Разностные схемы для задач сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Институт математики Национальной академии наук Беларуси

/ДК 519.63 рГ6 0Д

2 5 /¡пК тч г

Лемешевский Сергей Владимирович

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

ТИПОВ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск, 2000

Работа выполнена в Институте математики HAH Беларуси

Научные руководители: член-корреспондент HAH Беларуси,

доктор физико-математических наук, профессор Корзюк В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Монастырный П.И.,

Оппонирующая организация:

Московский государственный университет.

Зашита состоится 3.11.2000 в 14— на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 в Институте математики Национальной академии наук Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурганова 11, тел, учёного секретаря — 284-19-63.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Национальной АН Беларуси

Автореферат разослан $ " С^^УсМ^ир 2000 г.

Учёный секретарь совета

по защите диссертаций,

доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Матус П.П.,

кандидат физико-математических наук Громыко Г.Ф.

профессор

П.П.Матус

J

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. При математическом моделировании физико-химических процессов в составных (композитных) телах часто приходится использовать математические модели, которые основаны на различных типах уравнений в отдельных частях расчетной области. Особое внимание при этом уделяется условиям сопряжения на границах подобластей. Изучение таких математических моделей предполагает теоретические исследования корректности, разрешимости задач, а также разработку численных методов и решения их с помощью ЭВМ. Первым на важность изучения задач сопряжения разнотипных уравнений еще в 50-е годы обратил внимание И.М. Гельфанд. Затем в 60-е годы в работах Г.М. Стручиной, С.И. Гайдука, O.A. Ладыженской, Л. Ступялиса, В.И. Корзюка и других авторов были проведены исследования корректности таких задач. При этом использовались различные методы. Однако, на сегодняшний день актуальны вопросы исследования корректности задач сопряжения разнотипных уравнений в нецилиндрических областях, а также в случае задания интегро-дифференциальных условий сопряжения. Вопросы построения и исследования вычислительных методов для указанных задач до настоящего времени практически не рассматривались.

Связь с крупными научными программами. Исследования проводились в рамках Государственной программы фундаментальных исследований Алгоритм 04 "Вычислительные методы высокого порядка точности на адаптивных сетках", включенной на 1996 — 2000 г.г. в план НИР, выполняемых отделом численного моделирования Института математики Национальной АН Беларуси (Л"? 1997 4680), а также в соответствии с договорами с Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований jV Ф96 — 173 от 17-февраля 1997 г. по теме "Разностные схемы на неравномерных сетках для уравнении математической физики1' и № Ф97 — 029 от 1 марта 1998 г. по теме "Численные методы решения обратных задач математической физики".

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение конечно-разностных методов для задач сопряжения гиперболического и параболического уравнений с различными условиями на границе раздела областей, получение априорных оценок остойчивости и точности построенных алгоритмов, а также доказательно однозначной разрешимости задачи сопряжения разнотипных урав-гений с интегро-дифференциальными условиями согласования.

Для достижения этой цели в ходе работы над диссертацией были юставлены следующие задачи:

— доказать существование единственного сильного решения задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений с интегро-дифференциальными условиями на границе раздела областей;

— для одномерных задач сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов построить разностные схемы как с постоянными, так и с переменными весовыми множителями. Исследовать вопросы устойчивости и сходимости указанных конечно-разностных алгоритмов;

— для двумерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений в областях с движущимися границами, а также для двумерной начально-краевой задачи для гиперболо-параболггпгского уравнения с разрывным решением построить разностные схемы. Получить достаточные условия устойчивости указанных алгоритмов как в случае постоянных, так и переменных весовых множителей. Получить оценки точности для построенных разностных схем.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются разностные схемы, аппроксимирующие задачи сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы дифференциальных уравнений и частных производных, функционального анализа и вычислительной математики. При доказгпгельстве однозначной разрешимости задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений с интегро-дифференциальными условиями согласования используется метод энергетических неравенств и операторов осреднения переменного шага, сохраняющих граничные условия. При получении априорных оценок устойчивости и оценок скорости сходимости разностных методов применяется общая теория устойчивости операторно-разностных схем и метод энергетических неравенств.

Научная новизна полученных результатов. Новизна полученных результатов состоит в том, что

— доказано существование единственного сильного решения задачи сопряжения о совместно-раздельном течении вязкой и вязкоупругой жидкостей в плоской трубе, построена разностная схема для указанной задачи, а также получены оценки точности предложенного алгоритма;

— построены и иследованы конечно-разностные методы с постоянными и переменными весами для одномерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений; '

— впервые построены и исследованы разностные схемы как с постоянными, так и с переменными весовыми множителями, для численного решения двумерной начально-краевой задачи для гнперболо-

параболического уравнения с разрывным решением, а также для двумерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений в областях с подвижными границами.

Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при исследовании вопросов устойчивости и сходимости для других классов разностных схем.

Построенные алгоритмы могут быть использованы при моделировании совместно-раздельного течения вязкой и вязкоупругой жидкостей в плоской трубе и других явлений, при описании которых возникают задачи сопряжения разнотипных уравнений.

Экономическая значимость. Работа относится к фундаментальным исследованиям, что не позволяет на данном этапе оценить экономическую значимость полученных результатов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. В настоящей диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

— 'доказано существование единственного сильного решения задачи сопряжения о совместно-раздельном течении вязкой и вязкоупругой жидкостей в плоской трубе, построена разностная схема для указанной задачи, а также получены оценки точности предложенного алгоритма;

— для одномерной задачи сопряжения гиперболического и па]>чбо-лического уравнений построены разностные схемы как с постоянными так и переменными весовыми множителями, найдены достаточные условия устойчивости и получены оценки точности в энергетической норме;

— построены новые разностные схемы с постоянными и переменными весовыми множителями для двумерных началъно-краевыа• задач для гиперболо-параболических уравнений в областях с подвижными границами и задач с разрывными решениями, получены априорные оценки устойчивости и точности предложенных методов.

Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные, на паритетных началах с соавторами.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты докладывались:

— на II Международной конференции по математическому модели-

рованию (г. Якутск, июль 1997г.)

— на II Международной конференции "Finite Difference Methods: Theory and Applications" (г. Минск, июль 1998г.);

— на IV Международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis" (г. Вильнюс, июнь 1999 г.)

— на международной конференции "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations" (г. Минск, сентябрь 1999 г.).

— на городском семинаре по математическому моделированию.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Среди них 7 статей в международных и отечественных журналах, 1 статья в материалах конференции, 2 тезиса конференций. Общий объем опубликованных материалов составляет 69 с.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает введение, общую характеристику работы, 4 главы, заключение, список использованных источников. Полный объем — 89 е., из них 12 с. занимает список использованных источников (107 наименований). В работе содержится 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор современного состояния численных методов для задач сопряжения уравнений, кратко излагается содержание и структура диссертации, приводятся основные результаты.

В nepeoii главе диссертации дается краткий обзор литературы по теме исследований.

Во второй главе рассматривается задача сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов с интегро-дифференциальными условиями на границе раздела областей. Метод операторов осреднения переменного шага с сохранением граничных условий позволяет доказать существование сильного решения указанной задачи.

Пусть Q С К", ограниченная область n-мерного евклидова пространства Е", разделена (?г — 1)-мерной кусочно гладкой гиперповерхностью 7 на две подобласти П^1) и

У с л о, в и е 2.1. Подобласти (t = 1,2) имеют достаточно

простую геометрическую структуру, для которой справедлива формула Остроградского.

В цилиндрической области х (0, Т) рассмотрим гипер-

болическое уравнение

£(!)„(!) = e^ff- + ^ - AuW = /(1)(i,x), (t,x) 6 Q(1K (1)

относительно функции и х) независимых переменных < £ (0,Т) и х = (Х1,Х2,. ■ ■, х„) е П^, 0 < Т < +оо. Аналогично, относительно функции ц(2>(<,х) в <5(2) = х (О, Т) рассматриваем уравнение параболического типа

£(2)и(2) = - 1д„(2) = /<»(<,х), 0,Х) € д(2). (2)

р 01 /I

Здесь 0, р, /( — положительные, постоянные. К уравнениям (1), (2) добавим условия Коши

/и = ы(0,х) = ыо(х), хео^ип'2', (3)

(4)

граничное условие

«15(.)и5(ч = 5(0 = \ -г) X [О- П = 1, 2. (5)

55 услов55Я сопряжения

иы\г = ию\г, (6)

II (**»(-е ) ЬУ

о

л - А диМ

1 ди& (¡2 = —

ц ду

(7)

где ы(<,х) = (и^О.х), (¿,х) е <Э(1); и<2>(<,х), (¿,х) £ д(2)), и0{х) = «о (х), х £ Г = 7 X [0;Т], и — единичный

вектор нормали в точках гиперповерхности Г, внешний относительно

сЯ.

Введем обозначение = J ехр ^ ^ ^'(г,

х)</2.

о

Нетрудно видеть, что для гладких функций уравнение (1) и условие (4) эквивалентны уравнению

£(1)и(1) = - А= лМ{1,х)+еехР (-0 и^(х).

