Существование и единственность решений стохастических уравнений типа Вольтерра по семимартингалам и случайным мерам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА МИША, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 51Э.216.8

ХАН 'ГЭ УК

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕННОЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА ПО СЕМИ1ЛАРТИНГАЛА!Л И СЛУЧАЙНЫМ МЕРАМ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Диссертации выполнена на кафедре математической сттгно-тики и случайных процоссов механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. 13. Ломоносова.

Научный руководители - доктор физико-матеыатичоских наук,

ведущий научный сотрудник Л.»1.ГАЛЬЧУК;

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.А.ЛШ£ЦК13

Официальные .оппоненты - доктор технических наук - Р.Ш.ЛШЩКР;

кандидат физико-математических наук П.К.КАТШИВ. Ведущая организация - Математический институт All СССР

им. В.А.Стеклова.

Защита диссертации состоится " Г4*" ^Рб^Ю^Л 1992г. в 16 час 05 мин. из заседании специализированного Совета Д 053.05.01 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адросу: 119099, ГСП, Ыоскеэ, Ленинские горы,' МГУ, механико-матоматический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке моханико--матеыатического факультета МГУ (Главное здание, 14 эт.), Автореферат разослан "12 " А И ^чЯЛ 1992г.

Г

Ученый секретарь специализированного Совета

Д 053.05.04 при МГУ доктор физико-математических

наук Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из перспективных направлений • развития теории стохастических дифференциальных уравнений является исследование стохастических интегральных уравнений типа Зольтерра. Таким уравнениям был посвящен целый ряд работ. Преаде Есего, для уравнения типа Вольтерра с ведущим винеро-вским процессом теорема существования и единственности сильного решения доказана в статье И.Ито^. Для более общего класса таких уравнений, где стохастический интеграл берется по общему семимартингалу, аналогичная теорема доказана в статье Проттара^. Зти идеи развивает далее в частности, статья

о)

Б.К.Тудора'' о сравнении решений уравнения в одномерном случае при разных начальных'условиях. С другой'стороны, изучались обыкновенные условия со стохастическими дифференциалами не только по семимартингалам, но и по случайным мерам. Для таких уравнений существование и единственность сильного резания получены Л.И.Гальчуком^ и А.В.Мельниковым®^, а существо-

1) Ito I. On the existence and uniqueness of solutions of stochastice integral'equations of the Volterra type. Kodai. Math.(J.I979,Vol.2fP.I58-I70. '

2) Protter P, Volterra equations driven by aemimartingales. The annals of probability. 1985,Vol.13,No.2,P.5X9-530.

3) Tudor B.C. A comparison theorem for stochastic equations with Volterra drifts. The annals of prob.,1989,'Vol.17,No.

P.I54I-I54-5.

4^Гальчук Л.И. 0 существовании и единственности решения стохастических уравнений по полумартингалам. Теория вероятностей и ее примен. ХШ, 4(1973), с. 782-795.

к)

Мельников A.B. К тосриа стохастических уравнений. Мат.сб. 1979, т.110(152), JÎ3(II), с. 414-427.

3

Еание слабого решения +- В.Л.Лебедевым®^. Представляется актуальным получение подобных результатов и для уравнении типа Вольтерра со случайными мерами.

Целью работы и является получение этих результатов для

уравнения вида

i -i -i '

где C4i)boe^f] T, (M*)4,o € Mjeí ./* ~ опциональная целочисленная случайная мера скачков процесса Y , Y - семи-мартингал, У - предсказуемый компенсатор случайной меры /л и

- согласованный непрерывный справа процесс, имеющий предел слева.

Методика исследования. В диссертации предполагается, как Е работе Ф.Ироттера что коэффициенты уравнения абсолютно непрерывны по -t (конечному моменту интегрирования). В работе Ф.Проттера это позволяло представить коэффициент в виде интеграла по i с последующим применением теоремы Фубини .для стохастических интегралов,•зависящих от параметра, из книги Ж. аакода^. В доказательстве последней теоремы, однако, имеются пробелы и можно привести контрпример, доказывающий, что в общем виде эта теорема не верна. В диссертации дается уточнение этой теоремы, применимое и к условиям работы' Ф.Проттера, а также ее аналог для стохастических интегралов по случайным мерам.

g)Lehedev V.A, On the existence of weak solutions for

stochastic differential equations with driving martingals and random measures.-Stochastics., I983,No.Ií-2,P.37-76.

