Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

факультет Вычислительной математики и кибернетики

Вафодорова Гулпари Одинаевна

ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕКЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи

Москва

2004 г.

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. Н. Зарубин

кандидат физико-математических наук, доцент Н. И. Ионкин

Ведущая организация Российский Университет Дружбы Народов

Защита состоится_в_часов на заседании

Диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские Горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМ и К МГУ.

Автореферат разослан_2004 г.

Ученый секретарь

Научный руководитель

академик РАН Е. И. Моисеев

диссертационного совет к.ф.-м.н., доцент

В.М. Говоров

2Ш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начало исследованию задач без начальных условий для параболического уравнения принадлежит А. Н. Тихонову [2], который указал метод исследования задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности и дал ее первое строгое решение. В его известной работе [3] была исследована единственность решения задачи без начальных условий (задачи Фурье) для уравнения теплопроводности

Задачей без начальных условий для отдельных параболических уравнений и систем занимались О. А. Олейник, Е. В. Радке-вич, С. Д. Ивасишен, А.Е. Шишков, К. В. Валиков, Н.М. Бокало, И. И. Шмулев, Е.И. Моисеев, А. И. Янушаускас, С. Д. Эйдельман, А. С. Калашников, Н. П. Куликов.

Тем не менее, задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений не изучались.

В настоящей диссертации изучаются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений, задачи без начальных условий для неклассического уравнения вида

где Ь — гиперболический оператор (аналог задачи Гурса).

ди »д2 и

яГ = а 512. г>°. -00 <¿<+00,

«и+о =

щ ~ Ьи,

Цель работы — дальнейшее развитие метода А. Н. Тихонова исследования задач без начальных условий применительно к более широким классам уравнений, например, для вырождающихся параболических уравнений, аналог задачи Гурса для уравнения, когда в правой части стоит гиперболический оператор, а в левой — первая производная по времени.

Сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения таких задач.

Основные результаты. 1. Для вырождающегося параболического уравнения

доказано существование и единственность решения задачи без начальных условий и\х=а = /(£), где /(¿) — периодическая функция. 2. Для уравнения теплопроводности

при t 6 (—оо,+оо) в полуплоскости х > 0 исследован вопрос о единственности решения краевой задачи без начальных условий первого рода в классе растущих функций

для — положительные

постоянные. Приведен пример, показывающий, что при 5 = 0 уже отсутствует единственность решения. Аналогичные результаты получены для краевой задачи второго рода.

3. В области х + у > 0, х — у < О, —оо <t < +оо для уравнения

с гиперболическим оператором второго порядка рассмотрен аналог задачи Гурса

где /(х, д(х, — периодические функции по При определенных условиях доказано существование и единственность решения такой задачи.

4. Построено интегральное представление решений аналога задачи Гурса для уравнения

удовлетворяющих условию

Причем / и д — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по (.

Научная новизна работы. В диссертации впервые для вырождающегося параболического уравнения изучена разрешимость первой краевой задачи без начальных условий в классе периодических функций. Изучен впервые аналог задачи Гурса для неклассического уравнения в классе периодических функций и в классе целых функций экспоненциального типа.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований новых классов уравнений в научных исследованиях, проводимых в Московском государственном университете, Российском университете дружбы народов, Орловском государственном педагогическом университете.

Полученные результаты можно использовать при моделировании природных процессов, связанных с вечной мерзлотой.

Методы исследования. Основным методом исследования является представление решения в виде ряда Фурье, либо в виде интеграла Фурье. При этом используется теория специальных функций, теории целых функций экспоненциального типа, методы функционального анализа.

Апробация работы. Работа неоднократно докладывалась на семинаре кафедры общей математики факультета ВМ и К МГУ под руководством академика РАН Моисеева Е.И. и доктора физико-математических наук, профессора Ломова И. С.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в журнале "Дифференциальные уравнения". Все результаты научно обоснованы и являются новыми.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации 68 страниц. Библиография включает 63 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена исследованию задачи без начальных условий для некоторых параболических уарвнений.

