Задача Коши для эллиптических уравнений, порождаемых оператором Лапласа в комплексном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Задача Коши для уравнений Лапласа и Пуассона в комплексном пространстве.

1.1. Уравнение Лапласа в трёхмерном пространстве.

1.2. Уравнение Лапласа в пространстве произвольной размерности.

1.3. Уравнение Пуассона.

Глава 2. Задача Коши для эллиптического уравнения, порождаемого линейной комбинацией степеней оператора Лапласа.

Глава 3. Задача Коши для полигармонического и полиметагармонического уравнений.

3.1. Полигармоническое уравнение.

3.2. Полиметагармоническое уравнение.

Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались ещё в восемнадцатом веке.

Как практические, так и теоретические потребности приводили исследователей к необходимости нахождения таких решений, которые удовлетворяли бы ещё тем или иным дополнительным условиям. Эти условия известны теперь как начальные и краевые условия, а задачи, связанные с ними - как задача Коши, задача Дирихле и др.

В работах Адамара начала двадцатого века было введено понятие корректности (и некорректности) постановки задачи Коши (распространённое впоследствии и на другие краевые задачи) для уравнений с частными производными. Как оказалось, для каждого типа уравнений существуют свои корректно поставленные задачи (см., напр., [11], [17]).

Так, для классического уравнения Лапласа в вещественном пространстве

Rn постановка задачи Дирихле является корректной.

Этого нельзя сказать о задаче Коши. В частности, как показывает известный пример Адамара [17], решение задачи Коши для уравнения Лапласа единственно, но неустойчиво.

Для того, чтобы постановка задачи Коши была корректной, необходимо сузить класс рассматриваемых решений уравнения Лапласа. Таким сужением может служить класс равномерно ограниченных решений. При таком предположении оценки, характеризующие устойчивость решения задачи Коши, впервые были получены М.М.Лаврентьевым для произвольной пространственной области с достаточно гладкой границей [12]. Аналогичные оценки были получены С.Н.Мергеляном для функций внутри сферы [16]. На случай произвольного эллиптического уравнения решение вопроса об 3 устойчивости пространственной задачи Коши было распространено Е.М.Ландисом [13].

В 30-е гг. двадцатого века в работах ряда математиков (см. об этом [11]) появляются простейшие дифференциальные уравнения с комплексными переменными. Это связано, прежде всего, с началом широкого применения в изучении вещественных дифференциальных уравнений методов теории функций комплексного переменного.

Особо следует отметить труды И.Н.Векуа [7], [8], в которых применение таких методов привело к созданию аналитической теории эллиптических уравнений и систем с двумя независимыми переменными.

Весьма плодотворным применение аппарата теории функций одного и многих комплексных переменных оказалось и в более сложном случае многомерных уравнений. Глубокие результаты, полученные здесь, связаны, прежде всего, с именами А.В.Бицадзе [4], [5], И.Н.Векуа [7], [8], З.И.Халилова [22], а также С.Бергмана [1], [39], Л.Берса [40], П. Гарабедяна [41], [42], Г.Леви [43]и др.

В связи с этим возникает самостоятельный интерес к собственно комплексным дифференциальным уравнениям.

Первоначальной работой здесь является, по-видимому, статья А.И.Янушаускаса [31], в которой им рассматривалось уравнение Лапласа с тремя комплексными переменными. Для решения этого уравнения получено интегральное представление через голоморфные функции двух комплексных переменных. При этом оказалось, что, в отличие от вещественного случая, задача Коши в случае комплексного уравнения Лапласа является корректной.

Вполне естественным развитием теории комплексных дифференциальных уравнений представляется рассмотрение задачи Коши для более общих эллиптических уравнений (как в отношении их порядка, так и в отношении количества переменных). Основы аналитической теории таких уравнений по состоянию на 1979 год были систематизированы А.И.Янушаускасом в его монографии [34].

В настоящее время эта теория, продолжая интенсивно развиваться (см., напр., [44] - [48]) всё ещё остается весьма далёкой от завершающих результатов, что диктует необходимость дальнейших исследований (см. об этом [36], [37]).

В рамках этой же теории находятся и исследования, выполненные в диссертационной работе, которая посвящена аналитическому описанию решений задачи Коши для некоторых классов комплексных дифференциальных уравнений, образованных при помощи оператора Лапласа.

