Устойчивость линейных неавтономных разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Куликов Андрей Юрьевич

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 8 МАР 2015

Екатеринбург — 2015

005560643

005560643

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и механики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Министерства образования и науки Российской Федерации.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Малыгина Вера Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент

Максимов Владимир Петрович, доктор физико-математических наук, профессор,

Пермский государственный национальный исследовательский университет, кафедра информационных систем и математических методов в экономике, профессор

Кипнис Михаил Мордкович,

доктор физико-математических наук,

профессор,

Челябинский государственный педагогический университет, кафедра математики и методики обучения математике, профессор

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 15 апреля 2015 года в 13.30 на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 620990, г.Екатеринбург, ул.Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ИММ УрО РАН: http://wwwrus.imm.uran.ru/C16/Diss/

Автореферат разослан марта 2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, / J)

доктор физико-математических наук Е.К. Костоусова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Разностные уравнения появились в научной литературе почти три столетия назад в работах Муавра и Стерлинга. В самостоятельный раздел математики теория разностных уравнений оформилась трудами Эйлера, Лагранжа, Лапласа и других математиков XVIII века. Развитие всех направлений этой теории всегда происходило под сильным влиянием теории дифференциальных уравнений.

Первые работы по устойчивости разностных уравнений написаны в начале XX века А. Пуанкаре и О. Перроном. Это произошло через несколько лет после появления фундаментальной работы А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», которой было положено начало теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Первая половина прошлого века — время интенсивного развития теории устойчивости ОДУ, однако проблемы устойчивости разностных уравнений в этот период заметного интереса исследователей не привлекали. Систематические исследования вопросов устойчивости разностных уравнений начались только в конце сороковых годов. В теории устойчивости ОДУ к этому времени уже хорошо зарекомендовали себя методы Ляпунова. Их дискретные аналоги и стали первыми методами исследования устойчивости разностных уравнений. В частности; метод функций Ляпунова одними из первых использовали В. Хан, С.Е. Бертрам и P.E. Калман, М.А. Скалкина, С.Н. Шиманов, Н.И. Казеева. Теория метода функций Ляпунова для разностных уравнений изложена в монографии А.Халаная и Д. Векслера1.

Развитие численных методов и математического моделирования стимулировало исследования разностных уравнений. Было обнаружено, что в некоторых случаях исследуемый процесс более адекватно описывается разностными, а не дифференциальными уравнениями. Первыми моделями, в основу которых были положены разностные уравнения, стали модель динамики популяции рыб Бевертона-Холта (1957) и ее обобщение модель Пиелоу (1969). В последние три десятилетия разностные уравнения все чаще используются в экологии, биологии, экономике. Соответственно возросла и актуальность исследования свойств разностных уравнений, а одним из важнейших среди них является устойчивость. Методов исследования устойчивости, основанных на проведении параллели с ОДУ, оказалось недостаточно, поэтому требовалась разработка новых подходов.

В пятидесятых годах прошлого века работами А.Д. Мышкиса и H.H. Красовского было положено начало теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), которая вскоре стала важным разделом теории дифференциальных уравнений. Многие классы разностных

1Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. - М.: Мир, 1971. -- 310 с.

\Ь

уравнений по своей природе оказались ближе к ФДУ, чем к ОДУ. Для обозначения разностных уравнений, которые рассматриваются как аналоги ФДУ с запаздыванием, в зарубежной литературе даже появился специальный термин 'Delay Difference Equations'.

В последние два с половиной десятилетия разностные уравнения с запаздываниями изучали многие авторы: R.P. Agarwal, С.T.H. Baker, L. Berezansky, E. Braverman, L.H.Erbe, J.B. Ferreira, К. Gopalsamy, I. Györi, F.Härtung, A.Ivanov, Y.H.Kim, I.Kovácsvolgyi, E.Liz, M.Pituk, S.K.Sen, C.J.Tian, V. Tkachenko, S. Trofimchuk, P.J.Y. Wong, H.Xia, J.S.Yu, B.G. Zhang и др. На разностные уравнения были перенесены методы исследования устойчивости ФДУ, такие как метод неравенств типа Халаная и условия Йорке.

