Устойчивость движения и нелинейные колебания в задачах классической и небесной механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 531 352 531 36 534 01 521 135

Бардин Борис Сабирович

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ И НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

Специальность 01 02 01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 5

003169966

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Анатолий Павлович Маркеев

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Юрий Владимирович Баркин

доктор физико-математических наук, профессор Алексей Владимирович Борисов

доктор физико-математических наук, профессор Сергей Александрович Мирер

Ведущая организация - Вычислительный центр

им А А Дородницына РАН

Защита состоится " 27 " июня 2008 г в /О часов на заседании диссертационного совета Д 212 125 14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

Автореферат разослан " /3" M&JL 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета к ф-м н , доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию нелинейных колебаний и разработке методов аналитического построения семейств частных решений га-мильтоновых систем в случаях резонансов, а также анализу устойчивости движения в ряде задач классической и небесной механики

Актуальность темы Изучение общих закономерностей движения механических систем требует проведения качественного исследования решений систем дифференциальных уравнений, которые, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть проинтегрированы в квадратурах Современные качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А Пуанкаре, заложившего основы качественной теории дифференциальных уравнений и А М Ляпунова, создавшего общую теорию устойчивости движения Методы теории устойчивости и качественного анализа дифференциальных уравнений нашли широкое применение в приложениях и получили дальнейшее развитии в трудах отечественных и зарубежных ученых

Для классической и небесной механики особый интерес представляют гамильтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений Существенный прогресс в качественном анализе поведения гамильтоновых систем был достигнут во второй половине двадцатого века после опубликования фундаментальных результатов А Н Колмогорова, В И Арнольда и Ю Мозера, в последствии получивших название KAM теории В настоящее время методы KAM теории совместно с методами локального анализа являются основным инструментом исследования устойчивости и нелинейных колебаний гамильтоновых систем в критических случаях

Поскольку уравнения движения механической системы в общем случае не интегрируемы то особую важность имеет задача нахождения точного или приближенного аналитического представления семейств частных решений При этом наибольший интерес представляют те частные реше-

ния, само существование которых и их свойства во многом определяют характер поведения системы К ним относятся решения, асимптотически приближающиеся к стационарным или периодическим решениям Асимптотические решения интересны тем, что соответствующие им траектории разделяют фазовое пространство на области с различным характером поведения системы и тем, что они тесно связаны с неустойчивостью предельного движения и явлениями стохастичности в детерминированной динамике Другим важным классом частных решений, определяющим характер движения системы, являются периодические решения Эти решения играют важную роль при исследовании движения системы в локальных областях ее фазового пространства, при анализе резонансных явлений и при изучении регулярного и хаотического поведения траекторий

Одна из частей диссертации посвящена разработке методов построения и исследованию свойств асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в резонансных случаях, когда известные классические подходы и методы неприменимы

Как с теоретической точки зрения, так и для приложений к задачам классической и небесной механики большой интерес представляет изучение поведения системы вблизи периодического решения Важные качественные выводы в этом направлении можно сделать на основании анализа устойчивости Периодическое решение гамильтоновой системы может быть устойчивым по Ляпунову лишь в критических случаях, когда характеристические показатели линеаризованной в окрестности этого решения системы имеют нулевые действительные части Поэтому для строгого решения задачи об устойчивости необходим нелинейный анализ В диссертации дается строгое решение задачи об устойчивости периодических решений гамильтоновых систем в ряде резонансных случаев

Анализ устойчивости частных решений позволяет сделать общие качественные выводы о поведении системы в их бесконечно малой окрестности

Для более полного изучения структуры фазового пространства системы вблизи ее частных решений требуется рассматривать не бесконечно малую, а некоторую конечную окрестность этих решений Большой интерес представляет собой задача о поведении системы в окрестности ее стационарных и периодических решений в резонансных случаях При приближении к резонансу поведение сисгемы качественно изменяется, а исследование значительно усложняется Каждый резонансный случай, как правило, требует отдельного детального изучения, разработки новых подходов и методов Поэтому несмотря на то, что анализу различных аспектов движения гамильтоновых систем при резонансах было посвящено много работ, эта область нелинейной динамики остается актуальной и привлекает немалый интерес В диссертации проводится полный нелинейный анализ поведения гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия в неисследованных ранее резонансных случаях На основании полученных общетеоретических результатов в диссертации выполнено исследование ряда задач классической и небесной механики

Современные методы теории устойчивости гамильтоновых систем позволяют получать строгие выводы об устойчивости движения достаточно широкого класса механических систем Известно, что устойчивая в линейном приближении гамильтонова система может оказаться неустойчивой при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения По этой причине выполнение нелинейного анализа устойчивости движения имеет большое значение как с теоретической, так и с прикладной точек зрения Значительная часть диссертационной работы посвящена исследованию устойчивости движения в задачах классической и небесной механики Все рассмотренные задачи об устойчивости решаются в нелинейной постановке

Цель работы. Целью работы является построение теории нелинейных колебаний гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы в

резонансных случаях, разработка методов построения решений, асимптотических к положению равновесия гамильтоновой системы при однократных резонансах первого и второго порядков, использование разработанных методов и алгоритмов для анализа движений в задачах классической и небесной механики при наличии резонансов, исследование устойчивости движения в ряде задач классической механики и динамики спутников

Научная новизна. Разработаны новые методы построения семейств решений, асимптотических к положению равновесия гамильтоновой системы при резонансах При помощи данных методов исследованы новые классы асимптотических движений в задачах динамики спутников

На основе нелинейного анализа получены строгие выводы о поведении решений периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия в ряде резонансных случаев В частности, установлено, что для большинства начальных условий решения в окрестности положения равновесия будут условно-периодическими, а мера дополнения к множеству условно-периодических решений экспоненциально мала В работе показано, что неустойчивость положения равновесия гампльтоновых систем при рассмотренных резонансах является лишь локальной и дана оценка области ограниченного движения На основании полученных теоретических результатов дано полное качественное описание движения в окрестности стационарных и периодических движений в некоторых задачах небесной механики и динамики спутников

Рассмотрены новые задачи об орбитальной устойчивости периодических движений

• получено строгое решение задачи об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластинки на круговой орбите,

• получено строгое решение задачи об орбитальной устойчивости ма-

ятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае Бобылева-Стеклова

Выполнено также полное нелинейное исследование ряда задач об устойчивости движения в классической и небесной механике Ранее указанные задачи рассматривались только в линейной постановке, либо при некоторых частных значениях параметров

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1 Разрабогана теория асимптотических решений гамильтоновых систем в случаях резонансов первого и второго порядков Получены достаточные условия существования новых классов решений, асимптотически стремящихся к положению равновесия гамильтоновой системы, изучена их аналитическая структура и предложен метод построения в виде сходящихся рядов по -отрицательным степеням независимой переменной

2 Предложен метод построения уравнения разветвления периодических решений, рождающихся из положения равновесия системы Ляпунова Показано, что точке ветвления соответствует ровно два периодических решения, представимых в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра

3 Разработана теория нелинейных колебаний периодически зависящей от времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае резонанса первого порядка и в одном особом случае резонанса в вынужденных колебаниях Дано приближенное аналитическое описание движения системы в окрестности положения равновесия Установлено существование 27г-периодических решений, близких к положению равновесия, и исследована их устойчивость Доказана ограниченность движения в некоторой конечной окрестности неустойчивого положения равновесия

4 Разработана теория нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе второго и четвертого порядков Дано приближенное аналитическое представление условно-

периодических движений системы в окрестности устойчивого положения равновесия Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости периодических решений, рождающихся из положения равновесия Показано, что в некоторой конечной окрестности положения равновесия движение носит ограниченный характер, а неустойчивость периодических движений может быть лишь локальной

5 На основании новых методов и подходов, разработанных в диссертации

- построены новые семейства движений динамически симметричного спутника, асимптотически приближающиеся к его регулярным прецессиям на круговой орбите при резонансах первого и второго порядков,

- исследованы нелинейные колебания динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии на круговой орбите при резонансе четвертого порядка,

- изучен качественный характер движения в окрестности треугольной точки либрации при критическом соотношении масс,

- исследованы плоские нелинейные колебания спутника при значениях параметров, отвечающих точке бифуркации его периодических движений, установлена локальная неустойчивость последних,

- изучена бифуркация периодических движений маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса

6 Решен ряд задач об устойчивости периодических движений спутников

а) Выполнено строгое исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите

б) Проведен полный нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластинки, центр масс которого движется по круговой орбите

в) Получено строгое решение задачи об устойчивости одного плоского периодического вращения спутника на эллиптической орбите, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите

7 Исследована устойчивость движения в ряде задач классической механики

а) Получено полное и строгое решение задачи об устойчивости положений относительного равновесия маятника с вибрирующей по вертикали точкой подвеса

б) В случае Бобылева-Стеклова проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой

в) В случае Горячева-Чаплыгина получено строгое решение задачи об устойчивости колебаний и вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой относительно его экваториальной оси инерции

Практическая и теоретическая ценность. В диссертации разработана теория нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамиль-тоновой системы с двумя степенями свободы в ряде резонансных случаев Выводы данной теории могут быть использованы для строгого исследования движения в окрестности стационарных и периодических движений механических систем достаточно широкого класса

Разработаны эффективные алгоритмы построения семейств асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в резонансных случаях Данные алгоритмы позволяют выполнять аналитическое построение и изучать свойства новых классов движений в задачах классической и небесной механики

В диссертации выполнено строгое и полное исследование ряда задач об устойчивости движения Полученные результаты имеют как теорети-

ческое значение для развития классической и небесной механики, так и практическую важность для конкретных задач ориентации и стабилизации космических аппаратов

Часть результатов диссертации может быть включена в качестве дополнительных глав к общему курсу теоретической механики, а также в спецкурсы по кафедре теоретической механики Проведенные в диссертации исследования бифуркации периодических решений в системах, близких к системам Ляпунова, вошли в состав учебного пособия, выпущенного в издательстве МАИ для студентов факультета "Прикладная математика и физика" в 2005 году

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах

• на 447-м заседании семинара при Научном Совете РАН по механике систем и Научном Совете РАН по проблемам управления движением и навигации под руководством академика РАН А Ю Ишлинского и академика РАН Д М Климова (1995),

• на семинаре "Аналитическая механика и устойчивость движения" под руководством академика РАН В В Румянцева, члена-корреспондента РАН В В Белецкого, профессора А В Карапетяна, кафедра теоретической механики МГУ (1996),

• на семинаре "Динамика относительного движения" под руководством члена-корреспондента РАН В В Белецкого, профессора Ю Ф Голубева, доцента К Е Якимовой кафедра теоретической механики и мехатрони-ки МГУ (2001),

• на семинаре по небесной механике под руководством проф А Мациев-ского, Астрономический центр университета г Торун, Польша (1999, 2000)

• на семинаре "Иерархия и симметрии в математических моделях" под

10

руководством проф Ф Енса, Математический факультет, Технический университет г Аахен, Германия (2004),

• на семинаре "Анализ и прикладная математика" под руководством профессора В Ланчареса, факультет Математики и вычислений университета Ла Риоха, г Логроно, Испания (2004, 2006),

• на семинаре по гамильтоиовой механике под руководством профессора X Паласиана, факультет Математики и информатики, университет Наварры, г Памплона, Испания (2004, 2005, 2006),

• на семинаре отдела Небесной механики под руководством профессора А Элипе, университет г Сарагоса, Испания (2004, 2005, 2006),

а также на следующих Всероссийских и международных конференциях

• XII научные чтения по космонавтике, посвященные памяти С П Королева и других советских ученых - пионеров освоения космического пространства (1988, Москва),

• Республиканская конференция по динамике твердого тела (1990, Донецк),

• Конференция немецкого общества прикладной математики и механики (Прага, 1996),

• XXXI Симпозиум по математической физике (1999, Торун, Польша),

• XXXIII Симпозиум по математической физике (2001, Торун, Польша),

• НАТО Advanced Study институт (Блаер Атол, Великобритания, 2000),

• Международный семинар по небесной механике (Познань, Польша, 2000),

• НАТО Advanced Study институт (Кортина Дампрезо, Италия, 2003),

• VI Испанский семинар по небесной механике (Бертиз, Испания 2003),

11

• Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 2004),

• Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2005),

• VIII Испанский семинар по небесной механике (Риансо, Испания 2005),

• Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2006),

• Международная научная конференция по механике "Четвертые поля-ховские чтения" (Санкт-Петербуг, 2006),

• IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006),

• Шестой международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 2007),

• XXXI Академические чтения по космонавтике, посвященные 100-летшо академика С П Королева (Москва, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах ¡1-21]

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех частей основного текста, разбитых на шесть глав, заключения и списка литературы из 307 наименований Работа содержит 33 рисунка Общий объем диссертации составляет 380 страниц

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении описаны проблемы, рассматриваемые в диссертации и дан обзор их современного состояния Здесь же коротко изложено содержание диссертационный работы и ее основные результаты

В первой части, объединяющей первую и вторую главы, исследуются семейства асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в случаях резонансов, а также решается задача существования, построения и бифуркации периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях Проводится исследование орбитальной устойчивости семейств периодических решений при резонансе четвертого порядка

Первая глава диссертации посвящена исследованию задачи о существовании и аналитическом построении решений, асимптотически приближающихся к положению равновесия гамильтоновой системы

при í —► +оо или при t —> —оо Функция Гамильтона Н аналитична в окрестности положения равновесия, которое совпадает с началом координат фазового пространства д, = р, = 0 (г = 1,2, ,п), коэффициенты разложения гамильтониана Я в ряд по степеням канонических переменных являются постоянными или 27г-периодически зависят от Ь Предполагается, что характеристические показатели линеаризованной в окрестности положения равновесия системы (1) имеют нулевые действительные части В этом случае для изучения асимптотических решений системы (1) результаты классической теории А М Ляпунова и А Пуанкаре неприменимы

В диссертации исследованы все возможные однократные резонансы первого и второго порядков, как в случаях простых, так и в случаях кратных элементарных делителей матрицы линеаризованной системы Найдены достаточные условия существования и указано число семейств асимптотических решений Изучена аналитическая структура асимптотических решений и указан способ их построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням Более полные результаты получены для неавтономной системы с одной степенью свободы (§ 1 2) и автономной системы

(¿дг ¿Н ф, <й с£р,' сИ

(1)

с двумя степенями свободы (§13) В этих случаях выполнено полное качественное исследование окрестности положения равновесия и получены необходимые и достаточные условия существования семейств асимптотических решений Кроме того, показано, что других решений асимптотически приближающихся к положению равновесия не существует

В качестве приложения в § 14 рассматривается задача о движениях динамически симметричного спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям на круговой орбите Исследование выполняется на границе областей устойчивости регулярных прецессий, где имеют место резонан-сы первого и второго порядков На основании полученных общетеоретических результатов найдено приближенное аналитическое представление движений спутника, асимптотических к его цилиндрической, конической и гиперболоидальной прецессиям

