Математические вопросы колебаний тела в вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гуда Сергей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ КОЛЕБАНИЙ ТЕЛА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность: 01.01 02 - дифференциальные уравнения (физико-математические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ158770

Ростов-на-Дону — 2007

003158770

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научные руководители доктор физико-математических наук, профессор

Виктор Иосифович Юдович

кандидат физико-математических наук, доцент Андрей Борисович Моргулис

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук, профессор

Игорь Борисович Симоненко

доктор физико-математических наук, профессор Юлий Витальевич Покорный

Ведущая организация Институт гидродинамики им М А Лаврентьева

Сибирского отделения РАН

Защита состоится 30 октября 2007 г в 16 50 на заседании диссертационного совета К212 208.06 в Южном федеральном университете по адресу 344090, г.Ростов-на-Дону, ул Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ауд 211

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета по адресу г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148

Автореферат разослан

» сентября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212 208 06

В Д Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Тема диссертации и ее актуальность. Система «жидкость+твёрдое тело» — классический объект гидродинамики. Однако, исследования в этой области далеки от завершения В частности, это утверждение относится к тем ситуациям, в которых невозможно пренебречь влиянием вязкостйжидкости Таковы, например, вращения погруженного в жидкость осесимметричного тела вокруг своей оси. При этом область течения не меняется, так что взаимодействие тела и жидкости полностью определяется силами Вязкого трения. Движения такого рода изучаются в данной диссертации Точнее, речь в ней идет о крутильных колебаниях твёрдого тела вращения внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью Например, тело может быть закреплено на тонком'подвесе, влиянием Которого на жидкость можно пренебречь Колебания вызывает сила упругости подвеса, момент которой Ме^^ предполагается линейной функцией угла (р поворота тела Для данной системы исследуется устойчивость и неустойчивость состояния покоя. Особое внимание уделяется влиянию заданйой периодической по времени модуляции упругой силы Такая ситуация может быть реализована в эксперименте, например, за счёт периодического измёне'Ния длины закручивающегося участка подвеса при помощи зажима Все результаты работы непосредственно переносятся на задачу о крутильных колебаниях тела с вра-щательно симметричной полостью, заполненной вязкой жидкостью, вокруг оси вращения полости.

В диссертации развивается строгая математическая теория, не связанная дополнительными предположениями о вязкости жидкости, характере модуляции или формах тела и сосуда. Полученные общие результаты конкретизируются в различных частных случаях, включая крутильные колебания шара, погруженного в концентрический сферический сосуд.

Работа организована следующим образом. В первой главе излагается постановка задачи, вводятся безразмерные переменные и обсуждается сведение задачи к интегродифференциальному уравнению и к дифференциальному уравнению в банаховом пространстве Во второй главе исследуется простейший случай, когда упругий момент не зависит явно от времени Meiastic = -tap, где ip - угол отклонения тела от положения равновесий <р = 0, х - коэффициент жесткости упругой силы Результаты этой главы носят отчасти вспомогательный характер, поскольку физически очевидно, что колебания данной системы затухнут со временем вследствие вязкой диссипации энергии. Исследование этого случая существенно используется в третьей главе, где предполагается, что жесткость подвеса есть периодическая функция времени, так что упругий момент определяется равенством Meiastlc — -x(l+h{uit))ip,

где я - среднее значение жесткости, Л(т) - 2тг-периодическая относительная модуляция с нулевым средним: к(т) йт = 0, ш - круговая частота модуляции В этой главе устанавливается, что при определенных типах модуляции упругий момент может сильно раскачать тело, так что произойдет так называемое параметрическое возбуждение неустойчивости. Вместе с тем, модуляция жесткости может заставить колебания тела затухать быстрее, чем в ее отсутствие.

Актуальность темы определяется тем, что в классических исследованиях (см , например, работы Кирхгофа, Кельвина, Гафа, Жуковского, Бьеркнес-са, Чаплыгина) влияние вязкости и завихренности жидкости не изучалось жидкость предполагалась идеальной и совершающей потенциальное движение В таком случае дело сводится к изучению системы с конечным числом степеней свободы, что позволяет провести весьма детальное исследование этой упрощенной модели Дальнейшее развитие теория совместного движения тела и идеальной жидкости получила в трудах Б А Луговцова и В.Л.Сен-низкого (1986), В.А Владимирова и В В Румянцева (1989), Н Е. Леонард и Дк 3 Марсден (1997), А А. Ляшенко и С Дж. Фридлэндер (1998), А.Р. Галь-пера и Т Милоха (1998), В.А Владимирова и К И Ильина (1999), А В. Бори-соваиИС Мамаева (2004,2006), А В Борисова, В.В КозловаиИС Мамаева (2006)

Задачи о совместном движении вязкой жидкости и тела представляют значительно большие трудности, чем в случае идеальной жидкости, так как состояние такой системы описывается бесконечным числом переменных Результаты такого рода восходят к Стоксу В этой области в основном исследованы предельные случаи больших и малых чисел Рейнольдса В задачах о совместных колебаниях жидкости и тела число Рейнольдса обычно берется равным Не = где £ - характерный размер тела (или заполненной жидкостью полости внутри тела), Т - характерное время порядка периода колебаний тела (или жидкости в полости), и - вязкость жидкости Для больших чисел Рейнольдса существенное продвижение достигнуто в работах Н.Н Моисеева (1952, 1961, 1964), где были даны первые примеры решения задач о малых совместных колебаниях жидкости и сосуда Развитие этого метода вместе с большим количеством решенных задач можно найти в книге Ф Л Черноусько (1968) Случай малых значений числа'Рейнольдса изучался в работах Б Н Румянцева (1964), Ф.Л Черноусько (1965) и А И Кобрина (1969) В случае произвольных чисел Рейнольдса решение линеаризованных уг--' ¡тений Навье-Стокса удалось получить лишь для простых областей

отметим также множество работ по исследованию вращакйцихся тел, содержащих жидкие массы; книгу М.В. Шамолина (2007), посвященную ква-

зистационарному движению тела в сплошной среде, статьи В Л Сенницкого (1997, 2000, 2001) о взаимодействии колеблющихся тел и вязкой жидкости

Задачи о совместном движении жидкости и тела очень важны с практической стороны Толчком к интенсификации исследований в этой области послужило развитие ракетной и космической техники Запас жидкого топлива, имеющийся на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов Аналогичные задачи возникают в теории корабля и подводной лодки. Они актуальны в теории флаттера крыла самолета и т.д Задача о крутильных колебаниях тела в вязкой жидкости (или тела с жидкостью внутри) возникла в связи с исследованиями колебаний поплавковых приборов и тросов Параметрическое возбуждение неустойчивости в задачах о совместных колебаниях тела и жидкости изучалось В И Юдовичем.

Цели и задачи исследования. Целью данной работы является развитие математической теории крутильных колебаний тела в вязкой жидкости, в особенности изучение спектральных свойств линеаризованных задач, возникающих в случае постоянной и модулированной жесткости упругой силы.

Методы исследования. При изучении малых колебаний системы жидкость-тело задача на собственные значения сводилась к исследованию дисперсионного уравнения. Для обоснования линеаризации применялась абстрактная теорема В.И.Юдовича. Доказательство глобальной асимптотической устойчивости состояния покоя проводилось при помощи второго метода Ляпунова. Для исследования структуры спектра Флоке применялся метод Хилла, заключающийся в сведении спектральной задачи к поиску нулей бесконечного определителя. Доказательство полноты решений Флоке основывается на идеях М В Келдыша.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты

1. Без специальных предположений о форме тела, сосуда и о физических параметрах системы установлен ряд качественных свойств спектров линеаризованных задач как при постоянной, так и при модулированной упругой силе. В частности, установлены топологические свойства нейтральных кривых, разделяющих области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров и, ЦйЦ^. Важную роль в исследовании задачи с модулированной упругой силой играет построение и исследование определителя Хилла

2. Получены асимптотики спектров линеаризованных задач Именно, в задаче с постоянной жесткостью рассмотрен случай большого безразмерного коэффициента, х (выражение для зе через размерные параметры см на стр 7). В задаче с модулированной жесткостью построены асимптотики для трех предельных случаев- 1) \\к\\ 0, ш - фиксирована 2) ш оо, к -

(j ирована и 3) h — w2h, ш -* oo, h - фиксирована

— Исследована полнота решений Флоке задачи с модулированной упругой силой При этом доказана новая абстрактная лемма о полноте системы корневых векторов

4. Установлены новые теоремы об оценках резольвентами коэрцитивности конечномерного окаймления оператора, порождающего аналитическую полугруппу в банаховом пространстве. На этой основе проведено обоснование линеаризации в задаче с постоянной жесткостью

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационйай работа носит в основном теоретический характер Разработанный метод исследования спектра Флоке можно использовать для задач с постоянным оператором, возмущенным одномерным слагаемым с периодическим коэффициентом

w = Aw + h(t)f(w)€,

где h(t) - периодическая функция с нулевым средним, пара функционал / -вектор £ обладает некоторыми свойствами по отношению к оператору А Результаты расчета областей устойчивости и неустойчивости применимы при исследовании параметрического резонанса поплавковых приборов. Абстрактную лемму о полноте решений Флоке можно использовать в других задачах математической физики

4 дробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и осуждались на научном семинаре кафедры вычислительной математики и математической физики Южного федерального университета, на IX и X международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2005, 2006), на Международной конференции «Математическая гидродинамика, модели и методы» (Ростов-на-Дону, 2004), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 2007), на международной конференции «Анализ и особенности» (Москва, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-4] и тезисах конференций [5-10] (список публикаций приведен в конце автореферата). В совместных работах [1-2] и [5-7] проф В.И Юдовичу принадлежит постановка задачи и выбор общих методов исследования Формулировки утверждений и доказательства принадлежат автору диссертации

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Работа изложена на 153 страницах, содержит 11

рисунков, библиографию в количестве 139 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы и приводятся основные результаты диссертации.

