Исследование устойчивости и локальной ограниченности решений гамильтоновых систем с дополнительными силами в задачах динамики твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САККТ-ПЕТЕРБУРГСКИй ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БЕЛИКОВ Сергей Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ЛОКАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С-ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СИЛАМИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

ОГ.02.01 - ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1594

Puüara внполнена в Санкт-Петербургской государственное академии аэрокосмического приборостроения.

Официальные оппонент:

Доктор физико-математических наук, профессор

Доктор физико-математических наук, профессор

Доктор физико-математических наук, профессор

В еду пая организация -

Саратовский филиал института машиноведения им. A.A. Благонравова Российской Академии наук

Защита состоится 11 Й " С1ПП ¿A'/i I99^t г. в 14 час.

на заседании специализированного совета Д 063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургскрм государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., дом 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9.

Автореферат разослан "24 " ^с^'рАЛ^ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-матем. наук, профессор С.А. Зегжде

К,.В. Холщевников А..Г. Сокольский Л.П. Ияанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация посвящена разработке методов качественного исследования решений автономных гемильтоно-вых систем при наличии дополнительных сил: диссипативных и ускоряющих - и решению ряда задач о качественных свойствах движений гиростата с неподвижной точкой, гиростата на неподвижной горизонтальной плоскости, гироскопа и системы гироскопов в кардановом подвесе.

Задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой, твердого тела на неподвижной горизонтальной плоскости и гироскопа в кардановом подвесе являются фундаментальными проблемами теоретической механики. История первых двух задач насчитывает два с половиной века и берет свое начало в трудах Л. Эйлера (1734-1735, 1740, 1758, 1760,'1765), Ж.Л. Даламбера (1743, 1749), Ж.Л. Лагранжа (1773, 1788) и С.Д. Пуассона (1811). Эти задачи получили обобщение на случай гиростата в работах У. Томсона и П. Тэта (1879), Н.Е. Жуковского (1885, 1893), В. Вольтерра (1889), Д.К. Бобылева (1892) и С.А. Чаплыгина (1897). Третья задача возникла в двадцатом веке, ее систематическое изучение предпринял Л.Н. Николаи (1939, 1944, 1948).

Указанные фундаментальные проблемы теоретической механики, их возникновение и развитие тесно взаимосвязаны, обусловлены техническими потребностями и способствуют, в свою очередь, развитию различных технических направлений. Прогресс космической науки и техники делает целесообразным исследование движений твердого тела и систем твердых тел в центральном ньютоновском ноле сил тяготения. Потребности приложений в гироскопической технике, предназначенной для стабилизации и навигации подвижных объектов, делают актуальным исследование движений гиростата, гироскопа в кардановом подвесе и других гироскопических приборов.

Стационарные движения механических систем, в частности, абсолютно твердого тела, гиростата, гироскопа в кардановом подвесе, определяются постоянством позиционных координат и циклических скоростей и являются основными рабочими режимами

технических устройств в процессе их эксплуатации. В связи с этим качественное исследование решений систем дифференциальных уравнений механики в окрестностях решений, соответствующих стационарным движениям, представляет собой важнейшее направление в динамике. Изучение устойчивости по Ляпунову стационарных движений механических систем лежит, по-видимому, в основе такого качественного исследования, однако, не исчерпывает его содержания.

В случае неустойчивости по Ляпунову невозмущенного движения вопрос о поведении решений уравнений возмущенных движений остается открытым. Важно знать, будут подвижные точки на интегральных кривых, начинающихся в малой окрестности кривой, соответствующей невозмущешюму движению, с возрастанием времени неограниченно удаляться от этой кривой или оставаться в ее некоторой окрестности, В связи с указанным обстоятельством является актуальной дальнейшая разработка методов качественного исследования решений уравнений возмущенных движеьий и использование получаемых теоретических результатов при изучении прикладных задач.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Разработка аппарата вспомогательных функций типа Ляпунова для исследования локальной ограниченности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений и нахождение достаточных условий локальной равномерной ограниченности решений автономных гамильтоновых систем с двумя и тремч степенями свободы при наличии дополнительных сил: диссипативных и ускоряющих. Решение задач об устойчивости равномерных вращений гиростата с неподвижной точкой, гиростата на абсолютно гладкоп горизонтальной плоскости и плоскости с вязким трением, совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе. Исследование задач о локальной равномерной ограниченности возмущенных движений совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе и системы двух гироскопов в кардановом подвесе с сбщей рамой при наличии диссипативных и ускоряющих сил.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В теоретической части диссертации основными являются метод нормальных форм и метод вспомогательных функций типа Ляпунова. Приведение автономных систем уравнений возмущенных движений к нормальным формам и построение соответствующих нормализующих преобразований осуществлено с использованием метода Депри - Хори - Кэмела в модификации, анмо-

— 5 —

гичной модификации Мерсмана.

При исследовании устойчивости равномерных вращений конкретных систем твердых тел в работе использованы перечисляемые ниже классические и современные методы и результаты теории устойчивости. Критерий Сильвестра и теорема Э.Дж. Рауса с дополнением A.M. Ляпунова, теоремы У. Томсона, П. Тета, Н.Г. Четаеве. Критерий Э.Лж. Рауса - А. Гурвица, критерий А. Льенара - Шилара и теоремы A.M. Ляпунова об устойчивости по первому приближении, а также теорема A.M. Ляпунова - И.Г. Малкина об устойчивости движения в особенном случае критического случая нескольких нулевых корней характеристического уравнения. Методы и результаты В.И. Арнольда, С. Мозера, А.П. Маркеева, А.Г. Сокольского, A.M. Ковалева и А.Н. Чудненко в задаче об устойчивости равновесия гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Исследование локальной равномерной ограниченности возмущенных движений конкретных механических систем осуществлено в диссертации с использованием теоретических разработок автора.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТУ ДИССЕРТАЦИИ.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Впервые получены достаточные условия локальной ограниченности решений уравнений возмущенных движений и строго разработана методика исследования локальной ограниченности возмущенных движений конкретных механических систем. Решен ряд конкретных задач теоретической механики о качественных свойствах движений систем твердых тел.

Автор выносит на защиту следующие основные результаты.

