Нелинейные волны в пленках на наклонной поверхности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Тушканов Денис Анатольевич

Нелинейные волны в пленках на наклонной поверхности

Специальность 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006

Диссертация выполнена на кафедре аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 27 октября 2006 г. в 16 ч. 20 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при МГУ им. М.В. Ломоносова но адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан сентября 2006 г.

Ученый секретарь

профессор В.Я. Шкадов

профессор В.Н. Варапаев

доктор технических наук В.В. Беликов

Ведущая организация: Математический институт

им. В.А. Стеклова РАН

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы Актуальность темы

Интенсивное изучение течений тонких слоев вязкой жидкости связано с широким практическим применением пленок жидкости в технике и технологии. Такого рода течения возникают в ряде важных процессов, таких как получение защитных пленок покрытия, пленок оптически активного вещества для кино- и фототехники, выращивание кристаллов. Пленка конденсата присутствует в явлениях, происходящих в машинах и оборудовании, обслуживающих газоконденсатные месторождения, например, в газовых турбодетандерах и сепараторах для отделения газа от конденсата. Пленки являются составной частью теплопередачи в оросительных холодильниках и градирнях, выпарных аппаратах и нефтеперегонных печах. Расплавленный металл может образовать волновую пленку на поверхности тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа.

Основная трудность теоретического исследования пленочных течений заключается в том, что поверхность слоя, как правило, покрыта сложной системой существенно нелинейных волн. Изучение волновых режимов стекающих пленок жидкости имеет, кроме практической ценности, общетеоретический интерес как пример нелинейных волн в среде с диссипацией и подкачкой энергии. Результаты, полученные для тонкого слоя, могут оказаться полезными для понимания развития неустойчивости, рождения и эволюции нелинейных структур в других случаях активных

сред.

Цели работы

• Дать теоретическое истолкование для экспериментов по течениям однослойной пленки вязкой жидкости в случае малых углов наклона подложки.

• Исследовать течение двухслойной пленки и определить условия, при которых возможно волнообразование.

• Применить к исследуемому течению метод сведения полной краевой задачи, включающей уравнения Навье-Стокса и неразрывности и граничные условия, к системе одномерных уравнений для локальных толщин слоев и расходов жидкостей и построить алгоритм, пригодный для проведения быстрых и эффективных расчетов.

• Получить и исследовать возможные модификации уравнений для однослойной и двухслойной пленок и определить границы их полезного применения.

Научная новизна

• Выведена и исследована система уравнений для описания течений двухслойной пленки. Методом установления построены нелинейные периодические волновые режимы.

• Построено длинноволновое слабонелинейное приближение уравнений для двухслойной пленки и проведено сравнение с однослойным случаем.

• Показана эффективность пленочных уравнений для течений тонких слоев жидкости по поверхности с малым углом наклона к горизонту. Построены семейства решений и проведено сравнение с экспериментальными данными.

• Для задачи об однослойной пленке построена система уравнений, эволюционная по пространственной координате.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации могут служить для определения толщин получаемых в приложениях тонких пленок при интенсивных режимах нанесения покрытий, в усложненных ситуациях, таких как почти горизонтальная поверхность подложки, наличие двух слоев несмешивагощихся жидкостей, при определении динамики развития нелинейной волны из малых возмущений стационарного безволнового течения. Длинноволновая модель может быть применена для исследования структуры бифуркаций волновых режимов.

Результаты могут быть применены в технологических приложениях, включающих покрытие твердой основы тонкой пленкой, таких как фармакология, пищевая промышленность, защита от коррозии, производство многослойных композитов и полимерных пленок.

Апробация диссертации

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на конференции «Аэромеханика и газовая динамика в XXI веке» в МГУ им. М.В. Ломоносова (2003 г.), на школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики» под руководством академика Г.Г. Черного (2001, 2002, 2003 гг.), конференциях «Ломоносовские чтения» (2003, 2005, 2006 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. В первой главе рассматриваются задачи, связанные с однослойными пленочными течениями, вторая глава посвящена двухслойным пленкам. Текст работы изложен на 76 страницах и включает 13 иллюстраций и 1 таблицу и список литературы из 50 наименований.

