Волновые режимы в стекающих слоях вязкой жидкости и их влияние на процессы переноса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

00347'440Э

На правах рукописи

Калайдин Евгений Николаевич

ВОЛНОВЫЕ РЕЖИМЫ В СТЕКАЮЩИХ СЛОЯХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

5 тон 2009

Пермь - 2009

003474409

Работа выполнена на кафедре прикладной математики ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный консультант

доктор физико-математических наук

Демехин Евгений Афанасьевич

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Алексеенко Сергей Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор Любимов Дмитрий Викторович

Доктор физико-математических наук, профессор Шкадов Виктор Яковлевич

Ведущая организация - Южный Федеральный Университет (г. Ростов-на-Дону)

Защита диссертация состоится 22 сентября 2009 г. в 15.15 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете (614990, г. Пермь, ГСП, ул. Букирева, 15; факс 3422-37-16-11).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан" бГ " 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.189.06 кандидат физико-математических наук, доцент

В.Г.Гилев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Исследование течений жидкости со свободной поверхностью - одно из фундаментальных направлений гидродинамики. Изучение стекающих по твердой поверхности под действием силы тяжести слоев вязкой жидкости - классическая задача этого направления, имеющая не только теоретическую значимость, но и обладающая большим спектром технологических приложений. Трудности исследования связаны с тем, что поверхность слоя покрыта сложной системой волн, существенно зависящей от параметров течения. Основа теоретического исследования этой задачи заложена в работах П. Л. Капицы и В. Я. Шкадова, авторство первых экспериментов можно приписать П. Л. Капице. Существенный вклад в экспериментальные исследования принадлежит В. Е. Накорякову, С. В. Алексеенко, Б. Г. Покусаеву. Эффективность технологического применения стекающих слоев жидкости существенно зависит от находящихся на свободной поверхности волновых структур, их расположения и взаимодействия, т. е. от волновых режимов в слое и на его поверхности. Рассматриваемый диапазон чисел Рейнольдса (1-Ю5) соответствует существенному влиянию сил вязкости, но не на всем указанном диапазоне капиллярные силы определяют поверхностные волновые режимы.

Одним из существенных отличий настоящей работы является исследование пространственного развития волн на свободной поверхности для различных типов течения - от ламинарного до турбулентного - в слое вниз по потоку. В работах других авторов, в основном, исследовались либо отдельные локализованные периодические структуры, либо временная эволюция поверхностных волн, что ограничивало исследование обменных процессов в стекающих слоях жидкости упрощенными постановками и не позволяло исследовать все механизмы массообмена.

Формирование пространственной волновой картины происходит в результате последовательности неустойчивостей вдоль канала. Переходные процессы, сопровождающие течение слоя от подающего жидкость устройства до некоторого пространственного статистически стабильного аттрактора, соответствуют бифуркационным переходам вниз по потоку.

Основное внимание уделяется естественно развивающимся возмущениям, первоначальным этапом в эволюции которых является реализация неустойчивости плоскопараллельного потока независимо от того, является течение в слое ламинарным или турбулентным. Каскад возникающих далее неустойчивостей приводит к последовательности характерных волновых структур (периодических двумерных, уединенных двумерных, уединенных трехмерных), которые исследуются отдельно от волновых переходов.

Выделены значения параметров, которые определяют зоны существования исследуемых волновых режимов. Введены понятия и рассмотрены абсолютная и конвективная неустойчивости уединенных волн. Численно найдены и исследованы в зоне их существования по числу Рейнольдса трехмерные поверхностные структуры.

Положенная в основу исследований модель Капицы - Шкадова ввиду своей относительной простоты позволила получить и проанализировать большинство поверхностных волновых режимов, а также апробировать ряд новых методик и идей исследования возмущенных состояний нелинейных стационарных волн.

Методика получения волновых режимов позволяет провести расчеты массообмена для задачи в полной постановке, т. е. с учетом влияния на массообмен поверхностных волн и течения в слое. Исследование параметров интенсификации массообмена при естественном и вынужденном волнообразовании позволяют найти оптимальные для массообмена параметры поверхностных режимов.

Построение критериальной зависимости показателя интенсификации массообмена позволяет применить результаты расчетов к широкому диапазону параметров жидкостей и учесть влияние поверхностного натяжения на массообмен.

Проведенные исследования позволяют значительно сократить затраты на проведение экспериментальных исследований по массообмену и в ряде случаев даже заменить их теоретическими предсказаниями.

Для практических целей часто осуществляют внешнее воздействие на волновые режимы. Одним из перспективных воздействий такого рода, с точки зрения массообмена, является создание гофрированной поверхности стекания. Построенная теория и подход объясняют возникновение специфических волновых режимов при волнистой поверхности стекания, что также может найти приложение в задачах абсорбции и десорбции газов. Цель работы - в теоретической части завершить теорию нелинейных волн в слоях вязкой жидкости. Исследовать на основе анализа развития возмущений по пространству все возникающие волновые режимы, их устойчивость и переходы между ними. Получение двумерных и трехмерных солитонных структур как характерных представителей исследуемых режимов. Исследовать абсолютную и конвективную устойчивость найденных структур, а также взаимодействие между структурами, приводящее к формированию окончательной волновой картины. Дополнить теорию капиллярных волн исследованием катящихся волн, как для ламинарного, так и для турбулентного режима течения в слое жидкости. Получить параметры течения, при которых плоскопараллельный поток оказывается неустойчивым к поверхностным возмущениям в случае турбулентного течения в слое. Представить численную модель развития малых естественных возмущений по пространству для указанных типов течений и получить зависимость, определяющую динамику волн по пространству. Проанализировать устойчивость катящихся волн к поперечным возмущениям. В прикладном аспекте исследовать резонансное влияние волновой поверхности стекания на поверхностные волны. Исследовать параметры интенсификации массообмена при естественном и искусственном волнообразовании. Провести численное моделирование массообмена в случае полного уравнения переноса и рассчитать оптимальные режимы массообмена. Построить критериальную зависимость, позволяющую рассчитать параметры

интенсификации в широком диапазоне физических параметров жидкости и учитывающую капиллярные эффекты.

Научная новизна основных положений, результатов и выводов, полученных в диссертации, приведена для теоретической и прикладной части работы.

1. Основой теоретического исследования явилось численное моделирование волновых процессов, возникающих из малых естественных возмущений вниз по потоку. Численные эксперименты позволили воспроизвести последовательность всех квазистационарных волновых режимов, возникающих вниз по потоку: 1) нелинейных бегущих близких к синусоидальным волн 1-го семейства; 2) цепочки двумерных солитонов; 3) случайно расположенных на поверхности трехмерных солитонов. Определены неустойчивости, приводящие к переходам от первого к третьему режиму.

1.1. Реализованы различные подходы анализа динамики возмущений уединенной волны - от решения спектральной задачи до грубой модели, основанной на балансе расхода. Определена роль непрерывного спектра в динамике возмущений. Для описания динамики возмущений применена используемая в квантовой механике методика выделения интегрируемых особенностей представления непрерывного спектра, называемых резонансными полюсами. Исследование собственных функций непрерывного спектра объяснило наличие практически плоского, не разрушаемого первичной неустойчивостью, участка между солитонами.

1.2. Обобщены понятия конвективной и абсолютной неустойчивости и применены к исследованию устойчивости солитонов. Определены значения параметров задачи, при которых двумерные и трехмерные солитоны неустойчивы, найдены границы их существования. Исследована неустойчивость двумерных солитонов к поперечным возмущениям, определена физическая природа этой неустойчивости -неустойчивость Рэлея. Найдены наиболее опасные длины поперечных возмущений, определяющие характерный размер возникающих в результате неустойчивости структур.

1.3. Впервые построены решения в виде трехмерных солитонов (А-волн) для конечных чисел Рейнольдса. Анализ абсолютной и конвективной устойчивости на основе решения спектральной задачи для возмущений позволил получить нижнюю границу двумерно-трехмерного перехода. В результате численного моделирования получена верхняя граница существования А-волн, соответствующая границе влияния капиллярных сил.

1.4. Численные модели создания Л-солитонов реализованы в натурных экспериментах с помощью идеи «дождевой капли», падающей на твердую поверхность. Ключевой момент - соответствие массы капли массе полученного теоретически стационарного А-солитона.

1.5. При больших числах Рейнольдса на основе уравнений Рейнольдса исследована устойчивость турбулентных потоков в открытых каналах относительно поверхностных возмущений. Получены критические параметры, при которых течение впервые теряет устойчивость. Найдены

частота и волновое число возмущения с максимальным коэффициентом роста, что позволило оценить характерное расстояние между катящимися волнами в начале канала.

1.6. Для двумерных катящихся уединенных волн найдена новая ветвь нелинейных решений в виде отрицательных (впадина) солитонов. Исследована устойчивость двумерных катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям.

1.7. На основе гидравлической модели Дресслера проведено численное моделирование развития малых естественных возмущений вниз по потоку. Получены преобразования подобия, позволяющие пересчитать среднестатистические структуры, наблюдаемые по пространству, на единое семейство стационарных решений уравнений Дресслера. Получена универсальная зависимость, определяющая динамику волн вниз по потоку.

2. Изученная волновая динамика позволила решить ряд важных в приложениях задач.

2.1. Обнаружен новый - третий - физический механизм интенсификации массообмена солитонами.

2.2. Получено, что при вынужденном волнообразовании зависимость коэффициента массообмена от частоты наложенных колебаний может иметь вплоть до трех максимумов, соответствующих одному из трех механизмов массопереноса. Найдена оптимальная с точки зрения массообмена частота наложенных колебаний.

2.3. Построена упрощенная универсальная двухпараметрическая модель массообмена в волновом слое, результаты которой обобщены в виде аналитической критериальной зависимости, учитывающей капиллярные эффекты.

2.4. Определены условия существования стоячих волн большой амплитуды при гофрированной поверхности стекания и объяснен физический механизм их образования, заключающийся в возникновении резонанса между волновыми параметрами свободной поверхности и поверхности стекания.

Научная и практическая значимость результатов заключается в построении полной картины волновых режимов на поверхности слоя жидкости, возникающих вниз по потоку. Определение границ существования каждого режима, анализ соответствующих волновых структур на устойчивость и моделирование переходов между режимами позволило полностью понять и описать процесс волновой эволюции по пространству. Построенная теория позволяет создать не менее значимое продвижение в прикладных задачах, в частности, в проблемах, связанных с экологией (контроль выбросов в атмосферу загрязняющих веществ), в криогенных технологиях разделения сжиженного воздуха на фракции, в приложениях абсорбции и десорбции, где необходим подбор оптимальных параметров массообмена, при постановке новых физических экспериментов, связанных с волнообразованием в слоя жидкости и задачами массообмена в них.

Автор защищает следующие положения и результаты диссертации.

1. Результаты законченной теории пространственной эволюции и

волновых переходов в стекающих слоях вязкой жидкости:

• построение реалистичной численной модели пространственной эволюции нелинейных волн и исследование волновых режимов вниз по потоку;

• анализ динамики возмущений уединенной волны различными методами, определение роли непрерывного спектра в динамике возмущений;

• нахождение границ двумерно-трехмерного перехода и его анализ;

• построение для конечных чисел Рейнольдса решений в виде трехмерного солитона;

• экспериментальную методику искусственного создания трехмерных структур, связанную с подбором массы капли, располагаемой на плоском слое, равной массе стационарного солитона, полученного теоретически;

• нахождение критических параметров потери устойчивости поверхности при турбулентном течении в слое;

• результаты теоретического исследования режима двумерных катящихся гидравлических волн, в отличие от предыдущих работ основанного на нахождении стационарных решений в виде положительных и отрицательных уединенных бегущих волн, и анализ их устойчивости к двумерным и трехмерным возмущениям;

• моделирование развития малых естественных возмущений в случае турбулентного течения в слое, построение универсальной зависимости, определяющей динамику катящихся волн вниз по потоку.

2. Приложения созданной теории:

• обнаружение нового - третьего - механизма интенсификации массообмена, нахождение оптимальной для массообмена частоты колебаний, формирующих вынужденные волны;

• построение упрощенной универсальной двухпараметрической модели и соответствующей ей критериальной зависимости, учитывающей влияние капиллярных сил на массообмен.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается сравнением с экспериментальными данными, аналитическими и численными решениями в предельных случаях, а также сопоставлением теоретических расчётов с результатами специально поставленных экспериментов, сравнением выводов с известными теориями и с экспериментальными данными других авторов, применением стандартных аналитических, асимптотических и численных методов.

Использованные математические и вычислительные модели в области гидродинамики тонких слое вязкой жидкости разработаны в рамках научной школы кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ, которая исследует эти проблемы более 40 лет.

Личный вклад автора

Автору диссертации принадлежит разработка численных моделей рассматриваемых явлений, выбор и настройка численных алгоритмов решения задач. Экспериментальные методы исследования, сформулированы автором на основании результатов численного моделирования. Лично автором или при его непосредственном участии выполнены постановки отдельных задач, разработка методов решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также их интерпретация. Из работ, созданных в соавторстве, на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Выводы по диссертации сделаны лично автором.

Публикации и апробация работы. Основное содержание работы опубликовано в 40 статьях, из них 22 опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК.

Результаты по теме диссертации получены в ходе выполнения работ в качестве руководителя по проектам: РФФИ 06-01-96647-р_юг_а «Нелинейная динамика трехмерных солитонов и поверхностная турбулентность в стекающей пленке вязкой жидкости», INTAS-OPEN 99-1107 «Wavy flow of liquid films under complicated conditions» и исполнителя по проектам: РФФИ 05-08-33585-а «Создание теории и математических моделей тепломассопереноса в течениях с поверхностью раздела фаз», NASA, NSF и DOE (USA).

Материалы по теме диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: XXVII Сибирский теплофизический семинар, Новосибирск, Институт Теплофизики СО РАН, 2004; Проблемы гидроаэромеханики, Агой, 2005 г.; Международная конференция: «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», Звенигород, 2008 г.; Международная конференция «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 2001 г.; Конференция грантодержателей РФФИ «Юг России»; 59th Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, 2006; IUTAM Symposium on Nonlinear Waves in Multiphase Flow, 1999; Environmental Problems and Ecological Safety.Wiesbaden, Germany, 2004; IUTAM 1995; SIAM 1998.

Кроме того, результаты работы докладывались на семинаре лаборатории механики природных процессов и сред ЮНЦ РАН, под руководством академика РАН, проф. В. А. Бабешко и проф. Е. А. Демехина; семинар в ИТ СО РАН под руководством член-корреспондента, проф. С. В. Алексеенко. Результаты, полученные в работе, частично приведены в монографии Chang Н.-С., Demekhin Е. A. Complex Wave Dynamics on Thin Films / Studies in Interface Science. Elsevier. Amsterdam, 2002.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов, списка цитированной литературы, включающего 240 наименований. Общий объем диссертации - 348 страниц, включая 167 рисунков и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность проблемы и дана общая характеристика работы, приведен краткий обзор исследований по теме диссертации.

Первая глава, «Волновая гидромеханика и массообмен в слоях вязкой жидкости», посвящена теоретическому и экспериментальному представлению проблемы предыдущими исследователями.

В п. 1.1 приведен обзор экспериментальных работ с описанием и анализом основных волновых режимов в вертикально стекающем по твердой поверхности слое вязкой жидкости. С увеличением числа Рейнольдса последовательно возникают пять режимов: 1) безволновое течение; 2) режим двумерных капиллярных волн, периодических или уединенных; 3) режим взаимодействующих трехмерных капиллярных солитонов; 4) режим квазидвумерных катящихся волн при ламинарном течении в слое; 5) режим квазидвумерных катящихся волн при турбулентном течении в слое жидкости.

