Равномерные асимптотические разложения для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с точками перехода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

та*

9 1 ' 9*1

САНКТ-ПЕтерБУРГСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ У.1ИВЕРСИТЪТ

РАВНОМЕРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШИИ ОБЫШОВЕННЫХ ШЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТОЧКАШ ПЕРЕХОДА

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соиска.чие ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.9

ЯКУШНА Ирина Николаевна

Санкт-Петербург

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор В.С.Булдырев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

И.А.Молотков

кандидат физико-математических наук С.Ю.Славянов

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение .Математического института им.В.А.Стеклова

Заадта состоится Уп, - ле&афлуж г. в ¿£

часов

на заседании специализированного совета К 063.57.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургским государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛГУ. Автореферат разослан "¿¿Г 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Н.Манида

ги. ■.>:,..[ °

I ^^ ХАРАКТЕРИСТИКА Р-ВСТЫ

Актуальность Многие важные за~ачи в теоретической

к математической физике1 сводятся к анализу обыкновенных гиф-ферек. дельных уравнений, со^еркаких большой параметр. При этом ссобкй интерес вызывает построение асимитотичиск. х разложений «ля ресиний в областях, со«ер«сааих точки пзре-хо"« -нгМеренпиального ур-внаник*'. Задачи с изолированными точками перехога рассматривались в работ.-1: Р.лангерз, Т.Чорри, З.Олвера, М.З.Фепэрюка, г«е были разработана у.е'; г.сстрсе-ния асимптотических разложений приведены тОкозятельстьа того, что рассматриваете уравнения иь-зю? истигаке реиоки.г., асимптотики которых совпадают с й.ормальными асимптотическими рядами. Задача:,', с точками поворота ^ля уравнений /¡.-го порядка , 'со"ср»"адямн малый параметр при стар-лих произво били посвященн работа В.Вазова, Н.Смбуйк, й.Б.Зсоркжа, А.Ленга (обзор соотвотствутаеЯ литературы можно найти у В .Базоса [1]).

Задачи с близкими точками перехода представляют интерес в связи с многочислень-уми физическими прилоткенплу.: в квантовой механике, теории распространения волн. Онсй из нервах работ, посв.чи;етпос зй"аче с близкими точками поворота, бша работа В.Л.Фока. 3 этел работе найден главный член асимптотического разложения реыгния, который выражался через функции параболического цилиндра. В работе В.С.БуЛ"ырева и С.Ю.Славянова [2] было рассмотрено Уравнение второго порядка с "вумя близкими точками поворота и с полюсом и точкой поворота. При ото:,5 значок эталонной функции та ¡.же строился в ви«е ря«а, наплежащий выбор коэффициентов которого позволил построить не только главное приближение, но и все по»} „

По-» точками перехода "Кфферонцизльного уравнения второго порядка понимаются как нули коофф.итшента уравнения, про-поркионального больному параметру (точки поворота), так и полюса этого коэффициента.

следупцие. Вопрос о гладкости построенных асимптотических решений и об областях их применимости не изучался. Асимптотике решений дифференциального уравнения с двумя точками поворота посвящена и работа Ф. Олвсра [3], п которой выписан только главный член разложения,, но приведено его строгое оправдание.

Несмотря на большое число работ по асимптотическим разложениям ре .ений дифференциальных уравнений, вопрос обоснования равномерных асимптотических разложений при двух точках перехода и определения областей применимости асимптотических разложений в комплексных плоскостях аргумента и параметра дифференциального уравнения практически не рассматривались. Именно этот круг вопросов в основном й изучается в диссертации.

Нельд работы является строгое обоснование равномерных асимптотических разложений решений уравнений второго порядка с двумя точками поворота и с полюсом и точкой поворота, а также построение и оправдание асимптотических разложений решений уравнения п,-го порядка, являющегося обобщением рассмотренного нами уравнения второго порядка с двумя точками поворота. Цель работы состояла также в установлении областей применимости подученных асимптотических разложений в комплексных плоскостях аргумента и параметра, входящего в дифференциальное уравнение.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научше результаты.