В главе 1 дана постановка рассматриваемой задачи В § 1 1 выведена безразмерная система уравнений, описывающая совместное движение жидкости и тела

ди

+ + <1тГ = 0, (1)

й|5г = прёф, й|5с = 0, (2)

ф - М{и) + + Ь,(чЛ))<р = 0 (3)

Неизвестными являются скорость жидкости й, давление р, угол поворота <р и угловая скорость ф тела 5Г и 5С - поверхности тела и сосуда, г - цилиндрический радиус, ег, ёф, ег - координатные орты в цилиндрической системе координат (г, ф, г), привязанной к оси тела Безразмерный момент М(й) силы вязкого трения вычисляется по формуле

М(и) = ~1 гЪгз{и)пгефз <18, Еу(й) = + (4)

3

где п, - компоненты внешней по отношению к жидкости нормали Безразмерные параметры хны определяются формулами я — '2р4^5),

ш — где ,7 - момент инерции тела, и, р} - вязкость и плот-

ность жидкости; йиш- размерные коэффициент жесткости и циклическая частота модуляции ''

Задача (1)-(3) имеет нулевое решение - состояние покоя ц = 0, <р = 0 Исследуется устойчивость этого равновесия и малые колебания системы около него

Рассмотрим пространство §р х Ж2, где (1 < р < оо) - замыкание по норме 1<р множества финитных гладких соленоидальных полей в области течения жидкости И; При р = 2 получим гильбертово пространство Н = §2 х М2 В § 1 2 задача (1)-(3) сводится к дифференциальному уравнению в банаховом пространстве §р х К2

+ А\V Н- J5(f)w — К (ж, w). (5)

где у? — (И,(р,Р), (3 = ф - угловая скорость тела, операторы А, В(Ь) и К действуют по правилам

/ —ПДгг \ / 0 \

= -р , 0 , (6)

К( VI, »а) == (-П(«ь V )и2,0,0)т, (7)

П - гидродинамический проектор Вейля на подпространство соленоидальных векторных полей.

В § 1 3 из линеаризованной на нулевом решении системы (1)-(3) исключается скорость жидкости й и выводится интегродифференциальное уравнение для угла поворота (р тела г

<р + тф + ! - т)<р(т) <1т + х(1 + Л(аЛ])ч> = (8)

О

Здесь тп - положительная константа, ядро интегрального оператора 3\ положительно, функция Зъ определяется начальными скоростями жидкости и тела, причем экспоненциально убывает при t —» +оо

Если интеграл в уравнении (8) и функция «/г малы по сравнению с остальными членами, то колебания тела в жидкости мало отличаются от колебаний маятника с трением

ф + раф + х{ 1 + )<р = 0 (9)

с коэффициентом вязкости = т Вероятно, так происходит, когда зазор между телом и стенками сосуда мал Во всяком случае, рассмотрение примеров показывает, что в этом случае у задач (8) и (9) практически совпадают значения параметров, при которых происходит возбуждение неустойчивости.

Во второй главе изучается задача без модуляции жесткости (Н = 0) В § 2 1 исследуются общие свойства линеаризованного оператора А Он не является самосопряженным Поскольку тело с закрепленной осью имеет одну степень свободы и двумерное фазовое пространство, то оператор А удается реализовать как операторную матрицу, получаемую добавлением двух строк и л >ух столбцов к самосопряженному оператору Стокса 5 Таким образом, А является двумерным окаймлением оператора 5, отвечающего движению жидкости при неподвижном теле. Стандартными методами доказывается, что оператор А наследует основные свойства оператора Стокса, в частности, он замкнут в пространстве §р х С2 и имеет чисто точечный спектр, представляющий собой счетное множество конечнократных собственных значений о\, <Т2, , сгь . , при этом 11е<7£ —» +оо при к —> оо

Спектр линеаризованного оператора А допускает более детальное исследование В § 2 2 задача на собственные значения сводится к решению дисперсионного уравнения do(cr) = 0 Функция do определяется равенством

где х - безразмерная жесткость, А„ > 0 - те собственные значения оператора Стокса, для которых проекция поля х на соответствующее собственное подпространство отлична от нуля, Хп - нормы этих проекций Поле х определяется как решения краевой задачи

Ax = Vq, divx = 0,

XU = rS4» = 0,

наконец, m = —M(x), где M(x) — момент силы вязкого трения поля х Заметим, что т = JD/E(x)2dx > 0, где Е2 = Е^Еу, Еу(х) = (§£ + §|)

Доказывается теорема 2 2 1 о том, что спектр оператора А состоит из нулей функции (¿о и тех собственных значений оператора Стокса, в подпространствах которых найдутся вектор-функции, не создающие момента силы вязкого трения

Проводится исследование зависимости корней дисперсионного уравнения от х Показано, что при малом параметре х все нули функции с?о расположены на положительной вещественной полуоси, т. е система жидкость-тело устойчива монотонно При возрастании х монотонная устойчивость сменяется колебательной — в устойчивой полуплоскости появляется пара комплексно сопряженных корней Однако, при ббльших к они могут вернуться на вещественную ось, и система жидкость-тело вновь станет монотонно устойчивой Данное неожиданное явление имеет место, например, в задаче о крутильных колебаниях шара внутри концентрического сферического сосуда при радиусах сфер #1 = 1, = 20

В 12 3 строится асимптотика невещественных собственных значений при

X —> 00

где т 1 > 0, то - некоторые константы, зависящие от формы тела (разумеется, асмптотика комплексно сопряженного собственного значения получается применением комплексного сопряжения к (12)) Отсюда, в частности, следует, что при увеличении х комплексно сопряженные корни неограниченно удаляются от вещественной оси

(10)

«71

■(*) = i^c + - № - \{т\ + 2то) + О Ш, (12)

В упрощенной модели маятника с трением (9) (при Л = 0) декремент затухания колебаний Ие о{к) остается постоянным и равным г^/2 Напротив, в задаче о колебаниях тела в жидкости он увеличивается пропорционально Ух при к —* оо (см (12)).

В § 2 4 обосновывается законность линеаризации в задаче (1)-(3) С применением абстрактной теоремы В.И Юдовича доказывается асимптотическая устойчивость в шкале функциональных пространств, бесконечная дифферен-цируемость решений и затухание всех их производных со временем Для проверки условий теоремы нужно показать, что оператор А порождает аналитическую полугруппу в §р х Ж2, а также, что линеаризованная задача коэр-цитивна. Доказательство этих фактов проводится для случая произвольного конечномерного окаймления, что может оказаться полезным при исследовании более сложных движений тела в вязкой жидкости

В теореме о законности линеаризации доказано затухание возмущенного движения, при условии, что начальное возмущение выбирается в достаточно малой окрестности нуля На самом деле в данной задаче состояние покоя глобально асимптотически устойчиво Это доказывается в § 2 5 По аналогии с задачей о маятнике с трением конструируется функционал Ляпунова второго ро^«.

где Е = | й2 йх + механическая энергия системы жидкость-

тело, V - некоторый вспомогательный функционал, параметр а положителен Хотя при фиксированном значении а функционал {/ удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова лишь в некоторой окрестности положения равновесия, надлежащее значение параметра а можно подобрать для любой такой окрестности Таким образом, глобальная устойчивость — затухание всех возмущений — устанавливается при помощи однопараметрического семейства функционалов Ляпунова.

Глава 3 посвящена изучению линеаризованной задачи с модулированной упругой силой. В § 3 1 доказана разрешимость этой задачи и компактность ее эволюционного оператора в пространстве Н — §2 х К2 при условии к & 1Ь2[0;27г]. Это позволяет судить об устойчивости состояния покоя (по крайней мере, в линейном приближении) по собственным значением оператора монодромии — мультипликаторам Флоке

В § 3 2 выводится спектральная задача для решений Флоке (р(Ь) = е~а<"ф(1) (ф - Г-периодическая функция, Т — 2тг/о>)

+00

йк{<т)фк + к *>к-}Ф} = 0, к = 0, ±1,±2,... (13)

3=—со

где <4(cr) = düip — гшк), do - дисперсионная функция задачи без модуляции (см (10))

В § 3 3 при помощи метода Хилла задача (13) сводится к поиску нулей бесконечного определителя D{a)

ад=яьт ад, (и)

d^m

Xfe-n-l

d-UО)

xh-„ do(0)

CM

Доказывается, что последовательность Dn(a) сходится для каждого а ф Ап+ гшк, neN,ke1 При этом предельная функция D(a) мероморфна Спектр задачи (13) состоит из нулей функции D и тех полюсов X„+iu>k функций dk, которые не являются особыми точками функции D

