Задача Коши со многими "временами" в пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/.„ I ' ■ / ' ' ' \

;■■..'/ ^ V [} - - -

московский энергетический институт (технический университет)

На правах рукописи

Черников Геннадий Витальевич Задача Коши со многими "временами" в пространствах

аналитических функций

(01. 01. 02 — дифференциальные уравнения)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.Дубинский

Москва, 1997

Оглавление

Введение. ¿ii

Общая характеристика работы Глава 0. Постановка основной задачи.

§ 1. Задача Коши с многомерным "временем".

§ 2. О способах задания начальных данных для задачи Коши. *»

Глава 1, Задача Коши в пространствах аналитических функций со

степенными особенностями. 9

§ 1. Задача Коши в пространствах с цилиндрической эволюцией. 9

§ 2. Задача Коши в пространстве 6(Ut g ;D'z p R ). г\

§ 3. Задача Коши в пространствах с конической эволюцией. Z5

§ 4. Задача Коши в пространстве 0( UktS,D'^ ). 39

Глава 2. Задача Коши в пространствах экспоненциальных функций. 49

§ 1. Задача Коши в пространстве 0(Ut s Expprq( Cf)). чз

§ 2. Задача Коши в пространстве 6{Ut s\Exp'prJC^)). ъг

§ 3. Задача Коши в шкалах экспоненциальных функций с

66

эволюцией по t.

§ 4. Задача Коши в пространстве 0{ Uto >(5, Exр'^ r+^t_t |q(Cf)). 78

Список использованных источников

86

Введение

В общей теории дифференциальных уравнений с комплексными аргументами задача с начальными данными — задача Коши, занимает особое положение. По сути являясь отправным пунктом общей теории уравнений с частными производными, она была глубоко исследована классиками начиная с середины прошлого века. В настоящее время теория задачи Коши пользуется пристальным вниманием математиков всего мира и постоянно пополняется новыми результатами.

В русле общей теории задачи Коши ясно выделились некоторые специальные разделы, в том числе аналитическая теория задачи Коши, известная под общим названием теории Коши-Ковалевской, экспоненциальная теория, появившаяся относительно недавно и получившая широкое развитие в связи с исследованиями в области псевдодифференциальных уравнений.

Настоящая работа продолжает исследования в этих направлениях, расширяя содержание теории на некоторые не исследованные ранее типы систем дифференциальных уравнений с частными производными, выявляя новые и обобщая ранее полученные результаты.

Интерес к совместному исследованию аналитической и экспоненциальной теории задачи Коши не случаен. Он определяется тем фактом, что обе эти теории двойственны друг другу по Фурье так, что, с одной стороны, корректная разрешимость в пространствах аналитических функций (функционалов) влечет корректную разрешимость в пространстве экспоненциальных функционалов (функций); с другой стороны, имеется прямая связь между корректной разрешимостью в основных и сопряженных пространствах1).

Исторически начало исследований систем линейных дифференциальных уравнений с начальными данными восходит к работам О. Коши. Он изучал локальную разрешимость системы следующего вида

(1)

+ £X77 = 2)' *=1>~>М,

к=0 ]=1

См. работы: Ю.А.Дубинский [1],[23], ЛХермандер [24], В.В.Напалков [22], Стейнберг [21] и ДР-

с аналитическими в окрестности точки (¿0,£0) еСг* коэффициентами и правыми частями, вместе с начальными данными

(2)

0е и.

= (pkAz), к - 0,...,s -1,

âtk

где — аналитические функции.

При этом, если порядки дифференциальных операторов Ак удовлетворяли условиям

ordAfe <s.-k,

г] г '

то в некоторой окрестности точки (t0,zQ), вообще говоря, меньшей чем исходная, существует и единственно аналитическое решение u(t,z).

Более того, как показала C.B. Ковалевская, если эти условия нарушены, то аналитической разрешимости может не быть. Однако доказать, что это условия являются необходимыми для корректной разрешимости аналитической задачи Коши удалось намного позднее. Это сделал в 1974 г. С. Мизохата [4] и лишь для случая одного уравнения (М= 1). Вопрос о необходимых условиях для общего случай системы произвольного порядка остается открытым по сей день.

В 1964 г. Ж. Лере, Л. Гординг, Т. Котаке [5] показали для аналитической разрешимости систем вида (1) достаточно выполнения более общих условий (условий Лере-Волевича)

(*) ord Ak<m.-m.+s.-k,

у ' ij г 2 г

где т1,...,том — произвольный набор натуральных чисел. Однако, эти условия не являются необходимыми.