В середине восьмидесятых годов прошлого века K.L. Cooke и J.Wiener, изучая вопросы аппроксимации решений функционально-дифференциальных уравнений решениями разностных уравнений, выделили специальный класс ФДУ — уравнения с кусочно-постоянными аргументами2. Оказалось, что решения уравнения с кусочно-постоянными аргументами совпадают в целочисленных точках с решениями некоторого разностного уравнения. Обратим внимание, что между разностными уравнениями и ОДУ подобной связи нет. Несколько позже было замечено, что найденное соответствие с не меньшей эффективностью можно использовать и для исследования разностных уравнений, в частности, при изучении асимптотики разностных уравнений (I.Györi, F.Hartung3). В теории ФДУ к настоящему времени получен ряд сильных результатов, а установленное соответствие открывает возможность прямого перенесения этих результатов на разностные уравнения.

Итак, проведение аналогии с ФДУ является основой новых методов изучения разностных уравнений. В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования ФДУ является подход, разра-бытываемый Пермской школой проф. Н.В. Азбелева. Результаты пермских математиков изложены в большом количестве работ (очень подробная библиография есть в монографии Н.В. Азбелева и П.М. Симонова4). Актуально использовать методы и результаты этих работ при изучении устойчивости разностных уравнений. Однако для этого необходимо рассмотреть разностные уравнения с позиций Пермской школы.

В рамках подхода Н.В. Азбелева ряд объектов, которые традиционно

2Сооке K.L., Wiener J. Retarded differential equations with plecewise constant delays //J. Math. Anal. Appl. - 1984. - V. 99. - P. 265-297.

3 Györi I., Härtung F. Stability in delay perturbed differential and difference equation //Fields Inst. Commun. 2001. №29. P. 181 194.

4Азбелев H.В., Симонов П.M. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными.

Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. - 229 с.

играли лишь вспомогательную роль, становятся центральными объектами исследования. При изучении уравнений с запаздывающим аргументом такими объектами являются функция Коши и оператор Коши.

Устойчивость по начальным данным определяется как некоторое свойство функции Коши. Такое понимание устойчивости дает удобную форму выражения результатов и часто упрощает их получение. Оно согласовано с общепринятым, однако акцентирует внимание на том, что именно от свойств функции Коши зависит асимптотическое поведение решения.

Устойчивость по правой части определяется как действие оператора Коши в паре некоторых линейных пространств. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений давно известны теоремы типа Боля Перрона, устанавливающие эквивалентность устойчивости по правой части и экспоненциальной устойчивости. В рамках описываемого подхода теоремы типа Боля--Перрона, связывая действие оператора Коши с оценками функции Коши, приобретают особое значение.

Следуя традиции Пермской школы, мы делаем функцию Коши и оператор Коши разностного уравнения основными объектами исследования. В свете сказанного выше, актуальным становится установление связи устойчивости уравнения по начальной функции с оценками функции Коши и получение разностных аналогов теорем типа Боля-Перрона.

Линейные уравнения обладают наиболее простыми свойствами и именно для них естественно ожидать наилучших результатов — получения эффективных, то есть выраженных в терминах параметров исходной задачи, и неулучшаемых признаков устойчивости. Для линейного неавтономного ФДУ с одним запаздыванием первый такой признак получен еще в работе А.Д. Мышкиса5. В работах Т. Yoneyama, J.A. Yorke и B.B. Малыгиной этот результат был обобщен на ФДУ с несколькими запаздываниями.

Для линейного неавтономного разностного уравнения с одним запаздыванием аналоги теоремы Мышкиса получены в конце 90 годов прошлого века в работах J.S. Yu, B.G. Zhang, C.J. Tian, P.J.Y. Wong. Логика развития теории делает актуальной задачу обобщения этих результатов на разностные уравнения с несколькими запаздываниями.

Цели работы: получение новых эффективных, то есть выраженных в терминах параметров исходной задачи, и неулучшаемых признаков устойчивости линейных неавтономных разностных уравнений и установление связи между различными видами устойчивости.