Рассмотрен аналитический обзор экспериментальных работ, связанных с массообменом на свободно стекающих слоях жидкости. Особое внимание уделено работам, в которых представлено влияние на массообмен волнового режима на поверхности слоя. Представлены критериальные зависимости коэффициента интенсификации массообмена, полученные различными авторами, и указаны их недостатки. Обзор завершают эксперименты по влиянию гофрированного дна на поверхностные волны.

В п. 1.2 приведена общая постановка задачи течения тонкого слоя вязкой жидкости по наклонной поверхности под действием силы тяжести. Рассмотрена иерархия моделей, пригодных для исследования задачи. Приведена слабонелинейная модель А. А. Непомнящего. Для дальнейшего исследования выбрана модель Капицы - Шкадова, которая получена при следующих предположениях: волны - длинные, профиль скорости в слое -полупараболический:

Ё1 + б ±sL + б ^зр = Цн А у**+h - 4

8t 5 дх h 5 dz h 5S { dx h

<t+í +A Azi=_L L A V2¿ —Ú-

8t 5 dx h 5 dz h 5 S{ dz h2 ¡' (1)

8h da 8p .

— + —+ —= 0,

8t dx dz

где h(x,z,t) - толщина жидкого слоя, a q{x,z,t) и p(x,z,t) - расход в направлении и поперек потока. Модель имеет один параметр -модифицированное число Рейнольдса 8 = 3~7/95~'/~]/3Reu/9, представляемое через число Рейнольдса Re и число Капицы У, учитывающее капиллярные свойства жидкости.

Правомерность используемых предположений для тонких слоев жидкости подтверждается результатами натурных экспериментов.

В п. 1.3 представлена постановка задачи массообмена в волновых слоях жидкости, выбраны основные параметры, определяющие интенсификацию массообмена. Рассмотрена универсальная модель при больших числах Пекле и тонких диффузионных слоях.

В п. 1.4 приведен аналитический обзор теоретических результатов наиболее значимых работ, связанных с гидродинамикой тонких слоев жидкости и исследованием массообмена в них. Хронологически первой появились работа П. Л. Капицы, в которой наряду с идеей усреднения исходных уравнений по известному профилю скоростей, предложено исследование периодических поверхностных волн. Следующей необходимо отметить работу Бенджамина, посвященную решению уравнения Орра - Зоммерфельда, полученному для анализа устойчивости плоскопараллельного течения тонкого слоя жидкости. Позднее Бинни предложил модель для длинных волн, которая уже при числах Рейнольдса больше трех обладала особенностью и приводила к неправильным результатам. К наиболее значимым результатам следует отнести работы В. Я. Шкадова (исправившего ошибки и обобщившего уравнения, полученные П. Л. Капицей) и его учеников, основанные на модели Капицы - Шкадова. Исследование первичной неустойчивости привело к результатам, аналогичным результатам Бенджамина. Построено и исследовано на устойчивость семейство медленных периодических волн у, ; В. Я. Шкадовым и Е. А. Демехиным получена новая ветвь быстрых периодических волн у 2 , найден диапазон ее устойчивости. Определены режимы вынужденных волн, реализующихся в натурных экспериментах. Позже А. А. Непомнящим исследованы периодические решения модельного слабонелинейного уравнения, иногда называемого уравнением Курамото - Сивашинского, хорошо согласующиеся с результатами В. Я. Шкадова при малых числах Рейнольдса. О. Ю. Цвел оду бом и В. И. Петвиашвили были найдены решения в виде двумерных и трехмерных солитонов на основе уравнений, полученных А. А. Непомнящим.

Рассмотрены работы Дресслера, Уизема и др., связанные с исследованием гидравлических волн для турбулентного слоя жидкости. В указанных работах авторы предполагают турбулентный профиль плоским, т. е. не зависящим от поперечной координаты.

Теоретические результаты исследования массообмена в слоях жидкости представлены работами двух исследовательских групп. Работы В. Я. Шкадова, Л. П Холпанова и др. учитывают влияние волновых процессов через модельную синусоидальную форму поверхностной волны. Получены соотношения для коэффициентов интенсификации массообмена для случая полного перемешивания в слое на длине волны и в случае непрерывного роста диффузионного слоя в жидкости. В работах П. И. Гешева, А. М. Лапина, О. Ю. Цвелодуба выделены три качественно различных механизма массообмена, связанных с соотношением поверхностной скоростью жидкости и скорости волны. Результаты получены только для докритического случая (скорость волны больше скорости жидкости на поверхности слоя), так как полученная

авторами модель для больших чисел Пекле в критическом и сверхкритическом случае имеет особенность. В качестве поверхностных использовались модельные стационарные периодические волны.

В п. 1.5 представлены цели диссертационной работы, определена ее новизна, приведены выносимые на защиту положения.

Во второй главе, «Пространственная эволюция возмущений и динамика нелинейных волн при малых и умеренных числах Рейнольдса», представлено численное решение задачи развития малых возмущений по пространству в двумерной постановке [11]. Исследован спектр двумерных солитонов, дающий ответ на вопрос об их устойчивости и позволяющий рассчитать показатели динамики возбужденных солитонов [6]. Представлены результаты моделирования взаимодействия солитонов в области развитого волнового поведения [22].

В п. 2.1 уделяется внимание результатам предыдущих работ, которые требуются для замкнутости исследования волновых режимов. С точки зрения теории устойчивости объяснено существование в реальных экспериментах тех или иных типов периодических волн.

На входе в рабочий участок предполагается наличие спектра внешних случайных возмущений в виде белого шума. Неустойчивость определяет первичную динамику этих возмущений плоскопараллельного потока вниз по потоку и приводит к выделению из всего спектра случайных возмущений полосы частот в окрестности частоты максимального роста (что для воды соответствует длине волны 1 см) [12].

В результате развития первичной неустойчивости происходит нелинейное насыщение волны и она переходит в стационарную бегущую волну конечной амплитуды, которая принадлежит к так называемому первому семейству нелинейных медленных (скорость волны меньше нейтральной) периодических волн, такого рода бифуркация впервые была получена В. Я. Шкадовым. При стремлении волнового числа к нулю волна этого семейства переходит в отрицательный солитон. Полностью исследованы (В. Я. Шкадов, Е. А. Демехин, А. В. Бунов) семейства быстрых волн (скорость волны больше нейтральной), которые ответвляются от семейства медленных волн через бифуркацию удвоения периода. Эти решения важны с той точки зрения, что они реализуются в экспериментах после потери устойчивости первым семейством, т. е. вторичной неустойчивости. При стремлении волнового числа к нулю волны второго семейства переходят в солитоны с характерным профилем - капиллярная рябь перед передним фронтом волны и монотонно затухающий задний фронт. В указанных работах получены результаты исследования на устойчивость периодических волн первого и второго семейства, а также анализ типов неустойчивостей, полученных из теоремы Флоке (неустойчивость к возмущениям собственного периода, субгармоническая неустойчивость, неустойчивость к возмущениям в виде боковых полос).

В п. 2.2 поставлена и решена задача исследования спектра возмущений двумерного солитонного решения системы Капицы - Шкадова. Поскольку

область определения решения является неограниченной, решение задачи на собственные значения (^(д:,/) представляется в виде линейной комбинации

функций дискретного (принадлежащие Ь1) и непрерывного (представляемого в виде «обобщенного интеграла Фурье») спектра [6,14, 15]:

¥{х,()= 14й(л:>Л' + \А{а)/{х,а)е,с"е"(а]^а, (2)

Ы\ р

где - собственные функции дискретного спектра с дискретными

собственными значениями Л,, интеграл соответствует непрерывному спектру Л(а), полученному из дисперсионного соотношения для плоскопараллельного потока, /(л:,а]е,ас - обобщенные собственные функции непрерывного спектра, со;+со). Дискретный спектр был найден из исследования

функции Эванса, при этом неустойчивых мод в спектре возмущений двумерного солитона не найдено. Отношение абсолютного значения функции /(х,а) на плюс и минус бесконечности показывает, насколько амплитуда линейного волнового пакета с волновым числом а подавляется при его взаимодействии с солитоном. Получено подавление амплитуды в сотни раз, что объясняет наличие плоских участков между солитонами в области развитого течения. Представлено исследование непрерывного спектра, который определяет динамику амплитуды возмущенного солитона, а также позволяет ответить на вопрос о конвективной устойчивости солитона. Е. А. Демехиным при исследовании модели Капицы - Шкадова получено, что при д< 0,022 (соответствует Яе<2,9 для воды) двумерный солитон конвективно неустойчив, т. е. он разрушается взаимодействующим с ним линейным волновым пакетом, что подтверждается результатами экспериментов.

В п. 2.3 рассмотрена постановка краевых условий системы Капицы -Шкадова в случае естественного и вынужденного волнообразования. Приведено описание численного алгоритма решения системы Капицы -Шкадова. Указаны особенности его построения и настройки. Проведен сравнительный анализ результатов расчетов с решениями полученными алгоритмами, использующими дискретное преобразование Фурье. Получено хорошее совпадение при сравнении периодических решений. Представленный алгоритм создан для расчетов развития возмущений по пространству для достаточно больших рабочих участков. Проведена серия расчетов с различными параметрами начального шума. Полученные результаты представлены в сравнении с экспериментальными данными, показано удовлетворительное совпадение. Представлен анализ всех этапов развития волн по пространству в случае естественного и вынужденного волнообразования.

Проведена статистическая обработка результатов численного моделирования развития малых естественных возмущений по пространству для достаточно большой длины канала (для воды - 2,5 м) [13]. Функции плотности распределения по скоростям и длинам волн представлены в различных точках по пространству. Дисперсия скоростей волн уменьшается вниз по потоку, и ее можно считать нормально распределенной случайной величиной.

Распределение волн по длинам имеет тенденцию стремления к равномерному, что соответствует слабому взаимодействию между структурами в области развитого течения. Из этого предположения сделан вывод, что в области развитого волнового поведения волны будут близки к стационарным бегущим волнам, но со случайным расстоянием между ними [18].

Модель позволяет произвести пересчет стационарного решения (И(х,8,%),д(х,8,%),с(8,х)), находящегося на некотором подслое X, на стационарное решение, находящееся на единичном подслое (#(£,Д),£(£,Д),£(Д))[17]:

ч{*Лх) = хгШл), (3)

с{5,%) = Х20{Ь),

где^ЛД = 5ХП'\

Проведя пересчет структур в области развитого течения на единичный подслой, можно увидеть, что развитие по пространству является движением в пространстве состояний солитонов, находящихся на единичном подслое, определяемом скоростью волны £> и модифицированным числом Рейнольдса Д. Таким образом, можно выделить среднюю по времени структуру в любой точке пространства. Точка в пространстве состояний, к которой будет притягиваться решение, будет инвариантной в пределах заданного типа возмущений на входе.

П. 2.4 посвящен исследованию двумерных солитонов в области развитых волн, что позволяет замкнуть картину развития естественных возмущений на поверхности слоя [11]. На достаточном удалении от подающего жидкость устройства (например, 150 см для воды и числе Рейнольдса 30) наблюдается следующие классы волн [21]:

1) нелинейные поверхностные волны (солитоны) с характерным профилем - пологим задним фронтом и капиллярной рябью на переднем фронте; среди них существуют как квазистационарные структуры, так и нестационарные - возбужденные в результате взаимодействия с себе подобными;

2) линейные волны малой амплитуды, собранные в волновые пакеты и возникающие при взаимодействии нелинейных высокоамплитудных волн солитонного типа.

Можно выделить два вида взаимодействия нелинейных структур: слабое взаимодействие - не приводит к изменению участвующих в нем количества волн; второй вид взаимодействия приводит к слиянию нелинейных волн с образованием одного возбужденного солитона, стремящегося к стационарному состоянию.

Приведены результаты численного моделирования парного взаимодействия солитонов. В зависимости от первоначального расстояния между уединенными структурами при фиксированной степени возбуждения реализовывался один из видов взаимодействия. В качестве пограничного состояния получена неустойчивая волновая структура - двугорбый солитон.

Исследование взаимодействия сведено к анализу динамики только одного возбужденного солитона. В результате численного моделирования получены экспоненциальные зависимости параметров волны от времени. Зависимости между амплитудой волны и ее скоростью, а также между амплитудой волны и ее координатой - линейные. Подтверждено предположение, состоящее в том, что возбужденный солитон является квазиравновесной структурой. Таким образом, процесс эволюции к стационарному состоянию возбужденной волны представляет собой движение в пространстве состояний. Это подтверждено сравнением во времени параметров возбужденной волны, пересчитанной на единичный подслой с использованием зависимостей (3) и зависимостью для стационарных структур.

Предложена модель динамики возбужденного солитона [11], основанная на балансе расхода на переднем и заднем фронте волны:

Л - хтР(А) ' (4)

где зависимость ^(Д) определена через параметры стационарных солитонов, находящихся на единичном подслое.

В результате сравнения декрементов затухания возмущений солитона, рассчитанных различными подходами:

а) из расходной модели, при линеаризации (4) около значения / = 1;

б) прямое численное моделирование;

в) исследование спектра возмущений солитона (представленное в п. 2.2.), получено хорошее совпадение.

Проведены численные эксперименты взаимодействия солитона с малыми возмущениями плоского участка. Подтверждены результаты исследования непрерывного спектра, проведенного в п. 2.2. Амплитуды гармоник возмущения подавляются от десятков до сотен раз в диапазоне волновых чисел ае[0;10], в результате в области развитого волнового поведения между солитонами наблюдаются практически плоские участки. Полученный результат также оправдывает применение мягких граничных условий в конце рабочего участка. Таким образом, возникновение нового солитона из-за неустойчивости плоскопараллельного участка между солитонами, при расстоянии между ними меньше критического, невозможно, и, как результат, в области развитого течения наблюдается решетка квазистационарных слабо взаимодействующих структур.

Глава 3, «Режим поверхностной турбулентности», посвящена анализу трехмерных поверхностных волновых режимов. Основой построенной теории являются результаты численных экспериментов, проведенных для системы Капицы - Шкадова в трехмерной постановке.

В п. 3.1 приведено исследование линейной устойчивости двумерных солитонов к трехмерным возмущениям. Анализ дискретного спектра показал абсолютную неустойчивость двумерных солитонов к длинноволновым возмущениям (рис. 1) [19]. Физическим механизмом неустойчивости является неустойчивость Рэлея, которая формируется за счет капиллярных сил. Найдено

14

волновое число поперечных возмущений Р= Рт, соответствующее максимальному коэффициенту роста Я = Ят, в зависимости от числа Рейнольдса. При увеличении числа Рейнольдса частота максимального роста и соответствующий ей коэффициент увеличиваются, выходя на постоянные значения уже при числе Рейнольдса около 6 [7].

а) Ь) с)

Рис. 1. Расположение дискретного (X) и непрерывного (сплошная линия) спектра при изменении волнового числа трехмерных возмущений

Получены оценки размерных длин волн максимального роста, которые с увеличением числа Рейнольдса также выходят на постоянные значения. Рассчитаны характерные размерные длины трехмерного перехода. Показана их слабая зависимость от числа Рейнольдса. Уже при 8 = 0,054 (соответствует для воды Яе = 6) она составляет 10 - 15 см для воды и далее уже практически не изменяется.

Численные и натурные эксперименты показывают, что, несмотря на линейную неустойчивость двумерных солитонов к трехмерным возмущениям, формирование трехмерных структур происходит не всегда. Волны фактически остаются двумерными вплоть до 3 = 0,048 (что соответствует для воды числу Рейнольдса, равному 5,5), имея небольшую устойчивую модуляцию по поперечной координате (рис. 2).

Т. е. нелинейность стабилизирует процесс насыщения и эволюция возмущения не приводит к разрушению двумерной волны [10]. Скорость, амплитуда и профили сечений волны количественно и качественно схожи с аналогичными параметрами для двумерных солитонов [12].