Как показал Ю.А. Дубинский [6], вопрос о корректной разрешимости аналитической задачи Коши в первую очередь связан с самой постановкой задачи, а точнее с геометрией распространения возможных особенностей решения. Если особенности распространяются по "боковой поверхности" цилиндра, то необходимыми и достаточными будут условия

(**) ord Ак<т.-т..

v ' i] г з

Если же особенности распространяются по "боковой поверхности" конуса, то необходимыми и достаточными будут условия Лере-Волевича.

В отличие от аналитической теории задачи Коши, экспоненциальная теория стала развиваться намного позднее. Корректная разрешимость задачи Коши в некоторых классах целых функций конечного порядка и, в частности, в классах функций экспоненциального типа изучалась в работах А.И. Тихонова [13] (вещественный случай). Комплексный случай рассматривали И.Г. Петровский [9], И.МГельфанд и Г.Е.Шилов [20] и др.

Как показал Ю.А.Дубинский [15], в случае комплексной задачи Коши решение проблемы корректности связано с характером эволюции решения по переменной г. При этом существенно различаются два случая: а) рост по г решения не зависит от í и б) рост решения зависит от 1

Отметим, что Чинь Нгок Минь [18] исследовал задачу Коши в шкалах более быстрого роста, а О.В.Одиноков [17] рассмотрел случай системы с псевдодифференциальными операторами специального вида21

Что касается задачи Коши в пространствах функционалов, здесь следует указать работы Овсянникова [9], [10], Трева [11].

В настоящей работе были выявлены необходимые и достаточные условия локальной разрешимости задачи Коши для линейных систем со многими "временами"

м

(3) .....*Ь,2) = ЛД.....

м

А г

когда начальные данные задаются по нескольким переменным 0киМ,г)

Ь+N

£,2 '

(4)

д£

2) Обширная библиография по проблеме разрешимости задачи Коши представлена в работе О.А.Олейяик и В.1Шаламодова [14].

где ¿т — ( ^) ? /с 0,1,..,,¿3^ -1» 1,2,...,Ь.

Глава 0 диссертации носит подготовительный характер и посвящена вопросу корректной постановки аналитической задачи Коши со многими "временами"3). Здесь получен общий вид условий согласования начальных данных и показана их необходимость и достаточность для единственности аналитического решения задачи Коши

В первой главе исследовалась задача (3)-(4) в пространствах аналитических функций с особенностями типа "полюса" на границе. Мы получили, что для корректной разрешимости в пространствах с эволюцией (по особенностей по "боковой" поверхности жшщилипдра необходимо выполнение условий (**). В случае, когда эволюция особенностей происходит по "боковой" поверхности поликонуса, в качестве критерия корректной разрешимости получен многомерный аналог условий Лере-Волевича.

Подход^развитый в работах Ю.А.Дубинского [7], [ 1 ],использовался нами для установления условий корректной разрешимости комплексной задачи Конти со многими "временами" в пространствах функций экспоненциального (по г) роста конечного порядка. Во второй главе мы выявили условия, которым должны удовлетворять дифференциальные операторы для существования и единственности решения нашей задачи. Здесь оказалось, что требование корректной разрешимости накладывает условия на степени полиномов по г коэффициентов дифференциальных операторов задачи. В случае

цилиндрической эволюции по i роста решения эти условия запишутся в виде:

<*еЯ2 - - \г\(Ч ~ 1), 4=1,2, ..., М;

случай конической эволюции дает такую зависимость:

аи,иА*> Р< ~ Р3 - \г\(я ~ 1) + (|«| - Щ)Ч, ,-М

3) По аналогии с задачей (1),(2) мы назвали нашу задачу задачей Коши. В качестве аргумента в пользу такого выбора можно привести во многом схожую с нашей задачу Коши в классической книге Л.Хермандера [2]. Хотя такое название кажется нам наиболее оправданным, но не единственно возможным. Например, известная задачи. Гурса вполне удовлетворяет частному виду нашей системы.

Наряду с указанным выше, в настоящей работе мы исследовали корректную разрешимость задачи Коши со многими "временами" в сопряженных пространствах.

При исследовании сопряженной задачи в пространствах с цилиндрической эволюцией доказательство основных утверждений об условиях корректности сводилось к стандартным схемам теории разрешимости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (см., например, А.И. Колмогоров, С.В. Фомин [25], Н. Данфорд, Дж. Шварц [16] и др.), так что при выполнении соответствующих условий интегро-дифференциальный оператор эквивалентной сопряженной задачи будет оператором сжатия.

