Эффекты сверхтекучести и гравитации в пульсарах и черных дырах тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Физический факультет

РГ5 ОД

У П I, ♦ « г ~ ,

с ° ¿„и

УДК 524.3 - 59, 82; 530.12; 531.51.

Шацкий Александр Александрович

Эффекты сверхтекучести и гравитации в пульсарах и черных дырах.

Специальность 01.03.02 — Астрофизика и радиоастрономия.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000.

Работа выполнена на физическом факультете Московского Государственного Университета им. Ломоносова.

Научный руководитель: академик РАН, д.ф.-м.н., проф. Зацепин Г.Т.

Официальные огспокекты-

1). Жаркой Г.Ф., д.ф.-м.н., проф.

2), Липунов В.М., д.ф.-м.н., проф.

Ведущая организация — Московский Физико-технический институт (государственный университет). (Москва).

-ОО

Защита состоите Г*М Н "в ^ ^ часов на заседании Диссертационно-

го совета Д002.39.01 в Физическом институте им. П.Н. Лебедева Российской Академии наук но адресу: 117924, Москва В - 333, Ленинский пр-т, 53, ФИЛН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФИАН. Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.ф.-м.н. Ковалёв Ю.А.

к

оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Данная работа представляет собой попытку изучить некоторые свойства вещества, находящегося в экстремальных условиях и описываемого, с одной стороны, теорией сверхтекучей жидкости и, с другой стороны. теорией гравитации Эйнштейна.

Интерес, который сопутствует подобным исследованиям, связан прежде всего с необычными свойствами материи в изучаемых условиях.

Что же конкретно может быть интересного в объединении этих двух описаний? Прежде всего то, что предсказываемые теорией Эйнштейна гравимагнитные эффекты до сих пор, к сожалению, не были обнаружены экспериментально,-а возможным ключом к их обнаружению может быть влияние сил Лензе-Тирринга (гравимагнитных сил в постныото-ноесксм приближении) на механизм сбоя периода пульсара??.

Кроме гравимагнитных эффектов несомненный интерес вызывают исследования в области динамики коллапса небесных тел с последующим образованием горизонта событий. Такие исследования стали проводиться только сравнительно недавно и привлекли к себе внимание самоподобными типами решений (наподобие нелинейных решений гидродинамических уравнений с вязкостью).

В этом направлении рядом известных специалистов (Новиковым Й.Д., Фроловым В.П., Пенроузом, Хоукингом и др.) получены в последнее время интересные результаты, доказаны важные теоремы о сингуляр-ностях и горизонтах у черных дыр ([11, 12, 13]).

Кроме чисто теоретического и методического интереса, данные исследования представляются важными еще и потому, что они связаны с изучением образования и эволюции ядер галактик на ранних стадиях (здесь уже необходимы модели с нетривиальным уравнением состояния вещества).,

Все это говорит об актуальности исследования свойств и характеристик вещества с точки зрения указанных выше теорий. Решаемые в диссертационной работе задачи важны для описания астрофизических объектов — нейтронных звезд (пульсаров) и черных дыр.

Цель данной работы. Вопросов, которые возникают при этих исследованиях, еще достаточ-

но много, но главная цель, которую поставил перед собой автор, заключается в том, чтобы выяснить не приводит ли описание вещества (в рамках теорий сверхтекучей жидкости и гравитации) к принципиально новым эффектам, наподобие того, что был открыт с появлением решения Керра для уравнений Эйнштейна. Речь идёт об обобщении решения Шварцшильда на случай вращения чёрной дыры. После получения Керром своего решения, старое решение было не просто обобщено, а по-сути была доказана его вырожденность на случай отсутствия углового момента и электрического заряда. Общее же решение отличалось принципиально новыми особенностями — такими, как появление второго горизонта, и существованием поверхности эргосферы со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Обобщение задачи о нахождении решения для поля чёрной дыры, будь то учёт её вращения, электрического заряда или сил противодавления сжатию при коллапсе — приводит к появлению новых, но очень похожих эффектов.

Защищаемые результаты и их новизна.

I. Подробно изучены вопросы распределения вихревой структуры пульсара в нерелятивистском случае без упрощения усреднением этого распределения. В результате доказана справедливость такого упрощения. Доказана справедливость этого результата в общерелятивистском случае.

II. Общерелятивистское исследование сверхтекучей внутренности пуль сара позволило описать эффекты искривления и увлечения вихревых нитей в пульсаре гравитационными (гравиэлектрическими) и грави-магнитпыми полями системы. Решен вопрос об увлечении внутренностей пульсара и локально-инерциальной системы отсчета самосогласованным полем массивного вращающегося объекта. Доказаны теорема Бернулли и теорема о сохранении циркуляции в общерелятивистской гидродинамике для сверхтекучего конденсата.

III. Аналитически и численно исследована модель коллапса сферического тела в чёрную дыру. Найден момент появления и местоположение образующихся горизонтов у чёрной дыры, исследована дальнейшая эволюция этих горизонтов. Исследован вопрос об ударных волнах в кол-лапсирующей системе и их влиянии на её эволюцию.

Все выносимые на защиту результаты являются новыми.

Научное значение работы.

И пйгг»глтг1от.т -о •> м'ттттй рлгтпл^гт гпоатггтв гл отплоиио** т»

эволюцией нейтронных звезд (пульсаров), черных дыр и неустойчивых центрально - симметричных объектов. Изучение этих объектов необходимо для понимания общей астрофизической картины эволюции сверхновых звезд. Хотя исследования в этой области уже давно ведутся многими специалистами, автор изучал н диссертации те аспекты, которые ранее не затрагивались.

Рекомендация по использованию научных выводов.

Результаты изучения холлапсирующих объектов позволяют сделать ряд важных для дальнейших исследований выводов:

I. Сопоставляя доказанную теорему о смещении горизонта видимости (в большую, по сравнению с его Шварцшильдовским значением, сторону) с теоремой, доказанной й.Д. Новиковым, В.П. Фроловым и Пенро-узом о максимально возможном значении горизонта видимости — горизонта событий ([13]), можно сделать предположение о возможности нахождения аналитического критерия коллапса для конкретного слоя падающего вещества.

Нахождение такого критерия дало бы возможность рассчитывать какая часть массы коллапсирующей звезды была бы выброшена ударными волнами наружу, а также какова остальная часть массы, все-таки сколлалсировавшая под горизонт. Само-собой разумеется, что соотношение этих частей будет зависеть от многих факторов: полной массы системы, ее уравнения состояния и начального распределения вещества.

В свою очередь выброс части вещества при коллапсе представляет собой одну из возможных моделей вспышек сверхновых и новых звезд, которые неоднократно наблюдались.

Хотелось бы особенно подчеркнуть, что однозначной и бесспорной теории вспышек сверхновых звезд еще пока нет, поэтому становится особенно актуальным доказательство теорем типа вышеуказанной.