При 5 > 0,048 наблюдается другая картина (рис. 3) как результат развития возмущений. Двумерная волна разрушается, и формируются трехмерные подковообразные структуры.

Проведены численные эксперименты по моделированию неустойчивости, вызванной взаимодействием фронтов близкоотстоящих двумерных периодических волн второго семейства.

Рис. 2. Реализация линейной неустойчивости двумерных солитонов к трехмерным возмущениям без формирования трехмерных структур при 3 = 0,03 (для воды Де=4)

Рис. 3. Неустойчивость двумерной волны, приводящая к формированию трехмерных локализованных подковообразных структур при 8 = 0,048 (для воды Ле=5,5)

о

50 100 150 200 250 300

Х=100

Ш1

1

И

Рис. 4. Двумерно-трехмерный переход, вызванный комбинацией субгармонической двумерной неустойчивости и модуляции по поперечной координате

В этом случае неустойчивость имеет отличную от неустойчивости Рэлея двумерную природу (неустойчивость огибающей) и теоретически описана А. А. Непомнящим с использованием теории Флоке. Физически она является

16

комбинацией субгармонической неустойчивости, развивающейся в направлении стекания слоя, с компонентами фазовой модуляции поперек потока (рис. 4).

В экспериментах Д. Голлуба с малыми углами поверхности стекания к горизонту двумерные солитоны устойчивы к трехмерным возмущениям. На основе модельного уравнения, выведенного А. А. Непомнящим, проведена оценка влияния угла наклона поверхности стекания на развитие трехмерной неустойчивости. В результате показана дестабилизирующая роль капиллярной составляющей поверхностных сил, в то время как сила тяжести стабилизирует двумерные волны. Таким образом, при фиксированном числе Рейнольдса уменьшение угла наклона поверхности стекания приводит к ослаблению неустойчивости и, в конечном итоге, при достаточно малом его значении двумерные волны становятся устойчивыми.

П. 3.2 посвящен трехмерным солитонам, методам их построения и анализу устойчивости [8]. В интервале чисел Рейнольдса для воды 5-40 эволюция естественных возмущений приводит к стадии, когда поверхность слоя покрыта локализованными трехмерными когерентными структурами. Эти структуры являются независимыми устойчивыми и взаимодействуют друг с другом как квазичастицы, причем расположение их по отношению друг к другу не является детерминированным. Такое поверхностное поведение в дальнейшем будет называться поверхностной турбулентностью. Вид сверху отдельно выделенной локализованной структуры при увеличении числа Рейнольдса изменяется от подковообразного до напоминающего греческую букву А, поэтому в дальнейшем трехмерные солитоны будут называться А-структурами или А-солитонами. В качестве модели динамики волн рассматривается модель Капицы - Шкадова (1).

На достаточно большом расстоянии от горба солитона система уравнений, записанная в движущейся с постоянной скоростью с системе координат, линеаризована на тривиальном решении

= 1, = 1, = 0. Нелинейная часть солитона представлена

в виде произведения 5-функций Дирака по каждой координате, и, таким

образом, возмущение к тривиального решения будет определено соотношением

Г-Ё! + А + (с - 3)^ = (5)

Кдх2 дг2) Эх2 Эх v гу' ^'

где со = с2 -12с/5 + 6/5. Решения представлены в полярной системе координат х = г, г = гсо5(в). Асимптотическая оценка решения при больших г получена методом скорейшего спуска. На переднем фронте в = я/2 и поведение решения определяется дисперсионным соотношением плоского решения. На заднем фронте, при 9 =-ж/2, решение (5) имеет вид И = к/у[г, где к - некоторая константа. Т. е. в отличие от двумерного солитона затухание - не экспоненциальное. Задний фронт имеет характерное поведение, которое отражает асимптотика: плато (минимум И) и два симметричных максимума

(«усы»), ограничивающие его. Получено, что поведение «усов» солитона пропорционально /*' * при г-»со. С увеличением числа Рейнольдса плато между усами на заднем фронте становится шире, но, начиная с некоторого числа Рейнольдса после сужения, больше не меняется.

Полученная асимптотика позволила поставить краевые условия при достаточно большом г для численного нахождения горба солитона. Решение (1) искалось в виде ряда Фурье по углу в, коэффициенты которого зависели от г. Профиль одного из решений и его сечение приведены на рис. 5 [20].

Приведены контуры главного хребта солитонов и осевые сечения для различных чисел Рейнольдса. Наблюдается стремление профиля подковообразной волны к профилю А-солитона при увеличении числа Рейнольдса. При этом фронт волны заостряется и при 5 = 0,51 (это соответствует для воды Ле = 38) становится бесконечно острым. При 8 >0,51 решение в виде А-структур не существует, что определяет верхнюю по числу Рейнольдса границу существования А-солитонов. Получены зависимости параметров стационарных трехмерных солитонов от числа Рейнольдса: амплитуда и скорость стационарных трехмерных структур гораздо меньше амплитуды и скорости двумерных солитонов, но аналогично последним, стремятся к постоянным величинам с увеличением числа Рейнольдса; объем жидкости под волной растет линейно как для двумерных, так и для трехмерных структур, что говорит об их удлинении и расширении. Проведено сравнение результатов с аналогичными, полученными в предельных моделях, в частности, с результатами О. Ю. Цвелодуба и В. И. Петвиашвили, получившими подковообразный солитон для модели Непомнящего в трехмерной постановке. Сравнение с данными натурных экспериментов [1], проведенных в ИТФ СО

Капиллярная Голова Впадина

Рис. 5. Профиль Л - волны и ее сечения для модифицированного числа Рейнольдса 5 = 0,15 (для воды Яе=14)

РАН, показали количественное и качественное соответствие не только параметров трехмерных стационарных структур, но и формы волн (рис. 6).

Исследования дискретного спектра трехмерных структур показали абсолютную устойчивость последних к возмущениям дискретного спектра для всех чисел Рейнольдса вплоть до границы существования А-структур.

(01 '

Рис. 6. Теоретические результаты, полученные соискателем, (а) и данные натурного эксперимента (6), проведенного в ИТФ СО РАН для воды, Ле=4

Анализ устойчивости относительно возмущений непрерывного спектра [20] позволил найти нижнюю границу существования трехмерных А-структур д,в = 0,055 (для воды это соответствует = 6,1). Получено, что при

8Ъ0 < 0,055 солитон конвективно неустойчив, т. е. будет разрушен расширяющимся волновым пакетом. При 530 > 0,055 волновой пакет будет расти, подверженный первичной неустойчивости, отставая от солитона. В п. 3.1 получена верхняя граница существования двумерных солитонов

810 =0,048 (для воды^?е20 =5,5). Таким образом, найдена область двумерно-трехмерного перехода по числу Рейнольдса (для воды 5,5 < Яе< 6,1). Этот результат объясняет причину, почему в натурных экспериментах при числах Рейнольдса меньше 6 для воды не наблюдались трехмерные структуры, а также невозможность получить их методом установления при решении нестационарных уравнений Курамото - Сивашинского. Отмечено, что переход к среднерасходному числу Рейнольдса (йе), которое используется в реальных экспериментах, приводит к следующим границам существования трехмерных Л-структур: 60<(Яе)<380 ((Ле)/ Лея 10), что находится в хорошем соответствии с натурными экспериментами для естественно развивающихся возмущений.

В п. 3.3 описана созданная автором экспериментальная установка и особенности ее настройки для воссоздания конкретных волновых режимов.

В Качестве ря?>пчрм жиггкпгти Р>1,1ття ви(1пяня гтття ппи нппияпг-ниу vrлOBИЯX

1—ТГ—'—'—'—I

л \

X ч

13 - \ т

\

|12 ч.

10 - I

8-'-'-1-1-'-

0.5 1 1-5 2 2.5 3 3.5

I, ст

Рис. 7. Результаты экспериментов по моделированию двумерно-трехмерного

перехода. / - расстояние между возмущающими двумерную волну иглами; Ь -длина образования трехмерной структуры

Несмотря на проводимый, в основном, визуальный контроль результатов экспериментов, получены результаты, подтверждающие числа Рейнольдса, при которых возникает двумерно-трехмерный переход ((Ле)«40-60). Ряд экспериментов посвящен проверке параметров искусственного распада двумерных и формирования трехмерных волн. В потоке располагались иглы, расстояние между которыми изменялось, а в результате контролировался двумерно-трехмерный переход. Результаты по длине распада двумерных волн для числа Рейнольдса 10 находятся в хорошем соответствии с построенной ранее теорией и представлены на рис. 7.

ТГ ' ' ^

л \

.. ч

ч

ч

г

Взаимодействие теории, численного моделирования и экспериментальных исследований позволило создать устройство для генерации локализованных трехмерных структур, не требующее большой длины канала для их получения (как этапа разрушения двумерных солитонов). Разработанная методика позволяет полностью контролировать число Рейнольдса, определяемое по подслою, в отличие от методик естественного волнообразования.

Параметры течения и возмущений подбирались таким образом, чтобы в рабочей части канала не наблюдались волны. При числах Рейнольдса от 5 до I 20 волны либо не наблюдались, либо были малы и не разрушали процесс образования трехмерной структуры, а также сам А-солитон. Для создания локализованной трехмерной структуры была применена идея «дождевой капли».

1?е=7.5

1*е=14.8

Рис. 8. Теоретические (а) и экспериментальные (б) волновые структуры для указанных чисел Рейнольдса. Длина засечек соответствует 1 см

В качестве устройства для расположения капли на поверхности потока использовалась специальная пипетта с дозатором объема формируемой капли. Таблица соответствия числа Рейнольдса и теоретического объема капли приведена в тексте диссертации. Изменение положения пипетты позволило расположить каплю на поверхности слоя таким образом, чтобы последняя вовлекалась в движение при касании поверхности движущегося слоя, не формируя сухих пятен, волнового пакета или не одного, а нескольких локализованных образований. Масса располагаемой капли выбиралась в 1,21,5 раза больше, чем рассчитанная теоретически, что позволяло стационарной

21

трехмерной структуре установиться на длине порядка 10 см, такое значение коэффициента для массы капли было подобрано экспериментально. В экспериментах контролировались только образы волн, полученные фотосъемкой, и скорости движения полученных квазистационарных структур. На рис. 8 даны фотографии Л-структур и их экспериментальные образы для двух чисел Рейнольдса. На рис 9 дана размерная скорость, полученная при построении решения с помощью модели Капицы - Шкадова и в результате описанных экспериментов. Сравнительный анализ результатов натурных экспериментов и выводов теории дает право говорить о применимости модели Капицы - Шкадова для исследования трехмерных волновых режимов на поверхности слоя, как нестационарных, так и в виде локализованных стационарных бегущих с постоянной скоростью Л-структур. Заканчивают данный пункт результаты расчетов, моделирующие образование трехмерного солитона из капли соответствующей массы, а также взаимодействие Л-структур с возмущениями плоскопараллельного потока. Показано, что, как и в случае двумерных солитонов, трехмерные локализованные структуры «выглаживают» возмущения, формируя безволновой подслой.

Капицы - Шкадова; маркеры - экспериментальные данные, полученные в диссертации

В главе 4, «Режим гидравлических волн», рассмотрен волновой режим, имеющий физически иную природу волнообразования, чем рассмотренный в предыдущих разделах. Соответствующий интервал чисел Рейнольдса, 400 <(Яе)< 1500, захватывает не только ламинарный, но и турбулентный

режимы течения внутри слоя. В этой области параметров массовые силы намного превосходят капиллярные, и в результате последними можно пренебречь. Физическим механизмом разрушения двумерных солитонов является неустойчивость Рэлея, возникающая только при наличии капиллярных

сил. Как следствие, при режиме гидравлических волн двумерные солитоны устойчивы, т. е. отсутствует двумерно - трехмерный переход, что подтверждается натурными экспериментами. В результате в области развитого волнового поведения наблюдаются двумерные квазистационарные катящиеся волны. Они имеют передний волновой фронт в виде водовоздушной смеси и длинный задний фронт.

В п. 4.1 рассмотрена полуэмпирическая модель, учитывающая влияние молекулярной и турбулентной вязкости и использующая длину перемешивания Прандтля. В качестве параметров, описывающих указанный волновой режим,

выбраны число Фруда Fr = sin 9jcj = F1 H число Рейнольдса Re = gF%/v2,

где в - угол наклона плоскости стекания, сf - коэффициент трения, g -

ускорение свободного падения, v — кинематическая вязкость. Проведено исследование на устойчивость безволнового плоского слоя в случае турбулентного течения. Возмущаемый профиль скоростей получен численно из решения соответствующей краевой задачи. В результате также найдена зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса, которая дает несколько большие значения, чем формула Блазиуса cf = 0,111/Re1/4.

В результате исследования на устойчивость плоскопараллельного течения найден спектр возмущений [4], в котором присутствуют две поверхностные моды, описывающие, соответственно, возмущения, распространяющиеся вверх и вниз по потоку. Получено, что внутренние моды всегда устойчивы, поскольку их неустойчивость уже учтена в турбулентном профиле скоростей, а также устойчивы поверхностные возмущения, распространяющиеся вверх по потоку. Неустойчивость поверхностных возмущений вызвана модой, распространяющейся вниз по потоку, и является длинноволновой, как и в случае ламинарного течения в слое.

Так же, как и при развитии капиллярных волн, из всего спектра в первую очередь выживают частоты, близкие к частоте максимального роста, которые и определяют первоначальное расстояние между нелинейными волнами, что подтверждается сравнением с результатами натурных экспериментов. Показана слабая зависимость результатов анализа устойчивости от числа Вебера, что говорит о том, что влиянием капиллярных сил в дальнейшем можно пренебречь.

Приведен расчет критических параметров [2, 3], при которых поверхность слоя впервые теряет устойчивость. Существующие до настоящего момента теории (одномерный гидравлический подход Дресслера и Брока) предсказывали критическое значение числа Фруда, равное Fr = F'2 = 4 и не зависящее от числа Рейнольдса, несмотря на расхождение с экспериментальными данными. С использованием разложения по малому волновому числу получено соотношение [2], определяющее границу устойчивости в зависимости от числа Рейнольдса. Зависимость между критическими значениями параметров приведена на рис. 10.

I Ламинарное течение

Неустойчивость

Зона перехода

^Турбулентное течение Устойчивость

<Яе>

I Турбулентное течение

Ламинарное течение

Рис. 10. Зависимость между критическими значениями параметров: справа -критический угол наклона поверхности стекания в как функция числа Рейнольдса, слева - зависимость критического числа Фруда от угла в

П. 4.2 посвящен одному из прикладных вопросов - влиянию топографии поверхности стекания на волновые режимы. В реальных условиях поверхность, по которой стекает слой, жидкости не является плоским. При этом поверхность слоя покрыта стоячими волнами, являющимися реакцией на волновую структуру поверхности стекания. Из результатов натурных экспериментов В. Бонтозугло и численных расчетов Ю. А. Трифонова следует, что для ламинарных течений в слое топография дна сильно влияет на волновые режимы. На поверхности слоя наблюдаются волны, амплитуда которых в несколько раз больше амплитуды волнистости поверхности стекания.

В [23] впервые найден физический механизм явления и показано, что такого рода поведение связано с частотным резонансом. Результаты теоретических исследований приведены в сравнении с экспериментальными данными. В случае нулевого (в среднем) наклона поверхности стекания существует две поверхностные моды, распространяющиеся в разные стороны со скоростями близкими К +4ЁИ, где И - средняя толщина слоя. Если же поверхность слегка наклонена к горизонту, возникает сдвиговое течение, сносящее обе моды вниз по потоку. В этом случае одна из мод может сменить знак. В момент равенства результирующей скорости нулю возникает частотный резонанс между поверхностной волной и волнистостью дна, который приводит к возникновению стоячей волны большой амплитуды. Сравнение результатов расчета, полученных из частотного резонанса, и экспериментов Фоли и Ванони, дают хорошее соответствие, что подтверждает правильность предположения о резонансном механизме взаимодействия топографии поверхности стекания и поверхностных волн.

