Об одном методе построения асимптотических разложений решений дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

лсультет вычислительной математики и кибернетики

р Л

На правах рукописи УДК 517.9

Кремлева Ирина Владимировна

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02. - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 19 9 3

Работа выполнена в Московском Государственном Университете им М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор фнзихо-иатшаткчесхжх наук

профессор

СТЕРНИН Борис Юрьевич Официальные оппоненты - доктор фазнко-иатешткчесххх наук

профессор

ХАПАБВ Михаил Михайлович кандждат фнзико-матемлтнчесхжх наук

КРЮКОВСКИЙ Андрей Сергеевич

Ведущая организация - Институт прикладной математики им. М.В.

Келдыша. у/ / / л г)

Защита состоится 199$/Г. в ¿¿.^насов на заседа-

нии специализированного совета К.053.05.87 в Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й гуманитарный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "

Ученый секретарь

Специализированного совета / с

кандидат физико-математических наук у]/, В.М .Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность 1-емы. Асимптотическая теория играет исключительно важную роль при решении широкого круга математических, физических и инженерно-физических задач, поскольку класс задач, допускающих решение в явной виде, довольно узок.

Для анализа волновых полей наиболее распространенным является метод геометрической оптики. Это простой и наглядный метод, имеющий свои аналоги для описания явлений различной физической природы, в настоящее время является одним из основных рабочих инструментов среди специалистов по асимптотическим методам.

Однако классический метод геометрической оптики не применим в случае экспоненциально малых рассеянных полей, хотя задачи отыскания асимптотик таких полей встречаются в различных областях физики и имеют важное значение. Такова, например, задача исследования тонкой структуры спектра оператора Шредингера и задача о просачивании через потенциальный барьер в квантовой механике, изучение решений задач дифракции в зоне глубокой тени и многие другие задачи.

Цель работы состоит в разработке метода построения асимптотик решений волновых уравнений, учитывающего как осцилляцию, так и экспоненциальное убывание (так называемых экспоненциальных асимптотик).

Методика исследования. Методологической основой данной работы является метод канонического оператора Маслова,1 теория дифференциальных уравнений на комплексно-аналитических многообразиях, развитая в работах Стернина и Шаталова,3 и возникшая в последнее время теория ресургентных функций Экаля.3

1 Маслов В.П. Асимптотические методы н теория возмущенжй. М.: Наука, 1988.

2 Стерхжч Б.Ю., Шаталов В. Б. Дифференциальные ураваення на хомплежсно-шалнтичесжих многообразиях и каваннчесхяй оператор Маслова. УМН, 1988,т. 44, N I, с. 117-148

3 Ecaile J. Lee fonctions resurgente (3 tomes). Paris: Publ. Math. Univereite Paria-Sud, 10Й1

Научная новизна работы. В диссертации

1. Разработан иетод получения экспоненциальных асимптотик на уровне главного (доминантного) члена.

2. Построены функциональные пространства, в которых данная асимптотика является корректной.

3. Продемонстрирован иетод на примере задачи о прохождении электромагнитных волн через ионосферный слой.

Благодарности. Я признательна профессорам Стернину Б.Ю. и Шаталову В.Б. за постановку задачи н помощь при написании работы.

Публикации. Основные результаты работы отражены в 2 статьях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 58 страниц, в том числе 16 рисунков н список литературы из 61 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении показана история задачи и проведан анализ возникающих при ее решении проблем.

Хорошо известен метод ВКБ построения асимптотических решений к-дифференциальных уравнений, ¿-дифференциальными уравнениями называются уравнения вида

Н(х,-^к)и(х,к) = 0, (1)

где Н(х,-х-^,к) -дифференциальный оператор, зависящий от большого параметра к, для которого полный символ Н(х,р,к) представим в виде

т

Я(*,р,*) = (2)

3=0

Функции Н>(х,р,&) являются однородными функциями по совокупности переменных (р,к) степени

Метод ВКБ заключается в том, что асимптотика ¿-дифференциального уравнения (1) ищется в виде разложений

«(:r,fc)~e<k5<->f;ib-V,(s). (3)

,=о

Однако нужно учитывать, что, во-первых, классический метод ВКБ применим лишь для вещественных значений функции действия S(x) и параметра к и, во-вторых, этот метод дает степенную асимптотику по параметру, то есть невязка между решением и асимптотикой оценивается отрицательной степенью параметра к:

№

u{x,k) = eifc5(*> k-'vjix) + 0(k~íf~1). (4)

j=o

При этом функция S (действие) удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, а функции <Pj(x) (амплитуды) - уравнениям переноса.

