Гидродинамика и тепло-массообмен при течении тонких слоев вязкой жидкости со свободной поверхностью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

;ГБ ОД

. / ; а 1336

На правах рукописи

ТРИФОНОВ ЮРИИ ЯКОВЛЕВИЧ

ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛО-МАССООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ТОНКИХ СЛОЕВ вязкой ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Специальность 01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 1995

Работа выполнена в Институте теплофизики Сибирского отделения Российской Академии наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Институт новых химических проблем Российской Академии наук

заседании диссертационного совета д UUii.bCi.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте теплофизики СО РАН, 630090, г.Новосибирск, проспект Акад. Лаврентьева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО РАН.

профессор В.В.Пухначев (ИГиЛ, Новосибирск) доктор технических наук, профессор И.И.Гогонин (ИТ СО РАН, Новосибирск) доктор физико-математических наук, профессор Е.А.Демехин (Кубанский технологический государственный университет, Краснодар)

Защита состоится

в _ часов на

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф. -м. н.

Р.Г.Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тены диссертации определяется широким использованием течений тонких слоев со свободной поверхностью в энергетике, химической промышлености, холодильной технике, металлургии и других отраслях техники для осуществления процессов, связанных с тепломассообменом и химическими превращениями между фазами. Так, например, в холодильной технике пленочные теплообменнику используются в качестве конденсаторов хладогентов, в химической технологии и пищевой промышлености водяными пленками поизводится охлаждение серной кислоты, рассола при получении соды, молочных продуктов. Пленочные испарители являются основными элементами в установках по опреснению соленой морской воды.

Практически всегда свободная поверхность покрыта волнами, оказывающими существенное влияние на процессы межфазного переноса. Так,при десорбции из пленок труднорастворимых газов коэффициент массоотдачи из-за волн может увеличиваться более чем на 100%. Теоретическое исследование гидродинамики пленочных течений необходимо для более глубокого понимания процессов волнообразования при влиянии многочисленных факторов - поверхностного натяжения, кривизны стенок, сил инерции и вязкости, фазового перехода на границе раздела и т.д.

Целью работы являлось получение новых фундаментальных результатов по гидродинамике стекания тонких слоев вязкой жидкости со свободной поверхностью и изучение механизма интенсификации процессов переноса волнами.

Научная новизна работы заключается в том, что автором впервые:

- при расмотрении задачи о начале волнообразования проведен учет многих факторов в рамках одного подхода и получено единственное уравнение для расчета инкрементов нарастания различных возмущений свободной поверхности, учитывающее угол наклона плоскости течения, фазовый переход и касательное напряжение на свободной границе

- для задачи о нелинейных волнах на вертикально стекающей пленке выделены несколько "оптимальных" режимов и проведен расчет гидродинамики и тепло- массообмена в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса

- рассмотрены пространственные волновые режимы,ответвляющиеся от

плоских нелинейных волн

- рассмотрены различные волновые режимы стекания тонкого слоя вязкой жидкости вдоль внешней и внутренней поверхностей вертикального цилиндра, радиус которого сопоставим с Нуссельтовской толщиной пленки

- рассмотрены волны конечной амплитуды на поверхности испаряющегося слоя вязкой жидкости

- для широко известного эволюционного уравнения исследованы аттракторы нового типа с более сложным, чем стационарное или стационарно бегущее, поведением во времени

- при рассмотрении стекания по гофрированной поверхности учитываются вязкость, инерция и поверхностное натяжение без приближения малости каких-либо параметров

¿втор защищает:

- уравнение для анализа линейной устойчивости широкого класса пленочных течений и полученные результаты по определению критических параметров волнообразования;

- результаты расчетов нелинейных волн, их устойчивости и тепломассообмена в широком диапазоне чисел Рейнольдса;

- результаты по исследованию устойчивости плоских нелинейных волн относительно трехмерных возмущений;

- модель для расчета волновой динамики при стекании вдоль внешней и внутренней поверхностей вертикального цилиндра и полученные здесь результаты;

- модель для расчета волновой динамики при стекании испаряющегося тонкого слоя вязкой жидкости вдоль вертикальной нагретой стенки и полученные здесь результаты;

- результаты по исследованию аттракторов с более сложным, чем стационарное или стационарно-бегущее, поведением во времени;

- результаты по исследованию гидродинамики и массопереноса при стекании тонких пленок по гофрированным поверхностям.

Достоверность подтверждена соответствием аналитических и численных результатов между собой, а также сравнением с экспериментальными и теоретическими работами других авторов.

Аппробация работы. Результаты работы докладывались: на семинарах Института теплофизики СО РАН (рук. академик В.Е.Накоряков, 1988-1995 гг., ), на семинаре Chemical Engineering Department of Houston University (USA, рук. профессор A.E.Dukler, 1992 г.), на семинаре отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики

СО РАН (рук. профессор В.В.Пухначев, 1995 г.), на X Международной конференции по нелинейным колебаниям (Варна, Болгария, 1984)., на конференциях молодых ученых ИТ СО РАН (Новосибирск, 1986, 1987, 1988, 1989), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и "технике" (Пермь, 1986), на Международном семинаре "Translent Phenomena ln Multlphase Flow", ICHMT, Югославия, г. Дубровник, 1987 г., на 6-ой Всесоюзной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (п. Колюбакино, 1988), на II Международной научно-технической конференции "Гидродинамика, тепло- и массообменные процессы в жидких пленках" (Бургас, Болгария, 1989 г.), на международном симпозиуме "Génération oi large-scale structures ln contlnuous média" (Perm - Moscow, 1990 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20].

Структура и объеи диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, содержащих результаты исследования и выводы, списка литературы. Общий объем работы 305 страниц, 119 рисунков, 1 таблица, 194 ссылок на литературные источники.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы: обсуждена актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы и сформулированы основные результаты и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается линейная устойчивость отекания пленки вдоль наклонной плоскости при наличии фазового перехода и касательного напряжения на свободной границе. Известно, что волны оказывают существенное влияние на процессы массо- и тепло-переноса через свободную поверхность, и необходим их учет при проектировании различных инженерных устройств. При этом возникает вопрос о критических областях параметров, когда течение можно считать волновым и соответствующим образом менять критериальные зависимости для тепло-и массопередачи. Экспериментальное решение данной задачи чрезвычайно трудоемко и, по существу, ограничивается проверкой выводов теоретического рассмотрения проблемы о начале волнообразования. Ранее рассматривались различные предельные случаи - линейная устойчивость при свободном стекании тонкого

слоя (Benjamin, 1957); горизонтальный канал, где пленка жидкости увлекалась газовым потоком (Craic, 1966); устойчивость поверхности раздела при наличии поперечного потока массы (например, при конденсации или испарении), но в отсутствии касательных напряжений на свободной границе (Splndler, 1982). Нашей целью является исследование волнообразования при пленочном течении с одновременным учетом различных факторов - угла наклона плоскости течения, касательного напряжения на свободной поверхности и фазового перехода (конденсация или испарение) на границе раздела. Это позволит сопоставить их роль при волнообразовании и глубже понять механизмы волновой неустойчивости.

Рассматриваются периодические возмущения свободной поверхности /i=hexp[ ía(x-ct)), где с - неизвестный комплексный инкремент нарастания или затухания, а = 2icA, % - длина волны возмущения. После линеаризации исходных уравнений около основного состояния (описывается полями скоростей (uo.uo) в жидкой и (lío, Уо) в паровой фазах, а также функцией ho (г*), где X* -"крупномасштабная переменная" вдоль плоскости течения) приходим к двум задачам Орра-Зоммерфельда в жидкости и паре, соответственно:

(a Reí (ио-с)(/уу-а2/) - uoyy/J = /уууу - 2а2/уу + аV и = -fyh-eiр! la(x-ct)], v = la-f-h-explla(x-ct)] tag Re9[(ffo-C)(Pyy-ag2P) - ííoyyf] = Flv - 2ag2?" + ag4P

U = -FyH-expl tag(X-Ct)), 7 = lag-P-H-expHag(X-Ct)],

dF

y.o dY

y"° = dy

o(9) = om . (o<9> -ö(,))

О

= 0;

Y .CO

о ö h

У |y-h„+h xy |у-Ьо*Ь yy yy |y.n0»l, /lo QX¿

<U0> . i <U0> . i

—u = ff ;--и =7 ;

fj |y«h„»h |y"h0+h U |y"h0*h |yh0,h

oo со

■ d J

и t = —(ho + h) +

ly'Vh dt p<uo>

Величины скорости обезразмерены на <uo> и Uw, где <uo> - средняя по толщине скорость в жидкости, Uw- скорость в паровом ядре потока!! Масштабы толщины и длины ho. и So, где ho - толщина пленки, öö - толщина пограничного слоя; R,8 =uoho/v, Reg =UJ!)o/Vg,~ где v

и Vg - кинематические вязкости жидкости и пара соответственно, о - коэффициент поверхностного натяжения, о'9', о<з), о(", оС1> -

ху уу ху уу

компоненты тензора напряжений в паре и жидкости, соответственно

du dv dv

(о = u(— + —), о =-p+2u—, u - динамическая вязкость в жид-

ху ду дх уу ду кости или паре, р - давление), р - плотность жидкости, -(К/г)*

хдТ/ду\^шЪ +h - поперечный массовый поток, X - температуропроводность, г - теплота фазового перехода.

