МГД-обтекание шара с внутренним источником электромагнитных полей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Стр.

Введение.

Глава I. ИЗМЕНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ШАРА, ПРИВОДИМОГО В ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ СИЛАМИ, СОЗДАВАЕМЫМИ ВНУТРЕННИМ ИСТОЧНИКОМ

ИНДУКЦИОННОГО ТИПА.

§1.1. Распределение электромагнитных полей в жидкости.

§1.2. Распределение электромагнитных сил в жидкости.

§1.3. Результаты расчетов течения при числах

Рейнольдса Re ^ 1000.

§1.4. Стоксовый анализ.

Глава П. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ШАРА, СОДЕРЖАЩЕГО ИСТОЧНИК ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

К0НДУКЦИ0НН0Г0 ТИПА.

§2.1. Кондукционный источник электромагнитных полей.

§2.2. Представление течения в виде суммы основного осесимметричного и малой трехмерной добавки.

§2.3. Результаты расчетов в осесимметричном приближении.

§2.4. Трехмерные добавки к основному осесимметричному полю скоростей. 4

Глава Ш. МЕТОДЫ РАСЧЕТА МГД-ОБТЕКАНИЯ ТВЕРДОГО

ШАРА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ.

§3.1. Краткий обзор известных методов.

§3.2. О расчетах обтекания при Re ^ 300.

§3.3. Метод расчета обтекания шара несжимаемой жидкостью при 100 ^ Re <

§3.4. Метод расчета безотрывного МГД-обтекания шара несжимаемой вязкой жидкостью при

Re< Ю5.

§3.5. 0 возможности применения параболизованного уравнения Навье-Стокса для расчетов безотрывного МГД-обтекания шара при больших Re

§3.6. Метод расчета трехмерной гармоники течения около шара с кондукционным источником.

I. Обтекание тел проводящей несжимаемой вязкой жидкостью в присутствии электромагнитных полей может существенно отличаться от классического обтекания. Основной причиной этого отличия является то, что сила Лоренца, действующая на токи в проводящей жидкости, не может быть полностью скомпенсирована перераспределением давления, поскольку ротор силы Лоренца, вообще говоря, отличен от нуля. Изменение картины обтекания имеет место при течении проводящих жидкостей в более или менее сильных магнитных полях. Для слабопроводящих сред, какими являются электролиты, величины требуемых магнитных полей значительны. Современное состояние и будущее развитие сверхпроводящих магнитных систем, позволяющих создавать значительные по величине магнитные поля, делают актуальным исследование магнитогидродинамического обтекания тел и слабо-проводящими средами.

Магнитогидродинамические эффекты при обтекании тел многообразны и сложны. Прежде всего, наличие магнитного поля может видоизменить картину обтекания: течение может стать безотрывным, или, наоборот, может появиться отрыв потока там, где в отсутствии магнитного поля течение было безотрывным. При МГД-обтекании тела распределения завихренности и давления по поверхности могут существенно отличаться от классических распределений, поэтому могут изменяться коэффициенты гидродинамического сопротивления давления и трения.

Если внутри обтекаемого тела или по его поверхности текут электрические токи, то кроме традиционной силы гидродинамического сопротивления на!тело действует электромагнитная сила. Такая сила может приводить тело в движение относительно жидкости или тормозить его движение вместе с силой гидродинамического сопротивления.

При обтекании тел в сильных внешних магнитных полях область течения разделяется на качественно отличающиеся друг от друга зоны. При таком МГД-обтекании на поверхности тела образуются гартманвские пограничные слои, а вместо единственного следа за телом образуются два следа, один из которых может быть направлен против набегающего потока жидкости, вдоль магнитного поля. Наличие магнитного поля может приводить к исчезновению вихревой дорожки (при обтекании цилиндра), к подавлению колебаний в следе и к существенному снижению уровня турбулентности и к появлению ее анизотропии.

Большой интерес представляет изучение возможности воздействия электромагнитных сил на обтекание тел с целью снижения гидродинамического сопротивления, что на примере обтекания шара, содержащего внутренние источники электромагнитных полей, составляет основной предает данного исследования.

