Трехмерные волны на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру

Бочаров, Андрей Александрович

Трехмерные волны на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Бочаров, Андрей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Трехмерные волны на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру»

Автореферат диссертации на тему "Трехмерные волны на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру"

Бочаров Андрей Александрович

ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛЕНКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, СТЕКАЮЩЕЙ ПО ВЕРТИКАЛЬНОМУ ЦИЛИНДРУ

01.02.05 -механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Цвелодуб Олег Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Трифонов Юрий Яковлевич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Кузнецов Владимир Васильевич

Ведущая организация: Институт теоретической и при-

кладной механики СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится «23» июня 2004 г. в И00 час на заседании диссертационного совета Д 003.053.01 по присуждению учёной степени доктора наук при Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН (630090, Новосибирск, просп. Акад. Лаврентьева, 1)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН

Автореферат разослан «_» 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

В.В. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начиная с пионерских экспериментов П. Л. Капицы 1948 года по волновым течениям тонких слоев вязкой жидкости, исследование волн на поверхности жидких пленок до сих пор продолжает интересовать многих исследователей.

Вследствие неустойчивости течения пленки на ее свободной поверхности возникает сложная волновая картина уже при достаточно малых числах Рейнольдса. Это относительно простое ламинарное течение волновой пленки демонстрирует большое разнообразие как регулярных, так и хаотичных волновых режимов, что вызывает исключительный интерес у многих авторов.

Несмотря на обилие теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию волновых режимов на поверхности стекающей пленки жидкости, в настоящее время далеко не достаточно изучены трехмерные волновые режимы. Кроме того, как показывает большинство выполненных экспериментов, зарождающиеся регулярные двухмерные волны очень скоро становятся трехмерными и иррегулярными. Поэтому с физической точки зрения даже при изучении двухмерных волновых режимов нужно проводить исследование на их устойчивости к трехмерным возмущениям.

Целью работы является исследование в рамках модельного уравнения Шлэнга-Сивашинского трехмерных волновых режимов, возникающих на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру. Для ее достижения построены стационарно бегущие семейства решений, исследована их устойчивость, и на базе этой информации изучена эволюция трехмерных возмущений на поверхности пленки.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

решений. Опираясь на результаты исследования стационарно бегущих волн, в области умеренных волновых чисел удалось установить, как происходит эволюционная перестройка регулярных волновых режимов в зависимости от начальных данных.

Достоверность численных результатов обосновывается, во-первых, хорошим соответствием между собой данных, полученных с использованием различных методов. Во-вторых, для уравнения Непомнящего, описывающего трехмерные волны на поверхности плоской пленки, полученные результаты согласуются с данными других авторов. В-третьих, численные решения согласуются с аналитическими результатами, полученных в окрестности нейтральных волновых чисел.

Научная и практическая ценность. Проведенное в работе исследование привело к более полному пониманию процессов формирования волн на поверхности пленочного течения. Полученные результаты могут быть использованы для проведения некоторых тонких экспериментов по изучению гидродинамики волновых пленок в случае малых расходов.

Развитые в работе методы исследования стационарно бегущих волновых режимов, анализа устойчивости и бифуркации этих семейств с последующим изучением эволюции начальных возмущений можно использовать в других областях науки, в которых изучаются нелинейные волновые процессы.

С теоретической точки зрения ценность полученных результатов заключается в демонстрации различные типы гидродинамической неустойчивости и связи между двухмерными и трехмерными течениями вязкой жидкости со свободной границей.

Автор представляет к защите следующие результаты;.

Расчеты различных семейств периодических стационарно бегущих трехмерных волн, проведенные на основе модельного уравнения Шлэнга-Сивашинского. Исследования по устойчивости этих семейств волн относительно бесконечно малых возмущений. Иерархическую картину ветвления стационарно бегущих периодических семейств решений, их взаимные переходы. Результаты исследования солитонных решений. Влияние геометрии течения на волновую картину.

Результаты исследования на устойчивость аксиально-симметричных волн к бесконечно малым трехмерным возмущениям для различных параметров течения. Связь аксиально-симметричных семейств с пространственными семействами решений.

Результаты исследования эволюции различных трехмерных возмущений. Классификацию начальных данных для задачи Коши, позволяющую для умеренных волновых чисел предсказывать характер эволюции

начальных возмущений, асимптотически притягивающихся на больших временах к регулярным волновым режимам - стационарно бегущим или осциллирующие во времени волнам.

Апробация работы. Некоторые результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: VII, IX Международных конференциях "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", Новосибирск, 2000, 2004; Fourth International Conference on Muliphase Flow, New Orleans, USA, 2001; XXIII Конференция молодых ученых мех.-мат. факультета МГУ, Москва, 2001; VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001; Fifth Workshop on Transport Phenomena in Two-Phase Flow, Pamporovo, Bulgaria, 2000; Fifth World Conf. on Experemental Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics, Thessalooniki, Greece, 2001; Междунар. конф. «Современ. пробл. приклад, матем. и механ.: теория, эксперимент и практика», Новосибирск, 2001; Transport Phenomena with Moving Boundaries, Berlin, 2001; VII Всероссийская конф. молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики», Новосибирск, 2002.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 работ.

Личный вклад автора. Постановка задач исследований осуществлена автором как самостоятельно, так и в соавторстве с научным руководителем. В опубликованных совместных работах лично автору принадлежит разработка компьютерных программ и проведение численных расчетов, получены некоторые аналитические результаты.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 65 наименований. Диссертация изложена на 93 страницах, иллюстрирована 42 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации представлен краткий обзор темы диссертации, обсуждена ее актуальность, сформулированы цели и основные задачи исследования.

В первой главе диссертации рассматривается физико-математическая модель трехмерных волн на поверхности цилиндрической пленки вязкой жидкости.

В пункте 1.1 представлена схема вывода основного модельного уравнения Шлэнга-Сивашинского, описывающего трехмерные волновые режимы на поверхности пленки, стекающей по вертикальному цилиндру в

случае малых расходов и больших значений коэффициента поверхностного натяжения.

Обозначим за /г0 - толщину невозмущенной пленки, Л - радиус цилиндра, £ - характерный масштаб возмущений; g - ускорение свободного падения. Пленочное течение рассматривается для случая больших радиусов цилиндра Предполагается, что длина характерных возмущений на свободной поверхности много больше толщины пленки, т.е. Тогда в безразмерном виде модельное уравнение на эволюцию толщины пленки запишется в виде

число Рейыольдса,

Вебера. Характерная скорость У0 с точностью до величин по-

рядка е равна скорости поверхности пленки при безволновом режиме течения. - кинематическая вязкость жидкости, - коэффициент поверхностного натяжения. X - продольная цилиндрическая координата, (р азимутальная цилиндрическая координата, - временная переменная. Уравнение (1) записано в системе отсчета, движущейся со скоростью нейтральных аксиально-симметричных возмущений.

В пункте 1.2 обсуждаются основные свойства изучаемого в диссертации модельного уравнения (1).

В случае аксиально-симметричных возмущений уравнение (1) переходит в широко известное уравнение Курамото-Сивашинского. Совершая соответствующим образом предельный переход, из (1) можно получить уравнение Непомнящего (1974), описывающего трехмерные волны на поверхности пленки, стекающей вдоль вертикальной плоскости.

Для стационарно бегущих волн уравне-

ние (1) принимает вид

ЭЯ ЭЯ 3 Я „4Э2# -С—+ЛН—+—-+54—-+

щ2 д(р2

(

д<р

Я = 0

Уравнение (2) инвариантно относительно преобразований

Из первой двух групп симметрии следует, что при отыскании периодических решений с периодами волны А и A¡., соответствующих координатам х и (р , на решения уравнения (2) без ограничений общности можно наложить услокир нппмипгттги

(Я) = $ ¡Hd^dcp = 0, с>0 (4)

о о

В дальнейшем ограничиваемся только симметричными по координате ф решениями, что допускается третьей группой симметрии (3).

