Математическое моделирование развития неустойчивости в вертикальной жидкой пленке при обдуве ее свободной поверхности газовым потоком

Саламатов, Евгений Александрович

Математическое моделирование развития неустойчивости в вертикальной жидкой пленке при обдуве ее свободной поверхности газовым потоком тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Саламатов, Евгений Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Математическое моделирование развития неустойчивости в вертикальной жидкой пленке при обдуве ее свободной поверхности газовым потоком»

Автореферат диссертации на тему "Математическое моделирование развития неустойчивости в вертикальной жидкой пленке при обдуве ее свободной поверхности газовым потоком"

005539474

На правах рукописи

Саламатов Евгений Александрович

Математическое моделирование развития неустойчивости в вертикальной жидкой пленке при обдуве ее свободной поверхности газовым

потоком

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 НОЯ 2013

Челябинск - 2013

005539474

Работа выполнена на кафедре прикладной математики ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (национальный исследовательский университет).

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Прокудина Людмила Александровна, доктор физико-математических наук, доцент

Волков Николай Борисович,

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник,

ФГБУН Институт электрофизики УрО РАН,

заведующий лабораторией

Суров Виктор Сергеевич,

доктор физико-математических наук,

профессор,

ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (НИУ), профессор

ФГБУН Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН

Защита состоится 12 декабря 2013 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при ФБГОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу 454001, г. Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Автореферат разослан

9 »

. 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор Федоров В. Е.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Течения тонких слоев вязких жидкостей (жидких пленок) реализуются в технологических процессах в различных отраслях промышленности: химической, нефтяной, нефтеперерабатывающей, металлургической, энергетической, пищевой. Пленочные течения имеют ряд преимуществ по сравнению с другими способами организации движения взаимодействующих потоков: большая энергоэффективность, высокие экологические характеристики, лучшее качество получаемого продукта. Пленочные течения характеризуются чрезвычайно развитой поверхностью контакта между взаимодействующими потоками. Развитая поверхность контакта образуется благодаря волнам на свободной поверхности жидкой пленки. Поэтому исследование пленочных течений, расчет волновых характеристик является актуальной задачей.

Степень разработанности темы. Впервые волновые режимы течения жидких пленок и их характеристики изучались Капицей П.Л. и Капицей С. П. Теоретическим и экспериментальным исследованиям волновых режимов течения жидких пленок посвящены работы Левича В. Г., Крылова B.C., Семенова П. А., Холпанова Л.П., Шкадова В. Я., Маурина Л.Н., Ганчева Б. Г., Демехина Е.А., Накорякова В. Е., Кутателадзе С. С., Алексе-енко C.B., Покусаева Б.Г., Непомнящего A.A., Цвелодуба О.Ю., Прокуди-ной Л. А. Течения жидких пленок широко изучались зарубежными учеными из США, Японии, Великобритании, Германии и других стран: Benjamin Т. В., Benney В. J., Binnie A.M., Brauer H., Whitaker S., Jones L.О., Pierson F.W., Lin S. P., Yih C.-S., Gjevik В., Boyadjiev Ch., Portalski S., Nosoko T., Ruyer-Quil C., Chang H.-C., Lei V. V.

В работах Капицы П. Л. показано, что волновые течения жидких пленок являются неустойчивыми. В результате на свободной поверхности жидкой пленки формируются и развиваются волны.

Значительный практический интерес представляют совместные течения жидкой пленки и газового потока, которые реализуются в пленочных аппаратах (пленочные испарители, теплообменники, абсорберы). При обдуве жидкой пленки газовым потоком меняются ее волновые характеристики. Поэтому актуальна разработка нелинейных математических моделей, позволяющих исследовать развитие неустойчивости, рассчитать амплитуды, другие волновые характеристики в условиях совместного течения жидкой пленки и газового потока.

Большинство теоретических и экспериментальных исследований (Шка-дов В.Я., Алексеенко C.B., Ганчев Б.Г.) рассматривают влияние турбулентного газового потока на волновое течение жидкой пленки. Вопросы нелинейного волнооборазования в жидкой пленке при обдуве ее свободной по-

верхности ламинарным газовым потоком при умеренных числах Рейнольдса [Ке ^ 10) изучены недостаточно. В работах Прокудиной Л. А. для умеренных числе Рейнольдса Яе представлено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее состояние свободной поверхности жидкой пленки с учетом постоянного касательного напряжения.Дифференциальное уравнение свободной поверхности жидкой пленки содержит производные по пространственной переменной и по времени как в линейной, так и в нелинейной частях, и является модельным для нестационарных нелинейных волн.

Цель диссертационной работы. Изучить влияние газового потока, создающего на свободной поверхности вертикальной жидкой пленки постоянное касательное напряжение, на волновые характеристики жидкой пленки и нелинейное развитие возмущений при умеренных числах Рейнольдса (Де ^ 10).

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- разработаны методики, реализованы алгоритмы расчета волновых характеристик течения вертикальной жидкой пленки для режимов противотока и прямотока;

- выявлены оптимальные режимы волнового течения вертикальной жидкой пленки, обдуваемой газовым потоком;

- исследовано нелинейное развитие и взаимодействие возмущений на свободной поверхности вертикальной жидкой пленки в условиях противотока и прямотока;

- изучено развитие свободной поверхности вертикальной жидкой пленки, контактирующей с газовым потоком.

Научная новизна.

1. Изучены оптимальные режимы волнового течения вертикальной пленки воды при влиянии постоянного касательного напряжения.

2. В нелинейном приближении рассчитаны инкременты вертикальной пленки воды, контактирующей с газовым потоком.

3. Рассчитаны амплитуды волн с учетом постоянного касательного напряжения на свободной поверхности вертикальной пленки воды.

4. Исследовано нелинейное взаимодействие возмущений в вертикальной пленке воды в условиях противотока и прямотока при формировании регулярного волнового режима.