Далее рассматриваются длинноволновые возмущения о/2г =ho/X« <<mtn{1, 1/(RePr)), Рг - число Прандля для жидкости, что позволяет считать поле температур "квазистационарным", т.е. Т = Г» + + (Ts - T»)°y/(ho +h(x,t)), Г* - температура в паровой фазе, Т* -температура стенки, LT = Г» - Г».

Для большинства случаев, интересных практически, (ig/p.<< 1, <uo>/U00 « 1, hо/б « 1. Задача Орра-Зоммерфельда для паровой фазы в этом случае отделяется от задачи для жидкости и может быть решена вперед с граничными условиями:

t dVo

dF

Л « = —

у dY

dF

= 0; —

у.» dY

dü о

P|y-° Ctg dY

y.o dY

Поле возмущений в паровой фазе разбиваем на три зоны, аналогично задаче Benjamin (1959) для течения газа вдоль волнистой стенки: а) зона "вязкого подслоя" толщиной б^, где преобладающими являются силы вязкости; б) зона пограничного слоя толщиной 6о, где существенней вид профиля скорости Uo(y); с) ядро потока, где Uо(у) = const. Решение представляется суперпозицией "вязкого" и "невязкого" решений, удовлетворяющей граничным условиям. Сшивая решения каждой из зон, приходим к выражению для компонент напряжений, действующих на жидкую пленку со стороны паровой фазы.

Решение уравнения Орра-Зоммерфельда в жидкости представляем

в виде ряда: / = > Л«уп. Используя, также, общий вид стационар-

п-2

,2 ,

ного решения для задач пленочного течения: ио(у) =2у +й(2у/3 -у ), получим рекуррентное соотношение на определение Лп. Ограничиваясь случаем а2<< 1, аИе< 1 и представляя с = Сг + (7, после ряда преобразований приходим к выражение для инкремента нарастания (затухания):

айе,/6 гг 2, , 21 4й йКо 2 Мо 1

7 =-—й( +-|П-С-а Г| --------[— I--1

2 45 ^ 31 } а а2Ее ах а2ДеЧу ЙеРгКи'*

2а _ ра5/3

Сг = 2+£й, П =-(2-4Й/3), 21 = ---°(2-4й/3)г/31,372т/~3~,

* Сгйе С^Йе

Й\/»яЛ г ¿"Лосовф а р9

3Ы3, Яи =--С =-—, Г =-- ,

^ СрАГ <ио>2 р<ио> Ьо Р

Возмущения с 7 < 0 затухающие, а с 7 > 0 - нарастающие. Для свободно стекающей в поле тяжести пленки жидкости =11=211=0,

й=|, Т=(в1п3(у)Не*)из. П отсюда следует

хорошо известный критерий устойчивости течения пленки вдоль наклонной плоскости - с1ё(<р) >6Йе/5. Наличие поперечного потока массы приводит к транцендентному уравнению для критического числа Рейнольдса, при котором начинается волнообразование:

5 5 Гг ЗР1 Л 1 то.5

Десги = с^Сф.) +

3>( Йе,

ГГ 15 1

РгЯи-1

и при ф= тс/2 в точности соответствует работе 5р1пс11ег (1982). Далее рассмотрено влияние касательного напряжения на свободной поверхности в отсутствие фазового перехода: 1 - К -

[-]ъ=-—-(шФ))'3(-ЗшФ1), $н=\ы2+со8(<р)-1зШ<р)(йе\ги)г/3

ЧЙ'.гм' М2/3 I- Э

1йе*сг11-' от

, 1 /г

= (6С;)из/(4^), и» = , Р» - 30 51.372р/2, Де*=£*?ю3/Зг>2

[й3К1Ш + Зз1пГфНЙе*см01/3)] , X 1=64 (2/3)0'5р-13(ЗР I)1/6, К = Рз 8р

При значении угла ф= 0 мы получаем уравнение Сга1с (1966). Для системы воздух-вода при конечных значениях угла Ф результаты представлены на рис.1.

Далее в диссертации расмотрена устойчивость поверхности раздела при конденсации движущегося пара на вертикальной стенке (рис.2). В качестве основного состояния использовано решение РиД1 (1972). Волнообразование начинается с небольших чисел Рейнольдса, несмотря на стабилизирующее влияние поперечного потока массы. Проведено сопоставление с данными экспериментов И.И.Гогонина, А.Р.Дорохова, В. И.Сосунова (1980) по интегральному коэффициенту теплоотдачи при

конденсации движущегося пара.

Во второй главе рассмотрены нелинейные волны на пленке жидкости, свободно стекающей вдоль вертикальной плоскости. Расчеты проводились как на основе интегральных уравнений Шкадова (1967), так и на основе полной системы уравнений Навье-Стокса. В безразмерном виде интегральная модель имеет вид:

5q a a2 a3h г q , ah aq

—+ 1.2—— = 3h—- + Z h-—1, — + — = О (1)

at ax h ax3 i h2J at ax

Здесь h - локальная толщина пленки, q - локальный расход в пленке. В качестве масштабов использованы Нуссельтовская толщина пленки Но = (3vzRe/g)1/3, расход жидкости Qo = vRe и проведено сжатие по координатам х и X, в результате которого в задаче остается единственный внешний параметр Z=(8)PÎ/i?el1.),/6, Fi = (^)3/gv4.

Используя Фурье-разложение:

к/2-1

•h(£) = ^HnexpUonÇ), î = х - et, (2)

n.-H/2+l

после подстановки в (1) задача сводится к решению нелинейной системы алгебраических уравнений, которая решалась численно с использованием итерационного метода Ньютона.

Для исследования устойчивости периодических решений qo(Ç), ho(£) в (1) подставлялись q= qo(Ç ) + q' (£, t ), h= ho(£)+ h' ({, t и после линеаризации получалась система линейных уравнений в частных производных с периодическими по £ коэффициентами, решения которой представимы в виде:

(h'.q' ) = (ф.Ф)-exp[-7t+laQÇ] + К.С. где ф, Ф - периодические функции того же периода, что и ho(0. qo(Ç); Q - вещественный параметр; К.С. - комплексное сопряжение.

После всех подстановок имеем следующую спектральную задачу:

Ь(Ф,ф) = 7(Ф,ф) (3)

А

Здесь L - матричный дифференциальный оператор.

Задача заключается в нахождениии спектра собственных значений 7, при которых система уравнений (3) имеет периодические решения (ф, §) с периодом 21/а. При этом достаточно рассмотреть интервал 0 < Q 4 0.5.

Волновой режим устойчив относительно любых двумерных возмущений при условии что для любых значений параметра Q вещественная часть всех собственных значений положительна Real(у) Ï 0.

Используя конечное Фурье-представление функций <р и Ф, задача сводится к решению проблемы собственных значений для комплексных матриц общего вида, которая решалась численно.

Выделим важный класс возмущений той же периодичности (Q =0), что и исследуемый на устойчивость нелинейный режим. Волновые режимы неустойчивые относительно таких возмущений не реализуются в экспериментах, как показали сопоставления с экспериментами П.Л.Капицы и С.П.Капицы (1949) и C.B.Алексеенко, В.Е.Накорякова, Б. Г. Покусаева (1979).

На рисунке 3 представлены результаты расчетов устойчивости волн 1-го семейства (ответвляются от линии нейтральной устойчивости безволнового стекания) относительно возмущений той же периодичности. Режимы устойчивы между линией а= I и линиями 1-4. На линиях 1,4 вещественная часть двух комплексно сопряженных значений 7 проходит через ноль, и для решений волновые числа которых лежат ниже кривой 1 для Re/Ka <6.4 (£а = Ft1'11) и кривой 4 для Re/Ka } 6.4 существуют нарастающие во времени возмущения. Аналогичная смена типа устойчивости происходит на линиях 2,3 рис.3, и в заштрихованной области волны 1-го семейства также неустойчивы.

Таким образом, "длинные" волны 1-го семейства неустойчивы относительно возмущений той же, что и сама нелинейная волна, периодичности, и не реализуются в экспериментах.