Из линейного анализа устойчивости тривиального решения Н = О уравнения (1) к возмущениям вида

#~exp(/a(.v-cf)) {ехр( /и„^>) + ехр(—in„<p)} + К.С. (5)

следует, что оно неустойчиво, если волновые числа удовлетворя-

Неравенство (6) определяет интервалы неустойчивости волновых чисел (а,,|, ап-,). Нейтральные волновые числа апХ 2 задаются выражением

Таким образом, для фиксированного значения S имеется дискретный набор интервалов по волновому числу соответствующих которые определяют область неустойчивости. Из формул (6) следует, что при данном значении п^ > 1 интервал существует, если значения параметр удовлетворяют неравенству

5 < Sc (л, ) = п^-фГ--1 )/2л„ (8)

Когда S > Sc (1) == 0.707 тривиальное решение Н = 0 ■ устойчиво по отношению ко всем пространственным возмущениям вида (5). В этом случае могут нарастать только аксиально-симметричные возмущения 4^=0 с

волновыми числами обозначаем просто как

В пункте 1.3 найдены аналитические решения с малой, но конечной амплитудой, которые существуют в окрестности нейтральных волновых чисел. В общем случае решение ищется в виде разложения в ряд по малому параметру

(9)

Н = еН1+е2Н2+е1Н 3+..., с = с0 +ес, +...

Здесь в качестве малого параметра можно взять, например, амплитуду первого члена разложения. Используя метод многих масштабов

подставляя разложение (9) в уравнение (2), из условия существования ограниченной функции Нх получим решение

Н - Г0 ехр(/а^)[ехр(ш?) <р) + ехр^/л^)] + А ехр(; (р) + К.С. +..., (10)

с = 0,

где

а = а„+8, 5 = а | Г0 |2 +ЬА2

С вещественными коэффициентами а, Ь, зависящими от параметра 5 и азимутального волнового числа п^ . Зависимости нормированной поправки

различных показаны на рис. 1.

<5 /1 Г0 |2 от нейтрального волнового числа (Х„ в случае = 1 для

Рис.1: Поправка 8 к нейтральному волновому числу ап, определяющая волновое число решения с амплитудой основной гармоники Г0 для различных значений А .

Из рис. 1 видно, что если то найденное периодическое решение (10) непрерывно продолжается в область неустойчивости Если

то решение продолжается в область устойчивости тривиального решения Н = 0 (5 >0). Если Б^Б., то се.. —> ап (5.) = 0.5 и поправка 8 неограниченно растет. Это связано с тем, что во втором

члене

Я-,

аксиально-

симметричная волна, соответст-

вующая гармонике ехр(2сг„£) становится нейтрально устой-

чивой,т.к. 2ап —» 1. В этом случае эту гармонику необходимо учитывать уже в первом члене разложения (9). Добавляя к этому разложение по параметру 5 = 5» +£3'1 + ..., и подставляя все в уравнение (2), из условия существования ограниченной функции Н2 получим два семейства решений. Первое семейство решений с фазовой скоростью с = О есть просто корректное продолжение семейства решений (10) в критическую область значений параметра . Второе семейство решений характе-

ризуется ненулевой фазовой скоростью и имеет вид

Во второй главе диссертации представлены методы численного исследования волн, описываемых основным уравнением (1).

В пункте 2.1 описывается метод вычисления стационарно бегущих волн для волновых чисел, находящихся вдали от нейтральных волновых чисел. В этом случае для получения решения Н уравнения (2) необходимо учесть большее число гармоник по сравнению с тем, что представлено в аналитическом виде в пункте 1.3. Представляя функцию Н в виде пространственного РЯД" 'Тч-е-- - —„ моник с индексами Iп I- 11111- ^

пт

ехр(/£»^+/ят((,9>) (12)

¡7. т

после подстановки в уравнение (2) получим конечную систему нелинейных алгебраических уравнений

-мтс-сс'п' -ПуЗ т-+{а и )Н„„,+

+ 2/ал X =0

/7, =~.\' Л/

л = 0.....ДГ; т = 0......М

к которым добавляются условия вещественности функции Н

^П.'

сопряжение. Условия

где черта сверху означает комплексное симметричности по аргументу (р

и условие (4)

Система уравнение (13) решалась численно методом Ньютона-Канторовича. В качестве начального решения при использовании этого метода брались аналитические решения, полученные в окрестности нейтральных волновых чисел из пункта 1.3. Затем, меняя с малым шагом волновое число, находились поправки для новых решений. Продолжая эту процедуру до тех пор, пока итерационных процесс сходится, строилось первое семейство решений. Чтобы найти другие периодические стационарно бегущие "семейства решений полученное семейство необходимо исследовать на устойчивость.

Метод исследования на устойчивость представлен в пункте 2.2. Возмущая найденное стационарно бегущее р е ш е ]Н0 (£,<р)\ л о й дои подставляя в уравнение (1), после отбрасывания слагаемых второго порядка малости получим линейное уравнение с периодически зависящими от координат коэффициентами

Эй Э#0й Э2Л С4 э2й

(

-с—+4

+ 5Ч

А = уЛ (14)

Э|2 д(р2 дер2

Поскольку H0 периодическая и симметричная по координате ср функция, то по теореме Флоке ограниченное решение к имеет вид

= + ) <р) + К.С.

(15)

где параметр Флоке произвольное вещественное число, а такое, что целое число. периодическая функция с теми же периодами что и функция Н. Подставляя представление (15) в уравнение (14), получим линейную спектральную задачу на собственные значения у и собственные функции Ч* с периодическими граничными условиями. Это задача решалась численно, в результате чего находились все у, ве-

щественная часть которых является декрементом затухания для моды возмущения Л , определяемой (15).

Если какое-нибудь уг = 0, то от стационарно бегущего решения Н0 может ответвиться новый волновой режим. Если мнимая часть у, собственного значения равна нулю, то ответвляется стационарно бегущий волновой режим. В этом случае можно применить метод расчета решений, описанный в пункте 2.1, и построить новые семейства стационарно бегущих решений, переходя при необходимости от варьирования волнового числа а к варьированию амплитуды какой-нибудь гармоники. Если не равно нулю, то ответвляющийся

волновой режим оказывается осциллирующим по времени.

В пункте 2 3 представлен метод исследования эволюции различных периодических возмущений для уравнения (1). Как и в пункте 2.1 решение Н ищется в виде суммы (12) теперь с амплитудами Нпт, зависящими от времени Подставляя это разложение в уравнение (1) получим конечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решалась численно методом Рунге-Кутта.

В третьей главе диссертации представлены результаты исследования стационарно-бегущих волн.

В пункте 3.1 даны результаты расчетов семейства трехмерных ста-ционарно-бегугцих волн, ответвляющегося от тривиального решения Н = 0 для азимутального волнового числа пр = 1. Это семейство будем

называть первым пространственным семейством (семейством I). Область неустойчивости в этом случае лежит в интервале (О.сО , ограниченным сверху нейтральным волновым числом ап = — . Для этого семейства зависимость амплитуды решения от волно-

вого числа а и параметра 5 показана в виде поверхности на рис. 2. Из этого рисунка видно, что в случае 5 < 5., когда ап > 0.5 , первое пространственное семейство непрерывно продолжается внутрь области неустойчивости, и наоборот, в случае 5 > 5.., когда ап < 0.5, первое пространственное семейство продолжается внутрь области устойчивости тривиального решения к малым трехмерным возмущениям (5). При , когда , первое пространственное семейство вырождается

в решение с нулевой амплитудой. Фазовая скорость волн С этого семей-

ства тождественно равна нулю. Линия р на этом рисунке, соответствующая проекции края этой поверхности, указывает волновое число, при котором трехмерные волны вырождаются в аксиально-симметричные волны с удвоением волнового числа. Оказывается, что это волны принадлежат аксиально-симметричному семейству решений, ответвляющихся от тривиального в окрестности точки ап = 1 , которое в дальнейшем будем называть первым аксиально-симметричным семейством (семейством 1а ).