Теоретическая значимость. Проанализировано влияние постоянного касательного напряжения на развитие нелинейной неустойчивости вертикальной жидкой пленки и на параметры развитого волнового течения в диапазоне чисел Рейнольдса Яе < 10.

Практическая значимость.

1. Для вертикальной жидкой пленки разработаны методики расчета волновых характеристик, областей неустойчивости с учетом постоянного

касательного напряжения на поверхности раздела газ-жидкость.

2. На основе предложенных методик реализованы алгоритмы расчета волновых характеристик, областей неустойчивости вертикальной жидкой пленки как для режима свободного стекания, так и для режимов противотока и прямотока.

3. Зарегистрировано 4 программы для ЭВМ.

Методы исследований. Задачи, поставленные в диссертационной работе, решались с помощью ЭВМ численно с использованием метода конечных разностей, методов Рунге-Кутты, Розенброка.

На защиту выносятся:

— комплекс программ, разработанных на основе нелинейной модели, для расчета характеристик волнового течения вертикальной жидкой пленки в диапазоне чисел Рейнольдса Яе ^ 10 в условиях свободного стекания, противотока и прямотока;

— результаты исследования волновых характеристик и областей неустойчивости вертикальной пленки воды при обдуве ее свободной поверхности газовым потоком:

— рассчитаны оптимальные режимы течения;

— рассчитан инкремент вертикальной пленки воды в нелинейном приближении;

— результаты по изучению развития свободной поверхности вертикальной пленки воды, обдуваемой газовым потоком;

— результаты исследования нелинейного взаимодействия возмущений на свободной поверхности пленки воды в условиях свободного стекания, прямотока и противотока.

Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задачи, использованием известных численных методов. Полученные результаты согласуются с экспериментальными и теоретическими результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на российских и международных конференциях (Москва, Самара, Миасс, Пенза, Тамбов, Челябинск), семинарах (Миасс, Екатеринбург) [5-25].

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК [1-4], 21 статья в сборниках трудов конференций, получено 4 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ [26-29].

Личный вклад автора. Результаты диссертационного исследования получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-

ния, 4 глав, заключения, библиографии (166 наименований), приложений (18 страниц). Общий объем диссертации 145 страниц.

Содержание работы

Во Введении показана актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, представлены выносимые на защиту положения.

В первой главе приведен обзор исследований по изучению пленочных течений, обоснована актуальность работы, осуществлена постановка задачи.

Рассматривается волновое течение тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости, стекающей под действием силы тяжести по вертикальной плоской поверхности (рис. 1). Жидкая пленка толщиной 6(хЛ) контактирует с газовым потоком, который движется параллельно поверхности стекания и создает на свободной поверхности жидкого слоя постоянное касательное напряжение т.

Рис. 1. Схема течения вертикальной жидкой пленки

Течение жидкой пленки, контактирующей с газовым потоком, описывается системой уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности:

ди _ди _ ди _ ЭР р _ , - + 31 дх ду дх Не \дх2 ду2

1 (дЧ дЧ ---(--1--

ду _ ду ^_ду дI дх ду дй ду дх ду

дР_ 1_ ду Не

д2у д2у дх2 ду2

граничные условия у = 0:

й = 0, v = 0; (2)

y = S(x,t):

1 Л>— — ^ ^ ~ — 0

Re \ дх дх ду дх дх ду ) '

~ Re \ду дх ' \ду + дх J ) + ° ' дё ' кинематическое граничное условие:

д5 __ _dô

С- - X _ у _ U _ V - tuo

где безразмерные переменные х = —, у = —, и = —, v = —, t = —,

д0 ô0 u0 ко ¿о d(x,t) uqSqo _

o[x,t) = —---толщина жидкои пленки, Не =--число Рейнольдса,

à О Ц

QÔ О"

Re ^ 10, F = -s- - число Фруда, д = —- параметр поверхностного натя-«о РЩб0

т Р

жения, т = —J ~ параметр касательного напряжения, Р = —к - давление; 6п

ри0 ри$

- толщина жидкой пленки в невозмущенном состоянии, щ - средняя скорость течения жидкости в невозмущенном состоянии, р - плотность жидкости, р -динамическая вязкость жидкости, g - ускорение силы тяжести.

- _ 5{х t) 1 Величина ô(x,t) = ' = — (<50 + ф(х, t)) = 1 + ф(х, t), где ф(х,ï) -оо оо

безразмерное отклонение свободной поверхности пленки от невозмущенного состояния. Черта над безразмерными переменными в дальнейшем опускается.

Система уравнений (1) с граничными условиями (2) - (5) решена с помощью методов узких полос и возмущений1, получено уравнение свободной поверхности вертикальной жидкой пленки, контактирующей с газовым потоком:

дф , д4ф , д2ф , дф В2ф , , дф д2ф

+ b2w + ЬзЖ + bidïdt + b+ Ьбфдё+ . ,д4ф д2ф . дфдф , (дф\2 t дфд3ф (6)

1Прокудина Л. А., Вяткин Г. П. Волновое течение неизотермической жидкой пленки. Челябинск,

1998. 42 с.

где h = b2 = ^Re3F(F - г), Ь3 = -Re{F - т), b4 =

h = -2ReF + Rer, b6 = —R^Ft + ¿-Re3F2, b7 = 3bx, b& = Ab4, b9 = bs,

о zu

¿>10 = 3&j.

В режиме противотока т > 0, в режиме прямотока т < 0. В диссертации в рамках уравнения (6) ставится задача изучить влияние газового потока, создающего на свободной поверхности вертикальной жидкой пленки постоянное касательное напряжение т, на волновые характеристики и нелинейное взаимодействие возмущений при числах Рейнольдса Re ^ 10.