II. В работе была также доказана возможность образования второго горизонта видимости внутри системы в один и тот же момент времени, (возможность возникновения второго горизонта зависит от начального

распределения вещества и уравнения состояния)

Ввиду принципиальной возможности наблюдения эффектов типа образования нового горизонта, этот эффект может иметь большое предсказательное значение при наблюдениях потоков нейтрино от вспышек сверхновых (только нейтрино способно пронизывать без поглощения толстые слои звезд).

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались:

1. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов —: 98", Москва 1998г.

2. III Научная конференция молодых ученых и специалистов, Дубна 1999г.

3. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов — 99", Москва 1999г.

4. IX Международная: конференция пи элементарным частицам "Ломоносов — 99", Москва 1999г.

Публикация.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16, 19, 23, 24],

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из разделов "Постановка задач", "Обзор литературы", трех глав и трех приложений. Диссертация изложена на 102 страницах, в том числе 11 рисунков. Библиография включает 57 названий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В разделах "Постановка задач" и "Обзор литературы" обосновывается актуальность проведения исследований, цель диссертационной работы и положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации по главам.

В первой главе

Целью излагаемых здесь исследований является описание вихревых структур в сверхтекучей нуклонной жидкости в пульсарах. Для этого:

1) Проведен анализ теории сверхтекучей жидкости Бекаревича - Ха-латникова ([4]), суть которой в изучении распределения вихревых нитей и средней, по объему системы, скорости сверхтекучей жидкости во вращающемся цилиндрическом сосуде. Выявлен ряд пунктов, по которым эта теория нуждается в дополнительном обосновании и подтверждении.

А именно — проверяется утверждение о том, что поправки, возникающие при замене дискретной картины вихрей на усредненную — малы.

2) Построена математически корректная модель системы, основанная на записи точного выражения для функционала свободной энергии. Предложена последовательная теоретическая схема расчета, позволяющая, в принципе, вычислить точно необходимые параметры из этой, модели. Согласно этой схеме проведен приближенный расчет модели и сделана оценка погрешностей результатов.

Получено следующее выражение для величины пристеночного безвихревого слоя а, нуждавшееся в уточнении:

9«1±^±Н±0.02; (д = а/«*) (1)

Здесь 7 = ¿[^(¿га) ~ 1]> ^ — среднее по объему жидкости межвихревое расстояние, а — размер кора вихря (примерно равного расстоянию между частицами в жидкости).

Приведем для сравнения результат Халатникова:

д'^у/^п; (<?' = «'/<*) (2)

Для сверхтекучего #е4 7 « 2.5, тогда: q « 2.2; д' й 2.7.

Для сверхтекучей нейтронной жидкости в пульсарах 7 « 1.2, тогда: д « 1.7; д' « 1.9.

Отсюда видно, что в пределах 20-процентной погрешности (в теории Бекаревича - Халатникова) наши точные результаты совпадают с результатами теории Бекаревича - Халатникова. Поэтому можно сделать вывод, что для пульсаров область ирротациошюго движения, составляет ничтожно малую долю от твердотельной, классической области движения жидкости.

3) Полученные в результате расчета результаты для среднего распределения плотности вихрей, средней скорости движения жидкости и

толщины ирротационного слоя практически совпадают с результатами теории Бекаревича - Халатникова, которая, тем самым, получает дополнительное обоснование в этой работе.

Кроме этого важно отметить, что полученные результаты могут быть применены к любому аксиально-симметричному сосуду.

Во второй главе

1. Изучено движение сверхтекучего конденсата нейтронной жидкости в пульсаре.

2. Доказан ряд теорем общерелятивистской гидродинамики для сверхтекучей жидкости.

3. Найдено среднее распределение плотности вихревых нитей в пульсаре и их общерелятивистское искривление.

4. Рассчитаны общерелятивистские поправки к плотности вихревых нитей в пульсаре в первом постньютоновском приближении.

Сверхтекучесть вещества вращающихся нейтронных звезд сочетается с близостью их гравитационного (гд — "Щ^-) и геометрического (И) радиусов, где G — постоянная тяготения, с — скорость света, М — масса звезды. Поэтому эффекты общей теории относительности (ОТО) могут заметно сказаться на процессах, протекающих в сверхтекучей сердцевине пульсаров (в частности, на механизме сбоя их периода). Д.А. Киржницем, А.Ю. Андреевым и С.Н. Юдиным обсуждались в этом плане случаи малых угловых скоростей в ОТО О < Qc ~ 7г/(т*7?2), где т* — масса частицы сверхтекучего конденсата (куперовекой пары) (см. [5]), ii ~ Ос (см. [6]), а число вихревых нитей (ВН) равно, соответственно, 0 и 1.

В диссертации рассмотрен реалистический — противоположный случай

Пс < О < c/R,. (3)

когда имеется плотная система вихревых нитей (ВН).

В работе [4] доказано, что в нерелятивистском случае устойчив "твердотельный" режим вращения, а ВН прямолинейны и распределены с постоянной плотностью. Благодаря эффектам ОТО гравиэлектрической я гравимагнитной природы, определяемым, соответственно, величинами Удар и rotg (g = {—<70a/i7oo}i fltJc — метрический тензор), устойчи-1ым становится режим дифференциального вращения (точнее говоря,

такой режим устойчив в динамическом смысле, а в кинематическом по-прежнему устойчив твердотельный режим — см. далее). При этом ВН искривляются и перераспределяются в пространстве,

Гравитирующая сверхтекучая жидкость в системе описывается через представление Маделунга, с волновой функцией сверхтекучего конденсата ф = v ехр(гф).

Уравнение движения для скалярного конденсата имеет характерный для ОТО вид:

фЦ = (-д)-1/Щ-ду/^ф] + F(\ф\2)ф = О, . (4)

Подставляя сюда выражение для ф и отделяя действительную часть от мнимой, находим для последней:

(и2д{ф)-1 = 0. (5)

Это не что иное, как, с точностью до постоянного множителя, четырех-дивергенция вектора тока j1 — пи1. Это видно из сопоставления j' и в нерелятивистском случае: иг — v'/'c, у — nv'/c. Для сверхтекучей жидкости (СЖ) в этом случае запишем: п = г/2, v* ~ ^.д'ф, jlj = '2д'ф. Учитывая, что в любом случае должно выполняться уравнение непрерывности: j\ — 0, для СЖ получим уравнение (5). Отсюда в общерелятивистском случае для четырех-вектора тока СЖ получаем:

f = - пи\ (6)

тп*с

Или для ковариантных величин:

ji = -^—î- пщ. (7)

m*c

Умножая последнее выражение скалярно на (6), получаем:

(_L)2 = п2.

Действительная часть (4) дает: к2 = F + v'*/v. С учетом тождества щих — 1 (iii — четырехскорость), 1 обобщение нерелятивистского соотношения v = на случай ОТО имеет вид

Щ = к2 = д{ф&ф. (8)

к

1Индексы », j, к,1,т,п пробегают рад: 0,1,2,3; индексы а, 0,7 пробегают ряд: 1,2,3.