1. Детальное исследование устойчивости равномерных вращений гиростата с неподвижной точкой вокруг главной оси в центральном ньютоновском поле сил и устойчивости равномерных вращений гиростата вокруг главной оси на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости и на горизонтальной плоскости с вязкин трением..

2. Разработку аппарата вспомогательных функций типа Ляпунова для исследования локальной ограниченности решений неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида относительно множества.

3. Получение достаточных условий локальной равномерной ограниченности решений автономных гамильтоновых систем уравнений розмущенных движений с двумя и тремя степенями свободы при наличии диссипативных и ускоряющих сил относительно равновесия.

Найденные условия обеспечивает локальную равномерную ограниченность решений систем независимо от форм выше третьего порядка в уравнениях возмущенных движений.

к. Детальное исследование устойчивости равномерных вращений совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе в предположении, что ось вращения рамы закреплена на неподвижном основании перпендикулярно вертикали.

5. Исследование локальной, равномерной ограниченности возмущенных движений совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе с диссипативными и ускорявшими силами в осях вращения колец.

6. Исследование локальной равномерной ограниченности возмущенных движений совершенной системы двух гироскопов в кардановом подвесе с общей рамой при наличии диссипативных и ускоряющих сил в осях вращения колец.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные общетеоретические результаты и разработанная методика аналитического и численного выражения коэффициентов нелинейных нормальных форм и других вспомогательных величин через коэффициенты исходных систем могут применяться в решении ряда задач теоретической механики. Сюда относится исследование локальной ограниченности возмущенных движений механических систем с потенциальными, гироскопическими, диссипативными и ускоряющими силами, приведенные системы которых имеют две или три степени свободы.

Гиростат, пироскоп в кардановом подвесе и система гироскопов в кардановом подвесе являются составными элементами в конструкциях гироскопических приборов и других современных механических объектов.'Полуденные'в диссертаций результаты об устойчивости равномерных 'врадёний'и 'локальной ограниченности возмущенных движений сйСтек тв^рдУк тел представляют самостоятельный теоретический интерес и" ногут быть'использованы в прикладной теории гироскопов,' в гироскопической технике при конструировании и эксплуатации приборов, в приложениях к космонавтике.

С .I''....... ■ >•■ *

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах профессора B.C. Новоселова на кафедре механики'управляемого движения факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ, на семинаре профессора А.Г. Сокольского в институте теоретической астрономии РАН, на семи-

нарах профессора К.В. Холшевникова на кафедре небесной механики математико-механического факультета СПбГУ, на семинаре профессора П.Е. Товстика на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ. Отдельные результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Ньютон и проблемы механики твердых и деформируемых тел" (С.Петербург, 22 - 27 марта 1993) [27] , на 1У Четаевской Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 20-22 декабря 1982) [7 , 8] , на У Всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 22 - 24 сентября 1987) [14] , на У11 Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 3-7 апреля 1989) [17] , на 11 республиканском совещании по проблемам динамики твердого тела (Донецк, 1-2 ноября 1984) [9] , на республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 4-6 сентября 1990) [18] , в университетской школе при МГУ "Методы исследования стационарных движений механических систем" (Колюбакино, 5-16 марта 1979) [з] , на семинаре члена-корреспондента АН Украины П.В.-Харламова в институте прикладной математики и механики АН Украины, на научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ и государственной академии азрокосмического приборостроения (СПбГААП), на семинаре профессора В.Б. Матвеева на кафедре высшей математики СПбГААП.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 30 ] .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. Главы содержат введения по соответствующим темам и состоят из параграфов, параграфы разбиты на пункты. Основной текст диссертации изложен на 300 страницах машинописного текста и включает 7 рисунков. Добавлено 8 страниц оглавления, II страниц рисунков (19 штук), 45 страниц списка литературы. Общее количество рисунков - 26, список библиографических ссылок содержит 439 наименований. Полный объем диссертационной работы - 365 страниц машинописного текста.

(»ДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации. Дан краткий исторический обзор исследования трех вышеупомянутых фундаментальных проблем теоретической механики. Перечислены рассмотренные в работе модели систем твердых тел с действующими на них силами. Указаны классические и современные методы исследования и результаты в теории устойчивости, а также теоретические разработки автора, используемые в диссертации для решения задач о качественных свойствах движений соответствующих систем твердых тел. Кратко изложено содержание диссертации и ее результаты.

В главе I исследована устойчивость равномерных вращений гиростата р неподвижной точкой вокруг главной оси (§ I) и перманентных вращений твердого тела с неподвижной точкой вокруг неглавных осей (§ 2) в центральном ньютоновском поле сил.

Во введении к главе I приведено общее определение гиростата, данное П.В. Харламовым (ДАН УССР. Сер. А. 1966. № 9), и выбрана модель гиростата, рассматриваемая в диссертационной работе. Кратко охарактеризованы стационарные движения твердого тела и гиростата с неподвижной точкой. С целью наглядности обзора результатов выделены аспекты, отражающие содержание конкретной задачи об устойчивости вращений тела с неподвижной точкой и позволяющие оценить ее специфику по отношению к другим омежным задачам. Приведены обзор результатов и состояние вопроса о существовании и устойчивости перманентных вращений абсолютно твердого тела и гиростата с одной неподвижной точкой. Перечислены методы и теоретические результаты, использованные при ревении обсуждаемых в обзоре задач. С учетом упомянутых аспектов дана краткая характеристика работ автора, посвященных изучению устойчивости перманентных вращений твердого тела и гиростата в центральном ньютоновоком поле сил.