Во второй главе исследовались волновые характеристики и неустойчивость вертикальной жидкой пленки, обдуваемой газовым потоком. Из уравнения (6) получено дисперсионное уравнение

(шг + iwi)(bAk + i) + bifc4 - Ь2к2 4- Ь3кг = 0, (7)

(-hk* + Ь2к2) • Ь4к - Ъ3к bifc4 - (Ь2 + hb3)k2

где =-[¡да--частота'= —ЩП--ин"

кремент, к - волновое число.

Дисперсионное уравнение (7) связывает частоту шт, инкремент u>i жидкой пленки с параметрами, задающими режим течения (Re, т, а, F), позво-

шг dojr

—, групповую 1/Гр = —

Возмущения, для которых uii > 0, называются неустойчивыми. На рисунке 2 показаны области неустойчивости пленки воды в условиях свободного стекания, противотока и прямотока; результаты расчетов согласуются с экспериментальными данными других авторов.

В условиях противотока газ оказывает дестабилизирующее влияние на пленку: по сравнению с режимом свободного стекания (рис. 2, а) зона неустойчивости в условиях противотока расширяется по диапазону волновых чисел к (рис. 2, б). В условиях прямотока газ оказывает стабилизирующее влияние на течение жидкой пленки: по сравнению с режимом свободного стекания (рис. 2, в) зона неустойчивости сокращается по диапазону волновых чисел (рис. 2, г). Расчеты показали, что течение вертикальной пленки воды при

I I 2

прямотоке становится устойчивым, если ]т| > —.

Максимальные значения инкремента сй{ соответствуют оптимальным режимам течения вертикальной жидкой пленки1. Волновые числа, рассчитанные для оптимальных режимов течения вертикальной пленки воды, представлены на рисунке 2 (пунктирные линии).

ляет рассчитать фазовую С = групповую Vrv = скорости.

1 Холпапов Л. П., Шкадов В. Я. Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела. М., 1990. 271 с.

Алексеенко С. В., Накоряков В. Е., Покусаев В. Г. Волновое течение пленок жидкости. М., 1992. 256 с.

(а) г = 0

Uli <0

}

! wt > 0 -1-.

1 4 7 Re

(б) противоток, т = 0,1

(е) т = 0

(г) прямоток, т = —0,1

Рис. 2. Области неустойчивости вертикальной жидкой пленки (вода): экспериментальные данные: 1 - Jones; 2 - Капица; 3 - Stainhorp; 4 - Олевский; пунктиром показан оптимальный режим

На рисунке 3 показаны инкремент иг и фазовая скорость С вертикальной пленки воды. Увеличение постоянного касательного напряжения т в условиях противотока приводит к увеличению инкремента ш,-, в условиях прямотока увеличение постоянного касательного напряжения т вызывает уменьшение инкрементов Ыг (рис. 3, а).

В оптимальных режимах фазовая скорость вертикальной жидкой пленки, обдуваемой газовым потоком, минимальна (например, рис. 3, б).

0,09 0,03 -0,03 -0,09 -0,15

/ £ \

/У s \ \

\ \ 3

О 0,06 0,12 0,18 0,24 к

(а) инкремент

с 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0

0 0,04 0,08 0,12 0,16 к

(б) фазовые скорости

Рис. 3. Волновые характеристики вертикальной пленки воды (Де = 10): 1 - г = -0,15; 2~т = 0; 3-7" = 0,15; о - оптимальный режим; • - = 0

Для фазовой скорости можно записать,

Поскольку в оптимальном режиме фазовая скорость минимальна, получим,

Шг(ксфг) _ (<МЛ к^ ~\<1 к)кор1'

С(корг) = Утр(к^). (8)

Таким образом, в оптимальном режиме фазовая С и групповая Утр скорости вертикальной жидкой пленки, контактирующей с газовым потоком, совпадают.

Для оптимальных режимов течения на рисунках 4, 5 представлены частота шг, инкремент фазовые С и групповые Угр скорости вертикальной пленки воды при обдуве газовым потоком. В условиях прямотока увеличение касательного напряжения т приводит к уменьшению фазовых и групповых скоростей (рис. 5, а). В условиях противотока при увеличении касательного напряжения т фазовые и групповые скорости увеличиваются, если Яе ^ 8 (рис. 5, б).

Воздействие постоянного касательного напряжения т в условиях противотока может приводить к уменьшению фазовых и групповых скоростей по сравнению со свободным стеканием. Для вертикальной пленки воды в оптимальных режимах указанный эффект наблюдается при т = 0,05 для Яе > 9,4, при г = 0,1 для Яе > 8,9, при т = 0,15 для Яе > 8,7 (рис. 5, б).

С учетом полученных результатов в условиях противотока для волнового

(а) частота (б) инкремент

Рис. 4. Частота и инкремент вертикальной пленки воды (оптимальные режимы): 1 - г = -0,15; 2 - т = -0,1; 3 - г = -0,05; 4-т = 0;5-т = 0,05; 6 - т = 0,1; 7 - г = 0,15

(а) условия прямотока (б) условия противотока

Рис. 5. Фазовые и групповые скорости вертикальной пленки воды (оптимальные режимы): 1 - т = —0,15; 2 - т = —0,1; 3 - г = —0,05; 4 - т = 0; 5 - т = 0,05; 6 - т = ОД; 7 - т = 0,15; экспериментальные данные: 8 - 81аш1югр; 9 - Репеу

стенания вертикальной жидкой пленки при 7?е ^ 10 принято ограничение г ^ 0,15.

В третьей главе изучалось развитие свободной поверхности вертикальной жидкой пленки, контактирующей с газовым потоком.