В стремлении приблизиться к оптимальному режим}' сверхтекучее течение испытывает хорошо известную перестройку (см. [4]), в результате которой при сохранении "почти всюду" свойства потенциальности течения возникает завихренность, которая в среднем совпадает с завихренностью для обычной (несверхтекучей) жидкости в той же точке. Это происходит благодаря образованию системы ВН, каждой из которых отвечает фаза волновой функции ф — со+ /(£). 2 Тогда согласно (8) для одного вихря

« —. (9)

На самой оси вихря, где величина ф не определена, волновая функция теряет смысл и сверхтекучесть исчезает. Это соответствует физически несверхтекучему "кору" ВН малого в макроскопическом масштабе радиуса, он-то и отвечает за появление отличного от нуля среднего значения ротора скорости (см. [4]). Приведенные рассуждения универсальны и в равной мере относятся как к нерелятивистском}', так и к общерелятивистскому случаям.

Для дальнейшего изучения сверхтекучей жидкости в ОТО была выведена общерелятивистская теорема Бернулли. Классическая теорема Бернулли выводится для стационарного, изэнтропического течения жидкости из гидродинамических уравнений Эйлера. Обобщение уравнений Эйлера на общерелятивистский случай приводит в стационарной системе отсчета для сверхтекучей жидкости к выражению:

ки'а = ф'а = сопв1. (10)

Это и есть общерелятивистский аналог теоремы Бернулли. В нерелятивистском пределе:

„2

1 щ т*С(~\ ^ ) — Ксп Ь, р<? ' 0 \

900 -(1+5)0+о)-

1-и2/с2 4 с2А 2сг

Ф V2 , т*с ,„ ф + у2/2 + Р/р.

1 + ~ + отсюда: к:ид —г- (1 Н-----—) = сопв£,

О ¿С /I с

23деь и далее используется цилиндрическая система координат с осью г направленной по оси вра~

ения: г0'1,2'3 = &, р, у, г.

где <р и р — ньютоновский гравитационный потенциал и плотность вещества — соответственно. А это и есть обычная теорема Бернулли.

Кроме этого в главе была доказана общерелятивистская теорема о сохранении циркуляции. Как было показало в [14] для нерелятивистского случая, ВН как бы "вморожены" в СЖ — двигаются с угловой скоростью Q — скоростью вращения оболочки. Таким образом проскальзывание относительно этой угловой скорости отсутствует. Это было доказано с помотцью нахождения силы, действующей на ВН. После нахождения этой силы — силы Магнуса, было очевидно, что она обращается в ноль во вращающейся с угловой скоростью S2 системе отсчета. Следовательно, в этой системе отсчета ВН покоились, что и доказывало утверждение.

Обобщая соответствующие выражения на общерелятивистский случай, можно показать, что общерелятивистсая сила Магнуса будет отсутствовать при таком движении ВН, при котором |V| = const вокруг кора. А это возможно только тогда, когда кор ВН сопутствует потоку СЖ, т.е. V создается только самим кором. Следовательно, проскальзывание отсутствует и в общерелятивистском случае. При этом отсутствие проскальзывания является следствием теоремы о сохранении циркуляции.

В итоге была найдена средняя плотность и кривизна вихревых нитей в пульсаре с учетом поправок ОТО.

Но своему определению, средняя плотность вихрей есть число вихрей К, пересекающих ортогональную им площадку, деленное на ее площадь. Поэтому, пользуясь теоремой о циркуляции вокруг ВН, для плотности вихрей ст^з-р получаем:

В итоге для усредненной плотности вихрей получаем:

- ■■■ т*с дч2 (г - + П9ч

Здесь было использовано, полученное в работе, правило:

зд |(ла кбрах ВН) — Qj. —

В сопутствующей корам системе отсчета П' = 0, поэтому в этой системе отсчета выражение (12) будет выглядеть особенно просто:

где д7 = —дау/доо и введено определение трехмерного вектора оа, дуально!^ тензору <Тур:

а" — —-е^а^р, — единичный антисимметричный тензор.

Вектор са по направлению совпадает с направлением вихрей в системе, а по модулю равен их средней плотности в данной точке. Для инвариантного выражения средней плотности вихрей можем записать:

_ ПГ~_ -0« - ¿оЯ /Л А\

и — - — "Т* ■ \x~tj

В итоге, в первом постньютоновском приближении для инвариантной плотности имеем:

. (15)

что совпадает с нерелятивистским пределом для плотности ВН.

Согласно формулам перехода во вращающуюся систему отсчета, для д'а имеем:

о _ 02££

о' = А»>_-Ш___П6)

Учитывая, что д' = д, получим для 7':

у - 9' _ 7

Ж 1+ {*)"%-***>,

В нерелятивистском пределе у р2, goo ~^ 1, Ярр —1, 9<р<р -р2, g2Z -> -1, 507 0, фо к поэтому в этом пределе получаем уже

известное выражение:

-а -а

(7 —»■ <7(Г = д"-— = Const.

тгп

Для миллисекундного пульсара ст," ~ 106сл-2, этому значению соответствует межвихревое расстояние d ~ 10~3с.и, что касается радиуса

Рис. 1: Зависимость поправок (ось г) к инвариантной плотности ВН в пульсаре от координат (оси х и у).

самого кора, то он по порядку величины около 10~п см. Общерелятивистские поправки, обуславливающие искривление ВН и изменение их средней плотности, довольно малы для реальных пульсаров, и поэтому относительное искривление не превышает нескольких процентов.

Была так же рассчитана инвариантная плотность вихревых нитей в пульсаре в первом постньютоновском приближении. В основу модели было заложено предположение о том, что недра пульсара вращаются с угловой скоростью П и, ввиду малой сжимаемости нейтронного конденсата, его плотность полагалась во всем объеме равной р. Для удобства вычислений, постоянные G и с были положены равными единице. Поправки к нерелятивистскому выражению для плотности вихрей ¡то можно условно разбить на две гуппы:

i\n - < т* N(9р + dz) 5V

1) 1 равимагнитные: (Т\ — (г—г)—-

' 2пп р

и

2) Гравиэлектрические: Ô2(x,y) = Z\(pR\àû(l —х2-у2/Ъ- 2ху/3). (17)

Здесь х = p/R, у = z/R.

Выражение для гравимагнитных поправок можно преобразовать к

виду:

* 1

<5-1 (я, у) = &0\<рк\1 (1? 1(1х'Лз;,х\у,1р) (18)

о о

Здесь

Цт „ /л\ _ 1 а 1 Г / . г 7хсо»у , дд' в»' си» у) 1

}\х>х >У><Р) - -Ъ^{Ох+Оу)Ц йУуЦ^г + -[^Цу5р72

г/1 = -уТ-' ж'2 - у, = - хй - у.

