О граничных значениях решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 Локальные априорные оценки решений уравнений смешанного типа и близкие вопросы разрешимости первой смешанной задачи для параболического уравнения второг о порядка с меняющимся направлением времени.

ГЛАВА 2 О поведении решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени вблизи границы прямоугольной области.

Исследование поведения решений дифференциальных уравнений в 1астных производных и краевых задач для таких уравнений в окрестности раницы рассматриваемой области является одним из важнейших и давно изучаемых разделов качественной теории. В настоящей диссертации усматривается круг вопросов, связанных с изучением граничных значений эешений параболических уравнений второго порядка.

В этой области одной из первых является классическая работа П.Фату [1]. В ней, в частности, доказано, что аналитическая и ограниченная в единичном фуге функция имеет почти всюду на границе некасательные предельные значения. Этот результат получил дальнейшее развитие в работах ^.Островского [2], Р.Неванлинна [3]-[5], Ф.Рисса [6]-[7], И.ИЛривалова [8], Ж.Литглвуда и Р Лэли [9], Н.Н.Лузина [10], Ж.Марцинкевича и А.3игмунда [11], Ж.Коте [13], В.С.Владимирова [14] и других.

Наиболее близкими к рассматриваемому в диссертации кругу вопросов являются теоремы Ф.Рисса и Ж.Литглвуда и Р.Пэли, выявляющие критерии существования предельных значений в Lp, аналитических в единичном круге функций.

В работе В.П.Михайлова [28]установлены неоходимостъ и достаточность условий Рисса и Литтлвуда-Пэли для существования предела в Ь2 на границе области для решения общего неоднородного эллиптического уравнения второго порядка с правой частью, принадлежащей определенному пространству, в произвольной ограниченной области, граница которой принадлежит классу С2.Обобщение результатов В.П.Михайлова на случай Lp, р>1, получено в работах А.К.Гущина, В.П.Михайлова [81]-[82] и И.М.Петрушко [103]-[104].

Изучение поведения решений однородных параболических уравнений в юлупространстве (и в полосе) вблизи характеристической плоскости, связанное с получением интегральных представлений таких решений, и доказательство утверждений типа теоремы Фату проводены в работах Ц.Уиддера [35]-[36], Ф.Геринга [37], В.А.Кондратьева и С.Д.Эйдельмана [39]-40], Р.Джонсона [41]-[42], Ж.Шабровского [43], В.И.Горбачук и У1.Л.Горбачука [20]-[22].

В последнее время возрос интерес к изучению уравнений, тип которых изменяется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии али поверхности, а также при достижении граничных точек. В первую очередь sc ним относятся линейные уравнения смешанного типа. Исследования этих уравнений начались с работ Ф.Трикоми [48], С.Геллерстедта [49]-[50], С.А.Чаплыгина [46]. Важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике были изучены Франклем, что послужило отправной точкой для широкого спектра исследований в упомянутой области.

В развитии теории краевых задач для таких уравнений особую роль сыграли работы М.А.Лаврентьева, А.В.Бицадзе, М.В.Келдыша,

A.В.Овсянникова, И.Н.Векуа, С АЧагтыгана, В.П.Ильина, Е.И.Моисеева,

B.Н.Монахова, САТерсенова, Т.И.Зеленяка, АП.Солдатова, Т.Ш.Кальменова, И.М.Петрушко, Н.В.Кислова, М.М.Смирнова, В.П.Диденко и их научных школ. В.Н.Врагов, Г.Д.Каратопраюшев, А.Г.Кузьмин, Д.М.Расьянс, Н.А.Ларькин, А.Й.Кожанов, Б АБубнов, С.Г.Пятков, И.Е.Егоров, А.Г.Подгаев, Хе Кан Чер и другие внесли большой вклад в разработку общей теории краевых задач уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа.