Исследование на устойчивость аксиально-симметричных волн представлено в пункте 3.2. В случае аксиально-симметричных волн уравнение (1) преобразуется в известное уравнение Кура-мото-Сивашинского. Семейство впервые было получено в работе Непомнящего (1974). Результаты исследования на устойчивость решений семейства показаны на рис. 3.

Пунктир на этом рисунке обозначает нижнюю границу области устойчивости семейства 1а по отношению к аксиально-симметричным возмущениям с тем же периодом, сплошная линия - по отношению к трехмерным возмущениям с тем же периодом. Отрешения с волновым числом ответвляется семейство решений, в дальнейшем называемое вторым аксиально-симметричным семейством (семейством ). Это семейство с нетривиальной зависимостью фазовой скорости от волнового числа в пределе

Рис. 3: Нижние границы обчасти устойчивости семейства Ы к аксиально-симметричным (пунктир) и к пространственным возмущениям (сплошнаялиния).

а —> 0 дает солитонное решение. Это семейство получено в работе Цвелодуба (1980). В данной работе проведены исследования на устойчивость этого семейства как по отношению к аксиально-симметричным, так и к трехмерным возмущениям и показано, что солитонное решение семейства На неустойчиво к обоим типам возмущений в широком интервале параметра 5.

Исследование на устойчивость семейства 1а по отношению к трехмерным возмущением с удвоенной длиной волны (показатель Флоке () = \/2) позволяет определить волновое число(Ху , указывающего точку ветвления семейства I от семейства 1а . Зависимость а, (5), для которой а, (5)/2 ) схематично изображена линией р на рис. 2, с хорошей точностью получена аналитически. Показаны пространственные семейства решений, ответвляющиеся от семейства в случае , когда от три-

виального решения трехмерные волновые режимы ответвиться не могут (см. комментарий к (8)).

В пункте 3.3 Представлены результаты расчетов других пространственных стационарно бегущих решений, которые удалось построить после того как были найдены соответствующие точки ветвления от уже имеющихся семейств. На рис. 4 представлены зависимости амплитуды ДН (а) и фазовой скорости с (б) от волнового числа для нескольких семейств, ответвляющихся от семейства / при значении параметра 5 = 0.4.

0.1 0.2 0,3 0.4 0.5 0,0 0.7 0.0 0.9 1.0 а 0,1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.7 0.0 а

Рис. 4: Зависимость амплитуды (а) и фазовой скорости (б) от волнового числа пространственныхстационарно бегущихсемействрешений, ответвляющихся от семейства I. Пунктирная линия аксиально симметричное семейство 1а.

Пунктиром на этом рисунке показано семейство 1а .. Семейство II ответвляется от семейства I с тем же периодом волны. Семейства II', III', IV ответвляются от семейства I с удвоенной длиной волны. Семейство II' в другой своей крайней точке ответвляется от семейства 1а Именно волны семейства II' возникают при пересечении границы области устойчивости семейства, представленной сплошной линией на рис. 3.

Зависимость амплитуды АН (а) и фазовой скорости с (б) от волнового числа а для некоторых пространственных семейств решений, ответвляющихся от семейства II с тем же периодом волны (показатель Флоке () = 0), показаны на рис. 5.

Рис. 5: Зависимость амплитуды (а) и фазовой скорости (б) от волнового числа пространственных стационарно бегущих семейств решений, ответвляющихся от семейства II.

Каждое из представленных семейств на рис. 6 в пределе а —> 0 дает локализованную волну по х координате, или солитонное решение. Соли-тонные решения семейства для 5 = 0.4 (а) и для 5 = 0.1 (б) III показаны на рис. 6. Солитонное решение на рис. 6(б) показанное для малого значения S, соответствует известному результату о подковообразном солитоне, полученного Петвиашвили и Цвелодубом (1978) для пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости. В диссертации представлены и другие солитонные решения, а так же решения типа волн переключения. Исследование на устойчивость показывает, что найденные солитонные решения неустойчивы к малым возмущениям.

Я4—.

--- I

{

О в

0.4 иг о

о.в

Рис. 6: Профили волн солитонных решений семейства III для 5 = 0.4 (а) и для Б = 0.1(6).

В четвертой главе представлены результаты исследования эволюции различных начальных возмущений. Опираясь на результаты исследования стационарно бегущих решений уравнения (2), представленных в главе III, удалось провести анализ возможной эволюции и указать типичные сценарии развития этих возмущений.

В пункте 4.1 показана эволюция возмущений в области умеренных волновых чисел . В этом случае имеется лишь несколько се-

мейств стационарно бегущих решений и каждой такой волне, существующей при данном волновом числе а , можно однозначно указать класс начальных возмущений асимптотически притягивающихся п т —» к этой волне.

В окрестности волнового числа, при котором семейство II' теряет устойчивость, начальное возмущение эволюционирует к трехмерному осциллирующему по времени волновому режиму. Пример эволюции решения в этом случае представлен на рис. 7. Здесь для 5 = 0.4 и а = 0.52 показано поведение амплитуды от времени (а) и представлены характерные профили волн в различные моменты времени (б, в, г).

В пункте 4.2 демонстрируется эволюция начальных данных, которая происходит с изменением периода волны начального возмущения. Показаны примеры перестройки начальных слабо возмущенных стационарно-бегущих решений уравнения (2).

Рис. 7: Зависимость амплитуды от времени (а) для установившегося осциллирующего волнового режима и вид волн в различные моменты времени (в-г). Точки 1, 2, 3на рисунке (а) относятся к рисункам (б), (в), (г), соответственно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены новые трехмерные волновые режимы на поверхности цилиндрической пленки. Показано, что данная модель имеет большое число, по-видимому счетное множество, периодических стационарно бегущих семейств решений. Ветвление стационарно бегущих волновых режимов имеет иерархических характер. Новые семейства решений возникают в точках ветвления, где найденные семейства решений теряют устойчивость к отдельным модам бесконечно малых возмущений. С приближением к области длинных волн число точек ветвления растет. В большинстве случаев найденные семейства решений неустойчивы. По-

этому в процессе эволюции длинноволновых возмущений вероятно развитие стохастических режимов.

2. Влияние геометрии основного течения (изменение параметра 5) на волновые режимы проявляется, во-первых, увеличением числа пространственных стационарно бегущих семейств решений с увеличением радиуса цилиндра или увеличением числа Рейнольдса (уменьшение параметра S). Во-вторых, возможно скачкообразное изменение областей существования стационарно бегущих семейств решений. В-третьих, с увеличением радиуса цилиндра трехмерные возмущения на поверхности пленки локализуются в поперечном к потоку направлении.

3. Найдены различные солитонные пространственные решения уравнения (1). Найдено солитонное решение, переходящее при 5->0 в подковообразный солнтон, полученный для стекающей пленки вязкой жидкости вдоль вертикальной плоскости. Исследования на устойчивость показали, что все найденные солитонные решения неустойчивы к бесконечно малым возмущениям.

4. Анализ устойчивости позволил установить связь между аксиально-симметричными и трехмерными волнами. Показано, что с уменьшением радиуса цилиндра область устойчивости аксиально-симметричных волн к трехмерным возмущениям существенно расширяется. Удалось установить нижнюю по длине волны границу области возникновения устойчивых трехмерных волновых режимов. Возникающие при этом устойчивые трехмерные волны принадлежат семейству стационарно бегущих решений. Показано, что для аксиально-симметричного солитона малые аксиально-симметричные возмущения растут в несколько раз быстрее трехмерных возмущений.