Прежде, чем перейти к анализу результатов диссертации, уточним терминологию и сделаем замечание относительно нумерации приводимых в диссертации положений.

Нумерация утверждений и формул проводится посредством двух чисел, первое из которых означает номер главы, а второе - номер одноименного утверждения или формулы. Так, например, название «лемма 3.1» означает первую (по порядку изложения) лемму в третьей главе, а номер формулы (2.14) означает четырнадцатую из формул, выделенных в тексте второй главы.

Следуя А.И.Янушаускасу [34], будем говорить, что комплексное дифференциальное уравнение является эллиптическим (гиперболическим или параболическим), если оно является таковым при вещественных значениях переменных.

В первой главе диссертации рассматривается задача Коши для уравнений Лапласа и Пуассона. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [24], [27], [29].

Говоря здесь и далее о задаче Коши, следует отметить, что существование и единственность её решения принципиально гарантируются универсальной теоремой Коши - Ковалевской, имеющей место и для комплексных переменных [23].

При этом, если в вещественном пространстве существование решения гарантируется только в малом, то уже в комплексном пространстве оно имеет место в целом.

Разумеется, теорема Коши - Ковалевской не дает общего аналитического выражения решения задачи Коши для того или иного дифференциального уравнения, и нашей основной задачей в первой и последующих главах является получение таких аналитических формул.

Первый параграф главы 1 посвящен трёхмерному (относительно пространства С комплексных переменных x, у, z) уравнению Лапласа, для которого изучается задача Коши в следующей постановке: найти голоморфное решение уравнения д2и д2и д2и Аи = — + — + — = 0, (l.i) ах2 ду2 &2 удовлетворяющее начальным условиям

L 9=g(x>y)> ди и /(х,у), (1.2) z = О dz где f и g - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности

DdC2 и непрерывные в замкнутой области D.

Заметим здесь, что А.И.Янушаускасом в [33] при помощи исследования задачи Коши для уравнения Лапласа в другой форме д2и д2и л 4--+-= 0, д^дт] д£2 получаемой преобразованием уравнения (1.1) посредством замены переменных x + iy, rj = x- iy, £=z, выведено интегральное представление гармонических функций трёх новых независимых комплексных переменных Т], С,, а именно z/L.1. <Г л?-ч + t-sb-ч) Г'2' {t-tb-n) Ms) F[ 11-3.£)\dtdT где F{ct, Д 5) - гипергеометрическая функция Гаусса [10].

Этот результат А.И.Янушаускаса относится фактически к другому типу уравнения, нежели исходное уравнение (1.1) как по классификации типа (оно гиперболическое), так и по виду интегрального представления решения (оно приведено в новых переменных Е,, Г], £ и не совсем ясно, как из него получить представление в старых переменных х,у, z).

В настоящей же работе нами дополнительная замена переменных не проводилась и для решения задачи Коши (1.1), (1.2) получено следующее интегральное представление u(rvz)- ' Г Гf[(* ~ ХУ + (т ~ УУ + z21/fcт)~ т)~ uyx,y,z)- J К , тз/ X

Ы [(/-х) + {т-у) + z2f ln{t-x)(T-y) + iz^f(r-x)2 +{т~у)2 | (7 -х){т -у)-iz^j(t - х)2 + (г -у)г + z2

2i(t - х){т - y)[(t - х)2 + (г - у)2 + 2z2 ]g(f, г) 1 [(* - х)2 + (г - + z2\[{t - xj + Z21(г - у)2 + z2 JJ ' (1Л5) где У и g - функции, голоморфные в бицилиндре D:{|X|<rb [у|<Г2} и непрерывные в замыкании D этой области, а интегрирование ведётся по остову границы Г, X Г2 бицилиндра D.

При помощи полученного представления исследуется вопрос о голоморфности решения u{x,y,z) задачи Коши (1.1), (1.2). Для этого сначала описываются множества особых точек подынтегральной функции. Установлено, что особенности ядра интегрального представления (1.15) располагаются на поверхностях Pi и Р2, задаваемых системами уравнений х|2 + \zf - 2Im(xz) = г2

1.21) \z\ - 21m(yz) = r; и

Ixf + \zf + 2Im(xz) = Г

1.22) j/f + |zf + 2lm(yz) = r; соответственно, а решение u(x,y,z) задачи Коши (1.1), (1.2) является голоморфной функцией трёх комплексных переменных X, у, Z в области H(D), содержащей область D и ограниченной поверхностями Pj и Р2.