Методика исследования. В работе используются методы математического и функционального анализа, линейной алгебры, общей теории ФДУ и дискретные аналоги методов исследования устойчивости ФДУ.

5Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

Наиболее существенные результаты и их новизна.

1. Получены эффективные неулучшаемые достаточные признаки устойчивости линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами и несколькими переменными запаздываниями, обобщающие и уточняющие известные результаты.

2. Найдены эффективные неулучшаемые достаточные признаки устойчивости уравнений с постоянными коэффициентами и неременными запаздываниями. Эти уравнения впервые рассмотрены как самостоятельный объект.

3. Установлена эквивалентность важнейших видов устойчивости по начальной функции соответствующим оценкам функции Коши.

4. Для линейного разностного уравнения доказана теорема типа Боля-Перрона о связи устойчивости по правой части с экспоненциальной устойчивостью.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Проведенные исследования выявляют глубокую внутреннюю связь между функционально-дифференциальными и разностными уравнениями. Эта связь становится ядром методики исследования разностных уравнений, основанной на использовании известных результатов теории ФДУ. Поскольку теория ФДУ продолжает интенсивно развиваться, разработка указанной методики имеет важное значение для теории разностных уравнений и возможности ее использования не исчерпываются настоящей работой.

Неавтономные уравнения применяются в приложениях реже, чем автономные. По видимому, одной из причин этого является недостаточная изученность асимптотических свойств их решений. Полученные признаки устойчивости неавтономных уравнений с несколькими запаздываниями стимулируют практическое использование таких уравнений.

Апробация работы. Основные результаты настоящей работы докладывались и обсуждались на Пермском городском семинаре по ФДУ (октябрь 2008 г., апрель 2009 г., апрель 2010 г., сентябрь 2012 г., май 2014 г., ноябрь 2014 г.), на семинаре д.ф.-м.н. проф. М.М.Кипниса (Челябинск, ноябрь 2008 г., ноябрь 2009 г.), на семинаре д.ф.-м.н. проф. Ю.Н.Смолина (Магнитогорск, февраль 2009 г., апрель 2010 г.), на семинаре каф. дифференциальных уравнений УдГУ (Ижевск, июнь 2013 г.), на семинаре отдела динамических систем ИММ РАН (Екатеринбург,' декабрь 2014 г.), на научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование», посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева (Ижевск, 2008 г.), на шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009 г.), на международной конференции

«Колмогоровские чтения-V. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011 г.), на Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование», посвященной 90-летиго профессора Н.В.Азбелева (Ижевск, 2012 г.), на V международной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2012 г.), на международной конференции «Колмогоровские чтения-VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013 г.), на XVI международной конференции «Dynamical System Modelling and Stability Investigations» (Киев, Украина, 2013 г.), на международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 105-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 2013 г.), на международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (Воронеж, 2014 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, из них 7 в изданиях, включенных в перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 125 страниц, включая 2 рисунка. Список литературы содержит 115 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем обозначения: No = N U {0}, Z_ = {п G Z : п < 0}, Дм = {(га, m) G Ng : п > m}, R+ = [0, оо), Дк = {(í,s) eR^:í>s}, Cr — г-мерное комплексное пространство, Сгхг — пространство комплексных матриц размерности г х г, Е — единичная матрица, Э - нулевая матрица.

Нормы матрицы А и вектора b будем обозначать |Л| и |Ь| соответственно и считать их согласованными.

Целую часть действительного числа z обозначим [г].

Ipj 1 < Р < оо -- пространство функций / : No —> Сг, удовлетворяющих

оо /ос

условию Y, \f(n)\p < ОО, с нормой ¡!/||р = X] \f(n)\p

71=0 \п—0

loo — пространство ограниченных функций / : No —> С с нормой 11/11«, = sup|/(n)|.

íeNo

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается описание предмета исследования и обзор литературы по теме диссертации, ставится задача исследования и приводятся основные результаты работы.