В § I, п. 1° получена функция Гамильтона, задающая канонические уравнения движения гиростата с неподвижной точкой и вектором гиростатичеркого момента, направленным по одной из главных осей инерции, в центральном ньютоновском поле сил при приближенном рассмотрении этого поля. В п. 2° дана постановка за-

дачи об устойчивости равномерных вращений гиростата вокруг главной оси, содержащей вектор гиростатического момента, при условии, что центр масс гиростата лежит на этой оси. Ocfc вращения гиростата совпадает с "вертикалью", т.е. проходит через центр тяготения и неподвижную точку. В п. 3° найдено разложение гамильтониана приведенной системы с двумя степенями свободы в безразмерных величинах в окрестности положения равновесия, соответствующего равномерным вращениям, с точность» до членов четвертого порядка включительно относительно возмущений переменных. Необходимые условия устойчивости вращений, условия знакоопределенности и знакопеременности гамильтониана выписаны в п. Знакоопределенность функции Гамильтона согласно теореме Э.Дж. Рауса с дополнением A.M. Ляпунова обеспечивает устойчивость равномерных вращений гиростата. В п. 5° в случаях, когда гамильтониан не является знакоопределенным, произведены его линейная нормализация и нелинейная нормализация. Рассмотрены нерезонансная ситуация и резонансы четвертого, второго и первого порядков (резонанс третьего порядка несущественен). Рассмотрение резонанса первого порядка потребовало отдельного анализа случаев обращения в нуль первого или второго коэффициентов устойчивости Пуанкаре. Получены окончательные выражения коэффициентов нелинейных нормальных форм функции Гамильтона через исходные безразмерные конструктивные параметры гиростата. С использованием результатов В.И. Арнольда, Ю. Мозера, А.П. Марке-ева, А.Г. Сокольского, A.M. Ковалева и А.Н. Чудненко выписаны достаточные условия устойчивости и неустойчивости равномерных Ерап:ений гиростата в виде ограничений на коэффициенты нормальных Зорм гамильтониана. С учетом найденных выражений коэффициентов нормальных форм условия устойчивости и неустойчивости вращений получены кик ограничения на исходные параметры. Для наглядной интерпретации полученных условий как ограничений на параметры в п. 6° рассмотрены два частных случая. В первом случае вранение ротора относительно корпуса отсутствует и гиростат можно считать абсолютно твердым телом, это тело равномерно вращается вокруг главной оси, совпадающей с "вертикалью". Во втором случае корпус находится в равновесии (неподвижен), а главная • ось miepuiii; гиростата, вокруг которой равномерно вращается ротор, согпрдьет с "вертикалью". При фиксированных значениях всех парьметров, кроме двух, построены резонансные кривые. Сисполь-

эованием ПЭВМ исследована устойчивость в плоской области необходимых условий устойчивости и на ее границе.

В § 2, п. 1° приведена постановка задачи об устойчивости перманентных вракений абсолютно твердого тела вокруг неглавных осей, расположенных в плоскости, содержащей две главные оси инерции, при условии, что центр масс тела лежит в этой плоскости. В П. 2° найдено разложение гамильтониана приведенной системы в окрестности соответствующего положения равновесия, в п. 3° выписаны необходимые условия устойчивости. В п. Ц° рассмотрен, в частности, случай динамически симметричного тела, центр масс которого не лежит на оси симметрии. Перманентные оси в теле расположены в плоскости, содержащей ось динамической симметрии и центр масс. Получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости перманентных вращений тела. В п. 5° дополнительно предполагается, что центр масс тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки. Дана геометрическая интерпретация полученных условий как ограничений на безразмерные конструктивные параметры тела.

В главе II исследована устойчивость равномерных вращений гиростата вокруг вертикальной главной оси на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости (§ I) и на плоскости с вязким трением (§ 3), изучена устойчивость равновесия гиростата с ротором, вращающимся вокруг горизонтальной главной оси, на абсолютно гладкой плоскости (§ 2).

Во введении к главе II кратко охарактеризованы три случая взаимодействия тела с плоскостью и стационарные движения твердого тела и гиростата на неподвижной горизонтальной плоскости. Выделены аспекты, отражающие содержание конкретной задачи об устойчивости вращений тела на горизонтальной плоскости в однородном поле сил тяжести. Отмечены специфические свойства перманентных вращений тела вокруг вертикали в каждом из трех случаев, взаимодействия тела с плоскостью. Приведен обзор результатов о суиествовании и устойчивости перманентных врапений и регулярных прецессий абсолютно твердого тела и гиростата на горизонтальной плоскости. Дан анализ работ автора об устойчивости вращений гиростата на плоскости, позволяющий оценить специфику наученных задач.

В § I, п. 1° получена функция Гамильтона, задавшая канонические уравнения движения гиростата на неподвижной абсолютно

гладкой горизонтальной плоскости в однородном поле сил тяжести в предположении, что постоянный вектор гиростатического момента направлен по одной из главных центральных ооей инерции. В п. 2° дана постановка задачи об устойчйвости равномерных вращений гиростата вокруг вертикальной главной центральной оси, вокруг которой вращается и ротор. Разложение гамильтониана приведенной системы с двумя степенями свободы в окрестности соответствующего положения равновесия выписано в п. 3° и окончательно - в п. 4°. Необходимые условия устойчивости вращений гиростата, условия знакоопределенности и знакопеременности гамильтониана приведены в п. 5°. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости вращений гиростата вокруг вертикали на абсолютно гладкой плоскости получены в п. 6° в окончательном виде как ограничения на исходные безразмерные конструктивные параметры гиростата. С целью наглядной интерпретации в п. 7° рассмотрены два частных случая, характеризуемые аналогично принятым в главе I, § I, п. 6°. С использованием ПЭВМ исследована устойчивость в плоской области необходимых условий устойчивости и на ее границе.

В.В. Румянцев (Изв. АН СССР. MÎT. 1980. » 4) указал, что в случае, когда на стационарных движениях гиростата на гладкой плоскости вектор гиростатического момента неколлинеарен вертикали, вращение корпуса вокруг вертикали отсутствует. В § 2, п.

1° описана постановка задачи об устойчивости равновесия корпуса с равномерным вращением ротора вокруг горизонтальной главной центральной оси инерции гиростата. В п. 2° найдено разложение гамильтониана приведенной системы. В п. 3°.приведены необходимые условия устойчивости и отмечается, что вопрос об устойчивости остается открытым лииь на границе'области необходимых условий. С использованием результатов А.Г. Сокольского и А.Н. Чудненко в п. 3° получены на упомянутой границе достаточные условия устойчивости и1неустойчивости и в п. дана их геометрическая интерпретация.

