Базисы с двойной ортогональностью в задаче Коши для эллиптических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ШЛАПУНОВ Александр Анатольевич

БАЗИСЫ С ДВОЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬЮ В ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

.....

Красноярск, 1995

Работа выполнена и Красноярском государственном университете. Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессор II. Н. ТАРХАНОВ.

Официальные оппоненты —

Ведущая организация —

Институт математики Сибирского Отделения РАИ, г. Новосибирск.

Зашита состоится на заседании диссертационного совета К 064.61.01 при Красноярском государственном университете по

■/¿Г РЯ"

адресу: г. Красноярск, проспект Свободный, 79. ' ■ ^ ' г .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор А. М. ФЕДОТОВ, доктор физико-математических наук С. В. ЗНАМЕНСКИЙ.

Автореферат разослан «,

1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

а

Е. К. Лейнартгс

Актуальность темы. Задача Кош для эллиптических систем дифференциальных уравнений со времен Адамара хорошо вестна как классический пример некорректно поставленной задачи. Однако, вопреки смелой мысли Адамара, она часто встречается в приложениях; Так, задача Коши для оператора Лапласа естественно возникает в вопросах интерпретации денных электроразведки. Цель работы.

1) разработать теоретико-операторные основы ' применения базисов с двойной ортогональностью б некорректных задачах с оператором имеющим плотный образ;

2) с помощью теорем о скачковом поведении интерадов типа Грина исследовать граничные значения решений систем с дифференциальных уравнений с иньекти" чым символом;

3) с помощью базисов с двойной ортогональностью получить более простые условия разрешимости задачи Коши для эллиптических систем дифференциальных уравнений;

4) построить формулу Карлемана для восстановления в области решения эллиптической системы дифференциальных уравнений по его значениям на связном открытом куске границы.

5) рассмотреть в качестве примеров задачи Коши для уравнения Лапласа и системы Коши-Римана.

Методика исследования. В исследовании применяются общие ' методы математического и функционального анализа.

Научная новизна. ВОе -результаты, полученные, в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные

результаты о разрешимости задачи Коши имеют, по-видимому, только теоретическое значение. Тем не менее, построенная формула Карлемана может быть использована для вычисления значений решения эллиптической системы дифференциальных уравнений то его значениям на куске границы.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре °по многомерному комплексному анализу под руководством профессоров Л.А.Айзенберга, А.П.Пкакова и А.К. Цих (Красноярск, 1989 - 1994), на ШХ всесоюзной студенческой научной конференции в Новосибирском государственном университете (Новосибирск, 1991), на семинарах по геометрии в Souola Normale Superiors di Plea под руководством профессора Е. Be закиши (Пиза, Италия, 1993-199$). на конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных (Хольцхау, Германия, 1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [11-17].

Структура и обйем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 75 наименований, и занимает 12^,страниц машинописного терста.

содержание РАБОТЫ.

Во введении диссертации деется грубая формулировка задачи^Кощй,; приводится . краткий обзор работ, касающихся этой задачи, а также краткий обзор основных результатов полученных-в диссертации.

В главе ^разрабатываются теоретико-операторные основы применения оазисов о двойной ортогональность» в задаче

2

продолжения классов функций с "массивных" подмножеств на множество. Наше изложение здесь в основных чертах воспроизводят концепцию Бергмана [9 ], за исключением . того» что мы рассматриваем, вообще говоря,, континуальные системы, функций с двойной ортогональностью.

Граничное поведение решений систем дифференциальных' уравнений с иниктивным символом наиболее изучено в случае системы Коши-Римана. Поэтому, прежде чем исследовать слабые предельные значения общих систем дифференциальных уравнений с ингективным символом в качестве модельного примера в главе 2 рассматривается граничное поведение голоморфных функций нескольких комплексных переменных. В частности, рассматриваются такие прилегающие к задаче Кошй для голоморфных функций вопросы, имеющие, впрочем, и самостоятельный интерес, как скачковое поведение интеграла Бохнера-Мартинелли в граничных точках множества интегрирования и основная лемма Привалова для этого интеграла. Интерес к ним возрос после одного результата Айзенберга и Кытманова [а}, доказавших равновозможность аналитического продолжения СН-функций и гармонического продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли От них. - С другой стороны, опыт обращения с интегралом Бохнера-Мартинелли показывает, что вопрос о его скачке в основном сводится А' вопросу о предельных значениях интеграла Пуассона.