В первой главе рассмотрено уравнение N

х{п + 1) - х{п) + ак{п)х(п - hk{n)) = /(n), п G N0, (1)

fc=0

где ак : No Сгхг — матрицы-функции, / : N0 —> С — вектор-функция целочисленного аргумента, : No —> No-

Матрица-функция К : Д^ —» Сгхг, которая при каждом фиксированном m G No является решением начальной задачи

{N

К(п + l,m) - К(п,т) — -J2 ak(n)K(n - hk(n),m), п>т,

к=О

К(тп,т) = Е, К(п, то) = О, п < т,

называется функцией Коши уравнения (1). Функция Коши для разностного уравнения впервые введена в работах A.JI. Тептина6. В зарубежной литературе функцию Коши называют иначе фундаментальным решением, ссылаясь при этом на работу S.N. Elaydi7.

Пусть задана некоторая начальная функция £ : Z_ —> Сг. Положим

N

v(n) = f(n) -$>*(n)f(n - hk(n)).

k=0

где £*(г) = £(г) при i < 0 и £*(г) = 0 при г > 0.

Лемма 1. Решение уравнения (1) с начальной функцией £ имеет представление

п-1

а;(п) = АГ(тг,0)а:(0) + ^ ^(тг, г + 1)г)(г), n G N0. (2)

г=0

Представление (2) показывает, что асимптотическое поведение решений уравнения (1) определяется свойствами функции Коши. В частности, признаки устойчивости удобно выражать в терминах асимптотических оценок функции Коши, которая в настоящей работе является основным объектом исследования.

Уравнение (1) является дискретным аналогом ФДУ следующего вида:

N

y(t) + J2bk(t)y(t-9k(t))=u(t), t G М+, (3)

fc=о

67enmuîi A.Л. Теоремы о разностных неравенствах для п-точечных разностных краевых задач //Матем. сб. 1963. 62(104):3 С.345 3 70.

7Elaydi S.N. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems //J. Math. Anal. Appl. — 1994. №181. P. 483-492.

где bk : М+ —> CrXT — матрицы-функции, и : R+ С - вектор-функция с локально суммируемыми компонентами; дк : R+ —» М+ измеримые по Лебегу на К+ функции.

Матрица-функция С : Ar -> Сгхг, которая при каждом фиксированном s G R+ является решением начальной задачи

§g^ = -'£bk(t)C(t-gk(t),s), t>s,

к—О

' C(s,s) = E, C(t, s) = 0, t<s,

называется функцией Коши уравнения (3).

В § 1.2 показано, что при определенном выборе параметров уравнения (3) между функциями Коши уравнений (1) и (3) можно установить тесную связь.

Лемма 2. Пусть bk(t) = ajt([£]), gk(t) = hk([t])+t — [i]. Тогда при любых (n, m) G An выполнено равенство

C(n,m) = K(n,m).

Установленное соответствие позволяет применять известные теоремы о свойствах функции Коши уравнения (3) для получения аналогичных результатов о свойствах функции Коши уравнения (1).

Исследование связи устойчивости уравнения (1) по начальной функции с оценками функции Коши проведено в § 1.3.

Определение 1. Функция Коши уравнения (1) равномерно ограничена, если при некотором М > 0 для любых (п, то) G An выполнено неравенство

\К(п,т)\ < М.

Определение 2. Функция Коши уравнения (1) имеет экспоненциальную оценку, если при некоторых М, 7 > 0 для любых (п, т) G An выполнено неравенство

\К(п,т)\ < Мехр(—7(71 - то)). N

Положим а(п) = |а*(п)| при п G No, а(п) = 0 при п £ N0;

k=о

hin) = max hAn).

Определение 3. Будем говорить, что выполнено V-условие, если

п

sup ^ a(i) < 00.

n6No ■ it \

Этому условию удовлетворяет широкий класс уравнений. В частности, V-условие выполнено для автономных уравнений и неавтономных уравнений с ограниченными коэффициентами и запаздываниями. Ему удовлетворяют и некоторые уравнения, в которых запаздывания неограниченно возрастают. В последнем случае важно то, что V-условие исключает влияние начальной функции на асимптотическое поведение решения.