1. Постановка задачи и результаты

В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений. Рассмотрим задачу

хкихх = а2щ, -оо<к<2, х>0, ££(-оо,+оо) (1)

при граничных условиях

где

Ограниченное решение будем искать в классе периодических функций в виде

и(х,г)= ^ще'т*, (3)

причем функция непрерывна при и

непрерывно дифференцируема по £ и дважды по х при х > О, 4 € (-оо,+оо).

Решение в этом случае имеет вид

X у5. Л«*'» • ■ £ • X'-')), (4)

где Н^1(х), — функции Ханкеля.

Теорема 1 Пусть /; = 0 при > И, тогда решение задачи (1), (2) существует, единственно и представляется в виде (4), где суммирование идет от —N до N.

Теорема 2 Краевая задача (1), (2) в классе периодических функций по t и ограниченных на +оо имеет и притом единственное решение, причем от функции /(£) требуется периодичность и удовлетворение условию Гельдера.

Замечание 1 Если искать решение в классе убывающих при х -4 оо функций и периодических по t, то решение существует и единственно при условии, что т. е.

Замечание 2 Если искать решение в классе растущих не быстрее некоторой степени х при х —> оо, то решений линейно независимых существует два.

Во втором параграфе главы исследовано одномерное уравнение теплопроводности

при £ 6 (—00, +оо) в полуплоскости х > 0. Поэтому начальные условия не задаются, а задаются лишь граничные условия: либо первого рода

либо второго рода

Ранее [2], для такой задачи с первым краевым условием была доказана единственность решения в классе ограниченных функций

\и(х,г)\<м.

В этом параграфе доказана единственность решения в классе функций, растущих следующим образом:

Им)1 < + + для х>о, ге(-оо,+оо), (5)

где А, В, 8 — положительные постоянные.

Приводится пример, что в случае 8 = 0 может и не быть. Для второй краевой задачи единственность решения доказана в классе функций

\и(х,^\<А{х2 + Щ)1-1 + В для х>0, ¿е(-оо,+оо), (б)

где А, В, — положительные постоянные.

Формулируется аналог теоремы Лиувилля для регулярных решений уравнения теплопроводности на всей плоскости.

ГЛАВА 2

В первом параграфе главы два рассматривается задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций.

1. Постановка задачи и результаты

В области я + 2/>0, х — у <0, —оо < t < +00, требуется определить регулярное решение уравнения

_

иХх Ууу —

со следующими краевыми условиями:

(7)

(8)

где Д(х) и дк{х) — заданные непрерывные функции

Решение будем искать в классе периодических функций по I

При помощи метода последовательных приближений и с применением функций Бесселя, получим следующую формулу, дающую

и

решение задачи (7), (8):

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3 Пусть {¡¡(х), дк{х) дважды непрерывно дифференцируемы по х, {к = 0,дк = 0 при |&| > Ы, Д(0) = дк(0) = 0.

Тогда формула (10) дает единственное регулярное решение задачи (7), (8).

Теорема 4 Пусть Д, дк дваждынепрерывнодифференцируемы по х, Д(0) = 9кф) = 0, далее, пусть сходятся ряды

Е ^ «р{|*|И <оо, £ ехр{>|И 1*1>1 1*1>1

Е Р® ехр{|*|И <оо, £ ехр

< 00,

< 00,

(И)

для любого L > 0, где

0<г<Ь

Тогда существует единственное классическое решение задачи (7), (8).

Замечание 3 Если указанные в теореме 4 ряды (4) сходятся для конкретного Ь > 0, то решение существует при 0 < х + у < Ь, О < х - у < Ь, -оо < £ < +оо.