Нелинейное уравнение (6) решалось методом конечных разностей на равномерной прямоугольной сетке с шагом Ах вдоль переменной х и шагом АЬ по времени:

д*ф 3 .4+ 2-4^+1+6^ - 4+ (¿4

дх± г Ах4 Дх4'

д3ф 3 , 4+2 - $4+1 + 34- 1 - ¿3

дхъ г 2Дх3 Дх3'

д2ф 3 , 4+х - 24 + 4-1 й2

дх2 г Ах2 Ах2'

дф дх 3 г , 4+1 - 4-1 _ 2Дх Ах'

дф 3 ,4+1-4

т г м '

д2Ф дхдЬ 3 г . 1 "ДМ Ах 4+1-4) Ах ) '

где г, ^ -индексы узлов расчетной сетки но х и по времени Ь соответственно. В результате решение уравнения (6) сведено к решению системы линейных

алгебраических уравнений

(А - В*)4+1 + В.У&1 = чЪ. + (А - В.)г/4 + (Ю)

где А, = Аж - Мь В» = -Ь4 - Ъ7ф1, П, = Ьг<14 + Ъ2(12Ах2 + Ь^Ах* + Ь5гр{(1 1Ах3 + Ь^йъАх1 + Ьтф{й4 + ЬтАх2(% + ЬцсМз,77 = ДгДх-3. Состояние свободной поверхности при t = 0 принималось в виде ф(х,0) = 0,0001 сое(ктх), кт - волновое число в оптимальном режиме течения (рис. 2).

На рисунке б представлена свободная поверхность вертикальной пленки воды в условиях свободного стенания и при обдуве газовым потоком. В условиях прямотока (рис. б, кривая 1) амплитуды меньше, чем в условиях свободного стекания (рис. 6, кривая 2). В условиях противотока (рис. 6, кривая 3) амплитуды больше по сравнению с режимом свободного стекания (рис. 6, кривая 2).

1 - т = -0,1; 2-т = 0;3-т = 0,1; пунктиром показано начальное состояние

На рисунках 7, 8 показано, как изменяются с течением времени максимальное значение фтах и модуль минимального значения \фтт\ функции ф.

(а) (б)

Рис. 7. Характер изменения величин фтах и \фтг„\ с течением времени (Re = 7, вода, прямоток): 1 - т = 0; 2 - |т| = 0,05; 3 - |т| = 0,15

Рис. 8. Характер изменения величин фтах и |^тгп| с течением времени (Ле = 7, вода, противоток): 1 - г = 0; 2 - |г| = 0,05; 3 - |г| = 0,15

Расчеты для вертикальной пленки воды показали, что инкремент ш, в нелинейном приближении меньше, чем инкремент найденный из дисперсионного уравнения (7): в условиях прямотока отличие между величинами о)» и не превышает 4% (рис. 9, а), в условиях противотока — достигает 10% (рис. 9, б).

(а) Т = -0,15 (б) т = 0,15

Рис. 9. Сравнение величины с инкрементом щ (оптимальные режимы, вода): 1 - инкремент о><; 2 - инкремент Ых

В четвертой главе изучалось нелинейное взаимодействие возмущений на свободной поверхности вертикальной жидкой пленки. Решение нелинейного уравнения (6) методом многомасштабных разложений позволило осуществить переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для пяти волн: одной несущей с амплитудой ао и четырех боковых с амплитудами яъ а2, аз, о4- Система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась методами Рунге-Кутта-Мерсона 4-ого порядка, неявного метода Рунге-Кутта 2-ого порядка, метода Розенброка 4-ого порядка. В момент времени t = 0 принималось ао = а\ = й2 = = ац = 0,0001, волновое число к = кт.

В результате нелинейного взаимодействия наблюдается затухание боковых волн и выход амплитуды несущей волны на постоянное значение — происходит формирование регулярного волнового режима течения вертикальной

200

400 600 800 (

(«О

0 5 10 15 20 I

(б)

02 (.10-'

0,18 - -

0,12 - -

0,08

200 400 600 800

Рис. 10. Нелинейное взаимодействие возмущений в вертикальной пленке воды при обдуве газовым потоком (Яе = 10): 1 - г = -0,05; 2-т = 0;3-т = 0,05

пленки (рис. 10). В условиях прямотока воздействие касательного напряжения увеличивает время формирования регулярного волнового режима течения (рис. 10, кривая 1), в условиях противотока — сокращает (рис. 10, кривая

На рисунке 11 представлено время формирования регулярного волнового режима течения вертикальной пленки воды рассчитанное для чисел Рейнольдса Яе £ [5; 10] и касательного напряжения г 6 [—0,15; 0,15]. Величина ¿р уменьшается при увеличении числа Рейнольдса Яе. Но в условиях прямотока при т = —0,15 для Яе > 8 наблюдалось увеличение величины £р (рис. 11, а, кривая 1).

3).

6 7 8!

(а) прямоток

Не

6 7 8 9 Де

(б) противоток

Рис. 11. Время формирования регулярного волнового режима (вода): 1 - т = -0,15; 2 - т = -0,1; 3 - т = -0,05; 4 - т = 0; 5 - т = 0,05; 6 - т = 0,1; 7 - т = 0,15

2,0 1,5 1,0 0,5

Ю-1 4

_ — ""

_______ ------

6 7 8 9 Яе (а) прямоток

2,0

1,4 -

0,8

ю-1 У

/ 'У У ✓ У У ✓ / / /

// ✓

/ у У /

Рис. 12. Амплитуды в регулярном волновом режиме (вода): 1 - г = -0,15; 2 - т = -ОД; 3 - т = -0,05; 4 - г = 0; 5 - т = 0,05; 6 - т = 0,1; 7 - т = 0,15

5 6 7 8 9 Ле (б) противоток

Амплитуды в регулярном волновом режиме течения, рассчитанные для вертикальной пленки воды, показаны на рисунке 12. В условиях противотока чем больше величина постоянного касательного напряжения г, тем больше амплитуды в регулярном волновом режиме течения. В условиях прямотока воздействие постоянного касательного напряжения приводит к уменьшению амплитуд в регулярном волновом режиме.

Заключение. Изучено влияние газового потока, создающего постоянное касательное напряжение, на течение и развитие неустойчивости вертикальной жидкой пленки при Яе ^ 10.