' (19)

Интеграл по у' находится аналитически, а интеграл (18) — численно. Результаты интегрирования с учетом гравиэлектрических поправок (17) представлены на рисунке 1, показанном на странице 12 (максимальная амплитуда поправок получается « ¡^¡<7и).

В третьей главе

исследовано радиальное движение вещества в централыю-симметричк гравитационном поле в сопутствующей системе отсчета для реалистичного уравнения состояния вещества. Исследована динамика образования горизонта событий.

Проблема образования горизонта событий черных дыр уже давно привлекает к себе большое внимание физиков. На эту тему написано огромное количество работ, но тем не менее при рассмотрении этой проблемы в рамках общей теории относительности (ОТО) больше вопросов, чем известных решений.

Одним из главных вопросов этой проблемы по-прежнему остается вопрос об обратном влиянии аккрецирующего вещества на черную дыру. До сих пор, в основном, рассматривалось движение пробных частиц в поле черной дыры, а они, как известно, не оказывают обратного влияния, которое может оказаться весьма существенным при достижении падающим веществом скорости света в момент прохождения им горизонта событий.

В главе рассмотрен частный, но физически реальный случай сферически симметричной аккреции на центральное тело, без учета вращения. Приняты следующие обозначения: скорость света с и гравитационная постоянная б положены равными единице. Гравитационным

радиусом для данной массы М в этих единицах будет радиус гд = 2М, т.е. радиус горизонта событий в вакууме для этой массы сосредоточенной в центре.

Построим вероятную модель эволюции системы. Предположим что наша система представляет собой остывающую массивную звезду с радиусом Re и гравитационным радиусом = 2M(i?o), причем Rc0 < Rq. Вещество этиги тела, в начальный момент покоится ("пыль" с уравнением состояния Р — as, где Р — давление в веществе, е — плотность энергии, a — константа). В следующий момент вещество начинает свободно 3 падать. Если допустить, что в начальный момент гравитацион-

Л

ные поля не слишком велики, а плотность пыли достаточно мала, то для ее удержания в начальный момент потребуется поле сил с конечной энергией. После выключения этого поля оно выйдет за пределы системы и перестанет с ней взаимодействовать за время порядка размера системы, т.е. время много меньшее того, за которое пыль успеет частично осыпаться и гравитационные поля сильно вырасти. Т.о. данная модель физически непротиворечива.

Что же произойдет с системой дальше? Дальше пыль начнет падать к центру тела, увеличивая свою среднюю плотность и гравитационный радиус гд(г) для массы М(т) под некоторым радиусом г. Если бы мы пренебрегли обратным влиянием давления двигающегося вещества на динамику системы и на ее гравитационное поле, то, при неизбежном падении всего вещества и выполнении в одной из точек г системы неравенства

г,(г) = 2М(г) > г, (20)

в этой точке, согласно решению Шварцшильда для гравитационного ноля в пустоте, образовался бы горизонт событий, т.е. скорость падающего вещества относительно поверхностей г = const достигла бы скорости света (см. далее). Достижение веществом скорости света вызывает изменение знака интервала и поэтому является инвариантным событием, не зависящим от выбора системы отсчета.

Удобнее оказывается решать задачу в сопутствующей системе отсчета. В этой системе задача была решена в работе [8] в частном случае

3На вещество действуют только силы гравитации я силы взаимодействия между пылинками — давление.

4В данном случае слово "пыль" вовсе не означает отсутствия взаимодействия между пылинками, исключая случай а — 0.

1.4

а = 0, см. далее. Вещество в выбранной системе отсчета покоится и о его движении можно судить лишь по изменению "окружных" или фо-тометричесгагс расстояний г, которые связаны с центром системы и определяются как длины окружностей вокруг центра: 2 nr. При таком определении радиуса г метрику удобно представить в виде:

ds2 = e4t2 - eÁdlf - r2(d92 + sin2 $dip2). (21)

Здесь R — координата пылинки в сопутствующей системе отсчета или ее индекс, е",ех,г — являются при этом функциями R и времени t. Следует отметить, что при нулевом давлении, т.е. когда а = .0, то V = 0 тоже, т.е. система отсчета Является одновременно и синхронной.

Для решения поставленной задачи выпишем уравнения Эйнштейна в сопутствующей системе отсчета:

' (г')2е-Л( 1 + rv'/r') - е~"(2гг + г2 - rrv) = 1 + 8тсагге (а)

2 U + fifi' - V - v'fi = 0 (Ь)

(А + 2/1In <0 = 0 (с) М

+ = о (d)

Здесь fi = 2 ín(r), штрих означает дифференцирование по R, а точка — по t. Уравнения 22(a-d) были найдены в работе [8].

Тогда из (22d) следует что: и — Irie -f /*(£)> при этом переобозначением времени t в элементе интервала (21) функцию /*(£) можно положить равной ln(et). где е» есть константа с размерностью плотности энергии, выражающая масштаб измерения е. Тогда:

^"ITS4^' (23)

Далее присвоим индексы R пылинкам таким образом, что в начальный момент г — R. При таких начальных условиях функции r'(R, t) соответствует величина (щ/тг)1/3, где п(Л, í) —концентрация частиц пыли, по — ее значение в начальный момент.

В итоге уравнения Эйнштейна удается преобразовать к виду, из которого видно местоположение горизонта в общем случае для произвольного момента времени. Как доказано в Приложении 1, горизонт видимости появляется в той точке и в тот момент, где скорость падающего вещества относительно поверхностей г — const достигает единицы, т.е.

там где V = 1. При этом скорость света относительно падающего вещества в этом месте тоже, как всегда, равна единице.

Выражение, определяющее смещение горизонта, имеет вид:

fhor = 2M(R) + 2am(R, tAor). (24)

Т.о. горизонт смещается в большую сторону по сравнению с его значением в вакууме гоЬог = 2M(R) на величину 2am{R,th„). При этом величина m(R, t) тлеет смысл массы, которая накопилась бьт, если бы мы состыковывали друг с другом слои пыли с начальным радиусом R и толщиной df (t) вплоть до радиуса r(R, t) в момент пролетания этого слоя df через точку состыковки.

По поводу возможных значений а отметим, что значение а = 0 соответствует пылевидной материи без взаимодействия между пылинками, при этом результаты получаются такими же, как для пробных частиц в центральном поле массы М. Но конечно же такое уравнение состояния вещества вблизи горизонта не может соответствовать действительности. Разумно полагать, что вблизи горизонта действует ультрарелятивистское уравнение состояния вещества при котором а = Поэтому, видимо, именно при таком а и нужно искать местоположение горизонта.