Рассмотрим следующую задачу

щу = а2щ, х > 0, у>0, Ье (-оо, +оо) (12)

при заданных граничных условиях

где }{у,Ъ) и 5(х,<) — периодические функции по ? и /(0, £) = д(0,4) с периодом 2Т. Тогда имеем

Решение будем искать в виде

(14)

в классе периодических функций. Далее, и непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема при

Решение задачи (12), (13) можно представить в следующем виде:

u(x,y,t) =

= £ | f Ja - tsignfc)y/|%(x-s)^ &(a) ds+

k=—oo У

+ j J0 (V2a( 1 - г sign A) • j\k\ ■ x ■ (y - s) ■ fk(S) ds 1. (15)

о J

Теорема 5 Пусть

\k\<N JT

при > N,

T

g{x,t)= f g{x,t)e-ik^dt = 0

|*|<ЛГ _r

при > N, f(y,t), g(x,t) непрерывно дифференцируемые функции no x, у /(0,i) = <?(0,i) = 0. Тогда (15) дает единственное регулярное решение задачи (12), (13).

(17)

Во втором параграфе главы 2 исследована задача иху = а?щ, х>0, у>0, te(-oo,+oo) при заданных граничных условиях

4° ,У,*)=9(УА

где

/(о,«) = а(О,0 = О.

Предположим, что функции / и д — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по /,д Е оо,+оо) по аргументу £ и непрерывно дифференцируемые по х, у. Тогда функции / и д можно представить в виде [1]

А

/м =

-А

А

9М = I еЛтО{у,т)*т.

-А

Будем искать решение в классе целых функций экспоненциального типа конечного порядка по причем и(х, у, ¿) € ^(-оо, +оо) по

А

и{х,у,1) = I е*Ч{х,у,т)<1т. (18)

Для решения задачи (16), (17) получено интегральное представление с использованием функции Бесселя

u(x,y,t) = А х

= /I e'tTJ° ~1 sign Fi (s>т)ds dr+

-A 0 А у

+ J J eltTJ0 (y2a(l - i sign г) G^s, r) ds dr. (19)

-A 0

Поскольку F(x, т) и G(j/,r) финитные функции по г, то F\ = = dF/dx и Gi = dG/dy также финитны по т.

Достаточно потребовать, чтобы f(x, i) и д(у, t) были функциями экспоненциального типа. Справедлива

Теорема б Пусть f(x,t) и g[y,t) — целые функции экспоненциального типа по t конечного порядка, непрерывно дифференцируемые по х и у, для которых существуют следующие интегралы

по вещественной оси:

+00 +00

J |/M|2rfi<00, J \g(y>t)\2dt< ОС, -00 -00 Vx, у > 0 и существует такая постоянная А, что

f(x,t) = 0(eA% g(y,t) = 0(eA% Чх,у> 0.

Тогда интегральная формула (19) дает единственное регулярное решение задачи (16), (17) в классе целых функций экспоненциального типа по t.

ЛИТЕРАТУРА

1. Винер Р., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.—М.: Мир, 1964.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики —М.: Наука, 1977—736 с.

3. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения тепло-проводности.—Матем. сборник, 1935, 42, № 2, с. 199-216.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Моисеев Е. И., Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для некоторых дифференциальных уравнений.— Дифференц. уравнения, 2002, Т. 38, № 8, с. 1091-1094.

2) Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для одного неклассического уравнения.—Дифференц. уравнения, 2003, Т. 39, № 2, с. 278-280.

3) Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.—Дифференц. уравнения, 2000, Т. 36, № 12, с. 1710-1711.

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лщензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 08.10.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 1030. Тел. 939-3890,939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова. 2-й учебный корпус, 627 к.

22343

РНБ Русский фонд ;

2005-4 !

21594 1

V................

Введение .3

Глава 1.

Задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений .15

1.1. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений .16

1.2. О единственности решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий .22

Глава 2.