5. В области умеренных волновых чисел для эволюционного уравнения (1) удалось провести классификацию начальных данных для задачи Коши, позволяющую предсказывать характер эволюции начальных возмущений, асимптотически притягивающихся к регулярному волновому режиму. Это оказалось возможным из-за наличия симметрий решений, сохраняющихся в процессе эволюции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Цвелодуб О.Ю., Бочаров А.А., Стационарно-бегущие волны на поверхности жидкой пленки, стекающей по вертикальному цилиндру // тез. Докл. VII Международная конференция "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", под ред. проф. В. Я. Рудяка, Новосибирск, 12-14 апреля, 2000 г., Вып. 7.,-С. 95-96.

2. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A., The wave regimes on a liquid film falling down a vertical cylinder // Book of abst of the 4th International Conference on Muliphase Flow, New Orleans, Louisiana, USA, May 27 -June 1,2001, p. 14

3. Бочаров А.А., Цвелодуб О.Ю., Исследование волновых режимов на пленке вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докл., Пермь, 23-29 авг. 2001 г. - Екатеринбург: Изд. ИМСС УрО РАН, 2001.-С. 115.

4. Бочаров А. А. Пространственные волны на поверхности жидкой пленки, стекающей вдоль вертикального цилиндра // VII Всероссийская конф. молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики", Новосибирск, 23-26 апреля 2002 г., Тез. докл. - С. 108-109.

5. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A. Waves on a thin liquid film falling down over vertical cylinder // Orpheus'2000, 5th Workshop on Transport Phenomena in Two-Phase Flow, Pamporovo, Bulgaria, 2000. - P. 119-124

6. Tsvelodub O. Yu., Bocharov A. A. The long waves on a liquid film falling over a vertical cylinder // Proc. of the Fifth World Conf. on Experemen-tal Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics, Editors G. P. Celata, P. Di Marco, A. Goulas, A. Mariani, Thessalooniki, Greece, 24-28 September, 2001.-V.3; P. 2013-2018.

7. Tsvelodub O. Yu., Bocharov A. A. Structures of solitons on a liquid film falling over a vertical cylinder // Transport Phenomena with Moving Boundaries, Forschr.-Ber. VDI Reihe 3 Nr.738. Dusseldorf: VDI Verlag 2002. -P.178-188.

8. Tsvelodub O. Yu., Bocharov A. A. The long waves on a liquid film falling over a vertical cylinder// J. Engineering Thermophysics. - 2002. - V. 11, 3.-P. 217-228.

9. Бочаров А. А., Цвелодуб О. Ю. Волновые режимы течения вязкой пленки, стекающей по вертикальному цилиндру // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 2003, № 2. С. 176 - 183.

10. Бочаров А. А., Цвелодуб О. Ю. Исследование эволюции возмущений на поверхности вязкой пленки жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру // Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Тез. докл. БС Международной конференции (26-28 апреля 2004г.), Новосибирск, Изд. НГАСУ., с.35-36.

Р 13055

Подписано к печати 14 мая 2004 г. Заказ № 60 Формат 60/84/16. Объем 1 уч.-изд. л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 1

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Бочаров, Андрей Александрович

Введение

Глава 1 Физико-математическая модель трехмерных волн на поверхности цилиндрической пленки вязкой жидкости

1.1 Основное модельное уравнение.

1.2 Некоторые свойства основного уравнения.

1.3 Стационарно-бегущие волны в окрестности нейтральных волновых чисел.

Глава 2 Методы исследования нелинейных волновых режимов

2.1 Методы расчета семейств стационарно-бегущих решений.

2.2 Метод исследования на устойчивость

2.3 Метод исследования и постановка эволюционных задач.

Глава 3 Трехмерные волновые режимы:

3.1 Первое пространственное семейство решений,

3.2 Устойчивость аксиально-симметричных волн к пространственным возмущениям.

3.3 Устойчивость и ветвление пространственных семейств решений. Солитоны.

Глава 4 Нестационарные волновые режимы

4.1 Эволюция произвольных возмущений в области умеренных волновых чисел

4.2 Эволюционная перестройка волн со сменой пространственного периода.

Введение диссертация по механике, на тему "Трехмерные волны на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру"

Начиная с пионерских экспериментов П. JL Капицы 1948 года по волновым течениям тонких слоев вязкой жидкости, исследование волн на поверхности жидких пленок до сих пор продолжает интересовать многих исследователей.

Прикладная значимость пленочных течений обусловлена широким использованием стекающих пленок жидкости в технологических процессах химической промышленности, энергетики, металлургии и других областях. Примеры использования пленочных течений в промышленности можно найти, например, в книгах Тананайко, Воронцова (1975), Соколова, Доманского (1976), Бояджиева, Бешкова (1988).

Вследствие неустойчивости на свободной поверхности пленочного течения возникает сложная волновая картина уже для достаточно малых чисел Рей-нольдса Re = Voho/v, где Vo - скорость поверхности пленки, ho - невозмущенная толщина пленки, и - кинематическая вязкость жидкости.

Это простое ламинарное гидродинамическое течение демонстрирует как регулярную, так и хаотичную динамику, что вызывает особый интерес у многих авторов. В экспериментальных исследованиях Капицы установлено, что на поверхности ламинарного течения вязкой пленки, осуществляемого для умеренных чисел Рейнольдса, возникают волны, длина которых намного больше толщины пленки. Первые аналитические результаты по волновой неустойчивости такого течения изложены в работах Benjamin (1957) и Yih (1963), которые резюмированы в работах Lin (1983) и Lin, Wang (1985). С помощью уравнения Орра-Зоммерфельда Бенжамин аналитически показал, что для слоя жидкости, стекающего по наклонной плоскости, существует критическое волновое число, которое указывает верхнюю границу области неустойчивости течения с постоянной толщиной к бесконечно малым возмущениям. Он показал, что существенным оказывается наличие сил поверхностного натяжения, пренебрежение которыми приводит к неустойчивости течения для возмущений с любыми волновыми числами. Таким образом, можно ввести еще один безразмерный параметр, определяющий волнообразование на поверхности пленки, - число Вебера We = v/pgliQ, где а - коэффициент поверхностного натяжения, g - ускорение свободного падения. Численно, аналогичные результаты для умеренных чисел Рейнольдса Re = 1 -Ь 40 были изложены в работах Krantz, Goren (1971) и Whitaker (1964), а в работе Pierson, Whitaker (1977) вплоть до Re « 700.

Экспериментальные работы (Капица, Капица 1949) показали наличие критического числа Рейнольдса, ниже которого волны на поверхности жидкости не возникают. Волновой режим течения не развивается, а искусственно созданные волны затухают. Дальнейшие экспериментальные исследования других авторов, например, Brauer (1956), Алексеенко, Накоряков, Покусаев (1979) и Ishigai, Nolanisi, Koizumu, Oyabu (1972) подтвердили существование критического расхода. Однако, линейная теория устойчивости не указывает на наличие критического числа Рейнольдса, что объясняется резким уменьшением амплитуды установившихся волн в окрестности этого экспериментального числа Рейнольдса и конечной чувствительностью аппаратуры (Алексеенко, Накоряков, Покусаев 1979).

Для теоретического описания волн на поверхности пленки требуется решить в полной постановке задачи течения пленки систему уравнений Навье-Стокса с кинематическими и динамическими граничными условиями, что является, очевидно, очень сложной проблемой. Однако наличие условия длин-новолновости е = ho/X 1, где Л - характерная длина неустойчивых возмущений; позволяет сделать: разложение исходных; уравнений; в ряд по малому; параметру е. Ограничиваясь первыми членами разложения можно достаточно корректным образом придти к набору сравнительно простых модельных ■ уравнений. Разбивая область значений числа Рейнольдса на'два диапазона . Re ~ 1 -г- 1/е , и Re < 1 придем к моделям двух разных типов.