Теоретическое исследование МГД-обтекания шара в общем случае представляет сложную задачу. Будем исследовать только ламинарные течения. Течение жидкости, вообще говоря, трехмерно и содержит области больших градиентов гидродинамических величин. Электромагнитные силы, действующие на жидкость, зависят от поля скоростей и электрического и магнитного полей. Распределение электромагнитных полей, в свою очередь, зависит от распределения скоростей течения. Таким образом, для исследования МГД-обтекания шара необходимо решить систему уравнений Навье-Стокса, описывающую трехмерное течение жидкости, вместе с уравнениями электродинамики, описывающими распределение электрического и магнитного полей. В настоящее время получить решение уравнений Навье-Стокса даже в двумерном случае можно только с привлечением численных методов на ЭВМ. Известные из литературы расчеты классического обтекания шара несжимаемой вязкой жидкостью (в отсутствии электромагнитных полей) ограничены небольшими числами Рейнольдса Re 1000, о расчетах обтекания шара несжимаемой жидкостью при Re у 1000 в литературе данных нет. Теоретическое исследование трехмерных МГД-течений около шара для больших чисел Рейнольдса в настоящее время невозможно из-за ограниченных характеристик существующих ЭВМ (БЭСМ-6). Однако, исследование влияния электромагнитных сил на обтекание шара с внутренним источником полей даже при относительно небольших числах Рейнольдса представляет большой интерес для принципиального выяснения возможностей такого влияния.

При расчете МГД-обтекания шара слабопроводящими средами можно использовать существенное упрощение, основанное на малости магнитного числа Рейнольдса . Для таких течений при Re« I распределение и величина магнитного поля в жидкости не зависят от поля скоростей течения. В этом случае распределение магнитного поля можно найти до решения гидродинамической задачи. Распределение же электрического поля в жидкости в общем случае необходимо находить одновременно с вычислением гидродинамического поля течения.

В отсутствии электромагнитных полей течение жидкости около шара безотрывно при Re < 24. При Re> 300 течение в зоне отрыва нестационарно и трехмерно. В исследованных в работе задачах при увеличении электромагнитных сил область возвратного течения за шаром сначала уменьшается, а потом исчезает, и течение становится безотрывным даже при умеренно больших числах Рейнольдса ( Re ^ 10^). Исследование устойчивости полученных численных решений представляет собой задачу еще более сложную, чем получение самих решений, и б настоящей работе не производилось.

2. МГД-течения несжимаемой вязкой жидкости около шара исследовались в большом числе работ. Эти работы можно условно разбить на четыре группы. Наиболее многочисленную группу работ составляют исследования МГД-обтекания в магнитных полях, создаваемых внешними удаленными от обтекаемого тела источниками. Вторую группу составляют исследования течений проводящей жидкости, несущей электрический ток, создаваемый удаленными от тела источниками. Третью группу составляют исследования МГД-течений около вращающегося шара или с вращающимся магнитным полем. К четвертой группе можно отнести исследования МГД-течений около шара в электромагнитном поле,создаваемом внутренним источником.

Краткий обзор работ первой группы начнем с задачи об МГД-обтекании шара в постоянном внешнем магнитном поле. Она исследовалась в [i - 8] для случаев малых чисел Рейнольдса Re, магнитного числа Рейнольдса и числа Гартмана На . В [i - было показано в приближении Стокса, что в присутствии магнитного поля коэффициент гидродинамического сопротивления С/ увеличивается на величину, пропорциональную числу Гартмана. Кроме того, на шар действует сила, направленная перпендикулярно направлению потока жидкости и исчезающая, если скорость набегающего потока параллельна магнитному полю. Аналогичные результаты получены в [ъ - 8] в приближении Озеена. В [э] в приближении Ha^I, Re « Ha , исследовано обтекание тела вращения в продольном магнитном поле, з [ю] получено решение для обтекания шара при I. При I Cj возрастает линейно с ростом На . Обзоры работ [i - ioj содержатся в

11,12] . В [13] с помощью метода

Галерки на исследуется случай конечных чисел Гартмана: (И На ^20, Re «I, Показано, что коэффициент сопротивления Q возрастает с ростом На . При На > 2,9 около лобовой точки торможения и около симметрично расположенной кормовой точки возникают области возвратных течений. Поскольку в приближении Стокса конвективные члены в уравнениях гидродинамики не учитывались, то полученные в [13] решения оказались симметричными относительно плоскости 0 = Х/2 .

Характерными особенностями МГД-обтекания шара во внешнем магнитном поле являются наличие двух следов, что связано с тем, что к обычному механизму конвективного переноса добавляется еще механизм альфеновских волн, распространяющихся в обе стороны вдоль магнитного поля, и наличие на поверхности шара при На» I гартмановских пограричных слоев [9 - 12,14]. О численных исследованиях МГД-обтекания шара во внешнем магнитном поле при конечных числах Рейнольдса в литературе данных нет. В [15, 16] численно исследовалось обтекание цилиндра в поперечном магнитном поле при Re =40. По-видимому, эти работы являются единственными численными исследованиями МГД-обтекания пространственных тел во внешнем магнитном поле.