Содержание работы Глава I. Однослойная пленка

В первой главе рассматривается стекание слоя вязкой несжимаемой жидкости под действием силы тяжести. Глава состоит из двух частей. Первая часть посвящена волнам на почти горизонтальной поверхности. В основу теоретического исследования нелинейных воли положена система урав-

нений для локальных значений толщины пленки Н(х, £) и расхода жидкости £(;£,£), отнесенных к толщине и расходу жидкости в невозмущенной пленке /¿о, <7о- Эта система традиционно записывается в виде

ht■\-qж — О,

где использованы обозначения

1 _1 а , 1

¿ = _7 зК0, , = ЕЗ,

7 д = дапв.

Решения системы (1) для нестационарной нелинейной периодической волны разыскивается в виде N

/0М)= X) Л(<)е<к€, /* = /-*, / = (М), Ло = 1, (2)

где £ = а{х~с£) — бегущая координата, а — волновое число, с — фазовая скорость волны.

В начальный момент задается малая амплитуда первой гармоники Динамическая система для возникающая после подстановки (2) в

(1), интегрируется численно при заданных = а/а-о, где с*о — ней-

тральное волновое число, до установления асимптотического предельного решения. Для вычисления нелинейных правых частей уравнений применяется псевдоспектральный метод и процедуры быстрых Фурье-преобразований .

Фиг. 1: Развитие профилей воли, S = 0.266. о — s = 0.617; б— s — 0.3; в — s — 0.15.

На фиг. 1 показаны профили развивающихся нелинейных волн при 5 — 0,266; е = 1,569. Выбранные значения s относятся к зонам бифуркаций первого семейства, промежуточных многогорбых волн и быстрых волн второго семейства.

Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными, полученными Liu J., Gollub J.Р.,показывает применимость системы (1) для анализа течений при углах наклона в ~ 4° — 8°, при условии nj < 1, те* = 7 э Rs>.

Вторая часть посвящена исследованию развития по пространственной координате ¿-периодических волн. Такая ситуация возникает при задании малых пульсаций расхода с начальном сечении с некоторой заданной частотой, поэтому типична при проведении экспериментов. Однако, модельная система (1) является эволюционной по времени, поэтому в рас-

четах удобно рассматривать развитие по времени х-периодических волн.

В работе из системы (1) в предположении о медленном изменении профиля волны (что выполняется при переходе к бегущей координате) выводится система уравнений

5 1

<3Х = - ш-Л2^ - аф + — (д - Л3. (1 + ,

<3>ж = и^ - Ск9£, С} = д2И,

являющаяся эволюционной по х. Показано соответствие развившихся решений полученной системы решениям системы (1). Данная система может быть принята в качестве альтернативы системы (1) в случаях, когда важна информация не только об установившемся течении, но и о поведении волны в процессе развития.

Глава II. Двухслойная пленка

Вторая глава состоит из трех частей. В первой части из полной системы уравнений Навье-Стокса с граничными условиями выводится основная система уравнений, описывающая двухслойное пленочное течение, отличающееся от рассматриваемого в главе I наличием поверхности раздела, ниже и выше которой находятся тонкие слои несмешивающихся жидкостей с различными характеристиками. Кроме того, проводится исследование линейной устойчивости системы. Эта система может быть записана в виде

= ¿ (vht - || - 3pQ - (hг + ph2)x + hi ((cr 4-1)Ы + h2)xxx^j ,

: (3)

= ¿ + 2l,<5 - + + ^(Лх + ,

<7ix + hit = О, + h2t — О,

Здг/г2 - 2q2hx p2 í/2 (Ti £ Re

где Q = , p = —, y = —, ¿i = —, a = — ,5 = ——,

hihi^ihz + SfjLhi) p\ i/i (ii 02 15

a eRe o Re • л 3 3We Q

p = - eos t?, <p = — sinS, £ = ——. Здесь индекс 1 соответствует ОГГ ОгГ Д.С

жидкости, граничащей с плоскостью, индекс 2 — жидкости, имеющей свободную поверхность.