Вторая глава диссертации посвящена изучению периодических решений систем, близких к системам Ляпунова, и гамильтоновых систем В § 2 1 дается обзор, полученных на сегодняшний день результатов по обобщению теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле на резонансные случаи В § 2 2 решается задача об орбитальной устойчивости периодических движений, рождающихся из положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы Функция Гамильтона предполагается аналитической и знакопеременной в некоторой окрестности положения равновесия, собственные значения матрицы линеаризованной системы чисто мнимы, а частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3 1 Задача об орбитальной устойчивости периодических движений решается в строгой нелинейной постановке Показано, что короткопериодические движения орбитально устойчивы за исключением лишь случая, отвечающего бифуркации короткопериодических и долгопериодических движений В этом особенном случае имеется неустойчивая короткопериодическая орбита Установлено, что если положение равновесия устойчиво, то в зави-

симости от значений параметров система имеет либо одно семейство ор-битально устойчивых долгопериодических движений, либо два семейства орбитально устойчивых и одно семейство неустойчивых долгопериодических движений Если же положение равновесия неустойчиво, то имеете ся либо одно семейство неустойчивых долгопериодических движений, либо одно семейство орбитально устойчивых и два семейства неустойчивых долгопериодических движений Исключение могут составить только особые случаи, отвечающие бифуркации долгопериодических движений или вырождению в задаче об устойчивости, когда нужно проводить дополнительный анализ В качестве приложения рассмотрена задача об орбитальной устойчивости периодических движений динамически симметричного спутника вблизи его стационарного вращения при резонансе четвертого порядка

В§23и§24 исследуется вопрос о бифуркации и построении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова при резонансе в вынужденных колебаниях Впервые задача о существовании и построении периодических решений, рождающихся из положения равновесия системы Ляпунова при малом периодическом возмущении последней, исследовалась И Г Малкиным Случай резонанса в вынужденных колебаниях был подробно исследован А П Маркеевым и Т Н Чеховской В частности, было показано, что в зависимости от значений параметров система, близкая к системе Ляпунова может иметь одно или три периодических решения, указанного типа

В § 2 3 разработал алгоритм построения периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях На основании данного алгоритма указанные периодические решения строятся в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра Строго показано, что при изменении параметров число периодических решений изменяется в результате их бифуркации Показано, что

бифуркационной кривой соответствует ровно два периодических решения, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы В § 2 4 предложен метод аналитического построения, как самой бифуркационной кривой, так и соответствующих ей периодических решений в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра Данный метод применяется в задаче о плоских движениях спутника на слабоэллиптической орбите С точностью до второй степени эксцентриситета орбиты получено выражение кривой разветвления плоских 27г-периодических колебаний спутника, а также построены соответствующие данной кривой решения Рассмотрена также задача о бифуркации 27г-периодических колебаний маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса Получено уравнение бифуркационной кривой и выполнено аналитическое построение отвечающих ей периодических движений

Во второй части диссертации, объединяющей третью и четвертую главы, проводится полный нелинейный анализ поведения решений гамиль-тоновых систем в окрестности положения равновесия в ряде резонансных случаев

В третьей главе рассматриваются 27г-периодические по времени гамиль-тоновы системы с одной степенью свободы Предполагается, что гамильтониан системы содержит один или несколько параметров Среди параметров имеется малый параметр е, при нулевом значении которого система становится автономной В § 3 1 исследуется случай резонанса первого порядка, когда элементарные делители матрицы линеаризованной системы непростые Проведено полное аналитическое исследование укороченной системы, гамильтонианом которой является нормализованная до членов четвертой степени функция Гамильтона исходной системы Получено общее решение укороченной системы в эллиптических функциях Якоби В нелинейной постановке решена задача об устойчивости 27Г-периодических решений, рождающихся из положения равновесия невозмущенной систе-

мы Методами КАМ теории проведен строгий анализ поведения траектории в окрестности положения равновесия полной системы Установлено, что имеет место случай собственного вырождения На основании теорем В И Арнольда и А И Нейштадта показано, что для большинства начальных условий решения в £-окрестности положения равновесия являются условно-периодическими При этом мера дополнения множества условно-периодических траекторий экспоненциально мала Сделан вывод о том, что неустойчивость положения равновесия носит локальный характер, те траектории, начинающиеся вблизи положения равновесия, вечно остаются в его малой, но конечной окрестности порядка е В областях фазового пространства, соответствующих малым окрестностям сепаратрис укороченной системы, потребовалось специальное исследование Показано, что движение вблизи сепаратрис можно приближенно описать при помощи стандартного отображения Б В Чирикова На основании метода Б В Чи-рикова получена верхняя оценка ширины стохастического слоя вблизи сепаратрис

Б § 3 2 рассмотрен особый случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда параметры задачи соответствуют бифуркации 2тг-периодических решений, рождающихся из положения равновесия Получено общее решение укороченной системы, проведен анализ устойчивости по Ляпунову периодических решений полной системы Установлено, что неустойчивость одного из 27Г-периодических решений является локальной и получена оценка окрестности, в которой траектории системы являются ограниченными Теоретические результаты третьей главы применяются в задаче о плоских движениях спутника в окрестности его эксцентриситетных колебаний при резонансе Показано, что при значениях параметров, отвечающих кривой бифуркации эксцентриситетных колебаний спутника, существуют как устойчивые, так и неустойчивые 27г-периодические колебания При этом движения спутника, начинающиеся вблизи неустойчивого 2тг-

периодического колебания, остаются в его окрестности сколь угодно долго (неустойчивость носит локальный характер) Получена оценка указанной окрестности

Четвертая глава посвящена анализу нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы Рассмотрены два резонансных случая резонанс второго порядка и резонанс четвертого порядка В § 4 1 рассмотрен случай резонанса второго порядка Предполагается, что гамильтониан системы зависит от малого параметра е, при нулевом значении которого собственные значения матрицы линейной системы чисто мнимы и попарно равны, а элементарные делители непростые Проведена редукция укороченной системы к системе с одной степенью свободы, построены фазовые портреты редуцированной системы и получено ее общее решение Исследована задача о существовании, построении и орбитальной устойчивости семейств периодических решений, рождающихся из положения равновесия полной системы Методами КАМ теории показано, что многие свойства решений укороченной системы сохраняются и в малой окрестности положения равновесия полной системы В частности, для большинства начальных условий движение в окрестности положения равновесия полной системы является условно-периодическим, а мера множества траекторий, не являющихся условно-периодическими, экспоненциально мала Установлено, что несмотря на неустойчивость положения равновесия, решения в некоторой его конечной окрестности ограничены Получена верхняя оценка данной окрестности В качестве приложения полученных результатов исследовано движение в окрестности треугольной точки либрации круговой ограниченной задачи трех тел, когда отношение масс тел точно или приближено равно критическому отношению Рауса Сделаны строгие выводы об орбитальной устойчивости периодических движений вблизи точки либрации, а также получена оценка области, в которой движение носит ограниченный

характер

В § 4 2 рассмотрен случай резонанса четвертого порядка, когда частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3 1 Предполагается, что функция Гамильтона знакопеременна, а положение равновесия устойчиво Проведен подробный анализ укороченной системы, отвечающей нормализованному гамильтониану, в котором отброшены члены выше четвертой степени Выполнена редукция укороченной системы к системе с двумя степенями свободы Получено общее решение редуцированной системы в эллиптических функциях Якоби Подробно описаны бифуркации фазовых портретов редуцированной системы Показано, что решения укороченной системы описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения Проведен строгий анализ движения в окрестности положения равновесия полной системы В областях условно-периодического движения полной системы введены переменные действие-угол и показано, что в полной системе имеет место случай собственного вырождения Проверены условия теорем В И Арнольда и А И Нейштадта и установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются и в малой окрестности положения равновесия полной системы Более того, траектории полной системы, не являющиеся условно-периодическими, образуют множество экспоненциально малой меры Сделаны выводы о нелокальной устойчивости орбитально неустойчивых периодических движений

Результаты исследования применены в задаче о движении динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии При значениях параметров, отвечающих резонансу четвертого порядка, дано описание характера нелинейных колебаний в малой окрестности цилиндрической прецессии

Третья часть диссертации посвящена исследованию устойчивости движения в ряде задач небесной и классической механики, она объединяет пя-

тую и шестую главы Все задачи решаются в нелинейной постановке В основе применяемой методики анализа устойчивости лежит метод нормальных форм и KAM теория Данная методика была разработана в работах А П Маркеева и А Д Брюно, ее суть состоит в следующем В окрестности невозмущенного движения вводятся локальные координаты и задача сводится к исследованию устойчивости положения равновесия гамильто-новой системы Проводится анализ линейной системы Для значений параметров задачи, при которых характеристические показатели линейной системы имеют отличные от нуля вещественные части, можно сделать вывод о неустойчивости невозмущенного движения Если же характеристические показатели линейной системы имеют нулевые вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво в линейном приближении В этом случае для строгих выводов об устойчивости требуется нелинейный анализ С этой целью гамильтониан возмущенного движения приводится к нормальной форме до членов четвертой степени По коэффициентам нормальной формы на основании известных критериев делаются выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости периодического движения В пятой главе диссертации исследуется устойчивость плоских периодических движений спутника на круговой и эллиптической орбитах В § 5 1 рассматривается движение динамически симметричного спутника относительно центра масс Орбита центра масс предполагается круговой Известно, что уравнения движения спутника допускают семейство частных решений, отвечающих плоским движениям, при которых ось динамической симметрии спутника движется в плоскости орбиты центра масс Данные движения описываются уравнением математического маятника и представляют собой либо периодические движения колебания или вращения, либо движения асимптотически приближающиеся к неустойчивому положению относительного равновесия

Плоские колебания и вращения являются неустойчивыми по отноше-

нию к возмущениям координат и скоростей, тк их периоды зависят от начальных условий Поэтому представляет интерес задача об орбитальной устойчивости, т е устойчивости плоских периодических движений по отношению к возмущениям, выводящим ось динамической симметрии из плоскости орбиты (пространственные возмущения) и к возмущениям частоты колебаний или средней угловой скорости вращений Впервые в такой постановке данная задача исследовалась А П Маркеевым для случая "сплюснутого спутника", когда ось динамической симметрии меньше экваториальной оси

В диссертации задача об орбитальной устойчивости динамически симметричного спутника решается в нелинейной постановке для всех значений параметров, за исключением двух особых случаев колебания спутника близкого к сферически симметричному и колебания или вращения, период которых значительно превосходит период орбитального движения В случаях, когда удается ввести малый параметр (колебания с малыми амплитудами или вращение спутника, близкого к сферически симметричному) исследование выполняется полностью аналитически Для произвольных значений параметров критерии устойчивости проверены численно Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости

В § 5 2 рассмотрена задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника, обладающего геометрией масс пластинки Невозмущенное движение представляет собой колебания и вращения спутника, при которых его наименьшая ось инерции, лежит в плоскости орбиты центра масс (плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты) Приведение гамильтониана возмущенного движения к нормальной форме выполнялось при помощи метода точечных отображений Это позволило существенно упростить процедуру вычисления коэффициентов нормальной формы В плоскости параметров задачи построены области параметрического резонанса, в которых имеет место орбитальная

неустойчивость Для всех значений параметров вне указанных областей проведен нелинейный анализ и установлена либо орбитальная устойчивость для большинства начальных условий, либо формальная орбитальная устойчивость, либо орбитальная устойчивость, обнаруживаемая по членам конечного порядка функции Гамильтона возмущенного движения, либо орбитальная неустойчивость В случае малых амплитуд колебаний и больших угловых скоростей вращения удается ввести малый параметр и провести аналитическое исследование При произвольных значениях параметров потребовалось проведение численных расчетов

В § 5 3 рассматривается задача об устойчивости одного плоского периодического движения спутника на эллиптической орбите Если эксцентриситет орбиты е и инерционный параметр а связаны равенством е = —2а, то уравнение движения допускает частное решение, описывающее равномерное вращение спутника в плоскости орбиты, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите В линейном приближении задача об устойчивости этого движения рассматривалась А А Хентовым В диссертации выполнено строгое исследование устойчивости по Ляпунову данного решения При значениях эксцентриситета, для которых имеет место неустойчивость, установлено существование и указана аналитическая структура семейств движений, асимптотически приближающихся к невозмущенному периодическому движению

В шестой главе исследуется устойчивость движений твердого тела в однородном поле тяжести В § 6 1 в строгой нелинейной постановке исследована задача об устойчивости положений относительного равновесия маятника, точка подвеса которого совершает гармонические колебания вдоль вертикали Решение этой задачи в линейном приближении хорошо известно (диаграмма Айнса-Стретта) В ряде работ нелинейный анализ данной задачи выполнялся для некоторых частных значений параметров

В диссертации дано полное и строгое решение задачи об устойчивости нормального и перевернутого положений маятника при всех возможных значениях параметров включая и границы областей параметрического резонанса Показано, что в областях устойчивости в линейном приближении имеет место также и устойчивость по Ляпунову На границах областей параметрического резонанса может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость положения относительного равновесия При этом границы, отвечающие устойчивости и неустойчивости положения относительного равновесия, чередуются при возрастании одного из параметров задачи Исследование устойчивости выполнено полностью аналитически, без проведения численных расчетов

В§62и§63 исследуется орбитальная устойчивость маятниковых движений твердого тела с одной неподвижной точкой В § 6 2 рассматривается движение твердого тела относительно неподвижной точки в однородном поле тяжести Геометрия масс тела соответствует случаю Бобылева-Стеклова, т е главные моменты инерции, вычисленные для неподвижной точки удовлетворяют равенству А = 2С, а центр масс тела лежит на главной оси инерции, соответствующей моменту инерции А В этом случае уравнения движения допускают частное решение, описывающее плоские маятниковые движения твердого тела относительно неподвижной в абсолютном пространстве главной оси инерции, соответствующей моменту инерции С Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений, указанного типа (колебаний и вращений) Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи постоянной энергии невозмущенного движения и инерционного параметра, представляющего собой отношение двух главных моментов инерции тела Уравнения границ областей орбитальной устойчивости удалось получить в явном аналитическом виде

В § 6 3 рассматривается движение твердого тела относительно неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае Горячева-Чаплыгина, когда главные моменты инерции, вычисленные для неподвижной точки удовлетворяют равенству А = С — 4В, центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, а проекция кинетического момента твердого тела на вертикаль равна нулю В качестве невозмущенного движения рассматриваются маятниковые колебания и вращения твердого тела вокруг экваториальной оси эллипсоида инерции, неподвижной в абсолютном пространстве

А П Маркеевым была доказана орбитальная неустойчивость данных периодических движений в линейном приближении и установлено, что для решения задачи об устойчивости в нелинейной постановке недостаточно анализа членов до четвертой степени в разложении функции Гамильтона в ряд по каноническим переменным В диссертации показано, что в данной задаче имеет место особенный (трансцендентный) случай, когда стандартная методика анализа устойчивости по коэффициентам нормальной формы гамильтониана уравнений возмущенного движения неприменима Дано строгое доказательство неустойчивости маятниковых периодических движений Для доказательства неустойчивости используется тот факт, что в случае Горячева-Чаплыгина помимо трех первых интегралов, которые всегда существуют при движении твердого тела относительно неподвижной точки, уравнения движения допускают еще один дополнительный первый интеграл При помощи этого дополнительного первого интеграла, построена каноническая замена переменных, приводящая систему уравнений возмущенного движения к более простому виду, а затем применена теорема Четаева

