Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ.

§1. Постановка задачи.

1.1 Уравнение неразрывности.

1.2 Уравнения движения.

1.3 Постановки стационарной и нестационарной задач.

§2. Комплексный метод граничных элементов.

2.1 Вычисление интегралов.

2.2 Двойные узлы.

2.3 Метод решения СЛАУ.

2.4 Тестовый расчет.

§3. Вычисление кинематических и гидродинамических характеристик волны.

3.1 Формулы численного дифференцирования функций, заданных на границе области.

3.2 Вычисление массы, энергии, давления.

ГЛАВА 2. СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЙ ПОТОКОМ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Алгоритм построения свободной границы.

2.1 Нахождение потенциала.

2.2 Определение формы свободной поверхности.

2.3 Альтернативный алгоритм построения свободной границы.

§3. Численные результаты.

3.1 Обтекание полукругового цилиндрического выступа.

3.2 Уединенная волна и ее интегральные характеристики.

§4. Выводы.

ГЛАВА 3. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН С РАЗЛИЧНЫМИ ПРЕГРАДАМИ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Алгоритм движения по времени.

2.1 Метод Эйлера для движения по времени.

2.2 Выбор шага по времени.

§3. Тестовые расчеты.

3.1 Движение уединенной волны по бассейну с ровным дном.

3.2 Взаимодействие солитонов с вертикальными преградами.

§4. Классификация волновых режимов при накате солитона на наклонный берег.

§5. Выводы.

ГЛАВА 4. ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ СТАЦИОНАРНЫМ ПОТОКОМ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Модифицированный метод комплексных граничных элементов.

2.1 Вычисление интегралов.

2.2 Случай бесконечной области.

§3. Алгоритм построения свободной границы.

3.1 Нахождение касательной составляющей вектора скорости.

3.2 Определение формы свободной поверхности.

§4. Построение линий тока.

§5. Тестовые расчеты.

5.1 Проверка точности вычислений в области с фиксированной границей.

5.2 Проверка сходимости алгоритма построения свободной границы.

5.3 Обтекание профиля Жуковского безграничным потоком жидкости, вычисление циркуляции, подъемной силы и момента.

§6. Численные результаты расчетов задачи о циркуляционном обтекании тел.

§7. Выводы.

Во многих областях науки и техники, таких как физическая океанология, гидротехника, кораблестроение и других, возникает проблема численного решения стационарных и нестационарных задач динамики несжимаемой жидкости со свободными границами. Эти задачи традиционно считаются непростыми, поскольку к нелинейности уравнений гидродинамики здесь добавляется дополнительная нелинейность, связанная с заранее неизвестной формой свободной границы, положение которой должно быть определено в ходе решения задачи.

Значительное место в этих задачах занимает волновая тематика.

В нелинейной постановке, при режимах движения, наиболее интересных для исследований, наблюдаются нелинейные эффекты, связанные с весомостью: опрокидывание волн, разрушение волн на мелководье и т.д. Физические эксперименты для изучения этих явлений оказываются сложными и дорогостоящими, а быстрота протекания реальных процессов делает численные методы единственным источником информации о поле течения.

Обзор состояния вопросов и методы решения различных задач идеальной жидкости со свободными границами изложены в монографиях М.И. Гуревича [29], О.М. Киселева, Л.М. Котляра [35], A.M. Лаврентьева, Б.В. Шабата [40], Л.Н. Сретенского [54] и др.

Аналитические методы, используемые для задач этого класса, применимы лишь для ограниченного круга проблем.

Если жидкость весомая, а отдельные участки границы криволинейны, то применение аналитических методов затруднено. В этом случае на помощь приходят либо различные модификации численно-аналитических методов (эти направления нашли развитие в работах В.П. Житникова [30, 31], Е.Т.

Коковина[37], Д.В. Маклакова [42-44]), либо численные методы [46, 66, 74, 75, 77, 86].

Появление быстродействующих ЭВМ и создание вычислительных методов внесло новую струю в решение задач со свободными поверхностями. Среди множества методов, применяемых для решения задач гидродинамики со свободными границами, хорошо зарекомендовали себя методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ), методы граничных элементов (МГЭ) и комплексных граничных элементов (МКГЭ).