В первом случае (Re ~ 1 Ч- 1/е) систему уравнений Навье-Стокса можно свести к системе уравнений типа пограничного слоя (Капица 1948), (Левич 1959). В работе Крылова, Воротилина, Левича (1969) показано, что для реальных жидкостей ее можно использовать вплоть до значений числа Рейнольдса Re ~ 1000. И хотя на основе системы проведен ряд численных экспериментов (Демехин, Демехин, Шкадов 1983), (Гешев, Ездин 1985), такая система остается довольно сложной для подробного анализа ее решений.

Чтобы упростить систему уравнений типа пограничного слоя часто прибегают к использованию различных интегральных методов (Капица 1948), (Berbente 1968), (Шкадов 1967). Так используя предположение об автомо-дельности профиля скорости волнового течения Шкадовым (1967) была получена система уравнений dq dt здесь h - толщина пленки, зависящая от продольной координаты х, вдоль направления течения и времени t, q = Jq dy - погонный расход жидкости на единицу ширины плоскости, р - плотность жидкости. Результаты исследования системы уравнений (1) можно найти, например, в работах Шкадова (1968) и (1977), Трифонова., и-Цвелодуба (1985), Трифонова (1988). Обзор посвященный системе уравнений (1) и результаты численных исследований этой системы можно найти в работах Chang (1994), Chang, Demekhin, Kalaidin (1995).

Во втором случае, когда Re < 1, задачу о волновом течении пленки можно свести к рассмотрению одного нелинейного эволюционного уравнения на толщину пленки или ее отклонения от невозмущенного уровня. Впервые уравнение такого типа было получено Веппеу (1966) для описания плоских волн на поверхности вязкой пленки жидкости, стекающей по наклонной плоскости. При выводе этого уравнения, число Вебера считалось умеренным We ~ 1ив получаемом приближении выпадало из набора параметров, т.е. поверхностное натяжение здесь можно не учитывать. Вывод и рассмотрение этого уравне^г ния дан так же в работе Шкадова (1973), которое является разновидностью широко известного уравнения Кортвега-де-Вриза-Бюргерса с тем отличием, что знак при члене со второй производной положителен, т.е. вместо дисси-:ш пации в системе наличествует "накачка". Очевидно, что такое уравнение не допускает стационарно бегущих волн. Roskes (1970) обобщил это уравнение на случай трехмерных волн. ч.^*

Из этого класса моделей (Re < 1) следует выделить случай, когда действие поверхностных сил велико We ~ 1/е2. Тогда получаемое модельное уравнение на эволюцию толщины пленки допускает волны с установившейся амплитудой. Для плоских возмущений такие уравнения были получены, например, в работах Gjevik (1970), Lin (1974), Непомнящего (1974с), Буе-вича, Кудымова (1983). Наиболее простая форма, соответствующая случаю малых возмущений на границе пленки (Ah « ho) дана в работе Непомнящего (1974с) для плоских возмущений на свободной границе вязкой пленки, стекающей по наклонной плоскости

Tt+Ahdi+ 15 ^ " t^W + Л? = 0 (2) где 9 - угол наклона плоскости к вертикали. Это уравнение записано в системе отсчета, движущейся относительно лабораторной системы отсчета с удвоенной скоростью поверхности стекающей пленки Vo при безволновом режиме течения.

С точностью до замен переменных уравнение (2) является широко известным уравнением Курамото-Сивашинского (Kuramoto, Tsuzuki 1976), (Sivashinsky 1977), которое появляется в целом наборе моделей при описании различных активно-диссипативных эволюционных систем (Chang, Chen 1970), (Hooper, Crimshaw 1985), (Babchin, Frenkel, Levich, Sivashinsky 1983). В удобной для нас нормировке это уравнение имеет вид (Цвелодуб 1980)

Щ + АННХ + Нхх 4- Нхххх = 0 (3) где Н - преобразованное отклонение толщины пленки. В работе (Nicolaenko, Scheurer, Temam 1986) представлено аналитическое доказательство неинте-грируемостй этого уравнения, более того, даже ограничиваясь случаем стационарных решений уравнения (Ht = 0), можно продемонстрировать хаотическое поведение его решений (Michelson 1986). Тем не менее, для уравнения (3) можно установить точное аналитическое решение, являющееся волной смены уровня (Kuramoto, Tsuzuki 1976). Интересные качественные рассуждения о возможности существования' солитонных' решений такого уравнения приведены в работе (Маурин, Одишария, Точигин 1977). Солитонные решения здесь будем понимать в более широком смысле, как пространственно лока-« лизованные решения/ Исследование стационарно бегущих периодических и солитонных решений изложено, например, в работе Цвелодуба (1980). Как показывают результаты численных расчетов (см., например, Трифонов, Цвелодуб 1988), набор стационарно бегущих волн уравнения (3) образует, по видимому, счетное множество семейств решений, каждое из которых непрерывно зависит от волнового числа. Хотя, нет возможности полностью описать все такие семейства решений, результаты расчетов позволяют делать некоторые важные выводы о волновой картине пленочных течений. Исследование нестационарных регулярных волновых режимов уравнения (3) представлены в работе Трифонова (1992).

Имеются так же попытки получать подобные эволюционные уравнения на изменение локальной толщины пленки и в случае умеренно* больших значений числа Рейнольдса (Takeshi 1999). Если рассматривать квазистационарные возмущения, т.е. такие для которых скорость близка к постоянной, то из системы уравнений (1) тоже можно получить одно уравнение на изменение толщины пленки (Алексеенко и др. 1979). Таким образом, модели такого рода можно рассматривать как связующий элемент между двумя описаниями пленочных течений, которые соответствуют малым и умеренным значениям чисел Рейнольдса.

Имеется много экспериментальных исследований пленочных течений. Кроме пионерских экспериментов Капицы (1948, 1949) упомянем здесь работы Krantz, Goren (1971), Portalski, Clegg (1972), Алексеенко, Накорякова, Поку-саева (1979, 1987), Lacy, Sheintuch, Dukler (1991). Как резюмировали Алексеенко и др. (1979) в большинстве выполненных экспериментов двухмерные регулярные волны исследовались только вблизи области зарождения волн, поскольку вскоре волны становились трехмерными и иррегулярными. Для поддержания двухмерных волновых режимов поток жидкости модулировался колебаниями фиксированной частоты, например, механическими вибрациями (Krantz, Goren 1971) или пульсациями скорости расхода Алексеенко и др. (1979). Таким образом, с физической точки зрения теоретическое исследование даже двухмерных волновых режимов нуждается в трехмерной формулировке задачи для выявления области применимости получаемых двухмерных решений.

Несмотря на обилие теоретических работ и докладов посвященных исследованию волновых режимов на поверхности пленочного течения, имеется относительно немного работ, в которых представлено систематическое исследование трехмерных волновых режимов. Обобщение уравнения (2) на случай трех измерений дано в работе Непомнящего (1974а), а результаты численных и аналитических исследований пространственных решений этого уравнения можно найти в работах Непомнящего (1974b) и Цвелодуба, Котыченко (1991). Подобное модельное уравнение, получающееся при учете более высоких порядков по е приведено в работе Krishna, Lin (1977). Некоторые результаты аналитических и численных исследований трехмерных волновых режимов, а " так же исследований на устойчивость плоских волн к трехмерным бесконечно малым возмущениям для этого уравнения можно найти в работе Joo, Davis (1992). В работе Lin, Chen (1997) проведены исследования на устойчивость плоского пленочного течения по отношению к трехмерным возмущениям для случая колеблющейся в своей плоскости вертикальной подложки и показано, что двухмерные возмущения не всегда оказываются более опасными чем трехмерные. В работе (Melkonian, Maslowe 1990) проведено интегрирование упрощенного эволюционного уравнения и рассмотрена эволюция трехмерных локализованных волн на поверхности стекающей пленки. Однако, в выбранной модели эти авторы пренебрегли поправками высшего порядка, которые ответственны за дестабилизирующие расходные и стабилизирующие капиллярные эффекты, поэтому эволюция демонстрирует лишь монотонное уплощение начального возмущения.