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1 Бардин Б С Об асимптотических решениях гамильтоновых систем при резонансе первого порядка // ПММ 1991 Т 55 Вып 4 С 587593

2 Бардин Б С О движениях спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям // Космич исслед 1991 Т 29 Вып 6 С 822-827

3 Бардин Б С Об асимптотических движениях гамильтоновых систем при резонансе второго порядка // Межвуз сб научн тр "Проблемы механики управляемого движения Оптимизация процессов управления" Изд-во Пермского ун-та, 1992 С 19-26

4 Маркеев А П, Бардин Б С Плоские вращательные движения спутника на эллиптической орбите // Космич исслед 1994 Т 32 Вып 6 С 43-49

5 Бардин Б С, Маркеев А П Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // ПММ 1995 Т 59 Вып 6 С 922-929

6 Bardin В S Nonlinear oscillations of Hamiltoman system with one degree of freedom, on the boundary of parametric resonance doman // Z angew Math Mech , 1997 Vol 77 no 2 P 23-24

7 Бардин Б С О ветвлении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова // ПММ 1999 Т 63 Вып 4 С 538-548

8 Bardin В S Periodic solutions of nearly Lyapunov system m the external resonance case // Rep Math Phys 2000 Vol 46 no 1-2 P 27-34

9 Bardin В S, Maciejewsh A J Non-lmear oscillations of a Hamiltoman system with one and half degrees of freedom // Regul Chaotic Dyn 2000 Vol 5 no 3 P 345-360

10 Bardm В S. On nonlinear motions of a Hamiltonian system in the case of external resonance // Rep Math Phys 2002 Vol 49 no 2-3 P 133-142

11 Bardin В S On motions near the Lagrange equilibrium point L4 in the case of Routh's critical mass ratio // Celest Mech 2002 Vol 82 no 2 P 163-177

12 Markeev A P, Bardin В S On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite m a circular orbit // Celest Mech 2003 Vol 85 no 1 P 51-66

13 Бардин В С, Пунтус А Л , Чекин А М, Чекина Е А Исследование устойчивости плоских движений динамически симметричного спутника на границах областей параметрического резонанса // В сб исследовательских, проектно-конструкторских и технологических работ молодых студентов " Создание перспективной авиационной техники" М Изд-во МАИ, 2004 С 50-55

14 Bardm В S On orbital stability of planar motions of symmetric satellites m cases of first and second order resonances // Proceedings of the 6th Conference on Celestial Mechanics Monogr Real Acad Ci Exact Fis -Quim Nat Zaragoza, 25 2004 P 59-70

15 Бардин Б С Периодические решения систем, близких к системам Ляпунова М Изд-во МАИ, 2005 60 с

16 Бардин ВС К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Изв РАН МТТ 2007 №2 С 14-21

17 Бардин Б С О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в случае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика 2007 Т 3 № 1 С 57-74

18 Бардин Б С 06 орбитальной устойчивости периодических движений гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае резонанса 3 1 // ПММ 2007 Т 71 Вып 6 С 976-988

19 Bardm В S On nonlinear motions of Hamiltonian system in case of fourth order resonance // Regul Chaotic Dyn 2007. Vol 12 по 1 P 86-100

20 Бардин Б С, Чекин А М Об орбитальной устойчивости плоских вра-

/

щений спутника-пластинки на круговой орбите // Вестник МАИ 2007 Т 14 №2 С 23-36

21 Бардин Б С, Чекин А М Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космич исслед 2008 Т 46 Вып 3 С 278-288

27

Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ отОЦ D5~200$ г. Тираж §0 экз

Введение.

Часть I. СЕМЕЙСТВА ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ГАМИЛЬТОНО-ВЫХ СИСТЕМ В РЕЗОНАНСНЫХ СЛУЧАЯХ

Глава 1. Асимптотические решения гамильтоновых систем при ре-зонансах первого и второго порядков.

1.1. Теорема Ляпунова об асимптотических решениях систем дифференциальных уравнений.

1.2. Асимптотические решения неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансах первого и второго порядков

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Асимптотические решения в случае резонанса первого порядка и простых элементарных делителей

1.2.3. Асимптотические решения в случае резонанса первого порядка и непростых элементарных делителей

1.2.4. Асимптотические решения в случае резонанса второго порядка

1.3. Об асимптотических решениях многомерных гамильтоновых систем при резонансах первого и второго порядков

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Асимптотические решения в случае простых элементарных делителей.

1.3.3. Асимптотические решения в случае непростых элементарных делителей.

1.3.4. Дополнительное исследование в случае автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.

1.4. О движениях динамически симметричного спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям

1.4.1. Постановка задачи.

1.4.2. Движения динамически симметричного спутника, асимптотические к его цилиндрической и гиперболоидальной прецессиям, при граничных значениях параметров

1.4.3. Движения динамически симметричного спутника, асимптотические к его конической прецессии, при граничных значениях параметров.

Глава 2. Устойчивость и бифуркация периодических решений при наличии резонансов

2.1. Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле

2.2. Орбитальная устойчивость периодических решений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе четвертого порядка

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Устойчивость короткопериодических движений.

2.2.3. Исследование устойчивости долгопериодических движений в линейном приближении.

2.2.4. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости долгопериодических движений.

2.2.5. Об орбитальной устойчивости периодических движений спутника, близких к его цилиндрической прецессии.

2.3. Бифуркация периодических решений в системах, близких к системам Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях

2.3.1. Периодические решения систем, близких к системам Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях.

2.3.2. Бифуркация периодических решений

2.4. Построение периодических решений в системах, близких к системам Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях

2.4.1. Построение периодического решения в случае резонанса

2.4.2. Построение периодических решений на кривой разветвления

2.4.3. О бифуркации периодических движений маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса

2.4.4. Бифуркация колебаний спутника в плоскости слабоэллиптической орбиты.

Часть II. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Глава 3. Нелинейные колебания неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансах.

3.1. Поведение неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы в окрестности положения равновесия при резонансе первого порядка.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Упрощение гамильтониана

3.1.3. Исследование невозмущенной системы при ¡л — —

3.1.4. Исследование невозмущенной системы при ¡1 =

3.1.5. Исследование возмущенной системы

3.2. Нелинейные колебания гамильтоновой системы с одной степенью свободы в окрестности периодического решения при резонансе в вынужденных колебаниях

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Устойчивость периодических решений

3.2.3. Нелинейные колебания в окрестности периодических решений

3.2.4. Нелинейные колебания спутника на слабоэллиптической орбите.

Глава 4. Нелинейные колебания автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в резонансных случаях

4.1. Поведение автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия в случае резонанса второго порядка.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Анализ укороченной системы

4.1.3. Исследование полной системы

4.1.4. Движение вблизи точки либрации L4 в плоской круговой ограниченной задаче трех тел при критическом отношении масс Рауса

4.2. Поведение автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия в случае резонанса четвертого порядка.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Укороченная система

4.2.3. О движениях полной системы

4.2.4. О движениях спутника вблизи его регулярной прецессии

Часть III. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ ЗА

ДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ И НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

Глава 5. Устойчивость плоских периодических движений спутника

5.1. Орбитальная устойчивость плоских периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите

5.1.1. Постановка задачи.

5.1.2. Системы координат. Гамильтониан задачи

5.1.3. Линейная система.

5.1.4. Нормальная форма функции Гамильтона. Критерии устойчивости

5.1.5. Анализ орбитальной устойчивости плоских колебаний

5.1.6. Анализ орбитальной устойчивости плоских вращений

5.2. Орбитальная устойчивость плоских периодических движений спутника-пластинки.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2. Гамильтониан возмущенного движения.

5.2.3. Анализ устойчивости в линейном приближении.

5.2.4. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости.

5.2.5. Анализ орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластинки

5.2.6. Анализ орбитальной устойчивости вращений спутника-пластинки

5.3. Об устойчивости одного частного случая вращения спутника в плоскости эллиптический орбиты

5.3.1. Постановка задачи.

5.3.2. Исследование линейной системы.

5.3.3. Устойчивость при малых значениях эксцентриситета

5.3.4. Численное исследование при произвольных эксцентриситетах

Глава 6. Устойчивость движения в некоторых задачах классической механики.

6.1. Устойчивость относительных равновесий маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса.

6.1.1. Постановка задачи.

6.1.2. О линейных уравнениях возмущенного движения и устойчивости в первом приближении.

6.1.3. Нормализация линеаризованных уравнений возмущенного движения.

6.1.4. Нелинейный анализ устойчивости вне областей параметрического резонанса

6.1.5. Исследование устойчивости для значений параметров, принадлежащих граничным кривым.

6.2. Об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Бобылева-Стеклова.

6.2.1. Постановка задачи.

6.2.2. Гамильтониан задачи. Невозмущенное движение.

6.2.3. Гамильтониан возмущенного движения. Изоэнергетическая редукция.

6.2.4. Анализ устойчивости в линейном приближении.

6.2.5. Нелинейный анализ устойчивости

6.3. Устойчивость маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина

6.3.1. Постановка задачи.

6.3.2. Гамильтониан возмущенного движения. Изоэнергетическая редукция.

6.3.3. Линейная система.

6.3.4. Об орбитальной неустойчивости плоских колебаний и вращений в строгой нелинейной постановке задачи.

6.3.5. Замечание о нормальной форме функции Гамильтона.

Изучение общих закономерностей движения механических систем требует проведения качественного исследования решений систем дифференциальных уравнений, которые, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть проинтегрированы в квадратурах. Современные аналитические и качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А. Пуанкаре [169, 170], заложившего основы качественной теории дифференциальных уравнений и А.М.Ляпунова [100], создавшего общую теорию устойчивости движения. Дальнейшее развитие методы теории устойчивости и качественного анализа дифференциальных уравнений получили в работах Д. Биркгофа [27], A.A. Андронова [3, 8], Н.Г. Четаева [224] и других ученых [49, 69, 76, 103, 163]. На базе идей Ляпунова и Пуанкаре были также разработаны эффективные аналитические методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым относятся метод нормальных форм [42, 128, 256], метод малого параметра [102, 159], асимптотические методы [29, 60, 159, 161].

Для классической и небесной механики особый интерес представляют га-ми л ьтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенный прогресс в качественном анализе поведения гамильтоновых систем был достигнут во второй половине двадцатого века после опубликования фундаментальных результатов А.Н. Колмогорова [90], В.И. Арнольда [6, 7], Ю. Мозера [293], в последствии получивших название KAM теории. На основании KAM теории были получены важные выводы об устойчивости и общем характере движения близких к интегрируемым гамильтоновых систем. В настоящее время методы KAM теории совместно с методами локального анализа являются основным инструментом исследования устойчивости и нелинейных колебаний гамильтоновых систем в критических случаях. Среди критических случаев наиболее трудными для исследования являются случаи резонансов. При приближении к резонансу поведение системы качественно изменяется, а исследование значительно усложняется. Каждый резонансный случай, как правило, требует отдельного детального изучения, разработки новых подходов и методов. Поэтому несмотря на то, что анализу различных аспектов движения гамильтоновых систем при резонансах было посвящено много работ, эта область нелинейной динамики остается актуальной и привлекает немалый интерес.

Содержанием данной диссертационной работы является исследование нелинейных колебаний гамильтоновых систем в случаях резонансов, а также изучение свойств и разработка методов аналитического построения семейств частных (периодических и асимптотических) решений при резонансах. В работе также выполняется строгое нелинейное исследование устойчивости движения для ряда задач классической и небесной механики.

Диссертационная работа состоит из шести глав и разделена на три части. В первой части, объединяющей первую и вторую главы, исследуются семейства асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в случае резонансов, а также решается задача существования, построения и бифуркации периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях. Проводится исследование орбитальной устойчивости семейств периодических решений в случае резонанса четвертого порядка.

Поскольку уравнения движения механической системы в общем случае не интегрируемы, то особую важность имеет задача нахождения точного или приближенного аналитического представления семейств частных решений. При этом наибольший интерес представляют те частные решения, само существование которых и их свойства во многом определяют характер поведения системы. К этим решениям относятся решения, асимптотически приближающиеся к стационарным или периодическим решениям.

Асимптотические решения интересны тем, что соответствующие им траектории разделяют фазовое пространство на области с различным характером поведения системы (подобно сепаратрисам на фазовой плоскости математического маятника) и тем, что они тесно связаны с неустойчивостью предельного движения и явлениями стохастичности в детерминированной динамике. В приложениях к задачам ориентации спутников асимптотические движения важны также и потому, что по их траекториям спутник может перейти в заданный номинальный режим только под действием гравитационных моментов без управления.

Постановка задачи и первые результаты о существовании и аналитическом представлении асимптотических решений в системах обыкновенных дифференциальных уравнений относятся к концу девятнадцатого и началу двадцатого века (A.M. Ляпунов [100], А. Пуанкаре [170], А. Кнезер [272, 273], П. Боль [32], Ж. Адамар [262]). A.M. Ляпуновым и А. Пуанкаре разработана классическая теория асимптотических решений. Эта теория дает достаточные условия существования и конструктивный способ построения асимптотических решений в виде рядов. Одним из основных условий ее применимости является наличие у линеаризованной системы уравнений хотя бы одного ненулевого характеристичного числа.

В последние десятилетия были предложены новые подходы [81, 84-87, 119, 120, 132, 164], позволяющие проводить исследование асимптотических решений в случаях, когда теория A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре неприменима.

В.В. Козловым и В.П. Паламодовым в связи с проблемой обращения теоремы Лагранжа рассматривалась задача о движениях консервативных систем, стремящихся к положениям равновесия при неограниченном возрастании времени. Наиболее полные результаты получены ими для систем с двумя степенями свободы и в случае полуквазиоднородной потенциальной энергии [84, 86, 164]. Рассмотрены также многие случаи вырождения, когда несколько частот малых колебаний обращаются в нуль [81, 87]. В.В. Козлов и С.В. Болотин исследовали движения, асимптотические к положению равновесия некоторых неконсервативных механических систем [31, 85].

Методами работ [81, 85] С.Д. Фуртой изучены асимптотические движения ненатуральных механических систем определенного вида [195, 196]. С.Д. Фурта также исследовал асимптотические траектории натуральных механических систем, находящихся под действием сил вязкого трения [198] и асимптотические траектории автономных систем дифференциальных уравнений в критическом случае нескольких нулевых собственных значений [199].

Асимптотические решения в периодической по времени гамильтоновой системе с одной степенью свободы в случае нулевого характеристического показателя исследовал Г.А. Мерман [158].

А.П. Маркеевым и Г.А. Щербиной [119, 120] проведено полное качественное исследование траекторий, асимптотических к положению равновесия автономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 27г-периодической по времени функцией Гамильтона. Ими рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также нерезонансный случай. В работе [129] А.П. Маркеевым изучены движения асимптотические к 27г-периодическим по времени траекториям автономной системы с двумя степенями свободы. Для многомерных гамильтоновых систем с 27г-периодической или независящей от времени функцией Гамильтона при однократных резонансах 3-го и 4-го порядков в [132] получены достаточные условия существования и приближенное аналитическое представление решений, асимптотических к положению равновесия.

