Операторные уравнения и циклические элементы линейного оператора в локально выпуклых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

'! П Г'Г'Л

Министерство образования российской федерации россиискии государственный

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

МАМЧУЕВ Алра Магометович

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 —математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1993

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ*РОССИЙСКОЙ ЗЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.И. ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

МАМЧУЕВ Адра Магометович

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - ШЕШМЧЕСКИЙ АНАЛИЗ '

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического университета

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор В.П. ГРОМОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор H.A. ШИРОКОВ доктор физико-математических наук, профессор И.И. БАВРИН

Ведущая организация - Московский государственный университет, кафедра математического анализа.

Защита состоится " 2.9" CÜHT. 1993г. в " часов на заседании диссертационного Совета К ИЗ.05.14 по присуждению учёной степени кандидата наук в РГЕУ им.А.И.Герцене (I9II86,'г.Санкт-Петербург, наб.р.Мойки,48, корп.1, ауд.йСЗ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РП1У им.А.И.Герцена.

Автореферат разослан Я'-Ь Q-^-T'-j^^ra. 19ЭЗг.

Учёный секретарь

диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Операторные уравнения являются естественный и широкий обобщением линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, с целой характеристической функцией, теория которых, как известно, разработана в трудах Д.Полиа, Н.Ва-лирона, А.О.Гельфонда, А.ФДеонтьева и других математиков первой половины 20-го века.

В настоящее время это направление является одним из активно развивающихся. В его разработке принимают активное участив такие известные математики, как Напалков В.В., Коробейник Ю.Ф., Красич-ков-Терновский И.(8., Громов В.П., Радыно Я.В. и другие.

Исследование циклических элементов линейного оператора восходит к классической аппроксимационной теореме К.Вейерштрасса

(последовательность

полна в пространстве С Сси,Ы ) и к*работам А.И.Маркушевича, который изучал условия полноты в пространствах аналитических

функций последовательных производных-^ (оператор А= ).

В.П.Громов и Ю.А.Казьмин впервые описали тесную связь циклических элементов с линейными операторными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Настоящая работа посвящена исследованию операторных уравнений с целой характеристической функцией и (тесно связанных с рассматриваемыми операторами) циклических элементов линейного ограниченного оператора, в полном локально выпуклом пространстве (ЛВД) над полем комплексных чисел.

Цель работы. I. Исследование структуры решений однородного операторного уравнения

1 (А)Н=¿2 с.«, А!"(х)=о,

УЪ=0

с целой характеристической функцией

п,= о

в полных ЛВП.

2. Описание условий существования оператора вида:

в полных ЛВП.

3. Изучение свойств циклических элементов линейного ограниченного оператора, действующего в полном ЛВП.

4. Изучение свойств экспоненциальных векторов в их тесной связи с решениями операторных уравнений и циклическими элементами.

Методы исследования. Широко и систематически используются методы функционального и комплексного анализа, теории голоморфных векторнозначных функций, методы теории ЛВП. В основе методов исследования лежит аппарат линейных операторов. В частности широкое цриыенение находят понятия порядка и типа линейного оператора, действующего в произвольном ЛВП, >

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

1. Исследована "структура решений однородного операторного уравнения бесконечного порядка в ЛВП довольно общей природы, с целой характеристической функцией.

2. Описаны условия существования оператора бесконечного порядка е лвп.

3. Изучены циклические элементы линейного ограниченного опера-

тора в полной ЛВП, в частности доказан критерий описывающий циклические элементы ограниченного оператора.

4. Исследованы свойства экспоненциальных векторов линейного оператора и установлена их тесная связь с решениями операторных уравнений и циклическими элементами.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в работе, носят теоретический характер и могут быть использованы в общей теории линейных операторов, в теории обобщенных уравнений в свёртках и в теории аппроксимаций в ЛВП.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: ;

на конференции по теории функций посещённой памяти чд.-корр. АН СССР А.Ф.Леонтьева (г.Нижний Новгород, 1991г.);

на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа Московского педагогического университета под руководством профессора Громова В.П.;

на научном семинаре кафедры математического анализа Московского государственного университета под руководством профессора Казьмина Ю.А.;

на традиционных "Герценовских чтениях" в РГПУ им.А.И.Герцена в секции профессора Одинца В.П. (г.Санкт-Петербург, 1993г.);

на 5-ом Всероссийском семинаре по теории функций (г.Сыктывкар, ' 1993г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х работах, список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 78 наименований. Объём диссертации - 82 страницы машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор задач, решаемых в диссертации. Определены цели работы и приводятся основные результаты.