Метод конечных элементов, как и метод конечных разностей, требует для решения задачи разбиения всей области течения, в то время как методы на основе граничных интегральных уравнений - только границы рассматриваемой области. Вместе с тем, если возникает необходимость отыскания решения в любой внутренней точке, то это можно сделать, используя известные значения функций на границе области. В результате использования методов на основе граничных интегральных уравнений размерность расчетной области понижается на единицу.

Полный обзор технологии методов граничных элементов можно найти в монографиях П. Бенерджи, Р. Баттерфилда [16], К. Бреббии, Ж. Теллеса, Л. Вроубела [18], С.А. ВгеЬЫа [67], Т. Громадки, Ч. Лея [27].

Основные концепции ставших в последствии популярных численных методов были детально изучены многими известными учеными и инженерами (см. обзоры в работах [21, 33, 38, 46]).

Решению задач в точной постановке, выяснению особенностей и разработке методов исследования посвящена монография М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [40].

Обзор методов численного решения стационарных и нестационарных задач со свободными границами приведен в работе И.В. Стуровой [56].

Волновое движение массы воды со свободной поверхностью в канале с неровным дном под действием силы тяжести является одним из наиболее интересных приложений нелинейной гидродинамики. Волны на свободной поверхности всегда были заманчивым предметом для исследования, так как они представляют собой хорошо всем известное, и вместе с тем достаточно сложное, явление, которое легко доступно наблюдению, но которое весьма непросто описать.

Опрокидывание волн представляет собой одно из наиболее удивительных явлений из всех видов движения волн и является наиболее трудной задачей для математического моделирования вследствие быстроты протекающих явлений и существенной нелинейности поведения волны в последние перед обрушением моменты времени.

Среди множества методов, позволяющих моделировать волны, лишь немногие могут отслеживать длительно процесс опрокидывания. Одной из первых работ, посвященных моделированию опрокидывающихся волн, является статья M.S. Longuet-Higgins, E.D. Cokelet [80]. В этой работе рассматриваются периодические (с периодом 2п) крутые поверхностные волны в тяжелой жидкости на глубокой воде. Предлагаемый метод решения был основан на методе граничных интегральных уравнений.

Эффективный численный метод моделирования нелинейных волн, включая процесс обрушения предложен Б.Е. Протопоповым [86]. Метод основан на смешанном эйлерово-лагранжевом подходе.

Метод основанный на дискретных моделях идеальной несжимаемой жидкости, для анализа задач динамики волн разработан и реализован A.M. Франком [60, 61, 62].

В работе [36] предложен алгоритм расчета нестационарных гравитационных волн на поверхности жидкости бесконечной глубины, основанный на отображении расчетной области на единичный круг с помощью оператора Шварца.

Свойства опрокидывающейся прогрессивной волны на глубокой и мелкой воде изучены в работе Т. Vinje, P. Brevig [92]. Эта работа положила начало использованию в нестационарных задачах методов, на основе интегральной формулы Коши. Техника метода комплексных граничных элементов (МКГЭ) подробно изложена в работе [27].

Среди других работ, посвященных данной проблеме, следует выделить работы M.J. Cooker [70], M.J. Cooker и др. [71], М. Grosenbaugh, R. Yeung [74], К. Suzuki [88].

Во всех перечисленных работах в основном эффекты опрокидывания моделируются при движении прогрессивных периодических волн за счет приложенного импульса давлений, реже решаются задачи наката уединенных волн на отлогий берег.

Самостоятельный интерес представляет задача построения нелинейных стационарных уединенных волн. В 1834 году Джон Скотт Рассел в своем интересном экспериментальном исследовании обратил особое внимание на необычные волны, которые он назвал "уединенные волны". Такая волна представляла собой одиночное возвышение, высота которого не обязательно была мала по сравнению с глубиной жидкости. Она могла проходить большие расстояния вдоль равномерного канала, практически не меняя своего типа. В 1844 году Дж. Рассел сделал публичный доклад о своем открытии в Британской ассоциации развития науки. Исторический обзор развития теории волн на поверхности жидкости можно найти в обзоре [32]. Здесь же приводятся уравнения дли описания уединенной волны Буссинеска и Рэлея, Кортевега-де Вриза и др.