Семейство решений (далее по тексту 2-ое), длинные волны которого качественно соответствуют наблюдаемым в экспериментах "одиночным" режимам, впервые было рассчитано О.Ю.Цвелодубом (1980). Оно ответвляется от волны 1-го семейства с удвоением пространственного периода, как это было показано A.B.Буновым, Е. А. Демехиным и В.Я.Шкадовым (1984). Нашей целью являлся расчет нелинейных режимов и их устойчивости в широком диапазоне параметров задачи. На плоскости (a, Re/Ka) область существования волн 2-го семейства имеет сложную многоскладчатую и многолистную структуру. Сверху она ограничена небольшой окрестностью линии 5 рис.З; где одно из вещественных собственных значений 7 проходит через ноль, и далее происходит слияние волн 2-го семейства с волнами 1-го семейства удвоенного периода. Решения данного семейства получаются непрерывным продолжением по параметрам а и Re/Ka решений из окрестности

линии 5 рис.3 без пересечения кривых 6-8, которые разбивают область существования на различные листы. Область устойчивости волн 2-го семейства относительно возмущений той же периодичности ограничена линиями 5-12 рис.3. Найдено, что устойчивых режимов этого типа для значений Re/Ka > 5.2 не существует.

Несмотря на то, что исследование устойчивости существенно сужает диапазон реализуемых в экспериментах волновых режимов, он остается достаточно широким. Проблема выбора преимущественного волнового режима, имеющая большое значение для различных полуэмпирических моделей, остается. В диссертации использован критерий "оптимальных" решений, имеющих при данном средневолновом расходе минимальную средневолновую толщину. Впервые он был предложен В.Я.Шкадовым для волн 1-го семейства, где его применение не встречает никаких проблем, т.к. при каждом значении параметра Re/Ka зависимость <h>(a) имеет только один минимум. Для волн 2-го семейства при значении параметра Re/Ka = 0.8 зависимость <h>(aj представлена на рис.(За) и имеет несколько локальных минимумов и один глобальный. При значении параметра Re/Ka = 2 зависимость <h>(а) дана на рис.(Зв) и, как видно, в областях между складками она имеет только один минимум. Таким образом, для волн 2-го семейства в каждой из областей между складками (т.е. между линиям 5-6, 6-7, 7-8, и т.д.) существует свой "оптимальный" режим.

На рис.4-5 представлены зависимости средневолновой толщины и длины волны от значений параметра Re/Ka для различных "оптимальных" режимов. Характерные волновый профили представлены на рис.6. При численном продвижении по параметру Re/Ka волновое число определялось из условия d<h>/da = 0. Линии 1 соответствуют "оптимальным" волновым режимам 1-го семейства, линии 2а,2в,2с,2с1- "оптимальным" волновым режимам 2-го семейства соответственно между «упадками 5-6, 6-7, 7-8, 8-следующая линия (см.рис.3), 2g- "оптимальному" режиму, связанному с глобальным минимумом в зависимости <h>( а).

Далее рассмотрено влияние волн на массо- и теплопередачу. Уравнение конвективной диффузии, взятое в приближении диффузионного пограничного слоя, имеет следующий вид:

Здесь 8 - концетрация примеси, D - коэффициент диффузии, и.

at

(4)

- скорость на свободной поверхности пленки, у - поперечная координата, отсчитываемая от свободной поверхности.

Граничное условие на свободной поверхности 0|у.о=0° и в начальный момент времени в пленке В такой постановке рассматривается проникновение со временем примеси в пленку,' й распределение концентрации 8 по координате £ предполагается периодичным. Для уравнения (4) и принятых граничных условий существует автомодельное решение:

2(81-80) У'е<М)

8 = 8о +- • / ехр[-т)г](1т), 6| _ =0.

Гк 0 1-0

ае аб аи. 1

— + (и.(О-с)—- =—, 61 „=0. (5)

ег в{ <ц 2б 1ш0

гъо БЬ 1 т 1 1

51:10 = — . — ---/<-><п = —<б> | „

пштр бьо ггт ¿а тт ЧжТ

Здесь Гр - размерное время, <...> - среднее по длине волны.

Для определения бЦД) задача (5) решалась численно методом характеристик, уравнения которых имеет вид:

— = 11.-е, Т = Г--(6)

Здесь - "номер" характеристики при 1 = 0, приходящей в точку Ц,Т). Соотношение на характеристиках имеет вид:

1 «

б2Ц,Т)=- 2 /(и.(Г)-сЩ' (7)

(и.(С)-с)2 \0

•Вначале находится значение £°(£,Т) из (6), и затем подставляется в (7) для определения толщины диффузионного слоя. При численном расчете, интегралы в (6), (7) определялись по методу Ньютона-Котеса 8-го порядка с автоматическим выбором шага, функция 1ь(£) аппроксимировалась кубическими сплайнами по рассчитанным значениям толщины пленки. Для решения интегрального уравнения (6) использовался итерационный метод Ньютона.

Волновые режимы течения пленки по отношению к массообмену разбиваются на три типа: а) докритические режимы, т.е. и«( £) < с при каждом значении [, и г этом случае

Б11/511о » [(с-<и.> )-<с^7>)г'

б) критические режимы, т.е. имеется одно значение £ = а, где и.(а) = с, а для остальных значений £ и«(£) < с, в этом случае

БЬ/БПо ~ /?"*, Т—«в; в) закритические режимы, для которых есть, как минимум, один участок волнового профиля си < £ < аг, где

и.({) > с, в этом случае БП/БПо ~ /г"\ Г—*».

На рис.7 приведены количественные результаты расчета массо-переноса для "оптимальных" режимов 1-го и 2-го семейств, принадлежащих 1-ой складке (на рис.3 между линиями 5 и 6).

Задача интенсификации теплообмена волнами для жидкостей с небольшими числами Прандля значительно проще и соответствующий коэффициент имеет вид - аьеа1/(ао)неа1 = <1/11(0>. На рисунке 8 приведены результаты расчетов для различных "оптимальных" режимов. Обозначение линий соответствует рисункам 4-6.

Для расчета стационарно-бегущих волн и=и(1), и=1>Ш.

Р=Р(Ь)> 5=х-с1, е.- фазовая скорость, на основе полной системы уравнений Навье-Стокса было использовано преобразование ТН'/ЛШ, преобразующее уравнения к виду:

а 11 1

уЦ,т))=-МОи-т)?—[ь|и(£,т)' )<1т)'|; М|)|(иЦ,т)' )-с )с!т)' =1-с<Ю О О

о(р-р(У)) 1 , ,а2у .а2у а2? а2? ау,

га(и-с)у б(ц-с)у ау2-, ар ар 1 г ^

I ~её ёт] аё ^бт) +йё«- +т)у атр +

а2и аги аи., а(и-с)у а(и-с)2 д(и-с)2

^ ^---¿Г =0:

ыагг

u(|,T)) =0, при T) = 0 (8)

Здесь tj{ = -(vfih/dV/h(V, т)y=l/h(i), tj5 = ~(i/h)áh/dt.

= -(T}./h)dh/dÍ - (vfizh/diz)/h(i), <h> - средняя по длине волны толщина пленки.

Уравнения (8) решались численно с использованием спектрального метода:

1 »

u(C.T)) = - Ü1(C) + ) Om(0 Tn_1(T)i), T)i = 2т) - 1 (9) 2 m=2

N/2-1

Ví>=üm° + £nB»exp[lta£]. (üm"n)*=ünn

n=-N/2+l

Здесь ?ra - полиномы Чебышева и верхний знак звездочки обозначает комплексное сопряжение.

Отметим, что в соответствие с интегральным подходом волновые характеристики представляются единым образом для различных жидкостей в безразмерных координатах (a,Re/Ka), а=(2%/Х) (a/pg)°'s/Re0-5 Для уравнений Навье-Стокса система определяющих параметров (k, Ка , Re) (k - (2%/k)(3v2Re/g)1/3), или их комбинация (a, Ka, Re/Ka).

Результаты расчетов зависимостей основных волновых характеристик от волнового числа а по уравнениям (8) и сравнение с интегральной моделью (1) представлены на рисунках (9).