Обзоры немногочисленных экспериментальных работ по МГД-обтеканию во внешнем магнитном поле содержатся в [il, 12]. Как указано в [12], сопоставление экспериментальных результатов с теорией возможно лишь в качественном отношении. Это связано с двумя обстоятельствами: во-первых, теоретические результаты получены лишь при Re « I, а экспериментальные исследования [17 - 22] выполнены при конечных числах Рейнольдса; во-вторых, результаты некоторых экспериментальных исследований плохо согласуются друг с другом, что связано с большой разницей в постановке экспериментов, в частности, по степени стеснения потока шаром. Сопротивление шара при его обтекании в продольном магнитном поле изучалось в [l7, 18] , в [l9] изучалось влияние поля на распределение давления по поверхности шара. Результаты работ [17] и [18] плохо согласуются, но в обеих работах получено возрастание С^ с ростом магнитного поля. В [20-22] исследовалось обтекание шара в поперечном магнитном поле. Было показано, что при 1,1.10 < Re ^ 8,6.10^ возрастает линейно с ][J[ . Увеличение магнитного поля приводило здесь к увеличению давления в лобовой части шара и к уменьшению - в кормовой, и к увеличению коэффициента сопротивления давления Ср . Для проводящего шара получено [23] увеличение полной силы, действующей на шар, пропорциональное Д/ . В [II] на основе экспериментальных данных обсуждается вопрос о влиянии поперечного магнитного поля на отрыв потока и на след за обтекаемыми телами. При возрастании магнитного поля угол, определяющий линию отрыва (при обтекании цилиндра) увеличивается и достигает в конце концов 180°. С возрастанием поля сначала подавляется вихревая дорожка, а затем и колебания в следе.

В работах, составляющих вторую группу, внешнее магнитное поле отсутствует, а сила Лоренца возникает при взаимодействии электрических токов в жидкости с собственным магнитным полем. Такое течение около непроводящего шара исследовалось в [24] аналитически в приближении Стокса. Для случая медленно движущегося шара получено формирование возвратного течения за'шаром, однако в принятом приближении Re« I коэффициент сопротивления не зависел от электромагнитных полей. В [25] результаты [24] уточняются, учет второго члена разложения в ряд по Re дал увеличение С, при увеличении токов и магнитного поля). В [2б] аналогичное течение токонесущей жидкости исследовалось около проводящего шара. Для чисел Re « I решение было получено в виде двух членов ряда Озеена, а для Re = Ю00 решение уравнения Навье-Стокса было получено с помощью метода Галеркина. Было показано, что если проводимость жидкости больше проводимости шара, то Cj возрастает при протекании тока через жидкость, если же проводимость шара больше проводимости жидкости, то С^ уменьшается. У хорошо проводящего шара с возрастанием тока область возвратного течения уменьшается, около плохопроводящего шара область возвратного течения увеличивается. Интересно, что увеличиваются или уменьшаются в зависимости от соотношения проводи-моет ей шара и жидкости одновременно и коэффициент сопротивления давления, и коэффициент сопротивления трения. Нужно заметить, что, как следует из [27], использованный метод Галеркина не позволяет получить достаточно точное решение уравнений Навье-Стокса при Re = 1000. В [28,29] исследовано течение около эллипсоида подобно тому, как в [24,25] это сделано для шара. В [30] рассмотрено развитие течения токонесущей жидкости во времени при Re « I. В [31] задача об обтекании шара токонесущей жидкостью при числе Рейнольдса Re = 20 ( Яе = 2 cl UQ , где d - радиус шара, UQ - скорость потока жидкости на бесконечности, V - вязкость) решалась численно. Был использован метод [32]. Для Re =100 были сделаны также расчеты в отсутствии электрического тока. Автор сравнивает результаты численных расчетов классического обтекания шара с результатами [27] и с данными экспериментов, приведенными в [27], и утверждает, что расчеты [3l], проведенные с помощью метода, имеющего первый порядок аппроксимации конвективных производных, дает более близкие к экспериментальным величинам результаты, чем метод второго порядка аппроксимации [27]. Утверждение о большей точности полученных в [31] результатов представляется необоснованным, поскольку автор не указывает зависимости получаемых им результатов от количества узлов конечно-разностной сетки, использованной в расчетах. В [33] рассмотрена задача, когда помимо внешних токов задается еще и сильное внешнее магнитное поле. В этой работе экспериментально определяется действующая на шар выталкивающая сила, которая в этом случае отличается от классической архимедовой.