Задача о существовании решений, асимптотических к положению равновесия гамильтоновых систем, при резонансах исследовалась также М.А. Балити-новым [10].

Проблеме построения и анализа решений, асимптотически стремящихся к особой точке системы существенно нелинейных дифференциальных уравнений, посвящена монография В.В Козлова и С.Д. Фурты [82]. В статье [83] тех же авторов дается обзор методов, разработанных ими для исследования неэкспоненциальных асимптотик решений систем дифференциальных уравнений.

Исследованию асимптотических движений конкретных механических систем в задачах классической и небесной механики также посвящено немало работ. Асимптотические движения в задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой исследовались Е. Меттлером [288], Г.В. Горром [54-56], Г.В. Горром и Ю.П. Вархалевым [45-47], Ю.П. Вархалевым [48], А.П. Маркеевым [131]. В работе Г.А. Щербины [229] рассмотрена задача о движениях, асимптотических к регулярным прецессиям динамически симметричного спутника - твердого тела. Задача о движениях симметричного спутника, асимптотических к его поступательному в абсолютной системе координат движению была решена А.П. Маркеевым [130]. Асимптотические движения несимметричного спутника на круговой орбите при наличии резонанса третьего порядка рассматривались С.Д. Фуртой [197].

В диссертационной работе рассмотрена задача о существовании и аналитическом построении решений, асимптотически приближающихся к положению равновесия гамильтоновой системы при £ —» +оо или при £ —»• — оо, где t -независимая переменная (время). Решению данной задачи посвящена первая глава. Исследованы все возможные случаи однократных резонансов первого и второго порядков. Рассматриваются как автономные, так и неавтономные, 27г-периодически зависящие от £ гамильтоновы системы. Для неавтономной системы с одной степенью свободы и автономной системы с двумя степенями свободы выполнено полное качественное исследование окрестности положения равновесия и получены необходимые и достаточные условия существования семейств асимптотических решений. В случае системы с произвольным числом степеней свободы найдены достаточные условия существования семейств асимптотических решений. Для каждого рассмотренного резонанса указано точное число семейств асимптотических решений, исследована их аналитическая структура и указан способ построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням |£|.

В качестве приложения рассматривается задача о движениях жесткого динамически симметричного спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям на круговой орбите. Исследование выполняется на границе областей устойчивости регулярных прецессий, где имеют место резонансы первого и второго порядков. На основании полученных общетеоретических результатов найдено приближенное аналитическое представление движений спутника, асимптотических к его цилиндрической, конической и гиперболоидальной прецессиям.

Другим классом частных решений, определяющим характер движения системы, являются периодические решения. Эти решения играют важную роль при исследовании движения системы в локальных областях ее фазового пространства, при анализе резонансных явлений и при изучении регулярного и хаотического поведения траекторий. А.М.Ляпуновым [100] и А.Пуанкаре [170] была создана классическая теория периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых аналитически зависят от своих переменных. Для автономных систем дифференциальных уравнений, обладающих аналитическим первым интегралом, А.М.Ляпуновым были получены достаточные условия существования семейств периодических решений (теорема о голоморфном интеграле), рождающихся из некоторого известного стационарного решения и предложен метод их построения в виде сходящихся рядов по степеням малых начальных отклонений. Системы, рассмотренные A.M. Ляпуновым, часто встречаются в приложениях при описании движения консервативных механических систем. А. Пуанкаре был разработан метод исследования и построения периодических решений систем дифференциальных уравнений, правые части которых аналитически зависят от малого параметра. Этот метод позволяет строить периодические решения в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра. Широкое применение и дальнейшее развитие методы

Ляпунова и Пуанкаре получили в теории нелинейных колебаний благодаря работам A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э.Хайкина [3], Л.И. Мандельштама [104], И.Г. Малкина [102].

Г.В. Каменковым [76] был разработан метод исследования нелинейных колебаний, с использованием функций Ляпунова. Данный метод не только дает эффективный алгоритм построения периодических решений в виде сходящихся рядов, но и позволяет оценить область значений малого параметра, в которой построенные периодические решения существуют.

Наиболее общие выводы о существовании и построении периодических решений систем дифференциальных уравнений, обобщающие классические результаты A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре, были получены А.Д. Брюно. В [41] им был предложен метод построения множества периодических решений по нормальной форме системы дифференциальных уравнений. Более того, было показано, что на данном множестве нормализующее преобразование сходится.

Задача построения периодических решений становится наиболее трудной при наличии резонансов. Изучению свойств и разработке методов аналитического построения периодических решений в резонансных случаях посвящено много работ. Ю.А. Рябовым [171] было дано обобщение теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. В связи с исследованием периодических движений вблизи точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел Я. Анраром [263, 264], К. Альфрендом [231], К. Маером, Ю. Пальморе, Д. Шмидтом [290, 291] были исследованы общетеоретические вопросы существования, бифуркаций и построения семейств периодических решений гамильтоновых систем при резонансах. Изучению периодических решений при рациональном отношении частот линейных колебаний посвящена работа А.Д. Брюно [35]. Д. Шмидтом было выполнено полное исследование периодических решений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в резонансных случаях [300, 301].

И.Г. Малкин применил метод малого параметра для исследования задачи о периодических решениях системы, близкой к системе Ляпунова [102]. При отсутствии резонанса было доказано существование у данной системы единственного периодического решения, рождающегося из положения равновесия невозмущенной системы и представимого в виде сходящегося ряда по целым степеням малого параметра. И.Г. Малкиным [102] также был рассмотрен и случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда между одной из частот со собственных линейных колебаний невозмущенной системы и частотой возмущения О, выполняется соотношение соЫ « О, (ЛГ £ Ж). Причем предполагалось, что порядок малости величины сиЛТ — ^ не меньше, чем порядок малости возмущения. Оказалось, что в этом случае периодическое решение тоже существует и представимо в виде сходящегося ряда по дробным степеням малого параметра. Результаты И.Г. Малкина, нашли приложение в ряде задач классической и небесной механики. В частности, было выполнено аналитическое исследование периодических движений спутника относительно центра масс при малых значениях эксцентриситета орбиты [176].

Для системы, близкой к системе Ляпунова второго порядка, в работе [117] был рассмотрен общий случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда на порядок малости величины шЫ — О не накладывается никаких ограничений. Это позволило исследовать полную окрестность резонанса и показать, что в указанном случае может иметь место бифуркация периодических решений: в зависимости от значений параметров система может иметь либо одно, либо три периодических решения, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. Аналогичные результаты были получены в [116] при исследовании периодических решений многомерных гамильтоновых систем в присутствии резонанса в вынужденных колебаниях.

Задача о существовании, бифуркации и устойчивости периодических решений произвольной нелинейной системы второго порядка, находящейся под действием малого периодического возмущения, исследовалась С. Бернфельдом, Л.

Сальвадори и Ф. Весентином [239, 240].

Вторая глава диссертации посвящена изучению периодических решений систем, близких к системам Ляпунова, и гамильтоновых систем. В ней, в частности, исследуется вопрос о бифуркации и построении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова при резонансе в вынужденных колебаниях. Для системы произвольного конечного порядка разработан алгоритм построения периодических решений в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра. Строго показано, что при изменении значений параметров число периодических решений изменяется в следствие их бифуркации. Установлено, что бифуркационной кривой соответствует ровно два периодических решения, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. Предложен метод аналитического построения как самой бифуркационной кривой, так и соответствующих ей периодических решений. Данный метод применяется в задаче о плоских движениях спутника на эллиптической орбите и в задаче о колебаниях маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса. В указанных задачах получено уравнение бифуркационной кривой и выполнено аналитическое построение отвечающих ей периодических движений.

Как с теоретической точки зрения, так и для приложений к задачам классической и небесной механики большой интерес представляет изучение поведения системы вблизи периодического или стационарного решения. Важные качественные выводы в этом направлении можно сделать на основании анализа устойчивости. Периодическое или стационарное решение гамильтоновой системы может быть устойчивым по Ляпунову лишь в критических случаях, когда характеристические показатели линеаризованной в окрестности этого решения системы имеют нулевые действительные части. Поэтому для строгого решения задачи об устойчивости необходим нелинейный анализ.

Современная методика нелинейного исследования устойчивости гамильтоновых систем состоит в проведении локального анализа в окрестности невозмущенного движения и применении результатов KAM теории или второго метода Ляпунова. При отсутствии резонансов В.И. Арнольдом [7] и Ю. Мозером [293] были получены строгие выводы об устойчивости по Ляпунову неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Для многомерных гамильтоновых систем Ю. Мозером [292], Дж. Глиммом [257], А.Д. Брюно [38] были найдены достаточные условия формальной устойчивости. В.И. Арнольд [7] ввел понятие устойчивости для большинства начальных условий и указал достаточные условия такой устойчивости.

Наиболее сложными для исследования являются резонансные случаи. Д. Кортевегом [274] и Бетом [241-243] впервые было показано, что в случае резонанса устойчивое в линейном приближении решение может стать неустойчивым при учете нелинейных членов. Для некоторых частных случаев в [69, 76, 157, 158, 160, 281-283] была установлена неустойчивость периодических решений при наличии резонанса. К настоящему времени общие выводы об устойчивости по Ляпунову при резонансах получены только для неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В случаях резонансов третьего и четвертого порядков критерии устойчивости по Ляпунову сформулированы и доказаны А.П. Маркеевым [123, 125, 137, 143]. При резонансах первого и второго порядков аналогичное исследование выполнено А.Г. Сокольским [179,181,186] (см. также работу A.M. Ковалева и А.Н. Чудненко [80]). При резонансах в многомерных гамильтоновых системах получены условия формальной устойчивости, условия устойчивости при учете нелинейных членов конечного порядка, а также условия неустойчивости [72, 73, 94, 124, 200]. Обзор результатов исследования задачи об устойчивости гамильтоновых систем и подробную библиографию можно найти в [93, 128, 147].

При изучении семейств периодических решений наиболее актуальной становится задача об орбитальной устойчивости. В работах А.Д. Брюно [39, 40] на основании методов локального анализа был предложен способ нелинейного исследования орбитальной устойчивости. В работах [107, 111] была подробно разработана методика нелинейного анализа устойчивости семейств периодических решений гамильтоновых систем, существование которых следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Эта методика была применена в задаче трех тел для исследования орбитальной устойчивости периодических движений вблизи треугольных точек либрации. На основании данной методики также была решена задача об орбитальной устойчивости периодических движений симметричного спутника вблизи его регулярных прецессий [225] (существование самих периодических решений было установлено ранее в работах [115, 178]).

В недавних работах [138,139,141] исследовался вопрос о существовании, аналитическом построении и устойчивости периодических решений гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансах. В случаях резонанса первого порядка [138, 139], когда теорема Ляпунова о голоморфном интеграле неприменима, было установлено существование семейств периодических решений и исследована их орбитальная устойчивость в строгой нелинейной постановке задачи. На основании результатов данного исследования был проведен анализ орбитальной устойчивости периодических движений симметричного спутника для значений параметров, отвечающих границе областей устойчивости регулярных прецессий. В работе [141] для случая резонанса третьего порядка при положительно определенной функции Гамильтона был проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости семейств долгопериодических решений.

Во второй главе диссертации также решается задача об орбитальной устойчивости периодических движений, рождающихся из положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Функция Гамильтона предполагается аналитической и знакопеременной в некоторой окрестности положения равновесия, собственные значения матрицы линеаризованной системы чисто мнимы, а частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1. Задача об орбитальной устойчивости периодических движений решается в строгой нелинейной постановке. Показано, что короткопериодические движения орбитально устойчивы за исключением лишь случая, отвечающего бифуркации короткопериодических и долгопериодических движений. В этом особенном случае имеется неустойчивая короткопериодическая орбита. Установлено, что если положение равновесия устойчиво, то в зависимости от значений параметров система имеет либо одно семейство орбитально устойчивых долго-периодических движений, либо два семейства орбитально устойчивых и одно семейство неустойчивых долгопериодических движений. Если же положение равновесия неустойчиво, то имеется либо одно семейство неустойчивых долгопериодических движений, либо одно семейство орбитально устойчивых и два семейства неустойчивых долгопериодических движений. Исключение могут составить только особые случаи, отвечающие бифуркации долгопериодических движений или вырождению в задаче об устойчивости, когда нужно проводить дополнительный анализ. В качестве приложения рассмотрена задача об орбитальной устойчивости периодических движений динамически симметричного спутника вблизи его стационарного вращения.

На основании анализа устойчивости частных решений можно сделать общие качественные выводы о поведении системы в их бесконечно малой окрестности. Для более полного изучения структуры фазового пространства системы вблизи ее частных решений требуется рассматривать не бесконечно малую, а некоторую конечную окрестность этих решений. Большой интерес представляет задача о поведении системы в некоторой конечной окрестности ее стационарных и периодических решений. Эффективным методом исследования этой задачи является метод нормальных форм. Идея данного метода принадлежит А. Пуанкаре [295] и состоит в выполнении замены переменных, приводящей исходную систему уравнений вблизи исследуемого решения к наиболее простому виду нормальной форме. В случае гамильтоновых систем к нормальной форме приводят функцию Гамильтона, при этом нормализующее преобразование должно быть каноническим. Изучению структуры и свойств нормальных форм, а также разработке эффективных алгоритмов приведения гамильтониана системы к нормальной форме посвящено много работ. Основные результаты подробно изложены в монографиях [36, 128, 256], которые также содержат достаточно полную библиографию.

Применение метода нормальных форм состоит в введении локальных координат в окрестности изучаемого решения, разложении гамильтониана в ряд по степеням локальных координат и выполнении нормализующего преобразования. Нормальная форма гамильтониана будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. Более того, вид нормальной формы зависит от типа резонанса, поэтому каждый резонансный случай необходимо рассматривать отдельно.

Нормализующее преобразование строится в виде формальных рядов, которые зачастую расходятся. Поэтому при решении конкретных задач классической и небесной механики, как правило, ограничиваются нормализацией членов конечной степени, которую можно выполнить при помощи сходящегося преобразования. Затем рассматривают укороченную систему, в которой ненормализованные члены отброшены. Укороченная система обладает многими свойствами исходной системы и часто позволяет сделать строгие выводы об устойчивости, существовании периодических и условно-периодических решений, а также проводить приближенное интегрирование исходной системы. Укороченная система может допускать один или более первых интегралов, независимых с интегралом энергии. Это позволяет выполнить редукцию укороченной системы к автономной гамильтоновой системе меньшего порядка. В случае однократного резонанса можно выполнить редукцию укороченной системы к некоторой автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы, которая является модельной для данного типа резонанса.