Аналог задачи ГУрса для некоторых дифференциальных уравнений .39

2.1. Задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций .40

2.2. Аналоги задачи ГУрса для уравнения иху = а2щ в классе целых функций экспоненциального типа 55

Основные результаты . 60

Начало исследованию задач без начальных условий для параболического уравнения принадлежит А.Н. Тихонову [52], который указал метод исследования задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности и дал её первое строгое решение.

В его известной работе [53] была исследована единственность решения задачи без начальных условий (задачи Фурье) для уравнения теплопроводности ди од2и dt ~ дэв*1 Х > 0° <г < +00> wL=+o =

Задачей без начальных условий для отдельных параболических уравнений и систем занимались О. А. Олейник, Е.В. Радке-вич, С. Д. Ивасишен, А. Е. Шишков, К. В. Валиков, Н.М. Бокало, И. И. Шмулев, Е. И. Моисеев, А. И. Янушаускас, С. Д. Эйдельман, А. С. Калашников, Н. П. Куликов.

Тем не менее, задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений не изучались.

В настоящей диссертации изучаются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений, задачи без начальных условий для неклассического уравнения вида щ = Lit, где L — гиперболический оператор (аналог задачи Гурса).

Первая глава посвящена исследованию задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений.

1. Постановка задачи и результаты. В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений. Рассмотрим задачу хкихх = а2щ, -ос < к < 2, х > 0, t € (—00, +00) (1) при граничных условиях

0 = /(*)> (2) где т оо 2Г m = £ л***, = me-^dt. i=~ 00

Ограниченное решение будем искать в классе периодических функций в виде оо u(x,t) = ^ (3)

I——оо причем функция u(x,t) непрерывно при х > 0, t Е (—оо,+оо) и непрерывно дифференцируема по t и дважды по х при х > 0, t € (—00,+00).

Решение в этом случае имеет вид u(x,t) =

JfL • , (4) где — функции Ханкеля.

Теорема 1 Пусть // = 0 при |/| > iV, тогда решение задачи (1), (2) существует, единственно и представляется в виде (4), где суммирование идет от —N до N.

Теорема 2 Краевая задача (1), (2) в классе периодических функ-• ций по t и ограниченных на +оо имеет и притом единственное решение, причем от функции f(t) требуется периодичность и удовлетворение условию Гельдера.

Замечание 1 Бели искать решение в классе убывающих при х —У оо функций и периодических по то решение существует и единственно при условии, что /о = 0, т. е. т

J f(t) dt = 0.

-г

Замечание 2 Если искать решение в классе растущих не быстрее некоторой степени х при х оо, то решений линейно независимых существует два. m

Во втором параграфе главы исследовано одномерное уравнение теплопроводности щ = а?ихх при t € (—00, +00) в полуплоскости х > 0. Поэтому начальные условия не задаются, а задаются лишь граничные условия: либо первого рода w^-o = /(*)> либо второго рода их\х0 = f(t). Ранее [52], для такой задачи с первым краевым условием была доказана единственность решения в классе ограниченных функций \u(x,t)\ < Л4. В этом параграфе доказана единственность решения в классе функций, растущих следующим образом: u{x,t)\<A{x2 + \t\)i~s + B, (5) для х > 0, t G (—00,+00), где А, В, S — положительные постоянные.

Приводится пример, что в случае S = 0 может и не быть. Для второй краевой задачи единственность решения доказана в классе функций u{x,t)\<A{x2 + \t\)l~* + B (6) для х > 0, t G (—оо, +оо), где А, J3, <5 — положительные постоянные.

Формулируется аналог теоремы Лиувилля для регулярных решений уравнения теплопроводности на всей плоскости.