В главе э уточняется задачи Кош, а также изучаются слабые граничные значений решений эллиптических систем дифференциальных уравнений.

Пусть V - (1»к)-матричный дифференциальный ■ оператор' порядка р с вещественно аналитическими .коэф?яциентами на открытом множестве ЛГсОГ. Мы предполагаем, что его ' главный

символ о (Я) является инйективным, т.е. гапк о(Я)(х,С)=к для цсвх 0}. В честности, Р является гипоэллипти-

ческкм оператором.

Наиболее важный класс операторов с ингективным символом - эллиптические, соответствующие случаю 1=к. Модельный пример другого -типа - система Коши-Римана в С, размерности п>1. Мы сосредоточимся в основном на ситуации, когда оператор Р является эллиптическим.

Пусть далее V сХ - некоторая область с границей класса С. более того, при р=1 требуется, чтобы дТч(?. Для некоторых результатов работы потребуется более- высокая гладкость границы, 'но всегда хватает бОеС/53.

Зафиксируем какую-нибудь систему Дирихле порядка (р-1) на во, скажем, (В.) (3=0,р-11), (к« к)-матричных дифференциальных операторов с С"4- коэффициентами в окрестности и границы дТ>. Под словами "система Дирихле порядка (р-1) на 0Г>" понимается, что

1) порядки операторов В. попарно различны и < (р-1);

2) гапк о(В.)(х,у(х))= к (3=0,рИ ). для всех цдТЗ, где вектор единичной внешней нормали к дТ> в точке х.

Обозначим через Яр(Р) класс (вектор-) 'функций удовлетворяющих р/=о в V.

Задача 1. Пусть Я - множество положительной (п-1)-мерной меры Лебега на дТ), а (3=0,р-1) - некоторые

заданные (вектор-) функции на Требуется найти решение

/€5р(0), у которого шракения В^ (3=0,р-1) имеют в

подходящем смысле предельные значения на 5»совпадающие с /..

Чтооы оправдать термин "задача Коши" применительно к задаче 1, отметим, что когда это осмысленно, значения В^ (3=0,р-1) на й определяют все производные / до порядка р-1 на г. вместе с тем, при их задании на нужно заботиться о

. 4

формальных согласованиях, т.е. задача ч разрешима в классе гладких (вектор-) функций.

Для приложений наиболее важны слабые предельные значения Ё^ (3=0,р-1) на д!>. Выделим максимально широкий класс решений /, для которых о таких предельных значениях мокко говорить.

Определение 1. Пространство а(2?) состоит из всех решений /€Зр(1»), для которых выражения зу (3=0,р-1) имей слабые пределы ДсО' [дЮ) на 32? в том смысле, что

11т | <8,В^(х-ел>(х)>г4з= | <?,/}>х<1а да все?. g£[cf (<5Е>)]к.

Понятно,что если /«3р(0)п[с;!"1 то слабчв

граничные значения выражений Л^/ аа б7> существуют а совпадают с сужениями понимаекдаи з обычкем смысле. .

В определении 1 пространств 5у а (Т>) задействована система Дирихле {¿Г) на 67), и кажется, что по набору элементов в (V) существенно зависит от зкОорз этой системы. Тем более неожиданным оказывается фвкт,- что это совсем не так. Будем говорить, что решение /б?р{г>) имеет конечный порядок роста вблизи границы (<91>), если для всякой точки найдутся такие шар В(яГ,Я) и постоянные с>0 и 7>0, что с (Изг(х,д1>)~1 для всех Х€В(др,Я)П1).

Теорема 1. Для того, чтобы решение _/Ч5р(1>) принадлежало „<2?) необходимо и достаточно, чтобы оно имело конечный порядок роста вблизи <90.

Эта теорема для гармонических функций доказана Штраубе [1з]. Для решений эллиптических систем теорему 1 доказвл Ройтберг [12], однако он иначе понимал предельные значения-на границе.