Определитель Хилла D зависит от а периодически с периодом ioj Это позволяет сделать замену р — еаТ и перейти к исследованию функции D(p) = Нули функции D суть величины, обратные к мультипликаторам Фло-ке (собственным значениям оператора монодромии) В §3.4 показано, что функция D мероморфна Ее особые точки суть р = 0 и р — гп (гп = еХпТ) Точка р — 0 является полюсом первого порядка, причем соответствующий ей вычет с_i всегда положителен, и, начиная с некоторого п, положительны вычеты Сп — — res D(p) Для гармонической модуляции (вида h(iot) — Р=тп

h~ie~lujt 4- hie^) верно большее, все вычеты Сп неотрицательны при любых /г_1 и hi. В случае произвольной модуляции положительность всех Сп удается доказать лишь в случаях достаточно малой амплитуды ||/i||l2 или достаточно большой частоты w

В §3.5 показано, что определитель Хилла D разлагается на простейшие дроби

+ „ + (15)

В § 3 6 данное представление_используется при доказательстве теоремы о расположении нулей функции D

d-nM xh„„+j xh.n 1

<UW - d-n(0) d-n{ 0) rf-„(0)

xK-l d-iM xh-i xh-2

<U(0) • d.x(0) <£_\(0) <U(0)

xh„ ФЩ ■ xhi d0(Ö) dpM xh-i W)

xha+1 xhi ■ Ш xhy dROj di(a) m

xh>„ ъщ ■ xh„+1 • <(0) xhn Ш dn{ 0)

Теорема 3.6.1. Пусть в ряду (-с-\), с\, с%, сг, . всего одна знакопереме-на, т, е для некоторого N > О коэффициенты с\, с% . , ск в разложении (15) отрицательны, а все остальные Сп (п > N + 1) положительны Тогда множество корней уравнения Б(р) = 0 состоит из бесконечной последовательности положительных чисел рп € (гп_2,гп_1) при 2 < п < N + 1

(здесь го = 0), рп € (гп_ и гп) при п> N + 2, а также двух корней ро и р\, которые могут

a) быть комплексно сопряженной парой Ро~ р\,

b) находиться вместе на одном из интервалов (—оо, 0), (0,71), (гъ гг), {гг, гг), ■

Других случаев нет

Отсюда, в частности, следует, что состояние покоя неустойчиво тогда и только тогда, когда хотя бы один из корней ро или р\ лежит внутри единичного круга

В § 3 7 строятся асимптотики показателей Флоке для трех предельных случаев- 1) ||Л|| —» 0, ш - фиксирована 2) ш —> оо, Л - фиксирована и 3) к = иРк, ш —> оо, Я - фиксирована В первом — все показатели <тп стремятся к соб-ствзнным значениям ст® задачи с постоянной жесткостью Во втором — так происходит лишь для некоторой части спектра. Асимптотика остальных показателей получается смещением этой части на гшк, к = ±1,±2,... Таким образом,, в первых дэух случаях спектр Флоке задачи о колебаниях тела в жидкости устойчив __

Неустойчивость наблюдается в третьем случае, когда Н = ш —» оо. При этом не удается построить асимптотику всех показателей Флоке Если в спектральной задаче (13) сделать замену а — ша, Н — ш*Ь,, разделить каждое уравнение на о»? и,устремить ш, к бесконечности, то в пределе получим

+00

(ст - ък)2фк + ус Ль-М = 0, к = 0, ±1, ±2,....

Это спектральная задача для показателей Флоке уравнения Хилла

(р + кЪ{т)1р = 0, г € [0,2тг] (16)

Пусть сто - один из его показателей Флоке и сто £ [0, +оо). Доказывается, чтр исходная задача при достаточно большой частоте ш имеет в окрестности шао собственное значение ша(ш) такое, что ст(о>) -*сто(ш) при ш —► оо Таким образом, удается построить асимптотику не более двух показателей Флоке (с точностью до сдвига на гшк, к е 2) Положим а = Ц/гЦ^ Если Ыесто <

О, то при достаточно большой частоте ш параметры (ш, ш2а) принадлежат области неустойчивости на плоскости (ш, Ц/гЦ^). Таким путем доказывается существование значение параметров, при которых состояние покоя системы жидкость-тело неустойчиво

Введем обозначения а — ЦйЦ^, Л = ак Будем рассматривать задачу об устойчивости в пространстве параметров (ш, а) Назовем нейтральной кривой множество точек (шо> <*о) плоскости (ш,а), для которых спектр Флоке содержит хотя бы один показатель а на мнимой оси (или мультипликатор р на единичной окружности) Возможны три «ситуации общего положения», которым соответствуют три типа нейтральных кривых нейтральный показатель а равен 0 (синхронный тип), равен гш/2 (субгармонический тип) или гА, А е (0, ш/2) (комбинационный тип) Точки "общего положения"на нейтральные кривой — суть точки бифуркации нулевого решения нелинейной задачи (1)-(3). При этом нейтральным кривым синхронного типа соответствует ответвление Г-периодического решения, субгармонического типа — 2Г-периодического и комбинационного типа — квазипериодического

В случае гармонической модуляции й(т) = Ь\ совг + £>2 ^пт все коэффициенты Сп в разложении определителя Хилла на простейшие дроби (15) неотрицательны. Следовательно, в соответствии с теоремой 3 61 неустойчивость возникает тогда и только тогда, когда один из двух корней ро или р\ окажется внутри единичного круга Это может произойти, когда они оба отрицательны, оба положительны или является комплексно сопряженной парой Быть вещественными и иметь разные знаки они не могут Также исключен случай, когда один из них вещественный, а другой мнимый В связи с этим можно сделать следующие выводы о топологической структуре нейтральных кривых в случае общего положения

1) Нейтральные кривые синхронного (р = 1) и субгармонического (р — -1) типа не пересекаются, хотя им разрешено иметь общие точки с комбинационными (р = егв, 0 < |0| < 7г) нейтральными кривыми.

2) Нейтральные кривые комбинационного типа не могут находиться внутри области неустойчивости Они всегда отделяют устойчивые значения параметров от неустойчивых

Исследование нейтральных кривых проводится в § 3 8. Расчеты проделаны для шарообразного крутильного маятника, колеблющегося в концентрическом сферическом сосуде. В случае малого зазора между телом и сосудом влияние последействия на движение тела мало Угол отклонения тела ¡р приближенно удовлетворяет уравнению маятника с трением (9) с подобранным определенным образом коэффициентом вязкости Нейтральные кривые для задачи о движении тела в жидкости и для уравнения (9) практи-

чески совпадают. Когда зазор между телом и сосудом не мал, нейтральные кривые этих двух задач существенно отличаются В этом случае, например, для модуляции = ал/2 соцш1 ведущую роль играет субгармоническая неустойчивость (р = -1), а нейтральные кривые синхронного типа (р ~ 1) вытесняются наверх, в сторону увеличения амплитуды а (см рис 1)

Для маятника с трением (9) тонкие промежутки между нейтральными кривыми синхронного и субгармонического типов всегда принадлежат области устойчивости. Асимптотика, построенная в § 3 7, помогла доказать, что в задаче о колебаниях тела в жидкости это не так Некоторые из промежутков при достаточно больших значениях амплитуды ЦЛЦц^ неустойчивы (см рис. 1а, 1Ь). Область неустойчивости отделяется от области устойчивости нейтральной кривой комбинационного типа (сг = гЛ, А € (0, а>/2)) Отметим, что точки пересечения синхронных или субгармонических нейтральных кривых с комбинационными являются концевыми для последних

Для ангармонической модуляции мультипликатор р^1 может «перепрыгивать» через точку г^-1, когда вычет с\ определителя Хилла (15) меняет знак, и проникать за пределы единичного круга, что приводит к потере устойчивости

состоянием покоя Вследствие этого возникают дополнительные нейтральные кривые синхронного типа

В случае гармонической модуляции ЦиЛ) = Ь,~\е~1Ш>- -\-}цегь}Ь к спектральной задаче (13) применим метод цепных дробей. Этому посвящен § 3.9 Доказывается теорема о связи дисперсионной функции в цепных дробях и определителя

В § 3 10 приводятся подробности вычислений для задачи о крутильных колебаниях шара внутри концентрического сферического сосуда. Получено выражение для функции ¿о (см. (10)), собственных значений оператора Стокса Л„, коэффициентов Хп- Описываются детали вычисления спектра Флоке и найденные интересные его конфигурации

В §3 11 методами М В Келдыша доказывается полнота решений Флоке задачи о колебаниях тела в жидкости ^Абстрактная лемма 3.11 2 о полноте предъявляет существенно более слабые требования к спектру оператора А, чем теорема Милославского (Функ ан и его прилож 1976, №2) Однако, вместо этого необходимо вывести оценку резольвенты оператора Ь = щ+А+В(1) на лучах Ле а > 0,1т а = ш/2+шк, к = 0, ±1, ±2, В задаче о колебаниях тела в жидкости это удается сделать для любого значения частоты ш > 0 и амплитуды модуляции ЦЛЦц^.

Публикации по теме диссертации

[1] Гуда С А , Юдович В И Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Сиб мат ж 2007 Т 48, № 3. С. 556-576.

[2] Гуда С. А , Юдович В И. Асимптотика спектра малых крутильных колебаний твердого тела в вязкой жидкости // Изв ВУЗод. Р Естественные науки. 2007 № 2 С 26-30.