В третьей главе диссертации рассмотрен "развал" двумерных нелинейных волн и переход к трехмерному течению. Расчет устойчивости и ветвлений плоских волновых режимов проводился на основе системы уравнений, обобщающей (1) на случай трехмерных возмущений (Е.А.Демехин, В.Я.Шкадов, 1995):

óq J q2 ó qQ, q oh^3h 63h ,

— + 1.2Í- - + - —I = + gh + —Г— + -1

ot ox h dz h > h p 4x3 oxoz2j

6Q (d qQ a Q\ Q ohfa3h a3h Л

— + 1.2Í- — + - —I = -3v— + —í- + -1

ót óx h dz h J h2 p laz azox2J

ôh ôq ôQ

— + — + —= о

ôt ôï ôz

где Q - мгновенный расход в направлении z, остальные величины те же, что и в (1). После линеаризации около периодического, стационарно-бегущего решения (ho(UfQ°(U>0), £ = r-coí, со - фазовая скорость, получим уравнения решения которого представимы в виде:

(h'.q'.Q' ) = (hi,qi,Qi)exp(-7t + 10z) +К.С. (10) (hi.qi.Qt) = (»(t).q><t).X(E))exp(laLÍ)

К.С. - означает комплексное сопряжение, (3 - вещественный параметр, (Ф.ф.х) -периодические функции с тем же периодом А, = 2%/а что и исследуемое на устойчивость решение (ho, qo), L - вещественный параметр изменяющийся от 0 до 1. Задача исследования устойчивости сводится к численному расчету спектра собственных значений 7 для комплексных матриц общего вида. Волновой режим (fio,до,0) устойчив, если для всех значений (Î и I вещественные части всех 7 больше нуля Real(у) > 0.

Далее была исследована устойчивость относительно длиннопро-модулированных пространственных возмущений. Вводилсямалый параметр е = "Гp2+a2Iz , р -eslnQ, aL=ecos9, 0 < 9 ¡í г/2., и решение представлялось в виде рядов

3 3

<в.ф,х> = I (Фп.Фп.Х„)еп ; 7= Н£"

п »0 пяО

Последовательно рассматривались порядки по е и из условия разрешимости во втором приближении получено уравнение

ÍReal(ji)]2 = -R» = -R«cos29 + <r>slnz9;

<pi>-c<p2> (<p2>-c<a2>+<ai>)2 Rx ----;-

<a > 4<a >£

2 2

iV

Здесь знак < > означает осреднение <a >--fa„(£)dí, вещес-

2 X о 2

твенные периодические функции ai, аг, ¡3i, (Зг, г определялись численно из приближения е1. Если R* < О, то режим (qo,ho,0) неустойчив к длинным возмущениям. Если R* > О, то величина 71 чисто мнимая, и в этом случае рассматривалось следующее по е приближение.

Расчет устойчивости показал, что для любой стационарно-бегущей двумерной волны из диапазона существования по волновым числам а всегда существуют нарастающие и, соответственно, нейтральные пространственные возмущения вида (10) с Real(j) = 0. Используя собственный вектор нейтрального возмущения, для конструирования начального приближения вблизи точки бифуркации, имеем:

M

(h.q)=^(h0n,q0n)elami + AjexpdaLI+ipz-lT^ )£((!)_,фв)е1ат£+К.с)

т=-М m

Стационарно-бегущие пространственные режимы могут ответвляться в точках где 71 = 0. Такие точки, как показали расчеты, для волнового режима с фиксированным a могут лежать^либо на линии L = 0.5, либо 1 = 0. При этом волновые числа (а, р) рождающихся пространственных режимов, как следует будут, соответственно; (а/2,р) и (а,р). Численный алгоритм расчета использует представление функций в виде конечных сумм от двойных рядов Фурье M N

т

(h.q.Q) = ) ) (H ,q ,— IcH -q ] )exp(i<®£+ipnz ). m=-M n=-N

В четвертой главе диссертации рассмотрено влияние кривизны стенок на волновое стекание тонкого слоя"вязкой жидкости. Рассчитывались нелинейные волны на поверхности пленки стекающей вдоль внешней и внутренней поверхностей вертикального цилиндра, радиус которого мог быть сопоставим с Нуссельтовской толщиной. Осредняя исходные уравнения, была получена система обобщающая (1) на случай цилиндрической геометрии:

âq д fq2 . h a, 1 3h а31ц 3vq 1, h2,

iJ. î 1.2- -.f,(:-) = g — - + - -2— fih +-] ôt ôzlh R pl(R-h)2ôz ôz h3î(îh/R)Jl 2RJ

ôh R flq Л 3

— +--- = 0; f = 3|- - y2 +y4P - ln(y)||/4(y-l)3;

at Rih ôz 4 4 JJ

15 5 17

fi= (y-l)i- - +-У2—У4 +—У6 +2y4ln(y) -3y6ln(y) +2y6ln2(y)l/ 1 6 4 2 12 J

/[1.2[ i - y2 -ln(y))]2]; y=l-h/R

В пределе Л—<» ("Л—>/, /——1) мы имеем систему (1).

Исследована устойчивость безволнового стекания и показано, что с увеличением кривизны стенок происходит уменьшение фазовой скорости нейтрального возмущения для течения по внешней поверхности цилиндра и увеличение для течения по внутренней поверхности. С увеличением кривизны стенок как для случая стекания по проволочке, так и для случая стекания по внутренней поверхности цилиндра происходит расширение области линейной неустойчивости (т.е. становятся неустойчивыми все более коротковолновые моды). Для одного и того же значения кривизны область нарастающих возмущений для течения по внутренней стенке цилиндра шире, чем аналогичная область для течения по проволочке.

Далее, используя спектральный метод, рассчитывались стационарно- бегущие волновые режимы. В задаче три внешних параметра -й (кривизна), Ка, йе и один внутренний - волновое число а. Основное внимание было уделено качественным различиям между волновым стеканием вдоль вертикальной плоскости и вдоль внешней или внутренней поверхности вертикального цилиндра.

В пятой главе рассмотрено влияние волн конечной амплитуды на испарение стекающей по вертикальной стенке пленки жидкости. Развит интегральный подход и получены уравнения для описания эволюции волн конечной амплитуды:

Здесь толщина Ь и расход д предполагаются периодическими по координате х, г = (81П/Р.е" )иб, К = Г9йе5/РС ;1/6А'иЛ масштабы всех величин и Яе определяются по начальному сечению потока, Ф -является параметром, характеризующим удаление от начального сече-

511 — +

ния (крупномасштабная пространственная переменная) и меняющимся от

Í. до 0 для испарения (К > 0), и от ) до » для конденсации, <q> =

А. *

(1 /\)foq(x,t)dz - средний по длине волны расход, Киюз RePrKu, Re=

üoho/v, Pr = v/k, Ku - r/CpLT, uo = gíio2/3v.

Безволновому стеканию соответствует решение q = О, h - 0. Была исследована его устойчивость относительно периодических в пространстве возмущений ~exp[la(x-ílt)] и в случае К и™0 » 1 выражения для фазовой скорости и волнового числа нейтральных возмущений имеют вид: fln.ut «ЗФ2; cineut2 » Ф3/2 ± 1Ф6/4 + г/(ЗКФ5) ]°'s. В случае испаряющейся пленки (Я > 0) надо брать только один корень для Otneut, а при конденсации (Я < 0) появляется критическое значение параметра Z для начала волнообразования, и обе ветви aneut имеют смысл.

В сформулированной задаче имеются три внешних параметра -Re/Ka, РгКи и Ф. При их фиксированных значениях, как показали численные расчеты, существуют различные однопараметрические семейства нелинейных стационарно-бегущих решений. Формирование волн конечной амплитуды при движении вдоль испаряющейся пленки определяется конкуренцией двух основных факторов - уменьшением интенсивности волнового процесса с уменьшением числа Рейнольдса, аналогично стеканию изотермической пленки, и противоположно направленной тенденцией, обусловленной наличием фазового перехода на границе раздела.

В шестой главе диссертации рассмотрены двухпериодические и квазипериодические волновые режимы в стекающей по наклонной плоскости пленке жидкости, их устойчивость и бифуркации. При малых расходах жидкости изучение длинноволновых возмущений на пленке жидкости, стекающей по наклонной плоскости, сводится к решению нелинейного эволюционного уравнения, описывающего изменение толщины пленки. В системе отсчета движущейся с удвоенной скоростью свободной поверхности это уравнение после некоторых преобразований приводится к виду (Непомнящий, 1974):

5Н 6Н : 34Н

_ + 4Н— + —_ + —j = 0 (11)

6t 5х ох дх

Уравнение привлекает к'себе пристальное внимание многих исследователей, так как оно часто встречается при описании волновых процессов в неконсервативных средах и играет для них такую же

большую роль, как широко известное уравнение КйУ для консервативных. Тривиальное решение уравнения (11) Н = 0 неустойчиво относительно периодических возмущений с а < ). При рассмотрении нелинейной эволюции мод большую роль играют различные аттракторы. Ранее исследовались стационарные решения Но(х) уравнения (11) с периодом I = 2я/а, а- волновое число, и стационарно-бегущие волны Яо(£). с - фазовая скорость. При определенных значениях

пространственного периода I решения типа бегущих волн теряют устойчивость к возмущениям той же периодичности и происходит ветвление режимов с более сложным поведением во времени. Численный расчет таких решений производился спектральным методом:

Здесь с, 7 - собственные числа задачи и заранее неизвестны. Для определения Я™, с и 7 итерациями решалась система нелинейных алгебраических уравнений.