Простейшим линейным уравнением с меняющимся направлением времени является g{x)ut+Lu~f, где g(x) = agnx и L - эллиптический оператор второго порядка. При условии хфО мы получаем уравнение параболического типа, для которого задача Кошн при t - О становится некорректной. Эти задачи с меняющимся направлением времени в гельдеровских классах функций изучал С.А.Терсенов [118]-[119]. Основным методом исследования являлась теория сингулярных уравнений, позволяющая рассматривать задачи при общих линейных условиях склеивания. Для краевой задачи строго параболических уравнений были исследованы линейные комбинации решений на нижнем и верхнем основаниях цилиндра. Была также поставлена и исследована задача для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени Lu - ut sgnx в р пространстве Hp, i для области, содержащей прямую х=0. Для р>2 обычная гладкость начальных данных не обеспечивает принадлежность решения р пространству Н 1. Для области Q = (\х\ < оо )х(0, Т) и Lw - и^ задача сводится к сингулярному уравнению Карлемана. С.А.Терсенов рассматривал конкретный случай, позволяющий написать решение в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непрерывными, включая первую производную.

В нелинейном случае в уравнениях с неявным изменением эволюции имеются еще более разнообразные возможности, и сама постановка задачи Зависит от входных данных. В модельном уравнении типа Хопфа uut - и^ — О смена направления параболичности происходит в точке изменения знака эешения n(x,t). Разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения в случае тачальных данных, имеющих разные знаки при t-0 и t^T, была показана Э.Б.Бочаровым. В работах В.Н.Монахова исследована проблема существования развитого пограничного слоя с возвратным течением в рамках модели Прандтля, а также изучена структура этого течения за точкой отрыва щля уравнения sgn и ut- и^ = f(x, t).

В статьях Н.Н.Яненко, В.А.Новикова, Т.И.Зеленяка [85]-[86] показано, что нелинейные уравнения переменного типа могут быть использованы для построения строгой модели автоколебательных и турбулентных течений. Этим же уравнениям посвящены работы В.СБелоносова, П.Й.Плотникова,

A.ИПодгаева, С.Г.Пяткова, Х.Х.Ахмерова, М.М.Лаврентьева (мл.),

B.Н.Гребнева и других. Более подробную библиографию и ряд результатов можно найти в книге Н.А.Ларькина, В.А.Новикова, Н.Н.Яненко [97].

Дальнейшим развитием этой теории явились исследования, связанные с операторно-дифференциальными уравнениями вида

Bu{n) + Lu = f{t), (0.1) где / е [о, г] и L, В - самосопряженные операторы, определенные в гильбертовом пространстве Я. Обычная задача Коши или задача, близкая к ней, для уравнений типа Соболева часто корректна. Ситуация меняется, если уравнение не является уравнением типа Соболева и если спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси.

В работах Н.В.Кислова [87]-[89] исследована обобщенная разрешимость краевых задач для уравнений (0.1) в случае и-1,2. В частности им изучались неоднородные граничные задачи для дифференциально-операторных б сравнений и была сформулирована и доказана проекционная теорема, шляющаяся обобщением известной теоремы Лакса-Мильграма для случая эилинейного функционала, неограниченного в пространстве, порождаемом соответствующим квадратичным функционалом. Н.В.Кисловым также зведены понятия сильного и слабого решений неоднородной краевой задачи, дозволяющие описывать пространства решений краевых задач для уравнения

Auw(t) + Bu(t) = f(t), где /<е (0,Т),АшВ суть симметричные операторы в гильбертовом пространстве Н, причем В - положительный оператор, а Л ~ знаконеопределенный операторный коэффициент, наличие которого позволяет рассматривать не только уравнения фиксированного типа, но также и уравнения смешанного типа, в частности, уравнения Жевре, уравнения Чаплыгина, уравнения Лаврентьева-Бицадзе, Для того же уравнения было показано, что сильные решения неоднородных краевых задач обладают гладкостью, достаточной для существования следов решений в соответствующих пространствах.

С.Г.Пятков [109]-[114] исследовал аналогичные задачи для операторно-дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка с помощью ряда свойств собственных функций соответствующей спектральной задачи. Им были развиты результаты Н.В.Кислова об обобщенной разрешимости поставленных краевых задач и рассмотрены вопросы гладкости решений.

С.В. Попов [107] рассматривал классы корректности краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени, а также общие условия склеивания для них, включая условия со сдвигом, и нашел зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций жлеивания. Исследовался вопрос о гладкосш решений в случае, когда порядок п является произвольным натуральным числом. Кроме того, при определенных условиях уравнение (0.1) эквивалентно нестабильному уравнению. В связи с этим для нестабильного уравнения (0.1) были «сследованы граничные условия по времени, обеспечивающие корректность задачи.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена исследованию поведения решении уравнений с меняющимся направлением времени вблизи границы прямоугольной области. Установлены необходимые и достаточные условия существования пределов решения уравнения на ту часть границы, на которой в первой смешанной задаче задаются начальные и граничные значения. При этом показано, что удовлетворяющее этим условиям решение имеет предел и на оставшиеся части границы.