В третью группу входят работы [34-40]. Вращение шара в вязкой проводящей жидкости в магнитном поле параллельном или перпендикулярном оси вращения изучалось в [34-37]. Показано, что присутствие магнитного поля увеличивает тормозящий момент, действующий на шар, на величину пропорциональную На. или Иа^1, при На» I тормозящий вращение момент сил пропорционален И а . Для случая намагниченного вращающегося шара [38] с осью вращения параллельной магнитному полю момент сил увеличивается на величину пропорциональную Нл , а при Н& » I эта зависимость имеет более сложный характер. В работе [39] также в приближении Re^I, I исследуется обтекание вращающегося непроводящего шара, содержащего в центре магнитный полюс. В [40] в приближении (?€« I исследуется течение жидкости около шара в магнитном поле, создаваемом вращающимся переменным магнитным диполем. Рассмотрен случай неподвижного и случай вращающегося шара.

Четвертую группу работ составляют исследования МГД-обтекания шара в магнитном поле, создаваемом внутренним источником. Таким источником может быть распределение электрических токов внутри шара, поддерживаемых внутренним источником э.д.с., или шар может быть намагничен. В [41] рассматривается обтекание шара, содержащего магнитный монополь в центре. (Как и для [39], постановка задачи является условной, поскольку магнитный монополь в природе не обнаружен). В приближении

I было показано, что Су возрастает пропорционально На' при Ha<z I и пропорционально И а при Н&» I. В [42 * 44] подобные результаты получены для шара, содержащего магнитный диполь или квадруполь.

Теоретические исследования обтекания шара с внутренним источником электромагнитных полей имеют интерес в связи с задачей управления гидродинамической картиной обтекания тел. В [45] исследовались вихревые течения проводящей жидкости, возникающие под действием переменного магнитного поля. Источником поля являлся переменный магнитный диполь, расположенный в центре шара. Как уже отмечалось, на шар кроме силы гидродинамического сопротивления действует электромагнитная сила, если шар содержит электрические токи. В [45] в силу симметрии электромагнитная сила, действующая на шар, равна нулю. В [46] рассматривался случай, когда переменный магнитный диполь смещен относительно центра шара. В этом случае на шар действует электромагнитная сила, приводящая шар в движение относительно жидкости. В [4б] в приближении fte « I было рассмотрено стационарное течение жидкости, когда электромагнитная сила уравновешена силой гидродинамического сопротивления. В этом случае коэффициент сопротивления шара оказался много больше классического стоксового. Движение шара, под действием электромагнитных полей, создаваемых внутренним источником, исследовалось также в [47], где, к сожалению, поле течения не анализировалось.

О возможности существенно изменять характер обтекания тела с помощью электромагнитных полей отмечалось в [4-8] .

Как следует из обзора литературы, почти все теоретические исследования МГД-течений вязкой жидкости около шара выполнены при числах Рейнольдса Re«I с использованием приближения Стокса или Озеена. Исключением являются работа [26], где был использован метод Галеркина для получения решения уравнений Навье-Стокса при Re =1000 и [31] , где были сделаны численные расчеты при Re ^100.

3. Актуальность данной работы обусловлена большими возможностями воздействия электромагнитных сил на обтекание тел проводящей жидкостью с целью уменьшения гидродинамического сопротивления и малым числом теоретических исследований в этой области.

Целью настоящей работы является продолжить начатые в [4-5,46] исследования течений проводящей несжимаемой вязкой жидкости около шара, содержащего источник электромагнитных полей, для конечных чисел Рейнольдса. Необходимо было решить уравнение Навье-Стокса в присутствии поля электромагнитных объемных сил (ЭОС), вычислить распределения завихренности и давления по поверхности шара, вычислить коэффициенты гидродинамического сопротивления трения и давления и электромагнитную силу, действующую на шар. Необходимо было изучить изменение характера обтекания шара в зависимости от величины электромагнитных полей и параметров внутреннего источника, а также изучить энергетические характеристики работы источника с учетом реальных течений около шара. Поскольку в литературе нет описаний методов решения подобных задач, то важно было развить и модернизировать известные численные методы применительно к данной теме исследований.