В п. 4.3 исследуются нелинейные катящиеся волны в двумерной и трехмерной постановке для ламинарного и турбулентного течения в слое, а также задача об устойчивости этих волн к двумерным и трехмерным возмущениям. Использовано длинноволновое приближение, кроме зоны вихря на фронте волны, которая заменяется скачком параметров течения. Для

турбулентного течения в слое соответствующая система уравнений в трехмерной постановке примет вид

5? дх

+ — зс.\ + Ск— = АЛ ] йг^й,! <Эх А

Ф , 5 Гз/Л, е [У "I А ал _

я* ( и I я, I и I я, г,2

+ Р'_

.....ч « у ^ у " ) - »

с/г да др п

Яг &

где б1 = соъв/Р2. Кроме того, выписываются условия на поверхности разрыва, движущегося со скоростью Б. Найдены уединенные стационарные двумерные катящиеся волны двух видов в случае как ламинарного, так и турбулентного режима течения в слое: положительные и отрицательные солитоны. Исследование на устойчивость полученных стационарных решений показало абсолютную устойчивость положительных солитонов и неустойчивость отрицательных, т. е. результат аналогичен исследованиям капиллярных солитонов (гл. 2). Спектр поперечных возмущений двумерных стационарных положительных катящихся волн содержит только устойчивые собственные значения. Это означает отсутствие трехмерных структур при числах Рейнольдса более 400 и наличие только двумерных нелинейных волн в области развитого волнового поведения - факт, хорошо известный экспериментально. Физически это можно объяснить отсутствием причины поперечной неустойчивости - капиллярных сил, которыми можно пренебречь при указанных числах Рейнольдса.

П. 4.4 посвящен численному моделированию пространственного развития катящихся волн из малых естественных возмущений. Система (6) не допускает непрерывных нелинейных решений, поэтому для расчетов был добавлен член уравнения, моделирующий вязкость. Параметр искусственной вязкости подобран из сравнения с экспериментальными данными Брока. Показана слабая зависимость средних характеристик течения (в особенности развитого волнового поведения) от этого параметра, а также от характеристик белого шума, подаваемого на входе рабочего участка.

В п. 4.5 рассмотрены преобразования подобия для отдельных катящихся волн, приводящие к самоподобному поведению в их динамике. Получены преобразования подобия, аналогичные (3) для системы (6) в двумерном случае:

(7)

где % (толщина волнового подслоя) - параметр подобия. В отличие от капиллярных волн, с изменением параметра подобия не изменяется параметр задачи - модифицированное число Фруда С, что определяет совершенно другую динамику волн.

На основе результатов численного моделирования проведена статистическая обработка поверхностных волн в области развитого волнового

поведения. Получено, что доля возбужденных волн (*)/(г), а также отношение расстояния, которое пройдет невозбужденная волна до ее поглощения, к средней длине волны, практически не изменяются по пространству. Найдена линейная зависимость средней длины волны от пространственной координаты, которая не определяется локальными параметрами волны:

Расчеты показали слабую зависимость доли возбужденных солитонов от С. Таким образом, полученную зависимость (8), определяющую динамику катящихся волн по пространству, можно считать универсальной и не зависящей от параметров задачи [15].

Глава 5, «Исследование влияния волновых режимов на массообмен», посвящена применению результатов, полученных в предыдущих главах. Количественные характеристики волновых режимов в слое и на его поверхности позволили провести численное моделирование массообмена в системе газ-жидкость для всех его качественно различных типов. Проведено численное решение уравнений переноса без упрощений. Упрощенные постановки не позволяли другим авторам провести расчеты в случае критического и сверхкритического режима массообмена (наличие области и> с на поверхности волны), поскольку обладали особенностями в точках, где скорость волны совпадает со скоростью жидкости на поверхности слоя (С/ = с). Сверхкритический режим массообмена существует при всех типах волн, поэтому его исследование привело к результатам, качественно отличным от результатов других авторов. Для определения волновых режимов оптимальных для массообмена исследованы зависимости процессов переноса от параметров поверхностных волн, таких как форма, частота, амплитуда и скорость волны.

В п. 5.1 выделены основные режимы массообмена, соответствующие различным волновым режимам в слое, и обсуждается их физическая интерпретация.

1. Поверхностная волна медленного семейства уи близкая к синусоидальной. Скорость волны во всех точках больше поверхностной скорости течения жидкости, т. е. режим - докритический. Растворение газа происходит за счет диффузии и нормальной к поверхности составляющей скорости, профиль концентрации в слое - автомодельный.

2. Волны семейства уи близкие к синусоидальным, либо волны семейства У2, не разделенные плоским участком. На поверхности существуют зоны, где и < с и и > с, разделенные стационарными точками, то есть режим -сверхкритический. Вблизи передней точки покоя 11= с насыщенная газом жидкость увлекается под горб волны. Таким образом, происходит перемещение насыщенного раствора вглубь слоя. В этом случае растворенное вещество не скапливается у поверхности, тормозя растворение, а попадает вглубь потока. С другой стороны волны также существует стационарная точка 11 = с, где жидкость из глубины волны поступает на поверхность. При этом на поверхности создаются зоны с низкой концентрацией газа, что резко

(В)

увеличивает масеообмен в этих местах. В отличие от первого механизма, где величина потока через поверхность быстро уменьшается с ростом концентрационного погранслоя, в этом случае уменьшение потока происходит медленнее до тех пор, пока гребни волн не насытятся газом. Увеличение массообмена тем сильнее, чем больше насыщенного раствора может попасть под гребень волны, а это соответствует более низкому расположению точки, где поток с поверхности идет вглубь, и большей амплитуде волны [91. При перемещении точек покоя на вершину волны данный режим переходит в первый.

3. Режим солитонов. Докритический или сверхкритический режим. Горб солитона является застойной зоной, где скапливается растворенный газ. После прохождения волны концентрационный слой перераспределяется. Поверхность пленки обновляется, и на плоском после горба участке начинает заново прорастать тонкий концентрационный погранслой, что увеличивает поток газа на этом участке. С увеличением плоского участка общее влияние солитонов на массообмен уменьшается, что приводит в среднем к параметрам массообмена безволнового течения, т.е. 5/г/5/г0 стремится к единице при частоте волн, стремящейся к нулю. Таким образом, должна существовать некая оптимальная частота солитонов, при которой достигается максимум массообмена.

П. 5.2 посвящен изучению влияния таких параметров волны, как амплитуда, скорость и частота, на массообмен [5]. В качестве параметра для описания интенсификации массообмена выбрано отношение числа Шервуда для данного волнового режима 5/г к числу Шервуда для безволнового слоя $//0.

Форма поверхности слоя жидкости выбрана в виде модельной монохроматической волны Кх> ¡) = \ + а зт(т: - оХ) = 1 + а 8т[а(х - с?)], где а -амплитуда, со - частота, с - скорость волны. На рис. 11 представлено значение коэффициента интенсификации 57г/5Уг0 как функция амплитуды и скорости волны для безразмерной длины канала ¿=1000, числа Рейнольдса (Яе} = 20 и частоты ¿» = 0,1.

Зафиксировав некоторое значение скорости волны и ее частоты, получаем рост ^/г/З'Ао в зависимости от длины контактного устройства до некоторого максимального значения и далее с насыщением жидкости газом, поскольку волны уже не оказывают влияния на массообмен, убывание до 1. С ростом амплитуды волны наблюдается: а) рост максимального значения коэффициента интенсификации, причем резкое увеличение происходит при смене первого механизма на второй; б) максимум смещается к началу контактного устройства. Зависимость коэффициента интенсификации массообмена от скорости волны при остальных фиксированных волновых параметрах имеет выраженный максимум в области сверхкритического режима, который соответствуем меньшим значениям скорости волны. С уменьшением скорости волны пространственная координата максимума сдвигается все дальше от начала контактного устройства. В отличие от влияния амплитуды и скорости на коэффициент интенсификация, изменение частоты практически не приводит к изменению максимума Бк/Бко и это объяснимо отсутствием влияния изменения

частоты на переход между механизмами массообмена, в отличие от зависимости от двух ранее приведенных волновых параметров.

Рис. 11. Sh/Sho в зависимости от амплитуды и скорости волны I - кривая,

разделяющая сверхкритические ® и докритические ® режимы массообмена.

Кривая II соответствует с=2, кривая III - а= 0,3. Жидкость - вода, газ - ССЬ,

(Re) = 20, ¿=1000

В п. 5.3 приведены результаты численных расчетов массообмена в двумерной постановке при естественном развитии малых случайных возмущений. Получено, что при числах Рейнольдса меньше 10 на всем промежутке развития возмущений, вплоть до решетки квазистационарных солитонов, реализуется первый механизм массообмена, что подтверждается сравнением профиля концентрации с автомодельным. Значительное отличие профиля концентрации от автомодельного решения начинается с момента возникновения второго механизма массообмена. Исследование зависимости коэффициента интенсификации массообмена от длины рабочего участка показало, что его максимальное значение для больших чисел Рейнольдса достигается на меньшей длине рабочего участка и имеет гораздо большее значение, чем при меньших. Это объясняется возникновением второго и третьего механизмов массообмена.

Проведено сравнение результатов расчетов с данными натурных экспериментов В. Е. Накорякова, Б. Г. Покусаева, К. Б. Радева и обзором экспериментов, приведенных А. Бакопулосом (рис. 12). Наблюдается хорошее соответствие, что говорит о точности расчетов и приемлемости гидродинамической модели течения слоя жидкости. Расхождение возникает при числах Рейнольдса, начиная с 40. Оно объясняется сменой двумерного режима на физических экспериментах на трехмерный, в то время как расчеты

проводились для двумерных волн. Соответственно, на рис. 12 наблюдается уменьшение наклона экспериментальной кривой интенсификации массообмена относительно теоретической.

Рис. 12. Естественные режимы волнообразования. Сплошные линии - численные расчеты для длин контактного устройства 25 и 100 см. Оптимальные режимы для вынужденного волнообразования и длины контактного устройства 25 см. Маркеры - результаты натурных экспериментов

П. 5.4 посвящен оптимальным режимам массообмена при вынужденном волнообразовании [16]. Отличие от случая развития естественных возмущений состоит в том, что в случае вынужденного волнообразования стационарные бегущие волны возникают в непосредственной близости от подающего жидкость устройства, устанавливаясь на расстоянии порядка одной длины волны от него. Фактически, дальнейшая волновая картина при фиксированном числе Рейнольдса определяется частотой пульсаций расхода со, В результате наблюдаются хорошо изученные В. Я. Шкадовым и Е. А. Демехиным семейства периодических волн ух при высоких и уг — при низких частотах со. В случае малой частоты между горбами волн семейства у2 наблюдается плоский участок, что может создать третий механизм массообмена. Таким образом, рост этого участка при уменьшении со приводит к интенсивности массообмена и прохождении коэффициента Бк/БЬ0 через максимум. Дальнейшее увеличение плоского участка между горбами уменьшает общее влияние солитонов на массообмен, которое в результате становиться пренебрежимо малым.

Проведен анализ эффективности массообмена при вынужденном волнообразовании для различных частот пульсаций расхода. Максимум 57г/5Уг0 в случае вынужденных волн, при (Яе) = 40, в два раза больше, чем для режима

естественных волн и достигается на меньшем расстоянии от начала рабочего участка (рис. 13). С увеличением числа Рейнольдса растет и число Пекле, что влечет уменьшение диффузионного слоя. В этом случае волны оказывают большее влияние на массообмен, увеличивая максимальное значение коэффициента интенсификации.

Рис. 13. Зависимость коэффициента интенсификации массообмена от пространственной координаты при различных волновых режимах. (Яе) = 40. 1 - естественные волны, 2 - вынужденные волны, (У = 0,15, 2 - вынужденные волны, со = 0,22, 3 - вынужденные волны, со = 0,45

Рассчитаны зависимости от V* для различных режимов

вынужденных волн. Получено наличие максимума коэффициента интенсификации, его величина растет с ростом амплитуды волн, а пространственное положение становится ближе к началу рабочего участка. Проведено сравнение с экспериментами В. Е. Накорякова и Б. Г. Покусаева, имеется удовлетворительное соответствие.

Проведено исследование оптимальных режимов массообмена -формирующих максимальный коэффициент интенсификации при заданной длине рабочего участка.

Для каждой длины рабочего участка при фиксированном числе Рейнольдса существует своя оптимальная частота колебаний О). Результаты для воды при длине контактного устройства 25 см представлены на рис. 12. Найдена оптимальная частота, при которой достигается максимум массообмена при длине контактного устройства 25 см. Все оптимальные режимы возникают для семейства уг периодических волн. При малых числах Рейнольдса это волны с плоским участком между ними, т. е. реализуется третий механизм массообмена. При увеличении числа Рейнольдса оптимальным режимам будет соответствовать второй механизм массообмена. Из экспериментальных работ следует, что режимы вынужденных волн (именно на них реализуются

оптимальные режимы маееообмена) могут быть реализованы для больших чисел Рейнольдса, что позволит значительно увеличить массообмен.

В п. 5.5, используя результаты расчета по универсальной модели

(5с->оо), построена критериальная зависимость 5,/г/л/5с= /{8,Ь)для задачи маееообмена (£ - растянутая безразмерная длина рабочего участка) [5] и оценены ее количественные характеристики: БИ/л/Бс =\,98°'6Ь~°'2. Указаны

рамки применимости модели (<5"е (0,1; 1); Ь е (100; 300)), в которых ошибка относительно расчетов по точной модели не превышает 25%.

Пересчет полученной зависимости на другие безразмерные параметры привел к критериальным зависимостям, учитывающим влияние капиллярных сил на массообмен:

Бк / = 0,44 Яе0'75 ОаожУ°лз,

5А / л/5с = 0,5 Яе0'47 ва^^е**,

где Ста - число Галилея, У - число Капицы, ¡¥е - число Вебера.

Для случая вынужденного волнообразования получена зависимость оптимальной частоты колебаний от модифицированного числа Рейнольдса 8. Несовпадение результатов универсальной и точной модели при больших 8 обусловлено невозможностью реализации в универсальной модели второго и третьего механизмов маееообмена. В результате проведенного сравнения с экспериментальными данными и численным решением неупрощенной задачи универсальную модель можно признать удовлетворительной для небольших значений модифицированного числа Рейнольдса 8 <1 и не слишком больших длин рабочего участка ¿<300. Основное преимущество критериальной зависимости состоит в возможности пересчета параметров маееообмена на любую жидкость (при условии 5с » 1 - достаточно тонкий концентрационный погранслой) и учете влияния капиллярных сил на массообмен [24].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации разработаны теоретические и экспериментальные подходы описания волновых режимов и маееообмена в волновых слоях вязкой жидкости. Основными результатами работы являются следующие.

1. Теоретически описан процесс пространственной эволюции естественных возмущений вниз по потоку. Обнаружено, что при малых амплитудах шума вдоль рабочего участка в силу различных неустойчивостей образуются квазистационарные бегущие волны различной природы, отделенные в пространстве участками волновых переходов. Это привело к возможности исследования различных волновых структур отдельно. Особая роль в исследовании уделена локализованным когерентным структурам -солитонам. Именно эти структуры являются характерными представителями окончательных волновых режимов при естественной эволюции малых возмущений.

1.1. Проведено описание сценариев взаимодействия двумерных солитонов, анализ которых сводится к исследованию динамики возмущений отдельно взятой структуры.