В § 3, п. 1° в качестве переменных, описывающих движение гиростата, выбраны координаты X , Y центра масс в неподвижной системе, угли Эйлера у , $ , й -соответствующие им обобщенные импульсы рх , ру , рy > Ро • Pf ' уРавнения движения гиростата

на неподвижной горизонтальной плоскости с вязким трением в однородном поле сил тяжести имепт вид

3H"Ff, f- Щ. со

Здесь Q - ( px , pY , py, pe , pf )T, % - ( X ,Y , Y >

0 , f )T• H " H <£ » - функция Гамильтона, полученная в § I, п. 1°, Jf* ■ f ( - матрица диссипативной Функции Релея, выписанная в работе. Функция f-( не содержит переменных X , Y , Y* » «атрица f не зависит от координат X .

Y • Для исключения из р переменной у вместо координат

X » Y введены квазикоординаты р , б' при помощи соотноае-ний

Рр e px Sinf-pyCOsy, pff = pxcosf 1-руЫпу,

так что рр • Ptf - обобщенные квазиимпульсы, соответствующие квазикоординатам , в" . Уравнения движения (I) в новых переменных приобретают вид

. ЭН с JH .„ зн • зн

Здесь £ - ( рр , рб«, ру, ре» , ру ) , <1 - ( f , & ,у,

0 . f )т. Г - < Per . - />я, о , о , о )г, и - Н С £.

<$. ) - Функция Гамильтона, ^ - f ( ) - Матрица диссипативной функции Релея, преобразованные к новым переменным. Система дифференциальных уравнений механики (2) есть система десятого порядха с тремя циклическими переменными р , & , у , в которой выделяется подсистема седьмого порядка, названная приведенной. В П. 2° поставлена задача об устойчивости врашения гиростата вокруг вертикальной главной оси, содержащей центр маос и вектор гиростатического момента. В п. 3° выписаны уравнения возмущенных движений приведенной системы в безразмерных величинах в окрестности соответствувдего положения равновесия. В п. найдены окончательные выражения коэффициентов характеристического многочлена седьмой степени, имеющего по крайней мере один нулевой корень, черей безразмерные конструктивные параметры гиростата. С использованием критерия А. Льенара - Шипа-ра и теоремы А.И. Ляпунова - И.Г. Малкина получены необходимые

и достаточные условия устойчивости вращений гиростата. С привлечением ПЭВМ в п. 5° дана наглядная интерпретация условий как ограничений на безразмерные конструктивные параметры. Полученные в § I и § 3 условия устойчивости равномерных вращений гиростата вокруг вертикали на неподвижной горизонтальной плоскости и их наглядная интерпретация с использованием ПЭВМ позволили рассмотреть вопрос о влиянии силы вязкого трения со стороны плоскости на устойчивость вращений гиростата (п. 6°). В результате сделаны нетривиальные выводы, отличные от вытекающих из теорем У. Томсона, П. Тета, Н.Г. Четаева, и дано объяснение отсутствию противоречия.

Главы III и 1У составляют теоретическую часть диссертации.

В главе III изучается более широкое качественное понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чем понятие устойчивости по Ляпунову, а именно, понятие локальной ограниченности решений системы относительно множества.

Во введении к главе III приведена библиографическая справка, касающаяся понятия локальной ограниченности решений системы, и кратко обоснована целесообразность изучения этого свойства решений. Отмечено, что качественные понятия локальной ограниченности близки по смыслу к пониманию устойчивости, высказанному А. Пуанкаре.

Рассмотрена неавтономная система обыкновенных дифференци^ альных уравнений

ox'-J^,*), J: R*. (з)

р\ И-

Здесь К - вещественное у\, - мерное евклидово пространство, | == ( оL , СО ) для некоторого oi&R^ или об = - СО . Пред^-

полагается, что для любой точки (i>Q , ОС о ) 6 2 * R*^ существует единственное решение X (i ; to • ^ О ) системы (3), удовлетворяющее условию X (i0 ; ~Ь о » X о ) = х 0 > 0 максимальным правим полуинтервалом определения JT+ ( -¿, о , Э&о Рассмотрено

некоторое множество NoclxR • такое, что при любом tel его сечение /V0 ( £ ) - непустое замкнутое множество в ^ . Пусть ,Л,"П лг-бо& Функции Ж ( ~Ь ), непрерывной на J , функцио-

— Il —

над p ( ОФ- (-£ ), No ( ~f> )) непрерывен на I . где p -евклидово расстояние, тогда множество No называется непрерывно изменяющимся во времени. Введены обозначения

J^Iq ( £ - сечение множества /У^ при любом i> £ I ,

Т0 =(tt0el), I - (3 8-> о), -(Ух^мШ. е - 06>

В п. 1° рассмотрен класс локальной ограниченности решений системы (3) относительно непустого замкнутого непрерывно изменяющегося во времени множества No . При выбранной системе текущих оценочных множеств f N^ 1 P > 0} отот класс содержит

пять следующих качественных понятий:

ДО^ в Тосб2овТХ+ - локальная ограниченность решений системы (3) относительно множества No •

Л02 » fltT0 £(?еТХ+ ~ локальная ограниченность с равномерной начальной оценкой;

Л0« Е TodeEoTX

+ - локальная эквиограниченность;

AOs а dsTaQ SoTX+ ~ локальная эквиограниченность с равномерной начальной оценкой;

AOç s ¿S Т0 - локальная равномерная ограниченность. Если Nq" I * Mo » Мос^> содержательным становится еще одно качественное понятие d & Тр Т Х+ -

локальная равномерная по ограниченность. Указана упорядоченность по импликации понятий Л 0« ( К " I ,.... 6 ) и их связь С понятиями устойчивости и ограниченности. Дано определение неограниченности решений системы (3) относительно множества Иq :

1 ÂOi - (3Vr)(V^£>)(3x0e No(tof)etz>o)

(HgJ-+(lo,K0)) N0(i)*.