1. Разработаны, зарегистрированы 4 программы для ЭВМ.

2. Рассчитаны волновые характеристики и области неустойчивости вертикальной пленки воды в условиях противотока и прямотока:

— найдены волновые характеристики, соответствующие оптимальным режимам течения вертикальной пленки воды;

— для режима прямотока получены условия, при которых течение вертикальной пленки воды становится устойчивым;

— в условиях противотока для оптимальных режимов течения воздействие постоянного касательного напряжения г приводит к уменьшению фазовых и групповых скоростей при т = 0,05 для Яе > 9,4, при т = 0,1 для Яе > 8,9, при т = 0,15 для Яе > 8,7.

3. В оптимальных режимах течения вертикальной жидкой пленки, обдуваемой ламинарным газовым потоком:

— фазовая скорость минимальна;

— фазовая и групповая скорости совпадают.

4. Рассчитано состояние свободной поверхности вертикальной пленки воды при обдуве ламинарным газовым потоком. Найдены максимальное

Фтах и модуль минимального \фтт\ значения функции ф, которые могут быть использованы для расчета амплитуд.

5. Для вертикальной пленки воды инкремент в нелинейном приближении (¿г меньше инкремента ш,-, полученного из дисперсионного уравнения, до 4% в условиях прямотока, до 10% в условиях противотока.

6. Изучено нелинейное взаимодействие возмущений в вертикальной пленке воды при обдуве ламинарным газовым потоком. В результате нелинейного взаимодействия возмущений формируется регулярный волновой режим течения:

— в условиях противотока время выхода на регулярный волновой режим течения сокращается по сравнению со свободным стеканием;

— в условиях прямотока время выхода на регулярный волновой режим течения увеличивается по сравнению со свободным стеканием.

Публикации в журналах из списка ВАК

1. Прокудина, Л. А. Математическое моделирование неустойчивости тонкого слоя вязкой жидкости / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». — 2009. — Т. 9, № 3. — С. 48-54.

2. Прокудина, Л. А. Моделирование оптимальных режимов течения жидкой пленки в контакте с газовым потоком / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2010. - Т. 3, № 30. - С. 79-82.

3. Прокудина, Л. А. Нелинейное развитие возмущений в жидкой пленке при обдуве газовым потоком / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Нелинейный мир. - 2010. - Т. 8, № 11. - С. 709-713.

4. Прокудина, Л. А. Влияние касательного напряжения на волновые характеристики жидкой пленки / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Серия «Математика. Механика. Физика».— 2012. - Т. 7, № 34. - С. 173-176.

Другие публикации

5. Прокудина, Л. А. Моделирование неустойчивости жидкой пленки в теп-ломассообменных процессах при волнообразовании / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Механика и процессы управления: тр. XXXVI Уральского семинара. — Т. 1. — Екатеринбург: УрО РАН, 2006. — С. 183-191.

6. Прокудина, Л. А. Моделирование неустойчивости пленочных тепломас-сообменных процессов / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Качество науки — качество жизни: тр. 3-ей Междунар. научно-практ. конф. — Тамбов: ОАО «Тамбовполиграфиздат», 2007. — С. 92-94.

7. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивых режимов

течения пленки жидкости в двухфазных потоках в тепломассообменных аппаратах / Е. А. Саламатов // Актуальные проблемы современной науки: тр. 5-й Междунар. конф. — Т. 1, 2. — Самара: Изд. СамГТУ, 2004. — С. 184-187.

8. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивых процессов течения тонких слоев вязких жидкостей / Е. А. Саламатов // Интеграция науки и производства: тр. 1-й Междунар. научно-практ. конф. — Тамбов: Тамбовпринт, 2008. - С. 92-93.

9. Саламатов, Е. А. Моделирование волнового стекания жидких пленок / Е. А. Саламатов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: тр. III Междунар. научно-практ. конф. — Пенза: Приволжский Дом знаний, 2008. — С. 214-217.

10. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивого течения жидкой пленки / Е. А. Саламатов // Научный поиск: материалы первой научной конференции аспирантов и докторантов. Социально-гуманитарные и естественные науки. — Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2009. — С. 67-70.

11. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивых режимов стекания тонких слоев вязких жидкостей / Е. А. Саламатов // Наука ЮУрГУ: материалы 61-й науч. конф. — Т. 2. — Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2009. - С. 22-25.

12. Саламатов, Е. А. Алгоритм расчета свободной поверхности неустойчивого тонкого слоя вязкой жидкости / Е. А. Саламатов // Наука ЮУрГУ: материалы 62-й науч. конф. — Т. 2. — Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2010. - С. 201-205.

13. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование стекания жидкой пленки в технологическом оборудовании / Е. А. Саламатов // Научный поиск: материалы второй научной конференции аспирантов и докторантов. Технические науки. — Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2010. — С. 54-58.

14. Саламатов, Е. А. Моделирование состояния свободной поверхности жидкой пленки / Е. А. Саламатов // Актуальные проблемы современной науки: тр. 5-го Междунар. форума. — Т. 1-3. — Самара: Изд. СамГТУ,

2010. - С. 197-201.

15. Саламатов, Е. А. Моделирование нелинейного развития возмущений на свободной поверхности жидкой пленки / Е. А. Саламатов // Информационно-измерительные и управляющие системы и устройства: сб. науч. тр. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. — С. 178-182.

16. Саламатов, Е. А. Развитие возмущений на свободной поверхности жидкой пленки в оптимальных режимах / Е. А. Саламатов // Наука ЮУрГУ: материалы 63-й науч. конф. — Т. 2. — Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ,

2011,- С. 72-76.

17. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивости жидкой пленки в тепломассообменных процессах / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Актуальные проблемы современной науки: тр. 1-го Междунар. форума.— Т. 1, 2. — Самара: Изд. СамГТУ, 2005. — С. 136-139.