1.2. Динамика двумерной уединенной волны описана различными методами - от решения спектральной задачи поведения малых возмущений до привлечения модели, основанной на балансе расхода. Определена роль непрерывного спектра в динамике возмущений. Получено, в частности, объяснение существования между структурами плоскопараллельного участка, не разрушаемого первичной неустойчивостью.

1.3. Для двумерных и трехмерных солитонов на основе решения спектральной задачи введены понятия конвективной и абсолютной неустойчивостей, исследование которых позволяет найти границы существования солитонов. Исследована линейная неустойчивость двумерных солитонов к поперечным возмущениям, приводящая к смене волнового режима. Определена ее физическая причина, которая имеет капиллярную природу. Найдены наиболее опасные возмущения, определяющие характерный размер образующихся трехмерных структур. Исследование нелинейной неустойчивости показало существование критического модифицированного числа Рейнольдса 8* = 0,048 (для воды Яе* = 5,5), разделяющая область трехмерно модулированных двумерных солитонов при 5 <5* и область качественно отличных

структур - трехмерных солитонов при д > 6 .

1.4. Впервые построены решения в виде трехмерных солитонов (А-волна) для конечных чисел Рейнольдса. Анализ абсолютной и конвективной устойчивости солитонных решений позволил получить границу двумерно-трехмерного перехода 8$ (для воды Яе'^ = 5,5 н-6,1), определяющую нижнюю границу существования трехмерных волновых режимов. Верхняя граница, 8® (для воды Яе^ =38), находилась из условия исчезновения трехмерных солитонов.

1.5. В результате структурного осреднения результатов численного моделирования развития малых естественных возмущений методами статистического анализа обнаружено формирование среднестатистической структуры в каждой пространственной точке, определяемой в пространстве стационарных решений локальными параметрами течения, которые формируются в результате взаимодействия солитонов.

1.6. При больших числах Рейнольдса на основе уравнений Рейнольдса исследована устойчивость турбулентных потоков в каналах относительно поверхностных возмущений. Получены критические параметры, при которых течение теряет устойчивость. Оценено расстояние между катящимися волнами в начале канала. Исследовано влияние поверхностного натяжения на устойчивость.

1.7. Построена теория двумерных катящихся уединенных волн для турбулентных и ламинарных потоков как слабых решений гидравлической системы уравнений Дресслера, исследована их устойчивость. Проведено численное моделирование развития возмущений вниз по потоку. Получены преобразования подобия и

универсальная зависимость (не зависящая от параметров течения), определяющая динамику волн по пространству.

2. Построена экспериментальная установка и проведены эксперименты в прямоугольном канале шириной 15 см и длиной 25 см с водой как рабочей жидкостью в диапазоне чисел Рейнольдса (Яе}=5 - 100. Экспериментально получены следующие результаты.

2.1. С использованием размещаемых в потоке на различном расстоянии друг от друга возмущающих игл определена граница двумерно-трехмерного перехода «40 - 50.

2.2. В результате реализации идеи «дождевой капли» специальной дозировочной пипеттой созданы трехмерные солитоны. Ключевым моментом было соответствие массы капли массе А-солитона. Результаты эксперимента находятся в хорошем соответствии с предсказанием теории.

3. Математическая модель пространственной эволюции и понимание основных волновых переходов позволили решить прикладные задачи: построить законченную теорию, описывающую влияние волн на процессы массообмена газ - жидкость в стекающем слое жидкости, а также проанализировать влияние топографии дна на поверхностные волны.

3.1 Для двумерных волн детально исследован массоперенос при естественном и вынужденном волнообразовании. Достигнуто полное понимание процесса интенсификации массообмена волновыми процессами. Численные эксперименты проделаны для практически важного случая жидкость - вода, газ - ССЬ при числах Рейнольдса от 5 до 70.

3.2 Найден новый - третий - механизм интенсификации массообмена поверхностными волнами, когда они представлены цепочкой уединенных волн с достаточно большим плоским участком между ними.

3.3 Выявлено, что при вынужденном волнообразовании зависимость коэффициента массообмена от частоты наложенных колебаний может иметь вплоть до трех максимумов. Каждый из максимумов соответствует одному из трех механизмов массопереноса. Обобщение указанных зависимостей позволило найти оптимальную с точки зрения массообмена частоту наложенных колебаний, увеличивающую эффективность переноса до 2 раз по сравнению с естественными волнами.

3.4 Проведено детальное сравнение теоретических результатов с имеющимися экспериментальными данными, показавшее хорошее качественное и количественное соответствие.

3.5 Построена универсальная двухпараметрическая модель массообмена в волновом слое, пригодная для описания процессов переноса в широком диапазоне физических параметров жидкости и газа. Результаты обобщены в виде аналитической критериальной зависимости.

3.6 Проанализирован механизм влияния топографии дна на поверхностные волны. Показано, что существование стоячих волн большой амплитуды связано с особым типом резонанса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь С.М., Шелистов B.C. Устойчивость трехмерных солитонов в вертикально стекающих пленках жидкости //Доклады РАН. 2007.Т.413.№2.С.193-197.

2. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь Е.М. К теории катящихся волн в наклонных руслах II Доклады РАН.2005.Т. 401.№ 6.С. 762-764.

3. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь Е.М. Определение критических параметров устойчивости плоскопараллельного течения тонкой пленки жидкости // Теплофизика и Аэромеханика 2005.Т.11.№2.С.249-257.

4. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь Е.М. Солитонные решения и их спектр в теории катящихся волн // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества.2005.№ 1.С. 23-28.

5. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Растатурин Е.Н. Влияние волновых режимов на массообмен в стекающих пленках жидкости // Теплофизика и Аэромеханика.2005.Т. 12,№ 2.С. 259-269.

6. Калайдин, Е.Н. Спектральные свойства уединенных нелинейных волн на поверхности тонких пленок жидкости // Доклады РАН.2006.Т.408.№2.С.196-198.

7. Калайдин Е.Н., Власкин С.Ю., Демехин Е.А., Каллиадасис С. Об устойчивости двумерных солитонов и двумерно-трёхмерном переходе в стекающем вязком слое // Доклады РАН.2005.Т.405.№6.С. 21-27.

8. Калайдин Е.Н., Власкин С.Ю., Демехин Е.А., Каллиадасис С. О трёхмерных солитонах в стекающей плёнке жидкости // Доклады РАН.2006.Т.406.№5.С.44-46.

9. Растатурин А.А. , Демехин Е.А., Калайдин Е.Н. Оптимальные режимы массообмена в пленках жидкости // Доклады РАН.2005.Т.400. №6.С.767-769.

Ю.Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь С.М., Шелистов B.C. Исчезновение режима двумерных солитонов в свободно стекающей пленке жидкости //Доклады РАН. 2007.Т.417.№3,С.337-341.

11. Chang Н.-С., Demekhin Е.А., Kalaidin E.N. Interaction dynamics of solitary waves on a falling film // J. Fluid Mech.l995.№ 294.P.123-154.

12. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Simulation of noise-driven wave dynamics on a falling film // AIChE J. 1996.Vol.42,№ 6.P.1553-1568.

13. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Ye Y. Coarsening dynamics of falling-film solitary waves // Phys. Rev. E.1996.№ 54.P.1467-1471.

14. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Generation and suppression of radiation by solitary pulses // SIAM J. App. Math.l998.№58. P.1246-1277.

15. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Coherent structures, self-similarity and universal roll-wave coarsening dynamics // Physics of Fluids.2000. Vol. 12,№ 9.P.2268-2278.

16. Rastaturin A.A., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Optimal regimes of heat-mass transfer in a falling film // Journal Non-Equilib.Thermodyn.2005. Vol.31.P. 110.

17.Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Ye Y. Scalings of SpatioTemporal Dynamics on a Falling Film // Physica Scripta.№67.P.67-72. (1996).

18.Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Scalings, Self-Similarity and Statistics of Interfacial Turbulence on a Falling Film // in "Advances in Multi-Phase Flow". Editors, Y. Y. Renardy, A. V. Coward, D. T. Papageorgiou and Sun S. M.. SIAM.1996.P.86-111.

19. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Kalliadasis S., Vlaskin S.Yu. Three-dimensional localized coherent structures of surface turbulence. I. Scenarios of two-dimensional-three-dimensional transition // Physics of fluids.2007.Vol. 19.

20. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Kalliadasis S., Vlaskin S.Yu. Three-dimensional localized coherent structures of surface turbulence. II. Lambda solitons // Physics of fluids.2007.Vol.19.

21.Chang H.-C., Cheng M., Demekhin E. and Kalaidin E. N., Quasi-Stationary Wave Evolution on a Falling Film // in "Nonlinear Instability of Nonparallel Flows".S. P. Lin, W. R. C. Phillips and D. T. Valentine (Eds.). Springer-Verlag.1994. New-York.p.407^124.

22. Калайдин E.H., Чен Ч.-Ш., Демехин Е.А. Развитие и взаимодействие волн на поверхности вертикально стекающих пленок жидкости. Численные методы анализа: Сборник/Под ред. Бахвалова Н.С., Воеводина В.В., Морозова В.А. - М.: Изд-во Моск. ун-та. 1995.С.23^2.

23. Шапарь Е.М., Калайдин Е.Н., Демехин Е.А. Резонансное влияние дна на волновые режимы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Приложения.2005.№ 5.С.24—27.

24. Растатурин А.А., Демехин Е.А., Калайдин Е.Н. Математическая модель расчета массообмена в ламинарно-волновых пленках жидкости // Авторское свидетельство №2006613833.2006.

25. Калайдин Е.Н., Селин А.С., Шапарь С.М. Экспериментальное исследование трехмерных солитонов в вертикально стекающей пленке жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2008. № 14. С. 58-63.

26. Демехин Е.А., Шапарь С.М., Калайдин Е.Н. Трехмерные нестационарные процессы в вертикально стекающей пленке вязкой жидкости // Теплофизика и аэромеханика, 2008, Т. 15, №3. С. 393-400.

27.Chang H.-C., Demekhin Е.А., Kalaidin E.N. Iterated Stretching of Viscoelastic Jets // Phys. Fluids. 11.1717.1999.

Калайдин Евгений Николаевич

Волновые режимы в стекающих слоях вязкой жидкости и их влияние на процессы переноса

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 28.04.09 г. Бумага тип. №2. Печать трафаретная Тираж 100 экз. Заказ № 646 от 12.05.09 г. Кубанский государственный университет.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149. Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ВОЛНОВАЯ ГИДРОМЕХАНИКА И МАССООБМЕН

В СЛОЯХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1. Основные режимы течения — обзор экспериментов.

1.2. Уравнения теории нелинейных волн — иерархия моделей

1.3. Массообмен в волновых слоях.

1.4. Обзор теоретических результатов предыдущих работ

1.5. Цели настоящей работы.

2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ПРИ МАЛЫХ

И УМЕРЕННЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА.

2.1. Первичная и вторичная неустойчивости. Семейства двумерных волн

2.2. Спектр двумерного солитона и его динамика.

2.3. Пространственное развитие возмущений вниз по потоку

2.4. Исследование солитонных структур в области развитого волнового поведения.

3. РЕЖИМ ПОВЕРХНОСТНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

3.1. Неустойчивость двумерных солитонов к поперечным возмущениям.

3.2. Л-солитоны.

3.3. Эксперименты — сравнение с теорией.

4. РЕЖИМ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ВОЛН.

4.1. Первичная неустойчивость при турбулентном режиме течения

4.2. Резонансное влияние топографии дна на волновые режимы

4.3. Устойчивость нелинейных катящихся волн.

4.4. Численное моделирование развития катящихся волн из малых естественных возмущений.

4.5. Когерентные волновые структуры и самоподобие.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВОЛНОВЫХ РЕЖИМОВ НА МАССООБМЕН.

5.1. Механизмы массообмена и их анализ.

5.2. Зависимость массообмена от параметров и формы волны

5.3. Массообмен при реальных волновых режимах. Естественное волнообразование.

5.4. Вынужденные волны. Оптимальные режимы массообмена . 294 5.5 Критериальная зависимость в задаче массообмена.

Исследование течений слоев вязкой жидкости с поверхностью раздела является одним из классических направлений гидродинамики. Основу его развития в своих фундаментальных работах заложили П. JT. Капица [50,51] и В. Я. Шкадов [87,89,91,92]. Успеху многих последующих исследований способствовал факт удачного упрощения исходной сложной полной постановки и замены ее упрощенной, но сохраняющей все количественные свойства исходной — системой Капицы — Шкадова.

Фундаментальные исследования данной проблемы проведены П. JI. Капицей, В. Я. Шкадовым, С. В. Алексеенко, Е. А. Демехиным, В. Г. Левичем, В. Е. Накоряковым, А. А. Непомнящим, Б. Г. Поку-саевым, В. В. Пухначевым, Ю. Я. Трифоновым, О. Ю. Цвелодубом. Обзор экспериментальных и теоретических работ можно найти в монографиях [1,127]. Интенсивное изучение этой проблемы стимулировалось ее широким применением в технике п технологиях. Обзор приложений приведен в [6, 7,13, 53, 79, 80, 105, 157]. Важность проблемы обусловлена использованием пленок жидкости для осуществления технологических процессов, связанных с тепломассообменом между фазами. Известно применение пленок в таких массообменных аппаратах, как абсорберы, ректификационные колонны, кристаллизаторы, электролизеры. В холодильной технике пленочные теплообменники используются в качестве конденсаторов хладагентов. При движении двухфазных парожидкостных смесей в трубках паровых котлов пленки являются составной частью теплопередачи. В химических технологиях и пищевой промышленности водяные пленки служат для охлаждения серной кислоты, молочных продуктов, рассола при получении соды. Пленки жидкости используются в биореакторах для осуществления биохимических реакций; абсорберы с насадкой (скрубберы) с орошаемыми стенками — для получения водных растворов газа (например, абсорбция паров НС1 водой), разделения газовых смесей (абсорбция бензола в коксохимическом производстве), очистки газов от вредных примесей, улавливания одного из компонентов газовой смеси.

Пленки жидкости при наличии эффекта Марангони являются основой многих технологических процессов, например, выращивания кристаллов, микронасосов в невесомости, бессеребряной фотографии и др.

Сложность теоретического исследования заключается в том, что поверхность слоя оказывается покрыта сложной системой волн, которая меняется в зависимости от чисел Рейнольдса и Капицы, угла наклона, типа возмущений на входе. Задача течения вязкого слоя относится к "простейшему" открытому течению типа течения Блазиуса или Пуазейля. Такие течения имеют ряд сложностей по сравнению' с замкнутыми течениями. В частности, вниз по потоку, по мере развития возмущений, происходит каскад неустойчивостей, соответствующих бифуркаций и переходов. При малых и умеренных числах Рейнольдса эволюция заканчивается режимами двумерных волн, периодическими или солнтонного типа. Динамика со-литонов приводит к пространственно-временному хаосу. При увеличении числа Рейнольдса система неустойчивостей и переходов изменяется, двумерные режимы теряют устойчивость и сменяются трехмерным волновым режимом. В основе этого режима лежат трехмерные когерентные нелинейные локализованные структуры, А-солитоны. Хаотическое взаимодействие этих детерминированных структур приводит к режиму поверхностной турбулентности.

При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса вклад сил поверхностного натяжения становится малым и режим капиллярных А-солитонов исчезает, сменяясь режимом квазидвумерных катящихся волн (бора). Эти волны существуют на всей ширине канала и распространяются вниз по течению. Этот тип волн не зависит от поверхностного натяжения и существует как для турбулентного, так и для ламинарного режима течения пленки. На фронте волны возникает вихрь водовоздушной смеси. Этот вихрь предохраняет волну от опрокидывания и делает возможным существование бегущих стационарных волн с длинным хвостом и коротким фронтом с вихрем на нем. Такая волна распространяется вниз по потоку с постоянной скоростью. Для некоторых режимов область вихря может визуально проявляться в виде белой пены на фронте.