Основные функциональные пространства, в которых решаются поставленные в работе задачи, относятся к классу ЛВП. Этими пространствами являются следующие:

1) Н - полное, отделимое ЛВП над полем комплексных чисел, топология которого задаётся бесконечной системой полунорм: ■[]) •)) ^,

- линейно упорядоченное множество), разделяющих точки пространства Щ .

2) )—1Цр>,сА-З - пространство векторов, операторные порядки которых 4 и типы 4 ¿1 .

-3) Н^АС.) - пространство всех ттелых функций, топология которого задаётся системой норм:

игп ы*р

4) П ч^3-/ - пространство функций, аналитических в односвяз-ной области & , с топологией равномерной сходимости на компактах. Эта топология задаётся нормами:

Отметим, что Нср/Л."], Н и ИС^) - представляют

собой полные метризуемые пространства, т.е. пространства Фреше,

Первая глава посвящена изучению счрукзуры решений однородного операторного уравнения

-б -

где /л - лилейный оператор, действующий в ЛВП И • а

^иьЁ.с.Х

\г=0

- целая скалярная функция, называемая характеристической функцией оператора ^ (А.) .

В разработке теории операторного уравнения (I), в самом общем случае, когда А - произвольный линейный оператор, действующий в ЛВП, существенную роль играют такие характеристики оператора, как порядок и тип. Впервые эти понятия были введены в работах В.П.Громова и применялись им для изучения операторных уравнений, в задачах разложения в ряд по собственным функциям линейного оператора и в других задачах.

Пусть Н - полное ЛВП над полем комплексных чисел, с топологией определяемой бесконечной системой полунормЛр^ , разделяющей точки пространства. А - линейный ограниченный оператор действующий в |"| ; К (И) С Н •

В §1.1 носящем вводный характер, кратко излагаются основные положения теории целых векторнозначных функций в ЛВП, вводятся характеристики её роста р - порядок, р - тип, порядок и тип.

Содержание §1.2 составляют понятия порядка и типа линейного непрерывного оператора, а также лонятия порядка и типа вектора. Эти характеристики описывают асимптотическое поведение функций IIА 1эе,)|1р » при Л'—*"00 . Здесь, в частности, доказывается теорема о связи операторного порядка и типа (относительно оператора дифференцирования) целой функции с её порядком и типом роста.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Если - целая функция порядка роста

и типа б* < оо , то её операторные порядок и тия вычисляются по следующим формулам: Р>(|) = {-

Материалы параграфов 1.1 и 1.2 снабжены достаточным количеством примеров.

Пространство векторов конечного операторного порядке и типа, обозначаемое через » является одним из основных ЛВП,

используемых в работе. Построению пространства Немо и изучению его алгебраической и топологической структуры посвящён §1.3.

Отметим, что аналогичные пространства вводились и широко испо-львовалиоь в работах Я.В.Радыно.

Пусть - линейный ограниченный оператор, действующий

в банаховом пространстве VI

Для фиксированных чисел О , |?>> О определим банахово цространство:

Г

1

о нормой ^ ^

7 V

N1*=^ (

Далее вводится пространство:

Элементами этого пространства являются векторы, порядок которых меньше Р> , или равен р , а тип

Наделённое топологией проективного предела банаховых пространств Ур /непрерывно вложенных друг в друга:

является пространством Фреше.

Устанавлйвается инвариантность пространства Нее ,с1Л относительно оператора А , показывается, что линейный оператор' действующий в Срк,- непрерывен.

Через -А-= ^ • ) обозначим множество целых скалярных функций одного комплексного переменного, тип которых при порядке р=4-, меньше величины .

у Р и

В параграфе 1.4 в НСр,й13 изучаются условия существования оператора вида:

! (2)

vv = 0 i

с целой характеристической функцией

vc=0

В этом параграфе доказаны .

ТЕОРЕМА I.4.I. Каждая функция f € Ц ^ > порождает

линейный непрерывный оператор (2) определённый на пространстве И С t d-З и со значениями в пространстве Ц .