В первом параграфе главы 2 рассматривается задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций. 2.1. Постановка задачи и результаты. В области

X + у > О,

X - у < О, —оо < t < +00, требуется определить регулярное решение уравнения

Uxx - Uyy = (7) а со следующими краевыми условиями: оо и\х+у=о = Е к=—оо оо к к=—оо

8) где fk{%) и дк{х) — заданные непрерывные функции 0) = 9к( 0) = 0. Решение будем искать в классе периодических функций по t

00 s,y,t)= Y1 (д) к=—оо

При помопщ метода последовательных приближений и с применением функций Бесселя, получим следующую формулу, дающую решение задачи (7), (8): оо u{x,y,t) = ]Г х к=—оо

X { fk(x + 2/) + 9к(х — у) + yh (2Ф^-^'^-УЖХ + У)-*)) х / V У Д(т) <*г + г^ф-£.(* + *)((*-у)-г))

X / v (10)

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3 Пусть Д(ж), дважды непрерывно дифференцируемы по я, Д = 0, = 0 при > iV,

Д(0) = Pfc(0) = 0.

Тогда формула (10) дает единственное регулярное решение задачи (7), (8).

Теорема 4 Пусть Д, д^ дважды непрерывно дифференцируемы по х, fk(0) = ^jt(O) = 0, далее, пусть сходятся ряды

Ff>exp{W*+£}<oo, l*l>i exp {|fc|^}<oo, (п) l*l>i l*l>i l*l>i для любого L > 0, где

Gt4 = max |й(т)|,

0<г<2/

F^ = max |Д(г)|,

0<r<i el? -™g.|el(r)|.

Тогда существует единственное классическое решение задачи (7), (8).

Замечание 3 Если указанные в теореме 4 ряды (11) сходятся для конкретного L > 0, то решение существует при

0 <x + y<L, 0 < х — у < L, —оо <t < +оо.

Рассмотрим следующую задачу uxy = a2ut, х > 0, у > 0, t G (—оо,-|-оо) (12) при заданных граничных условиях где f(y,t) и g(x,t) — периодические функции по t и f(0,t)=g(0,t) с периодом 2Т. Тогда имеем

00 к it j f(y,t) = £ к=—оо +оо g{x,t) = £ 3i(i)e'T', к=—оо u*Uo =/*ы>

Л(0) = л(0)=0.

Решение будем искать в виде оо u(x,y,t) = £ ще^* (14) к=—оо в классе периодических функций. Далее, it непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема при у > 0, ж > 0, — оо < t < +оо.

Решение задачи (12), (13) можно представить в следующем виде: оо u(x,y,t) = Y, Х оо X х

J J0 ^\/2а(1 - г sign к) фк\ ■ у • (х - а) ■ ^ gk(s) ds+ о J Jo - г sign к) • фк\ • x ■ (у - s) - ^ fk(s) ds I . (15) о J

Теорема 5 Пусть k\<N T при \к\ > N, т

9{x,t) = Y1 дк(х)еФ* & f dt = О лг т при > N, f{y->t)-> 9{x>t) непрерывно дифференцируемые функции по х, у, и f(0,t)=g(0,t)=0.

Тогда (15) дает единственное регулярное решение задачи (12), (13).

Во втором параграфе главы 2 исследовала задача иху = а2щ, х > 0, у > 0, t G (-оо,+оо) (16) при заданных граничных условиях u(a:,0,t) = f(x,t),

17) u(0,y,t) =g(y,t), где/(0,*)=$(0,*)=0.

Предположим, что функции / и д — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по t, f,g е L2(-oo,+oo) по аргументу t и непрерывно дифференцируемые по ж, у. Тогда функции / и д можно представить в виде [11] А

M-f+Fbr)*,

-А А

9(У, t) = f eitTG(y, т) dr.

-А

Будем искать решение в классе целых функций экспоненциального типа конечного порядка по t, причем u(x,y,t) е L2(-oo,+oo) по t: А u(x,y,t) = J е**тй(х,у,т) dr. (18)

Для решения задачи (16), (17) получено интегральное представление с использованием функции Бесселя u(x,y,t) =

А х J j eitT Jo (\/2a(l - isignr)y/\r\y{x - s)) Fi(s,r) dsdr +

A 0 А у / /e'<TJ° ~ г&Щпт)у/\т\х(у - s)) Gi(s,r) dsdr. (19)

-A 0

Поскольку F(x,t) и G(y,r) финитные функции по г, то

Fi = — дх и

G dG 1 ду также финитны по т.