(8)

Таким образом, задача (1) — (7) эквивалентна задаче (2), (3). (5) — (8). Далее будем рассматривать последнюю.

Задачу (2), (3), (5) — (8) рассматриваем как операторное уравнение

Ьи = ^ (9)

где Ьи = (Си,1и), Си = (¿^М1), £<2>и<2)), Р = (/(¿,х), «0{х)), /(¿,х) = (.7/(1) (*,х) + 0ехр (-£) «^(х),/О («,*)).

Здесь в область определения £>(£) оператора Ь входят все функции гг(£,х), для которых гг^*^(£, х) являются дважды непрерывно дифференцируемыми в замыкании д'*^ цилиндрических областей С^') (г = 1,2), и которые удовлетворяют граничным условиям (5) и условиям сопряжения (6), (7).

Обозначим через В банахово пространство, которое получается в результате пополнения по норме

Ив= ЁиР (|1"11мп) о^т \ * '

^гас!

+

+

м<г(1>)

Егад.Уи^Ц'

gгad и'2'

¿а(П(0)

(0+

+

(10)

подпространства В, определяемого множеством Т>(£) и нормой (10). Через 71 обозначим гильбертово пространство .^(С?) х Ьг (й), (2 —

д^ид^).

Оператор Ь рассматриваем как оператор из В в 71 с областью определения Т>(1). Оператор Ь как оператор из Б в 71 допускает замыкание Ь и для него справедливо энергетическое неравенство

М1в ^ С1М«>

Уи 6Р(£).

(И)

Доказывается следующая

Теорема 2.4. При выполнении условия 2.1 для любых 6 £2(д(2)), ко 6 £2(А), «1г) 6 Ь2(^(1)) и £ существует и

единственно сильное решение и £ Б задачи (1) — (7) и справедлива оценка

Мв^с

р „(ч

+ /(2)

£2(0<1))

М<?(2))

+11"о|1г.,(и))' (12)

где с — положительная константа из (11).

Третья глава посвящена построению разностных схем для одномерных задач сопряжения гиперболического и параболического уравнений с различными условиями сопряжения. С помощью общей теории

устойчивости операторно-разностных схем исследуется устойчивость и сходимость разностных схем с переменными весовыми множителями для задачи сопряжения в случае, когда на границе раздела областей задаются обычные условия согласования. Методом энергетических неравенств проведено исследование сходимости разностной схемы для задачи сопряжения с интегро-дифференциальными условиями согласования.

В разделе 3.2 рассматривается начально-краевая задача о сопряжении уравнений гиперболического и параболического типов в прямоугольнике О = и <?1 = {(г, г) : 0 < г < £, Т}, -

= (13)

где рт(х) — строго положительные функции в С}т, 0 < сч <С к,п(х) <С С2 [т = 1,2). Дополним эти уравнения граничными и начальными условиями:

и(о,0 = "(М) = о, г>о, (15)

«(О, *) = «<,(*), 0 ^ г ^ /, = (1С)

На границе раздела двух областей х = £ выполняются следующие условия сопряжения

• [«] = 0, [*£].„ при 0. (17)

Построение и исследование разностных схем для поставленной задачи сопряжения будем проводить в предположении, что коэффициенты рт(х). кт (х), ¡т(1,х) (т = 1,2) имеют разрыв первого рода на прямой х = а вне линии разрыва эти функции являются достаточно гладкими. В дальнейшем будем предполагать, что решение и(1,х) задачи (13) — (17) является кусочно-гладким: вне линии х = £ обладает всеми необходимыми по ходу изложения непрерывными и ограниченными производными, а на прямой х = £ удовлетворяет условиям сопряжения (17). Отметим, что зависимость коэффициентов рт, кт от одной переменной х, а также однородность граничных условий (15) рассматриваются лишь для простоты рассуждений.

Будем предполагать, что точка разрыва коэффициентов £ является узлом равномерной пространственной сетки и/,. Кроме того, в областях Qil Q2 будем рассматривать следующие сетки иi = uiih х шт, и>2 = и>2Л X ыт.

Дифференциальную задачу аппроксимируем трехслойной разностной схемой

РШ= ((ау*){<71'а2))х+<Р, (t,x)eu и (1В)

P2m = + (*,*) е «г, (19)

yo = VN= о, (20)

у(0,х) = u0(a;), î/t(0, а:) = й0(ж), lÊai^, ь>ГЛ=«1Аи{0}, (21)

2/(0,2.-) = «о (ж), 2/f (0, = Wi(ar), x£U2h (22)

с постоянными весами <та, Q = 1, 2.