[3] Гуда С А Колебания тела в жидкости под действием упругой силы с периодической по времени жесткостью//Деп ВИНИТИ № 508-В2007 08 05 2007 74стр

[4] Гуда С А Полнота решений Флоке задачи о колебаниях тела в жидкости//Деп ВИНИТИ № 738-В2007 17 07 2007 26стр

Тезисы докладов на конференциях по теме диссертации

[5] Юдович В И, Гуда С А Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Тр IX междунар конф

^Современные проблемы механики сплошной среды» Ростов-на-Дону 2005 Т. 2 С 232-236

[6] Гуда С А., Юдович В. И. Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы //IX Всерос съезд по теор и прикл механике Аннотац. докл. Т. 2. С. 67.

[7] Гуда С. А., Юдовт В. И. Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Обозрение прикл. и промыш матем. 2007. Т. 14, № 1. С. 105.

[8] Гуда С. А Спектр Флоке крутильных колебаний тела в вязкой жидкости // Тр X междунар конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2006 Т. 1 С. 90-93

[9] Г да С А Колебания тела в жидкости под действием упругой силы с пе-рг «ческой по времени жесткостью // Совр. методы в теор. краевых задач. Матер Воронежской весенней матем шк. «Понтрягинские чтения - XVIII». Воронеж- ВГУ. 2007. С 59-60

[10] Гуда С. А Крутильные колебания тела в жидкости под действием модулированной упругой силы // Тезисы докл междунар конф «Анализ и особенности» МИАН Москва. 2007. С 43-45

Издательство ЦВВР Лицензия ЛР № 65-36 от 05 08 99 г Сдано в набор 19.09 07 г Подписано в печать 19 09 07 г Формат 60*84 1/16 Заказ №864 Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Оперативная печать Тираж 100 экз Печ Лист 1,00 Услпечл 1,00 Типография Издательско-полиграфическая лаборатория УНИИ Валеологии

«Южный федеральный университет» 344091, г Ростов-на-Дону, ул Зорге, 28/2, корп 5 «В», тел (863) 247-80-51 Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09 02 98 г

Введение

Глава 1. Постановка задачи

§1.1. Уравнения совместного движения жидкости и тела п. 1.1.1. Описание задачи и размерные уравнения. п. 1.1.2. Безразмерные уравнения. п. 1.1.3. Другое определение момента силы вязкого трения.

§ 1.2. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве

§1.3. Интегродифференциальное уравнение.

Глава 2. Задача с постоянной по времени упругой силой

§2.1. Общие свойства линеаризованного оператора п. 2.1.1. Специальное матричное представление оператора Л п. 2.1.2. Конечномерное окаймление оператора. п. 2.1.3. Общие свойства оператора Л.

§2.2. Спектр малых колебаний системы жидкость-тело п. 2.2.1. Дисперсионное уравнение. п. 2.2.2. Исследование зависимости корней дисперсионного уравнения от параметра к.

§2.3. Асимптотика мнимых собственных значений при к —> оо. п. 2.3.1. Построение асимптотики функции/2. п. 2.3.2. Вычисление момента силы вязкого трения. п. 2.3.3. Обоснование асимптотики функции Д. п. 2.3.4. Асимптотика собственных значений

§2.4. Обоснование линеаризации и затухание старших производных возмущений. п. 2.4.1. Абстрактная теорема. п. 2.4.2. Оценка резольвенты. п. 2.4.3. Неравенство коэрцитивности. п. 2.4.4. Теоремы об устойчивости и затухании старших производных возмущений.

§2.5. Глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя.

Глава 3. Задача с модулированной упругой силой

§3.1. Разрешимость линеаризованной задачи.

§3.2. Спектральная задача.

§3.3. Дисперсионное уравнение. п. 3.3.1. Сходимость последовательностей Dn и AJ" и обоснование дисперсионного уравнения. п. 3.3.2. Периодичность функций D и А. п. 3.3.3. Определитель возмущения.

§ 3.4. Особые точки определителя Хилла.

§3.5. Разложение определителя Хилла на простейшие дроби. п. 3.5.1. Основная теорема. п. 3.5.2. Вспомогательные оценки функций d® и £. п. 3.5.3. Доказательство основной теоремы.

§3.6. Расположение мультипликаторов Флоке п. 3.6.1. Результаты, основанные на разложении определителя Хилла на простейшие дроби. п. 3.6.2. Результаты, основанные на оценках оператора Fa.

§3.7. Асимптотики показателей Флоке. п. 3.7.1. Случай малой амплитуды модуляции. п. 3.7.2. Случай большой частоты а;. п. 3.7.3. Случай большйх частоты и амплитуды модуляции.

§ 3.8. Области устойчивости и неустойчивости. п. 3.8.1. Случай гармонической модуляции. п. 3.8.2. Случай ангармонической модуляции.

§3.9. Дисперсионное уравнение в цепных дробях

§3.10.Описание вычислений. п. 3.10.1. Вычисление функции do. п. 3.10.2. Вычисление спектра Флоке п. 3.10.3. Вычисление нейтральных кривых.

§3.1 ¡.Полнота решений Флоке.

Общая характеристика работы. Система «жидкость+твёрдое тело» — классический объект гидродинамики. Однако, исследования в этой области далеки от завершения. В частности, это утверждение относится к тем ситуациям, в которых невозможно пренебречь влиянием вязкости жидкости. Таковы, например, вращения погруженного в жидкость осесимметричного тела вокруг своей оси. При этом область течения не меняется, так что взаимодействие тела и жидкости полностью определяется силами вязкого трения. Движения такого рода изучаются в данной диссертации. Точнее, речь в ней идет о крутильных колебаниях твёрдого тела вращения внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. Например, тело может быть закреплено на тонком подвесе, влиянием которого на жидкость можно пренебречь1. Колебания вызывает сила упругости подвеса, момент которой Меылс предполагается линейной функцией угла <р поворота тела. Для данной системы исследуется устойчивость и неустойчивость состояния покоя. Особое внимание уделяется влиянию заданной периодической по времени модуляции упругой силы. Такая ситуация может быть реализована в эксперименте, например, за счёт периодического изменения длины закручивающегося участка подвеса при помощи зажима.

В диссертации развивается строгая математическая теория, не связанная дополнительными предположениями о вязкости жидкости, характере модуляции или формах тела и сосуда. Полученные общие результаты конкретизируются в различных частных случаях, включая крутильные колебания шара, погруженного в концентрический сферический сосуд.

Работа организована следующим образом. В первой главе излагается постановка задачи, вводятся безразмерные переменные и обсуждается сведение задачи к интегродифференциальному уравнению и к дифференциальному уравнению в банаховом пространстве. Во второй главе исследуется простейший случай, когда упругий момент не зависит явно от времени: Ме1азцс = —хф, где - угол отклонения тела от положения равновесия (р = 0, и - коэффициент жесткости упругой силы. Результаты этой главы носят отчасти вспомогательный характер, поскольку физически очевидно, что колебания данной системы затухнут со временем вследствие вязкой диссипации энергии. Исследование этого случая существенно используется в третьей главе, где предполагается, что жесткость подвеса есть периодическая функция времени так, что упругий момент определяется равенством: Ме1а8цс — + где х - среднее значение жесткости, }\{т) ~ 2 ^-периодическая относительная модуляция с нулевым

Все результаты диссертации непосредственно переносится на задачу о крутильных колебаниях тела с вращателыю симметричной полостью, заполненной вязкой жидкостью, вокруг оси вращения полости. средним: J027r h{r) dr = 0, и - круговая частота модуляции. В этой главе устанавливается, что при определенных типах модуляции упругий момент может сильно раскачать тело, так что произойдет так называемое параметрическое возбуждение неустойчивости. Вместе с тем, модуляция жесткости может заставить колебания тела затухать быстрее, чем в ее отсутствие.

Цели и задачи работы. Задачи о совместном движении жидкости и тела очень важны с практической стороны. Толчком к интенсификации исследований в этой области послужило развитие ракетной и космической техники. Запас жидкого топлива, имеющийся на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов [1]. Аналогичные задачи возникают в теории корабля и подводной лодки. Они актуальны в теории флаттера крыла самолета и т.д.

В классических исследованиях (см., например, работы Кирхгофа [2], Кельвина [3], Гафа [4], Жуковского [5], Бьеркнесса [6], Чаплыгина [7]) влияние вязкости и завихренности жидкости не изучалось: жидкость предполагалась идеальной и совершающей потенциальное движение. В таком случае дело сводится к изучению системы с конечным числом степеней свободы, что позволяет провести весьма детальное исследование этой упрощенной модели. Дальнейшее развитие теория совместного движения тела и идеальной жидкости получила в трудах [8]-[22].

Задачи о совместном движении вязкой жидкости и тела представляют значительно ббльшие трудности, чем в случае идеальной жидкости, так как состояние такой системы описывается бесконечным числом переменных. В этой области в основном исследованы предельные случаи больших и малых чисел Рейнольдса2. Результаты такого рода восходят к Стоксу. Для больших чисел Рейнольдса существенное продвижение достигнуто в работах H.H. Моисеева [23]-[26], где были даны первые примеры решения задач о малых совместных колебаниях жидкости и сосуда. Этот метод применялся в задаче об устойчивости движения спутника по эллиптической орбите [27] (см. также [28]), в задачах со свободной границей [29]-[31], при исследовании колебаний тел в жидкости [32]-[34]. Развитие этого метода вместе с большим количеством решенных задач можно найти в книге [35]. Случай малых чисел Рейнольдса изучался в работах [36]-[38]. В случае произвольных чисел Рейнольдса решение линеаризованиых уравнений Навье-Стокса удалось получить лишь дпя простых областей (см. [34, 39, 40]).

