Волновые и диффузионные процессы в жидком слое конечной толщины: аналитические решения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Гнниятуллин Айрат Рафаэлевич

ВОЛНОВЫЕ И ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЖИДКОМ СЛОЕ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ: АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 О ОКТ 2014

Нижний Новгород - 2014

005554099

005554099

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Куркин Андрей Александрович

Официальные оппоненты: Булатов Виталий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник лаборатории механики сложных жидкостей, ФГБУН «Институт проблем механики им. АЛО. Ишлинского РАН»

Разин Андрей Владимирович,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, ФГБУН «Научно-исследовательский радиофизический институт»

Ведущая организация: ФГБУН «Институт водных проблем РАН»

Защита состоится «10» декабря 2014 г. в J_5 часов на заседании специализированного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу:

603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д. 24, корп. 1, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан « 10 » октября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., доцент

Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

В настоящее время многие практические задачи механики жидкости решаются численно в рамках уравнений Эйлера или Навье-Стокса с использованием специальных вычислительных комплексов. Некоторые из них находятся в свободном пользовании через Интернет, и они достаточно известны (MITgcm, Gerris, OpenFOAM, Thétis and Truchas). Отметим лишь некоторые применения подобного рода вычислительных комплексов в близкой для нас области описания волновых движений на мелкой воде: моделирование наката волн цунами на побережье Японии [1], волны, вызванные движением деформируемого оползня [2], обрушение волн, как с «разбрызгивающимся», так и «разрушенным» бурунами [3, 4], взаимодействие волн и потоков со структурами [5], внутренние волны и их разрушение [6]. Как отмечается в только что опубликованной работе [7], в силу разнообразия и сложности различных вычислительных комплексов необходимо иметь единые тестовые задачи (benchmarks), позволяющие сопоставлять точность вычислений по различным программам. Большим подспорьем для разработки таких тестов являются аналитические решения уравнений гидродинамики, получаемые в рамках различных приближений. Ввиду многообразия определяющих параметров геофизических процессов (неоднородная стратификация плотности и течений, переменная глубина, нелинейность, дисперсия, диссипация) выделение качественно разных процессов и явлений наиболее просто делается в рамках теоретических подходов, и это должно проводиться прежде, чем использовать прямое численное моделирование. Именно поэтому так важны аналитические исследования гидродинамических процессов. В одних случаях они позволяют исследовать физику происходящих процессов, в других - понять ограничения имеющихся моделей и выяснить природу численных неустойчивостей.

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению некоторых задач волновых и диффузионных процессов в жидком слое конечной толщины.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертационной работы является изучение волновых и диффузионных процессов в слое жидкости конечной толщины. В частности, предполагается:

1. Исследовать структуру нелинейных волн, описываемых различными обобщениями уравнения Кортевега-де Вриза, а именно: уравнением Гарднера-Кавахары, уравнением Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью; бездисперсионным пределом обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза.

2. Дать анализ трансформация внутренней волны в двухслойном потоке переменной толщины, в том числе в окрестности зоны перехода двухслойного потока в однослойный.

3. Исследовать структуру языка интрузийного потока между двумя движущимися границами и математические свойства возникающей здесь линеаризованной задачи в рамках модели Benilov-Vynnycky [8].

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными

оригинальными результатами:

1. Выведено обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для описания длинных внутренних волн на границе раздела двух жидкостей при учете капиллярных эффектов. Показано, что в окрестности двойной критической точки (когда коэффициент квадратичной нелинейности и коэффициент дисперсии обращаются в нуль) оно сводится к неинтегрируемому уравнению Гарднера-Кавахары. Численно исследованы стационарные решения этого уравнения в виде уединенных волн. В зависимости от величины капиллярных эффектов уединенная волна близка к солитону Гарднера (слабая капиллярность) или к осциллирующему пакету (капиллярные эффекты превалируют).

2. В рамках логарифмического уравнения Кортевега-де Вриза, описывающего сильно нелинейные волны в средах с нулевой линейной скоростью распространения, найдены точные солитонные решения этого уравнения, представляющие собой Гауссовы импульсы, амплитуда которых зависит от скорости распространения, а ширина остается постоянной. Доказана устойчивость солитонов в рамках этого уравнения.

3. Исследовано «полиномиальное» уравнение Буссинеска, в котором нелинейный и дисперсионный слагаемые содержат иа, и ряд нелинейных дискретных моделей цепочек Ферми-Паста-Улама, допускающих солитонные решения. Показано что при стремлении а к единице, Гауссовы импульсы являются хорошей аппроксимацией найденных численно солитонных решений этих уравнений.

4. Доказано существование универсальной степенной асимптотики в спектре одномерной обрушивающейся волны Римана в недиспергирующих средах с произвольной нелинейностью. Численно показано, что она сохраняется в течение длительного времени, при учете слабой диссипации или слабой дисперсии.