При значении с - 0 мы имеем режим с периодической осцилляцией во времени, а при с Ф 0 - двухпериодической. Для решений 1-го типа численно были исследованы устойчивость и ветвления.

В седьмой главе диссертации рассматривается стекание тонких пленок вязкой жидкости по гофрированным поверхностям. Задача о нелинейных волнах на пленке, стекающей по гладкой пластине, имеет много общего с задачей о течении вязкого слоя вдоль гофрированной поверхности. В обоих случаях уравнения существенно нелинейны, свободная поверхность заранее неизвестна, большую роль играют силы поверхностного натяжения и имеется пространственный период.

В начале рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости вдоль одномерной вертикальной поверхности с формой гофрирования fix). Толщина пленки И(х) отсчитывается от стенки H(x)=h(x)-f(x), h(x) - форма свободной поверхности. В новых координатах х=х, тр =(y-f(x))/Н(х) область течения становится известной: х = [О, LJ, тt=[0,IJ, и после обезразмеривания x*=x/L, у* =у/Но, f*(x)-f(x)/A, u* -u/uo, v* =v/(euo), Н*(х) =Н(х)/Но, Р*= Р/рио2 основные уравнения принимают вид (знак обезразмеривания опускаем):

а> со

H<x.t)=y Y Hnmexp(lan(x-ct)+lpt)

п=-ю т=-ю

О

Ö(P-PtV>) 8 , 62v ,62v Ö2v a2V Öv,n

,, ouv auv av2, ap ap i r a2u ,a2u

-e2 H— + Htl— +— ; - - + — 3 +Ti 2— +

1 ах Аот) ат) J ох *от) eReL J от) \>х

a2u a2u au.-, auv au2 au2

^^^♦v^J-V'fc =0

1 ,c2fdH. 1 dfl2 •• d2{M d2f 2e 1 av1+e lc[x fi3xj , сГГ^сГГ P-P(v)=--- £ We- , при T)=l

"""vmsa* [i-mar

Здесь 4 - амплитуда гофрирования, I - период гофрирования, uo=Qo/Ho, £=Ho/L, ei=Ha/A, Но- Нуссельтовская толщина пленки, Ио= = (3vzRe/g)U3, Jle=(3Fi)U3/Re5/3, Fi=(o/p)3/gv\ т) =-(1/Н)dH/dx, T)=(y-f(x)/ei)/H(x), r¡у = -(T)dH/dx+(t/ei)df/dx)/H(x), т) =1/H(x), ^r №П/eiJclzf/dxz)/H(x).

■ В задаче имеется четыре независимых параметра (например Fi, (vz/g)'i/3/L, A/L и fíe) и функция, описывающая профиль стенки fix). Задача заключается в нахождении полей и(х,у), v(x,y), Р(х,у) и Н(х). Уравнения решались численно с использованием спектрального метода (9). Исследовано стекание сильно-вязких (глицерин, силиконовое масло) и мало-вязких жидкостей по поверхностям, амплитуда гофрирования которых сравнима с Нуссельтовской толщиной и много больше. Для двух указанных случаев отношения А/Но развиты различные интегральные подходы для расчета гидродинамики стекания и проведено сопоставление с расчетами по полным уравнениям, что позволило определить область применимости осредненных уравнений. Для стекания сильно-вязких жидкостей проведено сопоставление с экспериментами Zhao & Cerro (1992). Рассмотрена задача интенсификации массопереноса гофрированием. В приближении тонкого диффузионного слоя получено уравнение для расчета фактора интенсификации:

х А . czfdh i2 x

Sh ^ IrV (3Y' ' 6cos (<p)f u о (x' )dx'

Sho J~T>

-dx', 62(x)=

/p ö(x' ) uo (x) i COS (ф' )

О О

/Б-ё" dh

Sho = у —ReSc—, uo(x)=u(x,y)| h(l), tg(<{>)=—. % x dx

Здесь Sc = v/D - диффузионное число Прандля.

Некоторые из результатов расчетов гидродинамики и массопереноса представлены на рис. 14.-16.

Далее в этой главе рассмотрено стекание вдоль поверхности с ненулевым наклоном гофров (двумерный случай) и течение по пластине обладающей как крупным гофрированием, так и мелкой текстурой (трехмерный случай). В последнем случае расчет гидродинамики проводился на основе комбинации интегральных моделей с использованием двойных рядов Фурье.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В .рамках одного подхода исследована линейная устойчивость широкого класса пленочных течений. Получено единственное уравнение для расчета инкрементов нарастания различных возмущений свободной поверхности, учитывающее угол наклона плоскости течения, фазовый переход и касательное напряжение на свободной границе. Определены критические параметры волнообразования и показано, что поверхностное натяжение, положительный поперечный поток массы (случай конденсации) и отклонение плоскости течения от вертикали всегда стабилизируют пленку. Касательное напряжения на свободной поверхности оказывает дестабилизирующее влияние.

2. В широком диапазоне по числам Рейнольдса рассчитаны нелинейные стационарно бегущие волновые режимы на вертикально стекающей пленке жидкости и исследована их устойчивость. Проведено обобщение критерия "оптимальных" режимов для 2-го семейства волн. В результате построены зависимости основных волновых характеристик в широком диапазоне параметра Re/Ka и показано, что устойчивых волн 2-го семейства не существует для значений Re/Ka > 5.2. Исследован массо- и теплообмен через волновую поверхность. Прведено сопоставление результатов интегрального подхода с расчетом волновой гидродинамики по полным уравнениям Навье-Стокса.

3. Исследована устойчивость плоских нелинейных волн относительно трехмерных возмущений и рассчитаны возникающие стационарно бегущие нелинейные пространственные режимы. В результате показано, что в зависимости от волнового числа двумерные волны неустойчивы относительно возмущений различного типа и самыми опасными, как правило, являются возмущения удвоенного периода. "Развал" плоских волн 1-го и 2-го семейств имеет существенно разный характер. "Развал" волн 1-го семейства имеет более резкий характер.

4. Рассмотрены различные волновые режимы стекания тонкого слоя вязкой жидкости вдоль внешней и внутренней поверхностей вертикального цилиндра. Используя интегральный метод, получена система уравнений, описывающая эволюцию длинноволновых возмущений. Исследована линейная устойчивость безволнового стекания. Связанные с кривизной стенок силы поверхностного натяжения оказывают дестабилизирующее влияние. При волновом стекании в трубке малого радиуса в расчетах обнаружен "катастрофический" рост амплитуды установившихся решений при продвижении в область линейной неустойчивости гладкого режима.

5. Рассмотрено стекание тонкого испаряющегося слоя вязкой жидкости вдоль вертикальной нагретой стенки с учетом волнообразования на свободной поверхности. Используя интегральный подход, длинноволновое и квазипараллельное приближения, получена система нелинейных эволюционных уравнений, исследована устойчивость тривиального безволнового решения и рассчитаны различные нелинейные стационарно-бегущие решения. В результате показано, что несмотря на малость чисел Рейнольдса, рассмотренных в работе, амплитуда волн может достигать больших значений. Волновой режим стекания существует только до определенных критических значений плотности орошения и далее происходит образование "сухих" пятен.

6. Для уравнения Непомнящего численно найдены регулярные в пространстве и как периодические так и квазипериодические во времени волновые решения ответвляющиеся от стационарных и стационарно-бегущих волн. Проведен анализ устойчивости и бифуркаций для некоторых найденных решений. Показано, что при движении по параметру а устойчивые к возмущениям того же периода решения испытывают ряд бифуркаций. В результате рождаются решения с двухпериодической осциляцией во времени. При удалении от точек бифуркации на временном периоде формируются участки квазистационарного поведения во времени и участки интенсивных изменений или всплесков.

7. На основе полной системы уравнений Навье-Стокса проведено ис следование стекания пленок по гофрированным поверхностям. Рассчитаны поля скоростей, давления и форма свободной поверхности. Развиты интегральные подхода для расчета гидродинамики такого стека-, ния, произведен расчет и сопоставление с результатами по уравнениям Навье-Стокса. Рассмотрен массоперенос через свободную поверхность. В результате, например, показано, что для амплитуды гофрирования сопоставимой с Нуссельтовской толщиной при малых числах Re формируются участки "толстых" пленок в углублениях поверхности и тонких пленок на вершинах. С уменьшением числа Рейнольдса отношение средней толщины к Нуссельтовской очень быстро нарастает.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю. Нелинейные волны на поверхности пленки жидкости, стекающей по вертикальной стенке // Журн. прикл. механики и техн. физики. - 1S85. - Н 5. - С. 15-19.