В данной работе излагаются результаты численных и аналитических исследований пространственных волновых режимов на поверхности вязкой пленки жидкости, стекающей по вертикальному круговому цилиндру в поле тяжести. Все исследования проведены в рамках одного нелинейного эволюционного уравнения, которое относится к описанному выше типу моделей, соответствующих числам Рейнольдса Яе < 1 и числам Вебера \Уе ~ 1/е2. Впервые это уравнение было получено работе БЫаг^, ЗгуаэЫпзку (1982). После некоторых преобразований переменных переменных оно принимает вид (Цвелодуб 1994) дЛ + + ^ + + (+ 2 Н = О (4) дт дх дх2 д(р2 \дх2 дф2)

5=4==1/(1 + 0,8Яе/^02)^ < 1, бо = -^«1

Л, г1 где Я - радиус цилиндра, Ь - длинна волны нейтрально устойчивых аксиально-симметричных волн, ф - азимутальная цилиндрическая координата.

Делая замену переменной я = Яср/Ь и совершая предельный 5 —► 0, соответствующий вырождению цилиндра в плоскость, из уравнения (4) придем к уравнению Непомнящего (1974а)

ЭН лтудН д2Н ( д2 д2\\т '

В случае аксиально-симметричных волн уравнение (4) переходит в (3).

Целью работы является исследование в рамках модельного уравнения Шлэнга-Сивашинского (1982) трехмерных волновых режимов, возникающих на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру. Для ее достижения построены стационарно бегущие семейства решений, исследована их устойчивость, и на базе этой информации изучена эволюция трехмерных возмущений на поверхности пленки.

Научная новизна. Найдены оригинальные трехмерные волновые режимы на поверхности пленки вязкой жидкости. Показано, что данная модель допускает большое число, и по-видимому, счетное множество трехмерных стационарно бегущих семейств решений. Продемонстрированы взаимные переходы этих семейств решений друг в друга. Продемонстрировано влияние геометрии течения как на профиль отдельных пространственных стационарно бегущих волн, так и на глобальные свойства целых семейств решений. Проведены исследования на устойчивость полученных семейств решений. Опираясь на результаты исследования стационарно бегущих волн, в области умеренных волновых чисел удалось установить, как происходит эволюционная перестройка регулярных волновых режимов в зависимости от начальных дан4 ных.

Развитые в работе методы исследования стационарно бегущих волновых режимов, анализа устойчивости и бифуркации этих семейств с последующим изучением эволюции начальных возмущений можно, использовать в других областях науки, в которых изучаются нелинейные волновые процессы.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: VII, IX Между-., народная конференция "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", Новосибирск, 2000,2004; Fourth Ihternational Conference on Multiphase Flow, New Orleans, USA, 2001; XXIII Конференция молодых ученых мех.-мат. факультета МГУ, Москва, 2001; VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001; Fifth Workshop on Transport Phenomena in Two-Phase Flow, Pamporovo, Bulgaria, 2000; Fifth World Conf. on Experemental Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics, Thessa-looniki, Greece, 2001; Междунар. конф. "Современ. пробл. приклад, матем. и механ.: теория, эксперимент и практика", Новосибирск, 2001; Transport Phenomena with Moving Boundaries, Berlin, Germany, 2002; VII Всероссийская конф. молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики", Новосибирск, 2002.

Автор представляет к защите следующие результаты:

Расчеты различных семейств периодических стационарно бегущих трехмерных волн, проведенные на основе модельного уравнения Шлэнга-Сивашин-ского. Исследования по устойчивости этих семейств волн относительно бесконечно малых возмущений. Иерархическую картину ветвления стационарно бегущих периодических семейств решений, их взаимные переходы. Результаты исследования солитонных решений. Влияние геометрии течения на волновую картину.

Результаты исследования эволюции различных трехмерных возмущений. Классификацию начальных возмущений, позволяющую для умеренных волновых чисел предсказывать характер их эволюции и выход на больших временах на регулярные волновые режимы - стационарно бегущие или осциллирующие во времени волны.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 10 работах:

1. Цвелодуб О.Ю., Бочаров A.A.,. Стационарно-бегущие волны на поверхности жидкой пленки, стекающей по вертикальному цилиндру // Тез. Докл. VII Международная конференция "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", под ред. проф. В. Я. Рудяка, Новосибирск, 12-14 апреля, 2000 г., Вып. 7.,-С. 95-96.

2. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A., The wave regimes on a liquid film falling down a vertical cylinder // Book of abst.of the 4th Ihternational Conference on Multiphase Flow, New Orleans, Louisiana, USA, May 27 - June 1, 2001, p. 14

3. Бочаров A.A., Цвелодуб О.Ю., Исследование волновых режимов на пленке вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докл., Пермь, 23-29 авг. 2001 г. - Екатеринбург: Изд. ИМСС УрО РАН, 2001. - С. 115.

5. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A. Waves on a thin liquid film falling down over vertical cylinder // 0rpheus'2000, 5th Workshop on Transport Phenomena in Two-Phase Flow, Pamporovo, Bulgaria, 2000. - P. 119-124

6. Tsvelodub O. Yu., Bocharov A. A. The long waves on a liquid film falling over a vertical cylinder // Proc. of the Fifth World Conf. on Experemental Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics, Editors G. P. Celata, P. Di

Marco, A. Goulas, A. Mariani, Thessalooniki, Greece, 24-28 September, 2001. -V. 3; Р. 2013-2018.

8. Tsvelodub O. Yu., Bocharov A. A. The long waves on a liquid film falling over a vertical cylinder //J. Engineering Thermophysics. - 2002. - V. 11, № 3. -P. 217-228.

10. Бочаров А. А., Цвелодуб О. Ю. Исследование эволюции возмущений на поверхности вязкой пленки жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру // Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Тез. докл. IX Международной конференции (26-28 апреля 2004г.), Новосибирск, Изд.НГАСУ., с.35-36. -

Структура диссертации. В первой главе представлена схема вывода основного модельного уравнения (4), описаны некоторые его свойства. Изложены результаты аналитических исследований его решений вблизи нейтраль-,,; ных волновых чисел.

Во второй главе представлены методы численных расчетов и методы теории устойчивости, которые используются для нахождения стационарно бегу- , ших режимов с волновыми числами, находящихся далеко от значений нейтральных волновых чисел. Здесь так же излагаются методы исследования нестационарных задач для уравнения (4).

В третьей главе представлены результаты численных расчетов трехмерных стационарно бегущих волновых режимов. Найденные семейства решений исследованы на устойчивость. Проведены исследования на устойчивость аксиально-симметричных волн относительно трехмерных возмущений. Исследованы солитонные решения.

В четвертой главе представлены результаты исследований нестационарных волн. Показано, что опираясь на данные для стационарно бегущих семейств решений из третьей главы, можно получить информацию об эволюции различных начальных возмущений. Продемонстрирована эволюция волн, происходящая со сменой периода волны.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Результаты исследования на устойчивость семейства 1а к возмущениям с показателем Флоке Q = 1/2 на рис. 3.2.2(6) указывают волновые числа, при которых у решений этого семейства происходит рост периодических возмущений удвоенного периода. Например, для а = 0.9 аксиально-симметричная волна семейства 1а неустойчива как к аксиально-симметричным (п^, = 0), так и к пространственным (п<р = 1) возмущениям. Эволюция амплитуды АН и профиля Я(£, т) этой волны возмущенной малой аксиально-симметричной добавкой показана на рис. 4.2.1(а; б).

1.5

АН

1,4 1,3 1,2 1.1 1,0

0 5 10 15 20 25 30 т 35 б

Рис. 4.1.4: Эволюция амплитуды ДЯ (а) и профиля Я(£,т) (б) аксиально-симметричной волны семейства 1а для а = 0.9, возмущенной малой аксиальной-симметричной добавкой. Профиль волн показан для двух периодов Ао = 2п/а начальной волны. Установившаяся волна отличается от исходной сдвигом по £ на Ао/2.

