Применение методов спектрального анализа оператор-функций в задаче о колебаниях маятника с полостью заполненной жидкостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

г ^

штш НАУК УКРАИНЫ

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ тштш И МЕХАНИКИ НАН УКРАИНЫ

На правах рукописи

Вадиаа Али ( Сирия )

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА С ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

л

01.01.01 - иатеыатичзсхий анализ

Автореферат

диссертации на соискание научной степени кандидата физико-математических наук

Донецк - 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Симферопольского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор КОПАЧЕБСКнЛ Н.Д.

Официальные оппоненты¡доктор физико-математических наук,

ведущий научннй сотрудник БАПЫК !,;.Я.; кандидат физико-математических наук, #доцент МАЛАА1УД U.U.

Ведущая организация: -¿иэико-техническиП институт низких

температур HAH Украины (г.Харьков).

Защита состоится " 1 9. " ^ 994 г. в ~fh час,

на заседании специализированного совета Д. 0c.0I.0I по присуждению научной степени доктора $кзико-матеыатических наук при Институте прикладной математики и механики HAH

Украины по адресу: 340II4,г.Донецк-П4, ул.Розк Люксембург, 74- '

С диссертацией мокно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики и механики HAH Украины.

Автореферат разослан " Ms&'&b&fey*94 г.

Ученый секретарь '

специализированного совета -

кандидат физико-математических А.л.карковскиЗ

ндук

- г-

ОЕЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение задач динамики тел с полостями, частично или полностью заполненными жидкостью, привлекает внимание многих выдающихся ученых, в особенности во второй половине XX века. Такие задачи связаны, в частности, с исследованием космического пространства с помощью ракетной техники. Жидкое топливо в баке космической ракеты совершает как на активном, так и на пассивном участках траектории некоторые колебания, влиящие на совместное движение системы "ракета + бак с жидкостью".

Задача о малых колебаниях тяжелой жидкости в ограниченной области либо маятника с жидкостью интересовала многих выдапцихся математиков и механиков (Остроградский, Коши, Пуассон, Стоке, Гельм-гольц, Нейман, Рэлей, Тейлор, Ламб, Н.Е.Жуковский, О.А.Ладыженская). Первые результаты по исследованию задач динамики тела с полость», содержащей жидкость, принадлежат Н.Е.Чуковскому. Последующие исследования проводили Н.Н.Моисеев, В.В.Румянцев, Г.С.Нариманов, Б.И.Рабинович, Л.Н.Сретенский, Д.Е.Охоцимский, С.Г.Крейн, А.А.Петров, И.А.Луковский, М.Я.Барняк, Нго Зуй Кан и другие. Большой цикл работ был посвящен'также основной проблеме в этом круге вопросов -исследованию колебаний маятника с полостью, целиком либо частично заполненной идеальной или вязкой жидкостью либо системой из несме-шиваюцихся жидкостей. Здесь можно отметить работы С.Г.Крейна и Н.Н.Моисеева, Г.А.Моисеева, Н.Д.Копачевского (идеальная жидкость), О.Б.Иевлевой, П.С.Краснощекова, С.Г.Крейна и Нго Зуй Кана, М.Я.Еар-няка и Р.И.Цебрия, Е.Д.Володкович и Н.Д.Копачевского, З.Л.Чернз-усько (вязкая жидкость).

Если жидкость частично заполняет полость и находится в условия:-

близких к невесомое.л, то необходимо учитывать действие капиллярных (поверхностных) сил. Исследования задач динамики тела с по--остью, содержащей капиллярную жидкость, проводили Н.Н.Моисеев, Ф.Л.Черноусько, Н.Д.Копачевский, Ы.Я.Барняк, А.Н.Коыаренко, И.А.Лу ковский, С.Г.Крейн, Нго Зуй Кан и другие.