Отметим также работы по исследованию вращающихся тел, содержащих жидкие массы [41]-[47] (см. также ссылки в [48], [35], [49]); книгу [50],

2В задачах о совместных колебаниях жидкости и тела число Рейнольдса обычно берется равным Re = где i - характерный размер тела (или заполненной жидкостью полости внутри тела), Т - характерное время порядка периода колебаний тела (или жидкости в полости), v - вязкость жидкости. посвященную квазистационарному движению тела в сплошной среде; статьи [51]-[55] о взаимодействии колеблющихся тел и вязкой жидкости.

Задача о крутильных колебаниях тела в вязкой жидкости (или тела с жидкостью внутри) возникла в связи с исследованиями поплавковых приборов и стержней (см. [56]-[58]). В работе [39] рассмотрена задача о малых колебаниях маятника с шаровой полостью, заполненной вязкой жидкостью. Выведено дисперсионное уравнение для частот малых колебаний и сформулирована гипотеза о расположении его корней на комплексной плоскости. Оно является частным случаем уравнения, полученного в §2.2 настоящей работы. В статье [33] изучались гидродинамические характеристики эллипсоида: присоединенный момент инерции и коэффициент демпфирования, — соответствующие крутильным движениям в слабовязкой жидкости. Параметрическому возбуждению неустойчивости в задачах о колебании тел и жидкости посвящены работы [59]-[б1]. В [59] рассмотрены крутильные колебания цилиндра, заполненного вязкой жидкостью, под действием периодически модулированной упругой силы. Построены области устойчивости и неустойчивости, изучена их асимптотика, когда вязкость жидкости стремиться к нулю. В статьях [60] и [61] исследуется параметрический резонанс в задаче о поступательных колебаниях шара в вязкой жидкости. Получены оценки областей устойчивости в пространстве параметров и проведен их численный расчет.

В данной диссертации рассмотрены следующие вопросы:

1. в случае постоянной жесткости (Ме1азцс = —жр) a) малые колебания системы жидкость-тело, спектр линеаризованного оператора и зависимость собственных значений от параметра я: b) перенос результата об устойчивости на исходные, нелинейные, уравнения; c) применение прямого метода Ляпунова и глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя;

2. в случае периодической жесткости (Ме1аццс = —1 + 1г(и){))(р) a) структура спектра Флоке и области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров модуляции; b) полнота решений Флоке.

Скажем несколько слов по поводу перечисленных проблем.

1.а) Малые колебания системы жидкость-тело, спектр линеаризованного оператора и зависимость собственных значений от параметра я.

Линеаризованный оператор А задачи о колебаниях тела в вязкой жидкости несамосопряжен. Поскольку тело с закрепленной осью имеет одну степень свободы и двумерное фазовое пространство, то оператор А удается реализовать как операторную матрицу, получаемую добавлением двух строк и двух столбцов к самосопряженному оператору Стокса 5. Таким образом, А является двумерным окаймлением3 оператора 5, отвечающего движению жидкости при неподвижном теле. Это позволяет в задаче на собственные значения исключить скорость жидкости и перейти к отысканию корней дисперсионного уравнения.

Задачи с окаймленными операторами в самосопряженном случае были исследованы рядом авторов (см. [62] и имеющиеся там ссылки). Конечномерное окаймление в [62] применялось для оценок собственных значений вполне непрерывных самосопряженных операторов снизу. Вместе с мини-максимальным принципом эти оценки дают приближения к собственным значениям и величину погрешностей. В работах [бЗ]-[б5] сведение к дисперсионному уравнению позволило доказать вещественность и простоту собственных значений некоторых несамосопряженных операторов. Окаймленные операторы встречаются в задачах конвекции [66] и задачах со свободной границей [67].

Дисперсионная функция рассматриваемой задачи мероморфна, причем удалось показать, что вычеты во всех ее полюсах — собственных значениях оператора Стокса — неотрицательны. Именно этот факт позволил исследовать спектр оператора А. Вероятно, похожее свойство имеет место и в других задачах о совместном движеиии жидкости и тела.

1.Ь) Перенос результата об устойчивости на исходные, нелинейные, уравнения.

Вплоть до 60х годов ряд гидромехаников всерьез сомневался в применимости первого метода Ляпунова в задачах об устойчивости движения жидкости (см. [68], гл.1, §1.1; [69], гл.7, §38, п.2). Однако, в [70]-[73] была установлена законность линеаризации при исследовании устойчивости не только стационарных, но и вынужденных периодических по времени течений, а также автоколебаний. Позже линеаризация была обоснована дня системы Навье-Стокса в неограниченных областях [74]-[76] и в трехмерной стационарной задаче обтекания тела потоком вязкой жидкости [77].

В рассматриваемой задаче с постоянной жесткостью упругой силы собственные значения линеаризованного оператора всегда расположены внутри правой (устойчивой) полуплоскости. Таким образом, линеаризованная задача экспоненциально устойчива. С применением абстрактной теоремы В.И.Юдовича [73] данный результат переносится и на исходные, нелинейные, уравнения.

Зздесь и далее термин «окаймление» используется для обозначения результата, а не процесса

1.с) Применение прямого метода Ляпунова и глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя.

В случае, когда жидкость идеальная и совершает безвихревое движение, динамика системы жидкость-тело описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (см. [5]). Это обстоятельство позволяет задачу об устойчивости совместного движения твердого тела и жидкости ставить как задачу об устойчивости в смысле Ляпунова для систем с конечным числом степеней свободы. Таким путем были получены достаточные условия устойчивости движений, которые в ряде случаев совпадают с необходимыми (см. [48], гл.2 и имеющиеся там ссылки).

В случае, когда о характере движения жидкости не делается никаких предположений, состояние системы описывается бесконечным числом переменных, и задача устойчивости существенно усложняется. Однако, оказывается возможным поставить задачу об устойчивости по отношению к конечному числу переменных, если ввести некоторые функционалы, интегральным образом характеризующие движение жидкости. Такой подход применялся для доказательства устойчивости по отношению к части переменным в работах [78]-[80].

Глобальную асимптотическую устойчивость состояния покоя рассматриваемой задачи удалось установить в полной постановке. Для доказательства лишь устойчивости можно использовать полную энергию системы жидкость-тело. Однако, даже в случае маятника с трением [81] этого недостаточно для того, чтобы установить затухание возмущений, так как производная энергии в силу системы отрицательна, но не отрицательно определена. Здесь можно пойти двумя путями. Первый — воспользоваться надлежащим обобщением теоремы Барбашина-Красовского [82]. Она была первоначально доказана дпя конечномерных дифференциальных уравнений. Но результат обобщается и на бесконечномерные системы, у которых траектории компактны (см. [83], [84]), скажем, на различные параболические задачи. Мы, однако, пойдем вторым путем, применив, по существу, некоторый бесконечномерный вариант теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Заметим, что даже дпя движения жидкости с неподвижной границей нет глобальной теоремы существования единственного решения (см. [85]). Доказано лишь существование обобщенных решений (см. [8б]-[90]) и единственность достаточно гладкого (см. [91]). Таким образом, асимптотическую устойчивость по Ляпунову здесь приходится понимать в смысле существования функционала Ляпунова второго рода (с отрицательно определенной производной в силу системы).

2.а) Структура спектра Флоке и области устойчивости и неустой чивости в пространстве параметров модуляции.

Состояние покоя в задаче с постоянной жесткостью упругой силы всегда устойчиво. Периодическая модуляция жесткости может привести к параметрическому возбуждению неустойчивости (см. [59]-[61]). Исследование устойчивости состояния покоя задачи с периодически модулированной жесткостью сводится к изучению спектральной задачи дня линейного дифференциального уравнения в бесконечномерном пространстве с периодическим оператором. По сравнению с аналогичной проблемой в стационарном случае, ситуация здесь оказывается значительно сложнее.

Среди общих методов исследования подобных спектральных задач следует упомянуть теорию положительных операторов [92], которая, правда, работает в основном для параболических уравнений второго порядка. В случае одной пространственной переменной весьма сильные результаты дает теория вполне положительных операторов Келлога-Крейна-Гантмахера [93]. В работе [94] выделен класс периодических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, имеющих самосопряженный оператор монодромии. Глубокие результаты удалось получить для гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами (см. [95]-[98]). Для диссипатив-ных задач подавляющее большинство исследований основывается на тех или иных методах возмущений.

Часто довольно точные результаты можно получать путем сведения спектральной задачи к решению дисперсионного уравнения в цепных дробях. Это сыграло решающую роль при исследовании спектра устойчивости течения Колмогорова [100, 101]. Цепные дроби являются удобным средством как для аналитических, так и для численных расчетов. Однако, их применение ограничивается уравнением с синусоидальными коэффициентами (возможные расширения метода см. в [99]). Кроме того, дисперсионная функция, к отысканию нулей которой приводит метод цепных дробей, не является периодической, хотя ее нули — показатели Флоке - повторяются с периодом ги>, где и - циклическая частота коэффициентов уравнения. Это досадное обстоятельство затрудняет доказательство таких простых фактов, как существование не более п различных (с точностью до слагаемого гшк, к £ Z) показателей для дифференциального уравнения п-го порядка. Поэтому, дня исследования структуры спектра Флоке удобней использовать другой способ сведения к дисперсионному уравнению.