Кроме того рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости смешанных задач для этих уравнений.

Научная новизна и практическая ценность. Для решений параболических уравнений 2-го порядка с меняющимся направлением времени в прямоугольных областях впервые получены необходимые и достаточные условия существования предельных значений в пространствах типа Ьг на боковую поверхность прямоугольника и на его нижнее и вернее основание. Впервые исследован вопрос об однозначном восстановлении решения по его граничным и начальным значениям.

Основными областями применения полученных результатов являются краевые задачи для уравнений смешанного типа и краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени. К последнему классу относятся кинетические уравнения, описывающие такие процессы, как диффузионные и винеровские. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач качественной теории уравнений смешанного типа.

Содержание работы.

1. Ostrowski A. Uber die Bedentung der Jensenschen Formel fore ainige Frngen der Komplexen Funktionentheorie, A. S., 1,80-87 (1922/23).

2. Nevanlinna R. Uber einer Klasse von meromorphen Funktionen, Math. Ann. 92,1924.

3. Riesz F. Uber die Randwerte einer analytischen Funktionen, Math. Zs., 18, 87-95 (1923).

4. Luzin N.N. Sur une propriete des functions a carre sommable. Bull. Calcutta Math. Soc., 20,139-154,1930.

5. Marcinkiewicz J, Zygmund A. Theorem of Lusin, Duke Math. J. 4, 473-485 (1938).

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 1,2, M.: Мир, 1965.

7. Kothe G. Die Randwerte einer analytischen Funktionen, Math. Z., 57, 13-33, (1952).

8. Владимиров B.C. О построении оболочек голоморфности для областей специального вида и их применения. Труды МИАН, 60,101 114,1961.

9. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, М.: Мир, 1973.

10. Мазья В.Г. О вырождающейся задаче с косой производной, Матем. Сб., т.87,417-454, 1972.

11. Seleey R Syngular integrals and boundary value problems, Amer. J. Math., 88, №4,781-809 (1966).

12. Seleey R. Topic in pseudo-differential operators. Pseudo-Differential Operators (C.I.M.E.Stresa, 1968), Edizioni Cremonese, Rome, 1969, p. 167305.

13. Горбачук В.Й., Горбачук М.Л. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений. Матем. Сб., 102, № 1, 124-150, 1977.

14. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений, Киев, Наукова Думка, 1984.

15. Привалов И.И. Интеграл Cauchy, Саратов, 1919.

16. Келдыш MB. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, УМН, 8, 171-231,1941.

17. Cimmino G. Nuovo tipo di condizione al contomo e nuovo metodo di trattzione per illproblema generalizatto di dirichlet, Rend. Circ. Mat. Palermo, 61,177-221,1938.

18. Hechac U. О решениях эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченным интегралом Дирихле. Чехословацкий матем. журн., 10, с. 283-298,1960.

19. Михайлов В.П. О поведении вблизи границы решений эллиптических уравнений, ДАН СССР, 226, №6, 1264-1266,1976.

20. Михайлов В.П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей, Матем. сб., 101, №2, 163-186, 1976.

21. Ройтберг Я.А. О существовании предельных значений обобщенных решений эллиптических уравнений на границе области, Сибирский матем. журн., 20, №2, 386-396,1979.

22. Гущин А.К., Михайлов В.П. О граничных значнениях в Lp, р> 1, решений эллиптических уравнений, Матем. сб., 108, №1,3-21,1979.

23. Михайлов Ю.А. О граничных значениях в Lp, р>\, решений линейногоэллиптического уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения., Т. 19, N 2, с. 318-337,1983.

24. Widder D. Positive temperatures on an infinite rod, Trans. Amer. Math. Soc., 55, 85-95, 1944.

25. Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразование типа свертки, М.: ИЛ, 1958.

26. Gehring F. On solutions of the equation of heat conduction, Michigan J., 5, № 2, 191-202,1958.

27. Кондратьев B.A., Эйдельман С.Д. О некоторых свойствах положительных решений гипоэллиптических уравнений. ДАН СССР, 184, № 5,1027-1030, 1969.