5. Показано, что в узких стратифицированных бухтах переменного сечения могут распространяться бегущие внутренние волны малой амплитуды без отражения при специальном законе изменения глубины и ширины канала.

6. В рамках линейной теории мелкой воды исследована динамика длинных волн в окрестности точки перехода двухслойного потока в однослойный. Предложен аналитический критерий обрушения внутренней волны на откосе. Оценены амплитуды обрушивающихся внутренних волн различного периода на откосе.

7. Дан асимптотический анализ трансформация уединенной волны малой, но конечной амплитуды (солитона) в двухслойном потоке с уменьшающейся глубиной. Рассчитано изменение амплитуды уединенной волны от толщины нижнего слоя. Показано, что амплитуда внутренней волны может не монотонно возрастать при приближении к берегу.

8. Доказано локальное существование решения линеаризованной задачи ВепПоу-Ууппуску [8], описывающей интрузию водного потока в воздух

между двумя движущимися твердыми параллельными границами, и найдена асимптотика волнового поля вблизи особенностей в решении. Асимптотическая формула затем была подтверждена в численных экспериментах [9].

Положения, выносимые на защиту

1. Вывод обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для волн на границе раздела двухслойного потока с учетом эффектов поверхностного натяжения.

2. Точные солитонные решения в виде гауссовых импульсов логарифмического уравнения Кортевега-де Вриза, описывающего сильно нелинейные волны в средах с нулевой линейной скоростью распространения.

3. Универсальная степенная асимптотика в Фурье-спектре одномерной обрушивающейся волны Римана в недиспергирующих средах с произвольной нелинейностью.

4. Точные аналитические решения, описывающие «безотражательное» распространение линейных длинных внутренних волн в стратифицированном канале переменной глубины и сечения.

5. Точные решения линейной задачи, описывающей отражение внутренней волны в критической точке, где двухслойный поток переходит в однослойный. Критерий обрушения внутренних волн на откосе.

6. Немонотонный характер возрастания амплитуды солитона внутренних волн в двухслойном потоке с уменьшающейся глубиной.

7. Асимптотика волнового поля вблизи особенностей в решении «интрузий-ной» задачи ВепПоу-Ууппуску [8], подтвержденная затем численно [9].

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обоснована выбором апробированных физических моделей, математической корректностью постановок задач, строгим использованием аналитических и численных методов, обсуждением на научных семинарах и конференциях. Один из теоретических результатов подтвержден численными экспериментами других авторов (положение 7). Практическая значимость результатов работы

Полученные в работе результаты могут применяться для изучения природных процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Одним из практических приложений обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза, выведенного в диссертации, является его использование в задачах о течении тонких плёнок несмешивающихся жидкостей для управления процессом. Полученные точные решения в модели ВепЛоу-Ууппуску языка интрузии водного потока в воздух [8], позволили оценить пределы применимости данной модели. Предложенный критерий обрушения внутренних волн на откосе окажется полезным для интерпретации натурных данных о волновых процессах в прибрежной зоне морей. Наконец, точные аналитические решения, найденные в диссертации, могут быть использованы для тестирования численных схем решения задач механики жидкости. Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: II

Международной конференции «Геоинформатика: технологии, научные проекты». (Барнаул, 2010); Пятой Сахалинской молодежной научной школе «Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз» (Южно-Сахалинск, 2010); Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2010); Двенадцатой Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (г. Звенигород, Московская область, 2010); IX Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010); XVII Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2011); X Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2011); XXII Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ-2012» (Нижний Новгород, 2012); XI Международных научных конференциях «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Алушта, 2012); Шведской конференции по морским наукам (Кальмар, Швеция, 2012); IAHS-IAPSO-IASPEI IUGG конференция «Knowledge for the future» (Гетеборг, Швеция, 2013).

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автор диссертации являлся руководителем работ в рамках Государственного контракта № 14.740.11.1141 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами в следующих областях: «математика; механика», в рамках мероприятия 1.3.2 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы».

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ, среди которых 8 статей, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК.

Во всех работах автору принадлежит выполнение большинства расчетов, а также непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. Идея проведения исследований внутренних волн с учетом капиллярных эффектов [Г4] принадлежит Ю.А. Степанянцу, A.A. Куркину и O.E. Куркиной; внутренних волн в неоднородном слое жидкости [Г2, Г5, Г6] - E.H. Пелиновскому и Т.Г. Талиповой: уравнений интрузии водного потока в воздух [Г1, Г7] - Д.Е. Пелиновскому. В расчетах, описанных в [Г7, Г8], принимали участие аспиранты Родин А.А и Шургалина Е.Г., а также студент Панфилова Ю.А. В подготовке данных для работ [Г9 - Г13, Г15, Г20], принимал участие аспирант Тюгин Д.Ю. В разработке и реализация некоторых численных алгоритмов [Г14, Г20] принимала участие аспирант Рувинская (Владыкина) Е.А.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 142 страницы, включая 39 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая

значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 посвящена обсуждению результатов исследования нелинейных волн, описываемых обобщенным уравнением Кортевега-де Вриза. В § 1.2 представлен последовательный вывод обобщённого уравнения Кортевега - де Вриза для внутренних волн в двухслойном потоке с учётом поверхностного натяжения между слоями (жидкости могут быть при этом, вообще говоря, не смешивающимися):

% удС, „8%

—+ аС —+ В—f+ d

,2 a: гд% а as0

=0, (1)

коэффициенты которого выражаются через три безразмерных параметра: а = р2/р, <1, Ъ = h2/ht и i = 2а [(pi+p2) g#2r':

с2 = fc(l-g) . _аН _Ъ(1 + Ь)(Ь2-а) gH (1 + b)(a + b)' а с 2 Ь(а + Ъ) ' Р 2b{\ + ab){\-d)-X\ + d)(a + ti){\ + bfs сН2 12 (1 + б)2 (а + 6)(1 — а)

. _а,Я2 _ 3(а2 + 8ab+l4ab2 +8а63 + 64)(1 + 6)2 с 8 Ь2(а + Ь)2

• _Yi_ 5а2Ь + 2аЬ — 1аЬг +1а — 2Ьга—5Ь2 (1 + 6)(1 + а)(а-62>

У1 - —~ ----- ■ \2-+-

сН 12(1 + b)(a + bf Щ1-а)(а + Ь) '

У2 ^ 23a2b + Sab—3lab3 +31а—862д —23й2 5(1 + 6)(1 + a)(a-b2)s сН 2Л(\ + Ь)(а + Ь)2 166(1 —а)(а + Ь) '

Р, (1 + а)У (1 + а)(аЬ +1)1« сЯ4 32(1-а)2 24(1 — а)(1 + Ь)2 (а + 6) + (4а64 +\9Ь + Ъ0Ьга + \ 9а2 Ьъ + 4а)Ь 360(а + 6)2(1 + 6)4

Здесь Л] - толщина нижнего слоя, а Л2 - верхнего, Я = + Л2 - полная глубина жидкости; р! - плотность жидкости в нижнем слое, а р2 (5 р1 для устойчивости движений) - в верхнем; а - коэффициент поверхностного натяжения между слоями жидкости с различными физическими свойствами; % — горизонтальная координата, т — время, а переменная С, описывает возмущение границы раздела с точностью до членов порядка е = А/Н (А - характерная амплитуда возмущений).

Ряд коэффициентов уравнения может обращаться в ноль и менять знак. В частности, коэффициент квадратичной нелинейности а исчезает при аСГ = Ъ2 (это обстоятельство отмечалось во многих работах, см., например, [10 - 13], а коэффициент дисперсии Р при производной третьего порядка в этом уравнении зануляется при

= -

26(1-а)(1 + а6)

3(1 + 6)2(а + 6)(1 + а)'

Особый интерес представляет «двойная» критическая ситуация, когда оба коэффициента - квадратичной нелинейности а и дисперсии третьего порядка р становятся настолько малыми, что необходимо включать в рассмотрение поправки следующего порядка с коэффициентами а! и р,. В этой двойной критической ситуации оба коэффициента аир обращаются в ноль, когда Рг = и ст = с2р,Л,[1 + (й2/й,)3]/3. При этом коэффициенты а! и р! опре-

деляются простыми выражениями:

а, =-Зс/(А,А2), р, = сН* (1 + б5) /(90(1 + б)5).

Коэффициент а1 в двухслойной жидкости всегда отрицателен. Коэффициент Р1 всегда положителен и имеет минимум при 6=1. При 6=1 коэффициенты у, и у2 также пренебрежимо малы.

В окрестности такой двойной критической точки уравнение (1) сводится к следующему уравнению, которое будем называть уравнением Гарднера - Кава-хары:

ди ди ди 2 ди „ дги _ 8ъи .

х,«2 —+ Р-У + Р, —= 0. (2)

дх дх

- + с-81 дх

дх

При Р1 - 0 это уравнение превращается в известное уравнение Гарднера, которое является полностью интегрируемым и содержит, в частности, солитон-ные решения. В другом предельном случае сц = 0 уравнение (1) превращается в уравнение Кавахары, которое не является интегрируемым с точки зрения обратной теории рассеяния, но содержит солитоны, обладающие осциллирующими асимптотиками. Нами показано численно, что уравнение Гарднера-Кавахары (2), соединяющее капиллярные эффекты и кубическую нелинейность, тоже обладает солитонными решениями с осциллирующими асимптотиками. При этом в зависимости от величины капиллярных эффектов уединенная волна близка к солитону Гарднера (рис. 1) (слабая капиллярность) или к осциллирующему пакету (рис. 2) (капиллярные эффекты превалируют).

V

- л А

-20 ^ \ У - 20 Г

\ /

Рис. 1. Солитоны уравнения Гарднера Рис. 2. Солитоны с осциллирующими

хвостами

В § 1.3 рассматриваются уединенные волны в рамках уравнения Кортеве-га-де Вриза с логарифмической нелинейностью: Эу

(3)

лу | Э(уЬ|У|)_

дх д£?