Казалось бы, что под воздействием градиента давления при а. ф О падающее вещество должно замедляться и поэтому горизонт должен образоваться позднее, т.е. сместиться в сторону меньших г, но, как мы только что показали, он смещается в сторону больших т на величину 2аm(R, rhor). В чем же причина этого противоречия ? Из исходных уравнений 22(a-d) видно, что причину следует искать в уравнении (22а). Для этого рассмотрим уравнения (22а) и (23) в начальный момент для случая а << 1. В этот момент г = 0, г' = 1, поэтому запишем:

(1 - 5(Л))(1 - 2ara'/s) - 2rf(e/et)2a и 1 + 8тгот2е

Или т.к. {е/е,)2а « 1 + 2aln(e/e*), S(R) = 2M{R)/Ry г = R, то, проведя несложные преобразования, получим в линейном по а приближении:

г =---¿—t- 1 - 2а\п[е е„)\--1--- 4тгaGrp, 25)

гг р rc¿

где p(R, г) e(R,r)/c2 — плотность вещества. Здесь, для наглядности, мы используем обычную (Гауссову) систему единиц с G ф 1 и

Dependences of V2(x) a« S--G.8. Dependences at t= const

Рис. 2; Распределение зависимостей квадрата скорости вещества от радиуса T(R,i) при R = ctmsl (слева) и £ = const (справа).

сф 1. Из (25) видно, что первый член отвечает обычной Ньютоновской силе тяготения, второй — силе взаимодействия между частицами — градиенту давления (именно эта сила на первом зтапе является причиной замедления скорости падения вещества), остальные члены не входят в уравнения движения в Ньютоновском приближении (поправками в квадратных скобках при этом тоже пренебрегают), но, как мы уже видели, последний член при высоких энергиях начинает доминировать по сравнению со вторым членом, поэтому и возникает эффект смещения горизонта в большую сторону. Т.о. противоречие снимается. Физически это соответствует "тяготению давления" в ОТО, которое при больших энергиях превосходит градиентные члены.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

Во первых, благодаря "тяготению давления", обнаружен эффект смещения горизонта в большую сторону по сравнению с его шварншильдов-ским значением — см. рисунок 2. Для этого мы численно, по разностной схеме, проинтегрировали уравнения для случая а ф 0. Подчеркнем, что

этот эффект чисто динамический и в статическом случае (когда все вещество упало) — отсутствует.

Во вторых, согласно результатам Приложения 2, эволюция всей системы при постоянном а полностью определяется профилем распределения плотности энергии в начальный момент, т.е., например, нормированным распределением плотности вещества и значением параметра S — удвоенным модулем ньютоновского гравитационного потенциала в произвольной точке этого распределения.

Если же необходимо описать эволюцию только одного сферического слоя вещества с индексом R, то она полиостью определяется тремя безразмерными параметрами в начальный момент на этом слое, и в этом смысле не зависит от начального распределения вещества системы под и над этим слоем. Но это вовсе не означает независимости сферических слоев в общем случае, т.к. именно эти три параметра, как следует из Приложения 2, и отвечают за взаимодействие слоев.

Вследствие этого интегрирование системы приводит к целому семейству самоподобных решений.

В третьих, согласно Приложению 2, при определенном выборе начальных параметров появляется локальный экстремум у кривой V(R) |tr сопЛ, что приводит при У = 1 к образованию второго горизонта видимости (см. рисунок 2) в системе — аналог второго горизонта в решении Рейснера-Нордстрема и Керра-Ныомана для электрически заряженной, вращающейся, статической черной дыры, интерпретацию этих решений см. например в [13].

Литература

[1] Ландау Л.Д., Phys. Zs. Sowjetunion, 1, 285, (1932).

[2] Baade W., Zwicky F., Proc. Nat. Acad. Sei. U.S., 20, 254, (1934).

[3] Гинзбург В.Л., Киржниц Д.А., ЖЭТФ, 47, 2006, (1964).

[4] Бекаревич И., Халатников И., ЖЭТФ, 40, 920, (1961).

[5] Андреев А.Ю., Киржниц Д.А., Юдин С.Н., Письма в ЖЭТФ., 61, 825, (1995).

J

С .

[6] Киржниц Д.А., Юдин С.Н., УФН, 165,11, (1995).

[7] Седракац Д.М., Шахабасян K.M., УФН, 161, 7, (1991).

[8] Oppenheimer J.R., Snyder Н., Phys. Rev. 56, 455, (1939).

[9] Friedmann А., УФН, 80, 439, 477, (1963).

[10] Oppenheimer J.R., Volkoff G.M., Phys.Rev., 55, 374 (1939).

[11] Kerr R., Phys.Rev,Lett., 11, 237, (1963).

[12] Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д., ЖЭТФ, 49, 11 (1965).

[13] Penrose R., Riv. Nuovo Cimento, Í, Numero Speciale, 252, (1969).

[14] Hess G.B., Phys.Rev., 161, 189, (1967).

[15] Hartl J.R., Sharp D.H., ApJ, 147, 317, (1967). '

Г"1 A I ТГтДГТЛЛГ/ГТТЖТТ TT Л ТТТпттт/пгт» Л A T/rN^tir/tFA ЛЛЛ^ТГТЛГТТГО' ГТ/-Ч «4-.Т» оттт.'П fill ^^.v/j /.I,, л. j jL-iifii i, i\ ri n r\ • • j i\|y(.ki iwk; v.uuwii^^nhiO iiu шш jjua.^

АН, 11, 31, (1998).

[17] Ruderman M., Astrophys. J., 203, 213, (1976).

[18] Baym G., Pines D., Ann. Phys. 66, 816, (1971).

[19] Киржниц Д.А., Шацкий A.A., Астрофизика (г. Ереван), 39, 3, 46 (1996),

[20] Baym G., Bethe H.A., Pethick C.J., Nucl. Phys., A175, 225-22 (1971).

[21] M.A. Подурец ДАН СССР, 154, 2, 300, (1964).

[22] Choptuik M.W., Phys.Rev., D 44, 3124-3135, (1991); gr-qc/9607034

[23] Шацкий A.A., Андреев А.Ю., ЖЭТФ, 116, 8. 116. (1999).

[24] Шацкий A.A., Тезисы международной конференции "Ломоносов -98", Издательство физического факультета МГУ (Москва), ст] 161, (1999).

Подписано в печать 15 февраля 2000 г. Заказ №15 . .Тираж75 экз. П.л1>5.

1 Отпечатано в РИИС ФИАН. Москва, В-333, Ленинский проспект, 53 .

Постановка задач.

Обзор литературы.

I Нерелятивистский случай.

1 Изучение движения сверхтекучей жидкости во вращающемся сосуде.

1.1 Пульсары.

1.2 Элементы теории сверхтекучести.

1.3 Вращение сверхтекучей жидкости.

1.4 Вихревая нить.

1.5 Система вихревых нитей.

1.6 Уязвимые места теории Бекаревича - Халатникова.

1.7 Постановка задачи.

1.8 Построение модели.

1.8.1 Учет граничных условий.

1.8.2 Запись функционала свободной энергии.

1.8.3 Преобразование функционала ^.

1.9 Расчет модели.

1.9.1 Расчет силы, действующей на вихрь в потоке сверхтекучей жидкости.