В литературе приводится немалое количество примеров уединенных волн (солитонов). Отметим лишь некоторые из них, полученные аналитически по различным линейным и приближенным нелинейным теориям с помощью численного анализа точных и приближенных нелинейных уравнений: Д.В. Маклаков [42-44], Б.Е. Протопопов [50, 52], Препринт по ред. Ю.И. Шокина [64], M. Tanaka [90], Ан.Г. Марчук, Л.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин [46], С.Н. Su, R.M. Mirie [87], Е.А. Karabut [76]; а также путем моделирования волн различными подвижками боковых стенок, дна, или с помощью создания локального возвышения уровня жидкости: A.M. Франк [62], T. Nakayma, К. Washizu [85], найденные в эксперименте C.B. Манойлин [45], В.И. Букреев, Н.П. Туранов [19],и отмеченные в обзоре И.В. Стуровой [56].

О предмете и содержании диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы диссертации разбиты на параграфы, нумерация которых внутри каждой главы своя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения диссертации, выносимые автором на защиту, состоят в следующем:

1. Применена технология численных методов комплексных граничных элементов, позволившая серьезно продвинуться в решении сложных гидродинамических задач со свободными границами.

2. Введен и оттестирован алгоритм решения циркуляционных задач обтекания профилей.

3. Предложен эффективный алгоритм решения стационарных задач обтекания донных препятствий потоком жидкости со свободной границей.

4. При решении стационарной задачи обтекания препятствий установлено, что задача имеет неединственное решение в зависимости от числа Фруда. Зависимость амплитуды от числа Фруда А(Рг) в зоне предельных волн имеет быстро убывающий характер. Для обратной зависимости Рг(А) найдены три первых экстремума, свидетельствующие о том, что существуют зоны чисел Фруда, при которых задача имеет одно, два, три и четыре решений.

5. При отсутствии препятствия на дне получены нелинейные стационарные уединенные волны. Интегральные характеристики нелинейной уединенной волны, такие как масса, кинетическая и потенциальная энергии достигают экстремумов до момента наивысшей волны.

6. Решение нестационарных задач волновой гидродинамики и анализ нелинейных волновых явлений при накате нелинейных уединенных волн на наклонный берег. В результате многочисленных расчетов построена диаграмма по типу опрокидывания, позволяющая

115 предсказать по заданным амплитуде волны и углу наклона берега волновую картину. 7. При решении стационарной задачи циркуляционного обтекания профилей сверхкритическим потоком тяжелой жидкости конечной глубины со свободной поверхностью установлено, что решение задачи неоднозначно при числах Фруда, близких к единице.

1.Е. Решение нелинейных задач гидродинамики идеальной жидкости со свободными границами методами конечных и граничных элементов: Дисс.докт.физ.-мат.наук. Кемерово, 1997. 355 С.

2. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г. Исследование эволюции свободных границ методами конечных и граничных элементов при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, No 5, 1986, 8-13.

3. Афанасьев К.Е., Самойлова Т.И. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами // Вычислительные технологии.- Новосибирск.- 1995.- вып. 7 , No 11.- С. 19-37.

4. Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. О наличии трех решений при обтекании препятствий сверхкритическим установившимся потоком тяжелой жидкости // Журн. прикл. мех. и техн. физика, 40, No 1,1999, С. 27-35.

5. Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. Накат уединенной волны на наклонный берег // Вестник Омского ун-та, Омск, No 3,1998, С. 9-12.

6. Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. Моделирование опрокидывающихся волн методом комплексных граничных элементов // Труды VI научной школы "Гидродинамика больших скоростей"/ Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова.- Чебоксары, 1996.- С. 11 -17.

7. Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. Численное моделирование взаимодействий уединенных волн с препятствиями// Вычислительные технологии. Новосибирск. ИВТ СО РАН - 2000. (статья принята к печати)

8. Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. Циркуляционное обтекание профилей стационарным плоскопараллельным потоком тяжелой жидкости конечной глубины со свободной поверхностью// Журн. прикл. мех. и техн. физика, (статья принята к печати)

9. Бахвалов Н.С. Численные методы., М.: Наука, 1975.

10. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров Р.М. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988.

11. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.- 494 с.

12. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости.- М.: Мир.- 1973.

13. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов.- М.: Мир.- 1987.

14. Букреев В.И., Туранов Н.П. Эксперименты с волнами на мелкой воде, генерируемыми движением торцевой стенки бассейна// ПМТФ, 1996. 37. No 6. С. 44-50.

15. Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханике. Ленинград: Изд-во Ленинградского ун-та, 1978.

16. Введение в динамику сосудов с жидкостью / Богоряд И.Б., Дружинин И.А., Дрижинина Г.В. и др. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1987.- 143 с.

17. Голубев В.В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке. М.: гос. объединен, науч.-тех. изд. НКПТ СССР, 1938

18. Горелов Д.Н. Об интегральных уравнениях задачи обтекания профиля //МЖГ, 1992. No 4. С.173-177.

19. Горелов Д.Н. Расчет распределения давления вблизи передней кромки профиля в методе дискретных вихрей // ПМТФ, 1996. 37. No 1. С. 114-118.

20. Горелов Д.Н., Горлов С.И. Линейная задача о движении профиля под границей раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ, 1996. 37. No 5. С. 43-47.

21. Горлов С.И. Движение профиля над границей раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ, 1996. 37. No 5. С. 48-51.

22. Громадка Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов.- М.: Мир, 1990.

23. Гузевский Л.Г. Обтекание препятствий потоком тяжелой жидкости конечной глубины // Динамика сплошных сред с границами раздела / Чуваш, госун-т. им. И.Н. Ульянова.- 1982.- с. 61-69.

24. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука.- 1979.536 с.

25. Житников В.П. Гравитационные волны на ограниченном участке поверхности жидкости// ПМТФ, 1996. 37. No 2. С. 83-89.

26. Житников В.П. Обобщение метода Леви-Чивиты для исследования плоских и осесимметричных течений с нелинейными условиями на неизвестных границах: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук.- Казань, 1993.32 с.

27. Зейтурян Р.Х. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны//Успехи физических наук. Т.165. No 12,1995. С.1403-1456

28. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.-М.: Мир.- 1986.-317 с.

29. Карабут Е.А. К задаче об уединенной волне на поверхности жидкости// ДАН.- 1994.- т. 337.- No 3.- С. 339-341.

30. Киселев О.М., Котляр Л.М. Нелинейные задачи теории струйных течений тяжелой жидкости // Казань: изд. Казан, гос. ун-та, 1978.

31. Коган В.Р., Кузнецов В.В. Метод численного моделирования нестационарных гравитационно-капиллярных волн конечной амплитуды // Журнал выч. мат. и мат. физики, 1989. 29. No 6. С.844-852.

32. Коковин Е.Т. Применение метода конформного отображения к решению осесимметричных задач потенциального обтекания // Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.- Томск.- 1989.- 17 с.

33. Коннор Дж., Бреббия К. Метод конечных элементов механике жидкости. Л.: Судостроение.- 1979.- 204 с.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.- 407 с.

35. Лотфуллин М.В. Расчет гидродинамических характеристик системы профилей вблизи свободной поверхности весомой жидкости. М., 1987. Деп. в ВИНИТИ. No 4004-В87.

36. Маклаков Д.В. Нелинейная теория докритических течений. Предельные режимы обтекания // Препринт No 2, Казан. ГУ.- 1992.- 48 с.

37. Маклаков Д.В. Предельные режимы докритического обтекания препятствия // Вычислительные технологии / ИВТ.- Новосибирск. 1993.- т. 2, No 4.- 55-70.