описывающего динамику волн в случае отсутствия линейной скорости распространения волн и связанной с этим большой нелинейностью в пределе малых

амплитуд. Такая ситуация качественно может соответствовать распространению внутренних волн в стратифицированной жидкости с очень малым перепадом плотностей и пикноклином, близким к одной из поверхностей. Найдены точные солитонные решения этого уравнения. Они представляют собой Гауссовы импульсы, амплитуда которых зависит от скорости распространения, а ширина остается постоянной. Доказана устойчивость солитонов в рамках этого уравнения. Наряду с логарифмическим уравнением Кортевега-де Вриза рассмотрены также «полиномиальное» уравнение Буссинеска, в котором нелинейный и дисперсионный слагаемые содержат иа. Показано что при стремлении а к единице справа, Гауссовы импульсы являются хорошей аппроксимацией со-литонных решений этих уравнений, позволяя надеяться на применимость логарифмического уравнения Кортевега-де Вриза к более сложным ситуациям.

«) б)

Рис. 2. Решение уравнения Бюргерса (5) с v = 0.1 (а) и уравнения Кортевега-де Вриза (6) (б) при начальном условии и(х, 0) = S0 sin х в пространстве Фурье, для разных значений t = 10, 20, 30: нормированный энергетический спектр S/So зависит от волнового числа к (оси в логарифмических координатах). Универсальная степенная функция к 8/1 показана сплошной линией

Нелинейная деформация волны в недиспергирующей среде с произвольной нелинейностью в рамках бездисперсионного предела обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза

ди т, ди л ...

—+ К(м)—= 0 , (4)

dt дх

где V(u) является произвольной локальной скоростью различных точек волны, рассматривается в § 1.4. Доказано существование универсального степенного закона к т для энергетического спектра одномерной обрушающейся волны Римана с гладким начальным условием v(x, 0) = F(x). Кроме того, показано, что та же степенная асимптотика наблюдается продолжительное время в уравнении Бюргерса (рис. 2,а)

ди , ди д2и ^ ...

— + 6и -— = v—r-,v>0 (5)

dt дх дх и уравнении Кортевега-де Вриза (рис. 2,6)

д1 дх дх3 при учете слабой диссипации или дисперсии.

Необходимо отметить, что этот универсальный степенной закон может также встречаться в других нелинейных эволюционных уравнениях, сводящихся к уравнению простых волн при отсутствии диссипации и дисперсии.

В заключение приведены полученные результаты.

Глава 2 посвящена исследования трансформации волн в стратифицированном двухслойном потоке переменной глубины, для которой обсуждаются точные и приближенные аналитические решения. В § 2.2 описывается семейство точных аналитических решений, описывающих распространение линейных длинных внутренних волн в стратифицированном канале переменной глубины и сечения (рис. 3), когда отсутствует внутреннее отражение волн (так называемое безотражательное распространение). Показано, что в узких стратифицированных бухтах переменного сечения могут распространяться бегущие внутренние волны без отражения при специальном законе изменения глубины и ширины канала:

Рис. 3. Геометрия задачи

В(х) = В,

1 + /?) / И2 (х)

1 + А,/А20

К

-сЬс'

(7)

где В0 и й2о соответствуют параметрам канала в произвольной точке х = 0, а Ь характеризует масштаб изменения толщины нижнего слоя с расстоянием.

Число конфигураций «безотражательных» каналов достаточно велико, что позволяет надеяться на хорошую аппроксимацию реальных профилей дна. Форма безотражательных волн не меняется во времени, однако в пространстве они деформируются. Полученные аналитические решения демонстрируют возможность сильного усиления внутренних волн в узких бухтах, что не отмечалось ранее.

В § 2.3 рассматривается отражение линейной внутренней волны в критической точке, где двухслойный поток переходит в однослойный. Здесь также приведены точные решения данной задачи. Обсуждается связь получаемых линейных решений с нелинейными в силу аналогии данной задачи с известной нелинейной задачей о накате волн на плоский откос. В частности, высота «наката» (смещение границы раздела жидкостей в точке х = 0) равна

. 2 (8) А {2а,Ь /с0)+ У,2 (2<аЬ / с0 )

где й определяет высоту смещения границы раздела на урезе (х = 0), точнее, его действительная часть, 70д - функции Бесселя, А - амплитуда, со - частота и Со -скорость распространения падающей волны.

В такой форме формула (8) носит универсальный характер, и годится как для высоты наката поверхностных волн на линейный откос И(х) = ах (а - тангенс угла наклона берега), так и для внутренних волн на откос И2{х) = Дх/(1 -Рдс произвольным значением коэффициента р, определяющим наклон дна в точке х = 0, где двухслойный поток переходит в однослойный. Зависимость высоты наката от безразмерного параметра соЬ/со, фактического равного отношению длине откоса к длине внутренней волны, представлена на рис. 4. Как и ожидалось, если откос достаточно крутой, то волна отражается от него как от вертикальной стенки, а высота волны на стенке удваивается. В случае же наклонного откоса происходит усиление волны на шельфе и высота «наката» внутренней волны возрастает.