Система (3) имеет стационарное решение

Яш = '-РКг ^01 + ^р/г02^ ,

902 = 02 (^01 + Зр/го]/^ + , (4)

^02 ~ 1 ~ ^01-

Для исследования устойчивости решения (4) проведена линеаризация уравнения (3) в его окрестности. Ищутся периодические по пространству решения линеаризованной системы, которые перемещаются с постоянной фазовой скоростью и амплитуда которых возрастает со временем. Они имеют вид = ^ега{х~с*\ = д}е*а(-х~сГ>, 3 = 1,2, где ск -

волновое число, с = Ст + гг^ — собственное число, ст — фазовая скорость

распространения возмущения, ki — aci — коэффициент усиления амплитуды возмущения. Поиск нетривиальных решений приводит к дисперсионному уравнению, решая которое находим область неустойчивости.

Результат сравнивается с исследованием устойчивости в полной постановке с помощью уравнений Орра-Зоммерфельда. Сравнение показывает близость коэффициентов усиления и нейтральных волновых чисел, что дает основание считать, что система (3) пригодна для исследования задач о волнообразовании в двухслойной пленке. .

Во второй части исследуется развитие нелинейных волн в двухслойной пленке. Решения ищутся в виде разложения в ряд Фурье по бегущей координате

N N

hi = £ hkj(t)eial«, = ]Г qkj(t)eiakS, j = 1,2, (5)

k=-N k=-N

hkj = h*_kj, qkj = qlkjy

где * обозначает комплексное сопряжение. После подстановки (5) в (3) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно hkj(t) и qkj(t), решение которой ищется численно. В качестве начальных условий берутся простые гармоники с достаточно малой амплитудой, являющиеся решениями линеаризованной системы.

На фиг. 2 показано изменение компонентов спектра ((/i*)2) и профиля волны при а — 0.2, 5 = 0.3385, hoi = 0.5, р = 0.88, v — 0.73, а — 0.863, 7 = 1606. Можно проследить возникновение локального максимума компонентов спектра, что соответствует образованию мелкой ря-

Фиг. 2: Эволюция спектра и профиля волны

би на профиле волны. Отчетливо видно, что хотя профили нижней и верхней жидкости в целом близки, большому горбу верхней пленки не находится аналогии в нижней части, то есть происходит сглаживание профиля нижней пленки. Этот эффект проявляется также и при существенной разнице в толщинах пленок и характеристиках жидкостей, что позволяет рассматривать наличие верхнего слоя как стабилизирующий фактор.

В третьей части строятся асимптотические уравнения при а —» 0. Построение такого приближения может быть полезно для исследования решений системы (4), так как при малых а они должны быть достаточно близки.

Вводится растяжение координат и с помощью разложения по малому

параметру получаются уравнения на <р

<ри + {Му\ + Ы<р1ХХХ - Ь<р{х)х = О,

где М, N и Ь — константы, зависящие от параметров задачи. Вектор (р связан с толщинами слоев пленки соотношением Н = Но + Матрица X находится из условия обращения в тождество нулевого приближения при переходе к бегущей координате.

Выводы

Проведены численные исследования решений системы, описывающей пленочные течения жидкости, которые показывают, что эта система позволяет воспроизвести в расчетах основные свойства двумерных нелинейных волн, развивающихся в пленках жидкости на наклонных плоских поверхностях при углах наклона в 90°. Имеется не только качественное, но и количественное соответствие расчетных и экспериментальных данных, которые касаются профилей предельных регулярных волн, саморазвивающихся из малых возмущений заданной частоты, а также фазовых скоростей, изменяющихся вместе с амплитудой волн. Получена и исследована эволюционная система уравнений для развития по времени пространственно-периодических волн.