Спустя 3 года после появления в печати фундаментальной работы Флоке [102], Г.В. Хилл применил интересный метод для отыскания показателей Флоке уравнения движения перигея Луны (см. [103], а также [104, 105]). Проиллюстрируем метод Хилла на примере дифференциального уравнения маятника с трением ф + Уаф + + h(üüt))(p = 0, гр где /0 h(üüt)dt = О, Т = lit/ui - период модуляции h{wt). Будем искать решения Флоке данного уравнения в виде <p(t) = e<TÎ-0(i), где ф -Т-периодическая функция. Разлагая функцию ф в ряд Фурье, подставляя (р = е~аЬф{Ь) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах, придем к спектральной задаче 00

4(ст)фк + = к = ±1'±2' • • • ' (2) к=—оо где dsk{o) = cIq(cг — гик), d^(cr) = о2 — vs<j + х, hk - коэффициенты Фурье функции h. В конечномерном случае система линейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Чтобы обеспечить сходимость определителя бесконечной системы (2), разделим к-тое уравнение на dsk(0), к — 0, ±1, ±2,. и сведем спектральную задачу к решению дисперсионного уравнения Ds(cr) = О, где

Ds(a) = lim D'n(v), (3)

Dsn(°) = dlM din(O) " xh-n+1 " d'„(0) xh-7l ^ln(O) xh-n-1 dtm) - xh-2n •• dim xhn-\ d'-iH xh-2 Hh-n-1 dix(0) •• ' • dim dim dim ■ •• dim xhn dg(o) • ' xhi ■ dm d'Jcr) ¿5(0) 1 d'o(0) ■ xh-n ■ ■ dg(0) xhn+1 dm ■ - xh.2 • rff(O) xhi dm d{(o) • ' ' <4(0) xhjn d'n( o) • • xhn+l • 0) xhn dm xhn„ 1 dm - • ■ • ¿¿(О)

Г. В. Хиллу удалось вычислить данный определитель с точностью до константы

1п /Л с!1

Ds — + c0+clp. Р

4)

Для коэффициентов и с\ есть явные формулы, константа Сд определяется по известному значению определителя в какой-либо точке. Позже было доказано, что определитель Хилла линейного дифференциального уравнения n-го порядка с периодическими коэффициентами ai(ut)^n~l) + . + an-iM)^ + an(ut)(p = О

43десь и далее индекс s - первая буква слова «simple» - означает, что данное обозначение относится к математическому маятнику с трением (simple pendulum) имеет структуру: Б{и) = е згР(еТа), где Р(р) = рп + /3\рп~1 + . + (Зп-1Р + Рп ~ полином степени п (см. [106]). Коэффициенты Д) и (Зп легко считаются явно. Таким образом, дня дня того, чтобы найти функцию Б, достаточно посчитать ее значение в п — 1 точке.

В данной работе определитель записывается не для исходной системы, описывающей совместное движение жидкости и тела, а для интегродиффе-ренциального уравнения, которое получается в результате исключения из исходной системы скорости течения жидкости. Соответствующее (4) представление есть разложение функции D(p) = на простейшие дроби. Здесь гп — гпТ ^ ^ е 1 К - собственные значения оператора Стокса. Нули рп функции D суть величины, обратные к мультипликаторам Флоке. Оказывается, что в некоторых случаях (в частности, дня гармонической модуляции Н(т) — b\ cos т + ¿>2 sin г) вычеты в полюсах гп имеют один и тот же знак: сп > V

0 так же, как и вычеты в полюсах \п дисперсионной функции задачи с постоянной жесткостью. Именно этот факт позволяет сделать выводы о структуре спектра Флоке и установить топологические свойства областей устойчивости и неустойчивости.

Разработанный метод исследования спектра Флоке можно использовать дня задач вида w = Л\у + h(t)f(w)£, где h(t) - периодическая функция с нулевым средним, пара функционал / — вектор f обладает некоторыми свойствами по отношению к оператору А.

2.Ь) Полнота решений Флоке.

Эта проблема не имеет отношения к устойчивости. Если система собственных вектор-функций не полна, то линеаризованная задача имеет решения, затухающие быстрее любой экспоненты e~at, а > 0 при t —> +оо. Если решений Флоке вообще не существует, то состояние покоя сверхэкспоненциально устойчиво. Полнота позволяет утверждать, что всякое решение задачи Коши можно аппроксимировать равномерно по t € [0; +оо) с любой степенью точности линейной комбинацией решений Флоке.

Вопрос о полноте решен лишь для очень немногих задач математической физики (см. [107]-[111], [85]). Зачастую неизвестно, существует ли хотя бы один показатель Флоке. Спектральную задачу для решений Флоке w(t) — e~atw(t) (где w - периодическая функция) уравнения w = Aw + B(t) w в) можно трактовать как задачу на собственные значения для оператора L = щ+А+В({), действующего в пространстве периодических вектор-функций. Есть примеры, когда малое периодическое возмущение B(t) полного самосопряженного оператора А приводило к системе, не имеющей ни одного решения Флоке (см. [112]).

В работе А. И. Милославского [107] (см. также [113, 114]) доказана теорема о полноте решений Флоке уравнения (6), одно из условий5 которой требует, чтобы на положительном луче вещественной оси существовали достаточно большие промежутки, не содержащие собственных значений оператора А. Упомянутый выше пример с нильпотентным оператором мо-нодромии служит для того, чтобы показать, что данное условие является строгим. В некоторых случаях существование промежутков в спектре оператора А следует из асимптотики собственных значений на бесконечности. Это, к сожалению, не касается ни задачи о колебаниях тела в жидкости, ни линеаризованных на периодическом решении уравнений Навье-Стокса в К2 и I3. В случае квадратной или кубической области области течения жидкости, когда собственные значения оператора Стокса считаются явно, это условие выполняется лишь для оператора В с достаточно малой нормой. Это доказано в работе [108], где исследуется полнота решений Флоке для нестационарного магнитного динамо6.

Основные результаты.

1. Задача с постоянной жесткостью (Meiastic = —я<р). 1.а) Используя подходящее разложение фазового пространства, показано, что линеаризованный оператор А является двумерным окаймлением оператора Стокса. Стандартными методами доказывается, что он наследует многие свойства последнего. В частности, оператор А имеет компактную резольвенту и порождает аналитическую полугруппу.

Задача на собственные значения для оператора А сводится к решению дисперсионного уравнения. В результате его исследования устанавливается, что существует не более двух невещественных собственных значений. При малой жесткости х спектр оператора А расположен на положительной (устойчивой) вещественной полуоси, т. е. состояние покоя устойчиво монотонно. При возрастании жесткости х первые два собственные значения сталкиваются и выходят в комплексную плоскость. Таким образом, устойчивость состояния покоя становится колебательной. Однако, в зависимости от формы и размеров области течения явление монотонной устойчивости может повториться при ббльших я. В соответствии с асимптотикой при я оо линеаризованный оператор имеет ровно два комплексно сопряженных собственных значения, причем они неограниченно удаляются от

5в англоязычной литературе это условие именуют «spectral gap condition» результаты [108] суть частный случай абстрактной теоремы Милославского [107]. вещественной оси.

1 .Ь) Исследование спектра линеаризованного оператора показывает, что при ус > О все собственные значения расположены внутри правой (устойчивой) полуплоскости. На основе этого с применением абстрактной теоремы В.И.Юдовича (см. [73], гл. 2, §2, теорему 2.1) доказывается асимптотическая устойчивость в шкале функциональных пространств, бесконечная дифференцируемость решений и затухание всех их производных со временем.

1.с) Для доказательства глобальной асимптотической устойчивости состояния покоя по образцу задачи о маятнике с трением [81] построен функционал Ляпунова второго рода. Он зависит от некоторого параметра а. Хотя при фиксированном значении а он удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова лишь в некоторой окрестности положения равновесия, надлежащее значение параметра а можно подобрать д ля любой окрестности. Таким образом, глобальная устойчивость — затухание всех возмущений — устанавливается при помощи однопараметрического семейства функционалов Ляпунова.

2. Задача с модулированной упругой силой (Ме1азцс = —я{\ + К

2.а) Доказано, что при некоторых условиях, в частности, для гармонической модуляции Н(т) = Ь\созт + ¿г^пт, множество мультипликаторов Флоке состоит из счетной последовательности р~1 € где п = 2,3,., г"1 = е~ТХп < 1, Т = 27г/о;, Ап > 0 - собственные значения оператора Стокса, а также двух чисел: р^1 и р^1, которые могут быть комплексно сопряженной парой, могут вместе лежать на отрицательном луче действительной оси или на одном из интервалов (г^+оо), (г^Г1;^1), (гз"1;^1), . Неустойчивость может возникнуть тогда и только тогда, когда хотя бы один из мультипликаторов рй1 и р^1 окажется вне единичного круга. Это позволяет установить некоторые топологические свойства нейтральных кривых (кривых в пространстве параметров (ш, дпя которых спектр Флоке содержит мультипликатор на единичной окружности).

Построены асимптотики показателей Флоке для трех случаев: малой амплитуды модуляции \\Щи, большой частоты ш и дпя большой высокочастотной модуляции порядка ||/1||ь2 ~ Си1, и> —> оо. В первых двух — спектр Флоке устойчив. Третья асимптотика позволила доказать существование значений параметров, при которых происходит возбуждение неустойчивости.

Проведено численное исследование областей устойчивости и неустойчивости для задачи о крутильных колебаниях шара в концентрическом сферическом сосуде. Показано, что в случае ангармонической модуляции, когда спектр Флоке не обладает описанной выше структурой, мультипликатор /?21 может «перепрыгивать» через точку г]-1, когда вычет с\ определителя Хилла (5) меняет знак, и проникать за пределы единичного круга. Это приводит к потере устойчивости состоянием покоя и к появлению дополнительных нейтральных кривых синхронного типа (р~г = 1).