Затем исследуется пересечение области H(D) с вещественным пространством R (характеризуемым условиями IШХ = О, IЩу = 0, IlTIZ = 0).

В заключение первого параграфа полученные результаты отражены в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 1.1. Каковы бы ни были функции f(x,y) и g(x,y), голоморфные в бицилиндрической области D CZ С2 и непрерывные в замыкании D этой области, в пространстве С3 найдётся содержащая D область голоморфности H(D) такая, что решение и(х, y,z) задачи Коши

1.1), (1.2) голоморфно в H(D).

Если, кроме того, начальные данные fug аналитически продолжимы из D, то решение задачи Коши U аналитически продолжимо из области H(D).

При этом, для каждой точки X границы области H(D) существует гармоническая функция, голоморфная в H(D), удовлетворяющая начальным данным, голоморфным в D, и имеющая особенность в точке Во втором параграфе главы 1 для уравнения Лапласа о

1.25) dz2 *=] дх] к в пространстве комплексных переменных X,, х2,., хп, z рассматривается следующая задача Коши: найти голоморфное решение u ( хх, х2,., хп, z ) уравнения (1.25), удовлетворяющее начальным условиям ди и

2=0 f(xx , Х2,.Хи), а*

1.26)

2=0 где f и g" - функции, голоморфные в полицилиндрической области D d СП и непрерывные в замкнутой области D.

Используя результаты, полученные А.И.Янушаускасом в [32] для более общего уравнения д И q

2 Л V 1 7 ~ п / 7 oz ^ дх.дх,

J к где - аналитические функции, принимающие вещественные значения при вещественных значениях переменных хх, Х2,., хп, а уравнение эллиптично при вещественных значениях хх, х2,., хп, z, нами получено следующее интегральное представление решения w(xi5x2,. .,Xn,z) задачи Коши (1.25), (1.26)

1 A /(/,,.,0 u\xx,x2)., ,ixn,z) — ^ .ч„ j X г xF

2m)"r{(tx-xx).(tn-xn)

-2 \ v

1 1 . 1 J xF 1 ,.3. z2 Л ij., dt,.dt, (1.30) что и составляет основное содержание приводимой нами теоремы 1.3.

Дополнительно комментируя этот результат, прежде всего, отметим, что он содержит в себе цитированную выше формулу (1.15) при п=2. В то же время, мы не можем далее провести анализ области голоморфности решения (1.30), подобно тому, как это сделано для трёхмерного решения (1.15), что и послужило нам основанием выделить этот (трёхмерный) случай отдельно.

Второе замечание касается сравнения представления (1.30) с представлением, полученным в работе А.И.Янушаускаса [32]. Его представление, относясь к более общему уравнению, носит и само весьма общий характер. В частности, при помощи такого представления уже нельзя сделать конкретные заключения об области голоморфности решения, подобные, как в первом параграфе. Для их реализации потребуются весьма трудоёмкие технические преобразования представления А.И.Янушаускаса к виду, предложенному нами в теореме 1.3.

Третий параграф главы 1 посвящен уравнению Пуассона дги » дги 7 , ч

1— = h{xx,x2,.,xn,z) (1.31) dz2 к=] дх к в пространстве комплексных переменных X,, Х2,., Хи, Z. Для этого уравнения рассматривается следующая задача Коши: найти голоморфное решение w(xi5X2,.,Xn,z) уравнения (1.31), удовлетворяющее начальным условиям ди U 0, dz 0. (1.32)

2 = 0

Применяя классическую методику поиска решения уравнения в виде ряда, нами доказана

ТЕОРЕМА 1.4. Если функция h{ Z ) голоморфна в области

H(D) из теоремы 1.2, то для решения Х1, Я2,., Хп, Z ) задачи Коши (1.31), (1.32) справедливо следующее представление I и{хх, Х2,., Хп, z) = у- J {^(Vj •>--">tn — Хх,., tn — ХП, z) +