Модельную систему нередко можно проинтегрировать в квадратурах, либо исследовать методами качественной теории дифференциальных уравнений. Модельные системы с одной степенью свободы, отвечающие различным типам резонансов, неоднократно изучались в связи с исследованием движения в конкретных задачах классической и небесной механики. В работах [36, 52, 53, 244, 254, 265-267, 280, 287, 296, 302], на основе анализа модельной системы, был проведен качественный анализ движения в задаче трех тел при различных типах орбитальной соизмеримости. Аналогичный подход применялся в [165, 190, 268, 269, 304] для исследования задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса при резонансах.

Вопрос о поведении траекторий гамильтоновых систем вблизи периодических и стационарных решений исследовался в различных аспектах. Приближенный анализ нелинейных колебаний в окрестности стационарного решения выполнялся в [25, 50, 122, 216, 243, 246, 263, 274]. Фазовые портреты в окрестности равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы для наиболее важных резонансных случаев приведены в [4, 245, 251, 299]. В [35, 138, 139, 141, 212, 215, 263, 264, 290, 298, 300, 301] исследовалась задача о существовании семейств периодических решений, рождающихся из положения равновесия гамильтоновой системы при резонансах. Немало работ посвящено анализу бифуркации периодических решений гамильтоновых систем, многие результаты этих исследований изложены в монографиях [248, 289]. В работах [247, 252, 253] использовался геометрический подход для описания фазового потока канонической системы с двумя степенями свободы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма.

Выводы о характере движения в окрестности положения равновесия, полученные на основании анализа укороченной системы, справедливы на достаточно больших, но все же конечных интервалах времени. Однако, если укороченная система описывает условно-периодическое движение и на ее траекториях выполнены определенные условия (условия невырождености), то на основании КАМ теории можно утверждать о сохранении условно-периодического характера движения в некоторой окрестности положения равновесия полной (исходной) системы на бесконечных интервалах времени. При этом наиболее строгие выводы могут быть получены для периодически зависящей от времени гамильтоно-вой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.

А.П. Маркеевым был предложен подход, позволяющий провести строгое нелинейное исследование поведения гамильтоновой системы в некоторой конечной окрестности положения равновесия при наличии резонансов. Данный подход оказался весьма эффективным для изучения нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы. В частности, были рассмотрены случаи параметрического резонанса [134, 135], резонанса в вынужденных колебаниях [203, 204], резонансов третьего и четвертого порядков [133, 207-209]. Аналогичная методика применялась также для исследования нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансах первого и третьего порядков [138,139, 141] и для анализа движения в автономной гамильтоновой системе, близкой к системе с циклической координатой в случае внутреннего резонанса [211]. В работах [145, 148] были проанализированы свойства решений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы вблизи ее неустойчивых периодических траекторий и получены оценки окрестности, в которой эти решения ограничены.

Во второй части диссертации, объединяющей третью и четвертую главы, проводится полный нелинейный анализ поведения гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия в неисследованных ранее резонансных случаях.

В третьей главе рассматриваются 27г-периодические по времени гамильто-новы системы с одной степенью свободы. Предполагается, что гамильтониан системы содержит один или нескольких параметров. Среди параметров имеется малый параметр е, при нулевом значении которого система становится автономной. Исследуется случай резонанса первого порядка, когда элементарные делители матрицы линеаризованной системы непростые. Проведено полное аналитическое исследование укороченной системы и получено ее общее решение. В нелинейной постановке решена задача об устойчивости 27г-периодических решений рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. На основании методов KAM теории установлено, что для большинства начальных условий траектории в окрестности положения равновесия полной системы являются условно-периодическими. Показано, что неустойчивость положения равновесия носит локальный характер, т.е. траектории, начинающиеся вблизи положения равновесия, вечно остаются в его малой, но конечной окрестности порядка е. Получена верхняя оценка ширины стохастического слоя вблизи сепаратрис. В третьей главе также рассмотрен особый случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда параметры задачи соответствуют бифуркации 27г-периодических решений, рождающихся из положения равновесия. Получено общее решение укороченной системы, проведен анализ устойчивости по Ляпунову периодических решений полной системы. Установлено, что неустойчивость одного из 2-7г-периодических решений является локальной и получена оценка окрестности, в которой траектории системы являются ограниченными. Теоретические результаты третьей главы применяются в задаче о движениях спутника в окрестности его эксцентриситетных колебаний.

Четвертая глава посвящена анализу нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Рассмотрены два резонансных случая: резонанс второго порядка и резонанс четвертого порядка. В первом случае предполагается, что гамильтониан системы зависит от малого параметра е, при нулевом значении которого собственные значения матрицы линейной системы чисто мнимы и попарно равны, а элементарные делители непростые. Проведена редукция укороченной системы к системе с одной степенью свободы, построены фазовые портреты редуцированной системы и получено ее общее решение. Исследована задача о существовании, построении и орбитальной устойчивости семейств периодических решений, рождающихся из положения равновесия полной системы. Методами KAM теории показано, что для большинства начальных условий движение в окрестности положения равновесия является условно-периодическим. Показано, что несмотря на неустойчивость положения равновесия, траектории в некоторой его окрестности ограничены. Получена верхняя оценка данной окрестности. В качестве приложения полученных результатов исследовано движение в окрестности треугольной точки либрации круговой ограниченной задачи трех тел. В частности, сделаны выводы об орбитальной устойчивости периодических движений вблизи точки либрации и получена оценка области, в которой движение носит ограниченный характер.

При резонансе четвертого порядка, когда частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1, предполагается, что функция Гамильтона знакопе-ременна, а положение равновесия устойчиво. Проведен подробный анализ укороченной системы, отвечающей нормализованному гамильтониану, в котором отброшены члены выше четвертой степени. Показано, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. На основании методов теории KAM установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются и в полной системе. Более того, в достаточно малой окрестности положения равновесия траектории полной системы, не являющиеся условно-периодическими, образуют множество экспоненциально малой меры. Результаты исследования применены в задаче о движении динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии.

Третья часть диссертации посвящена исследованию устойчивости движения в ряде задач небесной и классической механики, она объединяет пятую и шестую главы. Все рассмотренные задачи об устойчивости решаются в нелинейной постановке.

Современные методы теории устойчивости гамильтоновых систем позволили получить строгие выводы об устойчивости движения для целого ряда задач классической и небесной механики. Подробно исследована устойчивость треугольных точек либрации в ограниченной задаче трех тел [128, 184]. Много работ посвящено изучению устойчивости точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел [95, 97, 98, 166-168, 261, 276, 277, 279, 294]. С.Г. Журавлевым была исследована устойчивость точек либрации вращающегося трехосного эллипсоида [64, 306]. Устойчивость стационарных треугольных лагранжевых движений системы тел, состоящей из сферически симметричного тела и осе-симметричного тела грушевидной формы, изучалась C.B. Чермных [221], A.A. Кокоревым и С.Н. Кирпичниковым [89], а также в работах А. Мациевского и К. Годжиевского [258-260]. Задача об устойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел рассматривалась A.JI. Кунициным [278], А. П. Ивановым [74], В.Н.Тхаем [193,194], A.JI. Кунициным и В.Н.Тхаем [96]. Был проведен анализ орбитальной устойчивости периодических движений ряда механических систем с соударениями (полная библиография по этому вопросу приводится в работе [136]).

Интенсивное развитие космической техники вызвало большой интерес к задаче об устойчивости движений спутников относительно центра масс. Исследованию данной задачи уделялось много внимания, подробную библиографию можно найти в обзорах [93, 175]. Важным частным случаем движения спут-ника-твердого тела относительно центра масс является его плоское движение, при котором одна из осей инерции спутника перпендикулярна плоскости орбиты центра масс. Плоские движения спутника на эллиптической орбите описываются нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, полученным В.В.Белецким [22]. Данное уравнение содержит два параметра: эксцентриситет орбиты е и инерционный параметр а — 3(А — С)/В, где А, В, С - главные центральные моменты инерции спутника. При е ф 0 и а ф 0 уравнение В.В.Белецкого не интегрируется в квадратурах [43]. На круговой орбите (е = 0) это уравнение описывает маятниковые движения, а его общее решение может быть получено явно в эллиптических функциях Якоби.

Исследованию устойчивости плоских движений спутника на круговой орбите посвящено немало работ. В.В. Белецким [24], а также А.П. Маркеевым и А.Г. Сокольским [108] был проведен подробный анализ устойчивости положений относительного равновесия спутника. В работах [214, 270, 271, 286] исследовалась линейная задача об устойчивости маятниковых периодических движений спутника по отношению к пространственным возмущениям. Предельный случай этой задачи, когда период плоских движений много больше периода обращения центра масс по орбите, был рассмотрен В.В. Сидоренко и А.И. Нейштадтом [177]. В работе [126] в строгой нелинейной постановке было проведено исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений сплюснутого динамически симметричного спутника на круговой орбите. Орбитальная устойчивость плоских периодических движений спутника с неравными моментами инерции исследовалась в [110]. В недавней работе [153] был выполнен строгий нелинейный анализ орбитальной устойчивости вращений спутника-пластинки. При этом предполагалось, что в невозмущенном движении плоскость пластинки совпадает с плоскостью орбиты центра масс спутника.

Многими авторами рассматривалась задача о существовании, построении и устойчивости плоских периодических движений спутника на эллиптической орбите. Особое внимание уделялось 2тг--периодическим нечетным колебаниям, переходящим в положение равновесия спутника на круговой орбите [22]. В.В. Белецким [23] для малых е была получена область параметрического резонанса, где указанные колебания неустойчивы. В работе В.А. Златоустова, Д.Е. Охо-цимского, В.А. Сарычева и А.П. Торжевского [70] линейный анализ устойчивости нечетных 27Г-периодических колебаний был выполнен для всех допустимых значений е и а; нелинейное исследование устойчивости проведено в [307]. A.A. Зевин [68] на основании качественного анализа линейной задачи получил в аналитическом виде достаточные условия устойчивости 27г-периодических колебаний спутника. Линейный анализ устойчивости 27Г-периодических колебаний, не обладающих свойством нечетности, выполнялся в [174]. Ф.Л. Черноусько [222] при малых е и а в линейном приближении исследовал устойчивость плоских периодических движений спутника, период которых кратен периоду орбитального движения. Устойчивость 4тг- и б7г-периодических движений при произвольных е и а в линейном приближении исследовалась В.А. Сарычевым, В.В. Сазоновым, В.А. Златоустовым [172,173]. Для случая слабоэллиптической орбиты в [228] исследована устойчивость по Ляпунову плоских 27гп-периодических движений (n G Z). В работах [114, 121-123, 127, 143, 185, 223] полностью исследована устойчивость стационарного вращения (цилиндрической прецессии) динамически симметричного спутника на круговой и эллиптической орбитах.

В пятой главе диссертации исследуется устойчивость плоских периодических движений спутника на круговой и эллиптической орбитах. Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости колебаний и вращений динамически симметричного спутника, движущегося по круговой орбите. Исследование выполнено для всех значений параметров задачи, за исключением двух особых случаев: колебания спутника близкого к сферически симметричному и колебания или вращения, период которых значительно превосходит период орбитального движения. В случаях, когда удается ввести малый параметр (колебания с малыми амплитудами, вращение спутника, близкого к сферически симметричному) исследование выполняется полностью аналитически. Для произвольных значений параметров критерии устойчивости проверены численно. Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости.

В пятой главе также исследована задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника, обладающего геометрией масс пластинки. Невозмущенное движение представляет собой колебания и вращения спутника, при которых его наименьшая ось инерции, лежит в плоскости орбиты центра масс (плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты). В плоскости параметров задачи построены области параметрического резонанса, в которых имеет место орбитальная неустойчивость. Для всех значений параметров вне указанных областей проведен нелинейный анализ и установлена либо орбитальная устойчивость для большинства начальных условий, либо формальная орбитальная устойчивость, либо орбитальная устойчивость, обнаруживаемая по членам конечного порядка функции Гамильтона возмущенного движения, либо орбитальная неустойчивость. В случае малых амплитуд колебаний и больших угловых скоростей вращения удается ввести малый параметр и провести аналитическое исследование. При произвольных значениях параметров потребовалось проведение численных расчетов.

Кроме анализа орбитальной устойчивости плоских движений спутника на круговой орбите в пятой главе также рассматривается задача об устойчивости одного частного случая плоского периодического движения спутника на эллиптической орбите. Если эксцентриситет орбиты е и инерционный параметр а связаны равенством е = —2а, то уравнение В.В. Белецкого допускает частное решение, описывающее равномерное вращение спутника в плоскости орбиты, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите. В линейном приближении задача об устойчивости этого движения рассматривалась в [201]. В диссертации выполнено строгое исследование устойчивости по Ляпунову данного движения. При значениях эксцентриситета, для которых имеет место неустойчивость, установлено существование и указана аналитическая структура семейств движений, асимптотически приближающихся к невозмущенному периодическому движению.

К настоящему времени получено строгое решение ряда задач об устойчивости движений маятников различного типа [118,134,140, 202, 204, 206, 213]. Большое число исследований было посвящено изучению устойчивости положения относительного равновесия математического маятника с вибрирующей точкой подвеса. Особый интерес к этой задаче возник в связи с установлением А. Сте-фенсоном [303] факта устойчивости верхнего положения относительного равновесия маятника при высокочастотных вертикальных вибрациях точки подвеса. В работах Л.П. Капицы [77, 78] были получены условия устойчивости верхнего положения относительного равновесия маятника и дано физическое объяснение этого феномена. В рамках линейной теории задача об устойчивости положений относительного равновесия была исследована для произвольных значений параметров (см. например [101, 188, 189]). H.H. Боголюбов [29, 30] провел анализ устойчивости положений относительного равновесия с учетом диссипации и получил условия устойчивости по Ляпунову. При малых амплитудах колебаний строгий анализ устойчивости нижнего положения относительного равновесия был выполнен в [134]. В работе [31] было получено строгое достаточное условие неустойчивости верхнего положения относительного равновесия. В [210] подробно исследована задача об устойчивости "спящего"волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса.

Отметим, что явление динамической устойчивости, установленное для верхнего положения относительного равновесия маятника, было затем обнаружено у целого ряда механических систем [156, 218-220].

В шестой главе диссертации в строгой нелинейной постановке исследована задача об устойчивости положений относительного равновесия маятника, точка подвеса которого совершает гармонические колебания вдоль вертикали.

Дано полное решение задачи при всех возможных значениях параметров включая и границы областей параметрического резонанса. Показано, что в областях устойчивости в линейном приближении имеет место также и устойчивость по Ляпунову. Исследование выполнено полностью аналитически, без проведения численных расчетов.

В диссертации также исследуется орбитальная устойчивость маятниковых движений твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой рассматривалась в ряде работ, однако ее полное решение еще далеко от своего завершения. В настоящее время строгие выводы об устойчивости получены для ряда частных случаев. В.Д. Иртегов [75] указал достаточные условия орбитальной устойчивости маятниковых колебаний тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае С.В. Ковалевской, тот же результат другим способом был получен позже А.З. Брю-мом [34]. В работе [148] была установлена нелокальная устойчивость быстрых плоских вращений твердого тела в указанном случае. Полное исследование орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений в случае С.В. Ковалевской было выполнено в [106, 144]. В работах А.П. Маркеева [151] и A.B. Карапепяна [79] в случае Горячева-Чаплыгина был проведен анализ орбитальной устойчивости колебаний и вращений твердого тела относительно оси его динамической симметрии. Показано, что колебания орбитально устойчивы, а вращения орбитально неустойчивы. Для произвольного динамически симметричного твердого тела аналогичное исследование выполнено в [2].