В п. 2° введены определения ряда свойств вспомогательной функции V типа Ляпунова. Определены свойства типа псевдоограниченности сверху относительно множества /Vо и.бесконечно большого низшего предела относительно biq на границе области Q г? з Nq , введено свойство - невозрастание функции Ü" на решениях системы (3) вне замкнутого множества К » ограниченного относительно f\J0 и удовлетворяющего включениям NqQ К с С •

Сформулированы и доказаны теоремы о свойствах вспомогательных функций, обеспечивающих локальную ограниченность ЛОц ( К *

= I б ) решений системы (3) относительно множества blo •

В п. 3° найденные достаточные условия представлены в другой форме. В п. 2° и 3° приведены примеры использования теорем в изучении локальной ограниченности решений конкретных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В п. Л° получены достаточные условия неограниченности "J AOj решений системы (3)

относительно множества N о •

Глава IУ посвящена исследованию локальной равномерной ограниченности решений автономных гамильтоновнх систем с двумя (§ I) и тремя (§2 ) степенями свободы при наличии диссипатив-ных и ускоряющих сил.

Во введении к главе IУ кратко затронуты вопросы, связанные с содержанием рассматриваемых в §§ I и 2 задач и методами исследования: предположения о свойствах собственных чисел, понятие малого параметра, нормализация,'построение вспомогательной функции заданной структуры. Отмечается, что существенно использован аппарат функций типа Ляпунова, разработанный в главе III. Указано, что понятие локальной равномерной ограниченности решений автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно начала координат в предположении, что собственные числа системы имеют малые по, модул» вещественные части, близко по смыслу к понятию устойчивости невозмущенного движения по Каменкову и к пониманию обратимого поведения динамической системы вблизи границы области устойчивости, высказанному H.H. Баутиным. Приведены обзор результатов и перечень работ по следующим вопросам: построение вспомогательной функции заданной

структуры, исследование устойчивости невозмущенного движения в случаях, близких к критическим, изучение поведения динамических систем вблизи границы области устойчивости.

По изложении содержания §§ I и 2 имеют структурное сходство, поэтому во избежание повторений здесь обратимся лишь к анализу содержания § 2.

Рассмотрена автономная гамильтонова система с тремя степенями свободы при наличии диссиаативных и ускоряющих сил. Уравнения движения представлены в- виде (I) системы уравнений Гамильтона с ненулевыми дополнительными слагаемыми, соответствующими диссипативкым и ускоряющим силам. Теперь в (I) обозначено |р » ( р.) , р^ , )Т - обобщенные импульсы, ^ " С • ^2» <ЫТ ~ обобщенные координаты, Н " Н (|Р » ) -функция Гамильтона, ¡р = ¡р ( ) - матрица функции Релея.

Предполагается, что начало координат является положением равновесия системы (I), а функция Н и элементы матрицы есть аналитические функции своих переменных, разлагающиеся в степенные ряды.

Б п. 1° ставится задача о локальной равномерной ограниченности решений автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений возмущенных движений (I) относительно начала координат. Поставленная задача решается в дополнительных предположениях о свойствах корней характеристического уравнения, приведенных в п. 2°. Считается, что определяющее уравнение системы (I) имеет лишь пары комплексно-сопряженных корней. Дано строгое математическое определение понятия малого параметра, снабженное конкретизацией, характерной для изучаемой задачи о лекальной ограниченности. Малым параметром названа максимальная из абсолютных величин вещественных частей собственных чисел, если она имеет оценку сверху заданного вида. С учетом понятия палого параметра предполагается, что все собственные числа системы (I) имеют малые по модулю вещественные части и резонансные расстройки первого - четвертого порядков между мнимыми частями не являются малыми по абсолютной величине. В п. 3° уравнения возмущенных движений записаны в обшей форме. Б результате нормализующего преобразования нелинейных членов уравнений возмущенных движений, построенного в п. с использованием метода Депри - Хори - Кэмела, исходная система приведена к непре-

равной по параметру fl? в точке jH- * О нормальной форме о точностью до членов третьего порядка включительно. С привлечением аналитических выкладок работы fisj получены выражения коэффициентов fto.WO • flr>,010 • С tn- - I , 2 , 3 ) нелинейной нормальной формы через элементы матрицы линейного нормализующего преобразования и обратной матрицы, вещественные и мнимые части собственных чисел и коэф£ициенты исходной системы.

В п. 5° выбрана вспомогательная функция 1Г ■ 1/2 Г ,

структура которой предложена Г.В. Каменковым*. Осуществлено построение Функции И? , Детальное исследование, содержащее множество различных вариантов, по выбору величины Ы проведено в п. 6° с учетом работы автора [l5j ; В п. 7° построена облаоть, в которой отрицательна производная "С* в силу нормальной формы (в главе III эта область обозначена через G\ К )• В п. 8° сформулирована и доказана теорема, дающая достаточные условия локальной равномерной ограниченности реиений исходной системы (I) относительно начала координат независимо от членов выше третьего порядка. Перейдем к формулировке основного результата.

Определим следующие величины:

3 3

Здесь символ ( nv) означает набор индексов, среди которых единица, занимающая позицию под номером , и два нуля. Величины и получаются из циклической перестановкой первых индексов. Пара (i ) - любая из набора (1,2) , (2,3) , (3,1). Величины Д^ и A3 определяется по Aj циклической перестановкой последних индексов..

Введем в рассмотрение три случая. I. Среди величин Л пи есть перемена знака. И. Среди Арр нет перемены знака, а среди величин есть перемена знах'а. III. Указанных выше пе-

* Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем.

Избр. тр. Т. 2. М.: Наука. 1972. 216 с.

О Э

реыен внаков нет. Подслучаи: Ша Г - 4 Д <; 0 ; Шв Г -- 4 Д 0 .

Рассмотрим две группы условий.

Условия А. Пусть в одучае I среди элементов каждой из пар

< Í2tQQV i5,010^ . С fs,10O . f 1,001 ) . ( f 1,010 • 3

един или оба неположительны. Тогда выполнены неравенства

fz,m < о, f¿,ooi * о # (О

Если oda элемента первой (второй, третьей) пары положительны,

к условиям (Ч) добавляется fitooi > +2.001 Í>5,oio

(соответственно fij001 f1f100 > f¿,ioO fl,001, fi,ioo f¿,0i0 >

> it.iOQ ) • P случаях II, Illa к условиям случая I

Ъ

добавляется т Л < О , где номер ^ - любой

М=1 ' из набора 1,2,3.