- Доказаны •: зоремы о голоморфности замены переменных при построении равномерных асимптотических разложений для решений рассматриваемых уравнений. Голоморфность замены переменных доказана по совокупности аргумента и параметра, характеризующего расстояние меаду точками поворота.

- Построены формальные асимптотические разложения для линейно-независимых решений линейного дифференциального уравнения порядка »V с двумя точками поворота.

- Получены асимптотические разложения функция параболического цилиндра на комплексной плоскости аргумента, являю-

шиеся обобщением известных разложений на случай комплексного значка.

- Получены по виз асимптотические разложения функции Уиттекера \л/кю (к- г) при /г- -* оо на комплексно-/! плоски ^и аргумента при комплексных значениях параметра

¿с, . Рассмотренные функции Уиттекера отличаятся от стандартных положением разреза, выходящего из точки Я -О

- Доказано, что формальные асимптотические разложения во всех рассмотренных случаях являются равномерными асимптотическими разложениями б смысле Пуанкаре. В каждом случае дана оценка остаточного члена.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены при решении задач квантовой механики и задач распространения радиоволн в ионосфере, звуковых волн в океане и других задачах тег е-тпческой я математической физики.

Технические приемы, использованные в работе, могут быть применены для построения высших приближений и исследования их гладкости в других задачах, связанных с построением асимптотических разложений линейных дифференциалыиас уравнений с точками перехода.

Методика исследования. Для достижения постазленн,тх в работе нолей использовались метода теории функций комплексной переменной и асимптотические методы математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались на семинарах отдела вычислительной и математической физики НЖ-Санкт-Петербургского отделения государственного университета, и семинарах Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова, и международной школе "Приложения математики в технике" {Варна, 1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем диссертации^ Диссертация состоит из введения, трех глаь, разбитых на пятнадцать параграфов с автономной нумерацией формул внутри каждой главы. Общий

обтем диссертации - I48 машинописных страниц. Список литературы содержит 7? наименований.

СОДЕР!КАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Зо введении кчложены основные отапы возникновения и развития теории асимптотически.-: разложений для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащий большой параметр, в областях с точками перехода. Описаны некоторые физические приложения этих задач. Там же дана постановка задач, рассматриваемых в диссертации и сформулированы основные полученные в ней результаты. Завершает введение описание структуры диссертации.

Глава I содержит 4 параграфа и посвящена исследованию уравнения второго порядка с двумя точками поворота. Коэффициенты уравнении предполагаются голоморфными функциями в некоторой области комплексной плоскости. При отом комплексными могут бьтгь и параметр, входящий в уравнение, и точки поворота . Необходимость в асимптотических формулах при комплексных точках поворота возникает в некоторых физических приложениях .

В § I приведены полученные в [2] формулы для формальных асимптотических решений уравнения

при р > О , р оО , равномерные относительно расстояния между точками поворота SC-_¡ ! А-) и ОС. . - корнями уравнения д,(х) + Л. =0 . При этом предполагается, что при любом Л- из некоторой ограниченной области Сг , содержащей точку Л- - О , уравнение = 0 имеет в об-, ласти

плоскости ОС- только два корня 0Сл сливающиеся при Л> -* О в точке х - О .

Здесь же доказывается теорема о голоморфности замены переменной Я 2 (д», А,) > сводящей уравнение (I) к урав-

нению пид.'

Г) _ уП

в области - ■ ,

Доказательство основывается на теореме Хартагса л проводится различным образом в следующих случаях:

I. Фиксировано /Ъ б- С , Я. £ О , сс изменяется и окрестности I) X = X. (X) 2) ОС = 2)Х.', х. ос., , ;

П. Фиксировано , Х- изменяется в окрестности

I) х = О 2) X,', эг'^О ;

¡1!. уакслроиано ГС <~ » 52 -А С' ; изменяется в окрестности I) Л. - О 2) Л--- ;

1У. Фиксировано X - О , А' изменяется и окрестности I) - О 2) лА Л-'г.-с .

В V 2 гынодится следуг.и»я оценка для функции :

| Г" I ОПЛ"»'-

I - -г I 2] и области .