При исследовании начально-краевых задач для системы линейних дифференциальных уравнений в частных производных, описьшащих движение и нормальные колебания тела с полостью, содержащей жидкость, важнуа роль играют методы функционального анализа и, в частности, методы теории дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, а таюйе методы теории оператор-функций. Успешное применение этих методов для задач подобного рода отражено в работах С.Г.Крейна, Н.Д.Копачевского, Нго Зуй Кана и других.

Несмотря на громадные достижения в области динамики тела с полостью, содержащей жидкости, и в определенной мере законченность некоторых полученных здесь математических результатов, остались неисследованными некоторые задачи, которые можно назвать классическими. Качественному исследованию этих нерешенных задач для урав нений в частных производных и посвящена данная диссертация. Автор ограничился изучением липь плоских (двумерных) проблем. Соответствуйте трехмерные задачи исследуются аналогично. С другой стороны, наличие лишь одной дополнительной степени свободы по сравнению со случаем неподвижного сосуда позволяет провести более детальное рассмотрение проблемы.

Цель работы. I. Качественное исследование задачи о малых коле баниях маятника с полостью, заполненной системой из -несмешивающихся тяжелых идеальных жидкостей.

2. Исследование задачи о малых движениях к собственных колебаниях маятника с полостью', частично заполненной капиллярной

идеальной жидкостью.

3. Изучение задачи о малых движениях и нормальных колебания: маятника с полостью, заполненной системой из несмешиващихся вязких жидкостей.

4. Исследование динамики и устойчивости маятника с полостью частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью.

Методика исследования. Систематически применяются методы фу; ционального анализа, в частности, методы теории дифференциальных уравнений в игльбертовом пространстве и методы спектральной тео. оператор-функций. На протяжении всей работы существенно использу ются также методы теории дифференциальных уравнений в частных пр изводных, методы ортогонального проектирования на подпространств гильбертова пространства и другие.

Научная новизна. Результаты диссертации представляют собой качественное исследование новых начально-краевых задач для сист .дифференциальных уравнений в частных производных, описыващих ко лебания маятника с полостью, содержащей жидкость. В частности:

I. Разработан операторный подход, связанный с приведением з я.ачи о малых колебаниях плоского маятника с полостью, заполнение системой из несмешиваоцихся идеальных .тадкостей, к задаче Коаш л дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом прост раястве. Изучены свойства операторных коэффициентов операторного уравнения и на этой основе доказана теорема о корректной разреши мости исходной начально-краевой задачи,.выведен закон баланса пс ной,энергии.

1 2. Изучена задача о собственных колебаниях проблемы п.1. Дс казана теорема о дискретности ее спектра, получены условия уето; чивости и неустойчивости системы. Разработан вариационный по&хс; .для нахождения частот и мод собственных колебаний. Обобщенное

решение эволюционной задач!, представлено в виде ряда по собственным функциям спектральной задачи.

3. °аэработан операторный подход, связанный с приведением задачи о малых колебаниях плоского маятника с полостью, частично заполненного капиллярной идеальной жидкостью, к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Доказана теорема о корректной разрешимости начальнЬ-краевой задачи, исследована задача о собственных колебаниях. Доказана-теорема о дискретности спектра. Получены условия устойчивости и неустойчивости системы. Разработан вариационный подход для нахождения частот и мод собственных колебаний.

4. Разработан операторный подход, основанный на приведении за-' дачи о малых колебаниях плоского маятника с полостью, заполненной системой из нэсмеииваоцихся тяжелых вязких жидкостей, к дифференциально-операторному уравнению в гильбертовом пространстве. Изучены свойства операторных коэффициентов этого уравнения, получены условия статической устойчивости. Доказана теорема о корректной разрешимости начально-краевой задачи.

5. Исследована задача о нормальных колебаниях проблемы п.4. Установлен факт дискретности спектра этой задачи, наличие двух предельных точек .для собственных 'значений, а также другие свойства спектра: расположение в комплексной плоскости, асимптотика ветвей собственных значений, структура спектра при изменении средней кинематической вязкости системы и т.д. Получены условия неустойчивости системы. Доказали теоремы о базисности систем собственных элементов задачи о нормальных колебаниях.