Условия в. Пусть в случае 1Пв среди элементов каждой из

пар

( f¿,001* f 3,010 ~ 2 f¿t0io ' i'2,001+ f 5,010 - 2 у3,001 > » с f3,100* f1,001 - 2 f^oot » f 3,100+ f 1,001 - 2 i 1,100 ) •

( f 1,010 * f2,100 ~ 2 f 1,100 . f 1,010 + - 2 f2,0-10 )

один иди оба неположительны. Тогда выполнены неравенства (¿t). Если оба элемента первой (второй, третьей) пары положительны,

к условиям (4) добавляется 4 f¿t0i0fit(K4> ( ^2,001 + fs.oio • (соответственно 1 f ¡^01 f 1,100 > С f3,-í<?0 * ) •

f 1,100 p.010 > ( f1,010 + f¿, 100 ) 2 ) •

Теорема. Пусть характеристическое уравнение системы (I) имеет три пары комплексно-сопряженных корней. Предположим, что все собственные числа имеют малые по модулю вещественные части н резонансные расстройки первого - четвертого порядков между мнимыми частями не являются малыми по абсолютной величине. До-

пустим, что коэффициенты ftn.,100 » fm,,OlO , ftn,001 С в I ,

2,3) непрерывной нормальной формы системы (I) удовлетворяют условиям А или В. Считаем, что в случаях I, II, Illa выполнены ограничения, обеспечивающие осуществимость метода разбиения вспомогательного неравенства на два [l5j . Тогда репения системы (I) локально равномерно ограничены относительно начала координат рп = ||н 3 0 ( «i, ■ I , 2 , 3) независимо от членов выше третьего порядка в уравнениях возмущенных движений.

Условия теоремы содержат ограничения на коэффициенту пел:; -нейной нормальной форма. Учет найденных в п. h° выражений коэффициентов fm>i00. fm,,0í0> f>*,0C>1<.n> <=1.2,3) нормальной формы позволяет расценивать эти уоловия как ограничения на коэффициенты исходной системы (I).

Проведенное в главе 1У исследование локальной равномерноЯ ограниченности реиений автономных гамильтонових систем с двумя и тремя степенями свободы при наличии дисеипативных и ускорявших сил ориентировано на решение конкретных задач теоретической механики. На основе полученных в главе 1У общетеоретических результатов решены в главах У - Щ прикладные задачи динамики гироскопа в кардановом подвесе.

Глава У (глава П) посвящена исследованию устойчивости [§ IJ равномерных гранений соверяенного (несовершенного) гироскопа в кардановом подвесе вокруг вертикали (вокруг фиксированной в пространстве оси) и изучению локальной равномерной ограниченности [ § 2 ] возмущенных движений совершенного (несо-верпенного) гироскопа в кардановом подвесе с дисеипативными и ускоряющими силами в осях вращения колец подвеса.

Во введении к главе 1 приведено определение обобщенного гироскопа в кардановом подвесе, основанное на понятии составного пространственного маятника, предложенное П.В. Харламовым (МТТ. Киев: Наук, думка. 1972. Вып. 4). Рассмотрено понятие совершенного гироскопа в кардановом подвесе. Обсуждаются предположения о характере моментов сил, действующих на осях вращения колец и ротора, и способы закрепления оси вращения наружного кольца на неподвижном основании. Кратко описаны стационарные движения гироскопа для каждого способа закрепления оси рамы. С учетом выделенных аспектов, характеризующих содержание конк-

ретной задачи, приведен обзор результатов об устойчивости стационарных движений совершенного гироскопа в кардановои подвесе. Дан краткий анализ рабрт автора об устойчивости равномерных вращений и локальной ограниченности возмущенных движений совершенного гироскопа.

Во введении к главе У1 отмечается, что рассмотрение иодел! несовершенного гироскопа имеет теоретическую и прикладную значимость. Учет конструктивных несовершенств в динамике гироскопа в кардановом подвесе позволяет детальнее изучать свойства движений гироскопа, выявлять их специфику, порождаемую несовер шенствами. Например, целесообразно учитывать несовершенства пр анализе явления ухода оси ротора, при исследовании устойчивост стационарных движений гироскопа. Учет конструктивных несовершенств в технических приложениях позволяет устранять нежелательное влияние технологических погрешностей на поведение гироскопических приборов ? процессе их эксплуатации. Далее кратко перечислены несовершенства, рассматриваемые в публикациях по теории гироскопа в кардановом подвесе. Дан обзор результатов об устойчивости стационарных движений несовершенного гироскопа и отражено содержание работы автора о локальной ограниченности возмущенных движений несовершенного гироскопа.

По изложению материала главы У и У1 имеют структурное сходство, поэтому для краткости и во избежание повторений обратимся лишь к рассмотрению содержания §§ I и 2 главы У1.

В § I, п. 1° получена функция Гамильтона, задамая канони ческие уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе с ко* структивными несовершенствами в центральном ньютоновском поле сил тяготения в предположении, что ось вращения рамы закреплеу на неподвижном основании перпендикулярно "вертикали". В п. 2° найдены условия существования стационарных движений системы, на которых кольца подвеса неподвижны в определенных положения) о гироскоп равномерно вращается вокруг оси, занимающей фиксирс Банное положение в пространстве, и указан механический смысл этих условий. Поставлена задача об устойчивости равномерных вращений несовершенного гироскопа в кардановом подвесе. В п.

3° - б° проведено детальное исследование поставленной задач: схема которого списана выше при изложении содержания главы I, § I.