2.Ь) Методами М.В.Келдыша [115] доказана полнота решений Флоке рассматриваемой задачи. Абстрактная лемма 3.11.2 о полноте предъявляет существенно более слабые требования к спектру оператора А, чем теорема Милославского [107]. Однако, вместо этого необходимо вывести оценку резольвенты оператора Ь = на лучах 11е а > 0,1т а = ш/2+и>к, к = 0, ±1, ±2,. В задаче о колебаниях тела в жидкости это удалось сделать для любого значения частоты ш > 0 и амплитуды модуляции

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [11б]-[119]. В совместных работах [116]-[117] проф. В.И.Юдовичу принадлежит постановка задачи и выбор общих методов исследования. Формулировки утверждений и доказательства принадлежат автору диссертации.

1. Павлюк Ю.С., Сакулин В Д. Основы устойчивости движения баллистических ракет с жестким корпусом с учетом колебаний жидкости в топливных баках // Челябинск: ЮУрГУ, 2002.

2. Kirghoff G. Über die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit // J.Reine und Angewan. Math. 1970. V. 71. P. 237-262.

3. Kelvin L. Mathematical and Physical Papers // V. 4. Cambridge. 1882.

4. Hough The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell containing Fluid // Phil. Transactions (A). 1895. V. 186, № 1.

5. Жуковский H. E. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью. Избранные сочинения. Т. 2 // M.-JL: Гостехиздат, 1948.

6. Bjerknes V. F. К. Fields of Force // New York:Columbia. U. P. 1906.

7. Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости // Поли. собр. соч. Т. 1. Л.: Изд. АН СССР. 1933. С. 133-150.

8. Владимиров В. А., Румянцев В. В. Обращение теоремы Лагранжа для твердого тела с полостью, заполненной идеальной жидкостью // При-кл. матем. и механика. 1989. Т. 53, № 4. С. 608-612.

9. Борисов A.B., Козлов В. В., Мамаев И.С. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости // Тр. Института матем. и мех. УрО РАН. 2006. Т. 12, № 1. С. 25-47.

10. Vladimirov V. A., Ilin К. I. On the Arnold Stability of a Solid in a Plane Steady Flow of an Ideal Incompressible Fluid // J. of the Theoretical and Computational Fluid Dynamics. V. 10, № 1. P. 425-438.

11. Vladimirov V. A., Ilin К. I. On the stability of a Dynamical System 'Rigid Body+ Inviscid Fluid'. Variational Principles //J. Fluid Mech. V. 386. P. 43-75.

12. Vladimirov V. A., Moffatt H. K, Davidson P. A., Ilin К. I. On the stability of a rigid body in a magnetostatic equilibrium // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2003. V. 22, № 5. P. 511-523

13. Leonard N. E., Marsden J. E. Stability and drift of underwater vehicle dynamics: Mechanical systems with rigid motion symmetry // Physica D. 1997. V 105, № 1-3. P. 130-162.

14. Борисов А. В. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа // Per. хаот. дин. 1996. 1 (2). С. 61-76.

15. Borisov А. V., Mamaev I. S. On the motion of a heavy rigid body in an ideal fluid with circulation // CHAOS. 2006. V. 16, № 1.

16. Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S. M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2005. V. 5, № 1. P. 35-50.

17. Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М. Взаимодействие двух круговых цилиндров в идеальной жидкости // Нелинейная Динамика. 2005. 1 (1). С. 3-21.

18. Борисов А. В., Мамаев И. С. Интегрируемость задачи о движении цилиндра и вихря в идеальной жидкости // Математические заметки. 2004. Т. 75, № 1. С. 20-23.

19. Galper А. Я., Miloh Т. Hydrodynamics and stability of a deformable body moving in the proximity of interfaces // Physics of fluids. 1999. V. 11, № 4. P. 795-806.

20. Буров А. А. О движении твердого тела в идеальной жидкости в полупространстве, ограниченном плоскостью // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. Сб. статей. Отв. ред.: В.В.Румяицев. М.: ВЦ РАН. 2001. С. 43-49.

21. Буров А. А., Шеваллье Д. П. О движении твердого тела в жидкости под действием центральных сил ньютоновского притяжения // Прикл. матем. и механика. 2001. Т. 65, № 4. С. 602-618.

22. Луговцов Б. А., Сенницкий В. Я. О движении тела в вибрирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 2. С. 314-317.

23. Моисеев Н. Н. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы // Укр. матем. журнал. 1952. № 2.

24. Моисеев Н. Н. О краевых задачах для линеаризованных уравнений На-вье-Стокса в случае, когда вязкость мала// ЖВМ и МФ. 1961. Т.1, №3.

25. Багаева Н. Я., Моисеев Н. Н. Три задачи о колебаниях вязкой жидкости // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4, № 2.

26. Моисеев Н. Н. О математических методах исследования нелинейных колебаний // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. 2. Киев. 1963.

27. Краснощеков П. С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 28, № 2.

28. Сизиков В. П. Разработка методов активного управления ориентацией космических аппаратов // Дис. на соиск. зв. канд. тех. н. Омск. ОПИ. 1992.

29. Шмидт А. Р. Колебания вязкой жидкости конечной глубины, вызванные начальным смещением ее свободной поверхности // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 2. С. 287-297.

30. Крушинская С. И. Колебания тяжелой вязкой жидкости в подвижном сосуде // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 3. С. 519-536.

31. Викторов Е. Д. Вычисление коэффициента затухания свободных колебаний вязкой жидкости в цилиндрическом сосуде // Прикл. механика и техн. физика. 1965. № 2. С. 143-146.

32. Микишев Г. Н., Столбецов В. И. О колебаниях тела в ограниченном объеме вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 1. С. 22-30.

33. Микишев Г. Я., Столбецов В. И. Крутильные колебания эллипсоида вращения, погруженного в вязкую жидкость // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 2. С. 34-39.

34. Столбецов В. И. О малых колебаниях шара в сферическом объеме вязкой жидкости // МЖГ. 1986. № 2. С. 29-34.

35. Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость // М.: Наука, 1968.

36. Румянцев Б. Н. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1964. Т. 28, №6.

37. Кобрин А. И. К задаче о движении тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, относительно центра масс в потенциальном поле массовых сил // Прикл. матем. и механика. 1969. Т. 33, № 3. С. 431-440.

38. Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 6. С. 1049-1070.

39. Иевлева О. Б. Малые колебания маятника со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1964. Т. 28, № 6. С. 1132-1134.

40. Иевлева О. Б. О колебаниях тела, наполненного вязкой жидкостью // Прикл. механика и техн. физика. 1966. № 6. С. 27-34.

41. Lyashenko А. А., Friedlander S. J. A Sufficient Condition for Instability in the Limit of Vanishing Dissipation // J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 221, № 2. P. 544-558.

42. Маркеев А. П. Об устойчивости вращения волчка с полостью, наполненной жидкостью // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 3. С. 19-26.

43. Парада Р. Ф., Коллар А. Ф. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Фунд. и прикл. матем. 1997. Т. 3, Ш 1. С. 69-92.

44. Карапетян А. В., Проконина О. В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // Прикл. матем. и механика. 2000. Т. 64, № 1. С. 85-92.

45. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений гиростата с жидкостью в полости // Прикл. матем. и механика. 2002. Т. 66, № 2. С. 183-191.

46. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А., Юркин М. Ю. Об устойчивости волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Функц. анализ и его прил. 1998. Т. 32, № 2. С. 36-55.

47. Fragüela A., Gonzalez A. L., Felipe R. Stability of a Generalized Sobolev System // Acta Applicandae Mathematicae. 2006. V. 90, № 3. P. 197-217.

48. Моисеев H. H., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость // М.: Наука, 1965.

49. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем // Изд-во АН СССР. 1963.

50. Шамолин М. В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела // М.: Экзамен, 2007.

51. Сенницкий В. Л. О поведении газового пузыря в вязкой колеблющейся жидкости в присутствии силы тяжести // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, № 5. С. 73-79.

52. Сенницкий Б. Л. О силовом взаимодействии шара и вязкой жидкости в присутствии стенки // Прикл. механика и техн. физика. 2000. Т. 41, № 1. С. 57-62.

53. Сенницкий В. Л. О движении пульсирующего твердого тела в вязкой колеблющейся жидкости // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 1. С. 82-86.

54. Сенницкий В. Л. О поведении пульсирующего твердого тела в вязкой колеблющейся жидкости // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 1. С. 82-86.

55. Сенницкий В. Л. О поведении пульсирующего твердого тела в вязкой жидкости в присутствии силы тяжести // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 5. С. 93-97.

56. Chen S. S., Wambsganss M. W., Jendrzejczyk J. A. Added mass and damping of a vibrating rod in confined viscons fluid // Tïans. ASME J. Appl. Mech. 1976. V. 43, № 2. P. 325-329.

57. Синявский В. Ф., Федотовский В. С., Кухтин А. Б.О колебаниях цилиндра в вязкой жидкости // Прикл. матем. и механика. 1980. Т. 16, № 1. С. 62-67.

58. Yang С. I., Moran T. J. Calculations of added mass and damping coefficients for hexagonal cylinders in a confined viscous fluid // TYans. ASME J. Pressure Vessel Technol. 1980. V. 102, № 2. P. 152-157.