Научная новизна. Впервые для чисел Рейнольдса Re ^ 1000 проведены исследования характеристик течения несжимаемой проводящей вязкой жидкости около шара, содержащего внутренний источник электромагнитных полей индукционного типа. Показано, что в самодвижущемся режиме работы источника полный коэффициент гидродинамического сопротивления шара может быть меньше классического (в отсутствии электромагнитных полей).

Аналогичные исследования для шара с кондукционным источником также проведены впервые при Re ^ 3000. Впервые показана возможность движения тела с помощью внутреннего источника электромагнитных полей с коэффициентом гидродинамического сопротивления существенно меньше классического значения. Так при Re = 3000 снижение сопротивления составило 40$. Показано также, что в самодвижущемся режиме коэффициент сопротивления давления много меньше своего классического значения. Показано, что даже для неоптимизированного источника полей КЦЦ составил 0,3 * 0,46.

Модифицированный метод расчета обтекания шара позволил проводить расчеты течений около шара при различных значениях параметра гидромагнитного взаимодействия 1\1 , в том числе и при А! = О, при Re ^ 1000. Созданный метод расчета безотрывного МГД-обтекания шара позволил рассчитать течения при Re ^ 5

10 , а созданный метод расчета трехмерного линеаризованного уравнения Навье-Стокса позволил рассчитать трехмерные добавки к основному осесимметричному полю течения при Re ^ 10^.

Практическая ценность работы состоит в том, что на примере шара впервые теоретически изучено МГД-обтекание самодвижущегося объемного тела, имеющего внутренний источник электромагнитных полей. Продемонстрирована возможность радикального изменения характера обтекания и возможность снижения гидродинамического сопротивления тела.

Созданный в работе комплекс программ для расчета течений около шара может быть использован и для решения других задач. С другой стороны, модернизированные или созданные в работе численные методы могут быть применены для исследования МГД-обтекания тел, имеющих более сложную геометрию.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [49 * 54], в том числе в 3 статьях, двух препринтах.

Апробация. Основные результаты по теме диссертации были доложены на Пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981), на il-ом Рижском совещании по магнитной гидродинамике (Рига, 1984), на Десятой Всесоюзной школе-семинаре по численным методам механики вязкой. жидкости (Новосибирск, 1984), на Всесоюзной конференции молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование задач гидродинамики и пути повышения эффективности энергетических установок" (Новосибирск, 1984). Кроме того, основные результаты работы докладывались на Семинаре по прикладной магнитной гидродинамике под руководством академика Латв. ССР И.М. Кирко (Пермь, 1982), а также на научных семинарах в Институте теоретической и прикладной механики (1980-1984).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Изложена на 101 страницах машинописного текста, содержит 44 рисунка и список литературы из 80 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты проведенных исследований.

1. Исследовано обтекание проводящей несжимаемой вязкой жидкостью твердого шара, содержащего внутренний источник электромагнитных полей индукционного типа. С помощью конечно-разностных методов рассчитаны течения жидкости при различных значениях параметра гидромагнитного взаимодействия. Электромагнитные силы видоизменяют картину обтекания, увеличивают значение завихренности на поверхности шара и коэффициент сопротивления трения, одновременно с этим они увеличивают давление в кормовой части шара и уменьшают коэффициент сопротивления давления. При небольших числах Рейнольдса суммарный коэффициент сопротивления увеличивается, а при Re = 1000 он уже меньше своего классического значения на 11%.

2. Аналогичные исследования были проведены для шара с источником электромагнитных полей кондукционного типа. В самодвижущемся режиме суммарный коэффициент сопротивления при

Re = 1000 и 3000 меньше своего классического значения на 20% и 40% соответственно. Коэффициент сопротивления давления при этом существенно меньше классического. Даже для неоп-тимизированного источника КПД составил 30 * 46%. Рассчитаны трехмерные добавки к осесимметрическому течению. Их небольшая величина позволила обойтись без решения трехмерной нелинейной задачи.

3. Модифицирован известный метод, позволивший рассчитывать обтекание шара в присутствии быстро убывающих при удалении от шара электромагнитных полей, а также в отсутствии полей при числах Re ^ 1000.

4. Создан метод расчета безотрывного осесимметричного МГД-обтекания шара, позволяющий проводить расчеты при числах Re ^ 10®, когда другие известные методы уже не реботают.

5. Создан метод расчета трехмерной добавки к основному осесимметричному течению около шара с кондукционным источником электромагнитных полей при Re ^ 1000.

1. Chester W. The effect of a magnetic field on Stokes flow in a conducting fluid.--J.of Fluid Mech., 1957,vol.3,p.3, p.304-308.