Фаза колебаний «уреза» отличается от фазы падающей волны на величину ф = -ак^ ^ с°) _ Для крутых откосов фаза мала, а при пологих - стре-J0(2(йL/c0)

мится к -я/2.

Аналогично удается найти коэффициент отражения волны

А _ л ^(2со1/с0)-и,(2тЬ/с0) ы /0 (2ю£ /с0)+ИI (2тЬ / с0 )

^ 21(£>Ь

(9)

'-о

Амплитуда отраженной волны (модуль Агеу) равна амплитуде падающей волны, что не удивительно, поскольку мы использовали условие полного отражения на «урезе». В тоже время фаза отраженной волны меняется от нуля для крутых откосов до тс/2 для пологих. Естественно, что это также влияет на форму отраженной волны в случае подхода одиночной внутренней волны.

Вблизи «уреза» нелинейные эффекты должна быть существенны, так как амплитуда колебаний сравнивается и превышает толщину нижнего слоя. Нелинейную задачу пока не удается решить аналитически. Однако это не означает, что решение линейной задачи полностью неприменимо для описания волнового процесса в переходной зоне. В аналогичной задаче наката поверхностных волн на плоский откос линейная теория правильно предсказывает экстремальные характеристики наката, в частности, высоту волны на урезе. Более того, если параметр Вг = со2Л/(^а2) достаточно мал, то решение линейной задачи удовлетво-

рительно описывает и форму колебаний уровня воды на урезе. В то же время, если этот параметр равен единице, то волна обрушивается на урезе, а при еще больших значениях - обрушение происходит еще в море до подхода волны к берегу. Именно поэтому этот параметр назван параметром обрушения. Входящая сюда высота наката вычисляется корректно в линейной теории. Поэтому можно попытаться написать по аналогии параметр обрушения для внутренних волн на откосе, учитывая, что а = = Р(р2 - р0/р1

Вгт = оЛ?/(£'р2), (10)

хотя мы не можем пока вывести его строго из нелинейной теории. Если принять опять же по аналогии в качестве критерия обрушения условие Вг,„ = 1, то можно получить выражение для критической высоты «наката», при которой начинается обрушение

/гсг = ^'р2/ю2. (11)

Это выражение содержит малый параметр - малый перепад плотностей, но надо учитывать, что и частота внутренних волн обычно существенно меньше частоты поверхностных волн, так что высоты внутренних волн получаются вполне реалистическими. Зависимость (11) представлена на рис. 5 для перепада плотностей в 10"3 и уклона дна 0.1.

10

О 2 4 6 8 10

COL/c0

Рис. 4. Зависимость высоты «наката» от частоты внутренней волны

ю

15 20 Период, мин

25

Рис. 5. Зависимость критической высоты «наката» внутренней волны от ее периода

Адиабатическая трансформация малоамплитудных солитонов внутренних волн в двухслойном потоке переменной глубины исследуется в § 2.4 с использованием приближенных методов. Особое внимание уделено расчету волновых характеристик в так называемой критической точке, где коэффициент квадратичной нелинейности обращается в нуль. Показано, что если /г20 < 2/? 1 (д = ^1/^20 > 0.5), то амплитуда солитона

а(х) h20 2/3 \ -h2(x)

ао 1л« J

1/3

(12)

(а0 - амплитуда солитона в точке с глубиной /г20) только затухает при приближении к критической точке. Если же начальная толщина нижнего слоя доста-

точно большая, то амплитуда солитона сначала возрастает, достигая экстре-

ч2/3/ \1/3

мального значения

а»

а затем убывает до нуля. На

рис. 6 приведена зависимость максимального коэффициента усиления от параметра q. Усиление возрастает, если глубина нижнего слоя существенно превышает глубину верхнего слоя.

2

1 '«■"»о

1 - у 1

0.2

0.4

0.6

«о

0.8

Рис. 7. Изменение амплитуды внутренней волны в двухслойном потоке переменной глубины с узким верхним

слоем (штриховой линией отмечен случай И]/И20 = 0.1, а сплошной И1/к2о = 0.5)

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ч

Рис. 6. Зависимость максимального коэффициента усиления от параметра д

На рис. 7 приведена зависимость амплитуды внутренней волны в двухслойном потоке от глубины нижнего слоя, построенная по формуле (12).

В случае же, если начальная толщина нижнего слоя меньше толщины верхнего слоя, то солитон изначально имеет положительную полярность (гребень) и по мере уменьшения глубины амплитуда солитона только возрастает. На последней стадии, когда И2 —» 0, амплитуда солитона растет как И2~2'3

а(х) _ г К 2/3 Г ^ 1

«0 л«

Уже из этой формулы видна слабая зависимость амплитуды солитона от отношения Отметим также отличие в законах изменения амплитуд внутреннего и поверхностного солитона, для поверхностных волн а~Кх.