. Jacod J. Calcul stochastique et probiens de martingals. '■'Springer Lecture Motes in Math. ,714, 1979,5^0p.

Используются также применимые в теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений общие методы стохастического анализа и слабо-сильной сходимости вероятностных мер.

Научная новизна. Сформулированы и доказаны теоремы Фуби-ни в теории мартингалов и доказаны существование и единственность сильного решения, и существование слабого решения вышеуказанного стохастического дифференциального уравнения.

Пппложения. Работа носит теоретический характер. Б ней нашли дальнейшее развитие методы и результаты теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнения. Вывода работы могут найти дальнейшее развитие в работах математиков СССР, КНДР я других стран. ... .

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории мартингалов а управляемых случайных процессов под руководством А.Н.Ширяева и Р.Ш.Липцера (1991г.).

Публикации. Основные результаты диссертации подготовлены к печати в работах автора СX3 , [2] и С31 , список которых представлен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 137 страницах машинописного текста и состоит из введения, указателя обозначений, трех глав и списка литературы, содержащего 33 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В этом разделе определены изучаемые в диссертации задачи и приведен краткий обзор ее результатов. Во введении показана актуальность работы, дан краткий исторический обзор по теме диссертации, формулируются основные результаты диссертации я

дана характеристика работы в делом.

Глава I. посЕящэна доказательству теорем Фубини е теории мартингалов. Введем необходимые обозначения. Пусть (tl^ t л0 - семимартингал и Т.--0 . Тогда хорошо известно, что (Ît)t»c имеет каноническое представление

Х = Ûi + ПЬ + ^ * U-rtcJsKJu) +5S "-/UCJstJuJ,

где (at)tîe & # fl f , é , /С - целочисленная

случайная мера скэчкое процесса Y и У - компенсатор меры _ *

/л . Обозначим Bt a V(dJt + <m. тд + SU^/HjyohW«)

где Vta)^ - вариационная функция процесса 0 . Тогда

существует случайная мэра р <{и) , которая удовлетворяет следующим результатам:

ij если (S, е R+х "£ фиксирована, то g (и : ¿ц.) является мерой на

а/

)\) если А фиксировано, то ^ (<j, du.) является -

.. -измеримой,

! iiij JjW*) - />(оЗ: ¿a)é$M (f-П.Н.), 1.

Изучая проблему замены е теории Фубини одного из интегралов Лебега на интеграл по семимартингалу, рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять подынтегральные функции. Б диссертации приводится контрпример, показывающий, что теорема

7)

Фубини е теории мартингалов из книги 'й.&акода не выполняется. Следующая теорема является уточнение wtoS. теоремы, е которой Еместо условия пункта 6) , требовалось лишь, чтобы функция ^ IH'I p(éx) была интегрируема по семимартингалу Y , но доказательство которой содержит пробелы на этапах рассуждения, связанных со взятием интегралоЕ по мере р .

Теорема I. Пусть У - семимартингал, (£, %) - измеримое пространство, р - неотрицательная конечная мера на (_£ , и \\ЫЛ,х) - \г® Ч1> г измеримая, определенная на Z¿xR^x£J функция, которая удовлетворяет сле.дующему услоеию; .для любого

х&е (р-п.н.) нс^.-ь.л) с-ЬСУ; , где

ЦУ) = [ И: Н - ^ ~ измеримая функция, интеграл функции И по семимартингалу У хорошо определен. } . Тогда выполняются следующие результаты:

/V

а) Существует (У® % - измеримая функция

удовлетворяющая услоешо УСи>Л, х.) - ^ъ (хЫ, р-п.н.)

Со.и

с точностью до несущественного множества.

б) Пусть У имеет разложение + М(АбТ, Мб <£)у ЦСД)

и существует такая возрастающая последовательность моментов

остановки, что Ьт Т^ови |£ ^И]0>(с,2;<со

Ь &

Тогда выполняются следующие результаты:

]) £ £2х Й-+ (с точностью до несущественного

множества): ^ ( $ Н^ А ^ ) хорошо определен.