В шестой главе диссертации исследована задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в двух частных случаях: в случае Бобылева-Стеклова и в случае Горячева-Чаплыгина. В случае Бобылева-Стеклова исследована орбитальная устойчивость колебаний и вращений твердого тела вокруг одной из его осей инерции, сохраняющей неизменное положение в абсолютном пространстве. Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости. Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи: амплитуды колебаний и инерционного параметра, представляющего собой отношение двух главных моментов инерции тела. При этом уравнения границ областей устойчивости колебаний и вращений удалось получить в явном аналитическом виде.

В случае Горячева-Чаплыгина исследована устойчивость колебаний и вращений твердого тела вокруг экваториальной оси эллипсоида инерции. В работе [149] была доказана орбитальная неустойчивость данных периодических движений в линейном приближении и установлено, что для решения задачи об устойчивости в нелинейной постановке недостаточно анализа членов до четвертой степени в разложении функции Гамильтона в ряд по каноническим переменным. В диссертации показано, что в данной задаче имеет место особенный (трансцендентный) случай, когда стандартная методика анализа устойчивости по коэффициентам нормальной формы гамильтониана уравнений возмущенного движения неприменима. На основании теоремы Четаева в нелинейной постановке задачи доказана орбитальная неустойчивость указанных периодических движений.

Часть I

СЕМЕЙСТВА ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ В РЕЗОНАНСНЫХ

СЛУЧАЯХ

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработана теория асимптотических решений гамильтоновых систем в случаях резонансов первого и второго порядков. Получены достаточные условия существования новых классов решений, асимптотически стремящихся к положению равновесия гамильтоновой системы, изучена их аналитическая структура и предложен метод построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням независимой переменной. Для периодически зависящей от времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы проведен качественный анализ окрестности положения равновесия и получены необходимые и достаточные условия существования указанных решений, а также показано, что других решений, асимптотических к положению равновесия, не существует.

2. Разработана теория бифуркации периодических решений системы близкой к системе Ляпунова в случае главного резонанса. Предложен метод построения уравнения разветвления периодических решений, рождающихся из положения равновесия системы Ляпунова. Установлено, что в точке бифуркации система имеет ровно два периодических решения. Предложен конструктивный алгоритм получения периодических решений в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра.

3. Разработана теория нелинейных колебаний периодически зависящей от времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае резонанса первого порядка и в особом случае резонанса в вынужденных колебаниях, когда имеет место бифуркация 27г-периодических решений, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. Дано приближенное аналитическое описание движения системы в окрестности положения равновесия. Установлено существование 27Г-периодических решений, близких к положению равновесия, и исследована их устойчивость. Показано, что для большинства начальных условий движения системы являются условно-периодическими. В окрестности траекторий, асимптотических к положению равновесия, могут возникнуть области хаотического движения. Получена оценка ширины указанных областей. Доказана ограниченность движения в некоторой конечной окрестности неустойчивого положения равновесия.

4. Разработана теория нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе второго и четвертого порядков. Дано приближенное аналитическое представление условно-периодических движений системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости периодических решений, рождающихся из положения равновесия. Показано, что в некоторой конечной окрестности положения равновесия движение носит ограниченный характер, а неустойчивость периодических движений может быть лишь локальной.

5. На основании указанных выше теоретических результатов решены следующие задачи классической и небесной механики: а) Исследованы движения динамически симметричного спутника, асимптотически приближающиеся к его регулярным прецессиям на круговой орбите, в случае резонансов первого и второго порядков. б) Исследованы нелинейные колебания динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии на круговой орбите при резонансе четвертого порядка. в) Исследован качественный характер движения в окрестности треугольной точки либрации при критическом соотношении масс. г) Исследованы плоские нелинейные колебания спутника при значениях параметров, отвечающих точке бифуркации его периодических движений. Установлена локальная неустойчивость последних. д) Изучена бифуркация периодических движений маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса.

6. Решен ряд задач об устойчивости периодических движений спутников: а) Выполнено исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите. Задача решена в нелинейной постановке. б) Проведен полный нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластинки, центр масс которого движется по круговой орбите. в) Получено строгое решение задачи об устойчивости плоского периодического движения спутника на эллиптической орбите, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите.

7. Исследована устойчивость движения в ряде задач классической механики: а) Получено полное и строгое решение задачи об устойчивости положений относительного равновесия маятника с вибрирующей по вертикали точкой подвеса. б) В случае Бобылева-Стеклова проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. в) В случае Горячева-Чаплыгина получено строгое решение задачи об устойчивости колебаний и вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой относительно его экваториальной оси инерции.

1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B., Шматков А.М. Обобщенные параметрические колебания механических систем // T1.M. 1999. Т. 63, Вып. 5. С. 746-756.

2. Алехин А.К. Об устойчивости плоских движений тяжелого осесимметрич-ного твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С. 56-62.

3. Андронов A.A., Bumm A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физмат-гиз, 1959. 915 с.

4. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

5. Арнольд В. И. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы в общем эллиптическом случае // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 2. С. 255-257.

6. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, Вып. 5 (113). С. 13-40.

7. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, Вып. 6 (114). С. 91-192.

8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М: Эдиториал УРСС, 2003. 416 с.

9. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 304 с.

10. Балитинов М.А. Поведение решений гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия в резонансных случаях. // Диф. уравн. 1990. Т. 26, № 8. С. 1291-1299.

11. Бардин B.C., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // TIMM. 1995. Т. 59, Вып. 6. С. 922-929.

12. Бардин Б.С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластинки на круговой орбите // Вестник МАИ. 2007. Т. 14, № 2. С. 23-36.

13. Бардин Б.С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2008. Т. 46, Вып. 3. С. 278-288.

14. Бардин Б. С. Об асимптотических решениях гамильтоновых систем при резонансе первого порядка // ПММ. 1991. Т. 55, Вып. 4. С. 587-593.

15. Бардин Б. С. О движениях спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям // Космич. исслед. 1991. Т. 29, Вып. 6. С. 822-827.

16. Бардин Б. С. Об асимптотических движениях гамильтоновых систем при резонансе второго порядка // Межвуз. сб. паучн. тр. «Проблемы механики управляемого движения. Оптимизация процессов управления». Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 1992. С. 19-26.

17. Бардин Б. С. О ветвлении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 4. С. 538-548.

18. Бардин Б. С. Периодические решения систем, близких к системам Ляпунова. М:: Изд-во МАИ, 2005. 60 с.

19. Бардин Б. С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 14-21.

20. Бардин Б. С. Об орбитальной устойчивости периодических движений га-мильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае резонанса 3:1 // ПММ. 2007. Т. 71, Вып. 6. С. 976-988.

21. Бардин Б. С. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в случае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, X2 1. С. 57-74.

22. Белецкий В.В. О либрации спутника // В сб. Искусственные спутники Земли. М.: АН СССР, 1959. Вып. 3. С. 13-31.

23. Белецкий В.В. Либрация спутника на эллиптической орбите // В сб. Искусственные спутники Земли. М.: АН СССР, 1963. Вып. 16. С. 46-56.

24. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.:Наука, 1965. 416 с.

25. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М: Изд-во МГУ, 1975. 308 с.

26. Белецкий В.В., Шляхтин А.Н. Резонансные вращения спутника при взаимодействии магнитного и гравитационного полей. Препринт № 46 Ин-та Прикладной математики АН СССР, 1980.

27. Биркгоф Дэ/с. Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 408 с.

28. Бобылев Д.К. Об одном частном решении дифференциальных уравненийвращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. 1896. Т. 8, Вып. 2. С. 21-25.

29. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

30. Боголюбов H.H. Теория возмущений в нелинейной механике // Сб. тр. Ин-та строит, механики АН УССР. 1950. № 14. С. 9-34.

31. Болотин С.В., Козлов В.В. Об асимптотических решениях уравнений динамики // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1 Матем. Мех. 1980. № 4. С. 84-89.

32. Боль П. О движении механической системы вблизи положения равновесия // Собрание трудов. Рига: Зинатне, 1974. С. 199-290.

33. Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 384 с.

34. Брюм А.З. Исследование орбитальной устойчивости при помощи первых интегралов // ПММ. 1989. Т. 53, Вып. 6. С. 873-879.

35. Брюно А.Д. Нормальная форма нелинейных колебаний // Тр. V Международной конференции по нелинейным колебаниям. К.: Ин-т мат., 1970. С. 112-119.

36. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М: Наука, 1990. 293 с.

37. Брюно А.Д. Семейства периодических решений уравнения Белецкого // Космич. исслед. 2002. Т. 40, № 3. С. 295-316.

38. Брюно А. Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Матем. заметки. 1967. Т. 1, № 3. С. 325-330.

39. Брюно А. Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов // Матем. сб. 1970. Т. 83, Вып. 2. С. 273-312.

40. Брюно А. Д. О локальных задачах механики // Препринт ИПМ АН СССР. 1973. № 96.

41. Брюно А. Д. Множества аналитичности нормализующего преобразования // Препринты ИПМ АН СССР. 1974. № 97, №98.

42. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Наука, 1979. 253 с.

43. Буров A.A. Неинтегрируемость уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Вестник Моск. ун-та, Сер. 1 Матем. Мех. 1984. № 1. С. 71-73.

44. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М: Наука, 1969. 527 с.

45. Вархалев Ю.П., Горр Г. В. Изоконические движения твердого тела, имеющего неподвижную точку // МТТ. 1982. Вып. 14. С. 20-23.

46. Вархалев Ю.П., Горр Г.В. Новый класс асимптотически равномерных движений тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // ПММ. 1982. Т. 46, Вып. 3. С. 397-400.

47. Вархалев Ю.П., Горр Г.В. Свойства одного класса асимптотических движений тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Математическая физика и нелинейная механика. 1984. Вып. 2 (36). С. 14-18.

48. Вархалев Ю.П. Асимптотически равномерные движения гиростата // МТТ. 1983. Вып. 15. С. 93-98.

49. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М: Наука, 1984. 320 с.

50. Витт А., Горелик Г. Колебания упругого маятника как пример колебаний двух параметрически связанных линейных систем // Журн. техн. физики. 1933. Т. 3, Вып. 2-3. С. 294-307.

51. Галин Д.М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1975. Вып. 1. С. 63-74.

52. Герасимов И А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримостей второго и третьего порядков // Астрон. Ж. 1986. Т. 63, № 6. С. 1215-1221.

53. Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримости первого порядка // Астрон. Ж. 1986. Т. 63, № 4. С. 768-773.

54. Горр Г.В. Асимптотически равномерные движения твердого тела с неподвижной точкой в потенциальном поле // МТТ. 1980. Вып. 12. С. 19-26.

55. Горр Г.В. Необходимые условия существования асимптотически равномерных движений тяжёлого твердого тела, имеющего неподвижную точку // ДАН СССР. 1981. Т. 260, № 6. С. 1316-1317.

56. Горр Г.В. Необходимые условия существования асимптотически равномерных движений тяжёлого твердого тела, имеющего неподвижную точку // МТТ. 1982. Вып. 13. С. 27-34.

57. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние. Киев: Наук, думка, 1978. 294 с.

58. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижнойточки в случае А — В = 4С // Мат. сб. Кружка любителей мат. наук. 1900. Т. 21, Вып. 3. С. 431-438.

59. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Изд-во Физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

60. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М: Наука, 1986. 255 с.

61. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона. Киев: Наук, думка, 1992. 168 с.

62. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. Ии-та теорет. астрон. 1960. Т. 7, № 7. С. 511-520.

63. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М: Наука, 1978. 455 с.

64. Журавлев С. Г. Об устойчивости точек либрации вращающегося трехосного эллипсоида в пространственном случае // Астрон. Ж. 1974. Т. 51, № 6. С. 1330-1334.

65. Зайцев А. Ю., Трещев Д. В. Потеря устойчивости периодических траекторий в гамильтоновых системах, зависящих от параметров, при столкновении мультипликаторов в точке —1 // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1 Матем. Мех. 1996. № 2. С. 69-74.

66. Заславский Г.М., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Успехи физ. наук. 1971. Т. 105, Вып. 1. С. 3-39.

67. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М:: Наука, 1984. 272 с.

68. Зевин A.A. О колебаниях спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исслед. 1981. Т. 19, Вып. 5. С. 674-679.

69. Зигелъ К.Л. Лекции по небесной механике. М.:Изд-во иностр. лит., 1959. 300 с.

70. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжевский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исслед. 1964. Т. 2, Вып. 5. С. 657-666.

71. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). М.: Высшая школа, 1984. 232 с.

72. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильто-новой системы при параметрическом резонансе основного типа // ПММ. 1980. Т. 44, Вып. 6. С. 963-970.

73. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильто-новой системы при резонансе второго порядка // ПММ. 1980. Т. 44, Вып. 5. С. 811-822.

74. Иванов А.П. Исследование устойчивости постоянных лапласовых решений неограниченной задачи трех тел // ПММ. 1979. Т. 43, Вып. 5. С. 787-795.

75. Иртегов В.Д. Об устойчивости маятниковых колебаний гироскопа C.B. Ковалевской // Тр. Казан, авиац. ин-та. 1968. Вып. 97. С. 38-40.

76. Каменков Г.В. Избранные труды. М: Наука, 1971. Т. 1. С. 260. Т. 2, 1972, 214 с.

77. Капица Л. П. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейсяточке подвеса // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1951. Т. 21, Вып. 5. С. 588-597.

78. Капица Л.П. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физ. наук. 1951. Т. 44, Вып. 1. С. 7-20.

79. Карапепян A.B. Инвариантные множества в задаче Горячева-Чаплыгина: существование, устойчивость, ветвление // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 2. С. 221-224.

80. Ковалев A.M., Чудненко А.Н. Об устойчивости положения равновесия двумерной гамильтоновой системы в случае равных частот // ДАН УССР, Серия А. 1977. № 11. С. 1011-1014.

81. Козлов В.В., Паламодов В.П. Об асимптотических решениях уравнений классической динамики // ДАН СССР. 1982. Т. 263, № 2. С. 285-289.

82. Козлов В. В., Фу рта С. Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем диффернциальных уравнений. М.: Изд-во Московского ун-та, 1996. 244 с.

83. Козлов В.В., Фурта С.Д. Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем дифернциальных уравнений // В сб.: Нелинейная механика. М.: Физматлит, 2001. С. 89-113.

84. Козлов В. В. О неустойчивости равновесия в потенциальном поле // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36, № 3. С. 215-216.

85. Козлов В.В. Асимптотические решения уравнений классической механики // ПММ. 1982. Т. 46, Вып. 4. С. 573-577.

86. Козлов В. В. Гипотеза о существовании асимптотических движений в классической механике // Функц. анализ и его прилож. 1982. Т. 16, Вып. 4. С. 72-73.

87. Козлов В.В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа Дирихле // ПММ. 1986. Т. 50, Вып. 6. С. 928-937.

88. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 255 с.

89. Кокорев A.A., Кирпичников С.Н. Об устойчивости стационарных треугольных лагранжевых движений системы двух притягивающихся материальных тел: осесимметричного грушевидного и сферически симметричного // Вестн. ЛГУ Сер. 1. 1988. Вып. 1 (№ 1). С. 75-84.

90. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98, № 4. С. 527-530.

91. Кондурарь В. Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара // Астрой, ж. 1959. Т. 36, № 5. С. 890-901.

92. Кузьмин П.А. Частные виды движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в трудах русских ученых) // Тр. Казан, авиац. инта. 1953. Т. 27. С. 91-121.

93. Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 4. С. 58-139.

94. Куницын А.Л., Ташимов Л. Т. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем. Алма-Ата: Гылым, 1990. 196 с.

95. Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. Устойчивость треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // Письма в Асгпрон. ж. 1985. Т. 11, № 2. С. 145-148.

96. Куницын А.Л., Тхай В.И. О неустойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел // Письма в Асгпрон. ж. 1977. Т. 3, № 8. С. 376-380.

97. Куницын А.Л. Об устойчивости треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 5. С. 788-794.

98. Куницын А.Л. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 4. С. 720-724.

99. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах // Собр. соч. Т.1. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 327 -401.

100. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

101. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 475 с.

102. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостех-издат, 1956. 491 с.

103. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

104. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. М: Наука, 1972. 470 с.

105. Маркеев А.П., Бардин Б. С. Об одном плоском вращательном движении спутника на эллиптической орбите // Космич. исслед. 1994. Т. 32, Вып. 6. С. 43-49.

106. Маркеев А.П., Медведев C.B., Чеховская Т.Н. К задаче об устойчивости маятниковых движений твердого тела в случае Ковалевской // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 1. С. 3-9.

107. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование периодических движений, близких к лагранжевым решениям ограниченной задачи трех тел // Препринт ИПМАН СССР. 1975. № 110.

108. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. К задаче об устойивости относительного равновесия спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13, Вып. 2. С. 139-146.

109. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем // Препринт ИПМ АН СССР. 1976. № 31.

110. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 1977. № 4. С. 46 57.

111. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости периодических решений, близких к лагранжевым решениям // Астрон. ж. 1977. Т. 54, № 4. С. 897-908.

112. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Метод исследования периодических движений Ляпунова и его реализация на ЭВМ // Труды Ин-та теоретической астрономии АН СССР. 1978. № 17. С. 62-68.

113. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Метод построения и исследования устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем // ПММ. 1978. Т. 42, Вып. 1. С. 52-64.

114. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите // ПММ. 1976. Т. 40, Вып. 6. С. 1040-1047.

115. Маркеев А.П., Чеховская Г.Я. О периодических движениях твердого тела, близких к его цилиндрической прецессии. // Сб. научн. тр. МАИ. 1978. Вып. 460. С. 17-24.

116. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. О резонансных периодических решениях гамильтоновых систем, рождающихся из положения равновесия // ПММ. 1982. Т. 46, Вып. 1. С. 27 33.

117. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. О колебаниях упругого маятника // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. С. 18-26.

118. Маркеев А.П., Щербина Г.А. О движениях, асимптотических к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. // ПММ. 1987. Т. 51, Вып. 3. С. 355-362.

119. Маркеев А.П., Щербина Г.А. О движениях спутника, асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 4. С. 3-10.

120. Маркеев А.П. О вращательном движении динамически симметричного спутника на эллиптической орбите // Космич. исслед. 1967. Т. 5, Вып. 4. С. 530-539.

121. Маркеев А. П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника // Космич. исслед. 1967. Т. 5, Вып. 3. С. 365-375.

122. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // ПММ. 1968. Т. 32, Вып. 4. С. 738-744.

123. Маркеев А.П. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы // ПММ. 1969. Т. 33, Вып. 3. С. 563-569.

124. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положений равновесия гамильто-новых систем // ПММ. 1970. Т. 34, Вып. 6. С. 997-1004.

125. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13, Вып. 3. С. 322-336.

126. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости одного случая регулярной прецессии твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле // Сб. научн. тр. МАИ. 1978. Вып. 460. С. 13-17.

127. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М: Наука, 1978. 312 с.

128. Маркеев А.П. Асимптотические траектории и устойчивость периодических движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы // ПММ. 1988. Т. 52, Вып. 3. С. 363-371.

129. Маркеев А.П. Об асимптотических движениях спутника относительно центра масс // Письма в Астрой ж. 1988. Т. 14, № 3. С. 281-286.

130. Маркеев А.П. О плоских и близких к плоским вращениях тяжёлого твердого тела вокруг неподвижной точки // Изв. АН СССР МТТ. 1988. 4. С. 29-36.

131. Маркеев А. П. Резонаысы и асимптотические траектории в системах Гамильтона // ПММ. 1990. Т. 54, Вып. 2. С. 207-212.

132. Маркеев А.П. Резонанс третьего порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы // ПММ. 1994. Т. 58, Вып. 5. С. 37-48.

133. Маркеев А.П. О поведении нелинейной гамильтоновой системы с одной степенью свободы на границе области параметрического резонанса // ПММ. 1995. Т. 59, Вып. 4. С. 569-580.

134. Маркеев А.П. Параметрический резонанс и нелинейные колебания тяжелого твердого тела в окрестности его плоских вращений // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 5. С. 34-44.

135. Маркеев А.П. Об устойчивости движения твердого тела при наличии соударений с горизонтальной плоскостью // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 5. С. 32-40.

136. Маркеев А.П. О критическом случае резонанса четвертого порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы // ПММ. 1997. Т. 61, Вып. 3. С. 369-376.

137. Маркеев А.П. Об устойчивости и нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в одном резонансном случае // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 4. С. 38 -49.

138. Маркеев А.П. О критическом случае пары нулевых корней в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы // ПММ. 1998. Т. 62, Вып. 3. С. 372-382.

139. Маркеев А.П. О динамике сферического маятника с вибрирующим подвесом // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 2. С. 213-219.

140. Маркеев А.П. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 2:1 // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 5. С. 757-769.

141. Маркеев А.П. Исследование устойчивости периодических движений автономной гамильтоновой системы в одном критическом случае // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 5. С. 833 847.

142. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 4. С. 653-660.

143. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 51-58.

144. Маркеев А.П. О нелокальной устойчивости периодического движения гамильтоновой системы при резонансе третьего порядка // Доклады Академии наук. 2001. Т. 380, № 6. С. 765-769.

145. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 592 с.

146. Маркеев А.П. Устойчивость гамильтоновых систем // В сб.: Нелинейная механика. М.: Физматлит, 2001. С. 114-130.

147. Маркеев А.П. Об ограниченности траекторий в окрестности орбиталь-но неустойчивого периодического движения гамильтоновой системы // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 1. С. 24-32.

148. Маркеев А.П. О тождественном резонансе в одном частном случае задачи об устойчивости периодических движений твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 32 37.

149. Маркеев А.П. Об одном способе иследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 6. С. 3-12.

150. Маркеев А. П. О маятникообразных движениях твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // ПММ. 2004. Т. 68, Вып. 2. С. 282 293.

151. Маркеев А.П. Конструктивный алгоритм нормализации периодического гамильтониана // ПММ. 2005. Т. 69, Вып. 3. С. 355 371.

152. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских вращений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С. 63 85.

153. Маркеев А.П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 2. С. 200 220.

154. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. M.-JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1955. 655 с.

155. Меняйлов А.И., Мовчан A.B. О стабилизации системы маятник кольцо в условиях вибрации основания // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 6. С. 35-40.

156. Мерман Г.А. О неустойчивости периодического решения канонической системы с одной степенью свободы в случае главного резонанса // В сб. Проблемы движения искусственных небесных тел. М.: АН СССР, 1963. С. 18-41.

157. Мерман Г.А. Асимптотические решения канонической системы с одной степенью свободы в случае нулевых характеристических показателей // Бюл. Ин-та теорет. астрой. АН СССР. 1964. Т. 9, № 6 (109). С. 394 -424.

158. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.:Наука, 1981. 400 с.

159. Мустахишев K.M. К вопросу об устойчивости гамильтоновых систем // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1967. № 1. С. 63-73.

160. Найфе А. X. Введение в методы возмущений. М: Мир, 1984. 536 с.

161. Нейштадт А.И. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических движений // ПММ. 1981. Т. 45, Вып. 6. С. 1016 -1025.

162. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1949. 550 с.

163. Паламодов В. П. Об устойчивости равновесия в потенциальном поле // Функц. анализ и его прилож. 1977. Вып. 4. С. 42-55.

164. Парс Л. Аналитическая динамика. М: Наука, 1971. 635 с.

165. Переэюогин A.A., Турешбаев А.Т. Об устойчивости треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // Письма в Астрой, ж: 1987. Т. 13. С. 338-344.

166. Переэюогин A.A. Устойчивость шестой и седьмой точек либрации фотогравитационной ограниченной круговой задачи трех тел // Письма в Астрой. ж. 1976. Т. 2. С. 448-451.

167. Пережогин A.A. Устойчивость треугольных точек либрации фотогравитационной ограниченной круговой задачи трех тел // Письма в Астрон. ж. 1980. Т. 6. С. 314-317.

168. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГТТИ, 1947. 392 с.

169. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т 1, 2. М: Наука, 1971, 1972.

170. Рябов Ю.А. Обобщение одной теоремы A.M. Ляпунова // Учен. зап. МГУ, "Математика". 1954. Т. 8, Вып. 165. С. 200 220.

171. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исслед. 1977. Т. 15, Вып. 6. С. 809-834.

172. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исслед. 1979. Т. 17, Вып. 2. С. 190-207.

173. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Несимметричные периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исслед. 1980. Т. 18, Вып. 1. С. 3-10.

174. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и техники. Серия: Исследование космического пространства. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. 223 с.

175. Сарычев В.А., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. Препринт № 48 Ин-та Прикладной математики АН СССР, 1975.

176. Сидоренко В.В., Нейштадт А.И. Исследование устойчивости долгоперио-дических движений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2000. Т. 38, Вып. 3. С. 307-321.

177. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Периодические движения, близкие к гиперболоидальной прецессии симметричного спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1979. Т. 17, Вып. 2. С. 208-217.

178. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы сдвумя степиями свободы в случае равных частот // ПММ. 1974. Т. 38, Вып. 5. С. 791-799.

179. Сокольский А.Г. Об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел при критическом отношении масс // ПММ. 1975. Т. 39, Вып. 2. С. 366-369.

180. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка // ПММ. 1977. Т. 41, Вып. 1. С. 24-33.

181. Сокольский А.Г. Доказательство устойчивости лагранжевых решений при критическом соотношении масс // Письма в Астрон. ж. 1978. Т. 4, № 3. С. 148-152.

182. Сокольский А.Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при резонансе первого порядка // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Новосибирск: Наука, 1979. С. 63-68.

183. Сокольский А.Г. Исследование устойчивости стационарных, периодических и условно-периодических решений гамильтоновых систем в некоторых задачах небесной механики. Дисс. на соиск. учен. степ. докт. физ.-мат. наук. М.:МАИ, 1980.

184. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника // Космич. исслед. 1980. Т. 18, Вып. 5. С. 698-706.

185. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае нулевых частот // ПММ. 1981. Т. 45, Вып. 3. С. 441-449.

186. Стеклов В. А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющегонеподвижную точку // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. 1896. Т. 8, Вып. 2. С. 19-21.

187. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 256 с.

188. Стретт М.Д.О. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. Харьков; Киев: Гостехиздат, 1935. 238 с.

189. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа "маятник". Алма-Ата: Наука, 1981. 253 с.

190. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космич. исслед. 1964. Т. 2, Вып. 5. С. 667-678.

191. Трещев Д. В. Потеря устойчивости в гамильтоповых системах, зависящих от параметров // ПММ. 1992. Т. 56, Вып. 4. С. 587-596.

192. Тхай В.Н. Об устойчивости постоянных лапласовых решений неограниченной задачи трех тел // ПММ. 1978. Т. 42, Вып. 6. С. 1026-1032.

193. Тхай В.Н. Об устойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел // Письма в Астрон. ж. 1979. Т. 5, № 6. С. 486-488.

194. Фурта С.Д. Об асимптотических решениях уравнений движения механических систем // ПММ. 1986. Т. 50, Вып. 6. С. 938-944.

195. Фурта С.Д. О неустойчивости положений равновесия ненатуральных консервативных систем // Сб. ст. «Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем». Новосибирск: Наука, 1987. С. 203-206.

196. Фу рта С. Д. Об асимптотических движениях несимметричного твердого тела на круговой орбите при наличии резонанса третьего порядка // Кос-мич. исслед. 1988. Т. 26, Вып. 6. С. 943-944.

197. Фурта С.Д. Асимптотические траектории натуральных механических систем, находящихся под действием сил вязкого трения // Сб. ст. «Аналитические и численные методы исследования механических систем». М.: МАИ, 1989. С. 35-38.

198. Хазин Л. Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонан-сов // ПММ. 1971. Т. 35, Вып. 3. С. 423-431.

199. Хентов A.A. Об одном вращательном движении спутника // Космич. исслед. 1984. Т. 22, Вып.1. С. 130-131.

200. Холостова О. В. Некоторые задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. 1995. Т. 59, Вып. 4. С. 581-589.

201. Холостова О. В. О движении близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях // ПММ. 1996. Т. 60, Вып. 3. С. 405-412.

202. Холостова О.В. О движении гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 3. С. 167-175.

203. Холостова О. В. Параметрический резонанс в задаче о нелинейных колебаниях спутника на эллиптической орбите // Космич. исслед. 1996. Т. 34, Вып. 3. С. 312-316.

204. Холостова О. В. Об устойчивости периодических движений маятника с горизонтально вибрирующей точкой подвеса // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 4. С. 35-39.

205. Холостова О. В. О нелинейных колебаниях спутника при резонансе третьего порядка // ПММ. 1997. Т. 61, Вып. 4. С. 556-565.

206. Холостова О. В. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе четвертого порядка // ПММ. 1998. Т. 62, Вып. 6. С. 957-967.

207. Холостова О.В. О движении близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе четвертого порядка // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 4. С. 25-30.

208. Холостова О.В. Об устойчивости "спящего" волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 5. С. 858-868.

209. Холостова О.В. О внутреннем резонансе в автономной гамильтоновой системе, близкой к системе с циклической координатой // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 3. С. 366-380.

210. Холостова О.В. О периодических движениях неавтономной гамильтоновой системы с двумя степнями свободы при параметрческом резонансе основного типа // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 4. С. 539-550.

211. Холостова О. В. О движении маятника с вибрирующей точкой подвеса // В сб. научно-методических статей по теоретической механике. М.: Изд-во МГУ, 2003. Вып. 24. С. 157-167.

212. Холостова О. В. Линейный анализ плоских колебаний спутника-пластинки на круговой орбите // Нелинейная Динамика. 2005. Т. 1. С. 181-190.