6. Предложен подход, позволяющий привести задачу о малых колебаниях плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью, к дифференциально-операторному уравнению вто-

poro порядка в гильбертовом пространстве. Изучены свойства операторных коэффициентов этого уравнения. Исследован спектр нормальных колебаний системы. Установлено принципиальное влияние капиллярных: сил на структуру спектра задачи. Доказана теорема о полноте системы мод нормальных колебаний, теорема о корректной разрешимости начально-краевой задачи.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в-некоторых вопросах теории дифференциально-операторных уравнений, уравнения з частных производных, а так.ке непосредственно на практике, опираясь на полученные здесь вариационные принципы для частот собственных колебаний и на теоремы о неустойчивости, - при инженерном проектировании системы "тело -г полость с жидкостью".

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Ш и 1У Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектра-тьным и эволюционным задачам (Ласпи, 1992, 1993), в Институте математики АН Украины на семинаре чл.-корр. АН Украины П.А.Лукозского, на научных конференциях преподавателей Симферопольского госуниверситета, в Институте прикладной математики и механики АН Украины (семинар проф. Б.В.Базалия), на семинарах кафедры математического анализа Симферопольского госуниверситета (семинар проф. Н.Д.Копачевского).

Публикации. Результаты выполненных исследований отражены в работах [ 1-б1 . ' •

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 2С5 страницах и состоит из .введения, двух глаэ, дополнений и списка литературы из 84 наименований. При этом введение, дополнения и список литературы составляют 34 страницы.

- 6 -

СОдарМШЕ РАБОТЫ

В первой главе, состоящей из трех параграфов, изучаются малые движения и собственные колебания плоского маятника с полостью, заполненной одной либо несколькими идеальными жидкостями. В §0 приведены некоторые вспомогательные утверждения, взятые из монографии -"Колачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кал. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. -М.: Наука, 1989. - 416 с. , относительно разложения гильбертова' пространства вектор-функций цел) на ортогональные подпространства, естественно связанные с изучаемыми в данной работе векторными полями скоростей, смещений и градиентов давлений. Именно, использованы разложения

рд) © ©> (X)

ИеГ2С&): с-о (м^л)^

¿а): ^о («а г)}.

Здесь ОЗ-П - граница области , заполненной жидкостью,

состоящая из твердой стенки сосуда и свободной поверхности

жидкости V , - внешняя нормаль.

Если полость заполнена системой из не смеши ващихся

жидкостей, с плотностями ^Ч-^г ^Рт+^^О), то в работе используется гильбертово пространство Л^ ¿/2)наборов векторных полей

ЬС ~ со скалярным произведением

1

^/^г , ^^(ол• ъ. (2)

Здесь взамен (I) имеет место ортогональное разложение

^ А^ /А

- ^оСЛ') © &0#гСа)\ (3)

о Скд яло 5 * - ^Тт+т ?,

Ч г*

п»

где - нормаль к поверхности раздела Г^ , направленная

из | -ой в (£-*л)-ю жидкость, И- - внешняя нормаль.

В §Х изучаются малые колебания плоского маятника с полостью, заполненной системой из гл+Л несмепшващихся однородных идеальных жидкостей. Начально-краевая задача о малых движениях такой системы "маятник + жидкости" состоит в нахождении полей относительных смещений ЧдР из кидкостей, давлений вертикальных отклонений

^ границ раздела жидкостей и углового пе-

ремещения . маятника (относительно оси О ос, } из

следующей системы уравнений, граничных и начальных условий:

НлГ^ |>,- "¡V И«41 >о.