Условия сопряжения (17), как и в случае третьей краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности, аппроксимируем с учетом требования второго порядка аппроксимации по пространственной • переменной:

(ayî){ai^) + ~{pm + ^{ayx)^'^-Î{pmt + lp), (23)

Здесь а, (р — стандартные шаблонные функционалы от А:, /. Аппроксимацию условий сопряжения (23) удобно записать в виде

0,5 + Я2Ш) = ((«^)(СТ"СТ2))Х + ^ ж = (24)

При исследовании вопросов устойчивости будем использовать каноническую форму трехслойных операторно-разностных схем вида

Dyit + Ву, + Ау = tp, 0<ÎGuT, у{0) = уо, yt(0)=VO! (25)

где у 6 Ji, а H — вещественное конечномерное гильбертово пространство, А, В, D : H —>• H — линейные постоянные операторы в H.

о

Пусть Qh — множество сеточных функций у,- = у (xi), заданных на £7h и удовлетворяющих условию уо = yjv = 0. Для таких функций определим оператор А следующим образом

(Ay)i = -(«</x)*,b г = 1, 2,..., ЛГ - 1, y0-yN ~0. (26)

Введем вектор уп = (у", 2/21—i î/îv-i)T 11 определим пространство H как множество таких векторов со скалярным произведением и нормой (т/, г;) = y(x)v(x)h, ||t/|| = v(j/, у)- Тогда оператор Л действует из H

в H, т.е. А : H —> H. Через Нр, где D = D* > 0, обозначим гильбертово пространство с (y,v)D = (£>у, и) и нормой ЦуЩ, = (y,y)D.

Отметим, что на основании результатов, полученных в известных монографиях А.А.Самарского "Теория разностных схем1' и A.A.Самарского, А.В.Гулина "Устойчивость разностных схем", при выполнении условий А* = А > О, D' = D ^ А, В ^ 0, е > 0, для решения разностной схемы (25) имеет место априорная оценка

Разностная схема (18) — (22), (24) приводится к каноническому виду трехслойных операторно-разностных схем (25). Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть в разностной схеме (18) — (22), (24) выполнены условия cri ^ <72, (Ti -f cri ^ —t1. Тогда схема (18) — (22), (24) устойчива по начальным данным и по правой части, а для решения задачи имеет" место оценка (27).

Отметим, что при аппроксимации параболического уравнения в вычислительной практике обычно используется двухслойная разностная схема (в этом случае <72 = 0), а при аппроксимации гиперболического — трехслойная. Здесь возникают переменные веса.

Задача (18) — (22), (24) в случае переменных весовых множителей может быть записана в виде

hVt+hVlt = ((ßfc)MlWr)))r + У, (t, х) G ы, (28)

2/(0,0 =y(l,t) = 0, ' t eoJr, (29)

у(0,ж) = t/o (ж), lew /,, 2/t(0, x) = Wi(a:), (-30)

Исследование устойчивости схемы проведится в соответствии с монографией A.A.Самарского, П.Н.Вабищевича, П.П.Матуса "Разностные схемы с операторными множителями". Имеет место

Теорема 3.2. Пусть в разностной схеме (28) — (30) выполнены условия &i(x) ^ а2(г), ^(а:) -f <т2(х) ^ гец. Тогда схема устойчива по начальным данным и по правой части, а для решения задачи имеет место оценка (27).

Сформулируем используемые ниже условия.

Условие 3.1. Функции к'т, кр'т, (кти')" (ш = 1,2)

удовлетворяют условию Липшица по а; в каждой из подобластей С}т, а ди д2и

—--условию Липшица по £ в <5ь -тго— условию Липшица по I в

с« 01

Здесь используется обозначение г' = ди/дх.

Условие 3.2. Предельные значения слева и справа функций /т, /т! /т (т = ^ 2), и', и", и'" удовлетворяют вдоль линии х = £ условию Липшица по i для 0 ^ < ^ Т.

Пусть у Е Н — решение задачи (28) — (30), и(1,х) — решение дифференциальной задачи (13) — (17), г = у — и. Доказывается следующая

Т е о р е м а 3.3. Пусть в каждой из подобластей С}т (т — 1,2) выполнены условия 3.1, 3.2. Тогда при 0"1(х) ;> с2(х), сг^ж) + (Т2(х) ^ I 6 и/,, решение разностной схемы (28) — (30) сходится к решению дифференциальной задачи (13) — (17) так что имеет место оценка тах|И*)||с ^с(/12+г).