Теорема 1. Пусть выполнено V-условие. Тогда уравнение (1)

• равномерно устойчиво, если и только если функция Коши этого уравнения равномерно ограничена;

• асимптотически устойчиво, если и только если при каждом фиксированном meNo имеем lim |А"(гг, ггг) | = 0;

п—>оо

• экспоненциально устойчиво, если и только если функция Коши этого уравнения имеет экспоненциальную оценку.

Приведенная теорема позволяет формулировать все признаки устойчивости, полученные в настоящей работе, в терминах оценок функции Коши. Поскольку У-условие явно или неявно входит в их формулировки, при необходимости нетрудно переформулировать любой признак в терминах устойчивости по начальной функции. Это удобно, поскольку функция Коши не зависит от начальной функции, что упрощает доказательства. Кроме того, результаты теории устойчивости ФДУ, которые использованы нами при получения некоторых признаков устойчивости разностных уравнений, сформулированы именно в терминах оценок функции Коши.

Равномерная асимптотическая устойчивость, вообще говоря, слабее экспоненциальной. Однако имеет место следующий результат.

Теорема 2. Пусть выполнено V условие. Тогда равномерная асимптотическая устойчивость уравнения (1) эквивалентна экспоненциальной устойчивости.

В теории дифференциальных уравнений хорошо известны теоремы типа Боля Перрона, связывающие устойчивость по правой части со свойством экспоненциальной устойчивости уравнения. Получению аналогичных результатов для уравнения (1) посвящен § 1.4.

Пусть S линейное нормированное пространство функций целочисленного аргумента, определенных на N0. Введем оператор К : S —> §,

п—1

положив (K/)(n) = J2 K{n,i + 1)/(г). При исследовании устойчивости по г=о

правой части достаточно изучить уравнение (1) с нулевой начальной функцией. Представление решения (2) в этом случае принимает вид х = К/.

Определение 4. Уравнение (1) устойчиво по правой части из S, если для любого £ > 0 существует 5 > 0, такое, что из неравенства ||/||s < S

следует неравенство sup |x(n)| < е.

nsNo

Устойчивость по правой части означает, что оператор К действует из пространства S в пространство и непрерывен, а следовательно, в силу линейности, ограничен. Если же правая часть уравнения (1) принадлежит пространству то имеет место более сильное утверждение.

Лемма 3. Для произвольного р, 1 < р < оо, уравнение (1) устойчиво по правой части из \v тогда и только тогда, когда оператор К действует из пространства 1Р в пространство l^.

Теорема 3. Оператор К действует из пространства Ii в пространство loo тогда и только тогда, когда функция Коши уравнения (1) равномерно ограничена.

Теорема 4. Пусть выполнено V-условие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• при некотором р, 1 < р < оо, оператор К действует из пространства 1 р в пространство

• при любом р, 1 < р < оо, оператор К действует из пространства 1р в пространство l^;

• функция Коши уравнения (1) имеет экспоненциальную оценку.

В § 1.5 теорема 4 использована для получения признака экспоненциальной устойчивости системы уравнений с постоянной матрицей A G Сгхг. Рассмотрим уравнение

x(n + l)-x(n) + Ax(n-h(n)) = f(n), п <5 N0. (4)

Теорема 5. Пусть Н = sup h(n) < оо и для любого собстветюго числа

neNo

Л матрицы А справедливо неравенство |А|2Н < 1 — |1 — А|. Тогда функция Коши уравнения (4) имеет экспоненциальную оценку.

Область экспоненциальной устойчивости, гарантируемая этим признаком, является аналогом известного «круга Гроссмана»8 для системы функционально-дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.

8 Grossman S.E. Stability in n-diraensional differential-delay equations //J. Math. Anal. Appl. — 1972. — V. 40 - P. 541-546.