Выведена система уравнений для течений двухслойной пленки. Проведено исследование устойчивости основного течения. Получены критические значения волнового числа, при которых проявляется неустойчи-

вость и начинается волнообразование. Разработан алгоритм нахождения стационарных периодических решений, по которому выполнена серия расчетов. Обнаружено образование двупериодических волновых режимов, стохастизация фазовой скорости, эффект сглаживания большого горба нижнего слоя. Получено и исследовано асимптотическое слабонелинейное приближение системы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Неустойчивые солито-ны в стекающих пленках вязкой жидкости. Тезисы конференции "Современные проблемы аэрогидродинамики". М: Изд. Моск. ун-та, 2001, с. 55

2. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В. Я. Пространственное развитие неустойчивых возмущений в течениях капиллярных пленок. Тезисы конференции "Современные проблемы аэрогидродинамики". М: Изд. Моск. ун-та, 2002, с. 58

3. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Развитие возмущений в двухслойных пленках. Тезисы конференции "Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке". М: Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 109

4. Тушканов Д.А. Взаимодействие нелинейных волн в двухслойных стекающих пленках. Тезисы конференции "Ломоносовкие чтения". М: Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 124-125

5. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в капиллярных пленках на наклонной поверхности при малых углах наклона. Тезисы конференции "Современные проблемы аэрогидродинамики". М: Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 69

6. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в двухслойных пленках. Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2004, №2, с. 51-57

7. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Волны в стекающей пленке при малом отклонении удерживающей поверхности от горизонта. Тезисы конференции "Ломоносовкие чтения". М: Изд. Моск. ун-та, 2005, с. 176-177

8. Тушканов Д. А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в пленке жидкости на почти горизонтальной поверхности. Изв. РАН, МЖГ, 2006, №3, с. 11-24

Отпечатано в копицентре «СТ ПРИНТ» Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprint.ru e-mail: zakaz@stprint.ru тел.: 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 22.09.2006 г.

1 Однослойная пленка

1.1 Волны на почти горизонтальной', поверхности

1.2 Модель пространственного развития нелинейных волн.

2 Двухслойная пленка

2.1 Исследование устойчивости.

2.2 Развитие нелинейных волн

2.3 Слабонелинейное приближение.

Работа посвящена изучению неустойчивости и формирования нелинейных волн в капиллярных пленках жидкости. В последнее время этой тематике посвящается множество трудов (см., например [1-5]). В первой главе изучаются некоторые актуальные вопросы теории однослойных пленок, а во второй главе рассматривается обобщение модели для пленочных течений на случай двухслойной пленки. I

Интенсивное изучение течений тонких слоев вязкой жидкости связано с широким практическим применением пленок жидкости в технике и технологии. Такого рода течения возникают в ряде важных процессов, таких как получение защитных пленок покрытия, пленок оптически активного вещества для кино- и фототехники, выращивание кристаллов. Пленка конденсата присутствует в явлениях, происходящих в машинах и: оборудованииj > обслуживающих газоконденсат-ные месторождения, например, в газовых турбодетандерах и сепараторах для отделения газа от конденсата. Пленки являются составной частью теплопередачи в оросительных холодильниках.,и градирнях, выпарных аппаратах и. нефтеперегонных печах. Расплавленный металл может образовать волновую пленку на поверхности тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа.

Основная трудность теоретического исследования пленочных течений заключается в том, что поверхность слоя, как правило, покрыта сложной системой существенно нелинейных волн. Изучение волновых режимов стекающих пленок жидкости имеет кроме практической ценности общетеоретический интерес как пример нелинейных'волн в среде с диссипацией и подкачкой энергии. Результаты, полученные для тонкого слоя, могут оказаться полезными для понимания развития неустойчивости, рождения и эволюции нелинейных структур в других случаях активных сред.

В первой части главы 1 проведены теоретические исследования нелинейных волн в пленках жидкости на твердой плоской стенке при ее малом отклонении от горизонта. Математическая модель сведена к системе двух уравнений эволюционного типа для толщины слоя и локального расхода жидкости. Наряду с силами вязкости, тяжести, поверхностного натяжения учитывается также перепад давления на толщине пленки, вызываемый проекцией силы тяжести на нормаль к удерживающей поверхности. Рассматриваются пространственно-периодические решения, развивающиеся во времени от маль!х начальных возмущений до регулярных нелинейных волн. Применяется спектральное представление решения и метод Галеркина по однородной координате с последующим численным интегрированием уравнений соответствующей динами

I ' ческой системы на болыийх интервалах времени. Выполнены расчеты вариантов в пространстве трех свободных управляющих параметров задачи и выведены некоторые основные закономерности нелинейной динамики двумерных волн. Результаты расчетов использованы для сопоставления с имеющимися экспериментальными данными. Показано, что выводы теории пригодны для истолкования и прогнозирования экспериментов.