В разделе 3.3 рассматривается задача, описывающая совместно-раздельное течение'вязкой и вязкоупругой жидкостей в плоской трубе:

со

£и=и(0,х)=ио(х), х £ (0,1), (33)

= «6(0,0, (34)

и(«,0) = «(<,/) = 0, *€(0,Г), (35)

=„(»)! , (36)

1 Г ( /*'-Л

в 7

дх

(37)

При рассмотрении вопросов численного решения задачи (31) — (37) будем предполагать, что выполнены следующие условия:

^ еС4(о,е), «(,">М 6 с4 (дТо), ¿ = 1,2.

7

В областях дЫ и (¿^ будем рассматривать равномерные сетки = ^1/11 х шт и и>2 = Ы2к2 * ыт соответсвенно. Задачу (31) — (37) на сетке и аппроксимируем следующей неявной разностной схемой:

+ ~ (ехр - 1) уи = У1в* + <Ри {1,х)Еиъ (39)

(40)

(41)

(42)

(43)

Справедлива следующая

Теорема 3.4. При выполнении условий (38) решение разностной схемы (39) — (43) сходится к решению дифференциальной задачи (31) — (37) со скоростью 0(т + /г2) в сеточной норме ||-||i, т.е. для погрешности z = у — и справедлива оценка ||.z||i ^ со(т 4- Л2), со = const > 0.

В четвертой заключительной главе рассматриваются двумерные задачи сопряжения гиперболического и Параболического уравнений: задача с разрывным решением и задача с подвижными границами. Для гиперболо-параболического уравнения с разрывным решением строится разностная схема с переменными весовыми множителями. С помощью общей теории разностных схем исследуются вопросы устойчивости и сходимости предложенных алгоримов. Далее для задачи сопряжения разнотипных уравнений в области с движущимися границами на подвижной сетке строится разностная схема с постоянными весами. Получены априорные оценки устойчивости и сходимости предложенного алгоритма.

В разделе 4.1 рассматривается двумерная начально-краевая задача для гиперболо-параболического уравнения с разрывным решением:

= £ )(x)f^)ме «ь (44)

р Ц

2/iM) = 2/i(M) = 0, 2/(0, х) = и0{х), yt(ti,x) = щ{х), xEuh, 2/1 (г> О = 2/2 (¿,0> ie^r

ijj/ii 4- 0,5/ii (ylt - exp 2/it(0) - =

= ~У2х - 0,5/i2 ( -yit ~ <pi ) , x = tEoJr-

а=1

дп\

и(0,х) = «о(х)> х€П, ~(0,х) = иР(х), Х6Й1. (47)

0, г2) = ^2(^^ + 0,0:2), 1/ = соп51 > 0, (<,х) £ Г, (48)

ди1

, дио

П ' дхг

, (<,х) е г. (49)

х,=е+о

= к(?){(,+0,х2)-

Для построения вычислительных методов для задачи (44) — (49) в области С?3 введем новую функцию Ид = их/ьч Тогда задача (44) — (49) примет вид

д2и

д

ди

«1ад = 0.

(50)

(51)

(52)

й(х,0) = «о(х), х 6 Г2,

ди\

д1

(х,0) = г.-1и(11)(х), хе'Йц (53)

й(«,С-о,г2) +о, л2). (*>х) ег,

(54)

— о, ®3)-

ди

дх1

= +

ди дх\

, (¿, х) £ Г. . (55)

и=£+о

п=е-о

В О существует неравномерная сетка такая, что граница раздела 5 проходит через ее узлы. Обозначим множество узлов, лежащих на 5 через . Используя тот факт, что при аппроксимации параболического уравнения в вычислительной практике обычно используются двухслойные разностные схемы, а при аппроксимации гиперболического — трехслойные, дифференциальную задачу (50) — (55) аппроксимируем трехслойной разностной схемой

+ <р, (/. х) € о>1, (56)

РгУх

= («1^?{х)'ва(5с))).1 + (а 2У{£(х]'Ых)))^+<Р, (¿,Х)6«ь (57)

{Р^ЧУп +Р2ГЧ+У,) = («1у1?(х),<72(х))) +

¿а 1 V (58)

у\ =0, (59)

у(х, 0) = И0(х), У((х, 0) = их(х), хеЩ, (60)

с переменными весовыми множителями.

Можно доказать следующие утверждения, касающиеся устойчивости и сходимости построенной разностной схемы с переменными весами.

Т е о р е м а 4.1. Пусть в разностной схеме (56) — (60) выполнены условия

<п(х) 2<гя(х), <г1(х) + £72(х) £0,5(1 + е), хеО^1. (61)

Тогда схема устойчива по начальным данным и по правой части, а для ее решения справедлива априорная оценка (27).