18. Саламатов, Е. А. Вычислительный эксперимент по расчету областей неустойчивости жидких пленок с учетом нелинейных эффектов /

Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Актуальные проблемы современной науки: тр. 2-го Междунар. форума. — Т. 1-3,— Самара: Изд. СамГТУ, 2006. - С. 92-95.

19. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивости жидких пленок в тепломассообменных процессах с учетом нелинейных эффектов / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Актуальные проблемы современной науки: тр. 2-го Междунар. форума. — Т. 1-3. — Самара: Изд. СамГТУ, 2006. - С. 88-91.

20. Саламатов, Е. А. Исследование влияния физико-химических факторов на неустойчивость жидкой пленки в нелинейном приближении / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Актуальные проблемы современной науки: тр. 3-го Междунар. форума. — Т. 1, 2. — Самара: Изд. СамГТУ, 2007. — С. 187-191.

21. Саламатов, Е. А. Исследование влияния физико-химических факторов на неустойчивость тонких слоев вязких жидкостей / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Актуальные проблемы современной науки: тр. 4-го Междунар. форума,— Т. 1-3.— Самара: Изд. СамГТУ, 2008. — С. 124-129.

22. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивости жидкой пленки в условиях двухфазного потока / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Системы управления и информационные технологии: сб. науч. тр. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2009,- С. 172-175.

23. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивых режимов течения жидких пленок / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Механика и процессы управления: тр. XXXIX Уральского семинара. — Т. 1,— Екатеринбург: УрО РАН, 2009. - С. 146-153.

24. Саламатов, Е. А. Математическое моделирование неустойчивых режимов течения жидких пленок / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Наука и технологии: тезисы докладов XXIX Российской школы. — Миасс: МСНТ, 2009.- С. 33.

25. Саламатов, Е. А. Влияние касательного напряжения на волновое течение жидкой пленки / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Теория и практика современной науки: материалы X Международной научно-практ. конф. — М.: Спецкнига, 2013. — С. 30-35.

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ

26. Прокудина, Л. А. Нелинейные волны на поверхности неизотермической жидкой пленки / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011617666 от 30.09.2011.

27. Прокудина, Л. А. Область неустойчивости жидкой пленки / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Свидетельство РФ об официальной регистрации разработки в отраслевом фонде алгоритмов и программ №ОФАП 5392 от 18.11.2005.

28. Прокудина, Л. А. Область неустойчивости жидкой пленки V. 2 / Л. А. Прокудина, Е. А. Саламатов // Свидетельство РФ об официаль-

ной регистрации разработки в отраслевом фонде алгоритмов и программ №ОФАП 7231 от 16.11.2006. 29. Саламатов, Е. А. Нелинейное развитие возмущений в жидкой пленке / Е. А. Саламатов, Л. А. Прокудина // Свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010615017 от 03.08.2010.

Подписано в печать 08.11.2013. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 08-154.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии TETA (ИП Алексеев C.B.) 454048, г. Челябинск, ул. Яблочкина, 23 Тел. 225-09-18, e-mail: teta-art@mail.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Саламатов, Евгений Александрович, Челябинск

К>кно-Уральский государственный университет

04201 451 348 На правах^кописи

Саламатов Евгений Александрович

потоком

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н.

Прокудина Людмила Александровна

Челябинск - 2013

Содержание

Введение................................... 4

Глава 1. Постановка зад ачи............................................7

1.1. Приложения процессов течения жидких пленок................7

1.2. Теоретические и экспериментальные исследования течений жидких пленок....................................................11

1.3. Постановка задачи........................29

Глава 2. Волновые характеристики вертикальной жидкой пленки, обдуваемой газовым потоком. Неустойчивость пленочного

течения в условиях прямотока и противотока..........32

2.1. Расчет волновых характеристик и областей неустойчивости вертикальной жидкой пленки при умеренных числах Рей-нольдса. Оптимальные режимы.................32

2.2. Волновые характеристики и неустойчивость вертикальной жидкой пленки в условиях свободного стекания.......34

2.3. Результаты экспериментальных и теоретических исследований режима свободного стекания жидких пленок.......42

2.4. Расчет волновых характеристик и областей неустойчивости вертикальной жидкой пленки в условиях прямотока и противотока. Оптимальные режимы................48

2.5. Выводы к главе 2.........................55

Глава 3. Свободная поверхность вертикальной жидкой пленки,

обдуваемой ламинарным газовым потоком............57

3.1. Алгоритм расчета свободной поверхности вертикальной жидкой пленки.............................57

3.2. Постановка вычислительного эксперимента..........62

3.3. Развитие свободной поверхности вертикальной жидкой пленки в условиях прямотока и противотока............63

3.4. Выводы к главе 3.........................71

Глава 4. Нелинейное развитие и взаимодействие возмущений в вертикальной жидкой пленке, обдуваемой газовым потоком 72

4.1. Уравнения нелинейного развития и взаимодействия возмущений в вертикальной жидкой пленке, обдуваемой газовым потоком............................... 72

4.2. Алгоритмы решения уравнений нелинейного взаимодействия возмущений в вертикальной жидкой пленке при обдуве газовым потоком...........................78

4.3. Нелинейное взаимодействие возмущений в вертикальной жидкой пленке воды при обдуве ее свободной поверхности газовым потоком..........................90

4.4. Выводы к главе 4.........................101

Заклютение.................................103

Литература.................................105

Приложение А. Разработанные программы для ЭВМ.......128

Приложение Б. Волновые характеристики вертикальной жидкой пленки, обдуваемой газовым потоком, в оптимальных режимах течения..................................136

Приложение В. Элементы якобиана уравнений нелинейного взаимодействия возмущений в жидкой пленке при обдуве газовым потоком..................................142

Введение

Цвль диссертационной работы. Изучить влияние газового потока, создающего на свободной поверхности вертикальной жидкой пленки постоянное касательное напряжение, на волновые характеристики жидкой пленки и нелинейное развитие возмущений при умеренных числах Рей-нольдса (Яе ^ 10).