На этих рисунках показано, как первоначально растущее возмущение приводит к установившейся волне отличающейся от исходной невозмущенной волны сдвигом по координате £ на половину периода волны. Удвоение периода волны отчетливо здесь проявляется только в промежутке, между начальной и конечной стадией эволюции.

Эволюция этой аксиально-симметричной волны возмущенной малой пространственной периодической добавкой с волновыми числами а/2 и nv = 1 продемонстрирована на рис. 4.2.2. На первом этапе г < 10 для амплитуд основных значащих гармоник выполняется соотношение |#2о| ^ \Нц\ (рис. 4.2.2(6)) и начальная волна с периодом Ао остается почти без изменений (рис. 4.2.3(а)). Для времен т ~ 15 амплитуда гармоники Нц становится преобладающей и у волны проявляется существенная зависимость по координате ср с удвоением периода по координате £ (рис. 4.2.3(6", в)). На больших г пространственные гармоники стремятся к нулю и волна вырождается в первоначальное решение (рис. 4.2.3(г)).

В процессе эволюции могут встречаться так же и обратная ситуация к показанному выше случаю, когда волна периода Ао вырождается в волну периода Ао/2. Например начальное возмущение вида

Я = Pcos(aÇ)cos<p при а = 0.4 эволюционирует к аксиально-симметричной волне с удвоенным волновым числом Ы = 0.8. Примеры эволюции амплитуды АН такого начального возмущения для различных /3 оказаны на рис. 4.2.4(а). Эволюция амплитуд основных гармоник Нц, #20 для одного случая показано на рис. 4.2.4(6).

1,6-дн

1.5 1,41,3 1.2 1.1 1.0

0 5 10 15 20 25 30 35 х 40

0.30 0,25 0,20 0,15 0.10 0,05 О

О 5 10 15 20 25 30 35 х 40

Рис. 4.2.2: Эволюция амплитуды волны (а) и модуля основных значащих гармоник (б) для аксиально-симметричной волны семейства 1а, возмущенного малой трехмерной добавкой.

Рис. 4.2.3: а = 0.9 и 5 = 0.4 Профиль нестационарной волны показанный в соответствии с точками на рисунке 4.2.2(а): 1 - Ь = 10 (в), 2 - Ъ = 15 (г), 3 - I = 16.6 (д), 4 - t = 20 (<?). Вдоль координаты £ отложено четыре периода начальной волны Ао = 2т:/а. »

3,0.

АН

2.5 2,0 1.5 1.0 0.5 0

О 5 10 15 20 25 30 х 35

0,35 0,30 0,25 0,20 0.15 о.ю 0,05 О

О 2 4 6 8 10 12 14 х 16

Рис. 4.2.4: Эволюция амплитуды АН для начальных данных вида Я = ¡Зсоз(а£)со8(р с различными (3 (а). Зависимость модуля амплитуд основных гармоник для случая /3 = 0.3 (б). 5 = 0.4, а = 0.4. Решения стремятся при т —► оо к волне семейства 1а с уменьшением периода волны вдвое. б р = 0.3

ИХ-

Ч1Н„1

Заключение

В данной работе исследовалось корректно полученное модельное уравнение, имеющее четкое соответствие с физическим явлением волнового течения цилиндрической пленки вязкой жидкости при умеренных расходах Яе ~ 1 и большом поверхностном натяжении IVе ^>1.

Перечень основных результатов численных и аналитических исследований решений нелинейного эволюционного уравнения (1.1.18):

2. Влияние геометрии основного течения (изменение параметра 5 ) на волновые режимы проявляется, во-первых, увеличением числа пространственных стационарно бегущих семейств решений с увеличением радиуса цилиндра или увеличением числа Рейнольдса (уменьшение параметра 5). Во-вторых, возможно скачкообразное изменение областей существования стационарно бегущих семейств решений. В-третьих, с увеличением радиуса цилиндра трехмерные возмущения на поверхности пленки локализуются в поперечном к потоку направлении.

Найдены различные солитонные пространственные решения уравнения (1.1.18). Найдено солитонное решение, переходящее при 5 0 в подковообразный солитон, полученный: для стекающей пленки вязкой жидкости вдоль вертикальной плоскости. Исследования на устойчивость показали, что все найденные солитонные решения неустойчивы к бесконечно малым возмущениям.

Анализ устойчивости позволил установить связь между аксиально-симметричными и трехмерными волнами. Показано, что с уменьшением радиуса цилиндра область устойчивости аксиально-симметричных волн к трехмерным возмущениям существенно расширяется. Удалось установить нижнюю по длине волны границу области возникновения устойчивых трехмерных волновых режимов. Возникающие при этом устойчивые трехмерные волны принадлежат семейству II' стационарно бегущих решений. Показано, что для аксиально симметричного соли-тона малые аксиально-симметричные возмущения растут в несколько раз быстрее трехмерных возмущений.

В области умеренных волновых чисел а ~ 0.5-т-1 для эволюционного уравнения (1.1.18) удалось провести классификацию начальных данных для задачи Коши, позволяющую предсказывать характер эволюции начальных возмущений, асимптотически притягивающихся к регулярному волновому режиму. Это оказалось возможным из-за наличия симметрий решений, сохраняющихся в процессе эволюции.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Бочаров, Андрей Александрович, Новосибирск

1. Алексеенко C.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. 1979 Волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости.-Новосибирск, 1979.-55 с. -(Препринт/АН СССР. Сиб. Отд-ние Ин-т теплофизики, 36-79)

2. Алексеенко C.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. 1987 Трехмерные стоячие волны на стекающей пленке жидкости // Прикл. Мех. Техн. Физ.-N® 4.-С. 157-164.

3. Бочаров A.A., Цвелодуб О.Ю. 2003 Волновые режимы течения вязкой пленики, стекающей по вертикальному цилиндру // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. -Л* 2.-С. 176-183.

4. Бояджиев X., Бешков В. 1988 Масоперенос в движущихся пленках жидкости. -М.: Мир, 1988. 136 с.

5. Буевич Ю.А., Кудымов C.B. 1983 Слабонелинейные стационарные волны в тонкой жидкой пленке // Инж.-физ журн.-Т. 45.-4.-С. 566-576.

6. Демехин Е.А., Демехин И.А., Шкадов В.Я. 1983 Солитоны в стекающих слоях вязкой жидкостии // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 4.-С. 49-58.

7. Гешев П.И., Ездин Б.С. 1985 Расчет профиля скорости и формы волны на стекающей пленке жидкости // Гидродинамика и тепломассобмен течений жидкости со свободной поверхностью: Сб. науч. трудов.-Новосибирск.-С. 49-58.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. 1984 Функциональный анализ.- 3-е изд., перераб.-М.: Наука, 1984.

9. Капица П.Л. 1948 Волновые течения тонких слоев вязкой жидкости // Журн. Эксперим. Теор. Физ.-Т. 18.-ДО 1.-С. 3-28.

10. Капица П.Д., Капица С.П. 1949 Волновые течения тонких слоев вязкой жидкости 3. Опытное изучение волнового режима // Журн. Эксперим. Теор. Физ.-Т. 19.-ДО 2.-С. 105-120.

11. Крылов B.C., Воротилин В.П., Левич В.Г. 1969 К теории волнового движения тонких пленок жидкости // Теорет. основы хим. технологии .-Т. 3.-№ 4.-С. 656-669. овосибирск.-С. 190-195.

12. Левич В.Ч. 1959 Физико-химическая гидродинамика. -М.:Физматгиз.-699 с.

13. Непомнящий A.A. 1974а Устойчивость волновых режимов в пленке жидкости, относительно трехмерных возмущений // Гидродинамика: Сб. науч. трудов.-Пермь Вып. 5.-С. 94-104.