2. Gotoh K. Stokes flow of an electrically conducting fluid in a uniform magnetic field.—J.phys.soc.Japan, 1960, vol.15,p.4,p.696-705.

3. Imai I. On flows of conducting fluids past bodies.— Rev. mod. phys.,1960, vol.32,p.4,p.992-999.

4. Гайлитис А.К. Движение шарика в вязкой проводящей жидкости, находящейся в продольном магнитном поле.— В кн.:

5. Труды Института (физики АН Латв. ССР, Рига, 1959, т.II, с.121-128.

6. Gourdine М.С. Magnetohydrodynamic flow constructions with fundemental solutions.—J.of Fluid Mech.,1961,vol.10,p.3, p.439-448.

7. Van Blerkom R. Magnetohydrodynamic flow of a viscous fluid past a sphere.—J.of Fluid Mech., 1960, vol.8, p.3,p.432-441.

8. Gotoh K. Magnetohydrodynamic flow past a sphere.—J.Phys. Soc.Japan,196O, vol.15, p. 1,p.189-196.

9. Ludford G.S.S. The effect of an aligned magnetic field on Oseen flow of a conducting fluid.—Arch.Rat.Mech. Analysis, 1960,vol.4,p.5,p.405-411.

10. Chester W. The effect of a magnetic field on the flow of a conducting fluid past a body of revolution.— J.of Fluid Mech., 1961, vol. 10, p.3, p.459-465.

11. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Обтекание шара проводящей жидкостью в сильном магнитном поле,— Ж. техн. физ., I960, т.ЗО, № 8, с. 925-926.

12. Цинобер А.Б. Магнитогидродинамическое обтекание тел.— Рига: Зинатне, 1970.-— 291 с.

13. Брановер Г .Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред.— М.: Наука, 1970.— 379 с.

14. Mathon R., Ranger К.В. Magnetohydrodynamic streaming . flow past a sphere at low Hartmann numbers.— The Physics of Fluids, 1973, vol.16, И 4, p. 485-490.

15. Glauert M.B. Magnetohydrodynamic wakes.— J. Fluid Mech., 1963, vol. 15, p. 1, p. 1-12.

16. Калис Х.Э., Цинобер А.Б. Обтекание круглою цилиндра электропроводящей несжимаемой жидкостью в поперечном магнитном поле.— В кн.: Латвийский математ. ежегодник, Рига: Зинатне, 1966, т. I, с. 235-263.

17. Калис Х.Э., Цинобер А.Б., Щербинин Э.В., Штерн А.Г. Обтекание круглого цилиндра электропроводящей жидкостьюв поперечном магнитном поле. — Магнитная гидродинамика, 1965, №> I, с. 18-28.

18. Maxworthy Т. Measurements of drag and wake structure in magnetofluid flow about a sphere.— Proc. heat transf. fluid mech. inst., Seatle, Wash., 1962, June 13-15, Stanford Univ. press, p.197-208.

19. Yonas G. Measurements of drag in a conducting fluid with an aligned field and large interection parameter.-- J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, p. 4, p. 813-821.

20. Maxworthy Т. Experimental studies in magneto fluid dynamics: pressure distribution measurements around a sphere.—J. of Fluid Mech., 1968, vol. 31,p.4,p.801-814.

21. Цинобер А.Б.,Щербинин Э.В. О влиянии магнитного поля на сопротивление при обтекании тел потоком электропроводящей жидкости.— Изв. АН Латв. ССР, 1962, №11,с.45-54,

22. Колесников Ю.М., Цинобер А.Б.,Штерн А.Г., Щербинин Э.В. О распределении давления при МГД-обтекании сферы.— Магнитная гидродинамика, 1967, №4, с.148-149.

23. Калис Х.Э., Слюсарев Н.М., Цинобер А.Б.,Штерн А.Г. Сопротивление плохообтекаемых тел при больших числах Стюарта.— Магнитная гидродинамика,1966,№4, с.152-153.

24. Reitz J.R., Foldy L.L. The force on a sphere moving throuh a conducting fluid in the presens of magnetic field.— J. of Fluid Mech., 1961, vol. 11 ,p. 1 ,p. 133148.

25. Chow C.Y. Flow around a nonconducting sphere in a current carrying fluid.— The Phys.Fluids,1966, vol.9, N 1, p. 933-936.

26. Chow C.Y., Billing D.F. Current carrying fluid past a nonconducting sphere at low Reynolds number. — The Phys. Fluids, 1967, vol. 16, N 4, p.871-873.