I '

В. работах.[6-8] .выполнены обширные измерения нелинейных волн в стекающих пленках на наклонной поверхности при малых отклонениях ее от горизонта (углы наклона в = 4°—10°). Серия измерений проведена как развитие и расширение пионерской работы [10], в которой впервые исследованы экспериментально волны на вертикальной твердой поверхности. Ставилась цель более углубленного изучения процессов развития и взаимодействий нелинейных волн, возникающих

I ' из малых начальных возмущений с использованием современных методов эксперимента, включая технику лазерного зондирования и флюоресцентного изображения волн. Авторы работ [6-8] отмечают, что они не располагали подходящей I теорией волновых движений для компактного и упорядоченного представления результатов экспериментов и ограничиваются тем, что отмечают лишь некоторые аналогии со случаем волн на вертикальной пленке, для. которого такая теория существует. Результаты измерений представлены в виде наборов отдельных частных вариантов, сопровождаемых пояснениями и рассуждениями о возможных закономерностях в наблюдаемых сценариях развития волн. I

В настоящей работе проведено систематическое исследование сценариев развития нелинейных волн в пленке путем численного решения уравнений математической модели. В расчетах моделируются условия, при которых проводились эксперименты [6-8], и проводится сопоставление расчетных и экспериментальных данных.

Во второй части главы 1 получена модель для исследования пространственного развития периодических по времени I волн в однослойной пленке. Такой подход наиболее близок К;подходу,.используемому .в экспериментах. К сожалению, полученная модель оказывается жесткой, что значительно осложняет ее применение. Однако, расчеты показывают допустимость сделанных приближений.

В главе 2 рассматривается двухслойное течение вязких несжимаемых жидкостей по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Впервые вопрос о течении тонких слоев вязких жидкостей был поставлен П.Л.Капицей и С.П.Капицей [9,10]. Подробное исследование однослойного случая было проведено В.Я.Шкадовым [11,12]. Впоследствии вопросу о течении слоистой жидкости было посвящено множество работ

I ' например, [13-15,24]).

Основным результатом первой части является линеаризация приближенных уравнений Навье-Стокса и неразрывности для локальных значений толщин слоев и локальных расходов жидкостей h\(x, t), ^(я, t), qi(x, t), q2{x) t), и численное решение получающегося из них дисперсионного соотношения на собственные значения.

Во второй части главы 2 численно строятся нелинейные

I ' периодические волны, получающиеся в результате развития неустойчивых возмущений в двухслойной пленке. Полученные волновые профили сравниваются с экспериментальными данными и с результатами для однослойной пленки. Обнаружены такие эффекты как сглаживание большого горба на| границе раздела, образование двупериодических волновых режимов и режимов с малыми хаотическими изменениями параметров течения.

В последней части изучается длинноволновое приближение полученных уравнений. Показано, что предположение о малости волнового числа приводит в первом приближении к возникновению слабонелинейных уравнений, Изучаются свойства этих уравнений и строятся периодические решения, которые затем сравниваются с экспериментальными и расчетными, данными. . , .

Результаты диссертации могут быть применены в разнообразных технологических приложениях, в которых используются тонкие пленки — фармакология, пищевая промышленность,; защита от коррозии, производство полимеров и многослойных композитов, а также при изучении течений селевых потоков и цунами. I I

1 Однослойная пленка

Заключение

Проведены численные исследования решений системы, описывающей пленочные течения жидкости, которые показывают, что эта система позволяет воспроизвести в расчетах основные свойства двумерных нелинейных волн, развивающихся в пленках жидкости на наклонных плоских поверхностях при углах наклона в <С 90°. Имеется не только качественное, но и количественное соответствие расчетных и экспериментальных данных, которые касаются',профилей предельных регулярных волн, саморазвивающихся из малых возмущений заданной частоты, а также фазовых скоростей, изменяющихся вместе с амплитудой волн. Получена и исследована эволюционная система уравнений для развития по времени пространственно-периодических волн.