2Я7j г

О GZ dt. .dt,

1 n 7

2m+2 где G = S(-1)" ra=0 1 Л

1.41)

2ш + 2)! -*,).&-*.),

Эта теорема - основная в третьем параграфе. Если теперь с данным представлением проделать дополнительные преобразования (подобные преобразованиям из второго параграфа), то можно получить ещё одно представление решения в виде ulr г г)- 1 ff^fc»"''-'*"7)

2т) го(ti-xi).(tn~xj X г хК V

I Ii з г2 т2 л dzdtx.dtn, (1.48) у являющимся фактически представлением Дюамеля, выражающим решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (уравнения Пуассона в данном случае) через решение соответствующего однородного уравнения (уравнения Лапласа).

Этот факт можно трактовать как обоснование возможности использовать классический принцип Дюамеля в случае комплексных уравнений.

Во второй главе, опираясь на содержание работы [26], проводится исследование задачи Коши для дифференциального уравнения вида

А"и + аАт'ги +. + а Ли + а и = 0, (2.1)

1 т-1 от ' 4 ' где , ,., (Хт - произвольные комплексные числа, А - оператор Лапласа л d2 а2

А = — + .+ f(X), j = 0,1, .,2т-1. (2.2) дх2х dxl Ат=А(Ат-1\ те N, т>2 в пространстве комплексных переменных X,, х2,., хи+1. Всюду в дальнейшем точку ( X,, Х2,., хп+х) пространства СП+1 обозначаем (X, z), где

X = (х,, Х2,., хп), z = Хп+1. Для этого уравнения И.Н.Векуа [6] получено общее представление совокупности решений.

Нами при помощи этого общего представления исследуется задача Коши: найти голоморфное решение уравнения (2.1),удовлетворяющее начальным условиям dJu dzJ

В случае, когда все корни , Я2,., А, характеристического уравнения

Ат -haT'1 + а А + а =0 (2.3)

1 т-1 т 4 ' являются простыми, решение задачи Коши для исходного уравнения (2.1) путём алгебраических преобразований нами сводится к решению т задач Коши для уравнений

Аи-Хки = 0, к- \,2,.,т.

Далее, используя интегральные представления решений этих задач [32], мы выводим интегральное представление решения задачи Коши (2.1), (2.2), описанное в конце главы в форме теоремы.

ТЕОРЕМА 2.1. Если все корни Л19Л2,.,Лт уравнения (2.3) простые, то решение и(Х, z) задачи Коши (2.1), (2.2) можно представить в виде и

X,z) = ±pXX,z) + ±qXX,z)к=1 к=1 Vw^ (x, zVT^T)]^, где каждая из функций Рк{Х,z) и qk (X,z), к - 1,2,.,га является решением задачи Коши для уравнения Лапласа (в смысле второго параграфа главы 1), удовлетворяющим начальным условиям соответственно вида

Рк z=О

Ф* dz 0 и qk z=0 о. z=0 az /2,. z=0

Третья глава посвящена исследованию задачи Коши для полигармонического и полиметагармонического уравнений. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [25], [28], [30].

В первом параграфе этой главы для полигармонического уравнения

Ари = 0, (ЗЛ) где Л - оператор Лапласа л з2 а2 А — — + .+ а*,2 дх 2 и+1

Д'=Д(Д^), ре N, р> 2

Г&+1 в пространстве С комплексных переменных хх, х2,., X+1 рассматривается следующая задача Коши: найти голоморфное решение U уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям dju dzJ fj(X), j = 0,1,.,2p - 1, (3.2) где, как и выше, приняты обозначения X = (Xj, Х2,., Хп), Z = Хп+1, a f (Х) - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности D cz СП.

Используя общепринятую методику (см., напр., [2]), нами сначала исследуется «стандартная» задача Коши, а именно fXx) = 0,j-ox.,2p-2, f2Jx) = f(x), (3.3) для решения которой получено представление в виде ряда по степеням переменной z (лемма 3.1) и описана область абсолютной и равномерной сходимости этого ряда (лемма 3.2).