ЗдесьС^^С^^О- компонента тензора инерции всей системы относительно точки подвеса 0 маятника, равная суше компонент тензора инерции (1-|)г твердого тела и тензоров инерции кид-

_.-0 гп

^т* масса всей системы,

(го^-г^me5.il*: } М (Ь) - главный момент относительно 0 всех внешних сил (кроме гравитационных), действупдах на тело с жидкостями, ■£. - расстояние от 0- до центра тсс С систедо в состоянии покоя, > О - ускорение силы тяжести, —

малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное.

В §1 для задачи Ш установлены следующие факты. 1°. Выведен закон баланса полной энергии для классического решения задачи (4).

2°. Путем проектирования совокупности уравнений движения на 'ортогональные'подпространства (3) и последующих преобразований задача (4) приведена к задаче Колш ' •

где £ ) - функция со значениями в вещественном

Л ^ Л (Ч I

гильбертовом пространстве,

- заданная функция, а А и Е> -операторы, действующие в В. и шещне смысл операторов кинетической и потенциальной энергии соответственно. 3°. Оператор А самосопряжен, положителен и компактен в . 4°. Оператор самосопряжен и ограничен в Н . Для того, чтобы оператор был положительно определен, необходимо и достаточно выполнения условия

д-тп^-^; СО^ >о, 0,-X, 1ааг- >0, т

где 0: - ортопроектор на Г: . Если А =0 , то & имеет

о . ч й

одномерное ядро, при Л<-0 оператор Ъ имеет ровно одно

отрицательное и притом простое собственное значение, причем

5°. Для спектральной задачи

, ^сО^С-ь^е^рСг«^ ' (7)

порожденной однородной задачей (5), имеют место следующие свойства;

а) Задача (7) имеет вещественный дискретный спектр с предельной точкой

б) Если выполнено условие.(б) (статической устойчивости системы по линейному приближению), го все собственные значения - X положительны.

в) При д=С> задача (7) имеет однократное нулевое собственное значение, а гри г^-^О - простое отрицательное собственное значение. Последний факт есть обращение теоремы Лагранжа об устойчивости если квадратичная форма потенциальной энергии ^ принимает

отрицательные значения, то решения однородной задачи (5) неустойчивы. *

6°. Собственные значения задачи (7) могут быть найдены как

последовательные минимумы вариационного отношения

(8)

рассматриваемого на множестве функций (ос.) , удовлетворяющих уравнениям и краевым условиям вспомогательной задачи

(нлГЛ ^

■ " =1а

где произвольные функции из )-а , . При этом

потенциалы %ковског.о для областей

л -ои (Гд х?).* (м ШЛ ^^Т;

> ■ - 7 (10)

Таким образом, отношение (8) зависит от произвольных функций ^.(Хг) ( ^ ^т) и константы ; его нужно рассматривать на

обобщенных решениях вспомогательных краевых задач (9),(10). 7°. Частными случаями за,цачи (8) является задача о малых колебаниях системы жидкостей в неподвижном сосуде — О} , задача о колебаниях маятника с полостью, частично заполненной одной жидкостью С^а.-...= ^т-н =Р} I а также случай полного заполнения одной жидкостью (задача Чуковского). .

8°. Ва основе вариационной задачи (8)-(Ю) может быть развит вариационный метод Ритца для функционала

который для неподвижного сосуда хорсзо известен и на его оснозе проведены многочисленные конкретные расчеты.

9°. Реззнке эволюционной задачи (5) может быть представлено в еидв ряда 'Зурье по собственней элементам задачи (7), в том числе й в неустойчивом случае, когда миндальное собственное значение ^ С В §2 рассмотрена задача о малых колебаниях маятника с полость» частично заполненной одной идеальной кидкость», причем система нахо дится в условиях, близких к невесомости, когда наряду с гравитационными следует учитывать капиллярные (поверхностные) спы. Здесь в задаче (4) следует поло уть • = <Э » а на границе Гл= \

,:ен слагаемого С^^^С^+^СС^.-^^^написать слагаемое,

взам

отвечающее капиллярному скачку давлений:

(12)