Достаточно потребовать, чтобы f(x,t) и g(y,t) были функциями экспоненциального типа. Справедлива

Теорема 6 Пусть f(x,t) и g(у, t) — целые функции экспоненциального типа по t конечного порядка, непрерывно дифференцируемые по х и у, для которых существуют следующие интегралы по вещественной оси: оо +оо

J \f(x,t)\2dt<CO, J |0(y,*)|2<ft<OO, оо —оо

Vx, у > О и существует такая постоянная А, что f(x,t)=0(eA* I), g(y,t) = 0(eAl% Vs.yX).

Тогда интегральная формула (19) дает единственное регуляр ное решение задачи (16), (17) в классе целых функций экспонен циалъного типа по t.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для вырождающегося параболического уравнения

Хкихх = а2щ, оо < к < 2, х > 0, —оо < t < +оо, доказано существование и единственность решения задачи без начальных условий

U> = /(0. где f(t) — периодическая функция.

2. Для уравнения теплопроводности 2 щ = а ихх при t G (—oo,+оо), в полупроскости х > 0 исследован вопрос о единственности решения краевой задачи без начальных условий первого рода и\х=о = /« в классе растущих функций u(x,t)\ < A(x2 + \t\)i~s + B, для х > 0, t 6 (—оо, +оо), где А, В, 8 — положительные постоянные. Приведен пример, показывающий, что при <5 = 0 уже отсутствует единственность решения. Аналогичные результаты получены для краевой задачи второго рода.

3. В области х + у > 0, х — у < 0, —оо < t < +оо для уравнения 1 U хх Иуу — n^t а1 с гиперболическим оператором второго порядка рассмотрен аналог задачи Гурса ulx+j,=o = /ОМ), Чх-у=о = 9(x,t), где f(x,t), g{x,t) — периодические функции по t. При определенных условиях доказано существование и единственность решения такой задачи.

4. Построено интегральное представление решений аналога задачи Гурса для уравнения иху = а2Щ, х > 0, у > 0, -оо < t < +оо, удовлетворяющих условию u{x,0,t) = f(x,t), <u(0, ?/, t) = g(y, t), где f(0,t) = g(0,t)=0.

Причем / и g — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по t.

1. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра—М.: Наука, 1965—294 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены.—М.: Наука, 1968.—295 с.

3. Берс JI., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.—М.: Мир, 1966.

4. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1984.

5. Борок В.М., Житомирский Я.И. Об одном методе исследования единственности решения краевых задач в бесконечных цилиндрических областях.—Успехи матем. наук, 1975, вып. 6, с. 159-160.

6. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды.—М.: Наука, 1965.

7. Быков Я. В., Горшков А. И. О периодических решениях краевой задачи нелинейного уравнения параболического типа.—Труды Краснодарского политехнического института.—Краснодар, 1970, с. 137-151.

8. Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.—Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, № 12, с. 2075-2076.

9. Вафодорова Г.О. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.—Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, № 12, с. 1710-1711.

10. Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для одного неклассического уравнения.—Дифференц. уравнения, 2003, т. 39, № 2, с. 278-280.

11. Винер Р., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.—М.: Мир, 1964.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1988.—512 с.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений.—М.: Наука, 1971.—1108 с.

14. Демидович В., Исаак М. Основы вычислительной математики/Под ред. Б.П. Демидовича. Изд. 2-ое.—М.: Физмат-гиз, 1963.

15. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.—М.: Физматгиз, 1961.

16. Дубинский Ю.А. Краевые задачи для эллиптико-параболиче-ских уравнений.—Известия АН Армянск. ССР, 1969, сер. ма-тематич., 4, № 3, с. 192-214.