27. Chow C.Y., Halat J.A. Drag of a sphere at arbitrary conductivity in a current carrying fluid.— The Phys. Fluids, 1969, vol. 12, N 11, p.2317-2323.

28. Hamielec A.E., Hoffman T.W.,Ross L.L. Numerical solution of the Navier-Stokes equation for flow past spheres.— A.I.Chem. Eng.J., 1967, vol.13, N 2,p.212-219.

29. Sozou C. Plow induced by the presens of a non-conducting ellipsoid of revolution in fluid carrying a uniform current.— J. of Fluid Mech., 1970, vol. 42, p.1, p.129-138.

30. Sozou C. Slow flow of a fluid carrying a uniform current past a conducting ellipsoid of revolution.—J. of Fluid Mech., 1970, vol.43, p.1, p.121-127.

31. Sozou C. The development of magnetohydrodynamic flow due to the passage of an electric current past a sphere im-merced in a fluid.— J. of Fluid Mech., 1972, vol.56, p.3, p.497-503.

32. Орепер Г.Н. Влияние электровихревых течений на гидродинамику и ыассообмен сферы, движущейся в токонесущей жидкости,—Магнитная гидродинамика, 1980, №1, с.72-76.

33. Госмен А.Д.,Пан В.М.,Ранчел А.К.,Сподииг Д.Б.,Вольюштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М.: Мир, 1972.—424с.

34. Андрее У.Ц.,Полак А.С.,Сыроватский СЛ. Электромагнитное выталкивание тела из проводящей жидкости.—ЖТФ,1963,т.35, №3, с.263-267.

35. Круминь Ю.К. Вращение проводящего шара в проводящей вязкой жидкости в присутствии магнитного поля.—Изв.АН Латв. ССР, 1958, №2, с.97-102.

36. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Вращение шара в вязкой проводящей жидкости в магнитном поле.— I. техн. физ.,1966, т. 30, № 9, с. 1067-1073•

37. Kanval R.P. Slow rotation of ail axially symmetric bodyin a viscous electrically conducting fluid.— Phys.Fluids, 1961, vol. 4, XI 5, p. 651-652.

38. Антимиров М.Я. Точное решение задачи о стационарном МГД-течении при медленном вращении шара.— Магнитная гидродинамика, 1979, № I, с. 49-54.

39. Datta S. Steady rotation of magnetized sphere in viscous conducting fluid.— J. Phys. Soc. Japan, 1964, vol. 19, N 3, p. 392-396.

40. Sastry V.U.K., Rama Rao K.V. Hydromagnetic Stokes flow past a rotating sphere.— J. Fluid Mech., 1978, vol. 88,p. 4, p. 757-768.

41. Шатров В.И. Медленное течение проводящей жидкости около шара, содержащего вращающийся магнитный диполь.— ПМТФ, 1981, № 6, с. 100-106.

42. Riley N. Magnetohydrodynamic Stokes flow.— Proc. Roy. Soc., A260, 1961, N 1300, p. 79-90.

43. Tamada K., Sone Y. On the flow of viscous conducting fluid past a magnetohydro sphere.— J. Phys. Soc. Japan, 1964, vol. 19, N 8, p. 1422-1429.

44. Barthel G.R., Lykoudis P.S. The slow motion of a magnetized sphere in a conducting medium.— J. Fluid Mech., 1960, vol. 8, p. 2, p. 307-314.

45. O'Brien V. Viscous magnetohydrodynamic flow about a spherical magnetic quadrupole.— Quart. Appl. Math., 1965, vol. 23, N 3, p. 283-285.

46. Яковлев В.И. Вихревые течения в несжимаемой проводящей вязкой жидкости, возникающие под действием переменного электромагнитного поля.— ПМТФ, 1976, N2 5, с. 50-57.

47. Хоничев В.И., Яковлев В.И. Движение шара в безграничной проводящей жидкости, вызванное переменным магнитным диполем, расположенным внутри шара.— ПМТФ, 1978, № 6, с.64-71.

48. Меркулов В.И. Движение сферы в проводящей жидкости под действием скрещенных электрического и магнитного полей. — Магнитная гидродинамика, 1973, te I, с. 38-42.

49. Кирко И.М. Жидкий металл в электромагнитном поле. М.-Л.: Энергия, 1964 — 158 с.

50. Шатров В.И., Яковлев В.И. Изменение гидродинамического сопротивления шара, приводимого в движение электромагнитными силами.— ПМТФ, 1981, № 6, с. 93-100.