ТЕОРЕМА 1.4.2. Каждая функция V^ ) -Ц^а) порождает

К-0

определённый на пространстве Н Cp>,oi-l и переводящий его в . Этот оператор является линейным и непреривным. Теоремы I.4.I и 1.4.2 имеют достаточно общий характер и содержат в себе как. частные случаи некоторые известные результаты полученные А.О.Гельфондом, А.Ф.Леонтьевым, Ю.Ф.Коробейником и . другими справедливые для оператора дифференцирования и оператора обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леонтьева.

оператор 00

Параграф 1.5 является центральным в главе I. Здесь проводится исследование решений однородного операторного уравнения (I) в пространстве .

Структуру решений такого уравнения описывает

ТЕОРЕМА 1.5.1. Каждое решение ЭС. «S Cp>,d-1 уравнения (I)

с характеристической функцией ^ Г SL \ } , представляется

^ adle /

в виде: _t

XI (3)

bv^oo W^Y^ J

где ^(^jXj) - корневой вектор оператора А. , соответствующий собственному числу Xj , являющемуся нулём функции .а

V^n,-00 - последовательность положительных чисел зависящих только от характеристической функции уравнения (I).

В основе доказательства этого факта лежит следующая конструкция, впервые применённая А.Ф.Леонтьевым и развитая для ДВП В.П.Громовым. оо

Пусть ^(t)— ¿L^C^t. ^ • Рассмотрим функцию

оо

При фиксированном t ^ С , она принадлежит 1V . Поэтому согласно теоремы 1.4.1, на пространстве определён линейный непрерывный оператор ^

<4,

Роль функции (4) раскрывает следующая ТЕОРЕМА 1.5.2. Пусть вектор ХС Н Ср, ol] удовлетворяет уравнению О ; . Тогда имеет место формула:

где

и на окружности Щ-^нет нулей функции1^(-к)- целое число. Дня случая когда известна собственная функция +\Л/ • опера-

А ,

тора х\ , определяемая условием:

ММ=Ш)\/\е<ВД№}=1; ин* (5,

имеет место центральная в §1.6

ТЕОРЕМА 1.6.1. Пусть оператор А. имеет целую собственную вектор-функцию, (со значениями в пространстве Ц ). Тогда в условиях теоремы 1.5.1, в пространстве • каждое

решение уравнения (I), с характеристической функцией представляется в виде:

где - постоянные числа, {.Х^.- нули характеристической функции, - кратность нуля , а * ®® - последовательность положительных чисел, зависящих только от характеристической функции уравнения.

Исследованию операторного уравнения вида (I) в полном

ЛВП Ц •

для случая оператора А конечного порядка и конечного Типа, посвящен параграф 1.7. * •

Пусть М - полное ЛШ над полем комплексных чисел с топологией определяемой бесконечной системой полунорм: р*^, ре ;

А - линейный ограниченный оператор, действующий в , имеющий конечный порядок |i> 0 и тип cL<.00 . Это в частности означает, что: •

Определение порядка tt iWfta Оператора А и свойства пространства Иср>><АЛ показывают, что если оператор А - линейный, имегёфй порядок ф О, оо и тип <L <. со , то в качестве пространства VI можно рассмотреть пространство Ц .

Основный* результатами §1.7 являются следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1.7,t Пусть И

- полное ЛВП, с бесконечной системой полунорм:-|j|'i|rp*J| , ^Р « определяющей топологию в Ц \

А - линеРйый ограниченный оператор, действующий в Ц , имеющий порядок р>0 и тип dL <• 00 . Тогда каждое решение \-\ уравнения с

целой характеристической функцией ч /о, > -— _

д г ädier,

аппроксимируется Корневыми векторами оператора Jt\ .

Для случая, когда известна собственная функция"| (У) оператора А , из теоремы 1.7.I-вытекает

ТЕОРЕМА 1.7.2. Если в условиях теоремы 1.7.1, f чХ) - собстве! ная вектор-функция оператора А » 10 каждое решение Сравнения (I)

с целой имеет вид

характеристической функцией ^ ^ j -^""ГГа.] »

u, 1 ' ЭД& /

:д: "Vj-1

гг?сЦк - постоянные числа, - [Нуди дс(ракггвристичвской функ-

ции, ^ • - 1фатность нуля Х^ , а _ ,пдсдедавательносд>

положительных чисел, зависящих только от характеристической функции.