Опираясь на эти леммы, доказано следующее утверждение. ТЕОРЕМА 3.1. Если функция голоморфна в круговом полицилиндре D! { X, < ,., хп < Г } и непрерывна в замкнутой области

D, то для решения задачи Коши (3.1), (3.3) справедливо следующее интегральное представление v \ 1 f ^ Р fit] > • • • > ^ )

U(A'Z,= (2mJr(2 p)k-*Ut.-'*f

1. . 1 z2 z2 Л xF я)

Д? • • • р dtx.dtn, (3.6) где С;Zl5.,Zn) - гипергеометрическая функция

Лауричелла, а интегрирование ведётся по остову F границы полицилиндра D.

Далее, для рассматриваемой в главе 3 общей задачи Коши (3.1), (3.2) выводится следующее представление.

ТЕОРЕМА 3.2. Если функции fj{X\ j = 0,1,.,2р -1,голоморфны в круговом полицилиндре D:|x, <Г{,.,|хп < г], то для решения задачи Коши (3.1), (3.2) справедливо следующее представление U f к=1 р

2м)" Hk(tl-xl,.,tn-xn,z)f2kl{tl,.,tn)}dtl.dtn, (3.14) в котором

G 1 f( 1ук-Лт + к~ p)P-Xm + lh к Г } Г(2т + 2k-l) х 1 , 2т+2к-2 km х z А V

3.15)

Н = 1 у( i)m+k'P (m + k-pl-«(m + ll-i , 2»i+2i-l Am х z A 1 ^

3.16) а интегрирование ведётся по остову F границы полицилиндра D.

При обосновании этой теоремы получены два вспомогательных технических результата (леммы 3.3, 3.4), связанные с преобразованием конечных сумм и представляющие, на наш взгляд, некий самостоятельный интерес.

Используя теперь представление (3.14), нами в заключительной части первого параграфа главы 3 сформулировано следующее основное утверждение для полигармонического уравнения.

ТЕОРЕМА 3.3. Каковы бы ни были функции f голоморфные в полицилиндре D d СП и непрерывные в замкнутом полицилиндре D, в пространстве СП+1 найдётся содержащая D область голоморфности H(D) такая, что решение u{X,z) задачи Коши (3.1), (3.2) голоморфно в H(D).

Если, кроме того, начальные данные f (Jf) аналитически продолжимы из области D, то решение задачи Коши u{X,z) аналитически продолжимо из области H(D).

При этом, для каждой точки X границы области H(D) существует решение уравнения (3.1), голоморфное в H(D), удовлетворяющее начальным данным, голоморфным в D, и имеющее особенность в точке X.

Второй параграф главы 3 посвящен полиметагармоническому уравнению (А + Xjv = 0, р е N, р > 2, Я = Const (3.23) pn+l в пространстве U комплексных переменных X , Х2,., Хп, Z.

Решения этого уравнения представлены через полигармонические функции, что и отражает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.4. Если функция u{X,z) является решением уравнения

3.1), удовлетворяющим начальным условиям (3.3), то решение v(X,z) уравнения (3.23), удовлетворяющее тем же начальным условиям,описывается формулой v(X,z) = u{X,z)-^L Z7U (3.25)

2 о дIs где Jх [z«J~As ) — функция Бесселя.

В заключение автор считает своим непременным долгом почтить светлую память своего первого научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора А.И.Янушаускаса (1932-1999), с которым была связана моя многолетняя научная жизнь как в вопросах постановки ряда задач, так и в выборе методов их решения.

1. Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1964. 306 с.

2. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.:Мир, 1966.351 с.

3. Бицадзе А.В. К теории гармонических функций. Труды Тбилисского гос.ун-та, т.84, 1961, с. 35 37.

4. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка.- М.: Наука, 1966. 204 с.

5. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.:Наука, 1981. 448 с.

6. Векуа И.Н. О метагармонических функциях. Труды Тбилисского матем.ин-та, XII, 1943, с. 105- 174.

7. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л.: Гостехиздат,1948. 296 с.

8. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.628 с.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.

10. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: ИЛ, 1963. 468 с.

11. Курант Р. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1964. 830 с.

12. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. ИАН, сер. матем, 20 (1956), с. 819-841.

13. Ландис Е.М. О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений. -ДАН СССР, 107, №5 (1956), с. 640 643.

14. Лере Ж, Гординг Л, Котаке Т. Задача Коши. М.: Мир, 1967. 152 с.

15. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970. 400 с.

16. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближённое решение задачи Коши для уравнения Лапласа. ДАН СССР, 107, №5 (1956), с.644 -647.

17. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. 304 с.

18. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

19. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. -М.: Наука, 1986. 800 с.

20. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1962. 420 с.

21. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1963. 428 с.

22. Халилов З.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений. ИАН, сер. матем., 11 (1947), с. 345 - 369.

23. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. -М.: Мир, 1965. 379 с.

24. Шалагинов С.Д. Задача Коши для уравнения Лапласа в комплексном пространстве. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, №5, с. 947-949.

25. Шалагинов С.Д. Задача Коши для полигармонического уравнения. -Тезисы областной межвузовской конференции молодых учёных и специалистов. Тюмень, 1985, с. 57.

26. Шалагинов С.Д. Интегральные представления решений одного эллиптического уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами. Деп. в ВИНИТИ, 1990, № 3651-В90, 9 с.

27. Шалагинов С.Д. Интегральное представление решений уравнения Пуассона. В кн.: Краевые задачи. Иркутск: Иркут. ун-т, 1990, с. 69-72.

28. Шалагинов С.Д. Интегральные представления полигармонических функций. В кн.: Математический сборник. Ишим: Изд-во ИГПТГим. П.П. Ершова, 2000, с. 95-97.

29. Шалагинов С.Д. Задача Коши для уравнения Лапласа в многомерном комплексном пространстве. Успехи современного естествознания, 2003, №2, с. 81.

30. Шалагинов С.Д. Интегральные представления решений полигармонического уравнения в комплексном пространстве. Деп. в ВИНИТИ, 2002, № 1557-В2002, 12 с.

31. Янушаускас А.И. Задача Коши для уравнения Лапласа и операция умножения для гармонических функций. ДАН СССР, 159, №2 (1964), с. 286-289.

32. Янушаускас А.И. О задаче Коши для одного класса эллиптических и вырождающихся уравнений. Сиб. матем. журн, 1967, т.8, №4, с. 913 -925.

33. Янушаускас А.И. К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными. Сиб. матем. журн., 1975, т. 16, №6, с. 1352 -1363.

34. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. -Новосибирск: Наука, 1979. 190 с.

35. Янушаускас А.И. Аналитические и гармонические функции многих переменных. Новосибирск: Наука, 1981. 183 с.

36. Янушаускас А.И. Некоторые задачи аналитической теории уравнений с частными производными. В кн.: Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1982, с. 63-75.

37. Янушаускас А.И. Некоторые задачи в аналитической теории эллиптических уравнений. Дифференц. уравнения и применения. №45 (1990), с. 79-93.

38. Behnke Н, Sommer F. Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen. Berlin-Gottingen-Heidelberg, Springer, 1955. 582 S.

39. Bergman S. Linear operators in the theory of partial differential equations. -Trans. Am. Math. Soc., 53 (1943), p. 130 155.

40. Bers L. An outline of the theory of pseudoanalytic functions. Bull. Am. Math. Soc., 62 (1956), p. 291 -331.

41. Garabedian P. R. Partial Differential Equations with More Than Two Independent Variables in the Complex Domain. J. Math. And Mech., Vol.9, №2(1960), p. 241 -272.

42. Garabedian P. R. Partial differential equations. J. Wiley, New York, 1964.

43. Lewy H. Neuer Beweis des analytischen Charakters der Losungen elliptischer Differentialgleichungen. Math. Ann., 101 (1929), p. 609 - 619.

44. Ebenfelt P., Shapiro H. S. The mixed Cauchy problem for holomorphic partial differential operators. J. Anal. Math. 65 (1995), p. 237 - 295.

45. Ebenfelt P. Holomorphic extension of solutions of elliptic partial differential equations and a complex Huygens' principle. J. London Math. Soc. (2) 55 (1997), №1, p. 87- 104.

46. Yanushauskas A. Integral representations of solutions of some partial differential equations. Liet. Mat. Rink. 37 (1997), №1, p. 38 - 49.

47. Yeh R.Z. Analysis and applications of holomorphic functions in higher dimensions. Trans. Amer. Math. Soc. 345 (1994), №1, p. 151 - 177.

48. Yeh R.Z. Errata to: " Analysis and applications of holomorphic functions in higher dimensions". Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), №3, p. 1081.