Однако известно, что в некоторых областях пространства (называемых i теории дифракции зонами глубокой тени), решение уравнения (1) экспо-тенциально убывает при к —► оо и, следовательно, асимптотика (3) в тагах областях является тривиальной. С другой стороны, известно также, ito решение в таких областях существует и отлично от нуля. Следовательно, возникает задача построения таких асимптотик, которые могли 5ы учитывать решение в зонах глубокой тени. Такими асимптотиками югли бы явиться экспоненциальные асимптотики, то есть асимптотиче-:кие разложения решении уравнения (1) с точностью до членов порядка ?(е~ск) для любой константы с. Первая попытка построения такого pola асимптотик была предпринята еще в 19,63 г. В.П.Масловым.4 Будем троить такие асимптотики также в виде разложений (3), но уже с ком-шекснозначшй функцией S(x). При этом, естественно, будем учитывать •олько те значения S(x), для которых Im S(x) > 0.

* Маслов В. П. Квазнклассхческое приближение для обратной задачи. ДАН СССР, 963, т.152, N 2, с. 30&-310.

в

Таким образом, мы будем строить асимптотические решения уравнения (1) следующего вида

Если коэффициенты дифференциального оператора допускают аналитическое продолжение до целых функций переменных х и к, то и функции 5(х) и<р^(х) можно искать как комплексно-аналитические (многозначные) функции, так что функции £/({е), входящие в разложение (5), можно считать различными значениями многозначной функции Б(х). Можно показать также, что ветвление эти функции имеют в фокальных точках.

Однако при таком подходе возникают следующие проблемы.

1. Бели 1т 5} (г) < 1т (х) (при этом компонента в формуле (5), соответствующая (г) называется доминантной, а соответствующая 52(х) -рецессивной), то смысл второй компоненты в формуле (5) не ясен до того момента, пока не учтены все слагаемые первой, поскольку все слагаемые первой компоненты старше по экспоненциальному типу всех слагаемых второй.

2. Даже если мы хотим учесть лишь доминантные компоненты, необходимо учитывать рецессивные компоненты в асимптотике входных данных, поскольку может произойти "смена лидерства" - компоненты, доминантные в некоторой точке х, при изменении х могут стать рецессивными и наоборот.

3. Коэффициенты разложения (5) меняются скачком в точках "смены лидерства" для тех компонент разложения, для которых функции 1т 5; (х) совпадают друг с другом. Подобный эффект имеет место для "смены лидерства" не только между доминантными и рецессивными компонентами, во и между любыми другими. Этот эффект носит название явления Стокса.

4. Не все значения многозначной функции &(х) участвуют в асимптотическом разложении (5) и необходимо иметь какие-либо критерии отбора.

оо

оо

(5)

т

Описанные выше трудности можно решить, если к построению асимптотик подойти с точки зрения теории ресургснтных функций.

Основной идеей теории ресургентных функций является переход в двойственное комплексное пространство с помощью некоторого интегрального преобразования (преобразования Бореля) со переменной к; соответственная двойственная переменная обозначается через При таком перехода

каждое слагаемое к~'ч№{х) асимптотического разложения (5)

з=о

отвечает особой точке ш/ = 5/(г) преобразованной функции и(х,£). Таким образом, исследование эволюции особенностей решения двойственной задачи позволяет определить вид асимптотического решения исходной задачи в каждый момент времени.

Таковы основные идеи предлагаемого подхода. Перейдем к более подробному изложению результатов работы.

В первой главе рассматривается построение экспоненциальных асимптотик решения задачи Коти следующего вида

{

^ + и = 0.

(в)

«1«=о = "о-

Здесь

¿-дифференциальный оператор порядка ш, коэффициенты которого о;а(з) продолжаются до целых функций комплексной переменной х и «о = «о(в, к) — ресургентная функция с простыми особенностями, то есть особенности преобразованной функции лежащие в точках £ = имеют вид

1 [ У>о(аО

2я» [£ —

сз-1

где ф{х,$ = £ 1рт»<рЛх)-

В рамках развиваемого подхода строятся формальные асимптотики решений (асимптотики по правым частям).