В заключение приведены полученные результаты.

В главе 3 рассмотрена интрузия водного потока в воздух (фактически, в вакуум) между двумя твердыми параллельными границами, одна из которых движется с постоянной скоростью (рис. 8). На границе раздела между водой и воздухом (контактной линией) учитываются действие гравитации, вязких и капиллярных сил. Упрощенная модель этого явления, развитая в работе ВепПоу-Ууппуску [8], кратко описана в § 3.2.

Y = 0 !

у UfU-V

Жшгеса 1 __ --------------- fersj / | / Вазлрс

I

1

у U, = -V

Жшаха J -

Ii2 = -V

Vi-U-V

а) 6)

Рис. 8. Течение Куэтта со свободной поверхностью в системе координат, связанной с контактом: а) -движется верхняя граница; б) - движется нижняя граница.

Эта модель предсказывает формирование особенностей в решении за конечное время («взрыв»), что делает ее привлекательной для теоретического анализа. Математическая формулировка этой задаче сводится к линейному ад-вективно-диффузионному уравнению на полуоси

dh d"h

dh

r>0

при наличии неоднородных граничных условий в точке контакта

dh

d3h.

1

h(0,t) = 1, —(0,/) = 0, -т(0,0 = ~ (х = 0)

Эх

дхJ

(14)

(15)

и затухании на бесконечности Kx,t)

О, ~(Х,0

дх

•О,

tfh дх

2 С*.')'

>0

(*->со). (16)

В § 3.3 параграфе обсуждаются условия существования решений данного уравнения. В случае постоянной скорости контакта полученное решение формально существует на всей полуоси для любого момента времени, однако за конечное время оно становится немонотонным и выходит за рамки области изменения физической переменной. Тем самым, доказывается локальное существование решения, описывающее динамику контактной линии на конечном интервале времени. В случае переменной скорости контакта выведены интегральные уравнения, описывающие скорость контакта и кривизну контактной линии вблизи контакта. Численное решение показывает «взрывной» характер изменения характеристик потока за конечное время, однако аналитическое описание решения вблизи точки «взрыва» не следует из доказанных теорем существования.

В § 3.4 рассматривается формирование особенностей (сингулярностей) в решении вблизи момента «взрыва». Получены условия на скорость перемещения контакта и кривизны контактной линии в этой точке, при которых решение должно «взорваться» за конечное время и перестать быть физически значимым. Найденный аналитически закон возрастания скорости контактной точки вблизи особенности имеет вид V(t) ~ (t0 - t)'m. Этот результат был подтвержден затем численно в работе [9]. В заключение приведены полученные результаты.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Выведено обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для внутренних волн в двухслойном потоке с учетом капиллярных эффектов. В окрестности двойной критической точки (коэффициенты квадратичной нелинейности и дисперсии обращаются в нуль) оно сводится к уравнению Гарднера-Кавахары., Найдены солитонные решения этого уравнения и показано, что они имеют осциллирующие хвосты. С усилением капиллярных эффектов форма уединенной волны меняется от солитона Гарднера до осциллирующего цуга.

2. Найдены точные солитонные решения логарифмического уравнения Кортевега-де Вриза, которое описывает сильно нелинейные волны в средах с нулевой линейной скоростью распространения. Они представляют собой гауссовы импульсы, амплитуда которых зависит от скорости распространения, а ширина остается постоянной. Доказана устойчивость солитонов в рамках этого уравнения. Также найдены солитонные решения «полиномиального» уравнения Буссинеска, где нелинейное и дисперсионное слагаемые содержат иа. Показано что при стремлении а к единице, гауссовы импульсы являются хорошей аппроксимацией солитонных решений этих уравнений, позволяя надеяться на применимость логарифмического уравнения Кортевега-де Вриза к более сложным ситуациям.

3. Доказано существование универсальной степенной асимптотики в спектре одномерной обрушивающейся волны Римана в недисперсионных средах с произвольной нелинейностью. В случае гладких начальных возмущений показано, что при обрушении в профиле волны формируется особенность как (х - х,)т. Эта сингулярность формирует универсальную асимптотику в энергетическом спектре волны к~т. Численно показано, что универсальная степенная асимптотика сохраняется в течение длительного времени при учете слабой диссипации в уравнении Бюргерса или слабой дисперсии в уравнении Кортевега-де Вриза.

4. Показано, что в узких стратифицированных бухтах переменного сечения могут распространяться бегущие внутренние волны без отражения при специальном законе изменения глубины и ширины канала. Число конфигураций «безотражательных» каналов достаточно велико, что позволяет надеяться на хорошую аппроксимацию реальных профилей дна. Полученные решения демонстрируют возможность сильного усиления внутренних волн в узких бухтах.