В § 2, п. 1° уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе с конструктивными несовершенствами при наличии диссипа-гивных и ускоряющих сил в осях вращения колец подвеса представлены в виде (I). В этих уравнениях р « ( ру , р# , Рч> )Т -эбобщенные импульсы, соответствующие координатам = ( у , в , ^ )т - кардановым углам, Н а Н (, ) - функция Гамильтона, полученная в § I, п. 1°, Р « сЦй^ ( Ьу , к $ , 0 )-- матрица функции Релея, &у>0 (или кв >0 ) - коэффициент вязкого трения в оси рамы (или кожуха), а (или йу<0 ) ,

так что |Др|(или | Ау| ) - крутизна характеристики электромагнитного устройства на оси кожуха (или рамы), создающего ускоряю-

скопа не входит явно в гамильтониан Н • а силы, действующие в оси ротора, уравновешены, в системе (I) выделяется приведенная система с двумя степенями свободы. В п. 1° дана постановка задачи о локальной равномерной ограниченности возмущенных движений гироскопа в кардановом подвесе относительно стационарных движений, рассмотренных в § I и существующих при условиях § I, п. 2°. В п. 2° указаны уравнения возмущенных движений приведенной системы и выписаны окончательные выражения коэффициентов характеристического многочлена. Для рассматриваемой системы сформулированы предположения о свойствах собственных чисел, принятые в главе и, § I. В п. 3° произведены линейная нормализация и нелинейная нормализация уравнений возмущенных движений. С использованием полученных в главе 1У, § I результатов найдены достаточные условия локальной равномерной ограниченности возмущенных движений гироскопа в кардановом подвесе в виде ограничений на коэффициенты нормальной формы и окончательно - на исходные безразмерные конструктивные параметры несовершенного гироскопа. С привлечением ПЭВМ в п. дана наглядная интерпретация полученных достаточных условий как ограничений на параметры. Рассматривается вопрос о влиянии конструктивных несовершенств гироскопа на локальную ограниченность возмущенных движений. В п. 5° дана геометрическая интерпретация'условий устойчивости равномерных врадений гироскопа в кардановом подвесе с диссипа-тивными и ускоряющими силами в осях колец.

В главе У11 исследована локальная равномерная ограниченность возмущенных движений совершенной системы двух гироскопов в кардановом подвесе с общей рамой при наличии диссипативных

щий момент, причем

Поскольку угол у поворота гиро-

и ускоряющих сил в осях вращения колец подвеса.

Во введении к главе У11 дано определение обобщенной систе мы двух гироскопов в кардановом подвесе с общей рамой и опреде дено понятие совершенной системы. Обоснована целесообразность рассмотрения модели системы двух гироскопов с теоретической и прикладной точек зрения.

В п. 1° получена функция Гамильтона совершенной системы двух гироскопов в кардановом подвесе с общей рамой в центральном ньютоновском поле в предположении, что ось вращения рамы закреплена на неподвижном основании перпендикулярно "вертикали". Уравнения движения совершенной системы двух гироскопов с диосипативнымн и ускоряющими силами в осях вращения колец подвеса представлены в форме (I). В этих уравнениях « ( ру , Р&м ' обобщенные импульсы, соответствующие коорди-

натам » ( У , Вт, , У М- )Т - углам поворота общей рамы, Ш -го кожуха и М- -го ротора соответственно ( >п- » I , 2 )

Н = Н С . <р - Функция Гамильтона, Р - (¿¿а^ С ку ,

о , о ) - матрица функции Релея, Ду> 0 или

Д,у<0 (соответственно или ) - коэффициен'

силы вязкого трения в оси рамы или с противоположным знаком крутизна характеристики электромагнитного устройства на оси ра' мы (соответственно М- -го кожуха), причем предполагается, что среди величин ку ' ^ » есть перемена знака. Поскольку

переменная не входит явно в гамильтониан Н , а силы, дей-отвующие в оси каждого ротора, уравновешены, в системе (I) выд| ляется приведенная система с тремя степенями свободы. В п. 2° ставится задача о локальной равномерной ограниченности возмуще! ных движений совершенной системы двух гироскопов относительно -стационарных движений, на которых общая рама и кожухи гироскопов неподвижны в определенных положениях, а каждый ротор равномерно вращается вокруг оси, параллельной "вертикали". В п. 3° получено разложение гамильтониана приведенной системы и указан! уравнения возмущенных движений. В п. выписаны окончательные выражения коэффициентов характеристического многочлена шестой степени. Для рассматриваемой системы сформулированы предположения о свойствах собственных чисел, принятые в главе 1У, § 2. Нормализация уравнений возмущенных движений приведенной систем!

осуществлена в п. 5°. С использованием полученных в главе 1У, § 2 результатов найдены достаточные условия локальной равномерной ограниченности возмущенных движений совершенной системы двух гироскопов в виде ограничений на исходные безразмерные конструктивные параметры. Для наглядной интерпретации полученных условий как ограничений на параметры в п. 6° разработан один способ построения области параметров, в которой все корни характеристического" уравнения имеют малые по .модулю вещественные части. С использованием ПЭВМ в п. 7° дана геометрическая интерпретация полученных достаточных условий локальной равномерной ограниченности возмущенных движений системы. В п. 8° приведена наглядная интерпретация условий устойчивости указанных' выше равномерных врашений совершенной системы двух гироскопов в кардановом подвесе с общей рамой при наличии диссипативных и ускоряющих сил в осях-колец.

В заключении формулируются основные результаты всей диссертационной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Беликов С.А. Об устойчивости равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси в ньютоновском поле сил//Вестн. Ле-нингр. ун-та. Сер.: мат., мех.,, астрон. 1978. № 19, вып.

С. 100 - 108.

2. Беликов С.А. О влиянии гироскопических сил на устойчивость' автономной гамильтоновой сиотемы с двумя степенями свободы //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.: мат., мех.,, астрон. 1979.

№ 13, вып. 3. С. 64- 70.

3. Беликов С.А. О влиянии, гироскопических сил на устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси//

В кн.: Методы исследования стационарных.движений механических систем. М.: Моск. ун-т. 1980. С; 5-6. 4,.Беликов С.А. О влиянии гироскопических сил на устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг главной оои// Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1981. № 4. С. 3'- 10; 5. Беликов С.А. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела Бокруг неглавных осей в ньютоновском поле сил//Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. IS82. № I. С. II - 19.

6. Беликов С.А. Об обобщении теорем Лагранжа и Рауса для обобщенно-консервативных систем с двумя степенями свободы// В кн.: Дифференц. и интегр. уравнения. Горький: 1582. С.

106 - НО.

7. Беликов С.А. Локальная ограниченность решений системы дифференциальных уравнений относительно множества//В кн.: 1У Четаевская Всесоюзн. конф. по устойчивости движения, анал. мех. и управлению движением. Аннотац. докл. М.: 1982. С. 8-9.