£ Со,-и 1

¡Ь ^ Н?с1Ъ)рСс\х.) = $ ( ? ИГрсЦ)^ с точностью до неЕ Х.0Л1 1 ( 1оЛ) Е

существенного множества.

Изучая проблему замены интеграла Лебега или интеграла по семимартингалу на интеграл по мартингальной мере /с-^, рассмотрим, каким условиям долянн удовлетворять подынтегральные функции. Пусть У - семимартингал, /л - целочисленная случайная мара скачков процесса У и )) - компенсатор случайной меры /л . Теперь продолжим случайные меры ул ъ У Л>(&+)® следующим образом: для любого /\ €

$(*) = + • где ^Л^»/1^,51<Мо1})> &г;=^[а^о! а - №.

Тогда у« яеляэтся целочисленной случайной мерой и У является компенсатором случайной мерой и У является компенсатором случайной меры у/. . Выполняется результат у Ы ; (1) х Я) ыл) для любого О, О , где у* {(<лу: Щи) ^ У(и):Ц)х&[<>})>о].

Пусть

- измеримая, определенная на пространстве ££ • Положив

Л, Г^- -

ЦСь>Л,и,х) н О , продолжим функцию Н Сил. Ь и, х) на ЙхКгХКА'Б и обозначим саму эту функцию в силу Н(и>л,«л*..).

Введем Н '("Л ч. я) г Н ^ ~ ^ ч к)У(ь>-. Ц) х^.

Ыо}

Тогда Н1^'4'"'^ является ^Р&ЖЮ® % - измеримым на пространстве . Теперь сформулируем основную теорему о стохастическпх .интегралах по мартингальной мере.

Теорема 2. Пусть У - семимартингал, (Л,'С)- измеримое пространство, р - неотрицательная конечная мера на (Е , ,

- целочисле«ная случайная мера скачков процесса У п У

■— __

- компенсатор случайной меры /А. ,

- измеримая, определенная на К X х £ . функция, которая удовлетворяет условию; .для любого х^ £ (^о-п.Н.)

= НСи;''1' и>х) 6 где - обозначение из книги

Щ.Р.Липцера, А.Н.Ширяева (1985). Тогда выполняется следующие результаты:

(а) существует (УФ - измеримая функция Х^чол.х.) , удовлетворяющая следующему условию; .для любого х е£ (р -0.4)

i x

xxx- S 5 H^c/i-vKJ-txcM

с точностью до несущественного множества. Сб) Пусть следующие услоеия выполняются: (D .для любого изь» (р-п.ъ.),

где Jfoj = [ie : Jj.

(2) существует такая возрастающая последовательность моыея-" - 1

тов остановки, что Ыт^юи (|0iSlCl^M^f]

Тогда выполняются еле .дующие результаты:

; н'н $н><ьо & , £

■t -t

с точностью до несущественного мнокества.

Замечание I. Пусть в условиях теоремы I в 2 мера вместо конечной мокет быть б -конечной. Тогда обе части (а; и (б)заключения теоремы I и 2 сохраняют силу.

7)

Замечание 2. Теорема 5.44 из книги К.Жакода ' использо-

р)

валось е-частности, в работе Ф.Дроттера ; для доказательства теоремы 3.3 о правиле преобразования интегралов, еходящих в стохастические ураЕнэния типа Вольтерра. Здесь, однако локально ограничена равномерно по хьХ 1о,1~\ , а р -- мера Лебега на 7) , так что выполнены условия теоремы I и теорема 3.3 лз работы Ф.Броттера остается справедливой.

Глэез П посвящена доказательству существования и единственности сильных решений стохастических дифференциальных уравнений

г * I

-ь ° °ип

«|и|>1

где СА/О^го ~ согласованный непрерывный справа процесс, имеющий предел слвЕа.

Основная теорема. Пусть следующие условия выполняются: (Ь.О): л) и являются

- измеримыми, и ко.^^.и.г) является ЛСК+)® и?Со-

измеримой.

(Ь.1): УС^.^. я) .^Ыл.*) и С*, чл - абсолютно не-

прерывны относительно и обозначим /( з , ^ г —

/ ЗА

И 5 Э* .

где - неотрицательный предсказуемый процесс, дая кото-

рого 4 1; ^ IX) с (О-П. в.) при -ье(г+.