213. Холостова О.В. О резонансных периодических движениях гамильтоно-вых систем с одной степенью свободы при вырождении гамильтониана // НИМ. 2006. Т. 70, Вып. 4. С. 568-580.

214. Целъман Ф.Х. О "перекачке энергии "между нелинейно-связанными осцилляторами в случае резонанса третьего порядка // ПММ. 1970. Т. 34, Вып. 5. С. 957-962.

215. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. 1901. Т. 10, Вып. 2. С. 32-34.

216. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибрации // ДАН СССР. 1956. Т. 110, № 3. С. 345-347.

217. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызваемые вибрацией // ДАН СССР. 1983. Т. 270, № 1. С. 62-67.

218. Челомей C.B. О двух задачах динамической устойчивости колебательных , систем, поставленных академиками П.Л.Капицей и В.Н.Челомеем // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 6. С. 159 166.

219. Чермных C.B. Об устойчивости точек либрации в одном гравитационном поле // Вестпн. ЛГУ Сер. 1. 1987. Вып. 2 (№ 8). С. 73-77.

220. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1963. Т. 3, № 3. С. 528-538.

221. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. 1964. Т. 28, Вып. 1. С. 155-157.

222. Четаев Н.Г. Устойчивость движения // Работы по аналитической механике. Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

223. Чеховская Т.Н. О периодических движениях осесимметричного твердого тела, близких к его конической прецессии. //В сб.: Исследование периодических движений и устойчивость механических систем. М., 1983. С. 41-49.

224. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1977. 81 с.

225. Чириков Б.В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1978. 79 с.

226. Чуркина Н.И. О периодических движениях твердого тела на эллиптической орбите малого эксцентриситета // В сб.: Устойчивость и колебания нелин. мех. систем. М., 1987. С. 24-27.

227. Щербина Г.А. Движения спутника, асимптотические к его регулятным прецессиям // Космич. исслед. 1989. Т. 27, Вып. 1. С. 31-41.

228. Якубович В.Я., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.:Наука, 1987. 328 с.

229. Alfriend К. Т. Stability of and motion about L4 at three-to-one commensura-bility // Celestial Mech. 1971. V. 4. P. 60-77.

230. Bardin B. S. Nonlinear oscillations of Hamiltonian system with one degree of freedom on the boundary of parametric resonance doman // Z. angew. Math. Mech.,. 1997. V. 77, no. 2. P. 23-24.

231. Bardin B. S. Periodic solutions of nearly Lyapunov system in the external resonance case // Rep. Math. Phys. 2000. V. 46, no. 1-2. P. 27-34. XXXI Symposium on Mathematical Physics (Toruri, 1999).

232. Bardin B. S. On motions near the Lagrange equilibrium point L4 in the case of Routh's critical mass ratio // Celest. Mech. 2002. V. 82, no. 2. P. 163-177.

233. Bardin B. S. On nonlinear motions of a Hamiltonian system in the case of external resonance // Rep. Math. Phys. 2002. V. 49, no. 2-3. P. 133-142. XXXIII Symposium on Mathematical Physics (Torun, 2001).

234. Bardin B. S. On nonlinear motions of Hamiltonian system in case of fourth order resonance // Regul. Chaotic Dyn. 2007. V. 12, no. 1. P. 86-100.

235. Bardin B. S., Maciejewski A. J. Nonlinear oscillations of a Hamiltonian system with one and half degrees of freedom // Regul. Chaotic Dyn. 2000. V. 5, no. 3. P. 345-360.

236. Bernfeld S., Salvadori L., Visentin F. Bifurcation for periodic differential equations at resonance // Differential and integral equations. 1990. V. 3, no. 1. P. 1-12.

237. Bernfeld S., Salvadori L., Visentin F. Existence of bifurcating periodic solutions of planar periodic systems at resonance // Rendiconti di matematica e delle sue applicazioni. 1990. V. 10. P. 183-199.

238. Beth, H.J.E. Les oscillations autour d'une position d'équilibre dans le cas d'existence d'une relation linéaire simple entre les nombres vibratoires //

239. Archives Neérlandaises des Sci. Exactes et de Nature. Sér. 2. 1910. V. 15. P. 246-283.

240. Beth, H.J.E. Les oscillations autour d'une position d'équilibre dans le cas d'existence d'une relation linéaire simple entre les nombres vibratoires (suite) // Archives Neérlandaises des Sci. Exactes et de Nature. Sér. SA. 1912. V. 1. P. 185-213.

241. Beth, H.J.E. The oscillations about a position of equilibrium where a simple linear relation exists between the frequencies of the principal vibrations // Phil. Mag. 1913. V. 26, series 6. P. 268-324.

242. Borderies N., Goldreich P. A. Simple derivation of capture probabilities for the j + 1 : j and j + 2 : j orbit-orbit resonance-problems // Celestial Mech. 1984. V. 32, no. 2. P. 127-136.

243. Braun M. On the applicability of the third integral of motion // J. Differential Equations. 1973. V. 13. P. 300-318.

244. Breakwell J., Pringle R. Nonlinear resonances affecting gravity gradient stability // Proc. 16 th Intern. Ausronaut Cong., Athens, 1965. Paris: Gauthier-Villars, 1966. P. 305-325.

245. Breiter S., Elipe A. Pseudo-oscillator with a quadratic perturbation // Mechanics Research Communications. 2001. V. 28, no. 2. P. 119-126.

246. Broer H., Hoveijn I., hunter G., Vegter G. Bifurcations in Hamiltonian systems. Berlin: Springer-Verlag, 2003. V. 1806 of Lecture Notes in Mathematics. P. xiv+169. Computing singularities by Grôbner bases.

247. Chirikov B. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 1979. V. 52, no. 5. P. 264-379.

248. Cushman R., Kelley А., Кодак H. Versal normal form at the Lagrange equilibrium L4 // J. Differential Equations. 1986. V. 64, no. 3. P. 340-374.

249. Duistermaat J. J. Bifurcation of periodic solutions near equilibrium points of Hamiltonian systems // Bifurcation theory and applications (Montecatini, 1983). Berlin: Springer, 1984. V. 1057 of Lecture Notes in Math. P. 57-105.

250. Elipe A. Complete reduction of oscillators in resonance p:q // Phys. Rev. E. 2000. V. 61, no. 6. P. 6477-6484.

251. Elipe A. Extended lissajous variables for oscillators in resonance // Mathematics and Computers in Simulation. 2001. V. 57. P. 217-226.

252. Ferraz-Mello S. Resonance in regular variables. I. Morphogenetic analysis of the orbits in the case of a first-order resonance // Celestial Mech. 1985. V. 35, no. 3. P. 209-220.

253. Forster H. Uber das Verhalten der Integralkurven einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singulären Punktes // Math. Z. 1938. V. 43, no. 1. P. 271-320.

254. Giacaglia G. Perturbation methoda in non-linear systems. N.Y.: Springer -Verlag, 1972. Перевод на русский: Джакалья Г.Е.О. Методы возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.

255. Glimm J. Formal stability of Hamiltonian sysetms // Communs. Pure Appl. Math. 1964. V. 17, no. 4. P. 509-526.

256. Gozdziewski K. Stability of the triangular libration points in the unrestricted planar problem of a symmetric rigid body and a point mass. // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2003. V. 85, no. 1. P. 79-103.

257. Gozdziewski K., Maciejewski A. J. Nonlinear stability of the Lagrangian libra-tion points in the Chermnykh problem. // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1998. V. 70, no. 1. P. 41-58.

258. Gozdziewski K., Maciejewski A. J. Unrestricted planar problem of a symmetric body and a point mass. Triangular libration points and their stability. // Celest Mech. Dyn. Astron. 1999. V. 75, no. 4. P. 251-285.

259. Gozdziewski K.; Maciejewski A. J., Niedzielska Z. About stability of libration points in the restricted photogravitational three body problem. // Celestial Mech. Dyn. Astron. 1991. V. 52, no. 2. P. 195-201.

260. Hadamard J. Sur certaines propriétés der trajectoires dynamique // Journal de mathématique pure et applieques. 1897. V. 3, no. 4. P. 331-387.

261. Henrard J. Periodic orbits emanating from a resonant equilibrium // Celestial Mech. 1970. V. 1. P. 437-466.

262. Henrard J. Lyapunov's center theorem for resonant equilibrium // J. Dijfer-ential Equations. 1973. V. 14, no. 3. P. 431-441.

263. Henrard J., Caranicolas N. D. Motion near the 3/1 resonance of the planar elliptic restricted three body problem // Celestial Mech. Dynam. Astronom. 1989/90. V. 47, no. 2. P. 99-121.

264. Henrard J., Lemaître A. A mechanism of formation for the kirkwood gaps // Icarus. 1983. V. 55, no. 3. P. 482-494.

265. Henrard J., Lemaître A. A second fundamental model for resonance // Celestial Mech. 1983. V. 30, no. 2. P. 197-218.

266. The inverted pendulum: a singularity theory approach / H. W. Broer, I. Hoveijn, M. van Noort, G. Vegter // J. Differential Equations. 1999. V. 157, no. 1. P. 120-149.

267. Jeffreys H. The simple pendulum under periodic disturbance // Quart. J. Meek. Appl. Math. 1959. V. 12. P. 124-128.

268. Kane T. Attitude stability of earth pointing satellites // AIAA Journal. 1965. V. 3, no. 4. P. 726 - 731.

269. Kane T., Shippy D. Attitude stability of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit // J. Astrounaut. Sei. 1963. V. 10, no. 4. P. 114 119.

270. Kneser A. Studien über die Bewegungsvorgänge in der Umgebung instabiler Gleichgewichtslagen // Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1895. V. 115, H. 4. P. 308-327.

271. Kneser A. Studien über die Bewegungsvorgänge in der Umgebung instabiler Gleichgewichtslagen // Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1897. V. 118, H. 3. P. 186-223.

272. Korteweg D. Sur certaines vibrations d'orde supérieur et d'intensité anomale, vibrations de relation, dans les méchanismes'a plusieurs degrés de liberté // Archives Néerlandaises des Sei. Exactes et de Nature. 1897. V. 1, series 2. P. 229-260.

273. Kovacic J. J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations // J. Symb. Comput. 1986. V. 2. P. 3-43.

274. Kumar V., Choudhry R. On the stability of the triangular libration points for the photogravitational circular restricted problem of three bodies when both of the attracting bodies are radiating as well. // Celestial Mech. 1987. V. 40. P. 155-170.

275. Kumar V., Choudhry R. On the stability of the triangular libration points for the photogravitational circular restricted problem of three bodies under the resonances of the third and the fourth order. // Celestial Mech. 1988. V. 41. P. 161-173.

276. Kunitsyn A. On the stability of Laplace's solutions of the unrestricted three body problem. // Celest. Mech. 1974. V. 9. P. 471-481.

277. Kunitsyn A., Perezhogin A. On the stability of triangular libration points of the photogravitational restricted circular three-body problem. // Celest. Mech. 1978. V. 18, no. 4. P. 395-408.

278. Lemaître A. High-order resonances in the restricted three-body problem // Celest. Mech. 1984. V. 32, no. 2. P. 109-126.

279. Levi-Civita T. Sopra alcuni criteri di inestabilità // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 3a. 1901. V. 5. P. 221-308.

280. Levi-Civita T. Condition du choc dans le problème ristreint des trois corps // C. r. Acad. sei. 1903. V. 135, no. 82/84. P. 221-223.

281. Levi-Civita T. Traiettorie singolari ed urti nei problema ristretto dei tre cor-pi // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 3a. 1903. V. 9, no. 1. P. 1-32.

282. Lonn R. E. Uber singulare Punkte gewöhnlicher Differentialgleichungen // Math. Z. 1939. V. 44, no. 1. P. 507-530.

283. Markeev A. P., Bardin B. S. On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite in a circular orbit // Celestial Mech. Dynam. Astronom. 2003. V. 85, no. 1. P. 51-66.

284. Meirovitch L., Wallace F. Attitude instability regions of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit // J. Astrounaut. Sei. 1967. V. 14, no. 3. P. 123 133.

285. Message P. On nearly-commensurable periods in the restricted problem of three bodies. // The theory of orbits in the solar system and in stellar systems: IAU Symp. №.25. / Ed. by G.Contopoulos. London and New York: Acad. Press., 1966. P. 197-222.

286. Mettler E. Periodische und asymptotische Bewegungen des unsymmetrischen schweren Kreisels // Math. Z. 1937. V. 43, no. 1. P. 59-100.

287. Meyer К. R., Hall G. R. Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the iV-body problem. New York: Springer-Verlag, 1992. V. 90 of Applied Mathematical Sciences. P. xii+292.

288. Meyer K. R., Palmore J. I. A new class of periodic solutions in the restricted three body problem // J. Differential Equations. 1970. V. 8, no. 2. P. 264-276.

289. Meyer K. R., Schmidt D. S. Periodic orbits near £4 for mass ratios near the critical mass ratio of Routh // Celestial Mech. 1971. V. 4. P. 99-109.

290. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems // Communs. Pure Appl. Math. 1958. V. 11, no. 1. P. 81-114.

291. Moser J. Lections on Hamiltonian Systems. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1968. = Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 167 с.

292. Niedzielska Z. Nonlinear stability of the libration points in the photogravita-tional restricted three body problem. // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1994. V. 58, no. 3. P. 203-213.

293. Poincaré H. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles. Paris: Gauthier-Villars, 1879. 93 p.

294. Poincaré H. Sur les planètes du type d'Hécube // Bulletin astronomique. 1902. V. 19, no. 8. P. 289-310.

295. Roels J. An extension to resonant cases of Liapunov's theorem concerning the periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium // J. Differential Equations. 1971. V. 9. P. 300-324.

296. Roels J. Families of periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium when the ratio of two eigenvalues is 3 // J. Differential Equations. 1971. V. 10. P. 431-447.

297. Sanders J. Are higher order resonances really interesting? // Celestial Mech. 1977. V. 16, no. 4. P. 421-440.

298. Schmidt D. Periodic solutions near a resonant equilibrium of a Hamiltonian system // Celestial Mech. 1974. V. 9. P. 81-103.

299. Schmidt D. Versai normal form of the Hamiltonian function of the restricted problem of three bodies near L4 // J. Comput. Appl. Math. 1994. V. 52, no. 1-3. P. 155-176.

300. Schubart J. Special cases of the restricted problem of three bodies // The theory of orbits in the solar system and in stellar systems: IAU Symp. №.25. / Ed. by G.Contopoulos. London and New York: Acad. Press., 1966. P. 187-193.

301. Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. V. 52, Pt.2., no. 8. P. 1-10.

302. Struble R. A. On the simple pendulum under periodic disturbance // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1962. V. 15. P. 245-251.305. van der Meer J.-C. Nonsemisimple 1 : 1 resonance at an equilibrium // Celestial Mech. 1982. V. 27, no. 2. P. 131-149.

303. Zhuravlev S.G. Stability of the libration points of a rotating triaxial ellipsoid. // Celest. Mech. 1972. V. 6, no. 6. P. 255-267.

304. Zlatoustov V. A., Markeev A. P. Stability of planar oscillations of a satellite in an elliptic orbit // Celestial Mech. 1973. V. 7, no. 1. P. 31-45.