17. Евграфов М.А. Аналитические функции.—М.: Наука, 1991.

18. Ивасишен С.Д. О корректной разрешимости некоторых параболических граничных задач без начальных условий.— Дифференц. уравнения, 1978, т. XIV, № 2, с. 361-363.

19. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений.—Успехи матем. наук, 1960, т. XV, вып. 2, с. 97-154.

20. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1.—М.: Наука, 1982.

21. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 2—М.: Наука, 1998.

22. Калашников А. С. Задача без начальных условий в классе растущих функций для некоторых линейных вырождающихся параболических систем второго порядка.—Вестник Московского Университета, 1971, № 2, с. 42-48; № 3, с. 3-9.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Наука, 1976.

24. Колмогоров А.Н.У Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1976.

25. Кондратьев В.А., Эйделъман С. Д. О свойствах решений эволюционных систем с эллиптической пространственной частью.—Матем. сборник, 1970, 81, вып. 3, с. 398-429.

26. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции.—М.: ИЛ, 1963.—466 с.

27. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1, 2.—М.: Высшая школа, 1988.

28. Куликов Н.П. О внутренних оценках решений краевых задач без начальных условий для уравнения Аи = |jr+ qu+F.—Изв. вузов, математика, 1960, № 6, с. 140-149.

29. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1, 2.—М.: Гостехиздат, 1951.

30. Курант Р. Уравнения с частными производными.—М.: Мир, 1965.—830 с.

31. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1—М.: Наука, 1967.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1973.

33. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.—М.: Изд-во СОАН, 1962.

34. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.: Наука, 1973.

35. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.—М.: Наука, 1967.

36. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1, 2.— М.: Наука, 1967-1968.

37. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.—М.: Наука, 1976.

38. Михлин С. Г. Курс математической физики.—М.: Наука, 1968.

39. Моисеев Е. И., Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для некоторых дифференциальных уравнений.— Дифференц. уравнения, 2002, т. 38, № 8, с. 1091-1094.

40. Moiseev E.I., Prudnikov А.P. On the Basic Property of Systems of Sines and Cosines in the Sobolev Space // Bull, of the Polish Ac. of Sci. Math., 1996, v. 44, p. 401-408.

41. Олейник О.Л., Иосифъян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений.—Успехи матем. наук, 1976, т. 31, выпуск 6, с. 142-166.

42. Олейник О.А. О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченныхобластях.—Успехи матем. наук, 1975, т. 30, выпуск 2, с. 219220.

43. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.—М.: Физматгиз, 1970.

44. Положий Г. Н. Уравнения математической физики.—М.: Высшая школа, 1964.

45. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.: Наука, 1974.

46. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1984.

47. Сидоров Ю.В., Федорюк М. В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1976.

48. Смирное В.И. Курс высшей математики. Т. 2; Т. 3-4.— М.: Наука, 1967; 1974.

49. Снеддон И. Преобразования Фурье.—М.: ИЛ, 1955.—607 с.

50. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1959.

51. Титчмарш Е. Теория функций.—М.: Наука, 1980.

52. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики—М.: Наука, 1977.—736 с.

53. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности.—Матем. сборник, 1935, 42, № 2, с. 199-216.

54. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения.—М.: ИЛ, 1960.

55. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2, 3.—М.: Физматгиз, 1962-1963.

56. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.—М.: Мир, 1968.

57. Харди Г. Сходящиеся ряды.—М.: ИЛ, 1949.

58. Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными.—М.: Мир, 1965.

59. Шабат В.В. Введение в комплексный анализ.—М.: Наука, 1985.—207 с.

60. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.—М.: Наука, 1965.

61. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики.—М.: Наука, 2001.

62. Элъсголъц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.—М.: Наука, 1965.

63. Лнушаускас А.И. Некоторые математические модели явлений промерзания грунтов. Проблемы горного производства восточной Сибири.—Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991, с. 87-96.