Теорема 4.2. Пусть £«(х) 6 С3{Пт)', рт[х) 6 С2(Пт), й(х,0 6 Д£,х) е С3{дт), а = 1,2, ш = 1, 2. Тогда при вы-

полнении условий (61) решение разностной схемы (56) — (60) сходится к точному решению дифференциальной задачи (50) — (55) в энергетическом пространстве На со скоростью О (/г? тах + ^|тах + Г)-

Далее в разделе 4.2 в области СЦ = {0,х) : сц1 < х,\ < /1 + со1, 0 < Х2 < 1?, 0 < £ < Т}, которая разбиватеся поверхностью Г = {(¿,х) : хх — £ + с01!, 0 < £ < к, 0 < х2 < /2, 0 < I < Т} на две части и С}2, рассматривается следующая задача сопряжения гиперболического и параболического уравнеий:

(63)

(64)

(65)

и|5=0, (¡,х)е5,

Чп°= «о(х),

¿»и*1»

Ы

п;

«ГМ,

«<1>|Г = „Ю|Г>

Будем предполагать, что для коэффициентов уравнений (62), (63) выполнены следующие условия

*im)(x) G C'iQJ, 0 < Cl <С kjm)(x) < с2, г = 1, 2, т = 1, 2,

0.

(67)

В монографии А.А.Самарского, П.Н.Вабищевича, П.П.Матуса "Разностные схемы с операторными множителями" вводится следующая каноническая форма трехслойных операторно-разностных схем с постоянными операторами:

+ = у(0) = г/о, Уг(0) = 2/1, (68)

где у е Я, Я - вещественное конечномерное гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой (•, ■), || • || соответственно. Л, Я, Я : Я —> Я — линейные постоянные операторы в Я, причем В ^ О, D = D" ^ 0.

, В диссертационной работе методом энергетических неравенств получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и правой части операторно-разностной схемы (68) в случае вырождающихся операторов В и D и несамосопряженного оператора А — Ao+^i, Ао = Ад > 0, при условии подчинения

||Aiy\\2 ^ а0(А0у, у) при всех у е Я, (69)

где ао > 0 — постоянная, независящая от г.

Справедливо следующее утверждение, которое понадобится при исследовании трехслойных разностных схем, аппроксимирующих задачу (62) — (66) на подвижных сетках.

Теорема 4.3. Пусть в схеме (68) операторы D и Ао положительные и самосопряженные. Тогда, если выполнены операторные неравенства

В0 = 0,5(В + В*) ^eU-b 0,5гА0, £ = const >0, D ^ L, (70)

где L = L* ^ 0, U = U" ^ 0, L + U = Е, и условие подчинения (69), то для решения операторно-разностной схемы (68) справедлива априорная

оценка

||у,1+1||2о < М ^|Ы1л0 + ||Й,о||Ь+2т2д0 + Х>1Ы!2) • (71)

Отметим, что в известной монографии A.A.Самарского и А.В.Гу-лина"Устойчивость разностных схем" получена аналогичная оценка для операторно-разностной схемы вида

Dm + Ву о + А у = tp, у(0) = г/о, yt(0) = Уи

с нссамосопряженным оператором А при условии (69). Но здесь на оператор Во накладывалось более жесткое ограничение: Во ^ еЕ, е > 0.

На подвижной сетке Uhr дифференциальную задачу (62), (G3), (64)-(66) аппроксимируем трехслойной разностной схемой

Уй = (в1У*1)1?,<Тз-) + ("2У*,)(:Г2) + 2c0ytii + V, (*. х) е «„ (72)

Уг = (aitojf^ + + + (t, х) G «2, (73)

v\awh = °> (*,*)€ 9wh, (74)

у(0, х) = u0(x), yt (0, х) = u'1' (х), x£ui|j, wfA=wi/,U7A, (75)

2/(0, х) = ii0(x), t/t(0, х) = ?ij2'(x), х€ш2Л, (76)

^yt + 0,5(yt +yFt) = (щу^^'^ + ^^^^Чсоу^+О.осоу., + <?.

(77)

Приводя разностную схему (72) — (77) к каноническому виду (68), можно доказать, что при выполнении условий

+0,5, 0-2 > 0 (78)

зля решения схемы (72)—(77) справедлива априорная оценка (71). Будем предполагать, что выполнены следующие условия:

*!т)€С3(<?т)пС2(Г) (¿=1,2), u(m><=C4(Qm)nC3(r), т=1,2,

41J(x) = fc^2)(x) при («,х)бГ.