В настоящее время еще многие вопросы, связанные с процессами переноса в тонких слоях, остаются открытыми. В первую очередь это касается влияния волн на массообмен. Как следует из экспериментальных работ [1,6,7,153,161], волновые режимы могут увеличивать массообмен до нескольких раз.

В настоящее время не существует теорий, в полной мере описывающих массообмен. Большинство теоретических работ основывается на упрощенных уравнениях, не позволяющих описать все режимы массообмена. Кроме того, до сих пор до конца не исследованы механизмы интенсификации массообмена волнами.

Разработанная система программ и алгоритмов расчета волновой гидродинамики была применена к задачам массообмена в пленке жидкости с учетом реальных волновых режимов на поверхности пленки. Исследование массообмена в пленочных течениях позволило найти наиболее эффективные режимы течений. Предлагаемый подход делает возможным не только осуществление качественного анализа механизмов рассматриваемого явления, но и получение численных значений коэффициента массообмена для широкого спектра волновых режимов и параметров жидкости, что позволит определять величину массообмена без проведения дорогостоящих опытов.

Исследование потребовало не только разработки новых численных методов решения, но и применения непростого математического аппарата, понятий непрерывного и дискретного спектров, резонансных полюсов И т. д.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации разработаны теоретические и экспериментальные подходы описания волновых режимов и массообмена в волновых слоях вязкой жидкости. Основными результатами работы являются следующие.

1. Теоретически описан процесс пространственной эволюции естественных возмущений вниз по потоку. Обнаружено, что при малых амплитудах шума вдоль рабочего участка в силу различных неустойчиво-стей образуются квазистационарные бегущие волны различной природы, отделенные в пространстве участками волновых переходов. Это привело к возможности исследования различных волновых структур отдельно. Особая роль в исследовании уделена локализованным когерентным структурам — солитонам. Именно эти структуры являются характерными представителями окончательных волновых режимов при естественной эволюции малых возмущений.

1.1. Проведено описание сценариев взаимодействия двумерных солитонов, анализ которых сводится к исследованию динамики возмущений отдельно взятой структуры.

1.2. Динамика двумерной уединенной волны описана различными методами — от решения спектральной задачи поведения малых возмущений до привлечения модели, основанной на балансе расхода. Определена роль непрерывного спектра в динамике возмущений. Получено, в частности, объяснение существования между структурами плоскопараллельного участка, не разрушаемого первичной неустойчивостью.

1.3. Для двумерных и трехмерных солитонов на основе решения спектральной задачи введены понятия конвективной и абсолютной неустойчивостен, исследование которых позволяет найти границы существования солитонов. Исследована линейная неустойчивость двумерных солитонов к поперечным возмущениям, приводящая к смене волнового режима. Определена ее физическая причина, которая имеет капиллярную природу. Найдены наиболее опасные возмущения, определяющие характерный размер образующихся трехмерных структур. Исследование • нелинейной неустойчивости показало существование критического модифицированного числа Рейнольдса 5* = 0,048 (для воды Re* = 5,5), разделяющая область трехмерно модулированных двумерных солитонов при 6 < 5* и область качественно отличных структур — трехмерных солитонов — при 5 < 6*.

1 1.4. Впервые построены решения в виде трехмерных солитонов

А-волна) для конечных чисел Рейнольдса. Анализ абсолютной I и конвективной устойчивости солитоиных решений позволил получить границу двумерно-трехмерного перехода (для воды Reзр = 5,5 - 6,1), определяющую нижнюю границу существования трехмерных волновых режимов. Верхняя граница, d)^ (для воды = 38), находилась из условия исчезновения трехмерных солитонов.

1.5. В результате структурного осреднения результатов численного моделирования развития малых естественных возмущений методами статистического анализа обнаружено формирование среднестатистической структуры в каждой пространственной точке, определяемой в пространстве стационарных решений локальными параметрами течения, которые формируются в результате взаимодействия солитонов.

1.6. При больших числах Рейнольдса на основе уравнений Рейнольдса исследована устойчивость турбулентных потоков в каналах относительно поверхностных возмущений. Получены критические параметры, при которых течение теряет устойчивость. Оценено расстояние между катящимися волнами в начале канала. Исследовано влияние поверхностного натяжения на устойчивость.

1.7. Построена теория двумерных катящихся уединенных волн для турбулентных и ламинарных потоков как слабых решений гидравлической системы уравнений Дресслера, исследована их устойчивость. Проведено численное моделирование развития возмущений вниз по потоку. Получены преобразования подобия и универсальная зависимость (не зависящая от параметров течения), определяющая динамику волн по пространству.

Построена экспериментальная установка и проведены эксперименты в прямоугольном канале шириной 15 см и длиной 25 см с водой как рабочей жидкостью в диапазоне чисел Рейнольдса (Re) = 5 - 100. Экспериментально получены следующие результаты.

2.1. С использованием размещаемых в потоке на различном расстоянии друг от друга возмущающих игл определена граница двумерно-трехмерного перехода (Re~ 40 - 50.

2.2. В результате реализации идеи "дождевой капли" специальной дозировочной пипеттои созданы трехмерные солитоны. Ключевым моментом было соответствие массы капли массе А-солитона.

Результаты эксперимента находятся в хорошем соответствии с предсказанием теории.

Математическая модель пространственной эволюции и понимание основных волновых переходов позволили решить прикладные задачи: построить законченную теорию, описывающую влияние волн на процессы массообмена газ — жидкость в стекающем слое жидкости, а также проанализировать влияние топографии дна на поверхностные волны. .,

3.1. При больших,числах Рейнольдса на основе уравнений Рейнольдса исследована устойчивость турбулентных потоков в каналах относительно поверхностных возмущений. Получены критические параметры, при которых течение теряет устойчивость. Найдены частота и волновое число возмущения с максимальным коэффициентом роста, что позволило оценить расстояние между катящимися волнами в начале канала. Исследовано влияние поверхностного натяжения на устойчивость, и найдено • что при указанных значениях параметров течения это, влияние пренебрежимо мало.

3:2. Построена теория двумерных катящихся уединенных волн для турбулентных и ламинарных потоков как слабых; решений гидравлической системы уравнений Дресслера. Найдена ветвь нелинейных решений в виде отрицательных (впадина) солитонов (указано экспериментальное подтверждение их. существования) как результат жесткой бифуркации от тривиального решения, в то время как положительные катящиеся уединенные волны ответвляются в результате мягкой бифуркации. Исследована устойчивость двумерных катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям. Положительные солитоны устойчивы к обоим видам возмущений, в то время как отрицательные неустойчивы уже к двумерным. Полученные результаты объясняют отсутствие трехмерных волн в области развитого волнового поведения при числах Рейнольдса больше 400.

3.3. Проведено численное моделирование развития малых естественных возмущений для модели Дресслера. Получены преобразования подобия, позволяющие пересчитать среднестатистические структуры, наблюдаемые по пространству, на единое семейство стационарных решений уравнений Дресслера. Получена универсальная зависимость (не зависящая от параметров течения), определяющая динамику волн по пространству.

4. Изученные волновые режимы и переходы между ними позволили проанализировать влияние топографии дна па поверхностные волны, а также построить законченную теорию, описывающую влияние волн на процессы массообмена газ — жидкость в стекающей пленке.

4.1. Для двумерных волн детально исследован массоперенос при естественном и вынужденном волнообразовании. Достигнуто полное понимание процесса интенсификации массообмена волновыми процессами. Численные эксперименты проделаны для практически важного случая жидкость — вода, газ — С02 при числах Рейнольдса 5-70, когда волны являются двумерными.

4.2. Найден новый — третий — механизм интенсификации массообмена поверхностными волнами, когда они представлены цепочкой уединенных волн с достаточно большим плоским участком между ними.

4.3. Выявлено, что при вынужденном волнообразовании зависимость коэффициента массообмена от частоты наложенных колебаний может иметь вплоть до трех максимумов. Каждый из максимумов соответствует одному из трех механизмов массопере-носа. Обобщение указанных зависимостей позволило найти оптимальную с точки зрения массообмена частоту наложенных колебаний, увеличивающую эффективность переноса до 2 раз по сравнению с естественными волнами.

4.4. Проведено детальное количественное сравнение теоретических результатов с имеющимися экспериментальными данными, показавшее хорошее качественное и количественное соответствие.

4.5. Построена универсальная двухпараметрическая модель массообмена в волновом слое, пригодная для описания процессов переноса в широком диапазоне физических параметров жидкости и газа. Результаты обобщены в виде аналитической критериальной зависимости.

4.6. Проанализирован механизм влияния топографии дна на поверхностные волны. Показано, что существование стоячих волн большой амплитуды связано с особым типом резонанса.

1. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. 1992.

2. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусаев В.Г. Волнообразование при течении пленки жидкости на вертикальной стенке // ПМТФ. 1979. № 6. С. 77-87.

3. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости // Новосибирск. 1979. Препринт / Акад. наук СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теплофизики. N. 3679.

4. Алексеенко С.В., Антипин В.А., Гузанов В.В., Маркович Д.М., Харламов С.М. Стационарные уединенные трехмерные волны на вертикально стекающей жидкой пленке //Доклады РАН. 2005. Т. 405. № 2. С. 193-195.

5. Алексеенко С.В., Шторк С.И. Трехмерные стоячие волны на стекающей пленке жидкости // Прикладная механика и теническая физика. 1987. № 4. С. 157-164.

6. Вешков ВВояджиев X. Влияние волн на массоперенос при течении пленок // Изв. хим. Волг. АН. 1978. Т. 11. С. 209.

7. Вояджиев X., Вешков В. Массоперенос в движущихся пленках жидкости. М.: Мир. 1988.

8. Вунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. и др. Устойчивость течений с поверхностью раздела // Отчет Ин-та механики МГУ. 1982. № 2745.

9. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О неединственности нелинейных волновых решений в вязком слое If ПММ. 1984. № 48(4). С. 691-696.

10. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое жидкости // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. 1986. № 2. С. 73-78.

11. Веларде М.Г., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Устойчивость стекающей пленки жидкости с неравновесным адсорбированным подслоем растворимого поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 5. С. 20-35.

12. Веларде М.Г., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Влияние поверхностно-активных веществ на неустойчивость стекающей жидкой пленки // Изв. РАН, МЖГ. 2000. № 4. С. 56-67.

13. Воронцов Е.Г., Тананайко Ю.М. Теплообмен в жидкостных пленках. Киев: Техника. 1971.

14. Вязовое В. В. Теория абсорбции малорастворимых газов жидкими пленками // Журн. техн. физ. 1940. Т. 10. № 18. С. 1519-1532.

15. Ганчев Б.Г., Козлов В.М., Лозоветский В.В., Никитин В.М. Экспериментальное исследование гидродинамики пленок жидкости, стекающей под действием силы тяжести по вертикальным поверхностям // ТЭМ. 1973. Т. 7. № 5. С. 727-733.

16. Гергиуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972.

17. Гешев П.И., Лапин A.M., Цвелодуб О.Ю. Тепломассообмен в волновых стекающих пленках жидкости // Гидродинамика и тепломассообмен течений со свободной поверхностью. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. 1985. С. 102-119.

18. Голъдгитик М.А., Правдина М.Х. О взаимодействии внешнего возмущения с турбулентным потоком // ПМТФ. 1976. № 1. С. 61-65.

19. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука. 1977.

20. Демехин Е.А., Шкадов В. Я. О нестационарных волнах в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. № 3. С. 151-154.

21. Демехин Е.А. Ветвление решения задачи о стационарных бегущих волнах в вязком слое жидкости на наклонной плоскости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1983. № 5. С. 36-44.

22. Демехин Е.А., Демехин И.А., Шкадов В.Я. Солитоны в стекающих слоях вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1984. № 4. С. 9-16.

23. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О трехмерных нестационарных волнах в стекающей пленке жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1984. № 5. С. 21-27.

24. Демехин Е.А., Токарев Г.Ю., Шкадов В.Я. О существовании критического числа Рейнольдса для стекающей под действием веса пленки жидкости // ТОХТ. 1987. № 21(4). С. 555-559.

25. Демехин Е.А., Токарев Г.Ю., Шкадов В.Я. Численное моделирование эволюции трехмерных волн в стекающем слое вязкой жидкости // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. № 2. С. 50-53.

26. Демехин Е.А., Каплан М.А. Об устойчивости стационарных бегущих волн на поверхности вертикально стекающего слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. № 3. С. 33-41.

27. Демехин Е.А., Каплан М.А., Шкадов В.Я. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1987. № 6. С. 73-81.

28. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н.,Шапаръ С.М., Шелистов B.C. Устойчивость трехмерных солитонов в вертикально стекающих пленках жидкости // Доклады РАН. 2007. Т. 413. № 2. С. 193-197.

29. Демехин Е.А., Токарев Г.Ю., Шкадов В. Я. Двумерные нестационарные волны на вертикальной пленке жидкости // Теорет. основы хим. технологии. 1987. Т. 21. № 2. С. 177-183.

30. Демехин Е.А.,Шкадов В.Я. Режимы двумерных волн тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Мех. Жидк. и Газа. 1985. № 3. С. 63-67.

31. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапаръ Е.М. К теории катящихся волн в наклонных руслах // ДАН. 2005. Т. 401. № 6. С. 762-764.

32. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапаръ Е.М. Определение критических параметров устойчивости плоско-параллельного течения тонкой пленки жидкости // ТиА. ИТ СО РАН. 2005. Т. 11. № 2. С. 249-257.

33. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапаръ Е.М. Солитонные решения и их спектр в теории катящихся волн // Экологии, вестник н. ц. ЧЭС. 2005. Ш 1. С. 23-28.

34. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапаръ Е.М. О новом нелинейном решении в теории гидравлических волн // XXVII Сибирский тепло-физический семинар. Тез. докл. Новосибирск. 2004. С. 131-132.

35. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. К теории солитонов с диссипацией энергии // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 3. С. 91-97.

36. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О солитонах в диссипативных средах // Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск. ИТФ СО АН СССР. 1985. № 1 С. 32-48.

37. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О трехмерных нестационарных волнах в стекающей пленке жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 5. с. 21-27.

38. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Растатурин Е.Н. Влияние волновых режимов на массообмен // Теплофизика и аэромеханика. 2005. Т. 12. № 2. С. 259-269.

39. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапаръ С.М., Шелистов B.C. Исчезновение режима двумерных солитонов в свободно стекающей пленке жидкости // Доклады РАН. 2007. Т. 417. № 3. С. 337-341.

40. Есмаилъ М.Н., Шкадов В. Я. К нелинейной теории волн в слое вязкой жидкости// Изв. АН СССР, МЖГ. 1971. № 4. С. 54-59.

41. Зейтунян Р.Х. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангопи // Успехи физ. наук. 1998. № 168(3). С. 259-286.

42. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука. 1984.

43. Калайдин Е.Н. Спектральные свойства уединенных нелинейных волн на поверхности тонких пленок жидкости // Доклады РАН. 2006. Т. 408. № 2. С. 196-198.

44. Калайдин Е.Н., Чен Ч.Ш., Демехин Е.А. Развитие и взаимодействие волн на поверхности вертикально стекающих пленок жидкости. Численные методы анализа: Сборник /под ред. Н.С.Вахвалова, В.В.Воеводина, В.А.Морозова. М.: МГУ. 1995. с.23-42

45. Калайдин Е.Н., Власкин С.Ю., Демехин Е.А., Каллиадасис С. Об устойчивости двумерных солитонов и двумерно-трехмерном переходе в стекающем вязком слое // Доклады РАН. 2005. Т. 405. № 6. С. 21-27.