Зта оценка имеет моченое значен;;;: при исследован;;:: ядра интегрального урариэния, с помощью которого н $ 4 проводится обоснование асимптотических разложении рсиюткШ дифференциального уравнения.

3 § 3 выводятся асимптотические разложения функций параболического цилиндра I

при р -> оо , для комплекс!п.и 9: и при комплексном ~ , в том числе принадлежащих окрестности точки £" = 0 . Разложения имеют различный вид в разних обяастчх, ограниченных линиями Стокса (кривыми, выходящими из точек = \Гг( ~ Xчг и удовлетворяющими уравнению $ (1^/чъ-с/Л.)~0

I « д, х> , и выражаются через различные ветви многозначной функции ^(г)-^ 1±1-НгУ/1,с^Ь - ^ ¿¿г).

Для (?) ргпрезы проводятся по линиям Станса, шкодящим из точки % ■= под углом

и из точки г = под углом ату ( % *л^г) = - * т ;

- в -

яетгь фиксируется условием

%.( 1 v (os-Cjt - ~£).

Для рг-резы проводятся из точки -- /г под

углом ¿wg CZ- 2 \1?} = + и из точки ;; = -.2 •/? под

углом û.j-% / а- ( -osqjr+y* ""ветвь фиксируется условием

('У

В § 4 доказана основная теорема данной гловы. Теорема 1.2.

Дифференциальное уравнение (1> имеет в области решенил Y^ ( 2, X-, р) J = -гХ> » обладающие следующим асимптотическим поведением при р

где опенки Uj ( Р J равномерны по

гшачения коэффициента C-j Р ] различны г разных подобластях области р .

В главе П рчссматривается уравнение

WU)

при больших значениях параметра А^ > О , Л- С- (? - область комплексной плоскости, О £ G- , ж &■£),£)- область, содержащая вещественную положительную полуось.

3 § I приводятся формальные асимптотические разложения для решений, полученные в

В $ 2 доказывается теорема о голоморфности замены

переменной:

Теорема 2.1. Пусть функции рсэс) , £ Сх.") и голоморфны в области и I) р(.0)-Ф07г{0)^0,

0ч £ / hRi-Ъ)-*

Х- 1 •

3) Футция 7t р(эе)+ г*£зе) при любых X. 6- Сг обращается в области с0 в нуль только в одной точке =

и ос.Л(Я.) О при Л,-* О . Тогда функция Z0(X-,

_____

определяемая формулой ^ \¡ Щ. . L 2 = \ \¡ Ф

является голоморфной в области XL = <Ю*Сг . в параграфе также доказывается аналитичность функции Zх (_ос,Х.) , определяющей первое приближение асимптотического разложения решения. Доказательство для ¿re, А,), проводится аналогично.

В § Э с помощью замены переменной 2 = %л/ Сж, Я^) , Х= 32л/(X.) уравнение (3) приводится к виду

umwko, (4>

где [2, "Х-) £ и доказывается, что для функции "^(^зе) в области Si// справедлива оценка

Четвертый параграф посвящен выводу на комплексной плоскости Z асимптотических при формул для функций Уиттекера W Г ^ ^ ~ (l ¡v к), М ^ s ~ (k. z) которые являются решениями уравнения

о»

где - комплексный параметр,

Определение. Линии Стокса уравнения (5) - кривые на £ -плоское:;!, г-цходящие из точек ?.«.- С = l'zc. и удовлетворяющие уравнении I■ - С 2 . Г1 , Паи

'г ч "

отек из точки 7. v выходит одна линия Стокса - А Г,. , из точки выходит три линии Ci кса Б-*•'>', ß А , S под

углами " -//а»! - с\>/2-"<.'+ F. f <>£% + -}т3 ?•, *

Пусть >¿.(5),, и ~ ьетви многозначной функции

-^fi 2 с разрезами при /хгду.с (-7!j o}v{p. я)

для Ч i i - по А G и 8 ¿0 ; для - по АС- и

& С , для ^¿(.2) -по А С- и ß Р "(при

). !*;сли cvrg и - С , разрез проводится по А. 8 ¿-У t если ö-rp х ~ -по А В ь* . Ветви фиксируются }Словием I) ои-с>х. с (с, я] j arg г - ( = oj-ц-т. - '"/л, при äs«»-- , [<£/4-i.\ < L-.