В теории уравнений с частными производными традиционным'

аппаратом ксследовашя краевых задач являются пространства Соболева ^'"(Э) и их различные обобщения. Но априори непонятно даже» должны ли иметь решения /€5р(2>)П^1ч(Р)|к конечный порядок роста вблизи 8Т>, т.е. есть ли у выражений В/ (3=о,р-1) слабые предельные значения на дЬ.

Обозначим через В"'4 (32)) обычные пространства Босога на ВТ), в частности, В*'ч(бР) = у/°'ч(0Э)с если в-нецелое или 4=2 V

Теорема 2. Для решения существуют

слабые преде лыже значения выражений <3=0,р-1) на 60.

При этом /е [и"'4 (2>)1к (1 <ч<») в том и только том случае,

вч.-^ч-ч _

когда Б.^В ' (дТ>) (,1=0,5-1), где ь^-порядок

В главе 4 изучается задача Коши для эллиптических систем.

Теорема £ объясняет, что если рассматривать задачу 1 в классе решений из /€5р(К)П^11 или, более общо, в классе решений Р/-0 конечного порядка роста вблизи границы V, та можно надеяться лишь на обобщенные предельные значения выражений В./ (¿=о,р-1) на ОТ). А поскольку распределения имеют сужения только на открытые подмножества области определения, то естественно наложить на 5 ограничэше, чтобы это был открытый кусок (подобласть) 32). Такую ситуацию можно реализовать следующим образом. Имеется некоторая область О с X, а 5 - гладкая замкнутая'гиперпоЕ рхность в О, разбигаадля эту область на две связные компоненты 0~=73 аил

В \ <5)|к

(вектор-) функции на Б, где и 1<о<«.. требуется найти такое решение /еЗрф)Л [и*1Ч(1?)|к.что ТрГ) на

Сформулируем теперь условие разрешимости, задачи 1' в терминах интеграла Грина оператора V используя "начальные" данные задачи 1», ш построим этот интеграл специальны«

к

образом. Именно, пхсть Ф(г,у) - двустороннеэ фундаментальное решение оператора Р. Далее через Р^ ■' (3=о,р-1) обозначайте^ некоторые продолжения (вектор-) функций /^на всю границу. Ноли, например, в=о, и (вектор-), функции /. является "гладкими" с избытком, т.е. (Л=о,р-1), то их мокно доопределить нулем на агля. Во всяком-случае продолжения могут оыть выораны таким образом, что они чудут сосредоточены в любой наперед заданной окрестности компакта 5 на ВТ). Теперь положим Р=еР. и

С(Р)(т) = / Р|4<С,в(х,.)р?,> бз (х^ЭР)

Ясно, что потенциал £(Р) удовлетворяет Я5(Р>=0 на

каждом из открытых множеств 2? и ЛЛ0 и имеет конечный порядок

+

роста вблизи поверхности дТ). В частности, если С (Р) "-сужения 5(Р) на СГ, то д{?Г&р(СГ).

Теорема 4. Если граница области V достаточно гладкая, то для разрешимости задачи 1' необходимо и достаточно,чтобы интеграл £(Р)+ продолжался с О* на всю область О до решения из 5я(0)П^'ч(0)]к.

Предположим дополнительно, что q=г. В этом' случае условие теоремы 4 можно переформулировать в терминах специальных базисов, обладающих так называемым свойством "двойной ортогональности". Более точно, пусть 0 будет некоторая относительно компактная подобласть О*. Нам потребуется система (вектор-) функций (Ьг)> (у=1,г,...) в

5р(0) Л 5Я(0)П

№3,2(0) „а.г(0)

к,которая была бы ортонормированным базисом в к й ортогональным базисом в Для построения такой системы рассмотрим гильбертовы пространства й1 = ^с,г(0^к и й2=|и3,г(П^к. Прежде всего заметим,что,в силу теоремы Стилтиеса-Витзли, подпространства

Е^рСОЛ^3,2«?)]1^ и 2?35р(П)п[у»312(П)]ксЯг замкнуты. А

?

значит с с индуцированными эрмитовыми структура.,:-' они сами являются гильбертовыми пространствами.

Далее, пусть - оператор суг.аык (вектор-)

функций, так что это непрерывное линейное отображение гильбертовых пространств, а П - оператор ортогонального проектирования-на 2t в И,. Тогда если Т*:Н2~>Н^ -сопряженное отображению Г в смысле теории гильбертовых пространств, то оператор ПТ'Т действует из Н° в .