При H = 1 она совпадает с областью устойчивости, которую задает необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости автономной системы уравнений х(п + 1) — х(п) + Ах(п — 1) = f(n), найденное М.М.Кипнисом и И.С.Левицкой9.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости скалярного неавтономного разностного уравнения

N

х(п + 1) — х(п) = - '^2ак(п)х(п - hk(n)), п 6 No, (5)

fc=о

где ак : N0 ->■ М+, hk : N0 ->■ N0.

В § 2.1 с помощью леммы 2 на основе известных10 результатов для ФДУ получены аналогичные признаки устойчивости для уравнения (5).

п

Теорема 6. Пусть sup a(i) ^ 3/2. Тогда функция Коши уравне-

neNo i=n-h(n)

иия (5) равномерно ограничена. Теорема 7. Пусть

п

ÏÏm V a(i) < 3/2. (6)

Tl—ïOQ ' ^

i=n—h(n)

Тогда существуют такие М, 7 > 0; что при любых (п,т) G Ащ для функции Коти уравнения (5) справедлива оценка

|Ä-(n,m)|<A/expi-7£a(i)j. (7)

\ i—m J

Заметим, что авторы более ранних работ ограничивались получением признаков асимптотической устойчивости, в то время как теорема 7 сформулирована в терминах оценки функции Коши, что дает дополнительную информацию об асимптотическом поведении решения. Признак же асимптотической устойчивости, получается как ее простое следствие.

оо

Следствие 1. Пусть выполнено неравенство (6) и ^ а(п) = оо. Тогда

п=о

тривиальное решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

При N = 1 следствие 1 совпадает с признаком устойчивости, полученным ранее для уравнения с одним запаздыванием

х(п + 1) — х(п) = — а{п)х{п — h(n)), п G No, (8)

9Levitskaya LS. A note on the stability oval for zn+i — xn +Axn-k //J- Difference Equ. Appl. — 2005. — V.U. - №8. - P. 701-705.

10Малыгина B.B. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом //Дифференц. уравнения. - 1992. - Т.28. - №10. — С. 1716-1723.

в работе B.G. Zhang, C.J.Tian и P.J.Y.Wong11. Ее авторы накладывали на запаздывание уравнения дополнительное условие lim (n — h(n)) — оо, ко-

п—юо

торое является избыточным.

Признак асимптотической устойчивости для уравнения (8) получен также в упомянутой выше работе I. Györi и F. Härtung. Он уступает следствию 1 в выборе константы в неравенстве (6) (она равна 1 + 1/е < 3/2).

В § 2.2. рассмотрен частный случай уравнения (5) — уравнение (8). С использованием известного результата для ФДУ и леммы 2 доказана

оо

Теорема 8. Пусть lim а(п) = 0, а(п) = оо и существует

n-юо п=0

п

lim a(i) < тг/2. Тогда тривиальное решение уравнения (8) асимп-

П—>ОО ■ 1 /■ \

г—п—п{п)

тотически устойчиво.

Построены примеры, показывающие неулучшаемость полученных признаков устойчивости. А именно, показано, что:

• в теореме 6 константу 3/2 нельзя увеличить ни на какую сколь угод-

п

но малую величину, более того, в неравенстве sup J2 a{i) ^ 3/2

neNo i=n-h(n)

нельзя заменить точную верхнюю грань на верхний предел;

• строгое неравенство в следствии 1 и теореме 8 нельзя заменить нестрогим.

Для построения примеров существенна возможность неограниченного увеличения запаздываний.

Накладывая ограничения на величину запаздываний (то есть сужая класс уравнений), удается расширить границы области устойчивости. Признаки устойчивости для уравнения (8) с одним ограниченным запаздыванием были впервые получены в работе J.S.Yu12. В § 2.3 они обобщены на уравнение (5) и выражены в терминах оценок функции Коши.

Теорема 9. Пусть Н = sup h(n) < оо и выполнено неравенство

пеПа

п

sup — I + 2Я+2 • Тогда функция Коши уравнения (5) равно-

neN0 i=n—h{n)

мерно ограничена.

11 Zhang B.G., Tian C.J., Wong P.J.Y. Global attractivity of difference equation with variable delay //Dynam. Contin. Discrete Irnpuls. Systems. - 1909. - №6. P. 307 317.