51. Шатров В.И. О вычислении гидродинамического сопротивления шара при обтекании несжимаемой вязкой жидкостью.— Численные методы механики сплошной среды.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР — ИТиПМ СОАН СССР, 1982, т.13, № 2, С. 150-155.

52. Шатров В.И. Метод расчета обтекания шара проводящей несжимаемой вязкой жидкостью при числах РейнольдсаRe£10^.-Новосибирск, 1984. 23 с. ( Препринт № 30 ИТиПМ).

53. Шатров В.И., Яковлев В.И. О гидродинамическом сопротивлении шара, содержащего источник электромагнитных полей кондиционного типа. — ПМТФ, 1985, № I, с. 22-28.

54. Шатров В.И. Метод расчета безотрывного МГД-обтекания шара несжимаемой жидкостью при числах Рейнольдса Re^ I05.— Новосибирск, 1984. — 37 с. ( Препринт № 24 Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР).

55. Lin С.Ъ., Lee S.C. Transient state analysis of separated flow around a sphere.— Computers and Fluids, 1973, vol. 1, N 3, p. 235-250.

56. Кускова T.B. Разностный метод расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. — В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. 7. М.: Изд-во Моск. гос. университета, 1967, с. 16-27.

57. Тарунин Е.Л. Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости.— В кн.: Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Ч. I, Новосибирск, 1975, с. 326.56.

58. Perry J.H. Chemical engineer's handbook. N.Y.: McGraw Hill, 1950. p. 1017.

59. Jenson V.G. "Viscous flow round a sphere at low Reynolds numbers ( Re ^ 40). Proc. Roy. Soc., Ser. A, 1959, vol. 249, N 1258, p. 346 - 366.

60. Pruppacher H.R., Le Clair B.P., Hamielec A.E. Some relations between drag and flow pattern of viscous flow past sphere and cylinder at low and intermediate Reynolds num -bers. J. of Fluid Mech., 1970, vol. 44, p. 4, p. 781 -791.

61. Rimon Y., Cheng S.I. Numerical solution of uniform flowover a sphere at intermediate Reynolds number. Phys. Fluids, 1969, vol. 12, N 5, p. 949 - 959.

62. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 616 с.

63. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, М.: Мир, 1973,- 758 с.g5e Taneda S. Rept. Res. Inst. Appl. Mech., Kyushu University, 1956, N 4, p. 99.

64. Кускова Т.В. Численное исследование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости.- Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 3, 1971, с. 7-136.

65. Шепеленко В.Н. Обтекание сферы потоком вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса.— Числ, методы механики сплошной среды,— Новосибирск: ВЦ СОАН СССР — ИТиПМ СОАН СССР, 1974, т. 5, № 3, с. 101 108.

66. Dennis S.C.R., Walker J.D.A. Calculation of steady flow past a sphere at low and moderate Reynolds numbers. — J. of Fluid Mech., 1971, vol. 48, p. 4, p. 771-789.

67. Mastin C.W., (Thompson J.K. Three-dimensional body-fitted coordinate systems for numerical solution of the Navier-Stokes equation.— A I A A Paper, 1978, N 1147, p. 1 8.

68. Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока".— Докл. АН СССР, 1974, т. 219, N° 2,с. 301 304.

69. Тарунин Е.Л. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости.— Числ. методы механики сплошной среды, 1978, т. 9, № 7, с. 97 III.

70. Maslyach J.H., Epstein N. Numerical study of steady flow past spheroids.— J. of Fluid Mech., 1970, vol. 44, p.3, p. 493 512.

71. Блоттнер Ф.Дж. Разностная схема с неравномерной сеткой для расчета турбулентных пограничных слоев.— В кн.: Механика, № 14, М.: Мир, 1977, с. 97 106.

72. Люгт X., Оринг С. Вращающийся тонкий эллиптический цилиндр в параллельном потоке вязкой жидкости.— В кн.: Механика, М.: Мир, 1977, с. 135 142.

73. Davis R.T. Numerical solution of the Navier-Stokes equations for symmetric laminar incompressible flow pasta parabola.— J. of Fluid Mech., 1971, vol. 51, p. 3, p. 417-433.

74. Яненко H.H. Метод дробных шагов для решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967, 195 с.

75. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.742 с.

76. Khosla Р.К., Rubin S.G. A diagonally dominent second-orded accurate implicit scheme. — Computers and fluids, 1974, vol. 2, N 2, p. 207-209.

77. Березин И.О., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. I, М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1959. 484 с.