. Леша 1. Сужение отображения ПГ*Т но Ъл является самосопряженным ограниченным линеСным оператором из 21 в себя, спектр которого лежит на отрезке 10;1].

Лемма 2. Если граница области О cCf регулярная, а дополнение ù не имеет компактных связных компонент в О, то оператор Г:21—: 1) имеет плотный образ; 2)является взаимнооднозначным! и 3)компактным.

Здесь под словами "регулярная граница" понимается следующее. Если 2р, то■"регулярная" означает "любая". Если г:е а<2р, то требуется, чтобы дополнение П в каадой граничной точке было достаточно массивным в смысле -емкости

.относительно оператора Р.

Теперь мы можем сформулировать основной результат о

существовании нужного-базиса.

Теорема 5. Если П с о+ открытое множество с регулярной границей, дополнение которой не и..эет компактных связных компонент в О,то в пространстве 5р(0)п[ио'г(0)^ можно найти ортонормированный Оазис Сt>v> (v=i,2,...)t сужение которого на » является ортогональным базисом в Sp(n)nJws,2(n)Jk.

Отметим,что система {t>v) совпадает с системой собственных векторов оператора ПТ*3':21—»-S, ( ср. [9], [ю]).

Далее, для элемента УеЕ, обозначим через су(?) его &эффшдаенты Фурье , относительно системы (t>v) (v=i,2,...),

г.е. ^С.А для элемента 7&г обозначь через

йуСП его коэффициенты Фурье относительно системы {ГЬ^}. г.е. ку{7У-(7,ТЬу)н/\ТЬу\н .Тогда основное свойство базисов

з дзсйгай ортогональностью заключается в том, что для каздого элемента УеЕ, кмеее?^ су(7)=й1)(2!?) (г>=1,2,...).

Перейдем к формулировке условий разрешимости задачи 1 *. 3 помощью непосредственных вычислений получается

й„<е<л) = $ У <СЙ1)(Ф(..У)).Р]>у <зэ (у=1,г,...).

(30

Теорема 6. Если граница области V достаточно гладкая, го для разрешимости задачи 1• необходимо и достаточно,чтобы 1)^1 Гйу(е?(Р))|г < ««• Использование базисов с двойной ортогональностью ке только дает информация об условиях разрешимости задата Кош, по к приводит к обозримым формулам рзгуляфизации (формулам Карлемана).

Введем в рассмотрение следующие ядра определешше

для (х,у)еО»л (г/у);

СS(N)(x,y) = Ф(х.у) - Д öv(i)®Äj,(0(.,y)) (N=1,2,...).

Нетрудно увидеть, что каков-бц ни был номер N=1,2,..., ядро ®<M)€(f(СМЯЛП)) удовлетворяет P(r)ß(M,=0 для хф и Р< (у)аШ)=о для уеЛЛП всюду за исключением диагонали (s=y).

Слэдущая теорема для гармонических функцкй была золучена в [2].

Теорема 7. Для всякого решения /€Sp(Z))n|^W*'2(D)Jlc имеет место формула

fix) ш - Um S "f <С.®(М) (*,.),Р,> Оз

N«o dJp ¿о >

где предел достигается в топологии jw"'z(Z>)Jk, и, следовательно в

Заметим также, что последовательность ядер Cf(N), подхо-9

а

дящим (например; кусочно-постоянным) образом доопределенная для всех вещественных значений N>0, обеспечивает функцию Карлемана задачи 1' (см. Лаврентьев (Щ).

В заключение главы 4 указывается одно множество устойчивости згдачи Коши.

Наконец в главе 5 рассматриваются примеры в .задач-з Коши для уравнения Лапласа и для системы Коши-Римана.

Пример 1. Пусть Р= 'А - оператор Лапласа в С?1. Тогда если !) является той частью шара Вк с центром в нуле радиуса Р., отсекаемой гладкой замкнутой не проходящей через нуль гипер- поверхностью Б в.Вя, которая не содержит центра шара, то базис с двойной ортогональностью можно выписать явно. В садиом деле, пусть {Л^11} -множество однородных гармонических

лжогочленов, ' которые образуют полнур ортонормированную систему в 1? (дВ^), где у-степень однородности, а 1-йомер многочлена, входящего в оазис. (1=1,...,((п+2У-г)(п+у-з)!)/

Г/СЕЕТ 1

/(V! (п-2)!)) .Тогда система -I/ ^п+гу ^Ч является орто-

. нормированным базисом в прстранстве гармонических 8 шаре Вк функций класса 12(Ва) и ортогональным базисом в пространстве гармонических в любом другом шаре В с центром в нуле функций Класса 1г(В).