1.9.2 Расчет средней плотности и(г) вихревых нитей в сосуде.

1.9.3 Минимизация функционала свободной энергии по полному числу вихрей в сосуде.

1.10 Нахождение величины ирротационного слоя.

1.10.1 Минимизация свободной энергии для последней окружности с вихрями.

1.10.2 Нахождение величины а и сравнение ее с результатом теории Бекаревича - Халатникова.

1.10.3 Оценка погрешностей.

1.11 Выводы главы.

II Общерелятивистский случай.

2 Общерелятивистская деформация вихревой структуры пульсара.

2.1 Введение.

2.2 Анализ изменений в системе при замене обычной жидкости на квантовую, сверхтекучую ферми-жидкость.

2.2.1 Общие соотношения для сверхтекучего конденсата в ОТО.

2.2.2 Общерелятивистская теорема Бернулли.

2.3 Нахождение связи динамических характеристик сверхтекучей жидкости.

2.3.1 Принцип наименьшего действия для вращающейся СЖ в ОТО.

2.3.2 Нахождение зависимости между компонентами 4-градиента фазы сверхтекучего конденсата.

2.3.3 Общерелятивистская теорема о сохранении циркуляции.

2.4 Нахождение средней плотности и кривизны вихревых нитей в пульсаре с учетом поправок ОТО.

2.4.1 Переход во вращающуюся систему отсчета.

2.4.2 Нахождение ковариантного ротора скорости СЖ и плотности вихрей в системе.

2.5 Выяснение причин связи внутренней, сверхтекучей структуры пульсара с его твёрдой оболочкой.

2.5.1 Оценка сил сцепления вихрей с твёрдой корой (оболочкой) пульсара — пиннинга.

2.5.2 Оценка скорости квантового проскальзывания вихрей (крипа) — одновременное туннелиро-вание коров на место соседнего кора.

2.6 Нахождение зависимости напряжений деформации от поверхностных сил, действующих на кору пульсара.

2.6.1 Нерелятивистский случай.

2.6.2 Релятивистский случай.

3.2 Описание модели.74

3.3 Запись уравнений модели.76

3.4 Задание начальных условий.77

3.5 Вывод основного выражения.79

3.6 Предельный случай а = 0.80

3.7 Смещение горизонта в общем случае.80

3.8 Обсуждение вероятного уравнения состояния.81

3.9 Обоснование результата.81

3.10 Приложение 1 .82

3.11 Приложение 2 .86

3.12 Выводы главы.96

Выводы работы.96

Список литературы.99

Постановка задач

Данная работа представляет собой попытку изучить некоторые свойства вещества, находящегося в экстремальных условиях и описываемого, с одной стороны, теорией сверхтекучей жидкости, а, с другой стороны теорией гравитации Эйнштейна.

Интерес, который сопутствует подобным исследованиям, связан прежде всего с необычными свойствами материи в изучаемых условиях.

Речь идёт, конечно, об астрофизических объектах: пульсарах (нейтронных звёздах), коллапсирующих телах и чёрных дырах. Именно в их сердцевинах появляется возможность существования таких экзотических проявлений материи, как сверхтекучий нук-лонный конденсат, вихревые нити и горизонт событий.

Вопросов, которые возникают при этих исследованиях, еще достаточно много, но главная цель, которую поставил перед собой автор, заключается в том, чтобы выяснить — не дают ли оба направления физики (теория сверхтекучей жидкости и гравитация) принципиально нового эффекта, наподобие того, что был открыт с появлением решения Керра для уравнений Эйнштейна. Речь идёт об обобщении решения Шварцшильда на случай вращения чёрной дыры. После получения Керром своего решения, старое решение было не просто обобщено, а по-сути была доказана его вырожденность для случая отсутствия углового момента и электрического заряда. Общее же решение отличалось принципиально новыми особенностями — появлением второго горизонта (см. третью главу) и существованием поверхности эргосферы (см. обзор литературы) со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Что же конкретно может быть интересного в описании интересующих нас объектов на основе двух указанных выше теорий? Прежде всего то, что предсказываемые теорией Эйнштейна грави-магнитные эффекты до сих пор, к сожалению, не были обнаружены экспериментально, а возможным ключом к их обнаружению может быть влияние сил Лензе-Тирринга (гравимагнитных сил в постньютоновском приближении) на механизм сбоя периода пульсаров (см. вторую главу).

Кроме гравимагнитных эффектов несомненный интерес вызывают исследования в области динамики коллапса небесных тел с последующим образованием горизонта событий. Такие исследования стали проводиться сравнительно недавно и привлекли к себе внимание самоподобными типами решений (наподобие нелинейных решений гидродинамических уравнений с вязкостью). Кроме чисто теоретического и методического интереса данные исследования представляются важными еще и потому, что они связаны с изучением образования и эволюции ядер галактик на ранних стадиях (здесь уже необходимы модели с нетривиальным уравнением состояния вещества).

Таким образом любое обобщение задачи о нахождении решения для поля чёрной дыры, будь то учёт её вращения, электрического заряда или сил противодавления сжатию при коллапсе — приводит к появлению новых, но очень похожих эффектов о которых будет рассказано в третьей главе.

Для удобства читателя, нумерация рисунков и сносок начинаются заново в каждой главе. Кроме того, в каждой главе вводятся свои обозначения для физических величин.

Обзор литературы

В первой главе рассматриваются вопросы связанные с изучением сверхтекучести. Эти вопросы актуальны не только для сверхтекучих жидкостей (например #е4), но и в астрофизических приложениях. Как было предсказано еще Ландау в работе [1], а также Бааде и Цвикки в работе [2], в космосе могут существовать компактные объекты — нейтронные звезды, внутри которых должен находится конденсат нуклонов. Гинзбургом и Киржницем в работе [3] была оценена величина энергетической щели для такого конденсата и показано, что этот конденсат может быть сверхтекучим. Достаточно подробное описание и обзор этой темы были приведены вскоре после наблюдательного открытия пульсаров Манчестером и Тейлором в [4].

Однако автора данной работы в первую очередь интересует сверхтекучесть в пульсарах, поэтому описываемые далее исследования сверхтекучести начинаются с общих вопросов, поставленных Бека-ревичем и Халатниковым (далее БХ) в работе [5].

Во второй главе проводится общерелятивистское обобщение изученных ранее вопросов и делается попытка найти принципиально наблюдаемые поправки, связанные с общерелятивистскими эффектами.

Большую работу в плане "объединения" гравитации и теории конденсированного состояния сделали Д.А. Киржниц, А.Ю. Андреев и С.Н. Юдин в статьях: [6, 7, 8]. В своих работах, конечно, они ссылаются на более ранние исследования в этой области, но проблема самосогласованного описания движения сверхтекучей жидкости в гравимагнитном поле для малых скоростей была решена именно ими.

В этом русле автор пытается обобщить, полученные ими результаты на случай больших скоростей. В чём же здесь может быть проблема?