38. Маклаков Д.В. Обтекание препятствия с образованием нелинейных волн на свободной поверхности. Предельные режимы // Изв. АН. МЖГ.-1995.-No2.-C. 108-117.

39. Манойлин C.B. Некоторые экспериментально-теоретические методы определения воздействия волн цунами на гидротехнические сооружения и акватории морских портов. Препринт, No 5, ВЦ СО АН СССР, Красноярск, 1989

40. Марчук А.Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука.- 1983.- 175 с.

41. Моисеев H.H. О неединственности возможных форм установившихся течений тяжелой жидкости при числах Фруда, близких к единице // Прикладная математика и механика. 1957.- т. 21, No 6.- С. 860 - 864.

42. Петров А.Г., Смолянин В.Г. Расчет нестационарных волн на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины // ПММ.- 1993.- т.57, в.4.~ С. 137-143.

43. Плотников П.И. Неединственность решения задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55, No 2. С. 339 366.

44. Протопопов Б.Е. Численное моделирование поверхнос-тных волн в канале переменной глубины // Динамика сплошной среды.- Новосибирск.-1988.-No 84.- С. 91-105.

45. Протопопов Б.Е. Численный анализ трансформации уединенной волны при отражении от вертикальной преграды. Изв. АН, Механика жидкости и газа, No 5, 1990, 115-123.

46. Протопопов Б.Е., Стурова И.В. Генерация плоских поверхностных волн при наличии малой неровности дна // Журн. прикл. механики и тех. физики.- 1989.-No 1.- С. 125-133.

47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1,11.: М.: Наука.- 1973.

48. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости.- М.: Наука.-1972.-815 с.

49. Стуколов C.B. Численное моделирование уединенных стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины//Сб. науч. трудов "Математические проблемы механики сплошных сред"/ Изд-во ин-та гидродинамики СО РАН. 114. 1999. С.129-134.

50. Стурова И.В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн // Красноярск, ВЦ СО РАН.- 1990.- Препринт No 5.- 48 с.

51. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике: Учеб. пособие / Чуваш, ун-т. им. И.Н. Ульянова.- Чебоксары: ЧТУ.- 1987.94 с.

52. Терентьев А.Г., Картузова Т.В. Численные исследования системы крыловых профилей методом граничных элементов // Актуальные задачи математики и механики/ Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1995, С.108-116.

53. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений.- М.: Мир, 1980.

54. Франк А.М. Дискретная нелинейно-дисперсионная модель мелкой воды. Журн. прикл. мех. и техн. физика, No 5, 1993, 15-24.

55. Франк A.M. Численное моделирование уединенных поверхностных волн в рамках дискретной модели несжимаемой жидкости // ПМТФ.- 1989.-No 3.- С. 95-101.

56. Франк A.M. Дискретные модели несжимаемой жидкости : Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1994.-30 с.

57. Шерыхалина Н.М. Разработка численных алгоритмов решения задач гидродинамики с особыми точками на свободной поверхности и экспериментальное исследование скорости их сходимости. М., 1995. Деп. в ВИНИТИ 16 декабря. No 2550-В95.

58. Шокин Ю.И., Рузиев Р.А., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование плоских потенциальных течений жидкости с поверхностными волнами. Препринт, No 12, ВЦ СО АН СССР, Красноярск, 1990

59. Ясько Н.Н. Численное решение нелинейной задачи о движении плоского крылового профиля под свободной поверхностью идеальной несжимаемой жидкости // МЖГ, 1995. No 4. С. 100-107.

60. Afanas'ev К.Е., Stukolov S.V. On the existence of three solutions for a supercritical steady flow of a heavy fluid over obstructions / J. Applied Mech. and Tech. Phys. V.40. No 1. 1999. C. 20-27.

61. Brebbia C.A. The boundary element method for Engineers / Pentech Press, London.- 1988.- 189 p.

62. Best J.P., Kusera A. A numerical investigation of non-spherical rebounding bubbles // J. Fluid Mech.- 1992.- v. 245.- P. 137-154.