2) ö-rCi (■ "j Oj , cu-g. «¡¡.(¡г)" axgzi* Z/t, при &~гй Z ~ и ¡'¿/'/7zl<i. Доказана

^орема 2.2. Для функции V/д..?:. си (bZj ПРИ W> О на плоскости х , кроме. '-окрестностей линий Стокса А °г и 8 г (ä^v t>, 'V) vi AbZ) (&rqi>e. = o) или A (¡хг^я'-"^) справедливо разложение

t.

где cV^pe)- U c:YJc(-Lz ^■k.X-Ujjnpn (Xryze.tr(cjt~l

и С- Ob-, ~ ¿v Я-ЗГ-- кх-Ь^^хул arq-Z<b(-V,dl.

'Решение

w

tv ir-- отличается от стандартного

решения W'к.-л.,'ag (fv2) тем, что в отличие от разреза, проводимого для V/k.« (!•-?■) по отрицательной вещественной полуоси плоскости х разреа для W^sc м.- (Lü) проводится по линии Стокса А G- . ~

Аналогичные разложения найдены и для функций

^J-hX, L'^i)) С k , разрез для которых также

- II -

проводится кэ точки 2 - О по линии Стокса А С . Эти решения являются более .удобными по сравнению со стандартными, ток как для них удается написать единое асимптотическое разложение почти на всей плоскости Н .

В 5 5 доказывается основная в отой главе Теорема 2.3. Дифференциальное уравнение (3) имеет решения \л/; , /= í,Z■ , обладающие в области следующими асимптотическими разложениями при ¿а- -» со :

V,(2,= + I , *-)) V, (М '

(2, 3?Л) = И и, ~ И'^) + ¡¿М/ \tjlv.z) •

где С- (Цх) и У- - константы, значения которых при-

ведены и диссертации, 5(2} = - Т1 "ри 7?_] .

I ±

№ ттШт '

е„ы)=± (^фо), ь* пУг1

- г -

В главе Ш рассматривается уравнение вида

Ч ® ¿1 £ ял ц о (6) д ~ ^

при £>0 , ё.-* 0 , Предполагается, что функции

С 5?, Я) являются голоморфными в области -О- - * О причем О & С , Относительно символа ( р, Л^) уравнения (6) предполагается, что он представим в виде

е-Сър.ьЫ^-Мкйр+-ръай) ■ ■ -(р

причем корни квадратного трехчлена р.1 = с/. а) *

* УР^А}, совпадают в точках 2 - ¿г ) , / = ¿,-2- ;

, (З^Л-) * О, / = ; при

точки поворота сливаются в точке 2 "О ; % ¿(о) * = ® • Предполагается также, что корни р,, (2, лД,...

различны и не равны (2, Л-) при

В § I построены формальные асимптотические решения уравнения (6), из которых п- - решения имеют вид

2г

& 1«, Я-,0 = А, (2 Р^ш),

2 о

где А/ (-2, X, £) - ряды по степеням £ , коэффициенты этих рядов легко вычисляются по рекуррентным формулам.

Два оставшихся линейно-независимых решения представимы в виде

* . О ' 4.

где А, .¿.tZA-.s), 'Кд, л Г >-1 f) - ряда по степеням г. ,

коэффициенты if0T0pi«-x р.ычкслпктсп. Функция \ опре-

деляется из уравнения

Ш.Х)

* л ' f----- " ■> {> ,--..и— »-1

\ \/ V/ч- oi-f ^ \ VM?>) dz

и коэффициенты rCr, - fci ~ определяются из условия

Параметр находится из условия ограниченности 60

при г = (L).