46. Калайдин Е.Н., Власкии С.Ю., Демехин Е.А., Каллиадасис С. О трехмерных солитонах в стекающей пленке жидкости // Доклады РАН. 2006. Т. 406. № 5. С. 44-46.

47. Калайдин Е.Н., Демехин Е.А. Исследование неустойчивости двумерных уединенных волн к трехмерным возмущениям // Наука Кубани. 2008. № 1. С. 4-8.

48. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978.

49. Капица П.Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1948. Т. 18. Вып. I. С. 3-28.

50. Капица П.Л., Капица С.П. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. Вып. 2. С. 105-120.

51. Кулов Н.Н., Воротилин В.Н., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М. Свободное стекание турбулентной пленки жидкости // ТОХТ. 1973. Т. 7. № 5. С. 717-726.

52. Кутателадзе С. С., Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах. Новосибирск: Наука. 1984.

53. Левин В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз. 1959.

54. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Христофоров В.В., Алексеенко С.В. Экпериментальное исследование течения пленки жидкости по вертикальной стенке // ИФЖ. 1974. Т. 27. № 3. С. 397-401.

55. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Алексеенко С.В. Стационарные двумерные катящиеся волны на вертикальной пленке жидкости // ИФЖ. 1976. Т. 30. № 5. С. 780-785.

56. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Алексеенко С.В., Орлов В.В. Мгновенный профиль скорости в волновой пленке жидкости // ИФЖ. 1977. Т. 33. № 3. С. 399-405.

57. Накоряков Б.Е., Покусаев Б.Г., Алексеенко С.В. Десорбция слаборастворимого газа из стекающих волновых пленок жидкости // Расчет тепломассообмена в энергохимических процессах. Новосибирск. 1981. С. 23-36.

58. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Радев К.Б. Влияние волн на десорбцию С02 из стекающих пленок жидкости // Теоретич. основы хим. технологии. 1983. Т. 17. Ж 3. С. 307-312.

59. Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Волны на поверхности тонкого слоя вязкой жидкости // ПМТФ. 1973. № 2. С. 109-113.

60. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Троян Е.Н., Алексеенко С.В. Волновые процессы в двухфазных системах. Течение тонких пленок жидкости. Новосибирск. 1975. С. 129-206.

61. Непомнящий А.А. Устойчивость волновых режимов в пленке, стекающей по наклонной плоскости If Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 3. С. 28-34.

62. Непомнящий А.А. Трехмерные пространственно-периодические движения в пленке жидкости, стекающей по вертикальной плоскости // Уч. зап. Перм. ун-та. 1974. № 7. С. 43-52.

63. Петвиашвили В. И., Цвелодуб О. Ю. Подковообразные солитоны на стекающей вязкой пленке жидкости // Доклады АН СССР. 1978. Т. 238. № 6. С. 1261-1263.

64. Пухначев В.В. Переменные Мизеса в задачах со свободной границей для уравнения Навье-Стокса // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210. № 2. С. 298-301.

65. Пухначев В.В. Плоская стационарная задача, со свободной границей для уравнений Навье — Стокса // ПМТФ. 1972. № 3. С. 91-102.

66. Пухначев В.В. К теории катящихся волн // ПМТФ. 1975. № 5. С. 4758.

67. Рамм В.М. Абсорбция газов. М.: Химия. 1966.

68. Растатурин А.А., Демехин Е.А., Калайдин Е.Н. Математическая модель расчета массообмена в ламинарно-волновых пленках жидкости // Авторское свидетельство №2006613833. 2006.

69. Растатурин А.А., Демехин Е.А., Калайдин Е.Н. Оптимальные режимы массообмена в пленках жидкости // Доклады Академии Наук. 2005. Т. 400. № 6. С. 767-769.

70. Седое Л.И. Механика сплошной среды. М.: Н. 1973. т.1.

71. Cucoee Г.М., Шкадов В. Я. Доминирующие волны в стекающих пленках вязкой жидкости // Доклады РАН. 1997. № 357(4). С. 483-486.

72. Cucoee P.M., Шкадов В.Я. Развитие доминирующих волн из малых возмущений в стекающих пленках вязкой жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 1997 № 6. С. 30-41.

73. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Неустойчивость и когерентность нестационарных уединенных волн в жидких пленках // Доклады РАН. 1998. № 363(4) С. 489-493.

74. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. О двупараметрическом многообразии волновых решений уравнения стекающей пленки вязкой жидкости // Доклады РАН. 1999. № 367(1). С. 56-61.

75. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Неустойчивости и переформирования регулярных волн в стекающих пленках вязкой жидкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 4. С. 44-48.

76. Такмазьян А.К., Шкадов В.Я. Течение пленки жидкости под воздействием термокапиллярного эффекта Марангони // Вестник МГУ. Сер.1. Матем. Механика. 2002. С. 46-50.

77. Тананайко Ю.М., Воронцов Е.Г. Методы расчета и исследования пленочных процессов. Киев: Техшка. 1975.

78. Тананайко Ю.М., Воронцов Е.Г. Методы вычислений и исследования пленок жидкости. Киев: Техшка. 1977.

79. Трифонов Ю.А., Цвелодуб О.Ю. О ветвлении стационарных бегущих волновых режимов вязкой пленки жидкости // ПМТФ. 1988. № 4. С. 55-60.

80. Тушканов Д. А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в двухслойных пленках // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. 2004. № 2. С. 51-57.

81. Федявский К.К., Гиневский А. С., Колесников А.В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Лен.: Судостроение. 1973. 256 с.

82. Шапаръ Е.М., Калайдин Е.Н., Демехин Е.А. Резонансное влияние дна на волновые режимы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Приложения. 2005. № 5. С. 24-27.

83. Шапаръ Е.М., Калайдин Е.Н., Демехин Е.А. О катящихся уединенных волнах на наклонной поверхности и их устойчивости // Теплофизика и аэромеханика. 2006. № 1. С. 83-92.

84. Шилъников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // Докл. АН СССР. 1965. № 160(3). С. 558561.

85. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действем силы тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 1. С. 43-51.

86. Шкадов В. Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 2. С. 20-25.

87. Шкадов В.Я. Уединенные волны в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 1. С. 63-66.

88. Шкадов В.Я., Холпанов Л.П., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М. К нелинейной теории волновых течений пленки жидкости // Теорет. основы. хим. технол. 1970. N° 4(6). С. 859-867.

89. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи гидродинамической устойчивости // Научные труды института механики МГУ. 1973. № 25.

90. Шкадов В.Я. Вопросы нелинейной гидродинамической устойчивости слоев вязкой жидкости, капиллярных струй и внутренних течений // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Механико-математический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 1973

91. Шкадов В.Я., Запрянов ЗД. Течения вязкой жидкости. М.: МГУ 1984.

92. Шкадов В.Я., Сисоев Г.М. К теории одиночных волн в стекающем слое вязкой жидкости // Доклады РАН. 2001. № 380(6). С. 774-778.

93. Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Инерциальные режимы течения капиллярных пленок // Вестник Моск. Ун-та . Сер. 1. Матем. Механика. 1997. № 2. С. 47-50.

94. Шкадова В.П., Кулаго А.Е., Шкадов В.Я. К задаче вытеснения вязкой жидкости из капилляра // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. 1997. № 4. С. 42-46.

95. Шкадов В.Я., Беликов В.А., Епихип В.Е. Устойчивость течения с поверхностью раздела // Отчет Института механики МГУ. 1980. № 2450.

96. Шкадов В.Я., Такмазьян А.К. Инерциальные режимы вытеснения вязкой жидкости из капилляра // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. 2003. № 3. С. 81-89.

97. Холпанов Л.П., Шкадов В.Я., Малюсов В.А. О расчете волновых характеристик стекающей пленки жидкости // Теорет. основы, хим. тех-нол. 1971. № 5(4). С. 559-563.

98. Холпанов Л.П., Шкадов В.Я., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М. О массоопереносе в пленке жидкости при волнообразовании (линейное распределение скоростей) // Теорет. основы хим. технологии. 1969. Т. 3, № 3. С. 465-468.

99. Холпанов Л.П., ШкадовВ.Я., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М. Исследование гидродинамики и массообмена в пленке жидкости с учетомвходного участка // Теорет. основы хим. технологии. 1976. Т. 10. № 5. С. 659-669.

100. Холпанов Л.П., Шкадов В.Я., Малюсов В.А., Л{аворонков Н.М. О массопереносе в пленке жидкости при волнообразовании // Теорет. основы хим. технологии. 1976. Т. 1. № 1. С. 73-79.

101. Холпанов Л.П. Тепломассообмен и гидродинамика пленочного течения жидкости // Теорет. основы хим. технологии. 1987. Т. 21. № 1. С. 86.

102. Холпанов Л.П., Шкадов В.Я. Гидродинамика и тепломасоообмен с поверхностью раздела. М.: Наука. 1990.

103. Acarlar M.S. and Smith C.R. A study of hairpin vortices in a laminar boundary layer. Part 2 // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 175. P. 43-83.

104. Adomeit F. and Rem U. Hydrodynamics of three-dimensional waves in laminar falling films // Int. J. Multiphase Flow. 2000. 26, 1183.

105. Alekseenko S. V., Nakoryakov V. Y., Pokusaev B.G. Wave Formation on a Vertically Falling Film //AIChE Journal. 1985. V. 32. P. 1446-1460.

106. Alekseenko S.V., Nakoryakov V.Y., Pokusaev B.G. Wave formation on vertically falling liquid film // Int. J. Multiphase flow. 1985. № 11(5). P. 607-627.

107. Alekseenko S.V., Antipin V.A., Guzanov V.V., Kharlamov S.M., Markovich, D.M. Three-dimensional solitary waves on falling liquid film at low Reynolds numbers 11 Phys. Fluids. 2005. Vol. 17. N. 12. P. 121704121708.

108. Back D.D., McCready M.J. Theoretical Study of Interfacial Transport in Gas-Liquid Flows // AIChE Journal. 1988. Vol. 34. № 11. P. 1978-1802.

109. Bakopoulos A. Liquid-side Controlled Mass Transfer in Wetted-wall Tubes // German Cheical Engineering. 1980. № 3. P. 241-252.

110. Banerjee S., Rhodes E., Scott D.S. Mass transfer to falling wavy liquid films at low Reynolds numbers // Chemical Engineering Science. 1967. № 22. P. 43-48.

111. Belkin H.H., Macleod A.A., Monrad C.C. and Rothfus R.R. Turbulent liquid flow down vertical walls // AIChE J. 1959. Vol. 5. № 2. P.245-248.

112. Benney B.J. Long waves in liquid films //J. Math. Phys. 1966. № 45. P. 150-155.

113. Benjamin T.B. Wave formation in laminar flow down an inclined plane // J. Fluid Mech. 1957. Vol.2. P. 554-574.

114. Benjamin T.B. Shearing flow over a wavy boundary // Fluid Mech. 1959. Vol. 6. P. 161-205.

115. Benjamin T.B. Instability of periodic wavetrains in nonlinear dispersive systems // Proc. Roy. Soc. A. 1967. Vol. 299. N. 1456. P. 59-75.

116. Binnie A.M. Experiments on the onset of wave formation on a film of water flowing down a vertical plate //J. Fluid Mech. 1957. № 2. P. 551— 553.

117. Binnie A.M. Instability in a slightly inclined water channel // J. Fluid Mech. 1959. № 5. P. 561-570.

118. Bontozoglou V., Papapolymerou G. Laminar flow down a wavy incline plane // International Journal of Multiphase Flow. 1997. № 23. P. 69-79.

119. Brauner N., Maron D.M. Modeling of wavy flow inclined thin films. // Chem. Eng. Sci. 1983. Vol. 38. № 5. P. 775-788.

120. Brauner N. Roll wave celerity and average film thickness in turbulent wavy film flow // Chem. Eng. Sci. 1987. Vol. 42. N. 2. P. 265-273.

121. Brock R. R. Development of roll-wave trains in open channels // J.of Hydraulics Division, 1969. Vol. 95. № HY4. P. 1401-1427.

122. Brock R. R. Periodic permanent roll waves // J. of Hydraulics Division, 1970. Vol.96. № 12. P.2565-2580.

123. Brock R. R. Development of roll waves in open channels // Technical Report CaltechKHR:KH-R-16. 1967.

124. Chang H.-C., Demekhin E.A. Complex Wave Dynamics on Thin Films // Studies in Interface Science. Elsevier. Amsterdam. 2002.

125. Chang H.-C., Demekhin E. A. Solitary Wave Formation and Dynamics on a Falling Film // Adv. in Applied Mech. 1995. № 32. P. 1-58.

126. Chang H.-C., Cheng M., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Quasi-stationary wave evolution on a falling film// Proc.IUTAM Symposium on Nonlinear Instability of Nonparallel Flows. Potsdam. NY. Springer-Verlag. 1993.

127. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Interaction dynamics of solitary waves on a falling film //J. Fluid Mech. 1995. K°- 294. P. 123-154.

128. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kopelevich D.I. Stability of a solitary pulse against wave packet disturbance in an active medium // Phys. Rev. Let. 1995. № 75. P. 1747-1750.

129. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. A simulation of noise-driven wave dynamics on a falling film // AIChE Journal. 1996. № 42. P. 15531568.

130. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Scalings, Self-Similarity and Statistics of Interfacial Turbulence on a Falling Film // Advances in MultiPhase Flow, editors Renardy Y.Y., Coward A.V., Papageorgiou and Sun S.M. SIAM. 1996. P. 86-111.

131. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Ye Y. Scaling of Spatio-Temporal Dynamics on a Falling Film // Physica Scripta. 1996. N. 67. P. 67-72.

132. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Iterated Stretching of Viscoelastic Jets // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. N. 7. P. 1717-1737.

133. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. and Y.Ye. Coarsening dynamics of falling-film solitary waves.// Phys. Rev. E. 1996. № 54. P.2467-1471.

134. Chang H.-C., Demekhin E.A. Coalescence cascade towards drop formation //J. Fluid Mech. 1999. № 380. P. 233-255.

135. Chang H.-C., Cheng M., Demekhin E.A. and Kopelevwh D.I. Secondary and tertiary excitation of three-dimensional patterns on a falling film // J. Fluid Mech. 1994. Vol.270. P. 251-275.

136. Chang H.-C., Demekhin E.A. and Kopelevich D.I. Nonlinear evolution of waves on a vertically falling film // J. Fluid Mech. 1993. Vol. 250. P. 433480.

137. Chang H.-C. Wave evolution on a falling film // Annu. Rev. Fluid Mech. 1994. № 26. P. 103-136.

138. Chang H.-C., Demekhin E. A., Kalaidin E. N. Generation and suppression of radiation by solitary pulses // SIAM J. App Math. 1998. № 58. P. 1246-1277.

139. Chang H.-C., Demekhin E. A., Kalaidin E. N. Coherent structures, self-similarity and universal roll-wave coarsening dynamics // Physics of Fluids. 2000. Vol. 12. № 9. P. 2268-2278.

140. Chang H.-C., Demekhin E.A. and Kopelevich D.I. Laminarizing effects of dispersion in an active-dissipative nonlinear medium // Physica D. 1993. Vol. 63. P. 299-320.

141. Chang H.-C., Demekhin E.A. and Kopelevich D.I. Stability of a solitary pulse against wave packet disturbance in an active medium // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. № 9. P. 1747-1750.

142. Chang H.-C., Demekhin E.A. and Kalaidin E.N. Interaction dynamics of solitary waves on a falling film// J.Fluid Mech. 1995. Vol. 294. P. 123-154.

143. Chang H.-C., Demekhin E.A. and Saprikin S.S. Noise-driven wave transitions on a vertically falling film // J.Fluid Mech. 2002. Vol. 462. P. 255-283.