В расчетах отчетливо воспроизводятся эволюции профилей регулярных волн от одногорбых почти гармонических к уединенным волнам при уменьшении частоты возбуждения от, критического значения на нейтральной кривой в области линейной неустойчивости. При естественном развитии волн под воздействием белого шума преимущество в развитии имеют многогорбые длинные волны,.так как максимум коэффициента усиления сдвинут в сторону малых волновых чисел.

Для двухслойной пленки проведенная работа показывает наличие двух мод неустойчивости, одна из которых существенно превосходит другую по скорости и коэффициенту усиления. Сравнение результатов с более полной постановкой задачи [24] показывает достаточную близость решений. Это позволяет утверждать, что данный метод применим для исследования подобного рода задач.

Выведена система уравнений для течений двухслойной пленки. Проведено исследование устойчивости основного течения. Получены критические значения волнового числа, при которых проявляется неустойчивость и начинается волнообразование. Разработан алгоритм нахождения стационарных периодических решений, по которому выполнена серия расчетов. Обнаружено образование двупериодических волновых режимов, стохастизация фазовой скорости, эффект сглаживания большого горба нижнего слоя. Получено и исследовано асимптотическое слабонелинейное приближение системы. )Н % ! 1 j in •> .; :

1. Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Инерциальные режимы течения капиллярных пленок. Вестник Моск. Ун-та, сер. 1, Матем. Механика, 2: 47-50, 1997

2. Шкадова В.П., Кулаго А.Е., Шкадов В.Я. К задаче вытеснения вязкой жидкости из капилляра. Вестник Моск. Ун-та, сер. 1, Матем. Механика, 4: 42-46, 1997

3. Зейтунян Р.Х. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони. Успехи физ. наук., 168(3): 259286, 1998

4. Веларде М.Г., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Влияние . поверхностно-активных веществ на неустойчивость стекающей жидкой пленки. Изв. РАН, МЖГ, 4: 56-67, 2000

5. Shkadov V.Ya., Sisoev G.M. Influence of electric field to nonlinear waves on downflowing liquid films. P. Atten, A. Denaut (eds). 2nd Intern. Workshop Electrical Conduction, Convection and Breakdown in Fluids, 2000, Genoble, France, pp. 146-149

6. Liu J., Paul J.D., Gollub J.P. Measurements of the primary instabilities of film flow 11 J. Fluid Mech. 1993. V. 250. P. 69-101.

7. Liu J., Gollub J.P. Solitary wave dynamics of film flows // Phys. Fluids. 1994. V. 6. P. 1702-1712.

8. Liu J., Schneider J.B., Gollub J.P. Three-dimensional instabilities of film flows // Phys. Fluids. 1995. V. 7. P. 55.67. :

9. Капица П.Jl. Волновое течение тонких слоёв вязкой жидкости // ЖЭТФ, 18(1): 3-28, 1948 ' '

10. Капица П.Л., Капица С.П. Волновые течения тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. №2. С. 105120.

11. И. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №1. С. 43-51.

12. Шкадов В.Я. Уединенные волны в слое вязкой жидкости , // Изв. АН СССР, МЖГ, 1: 63-66, 1977

13. Бунов А.В., Демёхин Е.А., Шкадов В.Я. Бифуркации уединённых волн в стекающем слое жидкости // Вест: ник Моск. Ун-та, сер. 1, Матем. Механика, 2: 73-78, 1986

14. Семёнова И.П., Якубенко А.Е. Стационарные волновые режимы в стекающей плёнке вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ, 3: 16-27, 1983

15. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. О двупараметрическом много'образии волновых решений уравнения стекающей пленки вязкой жидкости // ДАН. 1999. Т. 367. М. С. 56-61.