2. Трифонов Ю.Я;, Цвелодуб О.Ю. Волновые режимы в стекающих пленках жидкости // Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью: Сб. науч. тр. - Новосибирск, 1985. - С. 82-102.

3. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю. Трехмерные стационарные бегущие волны на вертикально стекающей пленке жидкости // Журн. прикл. механики и техн. физики. - 1986. - N 6.■- С. 35-43.

4. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю. О ветвлении стационарно бегущих волновых режимов вязкой пленки жидкости // Журн. прикл. механики и техн. физики. - 1988. - Н 4. - С. 55-60.

5. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю.-Стационарные двумерные волны на вертикально стекающей пленке жидкости и их устойчивость // Инж.-физ. журн. - 1988. - Т. 54, N 1, С. 41-47.

6. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю. Устойчивость волновых режимов на вертикально стекающей пленке жидкости // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1988, N 4, С.126-131.

7. Трифонов Ю.Я. , Цвелодуб О.Ю. О стационарно бегущих решениях эволюционного уравнения для возмущений в активно-диссипатив-ной среде: Препринт № 188. - Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1988.

8. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю., 0 множестве стационарно бегущих волн на пленке жидкости, стекающей по наклонной плоскости //

Изв.АН СССР Механика жидкости и газа, 1989, N 6, С.120-125.

9. Trlfonov Yu.Ya., Tsvelodub O.Yu. Nonlinear waves on the sur face of a falling liquid film. Part 1. Waves of the first family and their stability // J.Fluid Mech. - 1991. - Vol.229., P.531.

10. Tsvelodub O.Yu., Trlfonov Yu.Ya. Nonlinear waves on the surface of a falling down liquid film. Part2. Bifurcations of the first family waves and the others types of nonlinear waves // J. Fluid Mech.- 1992.- 7.244.- P.149-169.

11. Tsvelodub O.Yu., Trlfonov Yu.Ya., On steady-state travelling solutions of an evolutional equation describing the behaviour of disturbances in active dlsslpatlve media // Physica D, 1989, Vol. 39, P.336-351.

12. Трифонов Ю. Я. Бифуркации двумерных волновых режимов течения к пространственным для вертикально стекающей пленки жидкости // Изв.АН СССР Механика жидкости и газа, 1990, Н 5, С.109-114.

13. Трифонов Ю. Я. Устойчивость двумерных стационарно бегущих волн на вертикально стекающей пленке жидкости к пространственным возмущениям // Журн. пршсл. механики и техн. физики. - 1991. - N 2. - С. 72-77.

14. Trlfonov Yu.Ya. Transition of two-dimensional wave flows to tree-dlmensional ones for vertically falling ilquld film // Russian Journal of Engineering Thermophyslcs. - 1992. -Vol.2, F.21-32. •

15. Trlfonov Yu.Ya. Steady-state travelling waves on the surface of a viscous liquid film falling down the vertical wires and tubes // AIChE Journal. - 1992. - 38, P.821-834.

16. Трифонов Ю.Я. Влияние кривизны стенок при волновом стекании тонкого слоя вязкой жидкости // Журн. прикл. механики и техн. физики. - 1992. - N 5. - С. 56-65.

17. Трифонов Ю.Я. Нелинейные волны и массообмен в тонких слоях вязкой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса // Известия СО РАН, Сиб. физ.-тех. журн. - 1992. - С. 32-42.

18. Трифонов Ю.Я. Двухпериодические и квазипериодические волновые режимы в стекающей по наклонной плоскости пленке жидкости, их устойчивость и бифуркации // Изв.АН СССР Механика жидкости и газа, 1992, N 4, С.98-107.

19. Trlfonov Yu.Ya. Two-periodical and quasi-perlodlcal wave solutions of the Kuramoto-Sivashlnsky equation and their

stability and bifurcations // Physlca D. - 1992, Vol.54, P.311-330.

20. Трифонов Ю.Я. Влияние волн конечной амплитуды на испарение

стекающей по вертикальной стенке пленки жидкости II Журн.

Re

Рис.1. Устойчивость пленки увлекаемой потоком газа вдоль наклонной плоскости. Система воздух-вода. Приведены линии (Ост(Re) при разных углах наклона (о>> Went - неустойчивость). Линии 1Д'- <р= 0°; 2,2*- 5°; 3,3'- 10°: 4.4*- 30°; Линии 1-4 рассчитаны при cr = З-Ю'3; 1'-4' - 6-Ю'3. Сг - коэффициент трения для газа Cr = fg/iPsUm2/2.),

Re=q/и

Рис. 2. Устойчивость пленки увлекаемой конденсирующимся потоком пара вдоль вертикальной плоскости. Фреон 21 при 60 С. Приведены линии ь)cr^^(Re) при разных перепадах температур (ЮШс-и -неустойчивость). Линии 1 - БТ = 5°С; 2-10°; 3-15°; 4-20°; 5 - 30°; 6 - 35°.

8 Re/Ka

Рис. 3 . Заштрихованы области волновых чисел для двух семейств решений где соответствующие им режимы неустойчивы (линии 1-4 относятся к 1-ому семейству волн, линии 5-12 -ко 2-ому семейству). а = 12%/Хр) • £о/(р^Де,)} , Хр - размерная длина волны,

Ка = {Го/р;3^4]'

it/n

1.00

2

X \

А JZ V

30.95

0.90

0.85

\ \ V^^^P

\2а . 'i. ■ . /2d

Re/Ka

Рис. Ч . Средняя толщина для различных "оптимальных" режимов. Яни. = (Зv2Re/g)uз.

iл (X.

\0.S0

О

^ 0.40 СМ

0.20

0.00

f/Hi 111 1111 ■ 2a ■1 т 1---

U.UU ¿.UU *».UU O.UU O.UU IU.UU

Re/Ka

Рис. 5. Волновое число для различных "оптимальных" режимов. \ - размерная длина волны, Оо.Р = (a/pg),/z.

Рис. 6. Профили толщины для различных "оптимальных" режимов.

УГ Уг

Рис. Фактор интенсификации массообмена волнами (БН/БНо)

(левая шкала) и для жидкости с числом Рг = 562 отношение размерной максимальной толщина проросшего диффузионного слоя бр««* к Нуссельтовской толщине пленки (правая шкала) как функции безразмерного времени. Т = т>(9Ие1*/Т1)1/*Тр/Ьог. .

Рис. 2. Фактор интенсификации интегрального теплообмена различными "оптимальными" режимами.

-2Э-

УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА Ка=3.55 (р-р глицерина)

1,2 — 1-ое семейство 1',2' - 2-ое семейство

"П 0.2 О.Ь

1 - Яе/Ка=0.5

2 - 1

1:02

1.00

«1 э 0.88

I

\ 0.9«

Л

^—ч

0.94

-С

V

0.92

0.90

о!* о.'зо.'« 07 о.'в аЪ

УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА Ка=8.8 (вода)

1,2 -1\2'

1-ое семейство ■ 2—ое семейство

1 - Ие/Ко=0.5

2 - 1

О.Ъ ' О.Ь ' 0.'4 ' О.Ь ' о.'в ' 0> ' 0.8 ' оА ' 1.Ь

ИНТЕГРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

1,2 — 1-ое семейство Г,2' - 2-ое семейство

1 - Ре/Ко=0.5

2 - 1

о.!э о.4 о.'а о.'в о7 о.'в о.'а а=(2п/\)(с/ръНе)"

о

Рис. 9 • Средневолновая толщина пленки в зависимости от волнового числа. Расчет по уравнениям Навье-Стокса и по интегральной ■модели.

Рис. 10. Профили толщины пространственных режимов, ответвившихся от плоской волны 2-го семейства с а= 0.52 при значении параметра Р = 10 (Re/Ka = 0.425), с удалением от точки бифуркации. Волновые числа приведенных на рисунке режимов (сверху, вниз) -а =0.26, р = 0.53; а =0.26, $=0.41; а= 0.26, '$= 0.35-, а = 0.26, р = 0.26.

0.95

0.75

С5 / <1

и > /

/

/ /

/

к

Случай проволочки

Рис.11 Средняя толщина в зависимости от волнового числа при Яе= 4, Р11/11 = 6.8. Представлены две ветви решений. Линии 1,1в - й"1=0; линии 2,2в - й'^0.05; линии 3,3в - линии 4,4в - Я'1=0.2.

0.15

о

0.10 -

О)

сс 0.05

0.00

400

800 . . 1200 РгКи

Рис. Критическая плотность орошения в зависимости от тем-

пературного напора.

-зг-

Рис.^З. Пространственно-временные профили решения соответствующего точке ХП рис. (6.3). Решение осциллирует во времени периодически и с = 0.0, у = 0.15, а = 0.34.