14. Непомнящий A.A. 1974b Трехмерные пространственно-периодические движения в пленке жидкости, стекающей по вертикальной плоскости // Гидродинамика: Сб. науч. трудов.-Пермь.-Вып. 7.-С. 43-52.

15. Непомнящий A.A. 1974с Устойчивость волновых режимов в пленке, стекающей по наклонной плоскости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-№ З.-С. 28-34.

16. Непомнящий A.A. 1977 Устойчивость волновых движений в слое вязкой жидкости на наклонной плоскост // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах: Сб. науч. трудов.-Новосибирск.-С 190-195.

17. Петвиашвили В.И., Цвелодуб О.Ю. 1978 Подковообразные солитоны на стекающей вязкой пленке жидкости // Докл. АН СССР.-№ 6.-С. 1261-1263.

18. Соколов В.Н., Доманский И.В. 1976 Газожидкостные реакторы. -Л.: Машиностроение, 1976.

19. Тананайко Ю.М., Воронцов Е.Г. 1975 Методы расчета и исследования пленочных процессов. -Киев.; Техника, 1975.-312 с.

20. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю. 1985 Нелинейные волны на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальной стенке // Журн. прикл. механ. и техн. физики.-JVä 5.-С. 15-19.

21. Трифонов Ю.Я., Цвелодуб О.Ю. 1988 О стационарно-бегущих решениях эволюционного уравнения для возмущений в активно-диссипативной среде //Новосибирск.-Ин-т теплофизики СО АН СССР.-Препринт № 188-88.-26 с.

22. Трифонов Ю.Я. 1988 Волновые режимы стекания тонких слоев вязкой жидкости, их устойчивость и бифуркации: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.15.-Новосибирск.

23. Трифонов Ю.Я. 1992 Двухпериодические и квазипериодические волновые режимы в стекающей по наклонной плоскости пленке жидкости, их устойчивость и бифуркация // Изв. РАН Механика жидкости и газа. 4.-С. 98-107.

24. Цвелодуб О.Ю. 1980 Стационарные бегущие волны на пленке, стекающие по наклонной плоскости // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа. 4.-С. 142-146.

25. Цвелодуб О.Ю., Котыченко Л.Н. 1991 Пространственные волновые режимы на повепхности тонкой вязкой пленки жидкости // Новосибирск.- Ин-т теплофизики СО АН СССР.-Препринт № 252-91.-31 с.

26. Цвелодуб О.Ю. 1994 Спиральные волны на поверхности пленки, стекающей по поверхности цилиндра // ПМТФ.-Т. 35.-№ 6.-С. 56-63.

27. Цвелодуб О.Ю. 1995 Пространственные волны на поверхности пленки, стекающей по поверхности вертикального цилиндра // ПМТФ.-Т. 36.-№ 6.-С. 77-84.

28. Шкадов В.Я. 1967 Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа.-№ 1.-С. 43-51.

29. Шкадов В.Я. 1968 К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа.-№ 2.-С. 20-25.

30. Шкадов В.Я. 1973 Некоторые методы и задачигидродинамической устойчивости.-научн. труды 25.: Ин-та механики МГУ, М., 1973.

31. Шкадов В.Я. 1977 Уединенные волны в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа.-№ 1.-С. 63-66.

32. Babchin A.Jl, Frenkel A.L., Levich B.G., Sivashinsky G.I. 1983 Nonlinear saturation of Rayleigh-Taylor instability in thin films // Phys. Fluids.-V. 26.-P. 3159-3161.

33. Benney D.J. 1966 Long waves on liquid films // J. Math. Phys.-V. 45. -P. 150155.

34. Berbente 1968 Ruckenstein E. Hydrodynamics of wave flow // AIChE J.-V. 14.-№ 5.-R 722-782.

35. Brauer H. 1956 Stromung und Warmeubergang bei Riesefilmen // VDI-Forsh.-Bd. 22.-№ 457.-S. 40.

36. Benjamin T. B. 1957 Wave formation in laminar flow down an inclined plane // J. Fluid. Mech.-V 2.-P. 554-574.

37. Chang H.C., Chen L.H. 1986 Nonlinear waves on liquid film surfaces.-I. Flooding in a vertical tube // Chem. Eng. Sci.-V. 41.10. -P. 2463-2476.

38. Chang H.C. 1994 Wave evolution on a falling film // Ann. Rev. Fluid Mech.-V. 26,-P. 103-136.

39. Chang H.C., Demekhin E., Kalaidin E. 1995 Interaction dynamics of solitary waves on a falling film // J. Fluid Mech. -V. 294.-P. 123-154. v

40. Gjevik B. 1970 Occurence of finite-amplitude surface waveson falling liquid films // Phys. Fluids.-V. 13.-P. 1440-1445.

41. Joo S.W., Davis S.H. 1992 Instabilities of three-dimensional viscous falling films // J. Fluid Mech.-V. 242.-P. 529-547

42. Krantz W.B., Goren S.L. 1971 Stability of thin liquid films flowing down a plane // Ind. Eng. Chem. Fundam.-V. 10.-№ l.-P. 91-101.

43. Krishna M.V.G., Lin S.P. 1977 Nonlinear stability of a viscous film with respect to three dimensional side-band disturbances // Phys. Fluids.-V. 20.-P. 1039-1044.

44. Melkonian S., Maslowe S.A. 1990 Analysis of a nonlinear difussive amplitude equation for waves on thin films // Stud. Appl. Maths.-V. 82.-P. 37-48.

45. Michelson D.M. 1986 Steady solutions of the Kuramoto-Sivashinsky equation // Physica D.-V. 19.-P. 89-111.

46. Nicolaenko B., Scheurer B., Temam R. 1986 Some global dynamical properties of the Kuramoto-Sivashinsky equation: nonlinear stability and attractors // Physica D.-V. 16.-P. 155-183.

47. Pierson F.W., Whitaker S. 1977 Some theoretical and experimental observations of the wave structure of falling liquid films // Ind. Eng. Chem. Fundam.-V. 16.-P. 401-408.

48. Roskes G.J. 1970 Three-dimensional long waves on a liquid film // Phys. Fluids.-V 13.-P. 1440-1445.

49. Shlang T., Sivashinsky G.I. 1982 Irregular flow of a liquid film down a vertical column // J. Phys.-V. 43.-J№ 43.-P. 459-466.

50. Sivashinsky G.I. 1977 Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flames. I. Derivation of basic equations // Acta Astron.-V. 4.-P. 1117-1206.

51. Takeshi O. 1999 Surface equation of falling film flows with moderate Reynolds number and large but finite Weber number // Phys. Fluids.-V ll.-P. 3247-3269.

52. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A. 2000 Waves on a thin liquid film falling down over vertical cylinder // 0rpheus'2000, 5th Workshop on Transport Phenomena in Two-Phase Flow, Pamporovo, Bulgaria,- P. 119-124

53. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A. 2002a Structures of solitons on a liquid film falling over a vertical cylinder // Transport Phenomena with Moving Boundaries, Forschr.-Ber. VDI Reihe 3 Nr.738. Dusseldorf: VDI Verlag. P. 178 - 188.

54. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A. 2002b The long waves on a liquid film falling over a vertical cylinder //J. Engineering Thermophysics.- V. 11, № 3. P. 217-228.

55. Tsvelodub O.Yu., Kotychenko L.N. 1993 Spatial wave regimes on a surface of thin viscous liquid film. // Physica D.- V 63.-P. 361-377.

56. Whitaker S. 1964 Effect of surface active agents on the stability of falling liquid films // Ind. Eng. Chem. Fundam.-V. 3.-№ 2.-P. 132-142.

57. Yih C.S. 1963 Stability of liquid flow down an inclined plane // Phys. Fluids.-V. 6.-P. 321-334.