(Ь.З): ^Щ^*+о.<^_

Сь.4;: ¿К3и-у\.

(*«Я^^Т^ \&"б^ *К» iL.fi): + ^ Ы^-«-*-) - к^^-уШ^ £ С*^

Тогда вышеуказанное уравнение имеет единственное сильное решение.

Глава Ш посвящена доказательству существования слабых решений стохастических дифференциальных уравнений

гдеЕ=Я\1о] и (ЛМь^о — У" - согласованный непрерывный справа процесс, имеющий предел слева. Пусть У, Р) -

основное вероятностное пространство и "У = (X Ю - семи-"

мартингал (V. -0) . Как хорошо известно, У имеет (7, ?) --каноническое разложение Х-Ът^ «./¿(¿¡¡(¿и)

•НИГ о|и1>1 *

где , сто*», «АСД?.РЛ

/(■ - "Ж- -опциональная целочисленная.случайная мера скачков процесса У и V - 1- - предсказуемый р -компенсатор -случайной меры .

Обозначим I = [Си;, УеЙуК+:>'(и;!11)х£)>о]./4е1н1ЛЕ-// .

и = определяется случайными мерами на ,

которые удовлетворяют соответственно равенствам

I 4 * I *

для любой функции У £ У ®<£(Я*)®Л0с) . Определим /ге= /л-/^ и У'н^-У1 Очевидно/*"1 и^а0 являются 3* --опциональными целочисленными случайными мерами, ^^ и являются дуально У- -предсказуемыми их р -окмпансаторами, так как множество,У является ■ ^Р(У) - измеримым.-- — Обозначим У^ = I ¿¿сЫ-Л1}х$)>о] и

' где _ вариационная функция процесса (О-О-^о . Мы

имеем факторизации : ¿эх ¿и.) = ^ Со/, с1и; с] >

УССсО : ¿¡хЛи.) = сМ с1 В/Ч) И ¿/{(^{Ыч) ^(^«МЛВ/Ч).

Основная теооема. Пусть следующие условия выполняются: О__035 X) и являются -

измеримыми и к СЬ.Л, а, х) является .Ж&0® ^(.7)£(Я)

-измеримой.

0_.1): К^М*.*) . и являются аб-

солютно- непрерывными по -Ь и обозначим ^ г. , ^ ■= ^ и

/ э 4 «1 = ТГ •

1

где - неотрицательный предсказуемый случайный процесс,

,для которого $ К* Л Вг со С р - П. Н) при -и^.

(Ь.З): 1/1 С^- '4Й + ^ * К,.

СЬ.4): для любых и X) рав-

номерно (°с -интегрируема по X , т.е. -

У£>0,ЭЯ>0,3Ае£(Ъ), #сы*) < £ С^Ю.

11/?ЬЯ](/А1

для любых гЛ £ и л) , л)

и к (.*■> и> *■) являются непрерывными по х

Тогда вышеуказанное уравнение имеет регулярное слабое решение.

Результаты глэе Л и Ш допускают обобщение на многомерный случай. Таким образом, на защиту выполнятся .следующие результаты:

1. Сформулированы и доказаны теоремы Фубини для зависящих от параметра 'стохастических интегралов по сенимартингалу и по мартингальной случайной мере.

2. Доказаны существование и единственность сильных решений стохастических уравнений типа Вольтерра.

3. Доказано существование слабых решений стохастических уравнений типа Вольтерра.

Автор выражает глубокую благодарность научным рукоЕоди-тулям - доктору физико-математических наук, ведущему научному сотруднику Л.И.Гальчуку, который ееол е проблематику, и

особенно кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику В.А.Лебедеву, который оказывал большую поддержку и помощь е работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕ.Щ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Хан Тэ Ук. Теоремы Фу0инп в теории мартингалов. Теория вероятн. и ее примен. (в печати).

2. Хаи Тэ Ук. Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений типа Вольтерра. Теория вероятн.

и ее примен. (в печати).

3. Хан Тэ Ук. Существование слабых решений стохастических уравнений типа Вольтерра. Теория вероятн. и ее примен. (в печати).

В печать 25.II.91г. Формат 60x84/16 Иеч.л. 0,6,уч.-изд. 0,6. Изд.]& 41