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- выявлены оптимальные режимы волнового течения вертикальной жидкой пленки, обдуваемой газовым потоком;

- изучено развитие свободной поверхности вертикальной жидкой пленки, контактирующей с газовым потоком.

Научная новизна.

Практическая значимость.

1. Для вертикальной жидкой пленки разработаны методики расчета волновых характеристик, областей неустойчивости с учетом постоянного касательного напряжения на поверхности раздела газ-жидкость.

3. Зарегистрировано 4 программы для ЭВМ.

Методы исследований. Задачи, поставленные в диссертационной работе, решались с помошью ЭВМ численно с использованием метода конечных разностей, методов Рунге-Кутты, Розенброка.

На зашщу выносятся:

- комплекс программ, разработанных на основе нелинейной модели, для расчета характеристик волнового течения вертикальной жидкой пленки в диапазоне чисел Рейнольдса Яе < 10 в условиях свободного стекания, противотока и прямотока;

- результаты исследования волновых характеристик и областей неустойчивости вертикальной пленки воды при обдуве ее свободной поверхности газовым потоком:

— рассчитаны оптимальные режимы течения;

— рассчитан инкремент вертикальной пленки воды в нелинейном приближении;

Апробащш работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на российских и международных конференциях (Москва, Самара, Миасс, Пенза, Тамбов, Челябинск), семинарах (Миасс, Екатеринбург) [59, 60, 69-86, 88].

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК [63-65, 67], 21 статья в сборниках трудов конференций, получено 4 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ [51, 52, 66, 87].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографии (166 наименований), приложений (18 страниц). Обший объем диссертации 145 страниц.

Глава 1 Постановка задачи

1.1. Приложения процессов течения жидких пленок

Процессы течения тонких слоев вязких жидкостей используются в различных отраслях промышленности: химической, металлургической, энергетической, пищевой и других (рис. 1.1).

Теплообменники

1 Оч ¡1 ода

Конденсаторы

■■Пар,

Абсорберы

Испарители

Электролизеры

Электрод I Электролит

аи'^'ЧА 1 1 *тгГ

Ттутъ (Электроо Ю Электрод

Ш/ШШ,

^ Слиток

Кристаллизаторы

Лед

Раствор

Охлаждение серной кислоты

Охлаждение пищевых продуктов

АЗС, ГЭС

Холодильные мамины

Ректификация

Брони сто - литиевая абсорбционная холодильная

машина

Получение кислот

Очищающие фильтры

Опреснение морской воды

Получение ^Вг^капролактама

Упаривание

Ректификация

Амальгамная металлургия

Производство редкоземельных металлов, щелочей цхлора

Производство слитков металлов высокой чистоты

Получение льда

Производство парафина, стеариновой кислоты

Рис. 1.1. Области применения жидких пленок [43]

В процессах ректификации при выделении и очистке мономеров, предназначенных для переработки в химические волокна и пластмассы, на каждой стадии синтеза возможно образование побочных продуктов, загрязняющих основной продукт. В частности, при производстве капролактама в результате жидкофазного разделения образуется сложная реакционная смесь непрореагировавшего циклогексана и продуктов его окисления: циклогек-санона, циклогексанола, органических кислот, некоторых спиртов. Цикло-гексанон оксимируют в циклогексаноноксим, а последний перерабатывают в капролактам, который затем подвергают тонкой очистке [50].

Пленочное технологическое оборудование используется при изготовлении синтетических каучуковых латексов [97]. Готовый латекс состоит из частиц полимеров, набухших в мономере и покрытых гидратированным слоем эмульгатора, и водной среды, содержащей небольшое количество неадсорбированных мономеров и эмульгаторов, а также ряд неорганических соединений. Для очистки латекса смесь, стекаюшая в виде тонкого слоя жидкости, подвергается обработке. При этом важно обеспечить целостность жидкого слоя, так как латекс откладывается в виде коагулюма на границе с незащищенными пленкой участками поверхности.

Пленочные аппараты применяются в процессах абсорбции (рис. 1.2): для получения серной кислоты, хлороводородной кислоты, азотной кислоты ит. д.; для вьщеления ценных компонентов газовых смесей (абсорбця бензола, абсорбция ацетилена); для очистки газовых выбросов от вредных примесей (очистка топочных газов от оксида серы, очистка от фтористых газов, выделяющихся при производстве минеральных удобрений); для насыщения углекислым газом минеральных води и других напитков [17, 24].

В фармацевтической промышленности пленочные аппраты применяются для производства гормонов, антибиотиков и т. д. [53].

Узел I

Жидкость

Рис. 1.2. Трубчатый пленочный абсорбер [24] 1-корпус; 2-трубки; 3-перегородки

В холодильной технике пленочные теплообменники используюгся в качестве конденсаторов хладоагентов. Водяные пленки служат для охлаждения молочных продуктов, рассола при получении соды [4].

Процессы течения тонких слоев вязких жидкостей находят применение в системах стержне-жидкостного регулирования для крупных энергетических канальных реакторов (рис. 1.3). Подобные системы регулирования позволяют добиваться требуемого по условиям эксплуатации распределения энерговыделения (вплоть до равномерного) и уменьшения паразитного поглощения нейтронов [12].

Другое важное направление использования стекающих пленок в технике ядерных реакторов — применение для аварийного охлаждения активной зоны реактора (рис. 1.4), когда необходимо обеспечить возобновление смачивания сухой горячей поверхности тепловыделяющих элементов и стенок каналов (в канальных реакторах) прежде, чем их температура превысит допустимые пределы при условиях сохранения прочности кон-

(а) (б)

Рис. 1.3. Схемы течения в каналах СЖР [12]: а - с охлаждением; б - со спутным потоком газа; 1 - твердый стержень-поглотитель; 2 - канал для ввода-вывода газа;

3 - слив

Рис. 1.4. Схема аварийного охлаждения активной зоны реактора [12]: 1-холодный трубопровод; 2-опускной участок; 3-нижняя камера; 4-верхняя камера; 5-разрыв циркуляционного трубопровода

струкционных элементов — оболочек тепловыделяющих элементов, стенок каналов [12].