63. Betts P.L. A variational principle in terms of stream function for free-surface flows and its application to the finite element method // Comput. and Fluids.- 1979.- v. 7, No 2.- P. 145-153.

64. Cooker MJ. A boundary-integral method for water wave motion over irregular beds // Fug. Anal. Bound. Elem.- 1990.- v. 7, No 4.- P. 205-213.

65. Cooker M.J., Peregrine D.H., Vidal C., Dold J.W. The interaction between a solitary wave and a submerged semicircular cylinder // J. Fluid Mech.- 1990.- v. 215.-P. 1-22.

66. Domermuth G.D., Yue D.K.P. Numerical simulations of nonlinear axisymmetric flowes with a free surface // J. Fluid Mech.- 1987.- v. 178.- P. 195219.

67. Evans W.A.B., Ford MJ. An exast integral equation for solitary waves (with new numerical results for some 'integral' properties) // I. Proc. Roy. Soc. Lond. 1996. A452. P. 373-390.

68. Grosenbaugh M.,Yeung R. Nonlinear free-surface flow at a two-dimensional bow// J. Fluid Mech.-1989.- v. 209.- P. 57-75.

69. Kawahara M., Miwa T. Finite element analysis of wave motion // Int. J. Num. Meth. Engng.-1984.-v. 20.-P. 1193-1210.

70. Karabut E.A. Asymptotic expansions in the problem of a solitary wave // J. Fluid Mech. -1996,-v. 319.-P. 109-123.

71. King A.C., Bloor M.I.G. Free-surface flow of a stream obstructed by an arbitrary bed topography // Q. J. Mech. appl. Math., V. 43, Pt. 1,1990, P.87-106.

72. Liu P.L.-F., Liggett J.A. Boundary element formulations and solutions for some non-linear water wave problems // Develop, in Boundary Element Methods, London.- 1986.-P. 171-190.

73. Longuet-Higgins M.S. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary wave // Proc. R. Soc. Lond.- 1974.- A. 337.- P. 1-13.

74. Longuet-Higgins M.S., Cokelet E.D. The deformation steep surface waves on water. 1. A numerical method of computation // Proc. Roy. Soc., A.- 1976.- v. 350.- P. 1-26.

75. Longuet-Higgins M.S., Fenton J.D. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary wave // II. Proc. R. Soc. bond. 1974. A340, P. 471-493

76. Mokry M. Complex variable boundary element method for external potential flows // AIAA Journal, 1990. V.127. P.l-11.

77. Nakayma T. Boundary element analysis of nonlinear water wave problems // Int. J. Num. Meth. Engng.-1983.-v. 19.-P. 953-970.

78. Nakayma T. A computational method for simulating transient motions of an incompressible inviscid fluid with a free surface // Int. J. Numer. Meth. Fluids.-1990.-v. 10.-P. 683-695

79. Nakayma Т., Washizu K. Boundary element analysis of nonlinear sloshing problems // Develop, in boundary element methods.- 1986.- P. 171-190.

80. Protopopov B.E. An efficient numerical method for calculation of strongly nonlinear water waves// Вычислительные технологии. Новосибирск, 1998. 3. No 3. С. 55-71.

81. Su C.H., Mirie R.M. On head-on collisions between two solitary waves // J. Fluid Mech.- 1980.- v. 98, No 3.- P. 509-525.

82. Suzuki K. Calculation of nonlinear water waves around d2-dimensional body in uniform flow by means of boundary element method // Fifth Int. Conf. on Numeric. Ship Hydrod., part 1.- 1989.- P. 157-167.

83. Synolakis C.E. The runup of solitary waves. J. Fluid Mech, 185, 1987, 523545.

84. Tanaka M. The stability of solitary waves // Physics of Fluids.- 1986.- V. 29 (3).- P. 650-655.

85. Vanden-Broeck J.M. Free surface flow over an obstruction in a channel // Phys. fluids.- 1987.- v. 30, No 8.- P. 2315 2317.

86. Vinje Т., Brevig P. Numerical simulation of breaking waves // Adv. Water Resour.-1981.- v. 4.- P. 77-82.