59. Шкуренко E. Ю. Совместная задача о движении твердого цилиндра и заполняющей его вязкой жидкости // Деп. ВИНИТИ. №И05-В2006.

60. Цывепкова О. А. Колебания шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы // Тр. X междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды» Ростов-на-Дону. 2006. Т. 1. С. 276-279.

61. Юдович В. И. Колебания твердого шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы и параметрический резонанс // Деп. ВИНИТИ. № 1482-В2006 от 29.11.2006.

62. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. Введение в метод промежуточных задач Вайнштейна. Пер. с анг. — М.: Мир, 1970.

63. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Спектральные свойства конечномерных операторов и проблема моментов // Изв. СКНЦ ВШ. Сер. Естественные науки. 1975. № 4. С. 49-56.

64. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Рождение вихрей Тейлора в случае разновращающихся цилиндров и спектральные свойства одного класса краевых задач // Докл. АН СССР. Т. 242 (1978) №4. С.784-787.

65. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Спектральные свойства одного класса краевых задач // Мат. сборник. 1981. Т. 114, № 3. С. 438-450.

66. Юдович В. И. О спектре некоторых окаймленных самосопряженных операторов // Изв. ВУЗ'ов. Математика. 1982. № 4. С. 77-81.

67. Крейн С. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде // Докл. АН СССР. 1964. Т. 159, № 2. С. 262-265.

68. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости // М.: Изд. иностр. лит, 1958.

69. Зоммерфельд Л. Механика деформируемых сред // М.: Изд. иностр. лит, 1954.

70. Юдович В. И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости //Докл. АН СССР. 1965. Т. 161, № 5. С. 1037-1040.

71. Юдович В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, № 2. С. 292-295.

72. Юдович В. И. Об устойчивости автоколебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, № 3. С. 574-576.

73. Юдович В. И. Метод линеаризации в теории гидродинамической устойчивости // Ростов-на-Дону: РГУ, 1984.

74. Сазонов Л. И., Юдович В. И. Устойчивость стационарных решений параболических уравнений и системы Навье-Стокса во всем пространстве // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 1. С. 151-158.

75. Сазонов Л. И. Об устойчивости периодических решений системы Навье-Стокса в трехмерной внешней области // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67, № 4. С. 155-170.

76. Юдович В. И., Ревина С. В. Ьр-оценки резольвенты оператора Стокса в бесконечном цилиндре// Мат. сборник. 1996. Т.187 (229), №6. С.97-118.

77. Сазонов Л. И. Обоснование метода линеаризации в задаче обтекания // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 5. С. 85-109.

78. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ 1957. № 4.

79. Румянцев В. В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1960. Т. 24, № 4. С. 603-609.

80. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных // М.: Наука, 1987.

81. Руш Я, Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости // М.: Мир, 1980.

82. Барбашин Е. А., Красовский Я. Я. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86, № 3. С. 453-456.

83. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений // М.: Мир, 1985.

84. Morgulis A., Yudovich V. Arnold's method for asymptotic stability of steady inviscid incompressible flow through a fixed domain with permeable boundary // Chaos. 2002. V. 12, № 2. P. 356-371.

85. Yudovich V. I. Eleven Great Problems of Mathematical Hydrodynamics // Preprint № 8. University of Hull. January. 2002.

86. Hopf E. Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen // Math. Nachrichten. 1951. № 4. С. 213-231.

87. Gunzburger M. D., Lee H. C., Seregin G. A. Global Existence of Weak Solutions for Viscous Incompressible Flows around a Moving Rigid Body in Three Dimentions // J. math, fluid mech. 2000. № 2.

88. Feireisl E. On the Motion of Rigid Bodies in a Viscous Fluid // Applications of mathematics. 2002. V. 47, № 6. P. 463-484.

89. Feireisl E. On the Motion of Rigid Bodies in a Viscous Incompressible Fluid // J. evol. equ. 2003. № 3. P. 419-441.

90. Feireisl E. On the Motion of Rigid Bodies in a Viscous Compressible Fluid // Arch, rational mech. anal. 2003. V. 167, P. 281-308.

91. Юдович В. И. Глобальная разрешимость — против коллапса в динамике несжимаемой жидкости //В книге: "Математические события XX века". М.: Фазис, 2002.

92. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1966.

93. Юдович В. И. Спектральные свойства эволюционного оператора параболического уравнения с одной пространственной переменной и его конечномерных аналогов // УМН. 1977. Т. 32, № 1. С. 230-232.

94. Юдович В. И. Периодические дифференциальные уравнения с самосопряженным оператором монодромии // Матсборник. 2001. Т. 192, № 3. С. 137-160.

95. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // М.: Наука, 1970.

96. Якубович В. А., Стражинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения // М.: Наука, 1972.

97. Крейн М. Г. О признаках устойчивой ограниченности решений периодических канонических систем // Прикл. матем. и механика. 1955. Т. 19, № 6. С. 641-680.

98. Козлов В. В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс // Прикл. матем. и механика. 2001. Т. 65, № 5. С. 739-745.

99. Юдович В. И. Метод цепных дробей в спектральной теории линейных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами // Юбилейный сборник, посвященный 75-летию В. А. Какичева. Великий Новгород. 2001. С. 20-24.

100. Мешалкин JI. Д., Синай Я. Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // Прикл. матем. и механика. 1961. Т. 25, № 6. С. 1140-1143.

101. Юдович В. И. Пример рождения вторичного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости // Прикл. матем. и механика. 1965. Т. 29, № 3. С. 453-467.

102. Floquet G. Sur les équations différentielles linéaires à coefficient périodiques // Annales de l'Ecole Normale Supériore, 1883. V. 12. P. 47-88.

103. Hill G. W. On the part of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon // Acta Mathematica. 1886. V. 8, P. 1-36.

104. Кочин H. E. О крутильных колебаниях коленчатых валов // Прикл. матем. и механика. 1934. Т. 2, № 1. С. 3-28.

105. Проскуряков А. П. Характеристические числа решений дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами // Прикл. матем. и механика. 1946. Т. 10, № 5-6. С. 545-558.

106. Валеев К. Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Прикл. матем. и механика. 1960. Т. 24, № 6. С. 979-987.

107. Милославский А. И. К теории Флоке для параболических уравнений // Функ. ан. и его прилож. 1976. Т.10, № 2. С. 80-81.

108. Liu W., Haller G. Inertial manifolds and completeness of eigenmodes for unsteady magnetic dynamos // Physica D. 2004. V. 194. P. 297-319.

109. Liu W., Haller G. Strange eigenmodes and decay of variance in the mixing of diffusive tracers // Physica D. 2004. V. 188. P. 1-39.

110. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations // Birkhauser. 1993.

111. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием // М.: Наука, 1981.

112. Милославский А. И. Об убывании решений абстрактного параболического уравнения с операторным коэффициентом // Известия СКНЦ ВШ, сер. Естеств. науки. 1976. № 2. С. 11-15.

113. Милославский А. И. Теория Флоке дня абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами // Дис. на соиск. зв. канд. ф.-м.н. Ростов-на-Дону. РГУ. 1976.

114. Милославский А. И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений. Базисность корневых подпространств оператора монодро-мии // Деп. в ВИНИТИ. № 3073-75. 1975.

115. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. 1971. Т. 26, № 4. С. 15-41.

116. Гуда С. А., Юдович В. И. Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Сиб. мат. ж. 2007. Т. 48, № 3. С. 556-576.

117. Гуда С. А., Юдович В. И. Асимптотика спектра малых крутильных колебаний твердого тела в вязкой жидкости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2007. № 2. С. 26-30.

118. Гуда С. А. Колебания тела в жидкости под действием упругой силы с периодической по времени жесткостью // Деп. ВИНИТИ. № 508-В2007 от 08.05.2007.

119. Гуда С. А. Полнота решений Флоке задачи о колебаниях тела в жидкости // Деп. ВИНИТИ. № 738-В2007 от 17.07.2007.

120. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика // М.: Наука, 1986.

121. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике // М.: Наука, 1988.

122. Юдович В. И. О границе монотонной и колебательной конвективной устойчивости горизонтального слоя жидкости // Прикл. механика и техн. физика. 1991. № 6. С. 44-50.

123. Кочин H. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления // М.: Наука, 1965.

124. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения // М.: Наука, 1975.

125. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции // М.: Наука, 1990.

126. Соломяк М. 3. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // Докл. АН СССР. 1958. Т. 122, № 5. С. 766-769.

127. Marcinkiewiecz J. Sur les multiplicatours des series de Fourier // Studia Math. 1939. № 8. C. 78-91.

128. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике // М.: Наука, 1970.

129. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями // М.: Наука, 1977.

130. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве // М.: Наука, 1965.

131. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций // М.: Наука, 1968.

132. Вайнберг M. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений // М.: Наука, 1969.

133. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения // М.: Мир, 1985.

134. Wall H. S. Analitic theory of continued fractions // Toronto-N.Y.-L. 1948.

135. Хованский A. H. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа // М.: ГИТТЛ, 1956.

136. Мацаев В. И. Об одном методе оценки резольвент несамосопряженпых операторов // Докл. АН СССР. 1964. Т. 154 № 5. С. 1034-1037.

137. Като Т. Теория возмущений линейных операторов // М.: Мир, 1972.

138. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции // М.: Наука, 1979.