5. В рамках линейной теории мелкой воды показана аналогия между динамикой внутренних волн в окрестности точки перехода двухслойного потока в однослойный и классической проблемой наката поверхностных волн на берег. Предложен аналитический критерий обрушения внутренней волны на откосе. Оценены амплитуды обрушивающихся внутренних волн различного периода.

6. Для адиабатической трансформации уединенной внутренней волны малой амплитуды в двухслойном потоке с уменьшающейся глубиной рассчитано изменение амплитуды уединенной волны от толщины нижнего слоя. Показано, что амплитуда внутренней волны может немонотонно возрастать при подходе к берегу.

7. В предположении постоянной скорости перемещения контакта найдено решение линейного адвективно-диффузионного уравнения (модель Benilov-Vynnycky [8]), описывающее динамику языка интрузийного потока под действием напряжений на верхней границе. Полученное решение за конечное время становится немонотонным и выходит за рамки расчетной области, то есть существует на конечном временном интервале.

8. В рамках модели Benilov-Vynnycky [8] с переменной скоростью найдены условия на скорость перемещения контакта и кривизны контактной линии в точке контакта, при которых решение должно «взорваться» за конечное время и перестать быть физически значимым. Полученный аналитически закон возрастания скорости контактной точки вблизи особенности V(t) ~ {t0 -1)'112 подтвержден затем численно в работе [9].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kim D.C., Kim К.О., Pelinovsky Е., Didenkulova I., Choi В.Н. Three-dimensional tsunami runup simulation at the Koborinai port, Sanriku coast, Japan // Journal of Coastal Research. SI. 2013. V. 65. P. 266-271.

2. Abadie S., Morichon D., Grilli S., Glockner S. Numerical simulation of waves generated by landslides using a multiple-fluid Navier-Stokes model II Coast. Eng. 2010. V. 57. P. 779-794.

3. Lubin P., Vincent S., Abadie S., Caltagirone J.P. Three-dimensional large eddy simulation of air entrainment under plunging breaking waves // Coast. Eng. 2006. V. 53. P. 631-655.

4. Jacobsen N.G., Fuhrman D.R., Fredsoe J. A wave generation toolbox for the open source CFD library: OpenFOAM® // Int. J. Numer. Methods Fluids. 2012. V. 70. P. 1073-1088.

5. Formaggia L., Miglio E., Mola A., Parolini N. Fluid-structure interaction problems in free surface flows: application to boat dynamics // Int. J. Numer. Methods Fluids. 2008. V. 56. P. 965-978.

6. Talipova Т., Terletska K., Maderich V., Brovchenko I., Kyung Tae Jung, Pelinovsky E., Grimshaw R. Internal solitaiy wave transformation over the bottom step: loss of energy // Phys. Fluids. 2013. V. 25. P. 032110.

7. Wroniszewski P, Verschaeve J., Pedersen G. Benchmarking of Navier-Stokes codes for free surface simulations by means of a solitary wave // Coastal Engineering. 2014. V. 91. P. 1-17.

8. Benilov E.S., Vynnycky M. Contact lines with a 180° contact angle // J. Fluid Mech. 2013. V. 718. P. 481-506.

9. Pelinovsky D.E., Xu C. On numerical modelling of contact lines in fluid flows // Preprint of McMaster University, Hamilton, Canada, 2013. 14 p.

10. Коор С., Butler G. An investigation of internal solitary waves in a two-fluid system//;. Fluid Mech. 1981. V. 112. P. 225-251.

11. Lee Ch.-Y., Beardsley R.C. The generation of long nonlinear internal waves in a weakly stratified shear flows // J. Geophys. Res. 1974. V. 79. No. 3. P. 453-457;

12. Kakutani Т., Yamasaki N. Solitary waves on two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45. P. 674-679.

13. Djordjevic V.D., Redekopp L.G. The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography // J. Phys. Oceanogr. 1978. V. 8. No. 6. P. 1016-1024.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

Г1. Пелиновский Д.Е., Гиниятуллин А.Р. О формировании особенностей в линейном уравнении адвекции-диффузии с переопределенным граничным условием // Вестник МГОУ. Сер. «Физика - Математика». 2012. № 3. С. 14 -24.

Г2. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Куркина О.Е., Рувинская Е.А., Гиниятуллин А.Р., Наумов А.А. Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т.6. № 3. С. 46 - 53.

ГЗ. Pelinovsky D., Pelinovsky Е., Kartashova Е., Talipova Т., Giniyatullin A. Universal power law for the energy spectrum of breaking Riemann waves // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98. Вып. 4. Р. 265 - 269.

Г4. Гиниятуллин А.Р., Куркин А.А., Куркина О.Е., Степанянц Ю.А. Обобщённое уравнение Кортевега - де Вриза для внутренних волн в двухслойной жидкости // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2014. Т. 7. № 4.