^ -0Г6Г<£ - он (^ЛИ

где л г - дифференциальный оператор Лапласа-Бельтрами на Г , > О - коэффициент поверхностного натяжения , - кривиз-

на линии Г" . . Кроме того, в концевых точках кривой Г долхнн выполняться условия сохранения угла смачивания ^ при колебаниях: •

22-+ 0с4 = о (13)

Исследование соответствующей начально-краевой задачи (4),(12), "(13) проводится по той же схеме, что и в 51. В частности, для ее

решений справе.дливы свойства I0- 8° с тем лишь изменением, что оператор потенциальной энергии является ограниченным снизу

оператором с дискретным спектром. В зависимости от величины физических параметров системы он может иметь произвольное конечное число отрицательных собственных значений. Выясняется условия (см. лемму 2.4 диссертации), когда оператор положительно определи

При выводе соответствующего уравнения вида (5) используется взамен .,(3) ортогональное разложение (I).

Вторая глава диссертации посвящена изучению задач §1 и §2 на случай, когда взамен идеальных рассматриваются вязкие жидкости. В §3 приводятся краткие сведения об энергетических функциональных пространствах, естественно возникающих в задачах §4, §5 с учетом диссипации энергии в системе с вязкой жидкостью, а также соответствующие вспомогательные краевые задачи.

В §4 рассмотрены малые движения и нормальные колебания маятника с полостью, заполненной системой из несмешивающихся тяжелых вязких жидкостей. Установлено, что взамен начально-краевой задачи математической физики, порожденной указанной проблемой, следует рассматривать задачу Коши вида

где ^>0 - средняя кинематическая вязкость системы, I (оператор кинетической энергии) - ограниченный и положительно определенный оператор, действущий в ' В ; оператор А'• -ciiaQ (AjО - оператор диссипации, О » Ры - компактный оператор;

о - оператор потенциальной энергии системы. Оператор о

неограничен, самосопряжен и ограничен снизу. Он имеет бесконечномерное ядро. Если выполнено условие (6), то оператор неотрицателен и является положительно определенным оператором на множестве из , ортогональном к ядру Кв'ь Ь (лемма 4.10 диссер тации). Если условие (б) не выполнено и Л<0 , то о имеет ровно одно (с учетом кратности) отрицательное собственное значение

Исследование задачи (14), а также соответствующей спектральной задачи

СА Ч- ь) ^ = о, (15)

приводит к следующим выводам.

1°. Число Я=Ю является бесконечно кратным собственным значением задачи (15); на мнимой оси вне нуля нет собственных значений. При изменении физических параметров системы собственные зна чения X могут переходить из правой полуплоскости в левую лишь через нуль (принцип смены устойчивости).

2°. Задача (15) имеет дискретный спектр с предельными точками X — О и \гоо , Если выполнено условие (6) (статической устойчивости по линейному приближению), то все собственные значения X расположены в правой полуплоскости.

3°. Ветвь собственных значений с предельной точкой

¿хэ расположена на положительной полуоси и имеет асимптотическое поведение

(V—). сю

Ей отвечают в данной гидромеханической системе диссипативные нормальные движения, родственные обычным диссипативным движениям в неподвижном полностью заполненном контейнере.

4°. Ветвь

с предельной точкой в нуле также располо-. жена на положительной полуоси и имеет асимптотическое поведение

К-^ТЧкСЬК^оСАЖ^--о), (17)

где оператор &> определен формулой (4.85) (см. §4 и лемму 4.12 диссертации). Этой ветви отвечают пограничные волны, действующие в системе в окрестности границ раздела Г"^

5°. При достаточно большой вязкости задача (15) имеет

комплексно сопряженную пару собственных значений

= + , .(18)

где (<0а>0 - частота колебаний маятника с отвердевшей жидкостью. При произвольной вязкости количество невещественных собствен-

ных значений Л не более чем конечно (промежуточные волны).