Пленки жидкости используются для тепловой зашиты стенок камеры сгорания [43].

Пленочные течения имеют место на элементах контрукций авиационной (например, кромки сопел [95]) и ракетной [148] техники.

Широкое применение пленочных процессов в промышленности обусловлено, в частности, интенсивным взаимодействием между тонкой пленкой и потоком газа. Пленочные аппараты имеют малое гидравлическое сопротивление, позволяют добиться малого расхода жидкости и ее минимальной задержки в «активной» зоне аппарата. Мггановки, в которых реализуются процессы течения тонких слоев вязких жидкостей, потребляют малое количество электроэнергии, являются экологичными. Высокая теплоемкость и малое теплосопротивление жидкой фазы позволяют поддерживать большие градиенты температуры (до 500 °С) между твердой стенкой и газовым потоком, что дает возможность использовать пленочные процессы в атомной, металлургической отраслях.

1.2. Теоретические и экспериментальные исследования течений жидких пленок

Впервые течения тонких слоев вязких жидкостей изучались в работах Капицы П. Л. и Капицы С. П. [30-32]. С помощью установки (рис. 1.5) Капица П.Л. и Капица С. П показали, что существуют волновые режимы течения вертикальной жидкой пленки (рис. 1.6) и что волновое стекание жидкой пленки является неустойчивым.

Многих исследователей [30, 32, 124, 138, 151, 158, 162] интересовал вопрос об условиях возникновения волнового режима течения жидких гхле-

Рис. 1.5. Общий вид установки Капицы П. Л., Капицы С. П. [130]

Периодический режим

о 1 2 3 ст

Кттч Г I!, I ' ' —"I

Рис. 1.6. Фотографии волн на поверхности пленки [32]

нок. В работе [32] волны на свободной поверхности пленки фиксировались при Re > 5, в работе [124] — при Re > 4.

Согласно расчетам [121] волны на свободной поверхности жидкой пленки должны наблюдаться при

Re^-cotO, (1.1)

где в - угол наклона поверхности стекания относительно горизонта.

Исследования [138, 158, 162] показали, что формула (1.1) согласуется с экспериментальными данными, если 0 90°, но в случае вертикальных пленок (0 = 9СР) в экспериментах [30, 32, 124] фиксировалось ненулевое значение числа Рейнольдса Re, при котором возникали волны на свободной поверхности жидкой пленки [130].

Авторы работы [151] пришли к выводу, что экспериментально наблюдаемое ненулевое значение числа Рейнольдса Re, при котором возникают волны на свободной поверхности жидкой пленки, обусловлено недостатками экспериментального оборудования, т.е. волны на поверхности жвдкого слоя развиваются при любом значении числа Рейнольдса Re, однако их амплитуды малы, так что чувствительности датчиков и длины экспериментальных каналов не хватает для детектирования подобных волн [130]. Таким образом, установлено, что волновой режим стекания вертикальной жидкой пленки возникает при любых значения числа Рейнольдса Re.

Экспериментальному исследованию пленочных процессов посвящены работы Алексеенко В. Е., Накорякова Б. Г., Покусаева Б. Г. (рис. 1.7) [3, 112, 152, 160], Ганчева Б. Г. [13-16], других отечественных [19, 94, 106, 165] и зарубежных [119, 120, 124, 135, 138, 144, 145, 147, 150, 151, 158, 163, 166] авторов (рис. 1.7 - 1.10). В этих работах осуществлено подробное опытное изучение пленочных течений (например, скоростей в жидкой слое, толщин пленки жидкости, волновых характеристик - фазовых скоростей, инкрементов, амплитуд волн) в различных условиях: на

внешних и внутренних поверхностях труб, в присутсвии газового потока, при наличии подогрева поверхности стекания, в случае, если поверхность стекания осциллирует, вращается и т.д.

Рис. 1.7. Схема экспериментальной установки в работах [112, 152]

То Feed

Section ->-

imeler

Gear Pump Liquid

Reservoir

Conductance Probes

Connected to Data Acquistion System

Thermometer

—53-

„ Liquid

Gear Pump Reservpjr

ш>

5.23 m

1* Floor

1.74 m

0.178 m

Рис. 1.8. Схема экспериментальной установки в работе [147]

Рис. 1.9. Схема экспериментальной установки в работе [135]

Рис. 1.10. Схема экспериментальной установки в работе [166]

Экспериментальные исследования показывают, что организация волнового стекания жидкой пленки способствует значительной интесификации процессов, протекающих в пленочных аппаратах. Благодаря волновому характеру течения жидкой пленки увеличивается площадь контакта на границе раздела, что приводит к увеличению показателей, характеризующих процессы тепло- и массообмена (по оценке акторов [4] на 40 - 150%, по оценке авторов [136, 139] — на 20 - 30%, по оценке авторов [149] — на 10 - 100%).

Таким образом, изучение пленочных течений — актуальная задача.

Широко изучаются пленочные течения и в теоретическом аспекте. Отекание тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести описывается системой уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности, которая в двумерном случае имеет вид:

' ди ди ди др р 1 / д2и д2и

дЬ дх ду дх х Яе \дх2 ду2

ди ду ^ ду др 1 /д2у _^д2у

дЬ дх ду ду у Яе \дх2 ду2

ди ду

дх ду

где и, у - компоненты вектора скорости, Ех, Ру - компоненты вектора массовых сил, р - давление.

Основываясь на данных экспериментальных исследований, различные авторы вносят допущения, которые позволяют из системы уравнений (1.2) с учетом граничных условий, соответствующих рассматриваемой задаче, получить математическую модель для расчета пленочного течения.

Например, в ра