1меет место следующая

Теорема 4.4. Пусть выполнены условия (67) и (79). Тогда

при выполнении неравенств (78) решение разностной схемы (72)—(77)

сходится к решению дифференциальной задачи (62), (63), (64)—(66), а

— 1/2

для погрешности z(t) имеет место оценка max||z(i)||yia ^ Mi[rhx + h^2 + hi), где Mi = const > 0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию разностных схем для задач сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов.

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Доказано существование единственного сильного решения задачи сопряжения с интегро-дифференциальными условиями на границе раздела подобластей, построены и исследованы разностные схемы для указанной задачи ([1, 2, 7]).

2. Построены конечно-разностные методы с постоянными и переменными весами для одномерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений. При этом условия сопряжения аппроксимируются с учетом требования второго порядка аппроксимации по пространственной переменной. Получены априорные оценки устойчивости и точности предложенных алгоритмов ([4, 5]).

3. Построены разностные, схемы с переменными весовыми множителями на неравномерных сетках для численного решения двумерной начально-краевой задачи для гиперболо-параболического уравнения с разрывным решением. Получены оценки устойчивости и точности для указанных методов ([3, 8, 9]). Для двумерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений в областях с движущимися границами построены разностные схемы с постоянными весами на подвижных сетках. Получены априорные оценки устойчивости построенных алгоритмов. Ключевым моментом при этом является получение достаточных условии устойчивости трехслойных операторно-разностных схем с вырождающимися несамосопряженными операторами ([6, 10]).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Корзюк В.И., Лемешевский С.В., Матус П.П. Задача сопряжения о совместно-раздельном течении вязкоупругой и вязкой жидкостей в плоской трубе // Доклады НАН Беларуси. 2000. — Т. 44, — С. 5 - 8.

2. Корзюк В.И., Лемешевский С.В., Матус П.П. Разрешимость задачи сопряжения гиперболического и. параболического уравнений с интегро-диффереициальными условиями на границе раздела областей // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тр. / Институт математики НАН Беларуси. — Мн., 2000. - Т. 6. - С. 100 - 108.

3. Лемешевский С.В. Разностные схемы для гиперболо-параболичес-кнх уравнений с разрывным решением // Труды Института математики НАН Беларуси. - 1999. - Т. 3. - С. 113 - 119.

4. Лемешевский С.В., Матус П.Б. Вычислительные методы для задачи о сопряжении уравнений переменного типа // II Международная конференция по математическому моделированию: Тезисы докладов, Якутск, 1997. — С. 36 — 38.

5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Лемешевский С.В., Матус Г1.П. Разностные схемы для задачи о сопряжении уравнений гиперболического и параболического типов // Сиб. матем. журнал. — 1998. — Т. 39, № 4. - С. 954 - 962.

6. Самарский А.А., Корзюк В.И., Лемешевский С.В., Матус П.П. Разностные схемы для задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений на подвижных сетках // Докл. РАИ. — 1998. - Т. 361, № 3. - С. 321 - 324.

7. Korzyuk V.I., Lemeshevsky S.V., Matus P.P., Shalima V.N. Conjugation problem about jointly separate flow of viscoelastic. and viscous fluids in the plane duct // Mathematical Modelling and Analysis. - 1999. - Vol. 4. - P. 114 - 123.

8. Lemeshevsky S. V. Computational methods for the conjugation problem of hyperbolic and parabolic equations // Finite-Difference Methods: Theory and Application: Abstracts of the Second International Conference, Minsk, July 6-9 / National Academy of Sciences, Insitute of Mathematics — Minsk, 1998. — P. 39 — 40.

9. Lemeshevsl:y S. V. Computational methods for the conjugation problem of hyperbolic and parabolic equations // Finite-Difference Methods: Theory and Application: Proceedings of the Second International Conference, Minsk, July 6-9 / National Academy of Sciences, Insitute of Mathematics — Minsk, 1998. — Vol. 2. — P. 99 — 102.

10. Samarskii A.A., Korzyuk V.I., Lemeshevsky S.V., Matus P.P. Finite-difference Methods for Problem of Conjugation of Hyperbolic and Parabolic Equations // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2000. - Vol. 10, jV="3.' - P. 361 - 377.

РЕЗЮМЕ ЛемешевскиЛ Сергей Владимирович Разностные схемы для задач сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов

Ключевые слова: задача сопряжения, разностная схема, устойчивость, сходимость.