Г5. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Куркина О.Е., Гиниятуллин А.Р. Отражение длинных внутренних волн малой амплитуды от подводного откоса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2014. Т. 50. № 4. С. 484 - 488. Статьи в рецензируемых журналах:

Г6. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Куркина О.Е., Диденкулова И.И., Родин А.А., Панкратов А.С., Наумов А.А., Гиниятуллин А.Р., Николкина И.Ф. Распространение волны конечной амплитуды в стратифицированной жидкости переменной глубины // Современная наука. 2012. №2 (10). С. 144 — 150.

Г7. Пелиновский Д.Е., Гиниятуллин А.Р., Панфилова Ю.А. О решениях упрощенной модели динамической эволюции контактных линий // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2012. №4 (97). С. 45 - 60.

Г8. Пелиновский Д.Е., Гиниятуллин А.Р., Панфилова Ю.А., Шургалина Е.Г., Родин А.А. Аналитические приближения уединенных волн в зернистых кристаллах // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2013. № 3 (100). С. 55 - 69. Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

Г9. Тюгин Д.Ю., Куркин А.А., Куркина О.Е., Гиниятуллин А.Р. Численное моделирование распространения внутренних гравитационных волн в Мировом океане на основе линейных и нелинейных моделей // Материалы

XVII международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-2011». Нижний Новгород, 2011. С. 427.

Г10. Giniyatullin A., Tyugin D., Kurkina О., Kurkin A. GIS for studying internal gravity waves // Geophysical Research Abstracts, 2011. V. 13. EGU 2011^1361.

Г11. Тюгин Д.Ю., Гиниятуллин A.P., Куркина O.E., Куркин А.А. Оценка зависимости кинематических и нелинейных параметров длинных внутренних гравитационных волн в мировом океане от выбора источника гидрологических данных // Будущее технической науки: тезисы докладов IX Международной молодежной научно- технической конференции. - Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2010. С. 462.

Г12. Гиниятуллин А. Р., Тюгин Д.Ю., Куркин А. А., Куркина О.Е. Геоинформационная система для исследования длинных высокочастотных внутренних гравитационных волн в Мировом океане // Геоинформатика: технологии, научные проекты. Тезисы II Международной конференции, 20 -25 сентября 2010 г., Барнаул. - Барнаул: Изд-во APT, 2010. С. 32-33.

Г13. Giniyatullin A., Tyugin D., Polukhina О., Kurkin A. Influence of hydrological data sources upon the geographical and seasonal distribution of kinematic and nonlinear parameters of long internal gravity waves // Geophysical Research Abstracts. 2010. V. 12. P. 6070.

Г14. Владыкина E.A., Гиниятуллин A.P., Куркин A.A. Нелинейная динамика уединенных внутренних волн в двухслойном бассейне переменной глубины // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 - 29 мая 2010 г. Звенигород, Московская обл. - М.: Изд-во Физ. Ф-та МГУ, 2010. С. 13 - 14.

Г15. Тюгин Д.Ю., Гиниятуллин А.Р., Куркина О.Е., Куркин А.А. Влияние источников гидрологических данных на характеристики длинных внутренних гравитационных волн // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: тезисы докладов Пятой Сахалинской молодежной научной школы, Южно-Сахалинск, 8-11 июня 2010 г./ отв. ред. О.Н. Лихачева. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН, 2010. С. 68 - 70.

Г16. Куркина О.Е., Куркин А.А., Гиниятуллин А.Р. О переносе частиц при распространении уединенных внутренних гравитационных волн // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 44 С 192 -195.

Г17. Kurkina О.Е., Didenkulova I.I., Giniyatullin A.R., Talipova T.G, Pelinovsky E.N. Weakly nonlinear internal waves in two-layer flow of variable depth // Abstracts of the Swedish Marine Science Conference 2012, Kalmar, Sweden, p 20.

Г18. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Giniyatullin A.R., Stepanyants Yu.A. Extended weakly nonlinear theory for internal gravity-capillary waves in two-layer fluid. // Abstracts of the Swedish Marine Science Conference 2012, Kalmar, Sweden, p. 51.

Г19. Крюков И.А. , Куркин A.A., Куркина O.E., Гиниятуллин А.Р., Семин С.В. Сравнительный анализ эффективности геофизических расчетов с использованием аппаратных вычислительных средств различных классов

на примере трехмерного моделирования внутренних гравитационных волн в жидкой среде // 22-я Всероссийская научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ-2012». Материалы конференции. Нижний Новгород, 2012. С. 42-43. Г20. Giniyatullin A.R., Kurkin А.А., Kurkina О.Е., Rouvinskaya E.A., Tyugin D.Y. Extreme internal waves in the horizontally inhomogeneous ocean and its action on the bottom sediment transport // Abstracts of the IAHS-IAPSO-IAPSEI Joint Assembly. 2013. Abstract number PS1PS.07.

Подписано в печать 25.09.2014. Формат 60 х 84 l/j6. Бумага офсетная. _Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 622._

Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева.

Типография НГТУ. Адрес университета и полиграфического предприятия: 603950, ГСП-41, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24.