28. Chobrowski J. Representation theorems for parabolic systems, J. Austral Math. Soc., A32, Jfe 2, 246-288,1982.

29. Watson N.A. Uniqueness and Representation Theorems for the inhomogeneous Heat Equation, J. Of Math. Anal. And Appl., 67, № 2, 513-524, 1979.

30. Watson N.A. Solution of parabolic equation with initial values exactly in L. J. Math. Anal. And Appl., 89, № 1,1982.

31. Чаплыгин С.А. О газовых струях, Диссертация, М., 1902.

32. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. Гостехиздат, 1947.

33. Tricomi F. Ancora sull'equazione yzxs+z№~0 Rend. Acc. Lincei, Ser. VI, 6, 1927.

34. Gellerstedt S. Sur un probleme aux Iimites pour 1'equation y"zxx + z№=o,ArkivMat, Ast, Och. Fysik, 25A, № 10,1935.

35. Gellerstedt S. Sur un probleme aux Iimites pour uoe equation lineare aux derivees partielle du second ordre de type mixte, These, Uppsala, 1935.

36. Бицадзе A. B. Уравнения смешанного типа, Йзд-во АН СССР, 1959.

37. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области, ДАН СССР, 77, № 2, 181-183, 1951.

38. Вишик М.И., О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, ДАН СССР, 93, № 1,9-12, 1953.

39. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, Матем. сб., 35, Хе 3,513-568,1954,

40. Михлин С.Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям, ДАН СССР, 91, № 4, 723726, 1953.

41. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения., Вестник Ленинградского У, 3, № 8,19-48, 1954.

42. Олейник О.А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области. ДАН СССР, 87, № 6, 885-888,1952.

43. Кудрявцев Л.Д, О решении вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, ДАН СССР, 108, № 1, 16-19,1956.

44. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методам эллиптических уравнений, Труды МИАЫ, 1-181,1959.

45. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., Наука, 1981.

46. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптичческого типа с вырождением на границу. Труды МНАН, 150, 212-238,1979.

47. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Изд. 2-е, М., Наука, 1977.

48. Терсенов С.А. Об одном уравнении эллиптического типа, вырождающегося на границе области, ДАН СССР, 115, № 4, 670-673, 1957.

49. Терсенов С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области, Сибирск. матем. журн., 6, № 5,11201143,1965.

50. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск. НГУ, 1973.

51. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосиб. Гос. У. 1983.

52. Вашарин А. А. Граничные свойства функций класса и их приложения к решению одной краевой задачи математической физики.- Изв. АН СССР, сер. матем., 23, К® 3,468-471, 1959.

53. Вашарин А.А., Лизоркин НИ. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с сильным вырождением на границе, ДАН СССР, 137, № 5,1015-1018,1961.

54. Никольский С.М., Лизоркин П.И. Коэруктивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод, Труды МИАН, 157, 90118, 1981.

55. Фнкера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка, Сб. Математика, 7, № 6, 99120, 1963.

56. Олейник О. А. Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Математический анализ, 1969.

57. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М., Наука, 1966.

58. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными. Матем. сб., 90, № 4, 592-606, 1973.

59. Врагов В.Н. Аналитичность решения задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения, Дифф. уравн., 10, № 1, 3640,1974.

60. Терсенов С. А. Об аналитичности решений одного класса дифференциальных уравнений, вырождающихся на границе, ДАН СССР, 228, №6, 1294-1297,1976.

61. Абашеева Н.Л. Неклассические операторно-дифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи. 01.01.02дифференциальные уравнения. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Новосибирск. 2000.

62. Азизов Т. Я., Йохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

63. Кислов Н.В. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области Докл. АН СССР, 1980. т.255, N.1. - с.26-30.

64. Кислов Н.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа Дифференц. Уравнения, 1983, т. 19, N.8. -с.1427 -1436.

65. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа и их приложения Математический сборник 1984. - т. 125, в.1. - с.19-37.

66. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка Дифференц. Уравнения. 1980. Т. 16, №1. С.86-92

67. Кожанов А.Й, Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка Мат. Сб.1980. Т.118, №4. С.504-522.

68. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений рада уравнений переменного типа Матем. модел., 1990. т,2, N.9. - с. 145-153.

69. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. -736с.

70. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравненияпеременного типа. Новосибирск: Наука, 1983. - 170с. ?8. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их