-зз-

Рис.^. Одномерное течение по пластине с А =0.175т, L=1.57mm. <Н> - средняя по периоду гофрирования толщина пленки, So = (3v2Re/g)i/a. Линия Н - расчет по Навье-Стоксу, Ml и И2 - по первой и второй интегральным моделям, соответственно.

NAV1ER—STOKS Equation Small Corrug.

ч0.4 -I

Ео.З -

Е

0.6 0.8 1.0 х (тт)

Рис.^. Одномерное течение по пластине с А =0.175ии, 1=1.57тт. Профили свободной поверхности пленки при разных числах йе, ___4

0.95 -. ~ ~ 0.85

о ■С 0.75

(Л

Ч JZ 0.65

со

0.55

0.45

0.35

1 - Re=1

2 - 20

3 - 50

4 - 200

0.0 1.0

2.0

з.о

4.0 3.0 6.0

X/L

7.0

—I—I—I—I—I

8.0 S.0 10.0

Рис.16. Одномерное течение жидкого азота по пластине с

А = 0.175тт, 1= 1.57т. Интегральный массоперенос через свободную поверхность в сравнении с массообменом при течении Нуссельта

-зч-

C9 ûf,

tj Президиум ВАК России

I (btmsrme .o* " // № LsJ/-fa

j фкс^днл ученую степень,

АЛ. i v.

а/, -

пальник управления ВЛ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 532.51+532.59+66.071

ТРИФОНОВ ЮРИИ ЯКОВЛЕВИЧ

ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛО-МАССООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ТОНКИХ СЛОЕВ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 1995

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .......................... 6

ГЛАВА 1. ЛИНЕИНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ ПЛЕНКИ ВДОЛЬ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА И КАСАТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ

§1.1 Введение и постановка задачи ...........19

§1.2 Задача Орра-Зоммерфельда в жидкости........25

§1.3 Задача Орра-Зоммерфельда в паре..........27

§1.4 Результаты и выводы................31

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ СВОБОДНО СТЕКАЮ-

ЩЕЙ ВДОЛЬ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ.

§2.1 Введение и постановка задачи...........42

§2.2 Численный алгоритм нахождения стационарно-бегущих

решений........ . ... .............50

§2.3 Задача устойчивости и разветвления нелинейных

волновых режимов..................52

§2.4 Аналитическое исследование относительно длинных

возмущений.....................56

§2.5 Результаты расчетов и выводы............58>

§2.6 Влияние волн на массо- и теплопередачу.......85

§2.7 Расчет волнового стекания на основе полной системы

уравнений Навъе-Стокса...............95

ГЛАВА 3. "РАЗВАЛ" ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН И ПЕРЕХОД К ТРЕХМЕРНОМУ ТЕЧЕНИЮ.

§3.1 Введение и постановка задачи...........104

§3.2 Устойчивость плоских волновых режимов относительно

пространственных возмущений............106

§3.3 Устойчивость относительно длиннопромодулированных

пространственных возмущений............112

§3.4 Расчет трехмерных стационарно-бегущих решений, ответвляющихся от двумерных волн .............116

§3.5 Заключение.....................128

ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ КРИВИЗНЫ СТЕНОК ПРИ ВОЛНОВОМ СТЕКНИИ ТОНКОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

§4.1 „ Введение и постановка задачи ............129

§4.2 Устойчивость безволнового стекания.........1Ъ?

§4.3 Расчет стационарно-бегущих волновых режимов . . . 3

§4.4 Заключение.....................160

\

ГЛАВА 5. ВЛИЯНИЕ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ НА ИСПАРЕНИЕ СТЕКАЮЩЕЙ ПО ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКЕ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ.

§5.1 Введение......................162

§5.2 Вывод основных уравнений .............. 164

§5.3' Алгоритм и результаты расчетов нелинейных режимов. . 172 §5.4 Выводы........................179

ГЛАВА 6. ДВУХПЕРИОДИЧЕСКИЕ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНОВЫЕ РЕЖИМЫ В СТЕКАЮЩЕЙ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ, ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ.

§6.1 Введение и постановка задачи ........... 180

§6.2 Теория и метод решения ............... 187

§6.3 Осциллирующие во времени пространственно периодические режимы, ответвляющиеся от стационарных и стационарно-бегущих волн................159

§6.4 Метод исследования устойчивости пространственно-периодических, осциллирующих во времени режимов . . . 196 §6.5 Результаты по исследованию устойчивости пространственно-периодических, осциллирующих во времени режимов и их бифуркаций................199

§6.6 Заключение.....................2 03

ГЛАВА 7. СВОБОДНОЕ СТЕКАНИЕ ТОНКИХ ПЛЕНОК ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПО

ГОФРИРОВАННЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ.

§7.1 Введение.....................226

§7.2 Течение вдоль одномерной поверхности ....... 228

а) Модель Навье-Стокса. Основные уравнения и численный алгоритм......................228

б) 1-ая интегральная модель. Основные уравнения. . . . 235 с) 2-ая интегральная модель. Основные уравнения. . . . 237

д) Результаты расчетов.................258

е) Массоперенос через свободную поверхность.......241

§7.3 Течение вдоль поверхности с углом наклона гофров. . 251

а) Модель Навье-Стокса. Основные уравнения........251

б) Интегральные модели. Основные уравнения........253

с) Результаты расчетов..................257

§7.4 Течение вдоль гофрированной поверхности с двух-перио-

дической структурой.................272.

а) Основные уравнения и численный алгоритм........272

б) Результаты расчетов..................273

ЛИТЕРАТУРА..........................2-8?

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность темы диссертации определяется широким использованием течений тонких слоев со свободной поверхностью в энергетике, химической промышлености, холодильной технике, металлургии и других отраслях техники для осуществления процессов, связанных с тепломассообменом и химическими превращениями между фазами. Так, например, в холодильной технике пленочные теплообменники используются в качестве конденсаторов хладогентов, в химической технологии и пищевой промышлености водяными пленками поизводится охлаждение серной кислоты, рассола при получении соды, молочных продуктов. Пленочные испарители являются основными элементами в установках по опреснению соленой морской воды. В ракетных двигателях пленка жидкости используется для тепловой защиты стенок камеры сгорания от продуктов горения. Пленочное распределение жидкостей нашло, также, применение в газотурбинных двигателях, где происходит испарение пленки топлива с целью получения гомогенной горючей смеси перед впрыскиванием ее в камеру сгорания. Пленки жидкости, стекающие по геометрически сложным гофрированным поверхностям, находят применение в современных технологиях дистилляци-онного разделения смесей. Другие многочисленные примеры применения пленок в технике можно найти в работах /2, 3, 91-96/.

Практически всегда свободная поверхность покрыта волнами, оказывающими существенное влияние на процессы межфазного переноса. Так при десорбции из пленок труднорастворимых газов коэффициент массоотдачи из-за волн может увеличиваться более чем на 100%. Теоретическое исследование гидродинамики пленочных течений необходимо для более глубокого понимания процессов волнообразования при влиянии многочисленных факторов - поверхностного натяжения,

кривизны стенок, сил инерции и вязкости, фазового перехода на границе раздела и т.д..

Экспериментально установлено, что тонкие слои вязкой жидкости при Ее < 400-500 движутся ламинарно, но их поверхность, как правило, покрыта трехмерными волнами, имеющими различные амплитуды и частоты /97/. При специальной организации течения на начальном участке поверхность гладкая, затем существует участок двумерных квазистационарных волн и далее течение эволюционирует к трехмерному.

Аналитическое решение для установившегося свободного течения с невозмущенной поверхностью впервые было получено Нуссельтом еще в 1916 г. /85/. В этом случае профиль скорости течения является полупараболическим, максимальную скорость имеет поверхность пленки, а расход жидкости пропорционален кубу ее толщины.

Влияние газового потока на ламинарное течение пленки впервые было рассмотрено П.А.Семеновым /'98/' в начале 40-х годов. Полученные им зависимости хотя и не учитывают процессов волнообразования на поверхности пленки, однако позволяют наглядно понять сущность явления захлебывания, которое происходит в трубках с увеличением скорости газа и переходом от нисходящего к восходящему течению пленки. В более общем виде аналитическое решение уравнений движения для расслоенного ламинарного течения жидкости и газа между параллельными бесконечными пластинами и в круглой трубе с плоской поверхностью раздела фаз было получено в 1946 г. С. Г. Телетовым /99/. Он точно решил сопряженную задачу о раздельном течении газожидкостных смесей при малых скоростях.

