют так называемые длинные волны (их длина превышает глубину бассейна) из-за их воздействия на прибрежные населенные пункты, портовые и береговые сооружения. Ярким примером длинных волн являются волны цунами, длина которых превышает глубину океана. Последние разрушительные цунами 2004 года в Индийском океане и 2011 года в Японии привели к гибели более 300 тысяч людей и возникновению технологических катастроф при разрушении атомной электростанции. Штормовые нагоны, возникающие при прохождении циклонов, приводят к затоплению береговой зоны и гибели людей, как это было во время урагана Катрина в 2005 году в г. Новый Орлеан. Волны, образующиеся при разрушении плотины на реках, служили причиной многочисленных жертв, как это было в Италии в 1963 году. Оползни также служат источником длинных волн (РА7), как это произошло при сползании Печерского монастыря в Волгу в 1597 году. Приливные боры, также являющиеся, длинными волнами, тоже представляют большую опасность. Так, например, на реке Цяньтан в Китае в 1993 году во время приливного бора погибло 59 человек.

Не меньшую опасность для жизни людей представляют волны-убийцы, среди которых тоже есть длинные волны. Волны-убийцы на поверхности моря за последние 10 лет стали предметом серьезного исследования с применением методов нелинейной теории волн. При этом обычно учитываются два главных фактора эволюции морских волн: дисперсия, связанная с разностью в скоростях распространения отдельных спектральных компонент, и нелинейность, приводящая к модуляционной неустойчивости волны и изменению скорости ее

распространения. Существующие механизмы формирования волн-убийц под воздействием нелинейности и дисперсии суммированы в недавних книгах и обзорах (Куркин и Пелиновский, 2004; Dysthe et al., 2008; Kharif et al., 2009; Garrett and Gemmrich, 2009). Особенно существенной дисперсия является для волн в открытом океане, где отношение значений фазовой скорости к групповой достигает 2. Между тем, как показывает анализ наблюдаемых данных (Nikolkina and Didenkulova, 2011), большинство аварий и столкновений с волнами-убийцами происходит как раз в прибрежной зоне: в мелководной части океана и на берегу. Так, за 5 лет с 2006 по 2010 гг., 50% всех аварий, вызванных волнами-убийцами, произошло на берегу, 38.5% - на мелководье и только 11.5% в глубоководной части океана и в открытом море. Ущерб, вызванный такими столкновениями, также несопоставимо велик именно в прибрежной зоне. В частности, из 131 смертных случая, вызванных волнами-убийцами за те же годы, 79 произошли на мелководье и 46 - на берегу. Исследование же процессов, ведущих к появлению волн-убийц в рамках теории мелкой воды, начато совсем недавно, причем только для необрушенных волн (Pelinovsky et al., 2008; Didenkulova and Pelinovsky, 2011; Didenkulova et al., 2011).

Процесс нелинейной трансформации волны на мелководье хорошо известен и в рамках нелинейной теории мелкой воды допускает точное аналитическое описание в виде римановой волны (Стокер, 1959; Шулейкин, 1968; Пелиновский, 1982; Вольцингер и др., 1989; Арсеньев и Шелковников, 1991; Диденкулова и др., 2006; Zahibo et al., 2008). Этот процесс, приводящий к опрокидыванию волны и последующему образованию ударной волны (бора), часто наблюдается в прибрежной зоне моря и при вхождении приливной волны в устье реки (Favre, 1935; Накамура, 1973; Tsuji et al. 1991). При этом основное внимание уделяют форме волны, ее спектру и моменту обрушения (отождествляемому в рамках гиперболических уравнений мелкой воды с так называемой градиентной катастрофой). Опрокидывание волны обычно случается вблизи берега или при вхождении волны в устье реки (Пелиновский, 1982; Tsuji et al., 1991; Пелиновский и Трошина, 1993; Wu and Tian, 2000; Caputo and Stepanyants, 2003; Zahibo et al., 2006; Zahibo et al., 2008). Динамика самой обрушенной волны изучена меньше.

Аналитические результаты известны только для развитого бора, в котором скорости течения по обе стороны от скачка стремятся к константам (Стокер, 1959; Волыдингер и др., 1989; Курант и Фридрихе, 1950). В зависимости от высоты бора, реализуются разные типы ударной волны: «параболическая волна», гидравлический прыжок и волнообразный бор. В последнем случае для описания структуры ударной волны необходимо учитывать дисперсионные эффекты (например, в рамках уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса), а в первых двух -уравнения мелкой воды в дивергентной форме с соответствующими граничными условиями на разрыве. В то же время, если волна достаточно длинная, так что ударный фронт занимает малую часть волны, то ее в целом можно описывать как ударную волну, не интересуясь структурой фронта и аппроксимируя его разрывом. Изменение амплитуды бора зависит от характера волнового поля позади разрыва. В случае мало-амплитудного бора поле вне разрыва описывается по-прежнему решением в виде римановой волны, и амплитуда бора может быть найдена аналитически (Пелиновский, 1982). Здесь имеется полная аналогия с задачами нелинейной акустики (Руденко и Солуян, 1975), где подробно анализируется формирование и развитие ударной волны во втором порядке по нелинейности. Однако, как отмечается в работе (Руденко и Солуян, 1975), в третьем порядке по нелинейности ударная волна не вписывается в профиль римановой волны, и возможно возникновение отраженных волн от разрыва. Этот эффект экспериментально наблюдался в электромагнитных линиях передачи, где, однако, дисперсионные эффекты являются значительными (Воляк и др., 1975). Для волн на воде нелинейность может быть сколь угодно сильной на малой глубине, поэтому асимптотические оценки в рамках приближения слабой нелинейности не всегда являются применимыми.