Как известно, линеаризованные уравнения Эйнштейна обнаруживают большое сходство с уравнениями Максвелла. В результате в линейном — постньютоновском приближении можно провести прямую аналогию типа: электрический заряд — масса, электрическое поле — гравитационное (гравиэлектрическое) поле, магнитное поле — гравимагнитное поле.

Используя такую аналогию 1 можно написать верные уравнения движения пробной частицы в постньютоновском приближении. Однако оказывается, что для малых скоростей при течении сверхтекучей жидкости результат решения уравнений Эйнштейна, полученный согласно этой замене, оказывается вовсе не таким тривиальным, как кажется. Дело в том, что общая теория относительности различает два типа скорости материальных частиц — ковариант-ную и контравариантную. И каждая из них имеет свой физический смысл. А именно — ковариантная компонента отвечает динамике системы, а контравариантная — кинематике системы. В ньютоновском приближении эти два понятия совпадают, а в теории Эйнштейна между ними есть разница. Поэтому при медленном вращении сосуда и отсутствии вихревых нитей, как показывает точное исследование, проведенное Киржницем, Андреевым и Юдиным [7], сверхтекучая жидкость покоится в динамическом и вращается в кинематическом смысле. Последнее отвечает увлечению самой системы отсчета гравимагнитным полем вращающегося сосуда.

Отсюда становится понятно, что общерелятивистское обобщение может внести совершенно неожиданные результаты в дополнение к нерелятивистской теории. В связи с этим автор пытается обобщить нерелятивистскую картину вихревой структуры пульсара, изученную, в частности, в работах Седракяна и Шахабасяна: [9, 10]. На вопрос — насколько это интересно для физики пульсаров, можно ответить следующее. Общерелятивистские эффекты деформации вихревой структуры пульсара, как показывают результаты второй главы, имеют поправки к взаимодействию между оболочкой и сердцевиной пульсара уже следующего порядока малости по отношению к поправкам от эффектов пиннинга и крипа, с помощью которых вышеназванные авторы объясняют часть наблюдательных данных от пульсаров. И поскольку наблюдаемые спектры от пульсаров отличаются хорошим разрешением, есть надеж

1с необходимой заменой знаков и констант да выделить отклик системы от взаимодействия вихревых нитей в пульсаре с гравимагнитным полем и сравнить его с наблюдаемыми характеристиками от пульсаров, таким образом проверив лишний раз теорию относительности. Кроме того, в связи с вышеуказанной проблемой, автором развивается формализм описания динамики и кинематики сверхтекучего конденсата в искривленном гравитацией пространстве-времени, который по причине своей уникальности имеет ещё и чисто методический интерес.

В конце главы делается попытка изучить эффекты разлома твёрдой оболочки пульсара, вызванные неоднородным распределением средней плотности вихревых нитей, и связанные с этим наблюдаемые сбои периода пульсара. Для этого приходится проанализировать вопрос о прочности внешних твердых оболочек нейтронных звезд, эта проблема довольно подробно изучалась, например, Шапиро и Тьюколски в [11], там же приведен достаточно полный обзор литературы по темам всех глав настоящей работы.

Как уже было сказано в разделе "Постановка задач", в третьей главе рассмотрены вопросы, касающиеся образования чёрных дыр. После открытия Шварцшильдом своего решения [12], этим вопросом занялись Оппенгеймер и Снайдер ещё в тридцатых годах [13]. Они исследовали коллапс пылевидного шара с уравнением состояния вещества Р = 0. Эта работа и сегодня является базовой в такого рода исследованиях. После этого появилась широко известная работа Фридмана о динамике Вселенной, равномерно заполненной веществом [14]. Удивляться параллелям с чёрными дырами не приходится, т.к. получаемые решения, как будет видно, оказываются подобными для чёрных дыр и для Вселенной. Объяснением этого может служить то обстоятельство, что общая теория относительности Эйнштейна должна описывать, как чёрные дыры, так и всю Вселенную в целом, а в случае центральной симметрии между этими объектами нет принципиальной разницы.

Вопросами общей возможности образования чёрных дыр всерьёз заинтересовались после работы Оппенгеймера и Волкова, в которой авторы исследовали устойчивость гравитирующего шара в общей теории относительности, состоящего из релятивистского вырожденного ферми-газа нейтронов (тяжёлой нейтронной звезды с уравнением состояния вырожденного релятивистского ферми-газа) [15]. Они доказали, что для такой системы существует критическая масса, выше которой система перестаёт быть устойчивой и коллапси-рует. Эта масса, как показывают их расчеты, оказывается порядка Солнечной. В более точной её оценке нет необходимости, поскольку до сих пор неясно какое вещество может находиться в центре нейтронной звезды — пионный конденсат, гипероны или что-либо другое, а так же неясно каким уравнением состояния оно описывается — смотри, например, работу Киржница [16].

Интенсивные исследования "чёрнодырных" решений начались после того, как были обнаружены малые отклонения от центральной симметрии, связанные с вращением чёрных дыр. Решение, найденное Керром, позволило судить о свойствах пространства-времени вблизи вращающейся чёрной дыры [17]. Поверхность эргосферы в Керровском решении внесла воистину революционную трактовку понятия относительности, предсказанную ещё Махом (смотри по этому вопросу, например, книгу [18]).

Дорошкевич, Зельдович и Новиков исследовали устойчивость Кер-ровского решения по отношению к малым возмущениям аксиальной симметрии [19]. Пенроуз доказал ряд общих теорем о горизонтах и сингулярностях, а также предсказал принципиальную возможность выкачивания энергии из вращающейся чёрной дыры [20, 21]. Хоукинг разработал термодинамику чёрных дыр и рассчитал температуру поверхности чёрной дыры [22, 23].

Сразу рядом физиков было замечено существование замкнутых времениподобных мировых линий под поверхностью эргосферы (но ещё вне горизонта) чёрных дыр, эти интересные особенности решения обсуждаются Картером в [24], Зельдовичем и Новиковым в одном из параграфов [25].

Часть I Нерелятивистский случай.

Выводы работы

В заключение подведем итоги.

В работе рассмотрены важные вопросы, связанные со строением и эволюцией нейтронных звезд (пульсаров) и черных дыр. Изучение этих объектов необходимо для понимания общей астрофизической картины эволюции сверхплотных звезд. Хотя исследования в этой области давно ведутся многими специалистами, автор изучал в диссертации те аспекты, которые ранее не затрагивались.

Подробно изучены вопросы распределения вихревой структуры пульсара в нерелятивистском случае без упрощения усреднением этого распределения. В результате доказана справедливость такого упрощения. Доказана справедливость этого результата в общерелятивистском случае.

Описаны эффекты искривления и увлечения вихревых нитей в пульсаре гравитационными (гравиэлектрическими) и гравимагнит-ными полями системы в общерелятивистском случае для сверхтекучей внутренности пульсара. Решен вопрос об увлечении внутренностей пульсара и локально-инерциальной системы отсчета самосогласованным полем массивного вращающегося объекта. Обобщены и доказаны теорема Бернулли и теорема о сохранении циркуляции в общерелятивистской гидродинамике для сверхтекучего конденсата.