Теорема 1.7.2, содержит в себе как частные случаи некоторые

известные результаты А.О.Гельфонда, А.ФДеонтьева, Ю.Ф.Коробейни-

ка, Ю.Н.Фролова о решениях линейных дифференциальных уравнений

вида: ^ '

оо

КГ.-0 0

и.

(8)

1сДР(г)=о,

<4 »

где - оператор обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леон-

тьева. В частности содержатся следующие результаты:

I. (ГельфонД А.О.): Каждое целое решение уравнения (7), с целой характеристической функцией экспоненциального типа представляется в виде:

» .

случай: ( А = ^ Ц=.Н(^ | (Х^ ^ ).

2. (Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф.): Каждое целое решение уравнения (8), с целой характеристической функцией представляется в виде: ЧР3^ , .

- Р (г) = Ьп,' ЛИ .

где ^ - целая функция порядка р> О , порождающая оператор . В этом случае: Ц^НСС.); р>Р 0; \

Изучению циклических элементов линейного ограниченного оператора, а также экспоненциальных векторов и их свойств посвящена вторая глава. Она тесно примыкает к первой главе и является естественным её продолжением.

В разработку и развитие этих вопросов внесли весомый вклад

A.О.Гельфонд, А.ФЛеонтьев, А.И.Маркушевич, И.И.Ибрагимов,

B.П.Громов, Ю.А.Казьмин и другие. В их работах изучались задачи полноты систем аналитических функций, в частности, полноты систем производных. Во многих случаях изучение вопросов полноты связывалось с линейными дифференциальными уравнениями бесконечного порядка, а также и с уравнениями свёртки. Были установлены критерии полноты систем производных аналитической функции.

В основе метода решаемых в этой главе задач, также как и в первой главе лежат понятия порядка и типа оператора А. и вектора Ц относительно оператора.

Пусть И - полное ЛВП над полем комплексных чисел, топология которого задаётся системой норм:|| р^ ,р€.!Р ;А - линейный ограниченный оператор, действующий в , имеющий конечный порядок Ф О, оо . Рассмотрим функцию: оо ^

= ШЛеС^Н; ««

где _ Гамма-функция .

При фиксированном 2С.Е И , имеющем конечный тип «о ,

при порядке р> ; функция Т^ПА- определена в круге:

< и представляет собой сильно-голоморфную вектор-

функцию ро значениями в И •

В частности, если А=-фг и ЦС^")» то

Функцию (9) называем обобщённым сдвигом вектора ОС^Н на шаг к/ , порождённым оператором А .

В §11.1 доказана следующая теорема о связи условий полноты

систем обобщённых сдвигов {^Т^^Г А 3 ^ и £ А. (02)^.

ТЕОРЕМА 11.1.1. Пусть А - линейный ограниченный оператор, действующий в Ц , имеет порядок р) > О . Вектор ЭС. € Ц имеет тип <А.(Ьь)<.оо црИ порядке р ; | , - множество

единственности для функцииТу^^З'сЗ . Тогда системы

- (ГИ

полны или неполны в И одновременно.

Эта теорема обобщает на ЛВП классический результат А.И.Марку-шевича и О.А.Казьмина, о связи полноты обычных сдвигов и производных аналитической функции. ' Вектор

ХеЦ называется циклическим элементом оператора А в Н • если замыкание в И линейной оболочки системы векторов

^А ; К = .совпадает с Ц . т.е.

11ШИ.

Если для некоторой подпоследовательности справедливо

равенство

то ОС. назовём переполненным циклическим элементом оператора А"

. Н • -

Основным результатом §11.2 является следующий критерий переполненного циклического элемента.

ТЕОРЕМА II.2.1. Пусть А - линейный ограниченный оператор, действующий в Ц , порядка р>> О и пусть вектор ЭСеЦ имеет конечный тип oL(эс)^.«»о , цри порядке . Для того, чтобы

необходимо и достаточно, чтобы вектор не являлся реше-

нием никакого уравнения вида:

еЩА-.^ьт ин*

тде Ф(К*) - функция аналитическая в. окрестности нуля иф {О): К» —г II^«^*«««

Когда рассматривается вся система А (эг)^', ^=0,1,..., без пропусков, то Ф(к,)=£0 и из теоремы II.2.1 вытекает

ПРЕДА(ЖЕНИЕ II.2.1. Для того, чтобы вектор X конечного тип« dL(x), при порядке О, оо , был циклическим элементом оператора А. 0 У »необходимо и достаточно, чтобы он не являлся решением никакого уравнения вида:

В этих утверждениях в качестве частных случаев содержатся результаты о циклических элементах оператора дифференцирования и оператора обобщённого дифференцирования ГельфондаЛеонтьева в пространствах аналитических функций.