В случае линейно наклонного дна и фронтального подхода волны удается получить точное решение нелинейных уравнений мелкой воды с помощью преобразования годографа, сводящего исходные нелинейные уравнения к эквивалентному линейному волновому уравнению, и впервые это было сделано в работе (Carrier and Greenspan, 1958). Это решение существует только, если якобиан преобразований годографа отличен от нуля, что эквивалентно существованию однозначных профилей водной поверхности. На физическом

языке однозначный профиль водной поверхности означает необрушенную волну. В рамках этой теории найдено большое число аналитических решений, соответствующих накату на берег волн различной формы (солитон, гауссов или лоренцевый импульсы, синусоидальный импульс и т.п.), см., например, (Sehen and Meyer, 1963; Synolakis, 1987; Synolakis et al., 1988; Pelinovsky and Mazova, 1992; Пелиновский, 1996; Carrier et al., 2003; Känoglu, 2004; Tinti and Tonini, 2005; Диденкулова и др., 2006; Диденкулова, Пелиновский 2008; Didenkulova, 2009; Dobrokhotov and Tirozzi, 2010). Что же касается наката на берег волн большой амплитуды, когда волна является обрушенной, то здесь аналитические результаты получены только для случая полностью развитого бора (Sehen and Meyer, 1963; Sachdev and Seshadri, 1976). Именно поэтому актуально исследование наката одиночных волн на берег в широком диапазоне изменения их высоты, когда волна опрокидывается еще до подхода к берегу, при этом ее форма не может быть аппроксимирована полностью развитым бором. Здесь пока сделаны еще первые шаги (Li and Raichlen, 2002; Madsen and Fuhrman, 2008).

Цели диссертационной работы

2. Определить влияние эффекта обрушения на высоту наката длинной волны на плоский откос.

3. Выполнить лабораторный эксперимент по накату длинных волн различной формы на плоский откос.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Показано, что при нелинейной трансформации римановой волны отрицательной полярности (впадины) возможно возникновение нового нелинейного эффекта - «обратной» волны, возникающей при формировании ударного фронта, которая распространяется в противоположную от падающей волны сторону. Показано, что появление данного эффекта возможно не только для римановых волн, но и для волн цунами в случае, когда в очаге возможны сильные горизонтальные подвижки.

2. Описаны основные особенности взаимодействия как римановых, так и ударных волн положительной полярности и обсуждены основные особенности взаимодействия волн разных типов. Рассчитаны максимумы смещения водной поверхности в момент взаимодействия ударных волн. При малых амплитудах рассчитанные величины хорошо описываются аналитической теорией для взаимодействующих римановых волн. В случае обрушения толщина потока становится меньшей, чем предсказывается теорией для римановых волн и полностью развитого бора.

Положения, выносимые на защиту

1. Новый нелинейный эффект «обратной» волны, возникающей при

формировании ударного фронта, которая распространяется в противоположную от падающей волны сторону.

2. Сценарии нелинейной трансформации и взаимодействия уединенных

импульсов различной амплитуды и полярности на поверхности жидкости постоянной глубины в приближении мелкой воды с учетом обрушения.

3. Влияние эффекта обрушения на высоту наката длинной волны на плоский

откос.

4. Влияние асимметрии длинных волн на высоту их наката на берег

постоянного наклона, а также влияние ширины спектра падающей волны на распределение максимумов высоты наката.

Достоверность полученных результатов

Практическая значимость результатов работы

программ решения геофизических задача с помощью уравнений мелкой воды. Полученные расчетные зависимости высоты наката волны на берег могут быть использованы для экспресс-оценок высот цунами. Результаты лабораторного моделирования наката нерегулярных волн на берег важны для оценки прогнозирования затопления берега ветровыми волнами.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2011 - 2013); XVII - XIX Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2011 - 2013); XI Международной молодежной научно-технической конференций «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2012); 8th Baltic Sea Science Congress (Санкт-Петербург, 2011); 12th International Coastal Symposium (Плимут, Великобритания, 2013); 6th International Conference "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives" (Новосибирск, 2012); летней школе Gene Golub SI AM Summer School 2012 «Simulation and Supercomputing in the Geosciences» (Монтерей, США, 2012).

Полученные результаты используются в российских исследовательских проектах, выполняемых при участии автора диссертации:

• РФФИ 11-05-00216 «Катастрофические волновые процессы в прибрежной зоне: теоретические модели и анализ наблюдаемых данных»

• РФФИ 08-05-00069 «Модели сильно нелинейных волн с приложениями к прогнозу морских природных катастроф»;

• РФФИ 12-05-33087 "Морские природные катастрофы в прибрежной зоне: теоретические модели, численное моделирование и анализ лабораторных и натурных данных";

• РФФИ 11-05-97006 «Модели опасных волновых явлений в водной среде с приложениями к рекам Волга и Ока в пределах Нижегородской области»;

• РФФИ 11-05-92002 «Исследование волн убийц в российских и тайваньских водах»;

• НОЦ 02.740.11.0732 «Опасные быстроразвивающиеся явления в геосферных оболочках: мониторинг, моделирование, методы прогноза»;

• программа РАН «Нелинейная динамика»;

• ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы, поддержка научных исследований, проводимых научными группами под руководством кандидатов наук по научному направлению "Механика": "Неустановившиеся длинные волны конечной амплитуды в бассейне с меняющимся дном" (14.В37.21.0385);

• Грант президента РФ МК-1440.2012.5 "Динамика опасных волн в прибрежной зоне моря".