В данной работе строятся формальные асимптотики, учитывающие лишь доминантные слагаемые.

Для того, чтобы такие асимптотики были корректными ( некорректность обуславливается возможной "сменой лидерства", о которой говорилось выше), необходимо ввести соответствующие функциональные пространства. Такими пространствами в работе являются пространства Яг ( пространство функций, являющихся асимптотиками двойственной относительно преобразования Бореля задачи) и йг( пространство функций, являющихся асимптотиками исходной задачи (6)).

Во втором параграфе первой главы сформулирована и доказана основная теорема о представлении экспоненциальной асимптотики исходной задачи (6) в виде параметрического интеграла.

И, наконец, в третьем параграфе первой главы доказывается предложение о классическом виде экспоненциальной асимптотики - в виде формального ряда. Именно на этом этапе исследования возможно отбросить рецессивные компоненты асимптотики.

Вторая глава диссертационной работы посвящена расмотрению модельной задачи о прохождении электромагнитных волн через ионосферный слой. С точки зрения теории дифракции, ионосферный слой и область за ним является зоной глубокой тени, в которой обычная асимптотика является тривиальной. С другой стороны, эксперимент показывает, что внутри ионосферного слоя поле является не нулевым и волны распространяются дальше за ионосферный слой (так называемый эффект просачивания).

Уравнение, описывающее скалярный потенциал электромагнитного поля, принадлежит классу ¿-дифференциальных уравнений. Простейшим случаем является двумерная задача о падении плоской волны на параболический ионосферный слой.

Г Д« + *3п3(х,г)и = О,

\ « = е<М*»*+«о*> + V(X) г) (1?о + <& = 1).

о

Здесь ро~ хосинус угла а наклона падающего луча к горизонту, г-высота над поверхностью Земля, ¿-волновое число (большой параметр), а показатель преломления п3(г) выбран следующем образом

n\z) =

fl> 1 + 23

при \z\ > 1, при \z\ < 1.

С помощью подстановки

u{x,z) = eikT°U(z)

v(x,z) = eikpoV(z) задачу можно свести к одномерной

&U

dzа

+ k2[n\z)-<pl)V = 0.

(7)

При а < т/4 и, следовательно, |ро| > л/2/2 траектория, входящая в ионосферный слой, изгибайте* в нем и выходит ниже. В этом случае имеет место аналог "туннельного эффекта" в квантовой механике : волна "просачивается" сквозь ионосферный слой и в зоне глубокой тени поле является не нулевым (см. рисунок).

Будем рассматривать зону внутри ионосферного слоя, то есть при \г\ < 1, поскольку именно там асимптотики, получающиеся с помощью метода ВКБ являются тривиальными.

Ответ на вопрос о впде асимптотического решения внутри ионосферного слоя получен путем исследования ресургентной структуры решения двойственной задачи, то есть исследования поведения решения двойственной задачи в окрестности особых точек. Исследование ресургентной структуры также позволяет сформулировать критерии отбора компонент Sjt входящих в разложение. Поскольку различным компонентам асимптотического разложения (5) соответствуют различные особенности решения двойственной задачи, то путем исследования эволюции особенностей при изменении х, можно получить ответ на вопрос о том, какая компонента разложения (5) будет доминантной в каждый момент времени.

О использованием этой техники определены коэффициенты отражения и прохождения в главном:

*охр. = -1, (8)

■^ярошед. — б » (9)

где 5о = Jpdx- фазовый интеграл по замкнутому циклу лагранжева многообразия, отвечающего построенному асимптотическому решению, который в данном случае равен \/2(2ро -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Предложен метод построения экспоненциальных асимптотик по большому параметру для решений дифференциальных уравнений, учитывающий только доминантные члены.

Это позволяет исследовать решение в зонах, где поле является экспоненциально малым.

2. Метод продемонстрирован на решении модельной задачи о падении электромагнитных волн на ионосферные слои. В явном виде получены коэффициент прохождения и коэффициент отражения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Кремлева И.В. Об одной методе построения асимптотических раз-пожений решения. Доклады АН, 1993. Т. 328, N 3. С. 289-291.

2. Кремлева И.В., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. О мультипликативных степенных асимтотиках решений волновых уравнений. Дифференц. уравнения, 1993. Т.29, N 11. С. 1984-1996.