Основы теории устойчивости ламинарного течения тонкого слоя вязкой жидкости со свободной поверхностью были разработаны П.Л.Капицей /17/, который показал, что при числах Рейнольдса больших некоторого критического значения йе*, энергетически более

выгодным является ламинарно-волновое течение. Появившиеся в дальнейшем экспериментальные работы по изучению волнообразования на поверхности жидких пленок подтвердили вывод П.Л.Капицы о существовании критического расхода жидкости /100-107, 153, 154/.

Аналитическому исследованию вопроса устойчивости ламинарного движения по отношению к внешним малым возмущениям также посвящено довольно большое количество работ /1, 108-110/. При любых расходах, в случае вертикально стекающей пленки, существуют бесконечно малые длинноволновые возмущения, которые экспоненциально нарастают со временем.

Таким образом существует некоторое расхождение в предсказаниях теории и эксперимента. Причина может заключаться в слабой чувствительности аппаратуры, малой длине рабочего участка, существенной зависимости волновой структуры от способа подачи жидкости, от наличия поверхностно-актиЕных веществ и других факторов присутствующих в экспериментах. Так, например, стабилизирующее влияние ПАВ на волнообразование отмечалось в работах /111-115/.

В ряде случаев поверхностное натяжение существенно зависит от температуры и химического состава поверхности. Под влиянием потоков тепла и массы, идущих в пленку, на ней возникают градиенты поверхностного натяжения, которые приводят к появлению диффузионно- или термокапиллярных сил - эффекты Марангони /116-119/. При моделировании ряда технологических процессов, например - режима непрерывного пленочного шлакоудаления из топки, необходимо учитывать зависимость теплофизических свойств жидкости от температуры, в частности вязкости /120-122/.

При стекании пленок полимеров необходимо учитывать существенную "неньютоновость" таких жидкостей /123/.

Теоретическое исследование разделенного безволнового течения пленки жидкости и газа на устойчивость относительно возмущений

поверхности раздела было сделано в работах /7-9, 124-131/, относительно возмущений в слоях жидкости и газа - в /129/. В /116/ выписано условие устойчивости для течения жидкости в трубе произвольного радиуса с заданным касательным напряжением на поверхности. Для труб большого диаметра критическое волновое число для вертикального стекания также равно нулю, В /129/ исследовано решение /99/ на устойчивость. Показано, что задача сводится к аналогичной для течения однофазной жидкости. В /128/, используя интегральный подход, исследовано линейная устойчивость пленки жидкости движущейся спутно и в противотоке с турбулентным потоком газа.

Следует отметить работы по исследованию пространственной эволюции неустойчивых мод гладкого течения /132-135/. Показано, что связь между пространственно растущими решениями уравнения Орра-Зоммерфельда и возмущениями растущими во времени достигается известным преобразованием Гастера /136/, но в случае стекания пленок жидкости оно не всегда справедливо.

Большое количество экспериментальных работ посвящено изучению развитого волнового движения. Установлено, что в общем случае интенсивность волнообразования зависит от физических свойств и расходов жидкой и газовой фаз. При свободном стекании пленки под действием только сил тяжести определяющую роль в образовании волн играет безразмерный расход жидкой фазы Ее. Как уже отмечалось, в этом случае первые волны появляются при Ее ~ 4 -5. С ростом Ее амплитуда и частота волн увеличиваются, а периодичность их движения нарушается. Уже при Ее > 45-5С вся поверхность пленки покрыта сплошной волновой сеткой, имеющей довольно нерегулярную трехмерную структуру /137-139/. Увеличение числа Рейнольдса пленки сопровождается усилением взаимодействия между волнами. Трехмерные подковообразные структуры вытягиваются и, начиная с чисел Рейно-

льдса ™ 400, происходит их разрушение /138/, затем начинают формироваться крупные одиночные волны. Выше чисел Рейнольдса " 800 по ламинарному подслою с мелкими волнами двигаются крупные одиночные образования, турбулизуя подслой - двухслойная модель /138/. При дальнейшем увеличении числа Re нижний слой приобретает мелкопористую структуру и при Re > 2500 вся поверхность становится однородной.

Наличие встречного или спутного газового потока, взаимодействующего с поверхностью жидкости, еще более усложняет картину течения, поскольку в этих условиях характер и интенсивность волнообразования зависят, также, от числа Рейнольдса для газа Reg. Согласно данным Г.Н.Калугина /140/ при вынужденном движении пленки наблюдается шесть разновидностей состояния волновой поверхности. Вместе с тем имеющейся в литературе материал показывает, что в качественном плане вид волновой поверхности, возмущенной газовым потоком, близок к тому, который имеет место при свободном стекании пленки /141-143/. Выделяются два основных типа возмущений - мелкомасштабная рябь и крупные, катящиеся волны. В отличии от мелкомасштабных возмущений катящиеся волны имеют форму колец, занимающих весь периметр канала / 144-146/. Профиль катящейся волны значительно отличается от правильной синусоидальной формы -волна имеет крутой фронт и пологий скат. Детальное изучение фотоснимков движения пленки при дисперсно-кольцевом режиме течения показало, что срыв капель жидкости и унос их в ядро потока происходит только с гребней волн /144/.

Для количественной характеристики интенсивности волнообразования большинство авторов используют такие общепринятые понятия, как амплитуда А, частота ю, длина волны X и фазовая скорость волн с. Однозначно определить эти величины в ряде случаев представляется затруднительным, так как на поверхности движущейся жидкости

одновременно существуют возмущения неодинаковой формы и амплмту-ды, перемещающиеся с различной скоростью и частотой. Большинство авторов выделяют и рассматривают наиболее характерные группы волн. Амплитуда, скорость и длина волны растут с увеличением числа Re (в области небольших расходов) /137, 147-150/. Изменение волновых характеристик происходит и по длине рабочего участка. С увеличением длины пробега частоты уменьшаются /149/, а максимальные значения толщины растут /137/.

Наиболее полный статистический анализ волнового движения вертикальных пленок жидкости со спутным потоком газа в широком диапазоне чисел Re = 50-2000 содержится в /141, 142, 151-155/'. Представлены данны по распределению толщин, по различным спектрам пульсаций толщины, зависимости частот, амплитуд, скоростей и длин волн от числа Re отдельно для мелких волн остаточного слоя и крупных волн.

Теоретическое рассмотрение задачи о свободном течении пленки жидкости и совместно с газом в случае возмущенной поверхности раздела фаз чрезвычайно сложно. Это связано с нелинейностью исходных уравнений, с определением заранее неизвестной свободной границы и, вообще говоря, довольно нерегулярной пространственной структурой течения. В полной постановке, как это еще отмечалось П.Л.Капицей, данную задачу в обозримом будущем вряд ли удасться решить. Более того, к настоящему времени непонятен даже достаточно строгий подход к учету нерегулярности и развития течения вниз по потоку.

Достаточно далеко, особенно в последнее время, удалось продвинуться при изучении плоских нелинейных волн в случае свободно стекающей пленки жидкости. В работе /18/ эксперименты проводились на коротком вертикальном участке ( стеклянная труба длиной 250 мм и диаметром 35 мм) по внешней поверхности которого стекала пленка

воды или спирта. С целью регулиризации волнового движения волны возбуждались пульсациями расхода жидкости в начальном сечении потока. Измерялись амплитуда, скорость, длина волны и профиль толщины пленок жидкости. Наблюдаемые регулярные стационарные волны авторы подразделили на два типа: "периодические" и "одиночные". Экспериментальные данные представлены только для периодического режима при Re - 5-20.

Наиболее полные и удобные для сравнения с теоретическими расчетами экспериментальные данные по двумерным регулярным волнам даны в работах /3, 19-22, 36/. Приведены зависимости амплитуд, фазовых скоростей от длины волны, расхода и свойств жидкости. Имеются данные по областям существования возбужденных и естественных волн. Для регулиризации волнообразования в начальном сечении накладывались пульсации расхода жидкости. В зависимости от частоты наложенных колебаний наблюдались волны по форме близкие к синусоидальным (высокие частоты), либо существенно более нелинейные режимы (низкие частоты), которые имеют крутой передний фронт и более пологий скат.

При теоретическом рассмотрении многие авторы используют ряд упрощений. Наиболее известное из них - длинноволновость, т.е. считается, что характерные продольные размеры возмущений заметно больше толщины пленки и, как следствие, появляется малый параметр 8 = <h>/%. Производя разложения по параметру е, в области небольших чисел Рейнольдса задача о волновых режимах сводится к рассмотрению одного эволюционного уравнения для толщины пленки /50, 32, 64, 156, 157/. В работе /53/, ответвляясь от тривиального решения, проведены численные расчеты и исследована устойчивость нелинейных решений достаточно далеко от точки ветвления. Получено, что устойчивы решения из узкого интервала волновых чисел. В работах /158, 159/ впервые были рассчитаны решения второго типа, име-

ющие фазовую скорость больше трех и характерные осцилляции на пер