12 Yu J.S. Asymptotic stability for a linear difference equation with variable delay //Comp. Math. Appl. — 1998. - V.36. - №10-12. - P. 203-210.

Теорема 10. Пусть Н = sup h{n) <00 и выполнено неравенство

пе No

_ п

lim V a(i) < I + ötttö. Тогда существуют такие М, 7 > 0, что

г=п—п(п)

при любых (п, тп) Е Дм для функции Коши уравнения (5) справедлива оценка (7).

ос

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 10 и а(п) = оо.

п=о

Тогда тривиальное решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

Заметим, что для аналогичного функционально-дифференциального уравнения увеличения области устойчивости при установлении ограничения на величину запаздываний не происходит. Таким образом, ограниченность запаздываний дает возможность уравнению (5) проявить свои «дискретные» свойства.

Построены примеры, показывающие, что признаки устойчивости, задаваемые теоремой 9 и следствием 2, являются неулучшаемыми.

Признаки асимптотической устойчивости уравнения (5) с несколькими ограниченными запаздываниями были ранее получиены в работе L. Berezansky и Е. Braverman13, а признаки асимптотической устойчивости уравнения (8) с одним ограниченным запаздыванием — в работах I. Kovácsvolgyi14, J.S.Yu и S.S.Cheng15. В § 2.4 построены примеры, показывающие, что следствие 2 имеет с этими признаками разные области применимости, однако, если коэффициенты уравнения близки к постоянным, предпочтительнее использовать следствие 2.

Сужения класса неавтономных уравнений с ограниченными запаздываниями составляют полуавтономные уравнения, то есть уравнения, в которых либо коэффициенты, либо запаздывания предполагаются постоянными. Однако в § 2.3 построены примеры, которые показывают, что постоянство запаздываний не увеличивает области устойчивости, обеспечиваемые теоремой 9 и следствием 2.

Случай постоянных коэффициентов и переменных запаздываний, который до настоящей работы отдельно не рассматривался, оказывается более содержательным. Ему посвящена третья глава. Рассмотрим уравнение

N

х(п + 1) — х(п) = — — hk(n)), п € N0, (9)

k=о

13Berezansky L., Braverman E. On Bohl-Perron type theorems for difference equations //Func. Diff. Equ. - 2004. - № 11. - P. 19-29.

14Kovácsvolgyi I. The asymptotic stability of difference equations //Appl. Math. Lett. — 2000. — № 13. — P. 1-6.

15 Yu J.S., Cheng S.S. A stability criterion for a neutral difference equation with delay //Appl. Math. Lett. - 1994. - №6. - P. 75-80.

N

где akGR+, Н = sup h{n) < oo. Обозначим a = V ak. Положим

neN0

k=0

(ЩН+1)

5H+3W9H46H+9 ПР" H = 0(mod3), К1+ 2тш) при Я = l(mod3),

12( Н+1)

5Я+2+^9Я2+12я+12 пРн Я = 2(mod3).

Теорема 11. Пусть 0 < (Я + 1)а < ы(Я). 7Ьг<?а /W уровне-

ния (9) равномерно ограничена.

Теорема 12. Пусть 0 < (Я + 1)а < а,(Я). Тогда функция Коши уравнения (9) имеет экспоненциальную оценку.

Показано, что все ветви функции ш асимптотически эквивалентны функции f (1 +

При всех Не N имеем Ш{Н) > 3/2 + Таким образом, область устойчивости, которую гарантирует теорема 9 или следствие 2, для уравнения (9) уже не точна, ее можно увеличить, пользуясь теоремами И или 12. Точность границ областей устойчивости, задаваемых теоремами И и 12, показана в §^3. Заметим также, что теорема 12 есть признак экспоненциальной устойчивости, в то время как следствие 2 - лишь признак асимптотической устойчивости.

В § 3.5 получен признак устойчивости полуавтономной системы

х{п + 1) - х{п) + Ах{п - h(n)) = 0, neN0, (Ю)

с постоянной матрицей А е Мгхг.