В последней главе аналитически и численно исследована модель коллапса сферического тела в чёрную дыру. Найдены момент появления и местоположение образующихся горизонтов у чёрной дыры, исследована дальнейшая эволюция этих горизонтов. Исследован вопрос об ударных волнах в коллапсирующей системе и их влиянии на её эволюцию.

Результаты исследований опубликованы в работах [35, 44, 49, 53].

Автор выражает благодарность Г.Т. Зацепину, И.В. Ракоболь-ской, А.Ю. Андрееву, М.И. Панасюку, В.Л. Гинзбургу, Н.С. Кар-дашеву, всем участникам семинаров Отделения теоретической физики, Астрокосмического центра ФИАН и НИИЯФ за плодотворное обсуждение работы и высказанные важные замечания.

С глубокой признательностью обращается автор к памяти Д.А. Киржница, в обсуждении с которым были сформулированы идея и начальные подходы данной работы.

1. Ландау Л.Д., Phys. Zs. Sowjetunion, 1, 285, (1932).

2. Baade W., Zwicky F., Proc. Nat. Acad. Sei. U.S., 20, 254, (1934).

3. Гинзбург В.Л., Киржниц Д.А., ЖЭТФ, 47, 2006, (1964).

4. Манчестер Р.Н., Тейлор Дж.К., "Пульсары". М., Мир, (1980).

5. Бекаревич И., Халатников И., ЖЭТФ, 40, 920, (1961).

6. Андреев А.Ю., Киржниц Д.А., Юдин С.Н., Письма в ЖЭТФ., 61, 825, (1995).

7. Киржниц Д.А., Юдин С.Н., УФН, 165, 11, (1995).

8. Киржниц Д.А., Юдин С.Н., Письма в ЖЭТФ. 63, 33, (1995).

9. Седракян Д.М., Шахабасян K.M., УФН, 161, 7, (1991).

10. Седракян Д.М., Шахабасян K.M., Уч. Зап. ЕГУ (Ереван), 1, 46, (1980).

11. Шапиро С., Тьюколски С., "Черные дыры, нейтронные звезды и белые карлики" М. Мир, т. 1,2, (1985).

12. Schwarzschild К., Sitzber. Deut. Akad. Wiss. Berlin. Kl. Math-Phys. Tech.,424, 34, (1916).

13. Oppenheimer J.R., Snyder h., Phys. Rev. 56, 455, (1939).

14. Friedmann А., УФН, 80, 439, 477, (1963).

15. Oppenheimer J.R., Volkoff G.M., Phys.Rev., 55, 374 (1939).

16. Киржниц Д.А., "На стыке ядерной и твердотельной физики.", Издательство Московского университета, Москва, (1997).

17. Kerr R., Phys.Rev.Lett., 11, 237, (1963).

18. Вейнберг С., "Гравитация и космология", М., Мир, (1975).

19. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д., ЖЭТФ, 49, 170, (1965).

20. Пенроуз Р., "Структура пространства-времени", БИБФИЗ-МАТ, г. Могилев, (1972).

21. Penrose R., Riv. Nuovo Cimento, 1, Numero Speciale, 252, (1969).

22. Hawking S.W., Proc. Roy. Soc. A294, 511 (1966); A295, 490, (1966); A300, 187, (1967); A308, 433, (1967).

23. Hawking S.W., Penrose R., Proc. Roy. Soc., A314, 529, (1970).

24. Carter В., Phys.Rev. 174, 1559, (1968).

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., "Теория поля", М., Наука, (1988).

26. Fetter A.L., Phys. Rev., 151, 100, (1966).

27. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Теоретическая физика, т.9, "Статистическая физика", часть 2, М., Наука, (1988).

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, "Гидродинамика", М., Наука, (1988).

29. Hess G.B., Phys.Rev., 161, 189, (1967).

30. Onsager L., Nuovo Cimento Suppl., 6, 249, (1949); 6, 279, (1949).

31. Feynman R.P, "Progress in Low Temperature Physics", ed. by C.J.Gorter, (1955).

32. Hartl J.R., Sharp D.H., ApJ, 147, 317, (1967).

33. Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., "Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях". М., Атомиздат, (1980).

34. Боголюбов H.H., Ширков Д.В., "Квантовые поля", М., Мир, (1993).

35. Киржниц Д.А., Шацкий A.A., Краткие сообщения по физике ФИАН, 11, 31, (1998).

36. Feibelman F.С., Phys.Rev.Ser., D, 4, 1589, (1971).

37. Anderson P.W., Iton N., Nature London, 256, 25, (1975).

38. Краснов Ю.К., ЖЭТФ, 73, 348, (1977).

39. Ruderman М., Astrophys. J., 203, 213, (1976).

40. Anderson P.W., Alpar M.A., Pines D., Shaham J., Phil. Mag. Ser., A 45, 227, (1982).

41. Baym G., Pines D., Ann. Phys. 66, 816, (1971).

42. Фейнман Лейтон Сэндс, "Фейнмановские лекции по физике", т.7, "Физика сплошных сред", М., Мир, (1977).

43. Лундквист С., Марч М. (ред.), "Теория неоднородного электронного газа", М., Мир, (1987).

44. Киржниц Д.А., Шацкий A.A., "Об электризации, вызванной тяготением массивного тела", Астрофизика (г. Ереван), 39, 3, 467, (1996).

45. Gordon Baym, Hans A. Bethe, Christopher J. Pethick, Nuclear Physics, A 175, 225-227, (1971).

46. M.A. Подурец, ДАН СССР, 154, 2, 300, (1964).

47. Choptuik M.W., Phys.Rev., D44, 3124-3135, (1991); gr-qc/9607034.

48. Новиков И.Д., Фролов В.П., "Физика черных дыр", М., "Наука" (1986).

49. Шацкий A.A., Андреев А.Ю., ЖЭТФ, 116, 8, 353, (1999).

50. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., "Гравитация", М., Мир, (1977).

51. Wesson Paul S., J.Math.Phys., 19, 11, (1977).

52. Крамер Д. и др., "Точные решения уравнений Эйнштейна", М., Энергоиздат, (1982).

53. Шацкий A.A., Тезисы международной конференции "Ломоносов — 98", Издательство физического факультета МГУ (Москва), стр. 161, (1999).

54. Липунов В.М., "Астрофизика нейтронных звезд", М., Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 296 е., (1987).

55. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д., "Теория тяготения и эволюция звезд", М., Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 484 е., (1971).

56. Misner C.W., Sharp D.H., Phys.Rev., 136, 2B, 571, (1964).

57. May M.M., White R.H., Phys.Rev., 141, 4, 1232, (1965).1. РОС С ПИ С ri A 5v\