Случай сопряженной задачи в пространствах с конической эволюцией намного сложнее и привлекает иные подходы. В доказательстве корректной разрешимости задачи Коши со многими "временами" мы ограничились лишь частным случаем системы 1-ого порядка. Существенным здесь явилось то, что мы использовали решение задачи Коши в основном пространстве для получения представления решения в сопряженном пространстве. Использование решения основной задачи для построения решения сопряженной описано у Е.Хольмгрена [12] и у Ю.А. Дубинского [1].

уш

Общая характеристика работы

Актуальность темы, Во введении диссертационной работы отражена актуальность выбранной темы.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является установление условий корректной разрешимости задачи Коши со многими "временами" а) в пространствах аналитических функций и функционалов с особенностями тапа "полюса" и б) в пространствах функций и функционалов экспоненциального типа.

Научная новизна полученных результатов.

1. Выявлены особенности постановки задачи Коши для систем со многими "временами".

2. Доказаны теоремы о корректной разрешимости задачи Коши в пространствах аналитических функций и функционалов с особенностями типа "полюса".

3. Доказаны теоремы о корректной разрешимости задачи Коши в пространствах функций и функционалов экспоненциального типа.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты в дальнейшем могут быть применены при исследовании систем дифференциальных уравнений с комплексными аргументами.

Основные результаты выносимые на защиту.

1. Постановка задачи Коши для систем со многими "временами".

2. Критерии корректной разрешимости задачи Коши в пространствах аналитических функций и функционалов с особенностями типа "полюса" с цилиндрической и конической эволюцией особенностей по "времени".

3. Критерии корректной разрешимости задачи Коши в пространствах функций и функционалов экспоненциального типа с эволюцией по "времени" и без эволюции по "времени" роста решения.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты, приводимые в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям (руководитель — профессор Ю.А.Дубинский). Результаты также были доложены на международном семинаре по дифференциальным уравнениям имени ИГ.Петровского, Москва, МГУ, 18-23 января 1994 г.

Опубликованность результатов. По теме диссертационной работы опубликовано 4 печатных работы: [26],[27],[28],[29].

Благодарности. Автор признателен профессору КХА.Дубинскому за помощь в написании работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованных источников включающего 29 наименований. Объем диссертации составляет 97 листов машинописного текста.

Глава 0. Постановка основной задачи.

§ 1. Задача Коши с многомерным "временем".

Пусть г = {гъ ..., гн) — произвольная точка ЛГ-мерного комплексного пространства С^, а t = (%, %) — точка Ь -мерного пространства сЦ".

В области V еС^х С" для функции и^гЩщ^г) ,..., рассмот-

рим систему линейных дифференциальных уравнений

м

(1) = »=1,2.....М,

вде а(г) = (й1(г),...,ам(г))— целочисленный мультииндекс1), зависящий от номера строки « (в дальнейшем, чтобы излишне не загромождать запись там, где это не приведет к недоразумениям, мы будем опускать индекс, указывающий номер строки); ртл у— целочисленные мультииндексы принимающие значения из некоторых фиксированных наборов, а знак |. | , как обычно, обозначает сумму всех компонент мультииндекса;

А..г,д,Ц) ж ^ ацзг&— линейные дифференциальные

0 г

операторы с частными производными;

— аналитические функции в V ;

^ ^ , — операторы диф-

ференцирования.

Отметим, что в выражении для оператора А^ суммирование ведется по мультииндексам из конечных наборов (вообще говоря зависящих от г и ]), причем для любого мультииндекса сумиировани р выполнено условие :

(2) р<а, т.е. рь < ак , к=1,...,Ь.

Условие (2) мы будем называть условием разрешимости уравнения (1) относительно старшей производной по I.

') Мы будем придерживаться следующих обозначений: мультииндексы обозначать прописными греческими буквами, компоненты мультииндексов отмечать индексами внизу, а сами индексы — латинскими буквами

В точке t = tQ = зададим начальные данные для системы (1)

где .....у; ¿=1,2,...,М; -1; т=1,2,..,Ь.

Отметим, что начальные данные (3) заданы на пересечении гиперплоскостей {= ¿м0} с V (т=1,2,...,Ь), т.е. на множествах размерности (1.-1)4 N.

Мы будем рассматривать решение задачи (1)-(3) в классах аналитических функций В этом случае функции начальных данных не могут

быть заданы произвольно, необходимо их согласовывать. Условие согласования •начальных данных примем в следующем виде

(4)

"л

д*

р=0,1,...,<а^ -1, -1, п ,т=1,...,Ь, ¿=1 ,...,М.