Теорема 13. Пусть Я = sup Л(п) < оо, все собственные числа матрицы

А вещественны и для любого собственного числа А справедливо неравенство 0 < А < ш(Я). Тогда функция Коши уравнения (10) имеет экспоненциальную оценку.

Автор выражает благодарность научному руководителю Вере Владимировне Малыгиной за помощь, оказанную при работе над диссертацией, а также участникам Пермского семинара по функционально-дифференциальным уравнениям за интерес, проявленный к работе, и плодотворное обсуждение ее результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах,

определенных ВАК

1. Малыгина В.В., Куликов А.Ю. Некоторые признаки устойчивости разностных уравнений // Вестн. Удмуртск. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. — 2008. — № 2. — С. 91-92.

2. Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Об устойчивости неавтономных разностных уравнений с несколькими запаздываниями // Известия вузов. Математика. - 2008. - № 3. - С. 18-26.

3. Куликов А.Ю. Устойчивость линейного неавтономного разностного уравнения с ограниченными запаздываниями // Известия вузов. Математика. - 2010. - № 11. - С. 22-30.

4. Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Об устойчивости полуавтономных разностных уравнений // Известия вузов. Математика.—2011.— №5.-С.25-34 .

5. Куликов А.Ю. Теоремы типа Воля-Перрона для разностного уравнения // Вестн. Тамб. гос. ун-та. Серия: естеств. и техн. науки — 2011. — Т. 16,-№4.-С. 1111 1113.

6. Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения // Известия вузов. Математика. - 2011. — № 12. — С. 30-41.

7. Куликов А.Ю. Некоторые признаки устойчивости системы неавтономных разностных уравнений с запаздыванием // Вестн. Тамб. гос. ун-та. Серия: естеств. и техн. науки — 2013. — Т. 18. — № 5. — С. 25632565.

Другие публикации

8. Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Об одном признаке устойчивости скалярных разностных уравнений // Вычислительная механика: сб. научи. тр. - Пермь, 2007. - № 6. — С. 66-71.

9. Куликов А.Ю. Устойчивость полуавтономных разностных уравнений с несколькими запаздываниями // Вычислительная механика: сб. на-учн. тр. — Пермь, 2008. - № 7. - С. 97-105.

10. Malygina V. V., Kulikov A. Y. On precision of constants in some theorems on stability of difference equations // Funct. Diff. Equat. — 2008. — V. 15. - № 3-4. - P. 239-248.

11. Куликов А.Ю. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения // Вестн. Пермск. гос. техн. ун-та. Механика. - 2009. — №1. —С. 57- 68.

12. Куликов А.Ю. О некоторых признаках устойчивости неавтономного разностного уравнения // Матем. моделирование и краев, задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи.-Самара, СамГТУ, 2009.-С. 144-147.

13. Куликов А.Ю. Области устойчивости разностного уравнения // Изв. инст. матем. информ. УдГУ. — 2012. — № 1. — С. 74-75.

14. Куликов А.Ю. Признаки устойчивости системы линейных неавтономных разностных уравнений с несколькими запаздываниями // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012): материалы V Международной конференции, Воронеж, 11-16 сентября 2012 г. — Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2012. - С. 169-172.

15. Kulikov A. Y. Transferring known FDE stability conditions to difference equations // Dynamical System Modelling and Stability Investigations: XVI International Conference: Abstracts of conf. reports, Kiev, Ukraine, May 29-31, 2013-Kiev, 2013. - P. 100.

16. Kulikov A.Y. Right-part stability of a delay difference equation // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 18-24 августа 2013г.): Тез. докладов — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2013. - Р. 332.

17. Куликов А.Ю. Признаки устойчивости неавтономного разностного уравнения с несколькими запаздываниями // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. VII междунар. конф. «ПМТУКТ-2014», Воронеж, 14-21 сентября 2014 г. — Воронеж: «Научная книга», 2014. С. 212-214.

Подписано в печать 10.02.2015. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 520/2014

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии центра «Издательство ПНИПУ» Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.