16. Chang „Н.-С., .Cheng М., Demekhin Е.А., Kopelevich D.I. Secondary abd tertiary exitation of three-dimensional patterns on a falling film // J. Fluid Mech. 270: 251-275,1994

17. Chang H.-C., Demekhin E.A. Solitary wave formation and dynamics on a falling film // Adv. in Appl. Mech., 32: 1-58,1995

18. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Interaction dynamics of solitary waves on a falling film //J. Fluid Mech. 294: 123-154, 1995

19. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kopelevich D.I. Stability of a solitary pulse against wave packet disturbance in an active medium // Phys. Rev. Let. 75: 1747-1750, 1995

20. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. A simulation of noise-driven wave dynamics on a falling film // AIChE J., 42(6): 1553-1568, 1996a

21. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. and Y.Ye. Coarsening dynamics of falling-film solitary waves // Phys. Rev. E., 54: 2467-1471, 1996b

22. Chang H.-C., Demekhin E.A. Complex wave Dynamics on thin Films//Elsevier, 2002, 402 pp.

23. Калайдин E.H., Власкин С.Ю., Демехин E.A., Кал1.'лиадасис С. Об устойчивости двумерных солитонов и двумерно-трехмерном переходе в стекающем вязком слое // Доклады РАН, 5: 21-27, 2005

24. Сисоев Г;М., Шкадов В.Я. О неустойчивости двухслойного плёночного течения по наклонной поверхности. Изв. РАН, МЖГ, 1992, №22^. Шкадов В.Я. Уединенные волны в слое вязкой жидкости ' // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. №1. С'. 63-66.

25. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Неустойчивость и когерентность нестационарных уединенных волн в жидких пленках. Доклады РАН, 363(4): 489-493, 1998I

26. Демехин Е.А., Каплан М.А., Шкадов В.Я. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 6: 73-81, 1987 '

27. Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №2. С. 20-25.

28. М. Набиль Есмаиль, Шкадов В.Я. К нелинейной теории волн в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. т. С. 54-59.

29. Ruyer-Quil С., Manneville P. Modeling flows down inclined : planes // Eur. Phys. J. 1998. В 6. P. 277-292.

30. Cheng M., Chang H.-C. Competition between subharmonic i and sideband secondary instabilities on a falling film // Phys.

31. Fluids. 1995. 7(1). P. 34-54.

32. Shkadov V.Ya. Hydrodynamics of slopped falling films // Interfacial phenomena and the Marangoni effect, eds. M. Velarde, R.K. Zeytounian. Springer-Verlag. 2000. P. 191224.

33. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Развитие доминирующих волн из малых возмущений в стекающих пленках вязкой жидкости // МЖГ. 1997. №7. С. 30-41. '

34. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О неединственности нелинейных волновых решений в вязком слое // ПММ. 1984. Т. 48. №4. С. 691-696.

35. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое вязкой жидкости // Вестник Моск. Ун-та. Матем. механика. 1986. №2. С. 7378.

36. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. МГУ, 1984I

37. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидро. динамической устойчивости. М.: Изд. МГУ, 1973.

38. Orszag S.A. Numerical simulation, of incompressible flows within simple boundaries. I. Galerkin (spectral) representations // Studies in App. Math. 1971. L, №4. 293. 327.

39. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Неустойчивости и переформирования регулярных в стекающих пленках вязкой жидкости /J Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. №4. 44-48.

40. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Неустойчивые солитоны в стекающих пленках вязкой жидкости. Тезисы конференции "Современные проблемы аэрогидродинамики". М: Изд. Моск. ун-та, 2001, с. 55

41. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Пространственное развитие неустойчивых возмущений в течениях капиллярных пленок. Тезисы конференции "Современные проблемы аэрогидродинамики". М: Изд. Моск. ун-та,2002, с. 58

42. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Развитие возмущений в двухслойных пленках. Тезисы конференции "Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке". М: Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 109

43. Тушканов Д.А. Взаимодействие нелинейных волн в двухслойных стекающих пленках. Тезисы конференции "JIo1.'моносовкие чтения". М: Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 124-125

44. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в капиллярных пленках на наклонной поверхности при малых углах наклона. Тезисы конференции "Современные проблемы аэрогидродинамики". М: Изд. Моск. ун-та,2003, с. 69

45. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в двухслойных пленках. Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2004, №2, с. 51-57 '

46. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Волны в стекающей пленке при малом отклонении удерживающей поверхности от горизонта. Тезисы конференции "Ломоносовкие чтения". М: Изд. Моск. ун-та, 2005, с. 176-177

47. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в пленке жидкости на почти горизонтальной поверхности. Изв. РАН, МЖГ, 2006, №3, с. 11-24. . .