'г:

В § 2 доказывается

, что коэффициенты ^ - и функция ^ (Х,Я-) , а также коэффициенты с! - Ъ, ■■■ являются голоморфными функциями п области

В § 3 введены обозначения

( О ± О

, А = | ° ° 1

¿гг-Г и.: ■■•

и уравнение (С) сведено к система

У 5

1

О \

\

о \

\ I

-е. )

£ и ' ^ А 1<

с о СГ

(8)

Доказана

Теорема 3.2. ьсли область <Ю допустима'1" относительно - р^^сИ- и подобласти ¿0/1, ^/.г/сО/з

области допустимы относится!.но £.) - Ус

- 1/£ * (?(*!))., л,л , то система (3) имеет. IV векторных решения Vс ( у4 х, £_), ^ =11Г.. ю 1 имеющих следующие асимптотические разложения при £.-> О :

где а.

Область Ю называется допустимой относительно '¿-¿.{'-¿^ Л, £) , если существует п- точек к. б-, таких, что любая точка г © может быть соединена в §0 с '¿/к путями, вдоль которых (%,*■,£.)-- нсвозрастаю-

щая функция 2 , и равномерно-ограниченными по длине.

Значения коэффициентов С1 , (Л, ¿)и точное описание областей

• ^ • , ограниченных линиями Стокса, приво-

К1<

• •'Ч/а. ' '

дится в диссертации.

В ' 4 рассмотрено приложение результатов главы Ш к задаче теории упругости. Исследуется задача о колебаниях упругой изотропной среды, в которой продольная и поперечная скорости распространения достигают минимума на некоторых глубинах. Для амплитуд продольного я поперечного смещений и была

получена система уравнении:

~ п" .',/-, / л о' к' Р ./<■'1 р'

к'иг^. ^ ¡:о п-.-рОх1"'.? '7-7'-

£ с: - яр* - $-Сгя- т ^Сг'г

(9)

Система (9) сведена к уравнению четвертого порядка

Р "' ± I.. / Ь

ь,, -I-г • илк.гя/чг ~

I/

(10)

+ (к1 т-р ± О М) С г = О,

~ V р-^т-р р-А V р-1 '

Главное характеристическое уравнение имеет вид

при, »■)) (^ - *,<г)),

где = d-cVV ,

Таким образом, уравнение (10) имеет две пары близких точек поворота. С использованием результатов главы L построено четыре линейно-независимых реления уравнения (10) в терминах функций параболического цилиндра.

Я глубоко благодарна профессору В.С.Булдиреьу зч постановку задачи и постоянную пс;.га:;>- ь раблте. л гакае признательна А.Г.Аленицыну, обратившему мое внимание на возможность приложения к задаче теории упругости результатов главы Hj.

Основные результаты диссертации опубликованы и работах:

1. Якушина И.Н. Равномерные асимптотические разложения для решений уравнений второго порядка с двумя точками поворота . - Депонент E/ihKIVi Jf 7069-84 г., 37 с.

2. Якунина H.H. Равномерные асимптотические разложения'для решении уравнений второго горлцка с двумя точками поворота при комплексном спектральном параметре. - Дифференциальные уравнения, т.23, 6, Т9&7, C.IÜI4-IU2Ü.

3. Якушина К.Н. Асимптотика решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений п--го порядка с двумя точками поворота. - Зап.научи.семин.jii&ül, t.Iöö, 1У90, с. 172-179.

4. Якушина H.H. 'Равномерные асимптотические разложения для решений уравнений второго порядка с полюсом и точкой поворота. - Депонент BüilViVl " 215 В'Л от II.01.91 г., ."5 с.

j< V.'aaow W. Linear turning point theory, New York, 1985. 2. Булдкрев B.C., Славяков С.Ю. Равномерные асимптотические разложения для- решений уравнений типа ^редингера с двумя точками перехода. - Вестн.Ленингр.ун-та, IS66, т.22, вып.к, с.70-64. 3# Olvor P.Ti.J. Second-order linear differential equations with two turning points. - Phy1.Trans.Roy.Sc .London, 1975, Scr.A, v,278, р.-'ЗТ-т. •

Подписано к печати II.II.91. Фор;.:ат 60 х fi4 7/10. печ.л.Г.С, тир.ICO экз., зз:с.176, бесплатно. ПО-3 "Лонуг.рлздатя".

Цитируемая литература