Основные результаты диссертации состоят в следущем

1) разработаны теоретико-операторные основы применения базисов с двойной ортогональностью в некорректных задачах с оператором имеющим плотный образ;

2) получена теорема о скачке интеграла Бохнера-Мартинелли с непрерывной плотностью в граничных точках множества интегрирования;

,3) в терминах интеграла Грика доказывается критерий разрешимости задачи Коши: для эллиптических систем 10 '

даффэренциальнах уравнений; \) получена эквивалентная формулировка критортш разрешимости задачи Коши для эллиптических систем дафференодальннх уравнений на языке объемных базисов с двойной ортогональностью; |) построена формула Кврлемана для восстановления в области решения эллиптической системы дифференциальных уравнений во эго значениям ка сгязном открытом куске границы;

) с помощью систомы однородных гармонических многочленов з Ш" указаны в • явном виде условия разрешимости: и «Бермуды регуляризации решений задач Коши для уравнения Лапласа а систем простейшего вида; ) иг-примере сиотемы'Коши-Риманв в пространстве С" (п>1) проиллюстрированы особенности задачи • Коши для переопределенных систем дифференциальных уравнений.

Литература.

1. Айзенберг Л.А., Карепов О.В.» Шлапунов A.A.

О свойстве единственности и существования предела формулах Карлеиана. - Труды МИРАН. -1994. - Т.203.

2. Шлапунов A.A. О задаче Коши для уравнения Лапласа / Сиб. Мат. журн. - 1992. - Т.ЗЭ.*Э. - С.205-215.

3. Шлапунов A.A. Критерий разрешимости задачи Коши да уравнения Лапласа' / Материалы XXIX всесоюзно студенческой научной конференции. - Новосибирск Изд-во НГУ, 1991. - С.63-67.

4. Шлапунов A.A., Тарханов H.H. К задаче Коши дл голоморфах функций класса Лебега Ь2, в области //Сиб. мат. журн. - 1992. - Т35» *5.

з. Шлапунов A.A.,Тарханов H.H. (Shlapunov A..Tarkhanov N. Bases with,. tJjie, . double orthogonality In the Cauoh problem pyetems with injeotive symbol. // Tfc Proceedtng8:1Qf¡ Jh^ London Math. Soo. - 199£". T,">/.

6. TapxaHqB H.;H,.r, Шлапунов A.A. Базисы с двойне ортогональностью в задаче Коши для систем с индактивнъ символом // Докл. Росс. АН. - 1992. Т.326, *1, 0.45-4S

7.. Шлапунов А.А.,Тарханов H.H. (Shlapunov A.,Tarkhanov N. A stability set in the Cauohy problem for elliptj вувterns // The Proceedings of the oonierence "Partis differential equations", Holzhau, 1994.

о. Айзенберг Л.А.,Кытманов A.M. О возможности голоморфно:

9 продолжения в область функций, заданных на связнс куске.ре границы// Мат. сб.-1991 - t.i82,Jé4 -с.490-501

9. Бергман С. (Bergman S.). The kernel îunotion ai oonformal mapping: Seüöhd (revised) edition.- AM£

la

1970. - (Mathematical Surveys, ,v).

10. Красичков И.Ф.Системы функций со свойством двойной ортогональности//Мат; заметки.-1968.Т.4,■Х6-г-С.551 -556.

11. Лаврентьев М.М. О задаче Копш для уравнения Лапласа // Изв. All СССР. Сер. мат.-1956. - т.20. - £.819-842.

12. Ройтбарг Я.А. О значениях на границе области обобщенных решений эллиптических уравнений // Мат. сб. - 1971.-Т.86(128), J52. - С.248-267.

13. Штраубе Е. (Straube E.J). Harmonio and analytic functions admitting a distribution boundary value // Ann. So. norm, cuper. Piea ol. soi. - 1904-V.11, Щ.P.559-591