В §11.3 вводятся и изучаются экспоненциальные векторы ограниченного оператора. /

■ Пусть А - линейный ограниченный оператор действующий в И и при фиксированном р , элемент ОС. еИ удовлетворяет неравенству:

где С(рс.;р)> О , > О _ постоянные. Обозначим

Определение. Если для каждого р , < , то вектор ОС.

назовём экспоненциальным вектором оператора А .

Обозначим множество всех экспоненциальных векторов через Целую векторнозначную функцию ^(\) со значениями в Н » Удовлетворяющую условию (5) назовём собственной функцией оператора А. Имеем:

п, - о .

причём ряд сходится абсолютно в И ( VЛ£ М— .

Пусть оператор А имеет порядок ^ Ф О, со и тип с(. < .

В этом случае, как известно, , функция имеет порядок,

порядок , то тип • Положим, что

если же

6 = -Я- и 6"р < • Р • этого случая Громовым В.П.

. оСг. > С ?

показано, что если система ,4 ЭСлг - полная, то она является базисом пространства Н , причём ^ Н оо ' °°

где ряд (Ю) сходится абсолютно. В этих условиях нами доказана

ТЕОРЕМА II.3.1. Для того, чтобы ОС. был экспоненциальным вектором, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

оо ,

Следующее утверждение устанавливает связь экспоненциальных векторов с решениями операторных уравнений. 1Е0РЕМА 11.3.2. Пусть X €

и является решением операторного уравнения (I), с характеристической функцией

где л^ - нули функции ^ (¿^ соответственно кратности Утъ^ .

Эта теорема обобщает известные результаты А.Ф.Леонтьева, И.Ф.Лохина, Ю.ф.Коробейника, и является обобщением классических теорем Лиувилля.

В исследовании задач §11.3 центральная роль принадлежит слел ющим леммам:

ЛЕММА II.3.1. В выше рассматриваемых условиях каждый экспоне циальный вектор представляется в виде:

_ А

где ~ РЯД сходящийся4при|\|>Цх

»-о А

. ЛЕММА II.3.2. Пусть

- функция аналитическая в кольце содержащем окружность 1\\= и . •

Тогда Ф - целая функция.

Связь экспоненциальных векторов и циклических элементов обнаруживает следующая .

■ТЕОРЕМА'II.3.3. Пусть А - линейный

ограниченный оператор конечного порядка р> ФО,оо и типа dL<-«*o, и (\) - его собственная функция, целая, порядка

типа О . Каждый экспо-

ненциальный вектор^ не являющийся нильпотентным или конечной линейной комбинацией векторов: ^ (X) есть циклический элемент оператора Д. в Ц .

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Громову В.П. за руководство паботой и постоянное внимание.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Мамчуев A.M. Операторы бёсконечного порядка в локально выпуклом пространстве // Сб. научн. трудов: Многомерн. комплексн. анализ и его приложения. / МОПИ им.Н.К.Крупской, - М.: - 199I. - Деп. в

ВИНИТИ 29.12.1991. - С.122-124. - Ц4899-В91. Деп.

»

2. Мамчуев A.M. О решениях операторного уравнения в локально выпуклом пространстве // Сб. научн. трудов: Избр. пробл. многомерн. комплексн. анализа. / Моск. пед. ун-т. М.: - 1992. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.1992. - С.88-104. - »3544-В92. Деп.

3. Мамчуев A.M. Некоторые свойства экспоненциальных векторов // В научн. сборнике: Вопросы аппроксимации в комплексных областях. Нижний Новгород, Нижегородский госун-т, - 1992. - С.39-44. • •

4. Мамчуев A.M. О циклических элементах в локально выпуклом пространстве // Тезисы докладов 5 Всероссийского семинара. Теория функций. Сыктывкар, Сык. госун-т, - 1993. - С.36.

Подписана к печати П. 06. 1992>р.

О

За «аз М 1,9 0 Объем 1Д5п. я. Тираж 100 экл

Типография ЦУМКа Центросоюза