Задачу (1)-(4) мы будем называть задачей Коши.

Отметим, что начальные данные для задачи Коши с "многомерным временем" можно задать и иначе, а именно в виде

(5)

{Щ -

= 0, р=0,1,...,^ -1, п-1,...,Ь, г=1,...,М,

к »

здесь цгм - аналитические функции переменных (см., например,

[2]) В § 2 мы более детально исследуем этот вопрос; там же будет установлена эквивалентность формы (3),(4) и формы (5),

В дальнейшем, при доказательстве основных теорем о существовании и единственности решения задачи Коши в специальных пространствах, нам прийдется вычислять первообразные от функций многих переменных. Сделаем несколько замечаний по поводу записи кратных интегралов.

Пусть гу(^) — некоторая интегрируемая функция одной переменной Введем обозначение для ее îi-кратной первообразной:

Ш £ U

J (d0* - J dÇn | dÇ^... J «>(£ ) .

(loi la Îo io

Далее, пусть теперь «(i) - функция L переменных t2,...,tL). По аналогии введем обозначение для ее fi- кратной первообразной (т.е. функции получаемой в результате интегрирования функции v(ti, раз по tJ} fig

раз по tz, и т.д.):

Ci)

J ... ..(drj*-.

(*lû) feû)

В случае векторной функции «(i)=(«1(i),...i;Af(i)) , где t=(ti}...,tL) мы будем использовать следующую запись

с

»

jv(T)dTp ,

г,о

понимая под ней, что каждая компонента %(i) (¿=1 ,.,.,М) интегрируется по своей переменной / , 1 <,fit<,L, (при фиксированных остальных) в

пределах от i до * .

§ 2. О СПОСОБАХ ЗАДАНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ.

Рассмотрим подробнее вопрос о постановке начальных данных для задачи Коши со многими "временами".

В предположении существования решении уравнения (1),(2) покажем, что постановка начальных данных в виде (3),(4) ДОСТАТОЧНА для единственности решения задачи в классе аналитических функций.

I. Рассмотрим сначала случай одного уравнения с "двумерным" временем в области х С"

? Г

Начальные данные для , , г) запишутся в виде:

(б) + ^М-щ-^^М^г) = НЧ^г)

(7) ^

¿1—0 2

Ц.-0

к - од,...,а, -1 т = од,...,аг-1 (в записи отсутствует индекс номера строки).

В силу аналитичности функций начальных данных (7) их можно переписать в виде :

V 7-0 V 7-0

(8) .......

V 7-0

и

V 1е-0 V &-0

(9)

^г1^,*) = ее («. -и'

V 1е-0

Далее, пусть решение — аналитическая функция —представ-

ляется степенным рядом

(10) г^Л,*) = ZSZP^2"-

v к j

Запишем коэффициенты этого ряда в виде таблицы.

Таблица 1.

>4, 0 0 Pao,v 1 Pfll.v Г f (a2-D Pa(«a-i),v a2 P0(a4),v.......

1 1 \ PlQtv .v.'Xvlv/^v!^ ШРи^Ш yV.yV.y^ .V.V.ViVAV/.V.'.V. vXv>j/.vXiv.\\v Л 4 X pi(«»),v:::::::

(ах-1) щ ^(ai-i)i," ^(«l-l)^-1)," P(a1K«a-l),i' fVi-i К«*),":::: . . .

.....v»*v..... .............V 'i • V............

Коэффициенты с индексами к 5 o^-l или j < 1 (затененная область в Таблице 1) определяются из степенных разложений функций начальных данных :

Vkj,v~cki,v Д^ А = ОД,...,«,-1 и любых j и v —из (8);

p,gv = c^> для j = ОД,.- 1 и любых к и v— ив (9).

При этом условие согласования начальных данных означает равенство коэффициентов сцi>v в (8) и (9) для индексов fe=0,l,«.,ai-l и и всех возможных v (соответствующие этим индексам коэффициенты Рщ находятся в области двойного затенения в Таблице 1). Поэтому, для указанных сочетаний индексов к, j и v коэффициенты р^■ определяются однозначно.

Все остальные коэффициенты (незатененная область в Таблице 1) определяются также однозначно стандартным способом: подстановкой ряда (10) и рядов для функций a^it^t^z) и правой части h(tlftz,z) в основное уравнение; дифференцированием нужное число раз обеих частей уравнения и п