144. Chang H.-C., Demekhin E.A. , Kalaidin E.N. A simulation of noise-driven wave dynamics on a falling film // AIChE Journal. 1996. № 42. P. 1553-1568.

145. Cheng M. and Chang H.-C. Competition between subharmonic and sideband secondary instabilities on a falling film // Phys. of Fluids. 1995. Vol. 7. № 1. P. 34-54.

146. Chomas J.-M., Huerre P. and Redekopp L.G. A frequency selection criterion in spatially developing flows // Studies in Applied Mathematics. 1991. Vol. 84. P. 119-144.

147. Cornish V. Ocean waves. Cambridge Univ. Press. 1934.

148. Chu K.J., Dukler A. E. Statistical characteristics of thin, wavy films. Part2 // AIChE J. 1974. Vol. 20. № 4. P. 695-706.

149. Chu K.J., Dukler A. E. Statistical characteristics of thin, wavy films. Part3 // AIChE J. 1975. Vol. 21. № 3. P. 583-593.

150. Cummings L.J., Rubinstein J. A fluid and heat flow problem arising in the soup-canning industry // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2000. № 53(4), P. 583-608.

151. Demekhin E.A., Tokarev G.Y., Shkadov V.Y. Hierarchy of bifurcations of space-periodic structures in a nonlinear model of active dissipative media 11 Physica D. 1991. Vol. 5. № 2 P. 338-361.

152. Drazin P. G. On the stability of cnoidal waves //Q.J. Mech. Appl. Math. 1977. Vol. 31. P. 91-105.

153. Dressier R.F. Mathematical solution of the problem of roll-waves in inclined open channels // Communs Pure Appl. Math. 1949. Vol. 2. P. 140-194.

154. Dukler A.E. The role of waves in two phase flow: some new understanding // Chem. Eng. Educ. 1977. Vol. 11. № 3. P. 108-117.

155. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Rastaturin A.A. Optimal wave regimes of pollutant absorption in a liquid film // Environmental Problems and Ecological Safety. Wiesbaden, Germany. 2004. P. 32-43.

156. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Kalliadasis S., Vlaskin S.Yu. Three-dimensional localized coherent structures of surface turbulence. II. Lambda solitons // Physics of fluids. 2007. Vol. 19. N. 11. P. 114104.1114104.15

157. Emmert R.E., Pigford R.L. A study of gas absorption in a falling liquid films // Chem. Eng. Progress. 1954. Vol. 50. N. 2. P. 87-93.

158. Evans J.W. Nerve axon equations. Ill stability of the nerve impulse // Indiana Univ. Math. J. 1972. 22. P. 577-593.

159. Evans J.W. Nerve axon equations. IV stability of the nerve impulse // Indiana Univ. Math. J. 1975. 24. P. 1169-1190.

160. Frenkel A.L. Nonlinear theory of strongly undulating thin films flowing down vertical cylinders // Europhys. Lett. 1992. N. 18. P. 583-588.

161. Foley M.G., Vanoni V.A. Pulsing flow in step alluvial streams // J. of Hydraulic Division Proc. Am. Soc. Siv. Eng. 1977. N. 8. P. 843-849.

162. Frish U., Zhen S. S. and Thual 0. Viscoelastic behaviour of cellular solutions to the Kuramoto-Sivashinsky model //J. Fluid Mech. 1986. Vol. 168. P. 221-240.

163. Goren S.L., Mani R. V.S. Mass transfer through horizontal liquid films in wavy motion // AIChE Journal. 1968. N. 14(1). P. 57-61.

164. Grant G.E. Critical flow constrains flow hydraulics in mobil-bed streams: A new hypothesis // Water resources research. 1997. Vol. 33. N. 2. P. 349358.

165. Henston W.H., Hanratty T.J. Gas absorption by a liquid layer flowing in the wall of a pipe // AIChE Journal. 1978. Vol. 25. N. 1. P. 122-131.

166. Head M.R. and Bandyopadhyay P. New aspects of turbulent boundary-layer structure //J. Fluid Mech. 1981. Vol. 107. P. 297-338.

167. Huerre P. and Monkewitz P.A. Local and global instabilities in spatially developing flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 1990. Vol. 22. P. 473-537.

168. Hussain A.K., Reynolds W.C. The mechanism of an organized wave in turbulent shear flow // Fluid Mech. 1972. Vol. 54, N. 2. P. 25-58.

169. Hwang S.-H., Chang H.-C. Turbulent and inertial roll waves in inclined film flow // Phys. Fluids. 1987. Vol. 30. N. 5. P. 1259-1268.

170. Higbie R. The rate of absorption of a pure gas in to a still liquid during shirt periods of exposure // Trans. AIChE. 1935. Vol. 31. P. 365-389.

171. Inazumi H., Kawasaki J., Suzuki Т., Watanabe M.M., Hanaoka. H. The rate of mass transfer into a falling liquid film on an onclined plate // International Chemical Engineering. 1986. Vol. 26(2). P. 306-313.

172. Kawahara T. and Toh S. Pulse Interactions in an Unstable Dissipative-Dispersive Nonlinear System // Phys.Fluids 1988. Vol. 31. N. 8. P. 21032111.

173. Jin S., Kim Y. J. On the computation of roll waves // Math. Modelling and Num. Analysis. 2001. N. 35(3). P. 463-480.

174. Jepsen J.C., Grosser O.K., Perry R.H. The effect of wave induced turbulence on the rate of absorption of gases in falling liquid films // AIChE Journal. 1966. Vol. 12. N. 1. P. 182-192.

175. Wierschema A., Bontozoglou V., Heininga C., Ueckerd H., Aksel N. Linear resonance in viscous films on inclined wavy planes // International Journal of Multiphase Flow. 2008. Vol. 34. N. 6. P. 580-5891.

176. Kamei S., Oishi J. Mass and heat tansfer in a falling liquid film of wetted wall tower // Mem. Fac. Engng Kyoto Univ. 1955. Vol. 17. N 3. P. 277-289.

177. Karpman V.I. Nonlinear waves in dispersive media. Oxford; N. Y., 1975.

178. Kline, S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A. and Runstadler, P.W. The structure of turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 30. P. 741-773.

179. Lamb H. Hydrodynamics. Cambridge Univ. Press, 1947.

180. Lin S.P. Instability of a Liquid Film Flowing Down an Inclined Plane // Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. N. 2. P. 308-313.

181. Lin S.P. Profile and speed of finite amplitude waves in a falling liquid layer // Phys. Fluids. 1971. Vol. 14. N. 2. P. 263-268.

182. Liu J. and Gollub J. P. Onset of spatially chaotic waves on flowing films // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. P. 2289-2292.

183. Liu J. and Gollub J. P. Nonlinear dynamics of film flows: solitary wave interactions // IUTAM ISIMM Structure and Dynamics of Nonlinear Waves in Fuids. 1994.

184. Liu J, Schneider, J.B. and Gollub, P.J. Three-dimensional instabilitites on film flows// Phys. Fluids 1995. Vol. 7. N. 1. P. 55-67.

185. Matar O.K., Sisoev G.M., Lowrence C.J. Evolution scales for wave regimes in liquid film flow over a spinning disk // Phys. Fluids. 2004. N. 16(3). P. 1-14.

186. Muenz K., Marchello J.M. Surface motion and gas absorption // AIChE Journal. 1966. Vol. 12(2). P. 249-253.

187. McCready M.J., Hanrattij T.J. Effect of air shear on gas absorption by a liquid film // AIChE Journal. 1985. Vol. 31(12). P. 2066-2074.

188. Nagasaki Т., Akiyama H., Nakagawa H. Numerical Analysis of Flow and Mass Transfer in a Falling Liquid Film with Interfacial Waves // Thermal Science к Engineering. 2002. Vol. 10. N. 1. P. 17-24.

189. Ooshida T. Surface equation of falling film flows which is valid even far beyond the criticality // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 3247-3269.

190. Park C.D., Nosoko T. Three-dimensional dynamics of waves on a falling film and associated mass transfer // AIChE Journal. 2003. Vol. 49. N. 11. P. 2715-2727.

191. Park C.D., Nosoko Т., Gima S., Ro S.T. Wave-augmented mass transfer in a liquid film falling inside a vertical tube // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. N. 47. P. 2587-2598.

192. Pego R.L. and Weinstein, M.L. Eigenvalues and instabilities of solitary waves // Phil. Trans. R. Soc. London. A. 1992. 340. P. 47-94.

193. Pego R.L., Wemstem M.I. Asymptotic stability of solitary waves // Commun. Math. Phys. 1994. Vol. 164. P. 305-349.

194. Portalski S. Studies of falling liquid film flow: Film thickness on a smooth vertical plane // Chemical Engineering Science. 1963. Vol. 18. P. 787-804.

195. Portalski S. Velocites in film flow of liquids on vertical plates // CES. 1964. Vol. 19. P. 575-582.

196. Portalsky S., Clegg A.J. An experimental study of falling liquid films // Chem. Emg. Sci.1972. N. 27. P. 1257-1265.

197. Pozrikidis C. and Thoroddsen S. T. The deformation of a liquid film flowing down an inclined wall over a small particle arrested on the wall // Phys. Fluids A. 1991. Vol. 3. N. 11. P. 2546-2559.

198. Prokopiou Th., Cheng M., Chang H.-C. Long waves on inclined films at high Reynolds number // J. Fluid Mech. 1991. Vol. 222. P. 665-691.

199. Pumir A., Manneville P. and Pomeau Y. On solitary waves running down an inclined plane // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 135. P. 27-50.

200. Rastaturin A.A., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Optimal regimes of heat-mass transfer in a falling film // Journal Non-Equilib. Thermodyn. 2005. Vol. 31. P. 1-10.

201. Roberts R.M., Chang H.-C. Wave-enhanced interfaceial transfer // Chemical Engineering Science. 2000. Vol. 55. P. 1127-1141.

202. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics. IV Analysis and operators. N. Y., 1978.

203. Ruyer-Quil C. and Mannevile P. Modeling film flows down inclines planes // Eur. Phys. J. 1998. Vol. 6. N. 2. P. 277-292.

204. Ruyer-Quil С. and Mannevile P. Further accuracy and convergence results on the modelling of flows down inclined planes by wighted-residual approximations// Phys. Fluids 2002. Vol. 14. N. 1. P. 170-183.

205. Ruyer-Quil C., Manneville P. Improved modeling of flows down inclined planes // Eur. Phys. J. B. 2000. Vol. 15. N. 2. P. 357-369.

206. Ruyer-Quil C., Manneville P. Comment on low-dimensional models for vertically falling viscous films // Phys. Rev. Lett. 2004. N. 93(19). P. 199441. ■

207. Ruyer-Quil C., Manneville P. On the speed of solitary waves running down a vertical wall // J. Fluid Mech. 2005. Vol. 531. P. 181-190.

208. Schliehting H. Boundary Layer Theory. McGraw-Hill, N. Y. 1968.

209. Seban R.A., Faghri A. Wave effect on the transport to falling laminar liquid films // Journal Heat Transfer. 1978. Vol. 100. P. 143-147.

210. Shkadov V.Ya., Velarde G.M., Shkadova V.P. Falling films and the Marangoni effect // Phys. Rev. E 69, 056310-1. 2004. P. 1-15.

211. Shkadov V.Ya., Sisoev G.M. Waves induced by instability in falling films of finite thickness // Fluid Dyn. Research. 2004. Vol. 35. P. 357-389.

212. Shkadov V.Ya., Sisoev G.M. Numerical bifurcation analysis of the travelling waves on a falling liquid films // Computers and Fluids. 2005. Vol. 34. P. 151-168.

213. Shkadov V.Y., Demekhin E.A. On some transitin process in spatial flows with a transversal velocity gradient // Kozlov V.V. editor. IUTAM

214. Symposium on Laminar-Turbulent Transition, P. 755-759, Novosibirsk, Springer-Verlag, 1985.

215. Shkadov V. Y. Hydrodynamics of slopped falling films // In: M. Velarde, R.K. Zeytounian, editors. Interfacial phenomena and the Marangoni effect. P. 191-224, Springer-Verlag, 2002.

216. G.M. Sisoev, O.K. Matar, C.J. Lawrence Absorption of gas into a wavy falling film // Chemical Engineering Science. 2005. Vol. 60. P. 827-838.

217. Stainthorp F.P., Allen J.M. The development of ripples on thesurface of liquid film flowing inside a vertical tube // Trans. Inst. Chem. Engrs. 1965. Vol. 43. P. 85-91.

218. Tailby S.E. and Portalski S. The hydrodynamics of liquids films flowing on vertical surface// Trans. Inst. Chem. Engrs. 1960. Vol. 38. P. 324-330.

219. Telles A.S. and Dukler A.E. Statistical characteristics of thin, vertical, wavy, liquid films // Ind. Eng. Chem. Fundam. 1970. Vol. 9. N. 3. P. 412421.

220. Trifonov Yu. Ya. Viscous liquid film flows over a periodic surface // International Journal of Multiphase Flow. 1998. Vol. 24. N. 7. P. 11391161.

221. Trifonov Yu. Ya. and Tsvelodub O. Yu. Nonlinear waves on the surface of a falling liquid film. Part 1. Waves of the first family and their stability // J. Fluid Mech. 1991. Vol. 229. P. 531-554.

222. Trifonov V. Y., Tsvelodub O. Y. Nonlinear waves on the surface of a falling liquid film. II: Bifurcations of the first-family waves and other types of nonlinear waves// J. Fluid Mech. 1992. Vol. 244. P. 149-169.

223. Tucker V.A. Wave-making by whirligig beetles (Gyrinidae). Science. 1969. Vol. 166. N. 3907. P. 897-899.

224. Wang Z-Y. Free surface instability of non-Newtonian laminar flows //J. of Hydraulic Research. 2002. Vol. 40. N. 4. P. 449-460.

225. Wasden F.K., Dukler A.E. A numerical study of mass transfer in free falling wavy films // AIChE Journal. 1990. Vol. 36. N. 9. P. 1379-1390.

226. Whitham G. B. A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using a Lagrangian //J. Fluid Mech. 1965. Vol. 22. P. 273-283.

227. Whitham G. B. Two-timing, variational principles and waves //J. Fluid Mech. 1970. Vol. 44. P. 373-395.

228. Whithem G.B. Linear and Nonlinear Waves. Wiley, 1974.

229. Won Y.S., Mills A.F. Correlation of the effects of viscosity and surface tension on gas absorption rates into freely falling turbulent liquid films // Int. Journ. of Heat Mass Transfer. 1982. Vol. 25(2). P. 223-229.

230. Yoshimura P.N., Nosoko T., Nagata T. Enhancement of Mass Transfer into a Falling Laminar Liquid Film by Two-Dimensional Surface Waves -Some Experimental Observations and Modeling // Chemical Engineering Science. 1996. Vol. 51. N. 8. P. 1231-1240.

231. Young, W.R., Pumir A., and Pomeau Y. Anomalous diffusion of tracer in convection rolls // Phys. Fluids. 1989. Vol. 1. N. 3. P. 462-469.

232. Yu J., Kevorkian J. Nonlinear evolution of small disturbances into roll waves in an inclined open cannel // Phis, of Fluids. 1992. N. 3. P. 101— 112.

233. Yu L.Q., Wadsen F.K., Dukler A.E., Balakotaiah V. Nonlinear evolution of waves on falling films at high Reynolds numbers // Physics of Fluids. 1995. N. 7(8). P. 1886-1992.

234. Zanuttigh B. Roll waves simulation using shallow water equations and Weighted Average Flux method // J. of Hydraulic Research. 2002. Vol. 40. N. 5. P. 610-622.N

235. Zilker D.P., Hanratty T.J. Influence of amplitude of a solid wavy wall on turbulent flow. Part 2. Separated flow // J. Fluid Mech. 1979. Vol. 90. P. 257-271.