6°. Если условие (6) не выполнено и д<0 , то задача (15) имеет в левой комплексной полуплоскости ровно одно и притом вещественное и простое собственное значение (теорема о неустойчивости).

В данном параграфе установлены также свойства базисности Рис-са системы собственньгс элементов, отвечающих ветвям диссипагивных и пограничных волн (п.4.6). В п.4.7 формулируется теорема о корректной разрешимости начально-краевой задачи на основе сведения задачи (14) к задаче Копш для дифференциального уравнения первого порядка с максимальным диссипативным оператором (см, теорему 4.7,4.8 диссертации).

В §5 изучаются.малые движения и нормальные колебания маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью. Не останавливаясь подробно на формулировке результатов, полученных здесь, отметим, что исследование проведено сначала по схеме §4 вплоть до получения эволюционной задачи вида (14). Однако свойства

о/

оператора потенциальной энергии . с> , учитывающие действие в системе капиллярных сил, позволяют установить, что в соответствующей

спектральной задаче (15) спектр дискретен с единственной предельной точкой Х- «х* . В этом сказывается, как и в проблеме нормальных колебаний капиллярной вязкой жидкости в неподвижном-сосуде (см. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй .Нац. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989. - 416 е., §8.2)., принципиальное влияние поверхностных сил на структуру спектра нормальных колебаний. Остальные свойства решений задач (14) и (15) в данной проблеме аналогичны сформулированным выше свойствам 1° - б° (с заменой свойства базисности на свойство полноты с конечным дефектом системы собственных и присоединенных элементов, теорема 5.2 диссертации).

Таким образом, в диссертации подробно исследованы плоские задачи о малых движениях маятника с полостью, заполненной одной либо несколькими несмешиващимися идеальными или вязкими жидкостями. При этом применены те методы спектральной теории оператор-функций, которые дали ранее эффективные результаты для соответствующих задач о колебаниях жидкости в неподвижной сосуде.

В конце работы приведены два дополнения, связанные с выводами динамического условия на равновесной поверхности жидкости и закона изменения кинетического момента.

Автор благодарит проф. Н.Д.Копачевскогс за постановку задач, научное руководство и сотрудничество при получении части результатов.

■ Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Вадиаа Али. Малые колебания плоского,маятника с полостью, заполненной системой из несмешиващихся идеальных жидкостей

/ Сиыфероп. ун-т.- Симферополь, 1993. - 40 с. - Деп. в" ГНГБ Украины 28.10.93, № 2113-Ук93.

2. Вадиаа Али. Малые колебания плоского маятника с полостью, заполненной одной идеальной капиллярной жидкостью / Симфероп.ун-т.-Симферополь, 1994. - 21 е.- Деп. в ГН1Б Украины 10.01.94,

№ 98-Ук94.

3. Вадиаа Али. Малые колебааия. пространственного маятника с полостью, заполненной системой из несмешиващихся идеальных жидкостей / Симфероп. ун-т. - Симферополь, 1994. - 34 с. - Деп. в ГНЕВ Украины 10.01.94, У 300-Ук94. •

4. Вадиаа Али. Собственные колебания плоского маятника с полостью, заполненной системой из несмешивагацихся вязких жидкостей / Спектр и эволюц. задачи: Тез. докл. - Вып. 4. - Симферополь: СГУ, 1994.

с- < £ - ¿< ! ■ ■ ■

5. Вадиаа Али, Копачевский Н.Д. Собственные колебани д плоского маятника с полостью, заполненной системой из нвсмешивакщихся идеальных жидкостей / Спектр, и эволюц. задачи: Тез. докл. -Вып. 4. - Симферополь: СГУ, 1994. - С. С, 2-- С

6. Вадиаа Али, Копачевский Н.Д. Собственные колебания плоского маятника с полостью, заполненной одной вязкой капиллярной жидкостью / Спектр, и эволюц. задачи: Тез. докл. - Вып. 4. -Симферополь:- СГУ, 1994. - С. - $ 1