8. Беликов С.А. Локальная ограниченность решений системы дифференциальных уравнений относительно множества//В кн.: Устойчивость движения. Новосибирск: 1985. С. 34 - 37.

9. Беликов С.А. Устойчивость равномерных вращений гиростата вокруг вертикальной главной оси на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости//В кн.; Четвертое респ. совещание попробл, динамики тверд, тела. Тез. докл. Донецк: 1984. С. 5.

10. Беликов С.А, К нормализации автономных гамильтоновых систем о двумя степенями свободы в задачах об устойчивости положений равновесия//Рукопись деп. в ВИНИТИ 05.07.IS65. К 4863 • - 85Деп. Л.: ЛИАП. 1585. 49 с.

11. Беликов С.А. Устойчивость равномерных вращений гиростата вокруг вертикальной главной оси на абсолютно гладкой'горизонтальной плоскости//Прикл. мат. и мех. 1986. Т. 50, вы! I. С. 73 - 82.

12. Беликов С.А. Локальная ограниченность решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно множества //Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. * 4. С. 568 - 577.

13. Беликов С.А. Локальная ограниченность решений автономной системы четвертого порядка с малыми положительными вещественными частями собственных чисел//Рукопись деп. в ВИНИТИ 26.03.1987. К 2206 - В87. Л.: ЛИАП. 1987. 64 с.

14. Беликов С.А. Локальная ограниченность решений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при наличии диссипативных сил//В кн.: Пятая Всесоюзн. Четаевская конф. "Анал. мех., устойчивость и управление движением". Тез. докл. Казань: КАИ. 1987. С. 15 - 16.

15. Беликов С.А. Локальная ограниченность реиений автономной

системы шестого порядка с малыми положительными вещественными частями собственных чисел//Рукопись деп. в ВИНИТИ 06.12.1588. № 8602 - В88. Л.: ЛИАП, 1988. 213 с.

16. Беликов С.А. Устойчивость равновесия твердого тела с гироскопом, вращавшимся вокруг горизонтальной оси, на абсолютно гладкой плсзкости/УИэв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1989. № 2. С. 15 - 20.

17. Беликов С.А. Локальная ограниченность решений автономной гамильтоновой системы с тремя степенями свободы при наличии диссипативных снл//В кн.: УИ Бсесоюзы. конф. "Качественная теория дифференц. уравнений". Тез. докл. Рига: 1989. С. 26.

18. Беликов С.А. Локальная ограниченность возмущенных движений гироскопа в кардаповом подвесе с диссипативннми и ускоряющими силами//В кн.: Респ. конф. "Динамика тверд, тела и устойчивость движения". Тез. докл. Донецк: 1990. С. 10 - 19.

19. Беликов С.А. Устойчивость равномерных вращений гироскопа в кардановом подвесе в центральном ньютоновском поле сил// Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1990. В 5. С. 3 - 8.

20. Беликов С.А. Локальная ограниченность возмущенных движений гироскопа в кардановом подвесе о дйссипативными и ускоряющими силами//Прикл. мат. и мех. 1990. Т. 54, вып. 6. С. 958 - 965.

21. Беликов С.А. Устойчивость равномерного »радения гиростата вокруг вертикальной главной оси на горизонтальной плоскости о вязким трением//йзв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1991. 8 5. С. 3 - 8.

22. Беликов С.А. 50РТРАН-программа построения оценок локаяьиой ограниченности решений нормальной форны системы четвертого порядка//Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.12.1591. * 4781 - 391. Л.: ЛИАП. 1991. И о.

23. Беликов С.А. $0РТРАН-программы исследования устойчивости равномерных врайений совершенного гироскопа в кардановом лодзесе//Рукопись деп. в ВИНИМ 25.12.1991. № 4782 - В91. Л.: ЛИАП. 1991. 18 с. . .

24. Беликов С.А. ФОРТРАН-программи исследования устойчивости и локальной ограниченности движений совершенного гироскопа в кардановом подвесе о диссипатнвными и ускоряющими силами// Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.12.1991. К 4783 - В91. Л.: ЛИАП.

1991. 37 с.

25. Беликов С.А. Локальная ограниченность решений автономной гамильтэновой системы с тремя степенями свободы при наличии диссипативних сил//Дифференц. уравнения. IS92. Т. 28. № 9. С. 1475 - 1483.

26. Беликов С.А. Локальная ограниченность возмущенных движений несовершенного гироскопа в кардановом подвесе с диссипатив-ными и ускоряющими силами//Прикл. мат. и мех. 1992. Т. 56, вып. б. С. 993 - 1005.

27. Беликов С.А. Устойчивость равномерных вращений несовершенного гироскопа в кардановом подвесе в центральном ньютоновском поле сил//Р кн.: Мевдунар. конф. "НЬЮТОН и пробл. мех. тверд, и деформ. тел". Прогр. конф. и тез. СПС., Россия, 22 - 27 марта 1993 г. С. ч.

28. Беликов С.А. «ЮРТРАН-программа исследования устойчивости равномерного вращения гиростата вокруг вертикальной главной оси на гори зон та/1 ьной плоскости с вязким трением//Руко-пись деп. в ВИНИТИ 05.11.1992. № 3193 - В92. СПб.: СПИАП.

1992. 14 с.

29. Беликов С.А. йОРГРАН-прогрьчмы исследования уотойчивссти

и локальной ограниченности движений несовершенного гироскопа в кардановом подвесе с диосипативными и ускоряющими си-ламн//Рукопись деп. в ВИНИТИ I2.CI.I993. Х> 47 - В93. СПб. СПИАП. 1992. 48 с.

30. Беликов С.А. ФОРТРАН-программа построения оценок локальной ограниченности решений системы дифференциальных уравнений шестого порядкз//Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.01. 1993. №

48 - В93. СПб.: СПИАП. 1992. 38 о.

Лицензия tó 020341 от 27.2.91 I . Подписано г. печати 14.1.94 Формат 60x84 I/I6. Офсетная печать. Усл.-печ. л. 1.6. Тираж 100 экз. Зак. »б"

Ротапринт ГААП. 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67.