В диссертационной работе строятся разностные схемы для задач сопряжения гиперболического и параболического уравнений. Получены достаточные условия устойчивости и исследованы вопросы сходимости построенных алгоритмов.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

— доказано существование единственного сильного решения зада-га сопряжения о совместно-раздельном течении вязкой и вязкоупругой 'кидкостей в плоской трубе, построена разностная схема для указанной 5адачи, а также получены оценки точности предложенного алгоритма:

— для одномерной задачи сопряжения гиперболического и парабо-шческого уравнений построены разностные схемы как с постоянными гак и переменными весовыми множителями, найдены достаточные условия устойчивости и получены оценки точности в энергетической норме;

— построены новые разностные схемы с постоянными и переменны-.ш весовыми множителями для двумерных начально-краевых задач для ■иперболо-параболических уравнений в областях с подвижными грациями и задач с разрывными решениями, получены априорные оценки 'стойчивости и точности предложенных методов.

Все результаты диссертации являются новыми. Они имеют как тоо-)етнческое, так и прикладное значение и могут быть использованы при юделировашш совместно-раздельного течения вязкой и вязкоупругой кидкостей в плоской трубе и других процессов, в которых возникают адачи сопряжения разнотипных уравнений.

РЭЗЮМЭ

лемяшэуск1 сяргей улад31м1рав1ч Рознасныя схемы для задач спалучэння раунанняу г1пербал1чнага 1 парабал1чнага тыпау

Ключавыя словы: задача спалучэння, рознасная схема, устойль васць, збежнасць.

У дысертацыйнай рабоце будуюцца рознасныя схемы для задач спалучэння гшербал1чнага 1 парабгипчнага раунанняу. Атрыманы дастат-ковыя умовы устонл^васщ 1 даследаваны пытан т збежнасцд пабудава-иых алгарытмау.

Аспоуныя вытю дысертацън заключаюцца у наступным:

— даказана ¡снавгшне адзшага моцнага рашэння заданы спалучэння аб сумссна-раздзельным цячэнш вязкай 1 вязкапругкай вадкасцей у плоскай трубе, пабудавана рознасная схема для адзначанай задачы, а таксама атрыманы ацэш-л дакладнасщ прапанаванага алгарытма;

— для аднамернай задачы спалучэння гшербал1чнага 1 парабал^ч-нага раунанняу пабудаваны рознасныя схемы як з пастаянным! так 1 са змеиным! вагавым! множшкам!, знойдзены дастатковыя умовы устонл^васц!, 1 атрыманы ацэша дакладнасщ у энергетычнай норме;

— пабудаваны новыя рознасныя схемы з пастаянным! 1 змеиным! вагавым'1 множткам! для двумерных пачаткова-краявых задач для гшербала-парабал1Чных раунанняу у абсягах з рухаточьшкя граш-дам'1 1 задач разрыуным"1 рашанням1, атрыманы апрыёрныя ацэньч устоил1васщ I дакладнасщ прапанаваных метадау. Усе вышю дысер-тацьй з'яуляюцца нокымь Яны маюць як тэарэтычнае так 1 практыч-нае значэтше 1 могуць быдь выкарыстаны пры мадэляванш сумесна-раздельнага дячэння вязкай 1 вязкапругкай вадкасцей у плоскай трубе ) шшых нрацэсау, у як*1х узткаюць задачы спалучэння рознатыпных раунанняу.

SUMMARY Lemeshevsky Sergey Yladjmirovich Difference schemes for problems on conjugation of equations of hyperbolic and parabilic types

Key-words: conjugation problem, difference scheme, stability, convergence.

In the thesis difference schemes for problems on conjugation of hyperbolic and parabolic equations are constructed. It is obtained sufficient conditions of stability and investigated convergence of the algorithms suggested.

The main results of the thesis consist in the following:

— it is proved existence of a unique strong solution of the conjugation problem concerning jointly-separate flow of viscous and viscoelastic fluids n a plane duct, the difference scheme for the problem mentioned is constructed, as well as the estimates of accuracy of the algorithm suggested are >btained;

— for the onc-dimcnsional problem on conjugation of hyperbolic and parabolic equations it is constructed the difference schcmes both with content and with variable weighting factors, sufficient conditions of stability ire found and the estimates of accuracy in energy norm are obtained;

— the new difference schcmes with constant and variable weighting actors are constructed for the two-dimensional boundary value problems in lomains with moving boundaries and for the problems with discontinuous olution, the a priori estimates of stability ancl accuracy of the methods uggested are obtained.

All results of the thesis are new. They have both theoretical ancl ap-ilicd significance and tliey can be used in modelling jointly-separate flow if viscous and viscoelastic fluids in a plane duct ancl other processes where he problems on conjugation of polytypic equations arise.